Matemáticas para las Ciencias Forenses
Julio César Martínez Sánchez
1 Introducción
Este documento sirve como un recurso complementario para el curso de Matemáticas para las Ciencias Forenses. En él encontrarás un resumen de los temas discutidos en clase, junto con soluciones detalladas a los ejercicios realizados y otros adicionales ideales para repasar y profundizar tu comprensión. Se recomienda aprovechar estos ejercicios extra y resolverlos, ya que son una excelente manera de fortalecer tus habilidades matemáticas.
Este material no pretende sustituir las notas tomadas en clase, sino enriquecerlas. Está pensado para ser usado como una herramienta de referencia que te ayude a recordar y aclarar aspectos importantes del curso, lo cual facilitará tu aprendizaje de los contenidos.
2 Notación matemática
En el ámbito matemático es común el uso de notaciones específicas para representar diferentes elementos. Tradicionalmente, las últimas letras del abecedario como \(x\) y \(y\) se utilizan para denotar variables, las cuales son entidades que pueden asumir diversos valores numéricos. Mientras que las primeras letras \(a\), \(b\) o \(c\) se emplean para representar constantes o coeficientes en ecuaciones algebraicas.
Consideremos la expresión algebraica \(bx\). En esta expresión, \(b\) representa una constante, es decir, un valor fijo que no cambia a lo largo del problema. Por ejemplo, le asignamos un valor de 3, entonces la expresión se convierte en \(3x\). Por otro lado, \(x\) representa una variable, la cual puede cambiar y tomar diferentes valores numéricos dependiendo del contexto o de los datos específicos del problema. Por ejemplo, si \(x\) toma los valores 10, 12 y 35, entonces la expresión \(bx\) se transforma a:
\[ b = 3 \quad \text{y} \quad x = 10 \quad \Rightarrow \quad bx = 3 \cdot 10 = 30 \] \[ b = 3 \quad \text{y} \quad x = 12 \quad \Rightarrow \quad bx = 3 \cdot 12 = 36 \] \[ b = 3 \quad \text{y} \quad x = 35 \quad \Rightarrow \quad bx = 3 \cdot 35 = 105 \]
Este ejemplo muestra como la constante \(b\) multiplica a la variable \(x\) que toma distintos valores.
3 Leyes de los signos
En matemáticas, los números pueden ser positivos o negativos. Los números positivos se representan tal cual, mientras que los negativos llevan un signo menos \((-)\) delante. Al momento de que dos números interactúan, los signos juegan un papel fundamental porque determinan el resultado de las operaciones aritméticas. En este contexto, las leyes de los signos son reglas que nos permiten realizar cálculos precisos, independientemente de si los números involucrados son positivos o negativos.
| Operación | Signo | Ejemplo | ||
|---|---|---|---|---|
| 1er dígito | 2do dígito | Resultado | ||
| Multiplicación | + | + | + | 5 × 5 = 25 |
| + | - | - | 5 × (-5) = -25 | |
| - | - | + | (-5) × (-5) = 25 | |
| División | + | + | + | 5 ÷ 5 = 1 |
| + | - | - | 5 ÷ (-5) = -1 | |
| - | - | + | (-5) ÷ (-5) = 1 | |
Estas reglas ayudan a entender cómo se combinan los números con diferentes signos, facilitando el cálculo en situaciones cotidianas o matemáticas más avanzadas.
4 Propiedades de las operaciones
Las operaciones matemáticas básicas como la suma y la multiplicación poseen características particulares que permiten resolver problemas matemáticos complejos. A continuación, se presenta un desglose detallado de estas propiedades para cada operación.
| Propiedad | Suma | Multiplicación |
|---|---|---|
| Conmutativa | \(a + b = b + a\) | \(a \times b = b \times a\) |
| Asociativa | \((a + b) + c = a + (b + c)\) | \((a \times b) \times c = a \times (b \times c)\) |
| Elemento neutro | \(a + 0 = a\) | \(a \times 1 = a\) |
| Elemento opuesto e inverso | Negativo | División |
| Distributiva | \(a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)\) | |
Todas las propiedades son importantes, pero la distributiva es una de las más utilizadas porque permite ejecutar un problema con mayor facilidad.
5 Orden de operaciones
Cuando trabajamos con expresiones matemáticas que incluyen operaciones como la suma, exponentes o paréntesis, es crucial seguir un orden específico para obtener el resultado correcto. Si no respetamos este orden, podemos terminar con resultados inconsistentes. Esto implica que debemos priorizar ciertas operaciones sobre otras, por lo que el orden correcto de ejecución es:
\[\text{Paréntesis } \rightarrow \text{ Exponentes y raíces} \rightarrow \text{ Multiplicación y división} \rightarrow \text{ Suma y resta}\]
Esto implica que siempre debemos resolver primero las operaciones contenidas dentro de los paréntesis y corchetes. En situaciones donde existan múltiples niveles, como paréntesis dentro de corchetes, se comienza por el nivel más interno. Una vez resuelto lo que está dentro de paréntesis y corchetes, se continúa con los exponentes y las raíces. Luego, se realizan las multiplicaciones y divisiones, para finalmente ejectuar las sumas y restas.
Por ejmplo, vamos a resolver paso a paso la siguiente expresión:
\[4[3^2 + 2(5+3)]\]
Primero calculamos lo que está dentro de los paréntesis, \(5+3\), que da un total de \(8\). Después sustituimos el resultado en la expresión original y multiplicamos por \(2\) (que está fuera del paréntesis): \(2 \times 8 = 16\). Luego calculamos \(3^2\), que es igual a \(9\), y sumamos los resultados de los cálculos que están dentro de los corchetes: \(9 + 16 = 25\). Finalmente, multiplicamos este resultado por \(4\), que está fuera del corchete y obtenemos: \(4 \times 25 = 100\). Por lo tanto, el resultado final de la expresión \(4[3^2 + 2(5+3)]\) es \(100\).
6 Leyes de los exponentes
Las leyes de los exponentes son reglas que nos ayudan a manejar operaciones donde los números se elevan a potencias. Son especialmente útiles en álgebra para simplificar expresiones y resolver ecuaciones.
| Operación | Fórmula | Ejemplo |
|---|---|---|
| Producto de potencias (misma base) | \(x^m \times x^n = x^{m+n}\) | \(3^3 \times 3^2 = 3^{3+2} = 3^5 = 243\) |
| Cociente de potencias (misma base) | \(\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}\) | \(\frac{3^7}{3^2} = 3^{7-2} = 3^5 = 243\) |
| Potencia de una potencia | \((x^m)^n = x^{m \times n}\) | \((2^2)^3 = 2^{2 \times 3} = 2^6 = 64\) |
| Potencia de un producto | \((xy)^n = x^n \times y^n\) | \((2 \cdot 3)^3 = 2^3 \times 3^3 = 8 \times 27 = 216\) |
| Potencia de un cociente | \(\left(\frac{x}{y}\right)^n = \frac{x^n}{y^n}\) | \(\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}\) |
| Potencia de cero | \(x^0 = 1\) (si \(x \neq 0\)) | \(5^0 = 1\) |
| Potencia negativa | \(x^{-n} = \frac{1}{x^n}\) | \(3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}\) |
6.1 Ejercicios
Vamos a resolver paso a paso las siguientes operaciones:
Ejercicio 1
\[\frac{2(9^2 - 3^3)}{6}\]
Iniciamos calculando las potencias: \(9^2\) que es igual a 81 y \(3^3\) que es 27. Restamos estos valores dentro del paréntesis: \(81 - 27 = 54\). A continuación, multiplicamos el resultado por 2, obteniendo \(2 \times 54 = 108\). Por último, dividimos este producto por 6, simplificando así a \(\frac{108}{6} = 18\). Este ejercicio demuestra la importancia de seguir el orden de operaciones para obtener el resultado correcto, que en este caso es 18.
Ejercicio 2
\[\frac{4[(5^3 + 3) - 5 \times 4]}{8}\]
Comenzamos elevando 5 al cubo, resultando en \(5^3 = 125\). Sumamos 3 a este valor: \(125 + 3 = 128\). En paralelo, calculamos \(5 \times 4 = 20\) y lo restamos del resultado anterior, obtenido dentro de los corchetes: \(128 - 20 = 108\). Este resultado se multiplica por 4, dando \(4 \times 108 = 432\). Finalmente, dividimos 432 por 8 para obtener el resultado final del ejercicio, que es 54. Este proceso subraya cómo las operaciones dentro de corchetes deben resolverse primero antes de proceder a la multiplicación y división final.
Ejercicio 3
\[\frac{6[2(7^2) - 3(4^2 + 2)]}{((6-2) \times 2)}\]
Comenzamos trabajando en el numerador. Primero, calculamos las potencias: \(7^2\) resulta en 49, y \(4^2\) es 16. A continuación, sumamos 2 al resultado de \(4^2\), obteniendo \(16 + 2 = 18\). Multiplicamos este último resultado por 3, \(3 \times 18 = 54\), y lo sustraemos de \(2 \times 49 = 98\), resultando en \(98 - 54 = 44\). Multiplicamos entonces este resultado por 6, \(6 \times 44 = 264\).
Ahora, nos ocupamos del denominador. Primero calculamos la resta dentro del paréntesis más interno: \(6-2 = 4\). Luego, multiplicamos este resultado por 2, \((4) \times 2 = 8\).
Finalmente, dividimos el total del numerador, 264, por el resultado del denominador, 8, lo que simplifica a \(\frac{264}{8} = 33\).
7 Notación Científica
La notación científica es una forma de escribir números que son muy grandes o pequeños para facilitar los cálculos y se compone de tres partes principales:
\[b \times 10^n\]
Coeficiente (b): Es un número decimal que se encuentra entre 1 y 10, aunque el número 1 también es aceptado en algunas definiciones. Este coeficiente contiene todos los dígitos significativos del número original.
Base (10): La base siempre es 10, esta constante indica que el número se expresa mediante potencias de diez.
Exponente (n): Es un número entero que indica cuántas veces la base (10) debe multiplicarse por sí misma. Si el exponente es positivo, el número original es grande, pero si el exponente es negativo, entonces el número original es pequeño.
La notación científica es una técnica matemática que nos ayuda a manejar números extremadamente grandes o pequeños de manera eficiente. Vamos a explorarla con un ejemplo común en química: el mol. Un mol representa una cantidad específica de partículas, como átomos o moléculas, y se define exactamente como \(6.022 \times 10^{23}\) partículas. Aquí, el número \(6.022\) es el coeficiente, \(10\) es la base y \(23\) el exponente, lo que indica que el coeficiente se multiplica por 10 elevado a 23. El proceso que seguiríamos para expresar 1 mol en notación decimal sería recorrer el punto decimal 23 posiciones a la derecha, es decir:
\[ \text{1 mol} \;=\; 6.022 \times 10^{23}\;=\;6\;\underbrace{02\;200\;000\;000\;000\;000\;000\;000}_{\text{23 posiciones}} \]
Así, el número \(602\;200\;000\;000\;000\;000\;000\;000\) es el equivalente en notación decimal de 1 mol. Escribir todos esos ceros no solo es tedioso, sino que también hace que el número sea difícil de leer y usar. Por eso preferimos la forma \(6.022 \times 10^{23}\), que es mucho más sencilla y práctica.
Pero, ¿qué ocurre con los números muy pequeños? También usamos la notación científica para ellos. Por ejemplo, la concentración de iones de hidrógeno (\(H^+\)) en agua pura es de aproximadamente \(1 \times 10^{-7}\) moles por litro. El número \(1\) es el coeficiente, \(10\) sigue siendo la base y \(-7\) el exponente. Si lo queremos escribir en notación decimal, entonces, a partir del punto decimal recorrer el 1 hasta la séptima posición, es decir:
\[ 1\times 10^{-7}\;=\;0.\;\underbrace{000\;000\;1}_{\text{7 posiciones}} \]
Dado que la notación científica es una forma de expresar los números y los números se pueden sumar, restar, multiplicar o dividir, entonces estas operaciones tambien las podemos hacer usando la notación científica.
Suma
Supongamos que en un experimento necesitamos combinar dos reactantes que contienen \(2.5 \times 10^{23}\) moléculas y \(3.5 \times 10^{23}\) moléculas, respectivamente. El problema que tenemos entonces es:
\[2.5 \times 10^{23} + 3.5 \times 10^{23}\]
Para aplicar la suma directamente, ambos términos deben tener el mismo exponente. Aquí, ambos son \(10^{23}\), por lo que cumplen esta condición gracias a la ley de exponentes que permite sumar bases iguales manteniendo el mismo exponente.
Utilizando la propiedad asociativa de la suma, combinamos los coeficientes \(2.5 + 3.5 = 6.0\). Esta propiedad nos asegura que podemos sumar los coeficientes de forma directa y el resultado será el mismo sin importar el orden en que realicemos la operación. Por lo que el resultado sería:
\[2.5 \times 10^{23} + 3.5 \times
10^{23}\;=\; (2.5+3.5)\times 10^{23}\;=\;6\times 10^{23}\]
Resta
Supongamos que después de una reacción química, necesitamos determinar cuántas moléculas no han reaccionado. Si empezamos con \(4.6 \times 10^{24}\) moléculas y después de la reacción quedan \(2.1 \times 10^{24}\) moléculas, el cálculo sería:
\[4.6 \times 10^{24} - 2.1 \times 10^{24}\]
Ambos términos tienen el mismo exponente (\(10^{24}\)), lo que nos permite aplicar directamente la resta. Según la ley de exponentes, mantenemos el mismo exponente y restamos los coeficientes:
Utilizando la propiedad asociativa de la resta, calculamos \(4.6 - 2.1 = 2.5\). Así, el resultado sería:
\[4.6 \times 10^{24} - 2.1 \times 10^{24} \;=\; (4.6-2.1) \times 10^{24} \;=\; 2.5 \times 10^{24}\]
Multiplicación
Supongamos que deseamos calcular el número total de átomos en una reacción que combina \(3 \times 10^{23}\) moléculas de \(CO_2\) con \(2 \times 10^{22}\) moléculas de \(H_2O\). El problema se puede expresar como:
\[(3 \times 10^{23}) \times (2 \times 10^{22})\]
Dado que la multiplicación es conmutativa, podemos reorganizar los términos y agruparlos para simplificar el cálculo. Así, el problema se puede reformular como: \[ (3 \times 2) \times (10^{23} \times 10^{22}) \]
Primero, multiplicamos los coeficientes de las moléculas \(3 \times 2 = 6\) para obtener el nuevo coeficiente que representa el número total de combinaciones posibles si cada molécula de una especie interactúa con cada molécula de la otra.
Luego multiplicamos las potencias de diez. Usando la ley de exponentes que establece que al multiplicar potencias con la misma base se suman los exponentes, procedemos con \(10^{23} \times 10^{22} = 10^{23+22} = 10^{45}\)
Finalmente, combinamos el coeficiente resultante con la nueva potencia de diez para obtener el resultado final de la operación: \[ (3 \times 10^{23}) \times (2 \times 10^{22})\;=\; (3 \times 2) \times (10^{23} \times 10^{22})\;=\;6 \times 10^{45} \]
De esta forma, el resultado \(15 \times 10^{45}\) corresponde al número total de combinaciones posibles de moléculas de \(CO_2\) y \(H_2O\) en la reacción.
División
Supongamos que deseamos calcular cuántas veces el número total de moléculas de \(H_2O\) cabe en el total de moléculas de \(CO_2\) en una reacción. Si tenemos \(3 \times 10^{23}\) moléculas de \(CO_2\) y \(5 \times 10^{22}\) moléculas de \(H_2O\), el problema se puede expresar como:
\[ \frac{3 \times 10^{23}}{5 \times 10^{22}} \]
Dado que la división también permite la reorganización de términos, podemos simplificar el cálculo al reagrupar los coeficientes y las potencias de diez por separado. Así, el problema se reformula como:
\[ \left(\frac{3}{5}\right) \times \left(\frac{10^{23}}{10^{22}}\right) \]
Entonces, dividimos los coeficientes de las moléculas \(3 \div 5\), lo que da como resultado \(0.6\).
Ademas, aplicamos la ley de exponentes para la división, que establece que al dividir potencias con la misma base, se restan los exponentes: \(\frac{10^{23}}{10^{22}}\;=\; 10^{23-22} \;=\; 10^1 \;=\; 10\)
Finalmente, combinamos el coeficiente resultante con la potencia de diez para obtener el resultado final de la operación:
\[ \frac{3 \times 10^{23}}{5 \times 10^{22}} \;=\;\left(\frac{3}{5}\right) \times \left(\frac{10^{23}}{10^{22}}\right)\;=\; \frac{3}{5} \times 10^1 \;=\; 0.6 \times 10 \;=\; 6 \] Esto significa que hay 6 veces más moléculas de \(CO_2\) que moléculas de \(H_2O\) en la reacción.
7.1 Ejercicios en clase
Problema 1. Convierte 003450000000 a notación científica.
Para convertir el número a notación científica, primero identificamos de izquierda a derecha el primer dígito distinto de cero, que en este caso es el 3. Esto nos indica que el número con el que trabajaremos es 3450000000.
En notación científica, el formato requiere un único dígito entre 1 y 9 antes del punto decimal, seguido de los demás dígitos significativos hasta el primer cero no significativo. Por lo tanto, el número 3450000000 se reorganiza como 3.45.
A continuación, contamos cuántos lugares se ha movido el punto decimal desde su posición original, que estaría al final del número entero, hasta su nueva posición después del primer dígito 3. Aquí, el punto decimal se ha desplazado 9 posiciones hacia la izquierda. Esto se representa en notación científica como:
\[ 3.\;\underbrace{450000000}_{\text{9 posiciones}}\;\rightarrow\;3.45\times 10^{9} \]
Problema 2. Resuelve \((3\times 10^{-8})\times(2\times 10^{-6})\)
Primero reorganizamos la expresión para multiplicar los coeficientes y luego las potencias de diez. Esta operación es directa porque la notación científica permite separar la multiplicación en dos partes más simples: los coeficientes y las potencias.
\[ \underbrace{(3\times 10^{-8})\times(2\times 10^{-6})}_{\text{forma original}}\;=\;\underbrace{\underbrace{(3\times2)}_{\text{coeficientes}}\underbrace{(10^{-8}\times10^{-6}}_{\text{bases}})}_{\text{reorganizamos}}\;=\;(6)\underbrace{(10^{-8-6})}_{\text{leyes de los}\\\text{exponentes}}\;=\;6\times10^{-14} \]
Problema 3. Calcula \(\frac{\left(4 \times 10^3\right)}{\left(2 \times 10^{-2}\right)}\)
Reorganizamos la expresión para dividir primero los coeficientes y luego las potencias de diez aprovechando que tenemos la misma base:
\[ \underbrace{\frac{\left(4 \times 10^3\right)}{\left(2 \times 10^{-2}\right)}}_{\text{forma original}} \;=\; \underbrace{\underbrace{\left(\frac{4}{2}\right)}_{\text{coeficientes}} \underbrace{\left(\frac{10^3}{10^{-2}}\right)}_{\text{bases}}}_{\text{reorganizamos}} \;=\; (2) \underbrace{\left(10^{3-(-2)}\right)}_{\text{leyes de los}\\\text{exponentes}}\;=\; (2) \underbrace{\left(10^{3+2}\right)}_{\text{leyes de los}\\\text{signos}} \;=\; 2 \times 10^5 \]
Problema 4. ¿Cuál es el resultado de: \(12 \times (2.3 \times 10^8)\) ?
El proceso sigue la misma lógica de separación entre coeficientes y potencias de diez.
\[ \underbrace{12 \times \left(2.3 \times 10^8\right)}_{\text{forma original}} \;=\; \underbrace{\underbrace{(12 \times 2.3)}_{\text{coeficientes}} \times \underbrace{10^8}_{\text{base}}}_{\text{reorganizamos}}\;=\;27.6 \times 10^8 \]
Sin embargo, el número \(27\) que corresponde a la base debería ser un solo dígito entre 1 y 9. Por lo tanto, podemos recorrer el punto decimal a la izquierda para tener un sólo dígito y agregar un exponente, por lo que tendríamos:
\[ 27.6 \times 10^8\;=\;2.76 \times 10^{8+1}\;=\;2.76 \times 10^{9} \]
Problema 5. Si tengo 3 mol y lo divido entre 2, ¿cuál es el resultado?
Para llevar a cabo el proceso de sumar las partículas de 3 moles y luego dividir entre 2, considerando el número de Avogadro \(6.022 \times 10^{23}\) partículas por mol. Entonces, primero multiplicamos el número de moles por el número de Avogadro para obtener el total de partículas en 3 moles:
\[ 3 \times (6.022 \times 10^{23}) = 18.066 \times 10^{23} \] Luego, dividimos el total de partículas obtenidas por 2:
\[ \frac{18.066 \times 10^{23}}{2} = \underbrace{\frac{18.066}{2}}_{\text{solo afecta}\\\text{al coeficiente}} \times 10^{23}=9.033 \times 10^{23} \]
8 Unidades métricas
Nuestro mundo se rige por ciertas reglas físicas que a menudo medimos y expresamos a través de unidades. El Sistema Internacional de Unidades (SI) define siete unidades básicas, las cuales son dimensiones fundamentales e independientes que nos permiten examinar el mundo físico. Estas unidades son:
| Medición | Medida |
|---|---|
| Longitud | metro (m) |
| Masa | kilogramo (kg) |
| Tiempo | segundo (s) |
| Intensidad de corriente eléctrica | amperio (A) |
| Temperatura | kelvin (K) |
| Cantidad de sustancia | mol (mol) |
| Intensidad luminosa | candela (cd) |
A partir de estas unidades básicas, se generan todas las demás
unidades utilizadas para medir diferentes magnitudes físicas. Tomemos,
por ejemplo, el Newton, la unidad de fuerza. Esta se define
utilizando las unidades básicas en la fórmula \(kg·m·s^{-2}\), lo cual representa una
combinación de masa (\(kg\)), longitud
(\(m\)) y tiempo(\(s\)). Este tipo de mediciones que combinan
dos o más unidades básicas se denominan
unidades derivadas.
Para interactuar con las unidades derivadas es necesario hacer uso de
lo que se conoce como análisis dimensional. Este método nos
ayuda a entender cómo las diferentes unidades se relacionan entre sí, la
idea central es bastante sencilla: si estamos trabajando con una
fórmula, todas las partes de esa ecuación deben tener el mismo tipo de
unidades para que tenga sentido.
¿Para qué sirve el análisis dimensional?
Ayuda a asegurarnos que las fórmulas que usas son correctas en términos de unidades. Si las unidades no coinciden a ambos lados de la ecuación, probablemente haya un error. Veamos los siguientes ejemplos:
8.1 Ejercicios
Ejemplo 1. Convertir 4 km a metros
Para resolver este ejercicio, el primer paso consiste en identificar la equivalencia correcta. Sabemos que 1 kilómetro equivale a 1000 metros. Por lo tanto, aplicamos el factor de conversión de la siguiente manera:
\[ \text{4 km}\times \underbrace{\frac{1\;000 \text{ m}}{1 \text{ km}}}_{\text{factor de}\\\text{conversión}} \;=\; \underbrace{\text{4 } \cancel{km} \times\frac{1\;000 \text{ m}}{1 \cancel{ km}}}_{\text{cancelamos km}}\;=\; 4\times(1\;000 \text{ m})\;=\;4\;000 \text{ m} \]
Ejemplo 2: Convertir 5 atmósferas a pascales.
En este ejercicio, transformaremos la presión de atmósferas a pascales, utilizando las equivalencias apropiadas. Sabemos que 1 atmósfera equivale a aproximadamente 101325 pascales. Por lo tanto, aplicamos este factor de conversión para obtener el valor en pascales:
\[ 5 \text{ atm} \times \underbrace{\frac{101\;325 \text{ Pa}}{1 \text{ atm}}}_{\text{factor de conversión}} = \underbrace{5 \cancel{\text{ atm}} \times \frac{101\;325 \text{ Pa}}{1 \cancel{\text{ atm}}}}_{\text{cancelamos atm}} = 506\;625 \text{ Pa} \]
Ejemplo 3: Convertir 40 km/h a metros por segundo.
Para abordar este ejercicio, comenzamos por establecer la equivalencia entre kilómetros y metros, así como entre horas y segundos. Sabemos que 1 kilómetro equivale a 1000 metros y que 1 hora equivale a 3600 segundos. Por lo tanto, utilizaremos estos factores de conversión para cambiar las unidades de \(\text{km/h}\) a \(\text{m/s}\).
\[ \frac{40\text{ km}}{\text{h}}\times \underbrace{\frac{1\;000 \text{ m}}{1 \text{ km}} \times \frac{1 \text{ h}}{3\;600 \text{ s}}}_{\text{factores de}\\\text{conversión}}=\underbrace{\frac{40\cancel{ km}}{\cancel{h}}\times \frac{1\;000 \text{ m}}{1 \cancel{\text{ km}}} \times \frac{1 \cancel{\text{ h}}}{3\;600 \text{ s}}}_{\text{cancelamos km y h }} = \frac{40\;000 \text{ m}}{3\;600 \text{ s}} \approx 11.11 \text{ m/s} \]
Ejemplo 4: Convertir 72 kilowatts-hora a julios.
Para resolver este ejercicio, es fundamental comprender la relación entre kilowatts-hora, una unidad común de energía en el contexto de la electricidad, y julios, la unidad del Sistema Internacional para la energía. Sabemos que 1 kilowatt-hora es equivalente a 3,600,000 julios (exactamente \(1 \text{ kWh} = 3.6 \times 10^6 \text{ J}\)). Utilizando esta equivalencia, podemos realizar la conversión:
\[ 72 \text{ kWh} \times \underbrace{\frac{3\;600\;000 \text{ J}}{1 \text{ kWh}}}_{\text{factor de conversión}} \;=\; \underbrace{72 \cancel{\text{ kWh}} \times \frac{3\;600\;000 \text{ J}}{1 \cancel{\text{ kWh}}}}_{\text{cancelamos kWh}} \;=\; 259\;200\;000 \text{ J}\;=\;2.592\times10^8\;J \]
8.2 Tabla de conversiones
La siguiente es una lista de las unidades más comunes que son utilizadas en diversos campos de la investigación científica.
| De la unidad | A la unidad | Factor de conversión |
|---|---|---|
| Kilómetros | Metros | 1 km = 1000 m |
| Gramos | Kilogramos | 1000 g = 1 kg |
| Horas | Segundos | 1 h = 3600 s |
| Megajoules | Joules | 1 MJ = 1,000,000 J |
| Kilowatt-hora | Joules | 1 kWh = 3.6 × 106 J |
| Centímetros cúbicos | Metros cúbicos | 1,000,000 cm³ = 1 m³ |
| Electronvoltios | Joules | 1 eV = 1.60218 × 10-19 J |
| Pascales | Atmósferas | 101325 Pa = 1 atm |
| Pies | Metros | 1 pie = 0.3048 m |
| Pulgadas | Centímetros | 1 in = 2.54 cm |
| Millas | Kilómetros | 1 mi = 1.60934 km |
| Toneladas | Kilogramos | 1 ton = 1000 kg |
| Libras | Kilogramos | 1 lb = 0.453592 kg |
| Galones (US) | Litros | 1 gal = 3.78541 L |
| Fahrenheit | Celsius | C = (F - 32) × 5/9 |
| Celsius | Kelvin | K = C + 273.15 |
| Mililitros | Litros | 1000 ml = 1 L |
| Acres | Metros cuadrados | 1 acre = 4046.86 m² |
| Hectáreas | Metros cuadrados | 1 ha = 10,000 m² |
9. Vectores
Un vector se define como una colección ordenada de datos, lo que resulta fundamental para analizar fenómenos en matemáticas y física. Estos vectores pueden representarse a través de un sistema cartesiano rectangular (plano \(x\; y\)) o mediante un sistema de coordenadas polares, todo depende de las exigencias específicas de cada disciplina.
9.1 Sistema cartesiano
En matemáticas, es común representar un vector con una notación específica que utiliza una letra en negrita con una flecha sobre ella, como \(\vec{\mathbf{v}}\). Cada componente del vector se denota usando la misma letra seguida de un subíndice, que indica su posición. Por ejemplo, para un vector bidimensional \(\vec{\mathbf{v}}\), lo expresamos de la siguiente manera: \(\vec{\mathbf{v}} = (v_1, v_2)\). Si \(v_1 = 2\) y \(v_2 = 3\), entonces el vector se representa como \(\vec{\mathbf{v}} = (2, 3)\).
Visualmente, los vectores pueden ser representados en un plano. Tomemos como ejemplo el vector anterior: su representación gráfica en el plano \(xy\) sería la siguiente:
Los vectores son estructuras fundamentales en matemáticas, constituidos por conjuntos ordenados de datos que facilitan la ejecución de diversas operaciones matemáticas. Entre las operaciones más frecuentes se encuentran la suma, la resta y la multiplicación por escalares. Al sumar o restar vectores, los cálculos se realizan componente a componente. En cuanto a la multiplicación por un escalar, cada elemento del vector se multiplica de manera individual por el valor del escalar. Estas operaciones son esenciales para manipular y analizar vectores en diversos contextos matemáticos.
Si tenemos los vectores \(\vec{\mathbf{e}}=(-2,3,1)\) y \(\vec{\mathbf{w}}=(2,-4,4)\), entonces podemos calcular:
\(2\;\vec{\mathbf{e}}+\vec{\mathbf{w}}\)
\[ 2\;(-2,3,1)+(2,-4,4)\;=\;\underbrace{(-4,6,2)}_{\text{multiplico el}\\\text{vector por 2}}+(2,-4,4)\;=\;\underbrace{(-4+2,6-4,2+4)}_{\text{sumo entrada a entrada}}\;=\;(-2,2,6) \]
\(\vec{\mathbf{e}}-\vec{\mathbf{w}}\)
\[ \vec{\mathbf{e}}-\vec{\mathbf{w}}\;=\;(-2,3,1)-(2,-4,4)\;=\;\underbrace{(-2-2,3+4,1-4)}_{\text{aplico leyes de los signos}\\\text{y resto entrada a entrada}}\;=\;(-4,7,3) \]
\(-\frac{1}{2}\vec{\mathbf{e}}-3\;\vec{\mathbf{w}}\)
\[ -\frac{1}{2}(-2,3,1)-3\;(2,-4,4)=\left(1,-\frac{3}{2},-\frac{1}{2}\right)-(6,-12,12)\;=\;\left(1-6,-\frac{3}{2}-12,-\frac{1}{2}+12\right)\;=\; \left(-5,-\frac{27}{2},\frac{23}{2}\right) \]
9.2 Sistema polar
Si bien un punto en el plano cartesiano puede describirse mediante
sus coordenadas \(x\) y \(y\), el sistema de coordenadas polares
ofrece una alternativa valiosa para representar vectores. En este
sistema, se designa una línea como el eje polar y un punto
fijo como el polo. Desde el polo, se traza una línea hasta
un punto determinado en el espacio, denominada vector.
En las coordenadas polares, el radio vector, comúnmente
representado por \(r\), indica la
longitud de la flecha y refleja la magnitud o módulo del vector. La
dirección del vector, o ángulo polar, denota la inclinación del vector
respecto a un eje de referencia, y se representa habitualmente por la
letra griega \(\theta\). Por lo tanto,
un punto \(P\) en este sistema se
expresa como \(P=(r, \;\theta)\),
proporcionando una representación gráfica clara y precisa del punto en
relación con el polo y el eje polar.
Podemos usar indistintamente las coordenadas polares o el sistema cartesiano, pero con frecuencia es necesario pasar de un sistema a otro. Las fórmulas para realizar esta transición son:
\[ x=r\;cos(\theta)\\ y=r\;sen(\theta) \]
Aquí, \(r\) es la magnitud del vector y \(\theta\) es el ángulo que forma con el eje positivo \(x\), medido en radianes o grados.
Gráficamente, lo que tenemos es lo siguiente:
Para comprender cómo pasar de coordenadas polares a cartesianas y viceversa, empecemos con un ejemplo claro. Consideremos un punto \(P\) cuyas coordenadas polares son \(P=(-2,135^\circ)\). Aquí, el primer componente, \(-2\), indica una magnitud negativa y el segundo componente, \(135^\circ\), el ángulo en relación con el eje positivo de las \(x\). Esto significa que el vector apunta en la dirección de 135 grados desde el origen pero con una magnitud de 2 en sentido contrario.
Para convertir estas coordenadas polares en cartesianas, usamos las siguientes fórmulas:
\[ x = r \cos(\theta) = -2 \cos(135^\circ) = (-2) \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2}\\ y = r \sin(\theta) = -2 \sin(135^\circ) = (-2) \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\sqrt{2} \]
Así, el punto en coordenadas polares \(P=(-2,135^\circ)\) se traduce a coordenadas cartesianas como \(P=(\sqrt{2}, -\sqrt{2})\).
Ahora, consideremos el caso contrario: convertir de coordenadas cartesianas a polares. Supongamos que tenemos un punto \(Q\) con coordenadas cartesianas \((-3,-2)\). Para pasar a coordenadas polares, utilizamos:
\[ r = \pm\sqrt{x^2 + y^2} = \pm\sqrt{(-3)^2 + (-2)^2} = \pm\sqrt{13} \approx \pm3.6\\ \theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) = \arctan\left(\frac{-2}{-3}\right) = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) \approx 0.58 \text{ radianes} \]
Finalmente, consideremos un ejercicio práctico. Imaginemos que un carro se desplaza a \(30 \, km/h\) formando un ángulo de \(45^\circ\) respecto al punto de origen. Para encontrar los componentes del vector de velocidad en el plano cartesiano, aplicamos:
\[ x = r \cos(\theta) = 30 \cos(45^\circ) = 21.21\\ y = r \sin(\theta) = 30 \sin(45^\circ) = 21.21 \]
9.3 De radianes a grados y viceversa
Cambiar de radianes a grados es una tarea común en matemáticas y física, ya que cada sistema se adapta mejor a diferentes situaciones. Para pasar de radianes a grados, usamos la siguiente fórmula:
\[ \text{Grados} = \text{Radianes} \times \left(\frac{180^\circ}{\pi}\right) \]
Gráficamente, la equivalencia es la siguiente:
Por ejemplo, para convertir \(1\) radian a grados, calculamos:
\[ 1 \times \left(\frac{180^\circ}{\pi}\right) \approx 57.2958^\circ \]
En el caso contrario, para convertir grados a radianes, utilizamos:
\[ \text{Radianes} = \text{Grados} \times \left(\frac{\pi}{180^\circ}\right) \]
Así, \(45^\circ\) convertido a radianes sería:
\[ 45 \times \left(\frac{\pi}{180^\circ}\right) = \frac{\pi}{4} \text{ radianes} \]
9.4 Ángulos y el Teorema de Pitágoras
El Teorema de Pitágoras es un pilar fundamental en geometría y se utiliza ampliamente para resolver problemas relacionados con triángulos rectángulos. El teorema establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa \(c\) es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados \(a\) y \(b\):
\[ c^2 = a^2 + b^2 \]
Este teorema también es útil para calcular ángulos en triángulos rectángulos usando las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente. Por ejemplo, el ángulo \(\theta\) entre la hipotenusa y uno de los lados puede encontrarse mediante:
\[ \cos(\theta) = \frac{a}{c}\qquad \quad \sin(\theta) = \frac{b}{c}\qquad \quad \tan(\theta) = \frac{b}{a} \]
Si conocemos dos lados de un triángulo rectángulo, podemos calcular el ángulo usando la función arco tangente:
\[ \theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) \]
Estas fórmulas no solo nos permiten resolver triángulos sino también entender mejor la relación entre los ángulos y las longitudes en geometría euclidiana.