Soal B

Input Data

X1 <- c(525,500,550,575,495,490,525,550)
X2 <- c(13,14,13,11,15,14,12,12)

Vektor Rataan

Xbar1 <- mean(X1)
Xbar2 <- mean(X2)
vektor_rataan <- as.matrix(c(Xbar1,Xbar2))
vektor_rataan
##        [,1]
## [1,] 526.25
## [2,]  13.00

Matriks Ragam Peragam

var(X1)
## [1] 926.7857
var(X2)
## [1] 1.714286
data <- t(rbind(X1,X2))
data
##       X1 X2
## [1,] 525 13
## [2,] 500 14
## [3,] 550 13
## [4,] 575 11
## [5,] 495 15
## [6,] 490 14
## [7,] 525 12
## [8,] 550 12
cov (data)
##          X1         X2
## X1 926.7857 -35.000000
## X2 -35.0000   1.714286
matriks_ragam_peragam <- as.matrix(cov(data))
matriks_ragam_peragam
##          X1         X2
## X1 926.7857 -35.000000
## X2 -35.0000   1.714286

Berdasarkan perolehan kovarian di atas, dapat dilihat bahwa \(𝜎𝟷𝟸=𝜎𝟸𝟷\) ≠ 0 (nilai peragamnya tidak sama dengan nol (0)), maka dapat disimpulkan bahwa X1 dan X2 Tidak Saling Bebas.

Soal C

Umur <- c(1,2,3,3,4,5,6,8,9,11)
HJ <- c(18.95,19,17.95,15.54,14,12.95,8.94,7.49,6,3.99)
data.c <- t(rbind(Umur,HJ))
data.c
##       Umur    HJ
##  [1,]    1 18.95
##  [2,]    2 19.00
##  [3,]    3 17.95
##  [4,]    3 15.54
##  [5,]    4 14.00
##  [6,]    5 12.95
##  [7,]    6  8.94
##  [8,]    8  7.49
##  [9,]    9  6.00
## [10,]   11  3.99
library(ggplot2)
## Warning: package 'ggplot2' was built under R version 4.3.3
library(MVN)
## Warning: package 'MVN' was built under R version 4.3.3
ggplot(data.c, aes(x = Umur, y = HJ)) +
  geom_point() +     # Scatter plot
  geom_density2d() + # Add 2D density contour
  theme_minimal() +  # Apply a minimal theme
  labs(title = "Dense Plot", x = "Umur", y = "Harga Jual")

Menggunakan Uji Normalitas Ganda Menggunakan Mardia’s Skewness

mardia <- mvn(data.c, mvnTest = c("mardia"), covariance = TRUE, multivariatePlot = "qq")

mardia
## $multivariateNormality
##              Test         Statistic           p value Result
## 1 Mardia Skewness  1.95064645799407 0.744836026278334    YES
## 2 Mardia Kurtosis -0.67771643560724 0.497951503442355    YES
## 3             MVN              <NA>              <NA>    YES
## 
## $univariateNormality
##               Test  Variable Statistic   p value Normality
## 1 Anderson-Darling   Umur       0.2596    0.6287    YES   
## 2 Anderson-Darling    HJ        0.3241    0.4589    YES   
## 
## $Descriptives
##       n   Mean  Std.Dev Median  Min Max   25th    75th       Skew  Kurtosis
## Umur 10  5.200 3.259175  4.500 1.00  11 3.0000  7.5000  0.4117889 -1.345329
## HJ   10 12.481 5.554671 13.475 3.99  19 7.8525 17.3475 -0.1806222 -1.709567

Berdasarkan hasil pengujian hipotesis terhadap mardia skewness test sebagai berikut :

H0 : Peubah ganda mengikuti distribusi normal

H1 : Peubah ganda tidak mengikuti distribusi normal

Dapat dilihat bahwaS p-value = 0.7448 & 0.4979 > α = 0.05 yaitu Terima H0. Artinya bahwa peubah ganda mengikuti distribusi normal. Dari Q-Q plot yang dihasilkan dari output R dibawah ini juga menunjukan bahwa sebaran dari data mengikuti distribusi normal.

Uji Normalitas Ganda Menggunakan Henze-Zikler Test

henze<-mvn(data.c, mvnTest = c("hz"), covariance = TRUE, multivariatePlot = "none")
henze
## $multivariateNormality
##            Test        HZ   p value MVN
## 1 Henze-Zirkler 0.2363198 0.7425679 YES
## 
## $univariateNormality
##               Test  Variable Statistic   p value Normality
## 1 Anderson-Darling   Umur       0.2596    0.6287    YES   
## 2 Anderson-Darling    HJ        0.3241    0.4589    YES   
## 
## $Descriptives
##       n   Mean  Std.Dev Median  Min Max   25th    75th       Skew  Kurtosis
## Umur 10  5.200 3.259175  4.500 1.00  11 3.0000  7.5000  0.4117889 -1.345329
## HJ   10 12.481 5.554671 13.475 3.99  19 7.8525 17.3475 -0.1806222 -1.709567

Dari Henze-Zirkler’s Multivariate Normality Test menghasilkan nilai p-value = 0.7425679 > α = 0.05. Hal ini berarti data mendukung untuk Terima H0, dengan demikian dapat dikatakan bahwa peubah-peubah tersebut mengikuti distribusi normal

Uji Normalitas Ganda Menggunakan Royston

royston<-mvn(data.c, mvnTest = c("royston"), covariance = TRUE, multivariatePlot = "persp")

royston
## $multivariateNormality
##      Test         H   p value MVN
## 1 Royston 0.2596638 0.3587813 YES
## 
## $univariateNormality
##               Test  Variable Statistic   p value Normality
## 1 Anderson-Darling   Umur       0.2596    0.6287    YES   
## 2 Anderson-Darling    HJ        0.3241    0.4589    YES   
## 
## $Descriptives
##       n   Mean  Std.Dev Median  Min Max   25th    75th       Skew  Kurtosis
## Umur 10  5.200 3.259175  4.500 1.00  11 3.0000  7.5000  0.4117889 -1.345329
## HJ   10 12.481 5.554671 13.475 3.99  19 7.8525 17.3475 -0.1806222 -1.709567

Dari Royston Test menghasilkan nilai p-value = 0.3587 > α = 0.05. Hal ini menunjukkan data mendukung untuk Terima H0, dengan demikian dapat dikatakan bahwa peubah-peubah tersebut mengikuti distribusi normal ganda.

royston1 <-mvn(data.c, mvnTest = c("royston"), covariance = TRUE, multivariatePlot = "contour")

royston1
## $multivariateNormality
##      Test         H   p value MVN
## 1 Royston 0.2596638 0.3587813 YES
## 
## $univariateNormality
##               Test  Variable Statistic   p value Normality
## 1 Anderson-Darling   Umur       0.2596    0.6287    YES   
## 2 Anderson-Darling    HJ        0.3241    0.4589    YES   
## 
## $Descriptives
##       n   Mean  Std.Dev Median  Min Max   25th    75th       Skew  Kurtosis
## Umur 10  5.200 3.259175  4.500 1.00  11 3.0000  7.5000  0.4117889 -1.345329
## HJ   10 12.481 5.554671 13.475 3.99  19 7.8525 17.3475 -0.1806222 -1.709567

Berdasarkan beberapa uji normalitas ganda di atas, dapat disimpulkan bahwa data menyebar Bivariate Normal. Sehingga tidak perlu dilakukan penangan lanjutan terhadap data tersebut.