Definición
Un sistema de ecuaciones es un grupo de dos o más ecuaciones que involucran las mismas incógnitas. El objetivo principal al resolverlos es encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen simultáneamente a todas las ecuaciones del sistema.
Un sistema de ecuaciones lineales con \(\textcolor{blue}{n}\) incógnitas denominadas \(\textcolor{blue}{x_1, x_2, \ldots, x_n }\) puede escribirse de la siguiente manera
Donde:
Ejemplo 1
Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Ejemplo 2
Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
¡Importante!
Un sistema de ecuaciones de \(2\times 2\) puede ser resuelto mediante el uso de alguno de los siguientes métodos:
Reducción.
Igualación.
Sustitución.
Determinante.
Gráfico.
Geogebra.
Definición
La resolución de un sistema de ecuaciones por el método de reducción (también conocido como método de eliminación) consiste en:
Paso 1: Seleccionar una de las incógnitas a eliminar. Luego, calcular el mínimo común múltiplo (MCM) entre los coeficientes de la incógnita a eliminar y amplificar cada ecuación por la cantidad que corresponda según el valor del MCM, de tal manera que dichos coeficientes tengan la misma magnitud y signos opuestos.
Paso 2: Sumar entre sí las ecuaciones resultantes del paso anterior, lo que permitirá eliminar la incógnita seleccionada y lograr una ecuación con una sola incógnita.
Paso 3: Resolver la ecuación resultante del paso anterior, lo que permitirá determinar el valor de una de las incógnitas.
Paso 4: Sustituir la solución del paso anterior en una de las ecuaciones originales, lo que permitirá determinar el valor de la incógnita faltante.
Ejemplo 1
Resolver
\[\begin{cases} 2x + 5y &=& 17 & \text{(Ec. 1)} \\ 3x - 2y &=& 16 & \text{(Ec. 2)} \end{cases}\]Paso 1: Elegir la incógnita a eliminar, en nuestro caso es \(x\). Luego, calcular el mínimo común múltiplo (MCM) entre los coeficientes de la incógnita a eliminar y amplificar cada ecuación por la cantidad que corresponda según el valor del MCM, de tal manera que dichos coeficientes tengan la misma magnitud y signos opuestos.
\[\begin{cases} 2\textcolor{blue}{x} + 5y &=& 17 &\textcolor{blue}{/\cdot \phantom{-}3} & \text{(Ec. 1)} \\ 3\textcolor{blue}{x} - 2y &=& 16 &\textcolor{blue}{/\cdot -2}& \text{(Ec. 2)} \end{cases}\]Calculo 1: Mínimo común múltiplo de los coeficientes de \(x\).
| \(2\) | \(3\) | \(MCM\) |
| \(\cancel{1}\) | \(3\) | \(2\) |
| \(\cancel{1}\) | \(3\) |
Paso 2: Sumar entre sí las ecuaciones resultantes del paso anterior, lo que permitirá eliminar la incógnita seleccionada y lograr una ecuación con una sola incógnita.
\[\begin{array}{rcl} \phantom{-}6x + 15y &=& \phantom{-}51 & \text{(Ec. 1)} \\ -6x +\phantom{1}4y &=& -32 & \text{(Ec. 2)}\\ \hline \phantom{-}0+19y &=& \phantom{-}19 & \end{array}\]Paso 3: Resolver la ecuación resultante del paso anterior, lo que permitirá determinar el valor de una de las incógnitas.
\(\Rightarrow\) \(19y=19\)
\(\Rightarrow\) \(y=\dfrac{19}{19}\)
\(\Rightarrow\) \(y=1\)
Paso 4: Sustituir la solución del paso anterior en una de las ecuaciones originales, lo que permitirá determinar el valor de la incógnita faltante.
\(\Rightarrow\) \(2x+5y = 17\) (Ec. 1)
\(\Rightarrow\) \(2x+5\cdot 1=17\)
\(\Rightarrow\) \(2x+5=17\)
\(\Rightarrow\) \(2x=17-5\)
\(\Rightarrow\) \(2x=12\)
\(\Rightarrow\) \(x=\dfrac{12}{2}\)
\(\Rightarrow\) \(x=6\)
Conclusión.
Las soluciones del sistema de ecuaciones corresponden a \(x=6\) e \(y=1\)
Ejemplo 2
Resolver
\[\begin{cases} 4m + 2p &=& 24 & \text{(Ec. 1)} \\ 2m -5p &=& \phantom{8}0 & \text{(Ec. 2)} \end{cases}\]Paso 1: Elegir la incógnita a eliminar, en nuestro caso es \(y\). Luego, calcular el mínimo común múltiplo (MCM) entre los coeficientes de la incógnita a eliminar y amplificar cada ecuación por la cantidad que corresponda según el valor del MCM, de tal manera que dichos coeficientes tengan la misma magnitud y signos opuestos.
\[\begin{cases} 4m + 2\textcolor{blue}{p} &=& 24 &\textcolor{blue}{/\cdot 5}& \text{(Ec. 1)} \\ 2m -5\textcolor{blue}{p} &=& \phantom{8}0 &\textcolor{blue}{/\cdot 2} & \text{(Ec. 2)} \end{cases}\]Calculo 1: Mínimo común múltiplo de los coeficientes de \(p\).
| \(2\) | \(5\) | \(MCM\) |
| \(\cancel{1}\) | \(5\) | \(2\) |
| \(\cancel{1}\) | \(5\) |
Paso 2: Sumar entre sí las ecuaciones resultantes del paso anterior, lo que permitirá eliminar la incógnita seleccionada y lograr una ecuación con una sola incógnita.
\[\begin{array}{rcl} 20m + 10p &=& 120 & \text{(Ec. 1)} \\ \phantom{2}4m -10p &=& \phantom{14}0 & \text{(Ec. 2)}\\ \hline 24m+\phantom{1p}0 &=& 120 & \end{array}\]Paso 3: Resolver la ecuación resultante del paso anterior, lo que permitirá determinar el valor de una de las incógnitas.
\(\Rightarrow\) \(24m=120\)
\(\Rightarrow\) \(m=\dfrac{120}{24}\)
\(\Rightarrow\) \(m=5\)
Paso 4: Sustituir la solución del paso anterior en una de las ecuaciones originales, lo que permitirá determinar el valor de la incógnita faltante.
\(\Rightarrow\) \(4m+2p = 24\) (Ec. 1)
\(\Rightarrow\) \(4\cdot 5+2p=24\)
\(\Rightarrow\) \(20+2p=24\)
\(\Rightarrow\) \(2p=24-20\)
\(\Rightarrow\) \(2p=4\)
\(\Rightarrow\) \(p=\dfrac{4}{2}\)
\(\Rightarrow\) \(p=2\)
Conclusión.
Las soluciones del sistema de ecuaciones corresponden a \(m=5\); \(p=2\)
Definición
La resolución de un sistema de ecuaciones por el método de igualación consiste en:
Paso 1: Despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones.
Paso 2: Igualar entre sí los resultados encontrados en el paso anterior y resolver.
Paso 3: Sustituir la solución del paso anterior en una de las ecuaciones originales, lo que permitirá determinar el valor de la incógnita faltante.
Ejemplo 1
Resolver
\[\begin{cases} 2x + 3y &=& \phantom{-}4 & \text{(Ec. 1)} \\ \phantom{2}x -2y &=& -5 & \text{(Ec. 2)} \end{cases}\]Paso 1: Despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones. En nuestro caso es \(x\).
\[\begin{cases} 2\textcolor{blue}{x} + 3y &=& \phantom{-}4 & \text{(Ec. 1)} \\ \phantom{2}\textcolor{blue}{x} -2y &=& -5 & \text{(Ec. 2)} \end{cases}\]Despejando \(x\) desde \(\text{(Ec. 1)}\).
\(\Rightarrow\) \(2x+3y=4\)
\(\Rightarrow\) \(2x=3y+4\)
\(\Rightarrow\) \(x=\dfrac{-3y+4}{2}\)
Despejando \(x\) desde \(\text{(Ec. 2)}\).
\(\Rightarrow\) \(x-2y=-5\)
\(\Rightarrow\) \(x=2y-5\)
Paso 2: Igualar entre sí los resultados encontrados en el paso anterior y resolver.
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{-3y+4}{2}=2y-5\)
\(\Rightarrow\) \(-3y+4=2(2y-5)\)
\(\Rightarrow\) \(-3y+4=4y-10\)
\(\Rightarrow\) \(-3y-4y=-10-4\)
\(\Rightarrow\) \(-7y=-14\) \(\textcolor{red}{/\cdot -1}\)
\(\Rightarrow\) \(7y=14\)
\(\Rightarrow\) \(y=\dfrac{14}{7}\)
\(\Rightarrow\) \(y=2\)
Paso 3: Sustituir la solución del paso anterior en una de las ecuaciones originales despejadas, lo que permitirá determinar el valor de la incógnita faltante.
Reemplazando \(y=2\) en \(\text{(Ec. 2)}\).
\(\Rightarrow\) \(x=2y-5\)
\(\Rightarrow\) \(x=2\cdot 2-5\)
\(\Rightarrow\) \(x=4-5\)
\(\Rightarrow\) \(x=-1\)
Conclusión.
Las soluciones del sistema de ecuaciones corresponden a \(x=-1\) e \(y=2\)
Ejemplo 2
Resolver
\[\begin{cases} 3m -2p &=& -6 & \text{(Ec. 1)} \\ 5m +4p &=& \phantom{-}8 & \text{(Ec. 2)} \end{cases}\]Paso 1: Despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones. En nuestro caso es \(p\).
\[\begin{cases} 3m -2\textcolor{blue}{p} &=& -6 & \text{(Ec. 1)} \\ 5m +4\textcolor{blue}{p} &=& \phantom{-}8 & \text{(Ec. 2)} \end{cases}\]Despejando \(p\) desde \(\text{(Ec. 1)}\).
\(\Rightarrow\) \(3m-2p=-6\)
\(\Rightarrow\) \(-2p=-3m-6\) \(\textcolor{red}{/\cdot -1}\)
\(\Rightarrow\) \(2p=3m+6\)
\(\Rightarrow\) \(p=\dfrac{3m+6}{2}\)
Despejando \(p\) desde \(\text{(Ec. 2)}\).
\(\Rightarrow\) \(5m+4p=8\)
\(\Rightarrow\) \(4p=-5m+8\)
\(\Rightarrow\) \(p=\dfrac{-5m+8}{4}\)
Paso 2: Igualar entre sí los resultados encontrados en el paso anterior y resolver.
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{3m+6}{2}=\dfrac{-5m+8}{4}\)
\(\Rightarrow\) \(4(3m+6)=2(-5m+8)\)
\(\Rightarrow\) \(12m+24=-10m+16\)
\(\Rightarrow\) \(12m+10m=16-24\)
\(\Rightarrow\) \(22m=-8\)
\(\Rightarrow\) \(m=-\dfrac{8}{22}\bigg|_{2}\)
\(\Rightarrow\) \(m=-\dfrac{4}{11}\)
Paso 3: Sustituir la solución del paso anterior en una de las ecuaciones originales despejadas, lo que permitirá determinar el valor de la incógnita faltante.
Reemplazando \(m=-\dfrac{4}{11}\) en \(\text{(Ec. 2)}\).
\(\Rightarrow\) \(p=\dfrac{-5m+8}{4}\)
\(\Rightarrow\) \(p=\dfrac{-5\cdot -\dfrac{4}{11}+8}{4}\)
\(\Rightarrow\) \(p=\dfrac{ \dfrac{20}{11}+8}{4}\)
\(\Rightarrow\) \(p=\dfrac{\dfrac{108}{11}}{\dfrac{4}{1}}\)
\(\Rightarrow\) \(p=\dfrac{108}{44}\bigg|_{4}\)
\(\Rightarrow\) \(p=\dfrac{27}{11}\)
Conclusión.
Las soluciones del sistema de ecuaciones corresponden a \(m=-\dfrac{4}{11}\) ; \(p=\dfrac{27}{11}\)
Definición
La resolución de un sistema de ecuaciones por el método de sustitución consiste en:
Paso 1: Despejar una incógnita desde una de las ecuaciones.
Paso 2: Reemplazar el resultado anterior en la ecuación hasta ahora no considerada y resolver.
Paso 3: Sustituir la solución del paso anterior en una de las ecuaciones originales, lo que permitirá determinar el valor de la incógnita faltante.
Ejemplo 1
Resolver
\[\begin{cases} -5x + 2y &=& -10 & \text{(Ec. 1)} \\ \phantom{-5}x + 4y &=& \phantom{-1}2 & \text{(Ec. 2)} \end{cases}\]Paso 1: Despejar una incógnita desde una de las ecuaciones. En nuestro caso es \(x\) desde \((Ec. 1)\)
\[\begin{cases} -5\textcolor{blue}{x} + 2y &=& -10 & \text{(Ec. 1)} \\ \phantom{-5}\textcolor{blue}{x} + 4y &=& \phantom{-1}2 & \text{(Ec. 2)} \end{cases}\]Despejando \(x\) desde \(\text{(Ec. 1)}\).
\(\Rightarrow\) \(-5x+2y=-10\) \(\textcolor{red}{/\cdot -1}\)
\(\Rightarrow\) \(5x-2y=10\)
\(\Rightarrow\) \(5x=2y+10\)
\(\Rightarrow\) \(x=\dfrac{2y+10}{5}\)
Paso 2: Reemplazar el resultado anterior en la ecuación hasta ahora no considerada y resolver.
Reemplazando \(x=\dfrac{2y+10}{5}\) en \(\text{(Ec. 2)}\).
\(\Rightarrow\) \(x+4y=2\)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{2y+10}{5}+4y=2\) \(\textcolor{red}{/\cdot 5}\)
\(\Rightarrow\) \(\textcolor{red}{\cancel{5}}\cdot \dfrac{2y+10}{\cancel{5}}+\textcolor{red}{5}\cdot 4y=\textcolor{red}{5}\cdot 2\)
\(\Rightarrow\) \(2y+10+20y=10\)
\(\Rightarrow\) \(2y+20y=10-10\)
\(\Rightarrow\) \(22y=0\)
\(\Rightarrow\) \(y=\dfrac{0}{22}\)
\(\Rightarrow\) \(y=0\)
Paso 3: Sustituir la solución del paso anterior en una de las ecuaciones originales despejadas, lo que permitirá determinar el valor de la incógnita faltante.
Reemplazando \(y=0\) en \(\text{(Ec. 2)}\).
\(\Rightarrow\) \(x+4y=2\)
\(\Rightarrow\) \(x+4\cdot 1=2\)
\(\Rightarrow\) \(x+4=2\)
\(\Rightarrow\) \(x=2-4\)
\(\Rightarrow\) \(x=-2\)
Conclusión.
Las soluciones del sistema de ecuaciones corresponden a \(x=-2\) e \(y=0\)
Ejemplo 2
Resolver
\[\begin{cases} 7m + p &=& 75 & \text{(Ec. 1)} \\ 2m - p &=& 15 & \text{(Ec. 2)} \end{cases}\]Paso 1: Despejar una incógnita desde una de las ecuaciones. En nuestro caso es \(p\) desde \((Ec. 1)\)
\[\begin{cases} 7m + \textcolor{blue}{p} &=& 75 & \text{(Ec. 1)} \\ 2m - \textcolor{blue}{p} &=& 15 & \text{(Ec. 2)} \end{cases}\]Despejando \(p\) desde \(\text{(Ec. 1)}\).
\(\Rightarrow\) \(7m+p=75\)
\(\Rightarrow\) \(7m=-p+75\)
\(\Rightarrow\) \(m=\dfrac{-p+75}{7}\)
Paso 2: Reemplazar el resultado anterior en la ecuación hasta ahora no considerada y resolver.
Reemplazando \(m=\dfrac{-p+75}{7}\) en \(\text{(Ec. 2)}\).
\(\Rightarrow\) \(2m-p=15\)
\(\Rightarrow\) \(2\cdot \dfrac{-p+75}{7}-p=15\) \(\textcolor{red}{/\cdot 7}\)
\(\Rightarrow\) \(\textcolor{red}{\cancel{7}}\cdot 2\cdot \dfrac{-p+75}{\cancel{7}}-\textcolor{red}{7}\cdot p=\textcolor{red}{7}\cdot 15\)
\(\Rightarrow\) \(2(-p+75)-7p=105\)
\(\Rightarrow\) \(-2p+150-7p=105\)
\(\Rightarrow\) \(-2p-7p=105-150\)
\(\Rightarrow\) \(-9p=-45\) \(\textcolor{red}{/\cdot -1}\)
\(\Rightarrow\) \(9p=45\)
\(\Rightarrow\) \(p=\dfrac{45}{9}\)
\(\Rightarrow\) \(p=5\)
Paso 3: Sustituir la solución del paso anterior en una de las ecuaciones originales despejadas, lo que permitirá determinar el valor de la incógnita faltante.
Reemplazando \(p=5\) en \(\text{(Ec. 2)}\).
\(\Rightarrow\) \(2m-p=15\)
\(\Rightarrow\) \(2m-5=15\)
\(\Rightarrow\) \(2m=15+5\)
\(\Rightarrow\) \(2m=20\)
\(\Rightarrow\) \(m=\dfrac{20}{2}\)
\(\Rightarrow\) \(m=10\)
Conclusión.
Las soluciones del sistema de ecuaciones corresponden a \(m=10\) e \(p=5\)
Propiedad
Dado un sistema de ecuaciones de \(2\times 2\) como el que se muestra a continuación.
Las soluciones de un sistema de ecuaciones por el método del determinante se obtienen mendiante la aplicación de las siguientes expresiones:
\[ \begin{aligned} x_1 &= \frac{ \left| \begin{array}{rr} r_1 & b_1 \\ r_2 & b_2 \end{array} \right| }{ \left| \begin{array}{rr} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{array} \right| } \\ \\ &= \dfrac{r_1\cdot b_2-b_1 \cdot r_2}{a_1\cdot b_2-b_1 \cdot a_2} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} x_2 &= \frac{ \left| \begin{array}{rr} a_1 & r_1 \\ a_2 & r_2 \end{array} \right| }{ \left| \begin{array}{rr} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{array} \right| } \\ \\ &= \dfrac{a_1 \cdot r_2 - r_1 \cdot a_2}{a_1 \cdot b_2 - b_1 \cdot a_2} \end{aligned} \]
Ejemplo 1
Resolver
\[\begin{cases} -8x + y &=& 13 & \text{(Ec. 1)} \\ \phantom{-8}x -y &=& -1 & \text{(Ec. 2)} \end{cases}\]Paso 1: Calcular la primera incógnita.
\[ \begin{flalign*} \hspace{0pt}\Rightarrow x &= \frac{ \left| \begin{array}{rr} 13 & 1 \\ -1 & -1 \end{array} \right| }{ \left| \begin{array}{rr} -8 & 1 \\ 1 & -1 \end{array} \right| } && \\ \\ \Rightarrow \phantom{x}&= \dfrac{(13\cdot -1)\textcolor{red}{-}(1\cdot -1)}{(-8\cdot -1)\textcolor{red}{-}(1\cdot 1)} && \\ \\ \Rightarrow \phantom{x}&= -\dfrac{12}{7} && \end{flalign*} \]
Paso 2: Calcular la segunda incógnita.
\[ \begin{flalign*} \hspace{0pt}\Rightarrow y &= \frac{ \left| \begin{array}{rr} -8 & 13 \\ 1 & -1 \end{array} \right| }{ \left| \begin{array}{rr} -8 & 1 \\ 1 & -1 \end{array} \right| } && \\ \\ \Rightarrow \phantom{x}&= \dfrac{(-8\cdot -1)\textcolor{red}{-}(13\cdot 1)}{(-8\cdot -1)\textcolor{red}{-}(1\cdot 1)} && \\ \\ \Rightarrow \phantom{x}&= -\dfrac{5}{7} && \end{flalign*} \]
Conclusión.
Las soluciones del sistema de ecuaciones corresponden a \(x=-\dfrac{12}{7}\) e \(y=-\dfrac{5}{7}\)
Ejemplo 2
Resolver
\[\begin{cases} 2m + 3p &=& 2 & \text{(Ec. 1)} \\ 5m - 4p &=& 3 & \text{(Ec. 2)} \end{cases}\]Paso 2: Calcular la segunda incógnita. \[ \begin{flalign*} \hspace{0pt}\Rightarrow p &= \frac{ \left| \begin{array}{cc} 2 & \phantom{-}2 \\ 5 & \phantom{-}3 \end{array} \right| }{ \left| \begin{array}{cc} 2 & \phantom{-}3 \\ 5 & -4 \end{array} \right| } && \\ \\ \Rightarrow \phantom{p}&= \dfrac{(2\cdot 3)\textcolor{red}{-}(2\cdot 5)}{(2\cdot -4)\textcolor{red}{-}(3\cdot 5)} && \\ \\ \Rightarrow \phantom{p}&= \dfrac{6-10}{-8-15} && \\ \\ \Rightarrow \phantom{p}&= \dfrac{6-10}{-8-15} && \\ \\ \Rightarrow \phantom{p}&= \dfrac{4}{23} && \end{flalign*} \]
Conclusión.
Las soluciones del sistema de ecuaciones corresponden a \(m=\dfrac{17}{23}\) y \(p=\dfrac{4}{23}\)
Definición
Cada ecuación de un sistema de \(2\times 2\) es una función lineal de la forma
\[f(x,y)=ax+by+c\]
Definición
Las funciones lineales de la forma \(\textcolor{blue}{f(x,y)=ax+by+c}\), representan rectas en el plano cartesiano.
Definición
Por dos puntos en el plano cartesiano pasa una única recta.
Definición 1
La resolución de un sistema de ecuaciones por el método gráfico consiste en:
Paso 1: Reemplazar \(x=0\) en la primera función lineal del sistema, lo que permitirá encontrar el primer punto de dicha función.
Paso 2: Reemplazar \(y=0\) en la primera función lineal del sistema, lo que permitirá encontrar el segundo punto de dicha función.
Paso 3: Reemplazar \(x=0\) en la segunda función lineal del sistema, lo que permitirá encontrar el primer punto de dicha función.
Paso 4: Reemplazar \(y=0\) en la segunda función lineal del sistema, lo que permitirá encontrar el segundo punto de dicha función.
Paso 5: Graficar y determinar el punto \((x,y)\) donde se intersecctan, donde las componentes de dicho punto son las soluciones del sistema de ecuaciones.
Ejemplo 2
Resolver
\[\begin{cases} x + y &=& 12 & \text{(Ec. 1)} \\ x - y &=& 8 & \text{(Ec. 2)} \end{cases}\]Paso 1: Reemplazar \(x=0\) en la primera función lineal del sistema, lo que permitirá encontrar el primer punto de dicha función.
Reemplazando \(x=0\) en \(\text{(Ec. 1)}\).
\(\Rightarrow\) \(x+y=12\)
\(\Rightarrow\) \(0+y=12\)
\(\Rightarrow\) \(y=12\)
El primer punto de la primera recta es \((0,12)\)
Paso 2: Reemplazar \(y=0\) en la primera función lineal del sistema, lo que permitirá encontrar el segundo punto de dicha función.
Reemplazando \(y=0\) en \(\text{(Ec. 1)}\).
\(\Rightarrow\) \(x+y=12\)
\(\Rightarrow\) \(x+0=12\)
\(\Rightarrow\) \(x=12\)
El segundo punto de la primera recta es \((12,0)\)
Paso 3: Reemplazar \(x=0\) en la segunda función lineal del sistema, lo que permitirá encontrar el primer punto de dicha función.
Reemplazando \(x=0\) en \(\text{(Ec. 2)}\).
\(\Rightarrow\) \(x-y=8\)
\(\Rightarrow\) \(0-y=8\)
\(\Rightarrow\) \(-y=8\) \(\textcolor{red}{/\cdot{-1}}\)
\(\Rightarrow\) \(y=-8\)
El primer punto de la segunda recta es \((0,-8)\)
Paso 4: Reemplazar \(y=0\) en la segunda función lineal del sistema, lo que permitirá encontrar el segundo punto de dicha función.
Reemplazando \(y=0\) en \(\text{(Ec. 2)}\).
\(\Rightarrow\) \(x-y=8\)
\(\Rightarrow\) \(x-0=8\)
\(\Rightarrow\) \(x=8\)
El segundo punto de la segunda recta es \((8,0)\)
Paso 5: Graficar y determinar el punto \((x,y)\) donde se intersectan, donde las componentes de dicho punto son las soluciones del sistema de ecuaciones.
Conclusión.
Las soluciones del sistema de ecuaciones corresponden a \(x=10\) e \(y=2\)Ejemplo 3
Resolver
\[\begin{cases} 2x + y &=& \phantom{1}8 & \text{(Ec. 1)} \\ 5x + y &=& 17 & \text{(Ec. 2)} \end{cases}\]Paso 1: Reemplazar \(x=0\) en la primera función lineal del sistema, lo que permitirá encontrar el primer punto de dicha función.
Reemplazando \(x=0\) en \(\text{(Ec. 1)}\).
\(\Rightarrow\) \(2x+y=8\)
\(\Rightarrow\) \(2\cdot 0+y=8\)
\(\Rightarrow\) \(0+y=8\)
\(\Rightarrow\) \(y=8\)
El primer punto de la primera recta es \((0,8)\)
Paso 2: Reemplazar \(y=0\) en la primera función lineal del sistema, lo que permitirá encontrar el segundo punto de dicha función.
Reemplazando \(y=0\) en \(\text{(Ec. 1)}\).
\(\Rightarrow\) \(2x+y=8\)
\(\Rightarrow\) \(2x+0=8\)
\(\Rightarrow\) \(2x=8\)
\(\Rightarrow\) \(x=\dfrac{8}{2}\)
\(\Rightarrow\) \(x=4\)
El segundo punto de la primera recta es \((4,0)\)
Paso 3: Reemplazar \(x=0\) en la segunda función lineal del sistema, lo que permitirá encontrar el primer punto de dicha función.
Reemplazando \(x=0\) en \(\text{(Ec. 2)}\).
\(\Rightarrow\) \(5x+y=17\)
\(\Rightarrow\) \(5\cdot 0+y=17\)
\(\Rightarrow\) \(0+y=17\)
\(\Rightarrow\) \(y=17\)
El primer punto de la segunda recta es \((0,17)\)
Paso 4: Reemplazar \(y=0\) en la segunda función lineal del sistema, lo que permitirá encontrar el segundo punto de dicha función.
Reemplazando \(y=0\) en \(\text{(Ec. 2)}\).
\(\Rightarrow\) \(5x+y=17\)
\(\Rightarrow\) \(5x+0=17\)
\(\Rightarrow\) \(5x=17\)
\(\Rightarrow\) \(x=\dfrac{17}{5}\)
\(\Rightarrow\) \(x=3.4\)
El segundo punto de la segunda recta es \((3.4,0)\)
Paso 5: Graficar y determinar el punto \((x,y)\) donde se intersectan, donde las componentes de dicho punto son las soluciones del sistema de ecuaciones.
Conclusión.
Las soluciones del sistema de ecuaciones corresponden a \(x=3\) e \(y=2\)Definición
GeoGebra es un software dinámico de matemáticas que combina geometría, álgebra, cálculo y estadística, al que se accede mediante https://www.geogebra.org/
Ejemplo 1
Resolver
\[\begin{cases} \phantom{-}7x + 2y &=& \phantom{1}5 & \text{(Ec. 1)} \\ -2x - 3y &=& 12 & \text{(Ec. 2)} \end{cases}\]Abra Geogebra y en la sección Entrada… ingrese la función Interseca junto con las ecuaciones del sistema.
Interseca(7x+2y=5,-2x-3y=12)
Geogebra entrega el resultado \((2.3,-5.5)\).
Conclusión.
Las soluciones del sistema de ecuaciones corresponden a \(x=2.3\) e \(y=-5.5\)Ejemplo 2
Resolver
\[\begin{cases} -8x + 9y &=& 22 & \text{(Ec. 1)} \\ -6x - 5y &=& 13 & \text{(Ec. 2)} \end{cases}\]Abra Geogebra y en la sección Entrada… ingrese la función Interseca junto con las ecuaciones del sistema.
Interseca(-8x+9y=22,-6x-5y=13)
Geogebra entrega el resultado \((-2.4,0.5)\).
Conclusión.
Las soluciones del sistema de ecuaciones corresponden a \(x=-2.4\) e \(y=0.3\)¡Importante!
Un sistema de ecuaciones de \(3\times 3\) puede ser resuelto por cualquier método utilizado para los sistemas de dos ecuaciones lineales, pero será de nuestro interés el método del determinante.
Propiedad
Dado un sistema de ecuaciones de \(3\times 3\) como el que se muestra a continuación.
Las soluciones de un sistema de ecuaciones por el método del determinante se obtienen mendiante la aplicación de las siguientes expresiones:
\[\begin{align*} x_1 &= \frac{ \left| \begin{array}{ccc} \textcolor{red}{r_1} & b_1 & c_1 \\ \textcolor{red}{r_2} & b_2 & c_2 \\ \textcolor{red}{r_3} & b_3 & c_3 \end{array} \right| }{ \left| \begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array} \right| } && \\ \\ &= \frac{ r_1 \left| \begin{array}{cc} b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3 \end{array} \right| - b_1 \left| \begin{array}{cc} r_2 & c_2 \\ r_3 & c_3 \end{array} \right| + c_1 \left| \begin{array}{cc} r_2 & b_2 \\ r_3 & b_3 \end{array} \right| }{ a_1 \left| \begin{array}{cc} b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3 \end{array} \right| - b_1 \left| \begin{array}{cc} a_2 & c_2 \\ a_3 & c_3 \end{array} \right| + c_1 \left| \begin{array}{cc} a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \end{array} \right| } \end{align*}\]
Paso 2: Calcular la segunda incógnita.
\[\begin{align*} x_3 &= \frac{ \left| \begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & \textcolor{red}{r_1} \\ a_2 & b_2 & \textcolor{red}{r_2} \\ a_3 & b_3 & \textcolor{red}{r_3} \end{array} \right| }{ \left| \begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array} \right| } && \\ \\ &= \frac{ a_1 \left| \begin{array}{cc} b_2 & r_2 \\ b_3 & r_3 \end{array} \right| - b_1 \left| \begin{array}{cc} a_2 & r_2 \\ a_3 & r_3 \end{array} \right| + r_1 \left| \begin{array}{cc} a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \end{array} \right| }{ a_1 \left| \begin{array}{cc} b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3 \end{array} \right| - b_1 \left| \begin{array}{cc} a_2 & c_2 \\ a_3 & c_3 \end{array} \right| + c_1 \left| \begin{array}{cc} a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \end{array} \right| } \end{align*}\]
Ejemplo 1
Resolver
\[\begin{cases} -7x + 3y + 5z &= \phantom{.}13 & \text{(Ec. 1)} \\ \phantom{-}2x - y + 2z &= \phantom{-}3 & \text{(Ec. 2)} \\ -x + 2y - 3z &= -4 & \text{(Ec. 3)} \end{cases}\]Paso 1: Calcular la primera incógnita.
\[ \begin{flalign*} \hspace{0pt}\Rightarrow x &= \frac{ \left| \begin{array}{rrr} 13 & 3 & 5 \\ 3 & -1 & 2 \\ -4 & 2 & -3 \end{array} \right| }{ \left| \begin{array}{rrr} -7 & 3 & 5 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & -3 \end{array} \right| } && \\ \\ \Rightarrow \phantom{x}&= \frac{ 13 \left| \begin{array}{rr} -1 & 2 \\ 2 & -3 \end{array} \right| - 3 \left| \begin{array}{rr} 3 & 2 \\ -4 & -3 \end{array} \right| + 5 \left| \begin{array}{rr} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{array} \right| }{ -7 \left| \begin{array}{rr} -1 & 2 \\ 2 & -3 \end{array} \right| - 3 \left| \begin{array}{rr} 2 & 2 \\ -1 & -3 \end{array} \right| + 5 \left| \begin{array}{rr} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{array} \right| } && \\ \\ \Rightarrow \phantom{x}&= \dfrac{13(3 - 4) - 3(-9 + 8) + 5(6 - 4)}{-7(3 - 4) - 3(-6 - 1) + 5(4 - 2)} && \\ \\ \Rightarrow \phantom{x}&= \dfrac{13(-1) - 3(-1) + 5(2)}{-7(-1) - 3(-7) + 5(2)} && \\ \\ \Rightarrow \phantom{x}&= \dfrac{-13 + 3 + 10}{7 + 21 + 10} && \\ \\ \Rightarrow \phantom{x}&= \dfrac{0}{38} && \\ \\ \Rightarrow \phantom{x}&= 0 && \end{flalign*} \]
Paso 2: Calcular la segunda incógnita.
\[ \begin{flalign*} \hspace{0pt}\Rightarrow y &= \frac{ \left| \begin{array}{rrr} -7 & 13 & 5 \\ 2 & 3 & 2 \\ -1 & -4 & -3 \end{array} \right| }{ \left| \begin{array}{rrr} -7 & 3 & 5 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & -3 \end{array} \right| } && \\ \\ \Rightarrow \phantom{x}&= \frac{ -7 \left| \begin{array}{rr} 3 & 2 \\ -4 & -3 \end{array} \right| - 13 \left| \begin{array}{rr} 2 & 2 \\ -1 & -3 \end{array} \right| + 5 \left| \begin{array}{rr} 2 & 3 \\ -1 & -4 \end{array} \right| }{ -7 \left| \begin{array}{rr} -1 & 2 \\ 2 & -3 \end{array} \right| - 3 \left| \begin{array}{rr} 2 & 2 \\ -1 & -3 \end{array} \right| + 5 \left| \begin{array}{rr} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{array} \right| } && \\ \\ \Rightarrow \phantom{y}&= \dfrac{-7(-9 + 8) - 13(-6 + 2) + 5(-8 + 3)}{-7(3 - 4) - 3(-6 - 1) + 5(4 - 2)} && \\ \\ \Rightarrow \phantom{y}&= \dfrac{-7(-1) - 13(-4) + 5(-5)}{-7(-1) - 3(-7) + 5(2)} && \\ \\ \Rightarrow \phantom{y}&= \dfrac{7 + 52 - 25}{7 + 21 + 10} && \\ \\ \Rightarrow \phantom{y}&= \dfrac{34}{38} && \\ \\ \Rightarrow \phantom{y}&= 1 && \end{flalign*} \]
Paso 3: Calcular la tercera incógnita.
\[ \begin{flalign*} \hspace{0pt}\Rightarrow z &= \frac{ \left| \begin{array}{rrr} -7 & 3 & 13 \\ 2 & -1 & 3 \\ -1 & 2 & -4 \end{array} \right| }{ \left| \begin{array}{rrr} -7 & 3 & 5 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & -3 \end{array} \right| } && \\ \\ \Rightarrow \phantom{x}&= \frac{ -7 \left| \begin{array}{rr} -1 & 3 \\ 2 & -4 \end{array} \right| - 3 \left| \begin{array}{rr} 2 & 3 \\ -1 & -4 \end{array} \right| + 13 \left| \begin{array}{rr} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{array} \right| }{ -7 \left| \begin{array}{rr} -1 & 2 \\ 2 & -3 \end{array} \right| - 3 \left| \begin{array}{rr} 2 & 2 \\ -1 & -3 \end{array} \right| + 5 \left| \begin{array}{rr} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{array} \right| } && \\ \\ \Rightarrow \phantom{z}&= \dfrac{-7(4 - 6) - 3(-8 + 2) + 13(4 - 2)}{-7(3 - 4) - 3(-6 - 1) + 5(4 - 2)} && \\ \\ \Rightarrow \phantom{z}&= \dfrac{-7(-2) - 3(-6) + 13(2)}{-7(-1) - 3(-7) + 5(2)} && \\ \\ \Rightarrow \phantom{z}&= \dfrac{14 + 18 + 26}{7 + 21 + 10} && \\ \\ \Rightarrow \phantom{z}&= \dfrac{58}{38} && \\ \\ \Rightarrow \phantom{z}&= 2 && \end{flalign*} \]
Conclusión.
Las soluciones del sistema de ecuaciones corresponden a \(x=0\), \(y=1\) y \(z=2\).
Ejemplo 2
Resolver
\[\begin{cases} -2x + 3y + 3z &= 1 & \text{(Ec. 1)} \\ \phantom{-}4x - 4y + 7z &= 8 & \text{(Ec. 2)} \\ -5x + 2y - 6z &= 4 & \text{(Ec. 3)} \end{cases}\]Paso 1: Calcular la primera incógnita.
\[ \begin{flalign*} \hspace{0pt}\Rightarrow x &= \frac{ \left| \begin{array}{rrr} 1 & 3 & 3 \\ 8 & -4 & 7 \\ 4 & 2 & -6 \end{array} \right| }{ \left| \begin{array}{rrr} -2 & 3 & 3 \\ 4 & -4 & 7 \\ -5 & 2 & -6 \end{array} \right| } && \\ \\ \Rightarrow \phantom{x}&= \frac{ 1 \left| \begin{array}{rr} -4 & 7 \\ 2 & -6 \end{array} \right| - 3 \left| \begin{array}{rr} 8 & 7 \\ 4 & -6 \end{array} \right| + 3 \left| \begin{array}{rr} 8 & -4 \\ 4 & 2 \end{array} \right| }{ -2 \left| \begin{array}{rr} -4 & 7 \\ 2 & -6 \end{array} \right| - 3 \left| \begin{array}{rr} 4 & 7 \\ -5 & -6 \end{array} \right| + 3 \left| \begin{array}{rr} 4 & -4 \\ -5 & 2 \end{array} \right| } && \\ \\ \Rightarrow \phantom{x}&= \dfrac{1(24 - 14) - 3(-48 - 8) + 3(16 + 16)}{-2(24 - 14) - 3(-24 + 10) + 3(8 - 20)} && \\ \\ \Rightarrow \phantom{x}&= \dfrac{1(10) - 3(-56) + 3(32)}{-2(10) - 3(-14) + 3(-12)} && \\ \\ \Rightarrow \phantom{x}&= \dfrac{10 + 168 + 96}{-20 + 42 - 36} && \\ \\ \Rightarrow \phantom{x}&= \dfrac{274}{-14} && \\ \\ \Rightarrow \phantom{x}&= -\dfrac{137}{7} && \end{flalign*} \]
Paso 2: Calcular la segunda incógnita.
\[ \begin{flalign*} \hspace{0pt}\Rightarrow y &= \frac{ \left| \begin{array}{rrr} -2 & 1 & 3 \\ 4 & 8 & 7 \\ -5 & 4 & -6 \end{array} \right| }{ \left| \begin{array}{rrr} -2 & 3 & 3 \\ 4 & -4 & 7 \\ -5 & 2 & -6 \end{array} \right| } && \\ \\ \Rightarrow \phantom{x}&= \frac{ -2 \left| \begin{array}{rr} 8 & 7 \\ 4 & -6 \end{array} \right| - 1 \left| \begin{array}{rr} 4 & 7 \\ -5 & -6 \end{array} \right| + 3 \left| \begin{array}{rr} 4 & 8 \\ -5 & 4 \end{array} \right| }{ -2 \left| \begin{array}{rr} -4 & 7 \\ 2 & -6 \end{array} \right| - 3 \left| \begin{array}{rr} 4 & 7 \\ -5 & -6 \end{array} \right| + 3 \left| \begin{array}{rr} 4 & -4 \\ -5 & 2 \end{array} \right| } && \\ \\ \Rightarrow \phantom{y}&= \dfrac{-2(-48 - 28) - 1(-24 + 20) + 3(16 + 40)}{-2(-48 - 28) - 3(-24 + 10) + 3(8 - 20)} && \\ \\ \Rightarrow \phantom{y}&= \dfrac{-2(-76) - 1(11) + 3(56)}{-2(-76) - 3(-14) + 3(-12)} && \\ \\ \Rightarrow \phantom{y}&= \dfrac{152 - 11 + 168}{152 + 42 - 36} && \\ \\ \Rightarrow \phantom{y}&= 309 && \\ \\ \Rightarrow \phantom{y}&= -\dfrac{309}{89} && \end{flalign*} \]
Paso 3: Calcular la tercera incógnita.
\[ \begin{flalign*} \hspace{0pt}\Rightarrow z &= \frac{ \left| \begin{array}{rrr} -2 & 3 & 1 \\ 4 & -4 & 8 \\ -5 & 2 & 4 \end{array} \right| }{ \left| \begin{array}{rrr} -2 & 3 & 3 \\ 4 & -4 & 7 \\ -5 & 2 & -6 \end{array} \right| } && \\ \\ \Rightarrow \phantom{x}&= \frac{ -2 \left| \begin{array}{rr} -4 & 8 \\ 2 & 4 \end{array} \right| - 3 \left| \begin{array}{rr} 4 & 8 \\ -5 & 4 \end{array} \right| + 1 \left| \begin{array}{rr} 4 & -4 \\ -5 & 2 \end{array} \right| }{ -2 \left| \begin{array}{rr} -4 & 7 \\ 2 & -6 \end{array} \right| - 3 \left| \begin{array}{rr} 4 & 7 \\ -5 & -6 \end{array} \right| + 3 \left| \begin{array}{rr} 4 & -4 \\ -5 & 2 \end{array} \right| } && \\ \\ \Rightarrow \phantom{z}&= \dfrac{-2(-16 - 16) - 3(16 + 40) + 1(8 - 20)}{-2(24 - 14) - 3(-24 + 10) + 3(8 - 20)} && \\ \\ \Rightarrow \phantom{z}&= \dfrac{-2(-32) - 3(56) + 1(-12)}{-2(-76) - 3(-14) + 3(-12)} && \\ \\ \Rightarrow \phantom{z}&= \dfrac{64 - 168 - 12}{152 + 42 - 36} && \\ \\ \Rightarrow \phantom{z}&= -\dfrac{116}{89} && \end{flalign*} \]
Conclusión.
Las soluciones del sistema de ecuaciones corresponden a \(x=-\dfrac{334}{89}\), \(y=-\dfrac{309}{89}\) y \(z=\dfrac{116}{89}\).
¡Importante!
Un sistema de ecuaciones de \(n\times n\) es más complejo de ser resuelto, y para ello se recurre al algebra de las matrices. Por el momento nos limitaremos a resolver usando el programa R-Studio.
Definición
R-Studio es un entorno de desarrollo integrado (IDE) para el lenguaje de programación R, utilizado principalmente para el análisis de datos, la estadística y la visualización de datos, al que se accede mediante https://posit.co/
Ejemplo 1
Resolver
\[\begin{cases} 6x_1 + 4x_2 + 6x_3 -3x_4&=& 9 & \text{(Ec. 1)} \\ 2x_1 - 2x_2 - 4x_3 +5x_4&=& 8 & \text{(Ec. 2)} \\ 3x_1 - 5x_2 - 7x_3 -2x_4&=& 7 & \text{(Ec. 3)} \\ 6x_1 + 2x_2 + 4x_3 +2x_4&=& 5 & \text{(Ec. 4)} \end{cases}\]Ingresa en R-Studio el siguiente código.
# Construir la matriz de coeficientes.
A <- matrix(c(6, 4, 6, -3,
2, -2, -4, 5,
3, -5, -7, -2,
6, 2, 4, 2),
nrow = 4, byrow = TRUE)
# Definir el vector de términos independientes.
b <- c(9, 8, 7, 5)
# Resolver el sistema de ecuaciones.
respuesta <- round(solve(A, b),1)
# Mostrar la solución.
respuesta
Luego, R-Studio muestra las siguientes soluciones. [1] 1.8 5.6 -4.2 -0.2
Conclusión.
Las soluciones del sistema de ecuaciones corresponden a \(x_1=1.8\), \(x_2=5.6\), \(x_3=-4.2\) y \(x_4=-0.2\).
Ejemplo 2
Resolver
\[\begin{cases} -4x_1 + 3x_2 -\phantom{3}x_3 -4x_4-3x_5&=& 19 & \text{(Ec. 1)} \\ -3x_1 - 7x_2 - 4x_3 +2x_4-2x_5&=& \phantom{1}2 & \text{(Ec. 2)} \\ \phantom{-}5x_1 - 3x_2 + 3x_3 - 5x_4-7x_5&=& \phantom{1}3 & \text{(Ec. 3)} \\ \phantom{-}2x_1 + 4x_2 + 6x_3 + 6x_4+3x_5&=& 11 & \text{(Ec. 4)}\\ \phantom{-}2x_1 + 7x_2 + 2x_3 + 3x_4+6x_5&=& 11 & \text{(Ec. 5)} \end{cases}\]Ingresa en R-Studio el siguiente código.
# Construir la matriz de coeficientes.
A <- matrix(c(-4, 3, -1, -4, -3,
-3, -7, -4, 2, -2,
5, -3, 3, -5, -7,
2, 4, 6, 6, 3,
2, 7, 2, 3, 6),
nrow = 5, byrow = TRUE)
# Definir el vector de términos independientes.
b <- c(19, 2, 3, 11, 11)
# Resolver el sistema de ecuaciones.
respuesta <- round(solve(A, b),1)
# Mostrar la solución.
respuesta
Luego, R-Studio muestra las siguientes soluciones.
[1] 4.2 9.4 -9.2 9.5 -12.2
Conclusión.
Las soluciones del sistema de ecuaciones corresponden a \(x_1=4.2\), \(x_2=9.4\), \(x_3=-9.2\), \(x_4=9.5\) y \(x_5=-12.2\).