SOAL B 1. Hitung vektor rataan dan matriks ragam peragamnya 2. Apakah 𝑋1 dan 𝑋2 saling bebas?

# Data
X1 <- c(525, 500, 550, 575, 495, 490, 525, 550)
X2 <- c(13, 14, 13, 11, 15, 14, 12, 12)

#1. Vektor rataan
data <- data.frame(X1, X2)
x_bar <- c(mean(X1), mean(X2))

# Matriks ragam-peragam
S <- cov(cbind(X1, X2))

# Hasil
x_bar
## [1] 526.25  13.00
S
##          X1         X2
## X1 926.7857 -35.000000
## X2 -35.0000   1.714286

Hasil yang didapat pada data di atas yaitu vektor rataan dari peubah X1 adalah 526.25 dan rataan dari X2 adalah 13.00. Didapatkan juga matriks ragamnya yaitu 926.7857 dan 1.714286 serta matriks peragam dari keduanya bernilai -35. Didapat bahwa nilai matriks peragam ≠ nol maka X1 dan X2 tidak saling bebas.

#2.Uji 𝑋1 dan 𝑋2 apakah saling bebas
cor_test <- cor.test(X1, X2)
print(cor_test)
## 
##  Pearson's product-moment correlation
## 
## data:  X1 and X2
## t = -4.495, df = 6, p-value = 0.004126
## alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -0.9777579 -0.4548680
## sample estimates:
##        cor 
## -0.8780854

Adapun cara lain yang bisa dilakukan untuk menentukan apakah X1 dan X2 saling bebas adalah dengan melihat nilai p-value dari uji korelasi. Hasil yang didapat adalah nilai p-value < 0.05, maka X1 dan X2 tidak saling bebas.

library(ggplot2)
x<-c(1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 18.95, 19, 17.95, 15.54, 14, 12.95, 8.94, 7.49, 6, 3.99)
datac <- matrix(x, nrow=10, ncol=2)
datac <- as.data.frame(data)  

colnames(data) <- c("Value1", "Value2")

ggplot(data, aes(x = Value1, y = Value2)) +
  geom_point() +     
  geom_density2d() + 
  theme_minimal() +  
  labs(title = "Dense Plot", x = "Value 1", y = "Value 2")

library(MVN)
#mvn untuk uji normal
mardia <- mvn(data, mvnTest = c("mardia"), covariance = TRUE, multivariatePlot = "qq")

mardia
## $multivariateNormality
##              Test          Statistic           p value Result
## 1 Mardia Skewness  0.279687374926457 0.991087404042498    YES
## 2 Mardia Kurtosis -0.893904794820363 0.371372832129697    YES
## 3             MVN               <NA>              <NA>    YES
## 
## $univariateNormality
##               Test  Variable Statistic   p value Normality
## 1 Anderson-Darling  Value1      0.3013    0.4978    YES   
## 2 Anderson-Darling  Value2      0.2235    0.7372    YES   
## 
## $Descriptives
##        n   Mean   Std.Dev Median Min Max   25th 75th      Skew  Kurtosis
## Value1 8 526.25 30.443155    525 490 575 498.75  550 0.2055973 -1.626255
## Value2 8  13.00  1.309307     13  11  15  12.00   14 0.0000000 -1.468750

pengujian hipotesis terhadap media skewness yaitu sebagai berikut : Ho : Peubah ganda mengikuti distribusi normal H1 : Peubah ganda tidak mengikuti distribusi normal

Didapatkan kesimpulan, p-value = 0.744 & 0.497 > α = 0.05 maka tak tolak Ho. Artinya bahwa peubah ganda mengikuti distribusi normal Dari Q-Q plot yang dihasilkan juga menunjukan bahwa sebaran dari data mengikuti distribusi normal karena tiap amatan cenderung mendekati garis lurus.

henze<-mvn(data, mvnTest = c("hz"), covariance = TRUE, multivariatePlot = "none")
henze
## $multivariateNormality
##            Test        HZ  p value MVN
## 1 Henze-Zirkler 0.1326925 0.964755 YES
## 
## $univariateNormality
##               Test  Variable Statistic   p value Normality
## 1 Anderson-Darling  Value1      0.3013    0.4978    YES   
## 2 Anderson-Darling  Value2      0.2235    0.7372    YES   
## 
## $Descriptives
##        n   Mean   Std.Dev Median Min Max   25th 75th      Skew  Kurtosis
## Value1 8 526.25 30.443155    525 490 575 498.75  550 0.2055973 -1.626255
## Value2 8  13.00  1.309307     13  11  15  12.00   14 0.0000000 -1.468750

Dari Henze-Zirkler’s Multivariate Normality Test menghasilkan nilai p-value = 0.2363198 > α = 0.05. yang berarti Tolak Ho,maka dapat dikatakan bahwa peubah-peubah tersebut mengikuti distribusi normal ganda.

royston<-mvn(data, mvnTest = c("royston"), covariance = TRUE, multivariatePlot = "persp")

royston<-mvn(data, mvnTest = c("royston"), covariance = TRUE, multivariatePlot = "contour")

royston
## $multivariateNormality
##      Test         H   p value MVN
## 1 Royston 0.1334517 0.5937434 YES
## 
## $univariateNormality
##               Test  Variable Statistic   p value Normality
## 1 Anderson-Darling  Value1      0.3013    0.4978    YES   
## 2 Anderson-Darling  Value2      0.2235    0.7372    YES   
## 
## $Descriptives
##        n   Mean   Std.Dev Median Min Max   25th 75th      Skew  Kurtosis
## Value1 8 526.25 30.443155    525 490 575 498.75  550 0.2055973 -1.626255
## Value2 8  13.00  1.309307     13  11  15  12.00   14 0.0000000 -1.468750

Dari Royston Normality Test menghasilkan nilai p-value = 0.3587813 > α = 0.05. yang berarti Tolak Ho, maka dapat dikatakan bahwa peubah-peubah tersebut mengikuti distribusi normal ganda.

Dengan beberapa pengujian yang telah dilakukan, dapat disimpulkan bahwa tidak memiliki cukup bukti statistik untuk menolak asumsi normalitas bivariat. Data dapat dianggap konsisten dengan distribusi normal bivariat pada tingkat signifikansi 5%.