Estimación del valor de π

Objetivo:

Estimar el valor de π utilizando un método de simulación. A través de la generación de puntos aleatorios dentro de un cuadrado de área igual a 1, se evaluará cuántos de estos puntos caen dentro de un círculo inscrito en el cuadrado. Esta proporción se utilizará para aproximar el valor de π, con 1000, 10000 y 100000 puntos.

Actividad: Genere 1000, 10000 y 10000 coordenadas, utilizando la distribución uniforme con valor mínimo de 0 y valor máximo de 1 y determine ¿Cuántos de los puntos están dentro del círculo? ¿Cuál es su estimación de π?

utilizamos las funciones:

runif() - Generar números aleatorios que siguen una distribución uniforme.
funtion(){} - personalizadas que pueden realizar tareas específicas.

Procedimiento

1. Generación de Puntos Aleatorios

Se generan n puntos aleatorios en el intervalo [0, 1] para las coordenadas \(x, y\). Usando la función runif(), que crea una secuencia de números aleatorios uniformemente distribuidos en el rango especificado.

2. Determinación de Puntos Dentro del Círculo

Se determina si cada punto \((x_i, y_i)\) está dentro de un círculo de radio 0.5 centrado en el punto \((0.5, 0.5)\). Para lo cual se calcula la distancia al centro y se verifica si está dentro del radio.

\[ (x - 0.5)^2 + (y - 0.5)^2 \leq 0.25 \]

3. Contar los Puntos Dentro del Círculo

Se cuenta el número total de puntos que cumplen la condición de estar dentro del círculo.

\[ \text{Pin} = \sum_{i=1}^{n} \text{INcir}_i \]

Donde \(\text{INcir}_i\) es 1 si el punto \(i\) está dentro del círculo y 0 en caso contrario.

4. Estimación de π

La proporción de puntos que están dentro del círculo se usa para estimar π. Dado que el área del círculo es una fracción del área del cuadrado.

\[ \hat{\pi} = \frac{\text{Pin}}{n} \times 4 \]

Donde \(\frac{\text{Pin}}{n}\) es la proporción de puntos dentro del círculo.

Estimación de π generando 1000 coordenadas

\[ \text{Puntos dentro del circulo} = \left[ \begin{array}{cccc} 800 \end{array} \right] \] \[ \hat{\pi} = \left[ \begin{array}{cccc} 3.2 \end{array} \right] \]

\[ \text{Error} = \left[ \begin{array}{cccc} 0.0584073 \end{array} \right] \]

Conclusiones:

  • La estimación obtenida para \(\pi\) es \(\hat{\pi} = 3.2\). Aunque este valor es cercano al valor verdadero, aún se encuentra ligeramente por encima.

  • El error de estimación, calculado como la diferencia entre el valor estimado y el valor verdadero, indica que la estimación obtenida tiene una desviación del valor verdadero de aproximadamente 0.0584.

  • Es importante incrementar el número de puntos para mejorar la precisión de la estimación de \(\pi\), ya que esta estrategia tiende a reducir el error y a proporcionar una estimación más cercana al valor verdadero.

Estimación de π generando 10000 coordenadas

\[ \text{Puntos dentro del circulo} = \left[ \begin{array}{cccc} 7894 \end{array} \right] \]

\[ \hat{\pi} = \left[ \begin{array}{cccc} 3.1576 \end{array} \right] \]

\[ \text{Error} = \left[ \begin{array}{cccc} 0.0160073 \end{array} \right] \]

Conclusiones:

La estimación de π es mucho más cercana al valor verdadero en comparación con la estimación obtenida con 1,000 puntos. Este resultado permite comprobar que aumentar el número de puntos en la simulación mejora significativamente la precisión de la estimación.

La simulación con \(n = 10,000\) puntos evidencia que el error de estimación se redujo, lo que muestra una clara mejora en la precisión de la estimación, demostrado ser efectiva.

Estimación de π generando 100000 coordenadas

\[ \text{Puntos dentro del circulo} = \left[ \begin{array}{cccc} 78658 \end{array} \right] \]

\[ \hat{\pi} = \left[ \begin{array}{cccc} 3.14632 \end{array} \right] \]

\[ \text{Error} = \left[ \begin{array}{cccc} 0.0047273 \end{array} \right] \]

Conclusiones generales

La estimación obtenida de π a medida que aumenta la cantidad de punto se hace muy cercana al valor verdadero de \(\pi \approx 3.1416\). Confirmando la capacidad del método Monte Carlo para proporcionar estimaciones precisas cuando se utiliza un número suficientemente grande de puntos en la simulación.

Este problema evidencia la importancia de un tamaño de muestra grande para obtener estimaciones precisas y confiables.