A continuación se realizará la solución del taller de distribuciones de probabilidad para variables discretas y continuas.
Sea X una variable aleatoria distribuida binomialmente con n = 10 y p = 0:5: Determinar las probabilidades de que X se encuentre dentro de una desviación estándar de la media y a dos desviaciones estandares de la media.
# Información del ejercicio (Parámetro de la distribución binomial)
n <- 10 # Número de ensayos
p <- 0.5 # Probabilidad de éxito
# Calculamos la media y la desviación estándar
media <- n * p
des_est <- sqrt(n * p * (1 - p))
# Ajustamos los límites al número entero más cercano
limite_inferior1 <- floor(media - des_est)
limite_superior1 <- ceiling(media + des_est)
limite_inferior2 <- floor(media - 2 * des_est)
limite_superior2 <- ceiling(media + 2 * des_est)
cat("Los límites de la primera desviación estándar son:", limite_inferior1, "y", limite_superior1, "\n")## Los límites de la primera desviación estándar son: 3 y 7cat("Los límites de la segunda desviación estándar son:", limite_inferior2, "y", limite_superior2, "\n")## Los límites de la segunda desviación estándar son: 1 y 9# Ahora se calcula la probabilidad de que X esté dentro de una y dos desviaciones estándar
prob1 <- pbinom(limite_superior1, n, p) - pbinom(limite_inferior1 - 1, n, p)
prob2 <- pbinom(limite_superior2, n, p) - pbinom(limite_inferior2 - 1, n, p)
cat("La probabilidad de que X se encuentre dentro de una desviación estándar de la media es:", prob1, "\n")## La probabilidad de que X se encuentre dentro de una desviación estándar de la media es: 0.890625cat("La probabilidad de que X se encuentre dentro de dos desviaciones estándar de la media es:", prob2, "\n")## La probabilidad de que X se encuentre dentro de dos desviaciones estándar de la media es: 0.9980469Sea X una variable que se distribuye normal con mu = 1 y sigma= 4: Entonces, P(X2 > 4) es
#Información del ejercicio (Parámetrosde la distribución normal).
mu <- 1
sigma <- sqrt(4)
# Cálculo de P(X^2 > 4) = P(|X| > 2)
p.mayor2 <- 1 - pnorm(2, mean = mu, sd = sigma)
p.menormenos2 <- pnorm(-2, mean = mu, sd = sigma)
#Finalmente sumamos esta probabilidad
total <- p.mayor2+ p.menormenos2
cat("La probabilidad de que X^2 > 4 es:",total,"\n")## La probabilidad de que X^2 > 4 es: 0.3753447Supóngase que el número de llamadas que entran a una central teléfonica es 30 por hora. Cuál es la probabilidad de que no se reciban llamdas en un periodo de 3 minutos?”
La distribución de Poisson es adecuada para este caso porque nos ayuda a modelar la cantidad de eventos que suceden en un intervalo de tiempo. En este caso, estamos interesados en el número de llamadas que llegan en un periodo específico, y la distribución de Poisson es ideal cuando sabemos cuántas llamadas ocurren en promedio durante un tiempo determinado.
#Para saber la cantidad de llamadas en 3 minutos:
tiempo <- 3/60 #Conversión de minutos a horas.
lambda <- 30*tiempo
lambda## [1] 1.5#La probabilidad de que no se reciban llamdas en 3 minutos es:
probabilidad <- dpois(x = 0, lambda)
cat("La probabilidad de que no se reciban llamadas en 3 minutos es:", probabilidad, "\n")## La probabilidad de que no se reciban llamadas en 3 minutos es: 0.2231302La probabilidad de que un satelite, despues de colocarlo en orbita, funcione de manera adecuada es de 0.9.Supongase que cinco de estos se colocan en orbita y operan de manera independiente:Cuál es la probabilidad de que, por lo menos, el 80% funcione adecuadamente?.”
“En este problema se utilizará la distribución binomial porque se cumplen todas sus condiciones. Tenemos un número fijo de ensayos, que corresponde a los 5 satélites. Cada ensayo tiene dos posibles resultados: que el satélite funcione o no funcione. Además, la probabilidad de éxito, que es 0.9, se mantiene constante para todos los satélites. Finalmente, el desempeño de cada satélite es independiente del de los demás, lo que refuerza la adecuación de la distribución binomial para este análisis.”
#Parámetros de la distribución binomial
n <- 5 #Satélites
p <- 0.9 #Probabilidad de éxito
#eL 80% corresponde a
k <- (n/100)*80
cat("Que el 80% de los satélites funcionen, indica que por lo menos", k, "de", n, "funcionen","\n")## Que el 80% de los satélites funcionen, indica que por lo menos 4 de 5 funcionen# Calculamos la probabilidad de exactamente 4 éxitos
prob.4 <- dbinom(4, size = n, prob = p)
# Calculamos la probabilidad de exactamente 5 éxitos
prob.5 <- dbinom(5, size = n, prob = p)
# Calculamos la probabilidad de al menos 4 éxitos (suma de las dos anteriores)
prob.final <- prob.4 + prob.5
cat("La probabilidad de que al menos el 80% de los satélites funcionen es:", prob.final, "\n")## La probabilidad de que al menos el 80% de los satélites funcionen es: 0.91854Supongase que un examen contiene 15 preguntas del tipo falso o verdadero. EI examen se aprueba contestando correctamente por lo menos nueve preguntas. Si se lanza una moneda para decidir el valor de verdad de cada pregunta, øcu· es la probabilidad de aprobar el examen?
#Los parámetos de la distribución binomial
n <- 15 # Número de preguntas
"Cuando lanzas una moneda, hay dos posibles resultados: cara o cruz. Si usas la
moneda para decidir entre #verdadero# o #falso#,cada resultado tiene una probabilidad
del 50%, es decir:" ## [1] "Cuando lanzas una moneda, hay dos posibles resultados: cara o cruz. Si usas la \nmoneda para decidir entre #verdadero# o #falso#,cada resultado tiene una probabilidad\ndel 50%, es decir:"p <- 0.5
k <- 9 # Número mínimo de respuestas correctas para aprobar
# Probabilidad de aprobar el examen (al menos 9 respuestas correctas)
prob.aprobar <- 1 - pbinom(k - 1, size = n, prob = p)
cat("La probabilidad de aprobar el examen es:", prob.aprobar, "\n")## La probabilidad de aprobar el examen es: 0.3036194Supongase que el diametro externo de cierto tipo de cojinetes se encuentra, de manera aproximada, distribuido normalmente con media igual a 3.5 cm y desviaciÛn estándar igual a 0.02 cm. Si el diametro de estos cojinetes no debe ser menor de 3.47 ni mayor de 3.53 cm, el porcentaje de cojinetes, durante el proceso de manufactura, que debe descharse es:
#Información del ejercicio(Parámetros de la distribución normal)
media <- 3.5
desv.estan <- 0.02
#Límites del diametro
limiteinferior <- 3.47
limitesuperior <- 3.53
#La probabilidad de que un cojinete esté dentro de los límites
prob <- pnorm(limitesuperior, mean = media, sd = desv.estan) -
pnorm(limiteinferior, mean = media, sd = desv.estan)
#La probabilidad de que un cojinete deba ser descartado
prob.desecho <- 1 - prob
porcentajedesecho <- prob.desecho*100
cat("El porcentaje de cojinetes que deben ser desechados es:", porcentajedesecho, "\n")## El porcentaje de cojinetes que deben ser desechados es: 13.36144Una variable aleatoria X se distribuye uniforme si su fdp está dada por (Integral de distribución contnua). Si E (x) = 10 y V ar (X) = 12; los valores de a y b son:
#Información del ejercicio
media <- 10 # Media
var <- 12 # Varianza
# Calcular a + b y b - a
suma_ab <- 2 * media
rango <- sqrt(var * 12)
# Solucionamos el sistema de ecuaciones
a <- (suma_ab - rango) / 2
b <- (suma_ab + rango) / 2
cat("a toma un valor de:", a, "\n") ## a toma un valor de: 4cat("b toma un valor de:", b, "\n") ## b toma un valor de: 16Sea X una variable aleatoria normal que representa la inteligencia medida por medio de pruebas de CI. Si X es N (100; 10), la probabilidad de que X sea por lo menos 108 es
p <- 1 - pnorm(108, mean = 100, sd = 10)
cat("la probabilidad de que x sea por lo menos 108 es",p)## la probabilidad de que x sea por lo menos 108 es 0.2118554Supongase que la concentracion de cierto contaminante se encuentra distribuida de manera uniforme en el intervalo de 4 a 20 ppm (partes por millon). Si se considera como toxica una concentraciÛn de 15 ppm o mas, la probabilidad de que al tomarse una muestra la concentracion de esta sea toxica es:
# límites de la distribución uniforme
min_concentracion <- 4
max_concentracion <- 20
limite_toxico <- 15
# Calcular la probabilidad acumulada hasta el límite de toxicidad
probabilidad.acumulada <- punif(limite_toxico, min_concentracion, max_concentracion)
probabilidad.toxica <- 1 - probabilidad.acumulada
cat("la probabilidad de que al tomarse una muestra la concentracion de esta sea
toxica es",probabilidad.toxica)## la probabilidad de que al tomarse una muestra la concentracion de esta sea
## toxica es 0.3125Los tiempos entre las llegadas de vehÌculos a un determinado parqueadero siguen una distribuciÛn de probabilidad exponencial cuya media es 12 segundos. La probabilidad de que los tiempos de llegada entre vehÌculos sean 30 segundos o mas es
lambda <- 1/12 # La tasa es el inverso de la media
p.30 <- 1 - pexp(30, rate = lambda)
cat("La probabilidad de que los tiempos de llegada entre vehÌculos
sean 30 segundos o mas es",p.30)## La probabilidad de que los tiempos de llegada entre vehÌculos
## sean 30 segundos o mas es 0.082085Un vendedor de seguros sabe que la oportunidad de vender una pbliza es mayor mientras mas contactos realice con clientes potenciales. Si la probabilidad de que una persona compre una poliza de seguro despues de la visita, es constante e igual a 0.25, y si el conjunto de visitas constituye un conjunto independiente de ensayos,¿cuantos compradores potenciales debe visitar el vendedor para que la probabilidad de vender por lo menos una poliza sea de 0.801?
# probabilidad de éxito (venta de póliza)
p_exito <- 0.25
# probabilidad deseada
p_deseada <- 0.801
n_visitas <- 1
# Calcular la probabilidad de vender al menos una póliza
while (1 - pbinom(0, size = n_visitas, prob = p_exito) < p_deseada) {
n_visitas <- n_visitas + 1
}
# Mostrar el número mínimo de visitas necesarias
n_visitas## [1] 6cat("El vendedor debe visitar al menos", n_visitas, "clientes potenciales.")## El vendedor debe visitar al menos 6 clientes potenciales.Para un volumen Öjo, el numero de celulas sanguineas rojas es una variable aleatoria que se presenta con una frecuencia constante. Si el numero promedio para un volumen dado es de nueve celulas para personas normales, determinar la probabilidad de que el numero de celulas rojas para una persona se encuentra dentro de una desviacion estandar del valor promedio y a dos desviaciones estandar del promedio.
lambda <- 9
sigma <- sqrt(lambda)
prob_1sigma <- ppois(12, lambda) - ppois(5, lambda)
cat(" la probabilidad de que el numero de celulas rojas para una persona
se encuentra dentro de una desviacion estandar del valor promedio es",prob_1sigma)## la probabilidad de que el numero de celulas rojas para una persona
## se encuentra dentro de una desviacion estandar del valor promedio es 0.7600829prob_2sigma <- ppois(15, lambda) - ppois(2, lambda)
cat(" la probabilidad de que el numero de celulas rojas para una persona
se encuentra a dos desviaciones estandar del valor promedio",prob_2sigma)## la probabilidad de que el numero de celulas rojas para una persona
## se encuentra a dos desviaciones estandar del valor promedio 0.9717321Un escritor de libros comete, en promedio, dos errores de procesamiento de texto por p·gina en el primer borrador de su libro. La probabilidad de que en la siguiente p·gina cometa 4 o m·s errores es:”
lambda <- 2
prob_4_o_mas <- 1 - ppois(3, lambda)
cat("La probabilidad de que en la siguiente p·gina cometa 4 o mas errores es:",prob_4_o_mas)## La probabilidad de que en la siguiente p·gina cometa 4 o mas errores es: 0.1428765Una maquina expendedora de bebidas gaseosas se regula para que sirva un promedio de 200 mililitros por vaso. Si la cantidad de bebida se distribuye nornormalmente con una desviaciÛn est·ndar igual a 15 mililitros, el n ̇mero de vasos que probablemente se derramar·n si se utilizan vasos de 230 mililitros para las siguientes 1000 bebidas es
media <- 200
desviacion_estandar <- 15
capacidad_vaso <- 230
numero_bebidas <- 1000
prob_derrame <- 1 - pnorm(capacidad_vaso, mean = media, sd = desviacion_estandar)
numero_derrames <- prob_derrame * numero_bebidas
cat("el ṅumero de vasos que probablemente se derramaa·n si se utilizan vasos de 230 mililitros para las siguientes 1000 bebidas es",numero_derrames)## el ṅumero de vasos que probablemente se derramaa·n si se utilizan vasos de 230 mililitros para las siguientes 1000 bebidas es 22.75013Lotes con 40 componentes cada uno que contengan 3 o m·s defectuosos se consideran inaceptables. El procedimiento para obtener muestras del lote consiste en seleccionar 5 componentes al azar y rechazar el lote si se encuentra un componente defectuoso. La probabilidad de, que en la muestra, se encuentre exactamente un componente defectuoso, si en todo el lote hay 3 defectuosos es:
library(MASS) # Para convertir decimales a fraccion con fractions
m.15 <- 3 # componentes defectuosas
n.15 <- 37 # componentes buenas
k.15 <- 5 # Tamaño de la muestra
# max{0,k-n}<= x <= min{k,m}
max(0,k.15-n.15)## [1] 0min(k.15,m.15)## [1] 3x <- 0:3
p.15 <- dhyper(x,m.15,n.15,k.15)
df2 <- data.frame(x,p.15)
df2## x p.15
## 1 0 0.662449393
## 2 1 0.301113360
## 3 2 0.035425101
## 4 3 0.001012146dhyper(x=1,3,37,5)## [1] 0.3011134cat("La probabilidad de encontrar exactamente un componente defectuoso en la muestra es:",dhyper(x=1,3,37,5))## La probabilidad de encontrar exactamente un componente defectuoso en la muestra es: 0.3011134Los jurados para una corte federal de distrito se seleccionan de manera aleatoria entre la lista de votantes del distrito, En un deterrninado mes se selecciona una lista de 25 candidatos. Esta contiene los nombres de 20 hombres y cinco rnujeres. a) Si la lista de votantes se encuentra igualmente dividida por sexo, øcual es la probabilidad de tener una lista que contenga a 20 hombres y cinco mujeres? b) Supongase que de esta lista se elige un jurado de doce personas, de las cuales solo una es mujer. øCuaI es la probabilidad de este hecho, si los miembros del jurado se seleccionan de manera aleatoria?
m.16 <- 25 # Total de candidatos en la lista
K.16 <- 5 # Número de mujeres en la lista
n.16 <- 12 # Tamaño del jurado
x <- 1 # Número de mujeres en el jurado
?dhyp## No documentation for 'dhyp' in specified packages and libraries:
## you could try '??dhyp'# Probabilidad de que haya exactamente 1 mujer en el jurado
p.16 <- dhyper(x = x, m = K.16, n = m.16 - K.16, k = n.16)
cat("La probabilidad de que haya exactamente 1 mujer en el jurado es:",p.16)## La probabilidad de que haya exactamente 1 mujer en el jurado es: 0.1614907EI peso de cereal que contiene una caja se aproxima a una distribucion normal con una media de 600 gramos. EI proceso de llenado de las cajas esta diseÒado para que de entre 100 cajas, el peso de una se encuentre fuera del intervalo 590-610 gramos. øCual es el valor maximo de la desviacion estandar para alcanzar este requerimiento?
media.17 <- 600
li.17 <- 590
ls.17 <- 610
p.17 <- 0.99
pacu.17 <- qnorm((1 + p.17) / 2)
desviacion_estandar.17 <- (ls.17 - media.17) / pacu.17
cat("La desviación estándar máxima es:", desviacion_estandar.17, "gramos\n")## La desviación estándar máxima es: 3.882245 gramoscat("El valor máximo de la desviación estándar es aproximadamente:", 2, "gramos\n")## El valor máximo de la desviación estándar es aproximadamente: 2 gramosSupongase que la concentraciÛn de cierto contaminante se encuentra distribuida de manera uniforme en el intervalo de 4 a 20 ppm (partes por millÛn). Si se considera como toxica una concentraciÛn de 15 ppm o m·s, la probabilidad de que al tomarse una muestra la concentraciÛn de esta sea toxica es
# Parámetros de la distribución uniforme
li.18 <- 4 # Límite inferior
ls.18 <- 20 # Límite superior
# Umbral tóxico
p.18 <- 15
sol.18 <- (ls.18 - p.18) / (ls.18 - li.18)
cat("La probabilidad de que la concentración sea tóxica es:", sol.18)## La probabilidad de que la concentración sea tóxica es: 0.3125EI tiempo necesario para armar cierta unidad es una variable aleatoria normalmente distribuida con una media de 30 minutos y desviacion estandar igual ados minutes. Determinar el tiempo de armado de manera tal que la probabilidad de exceder este sea de 0.02.
media.19 <- 30
sigma <- 2
sol.19 <- qnorm(0.98, mean = media.19, sd = sigma)
cat("El tiempo de armado tal que la probabilidad de excederlo sea 0.02 es:", sol.19, "minutos")## El tiempo de armado tal que la probabilidad de excederlo sea 0.02 es: 34.1075 minutosEs frecuente que las semillas sean tratadas con fungicidas para protegerlas en ambientes h ̇medos y con desecaciÛn defectuosa. Un intento a pequeÒa escala, que comprende cinco semillas tratadas y cinco no tratadas, fue realizado antes de un experimento a gran escala para explorar cu·nto fungicida aplicar. Las semillas se plantaron en un suelo h ̇medo y se contÛ el n ̇mero de plantas que brotaron. Si la soluciÛn no era efectiva y cuatro plantas brotaron en realidad, øcu·l es la probabilidad de que a) las cuatro plantas brotaran de semillas tratadas? b) tres o menos brotaran de semillas tratadas? c) al menos una brotara de semillas no tratadas?
K.20 <- 5 # Número de semillas tratadas
N.20 <- 10 # Número total de semillas
n.20 <- 4 # Número de semillas que brotaron
# Probabilidad de que las 4 plantas que brotaron sean tratadas
p.a20 <- dhyper(x = 4, m = K.20, n = N.20-K.20, k = n.20)
cat("La probabilidad de que las cuatro plantas brotaran de semillas tratadas es:",p.a20)## La probabilidad de que las cuatro plantas brotaran de semillas tratadas es: 0.02380952# Probabilidad de que tres o menos semillas tratadas brotaron
p.b20 <- phyper(q = 3, m = K.20, n = N.20-K.20, k = n.20)
cat("La probabilidad de que tres o menos brotaran de semillas tratadas es:",p.b20)## La probabilidad de que tres o menos brotaran de semillas tratadas es: 0.9761905# Probabilidad de que al menos una semilla no tratada brote
p.c20 <- 1 - p.a20
cat("La probabilidad de que al menos una brotara de semillas no tratadas es:", p.c20)## La probabilidad de que al menos una brotara de semillas no tratadas es: 0.9761905El número de errores mecanográficos hechos por una secretaria tiene una distribución de Poisson con un promedio de cuatro errores por página. Si en una página se dan más de cuatro errores, la secretaria debe volver a escribir toda la página. ¿Cuál es la probabilidad de que una página seleccionada al azar no tenga que volver a ser escrita?
sol.21 <- ppois(q=4,lambda = 4,lower.tail = TRUE)
sol.21## [1] 0.6288369cat("La probabilidad es:", sol.21)## La probabilidad es: 0.6288369Se observo que la cantidad semanal de dinero gastado por una compaÒÌa durante largo tiempo en mantenimiento y reparaciones, esta normalmente distribuida en forma aproximada con media de $400 y desviaciÛn estandar de $20. Si estan presupuestados $450 para la prÛxima semana, øcual es la probabilidad de que los costos reales rebasen la cantidad presupuestada?
probabilidad <- 1 - pnorm(450, mean = 400, sd = 20)
cat(" la probabilidad de que los costos reales rebasen el presupuesto", probabilidad)## la probabilidad de que los costos reales rebasen el presupuesto 0.006209665