\[ \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}}}=? \] 令 \[\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}}}=x\] \(\Rightarrow 1+x =x^2 \Rightarrow x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) (負不合)
精確計算
options(digits=22)
(1+sqrt(5))/2 # 黃金分割比(長寬比)## [1] 1.618033988749894902526驗證：
(迭代寫法)
x <- sqrt(1)
for (i in 1:100000) {x <- sqrt(x+1)}
options(digits=22)
x ## [1] 1.618033988749894902526(遞迴寫法)
nest <- function(i)
{
if (i == 1)
return(1)
return(sqrt(1+nest(i-1)))
}
nest(100)## [1] 1.618033988749894902526for (i in 1:100){cat("nest",i,"=", nest(i) ,"\n")}## nest 1 = 1
## nest 2 = 1.414213562373095145475
## nest 3 = 1.553773974030037363647
## nest 4 = 1.598053182478617495477
## nest 5 = 1.611847754125251608315
## nest 6 = 1.616121206508116969758
## nest 7 = 1.617442798527390479535
## nest 8 = 1.617851290609674919097
## nest 9 = 1.617977530934739283097
## nest 10 = 1.618016542231487608916
## nest 11 = 1.618028597470232421429
## nest 12 = 1.618032322751999929622
## nest 13 = 1.61803347392815077832
## nest 14 = 1.618033829661218891971
## nest 15 = 1.618033939588789715813
## nest 16 = 1.618033973558277827109
## nest 17 = 1.618033984055426977022
## nest 18 = 1.61803398729922442989
## nest 19 = 1.618033988301613046445
## nest 20 = 1.618033988611368156896
## nest 21 = 1.618033988707087811321
## nest 22 = 1.618033988736666817232
## nest 23 = 1.618033988745807061349
## nest 24 = 1.618033988748631690768
## nest 25 = 1.61803398874950454811
## nest 26 = 1.618033988749774332305
## nest 27 = 1.618033988749857599032
## nest 28 = 1.618033988749883356206
## nest 29 = 1.618033988749891349812
## nest 30 = 1.618033988749893792303
## nest 31 = 1.618033988749894680481
## nest 32 = 1.618033988749894902526
## nest 33 = 1.618033988749894902526
## nest 34 = 1.618033988749894902526
## nest 35 = 1.618033988749894902526
## nest 36 = 1.618033988749894902526
## nest 37 = 1.618033988749894902526
## nest 38 = 1.618033988749894902526
## nest 39 = 1.618033988749894902526
## nest 40 = 1.618033988749894902526
## nest 41 = 1.618033988749894902526
## nest 42 = 1.618033988749894902526
## nest 43 = 1.618033988749894902526
## nest 44 = 1.618033988749894902526
## nest 45 = 1.618033988749894902526
## nest 46 = 1.618033988749894902526
## nest 47 = 1.618033988749894902526
## nest 48 = 1.618033988749894902526
## nest 49 = 1.618033988749894902526
## nest 50 = 1.618033988749894902526
## nest 51 = 1.618033988749894902526
## nest 52 = 1.618033988749894902526
## nest 53 = 1.618033988749894902526
## nest 54 = 1.618033988749894902526
## nest 55 = 1.618033988749894902526
## nest 56 = 1.618033988749894902526
## nest 57 = 1.618033988749894902526
## nest 58 = 1.618033988749894902526
## nest 59 = 1.618033988749894902526
## nest 60 = 1.618033988749894902526
## nest 61 = 1.618033988749894902526
## nest 62 = 1.618033988749894902526
## nest 63 = 1.618033988749894902526
## nest 64 = 1.618033988749894902526
## nest 65 = 1.618033988749894902526
## nest 66 = 1.618033988749894902526
## nest 67 = 1.618033988749894902526
## nest 68 = 1.618033988749894902526
## nest 69 = 1.618033988749894902526
## nest 70 = 1.618033988749894902526
## nest 71 = 1.618033988749894902526
## nest 72 = 1.618033988749894902526
## nest 73 = 1.618033988749894902526
## nest 74 = 1.618033988749894902526
## nest 75 = 1.618033988749894902526
## nest 76 = 1.618033988749894902526
## nest 77 = 1.618033988749894902526
## nest 78 = 1.618033988749894902526
## nest 79 = 1.618033988749894902526
## nest 80 = 1.618033988749894902526
## nest 81 = 1.618033988749894902526
## nest 82 = 1.618033988749894902526
## nest 83 = 1.618033988749894902526
## nest 84 = 1.618033988749894902526
## nest 85 = 1.618033988749894902526
## nest 86 = 1.618033988749894902526
## nest 87 = 1.618033988749894902526
## nest 88 = 1.618033988749894902526
## nest 89 = 1.618033988749894902526
## nest 90 = 1.618033988749894902526
## nest 91 = 1.618033988749894902526
## nest 92 = 1.618033988749894902526
## nest 93 = 1.618033988749894902526
## nest 94 = 1.618033988749894902526
## nest 95 = 1.618033988749894902526
## nest 96 = 1.618033988749894902526
## nest 97 = 1.618033988749894902526
## nest 98 = 1.618033988749894902526
## nest 99 = 1.618033988749894902526
## nest 100 = 1.618033988749894902526\[ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}}=? \]
令 \(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}}=x \Rightarrow 2+x =x^2 \Rightarrow x=2\) 或 \(-1\) (不合)
驗證：
x <- sqrt(2)
for (i in 1:100000) {x <- sqrt(x+2)}
options(digits=22)
x ## [1] 2\[ \sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{2}+\cdots}}}}}=? \] 令 \[\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{2}+\cdots}}}}}=x\] \(\Rightarrow \frac{1}{2}+x =x^2 \Rightarrow x=\frac{1+\sqrt{3}}{2}\) (負不合)
精確計算
options(digits=22)
(1+sqrt(3))/2 ## [1] 1.366025403784438596588驗證：
x <- sqrt(1/2)
for (i in 1:100000) {x <- sqrt(x+1/2)}
options(digits=22)
x ## [1] 1.366025403784438596588連分數的形式：
\[\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\cdots}}}}}} = ? \]
令 \[\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\cdots}}}}}} = x\] \(\frac{1}{1+x} =x \Rightarrow 1=x+x^2 \Rightarrow x= \frac{\sqrt{5}-1}{2}\)
精確計算
options(digits=22)
(sqrt(5)-1)/2 # 黃金分割比(寬長比)## [1] 0.6180339887498949025257驗證：
x <- 1
for (i in 1:100000) {x <- 1/(1+x)}
options(digits=22)
x ## [1] 0.6180339887498947915034增加遞迴次數，改善精確度：
x <- 1
for (i in 1:1000000) {x <- 1/(1+x)}
options(digits=22)
x ## [1] 0.6180339887498947915034