Kasus 1

Skor ujian statistika yang tersebaran normal dengan rata-rata populasi yang tidak diketahui dan simpangan baku populasi sebesar 3. Sebuah sampel acak dengan 36 skor diambil, memberikan rata-rata sampel sebesar 68. Temukan interval kepercayaan 90% untuk rata-rata sebenarnya skor ujian statistika tersebut.

Langkah Penyelesaian

• Diketahui:

sigma1 <- 3
n1 <- 36
mean1 <- 68

• Menentukan t-score untuk tingkat kepercayaan 90%

alpha1 <- 0.10
t_score1 <- qt(1 - alpha1/2, df = n1 - 1)

• Menghitung margin of error

moe1 <- t_score1 * sigma1 / sqrt(n1)

• Menghitung selang kepercayaan

lower_bound1 <- mean1 - moe1
upper_bound1 <- mean1 + moe1
cat("Selang Kepercayaan 90% untuk mean populasi skor ujian adalah dari", lower_bound1, "hingga", upper_bound1, "\n")

## Selang Kepercayaan 90% untuk mean populasi skor ujian adalah dari 67.15521 hingga 68.84479

Kasus 2

Data dapat diunduh di sini

Laju Penyerapan Spesifik (SAR) untuk ponsel mengukur jumlah energi frekuensi radio (RF) yang diserap oleh tubuh pengguna saat menggunakan telepon. Temukan selang kepercayaan 98% untuk rata-rata sebenarnya (populasi) Laju Penyerapan Spesifik (SAR) ponsel. Asumsikan bahwa simpangan baku populasi adalah σ = 0,337.

phone <- readxl::read_xlsx("D:/IPB/STA1512/STA1512/Prak. By Fida/Data Pertemuan 3.xlsx")
phone

## # A tibble: 30 × 2
##    Phone                   SAR
##    <chr>                 <dbl>
##  1 Apple iPhone 4S       1.11 
##  2 BlackBerry Pearl 8120 1.48 
##  3 BlackBerry Tour 9630  1.43 
##  4 Cricket TXTM8         1.3  
##  5 HP/Palm Centro        1.09 
##  6 HTC One V             0.455
##  7 HTC Touch Pro 2       1.41 
##  8 Huawei M835 Ideos     0.82 
##  9 Kyocera DuraPlus      0.78 
## 10 Kyocera K127 Marbl    1.25 
## # ℹ 20 more rows

Langkah Pengerjaan

• Diketahui:

sigma2 <- 0.337
n2 <- length(phone$SAR)
mean2 <- mean(phone$SAR)

• Menentukan Z-score untuk tingkat kepercayaan 98%

alpha2 <- 0.02
z_score2 <- qnorm(1 - alpha2/2)

• Menghitung margin of error

moe2 <- z_score2 * sigma2 / sqrt(n2)

• Menghitung selang kepercayaan

lower_bound2 <- mean2 - moe2
upper_bound2 <- mean2 + moe2
cat("Selang Kepercayaan 98% untuk mean populasi SAR adalah dari", lower_bound2, "hingga", upper_bound2, "\n")

## Selang Kepercayaan 98% untuk mean populasi SAR adalah dari 0.880599 hingga 1.166868

Kasus 3

Studi akupunktur untuk menentukan seberapa efektifnya dalam mengurangi rasa sakit yang mengukur tingkat sensori untuk 15 subjek dengan hasil yang diberikan. Gunakan data sampel tersebut untuk membuat interval kepercayaan 95% untuk rata-rata tingkat sensori untuk populasi (diasumsikan normal) dari mana Anda mengambil data ini: 8,6 7,9 8,3 9,2 9,6 10,3 5,4 8,1 5,5 6,9 9,4 6,8 7,3 8,7 11,4.

Langkah Penyelesaian

• Diketahui:

akupuntur <- c(8.6, 7.9, 8.3, 9.2, 9.6, 10.3, 5.4, 8.1, 5.5, 6.9, 9.4, 6.8, 7.3, 8.7, 11.4)
n3 <- length(akupuntur)
mean3 <- mean(akupuntur)
sigma3 <- sd(akupuntur)

• Tingkat kepercayaan 95%

alpha3 <- 0.05
t_score3 <- qt(1 - alpha3/2, df = n3 - 1)

• Margin of error

moe3 <- t_score3 * sigma3 / sqrt(n3)

• Menghitung selang kepercayaan

lower_bound3 <- mean3 - moe3
upper_bound3 <- mean3 + moe3
cat("Selang Kepercayaan 95% untuk mean populasi tingkat sensori adalah dari", round(lower_bound3, 2), "hingga", round(upper_bound3, 2), "\n")

## Selang Kepercayaan 95% untuk mean populasi tingkat sensori adalah dari 7.3 hingga 9.15

Kasus 4

Seorang mahasiswa ilmu politik di sebuah universitas besar ingin mengestimasi persentase mahasiswa yang terdaftar sebagai pemilih. Dia melakukan survei terhadap 500 mahasiswa dan menemukan bahwa 300 di antaranya adalah pemilih terdaftar. Hitung interval kepercayaan 90% untuk persentase sebenarnya mahasiswa yang terdaftar sebagai pemilih dan interpretasikan interval kepercayaan tersebut.

Langkah Penyelesaian

• Diketahui

n4 <- 500
x4 <- 300

• Menghitung proporsi sampel

proporsi4 <- x4 / n4

• Tingkat kepercayaan 90%

alpha4 <- 0.10
z_score4 <- qnorm(1 - alpha4/2)

• Menghitung margin of error

moe4 <- z_score4 * sqrt((proporsi4 * (1 - proporsi4)) / n4)

• Menghitung selang kepercayaan

lower_bound4 <- proporsi4 - moe4
upper_bound4 <- proporsi4 + moe4
cat("Selang Kepercayaan 90% untuk persentase sebenarnya mahasiswa yang terdaftar sebagai pemilih adalah dari", 
    round(lower_bound4 * 100, 2), "% hingga", round(upper_bound4 * 100, 2), "% \n")

## Selang Kepercayaan 90% untuk persentase sebenarnya mahasiswa yang terdaftar sebagai pemilih adalah dari 56.4 % hingga 63.6 %

Kasus 5

Suatu perusahaan penelitian kadar kimia-Ortofosfor, 15 sampel dikumpulkan dari stasion 1 dan 12 sampel dari stasion 2. 15 sampel dari stasion 1 punya rata-rata kadar ortofosfor 3.84 mg/l dan st. deviasi 3.07 mg/l, dan 12 sampel dari stasion 2 mempunyai rata-rata kadar 1.49 mg/l dg st. deviasi 0.80 mg/l. Cari selang kepercayaan 95% untuk selisih rata-rata kadar ortofosfor sesungguhnya, anggap bahwa pengamatan berasal dari populasi normal dengan varians yang berbeda X1 = 3.84 adalah rata-rata kadar ortofosfor stasion 1, n1 = 15, S1 = 3.07 X2 = 1.49 adalah rata-rata kadar ortofosfor stasion 2, n2 = 12, S2 = 0.80 Diasumsikan varians berbeda, maka α = 0.05 → 𝑡0.025

Solusi

• Hipotesis H0 : p = 0.5 (Proporsi umur pengantin wanita sama dengan pengantin pria adalah 0.5) H1 : p ≠ 0.5 (Proporsi umur pengantin wanita tidak sama dengan pengantin pria adalah 0.5)

• Diketahui

X1_5 <- 3.84   # Rata-rata kadar ortofosfor stasion 1
S1_5 <- 3.07   # Standar deviasi kadar ortofosfor stasion 1
n1_5 <- 15     # Ukuran sampel stasion 1

X2_5 <- 1.49   # Rata-rata kadar ortofosfor stasion 2
S2_5 <- 0.80   # Standar deviasi kadar ortofosfor stasion 2
n2_5 <- 12     # Ukuran sampel stasion 2

alpha5 <- 0.05  # Tingkat signifikansi
df5 <- ( (S1_5^2/n1_5 + S2_5^2/n2_5)^2 ) / ( ((S1_5^2/n1_5)^2 / (n1_5-1)) + ((S2_5^2/n2_5)^2 / (n2_5-1)) )  # Derajat kebebasan
t_critical5 <- qt(1 - alpha5/2, df5)  # Nilai kritis t untuk df tertentu

• Selisih rata-rata

diff_means5 <- X1_5 - X2_5

• Standar error selisih rata-rata

se_diff5 <- sqrt(S1_5^2/n1_5 + S2_5^2/n2_5)

• Batas bawah dan atas interval kepercayaan

lower_bound5 <- diff_means5 - t_critical5 * se_diff5
upper_bound5 <- diff_means5 + t_critical5 * se_diff5
cat("Selang kepercayaan 95% untuk selisih rata-rata kadar ortofosfor antara dua stasiun:\n")

## Selang kepercayaan 95% untuk selisih rata-rata kadar ortofosfor antara dua stasiun:

cat("(", round(lower_bound5, 2), ",", round(upper_bound5, 2), ")\n")

## ( 0.6 , 4.1 )

Kasus 6

Mahasiswa baru IPB meyakini bahwa skor mata kuliah kimia memiliki rata-rata = 65. Seseorang ingin meneliti bahwa mata kuliah tersebut memiliki rata-rata lebih besar dari 65, kemudian dia mengambil sampel mahasiswa untuk menguji hipotesis tersebut dengan jumlah n = 10 mahasiswa yang memiliki nilai 65 ; 65; 70; 63; 67; 66; 63; 68; 72; 71. Data diasumsikan memiliki distribusi normal dengan tingkat signifikansi 5%. > Solusi

• Hipotesis H0 : 𝜇 = 65 ( Rata-rata nilai kimia mahasiswa baru IPB adalah 65) H1 : 𝜇 > 65 (Rata-rata nilai kimia mahasiswa baru IPB lebih besar dari 65)

• Diketahui

nilai <- c(65, 65, 70, 63, 67, 66, 63, 68, 72, 71)
n6 <- length(nilai)
H0_6 <- 65
alpha6 <- 0.05
mean6 <- mean(nilai)

• Menghitung statistik uji t

sigma6 <- sd(nilai)
t_score6 <- (mean6 - H0_6) / (sigma6 / sqrt(n6))

• Menghitung nilai kritis t (one-tailed test)

t_critical6 <- qt(1 - alpha6, df = n6 - 1)

• Menampilkan hasil uji t

cat("t hitung:", round(t_score6, 3), "\n")

## t hitung: 1.978

cat("t kritis:", round(t_critical6, 3), "\n")

## t kritis: 1.833

• Menentukan hasil uji hipotesis

if (t_score6 > t_critical6) {
  cat("Tolak H0: Rata-rata nilai lebih besar dari 65.\n")
} else {
  cat("Gagal menolak H0: Tidak ada bukti cukup bahwa rata-rata nilai lebih besar dari 65.\n")
}

## Tolak H0: Rata-rata nilai lebih besar dari 65.

Kasus 7

Suatu penelitian ingin meneliti bahwa 50% dari pengantin perempuan di US memiliki umur yang berbeda dengan pengantin pria. Sampel yang digunakan sebanyak 100, sebanyak 53 pengantin wanita menyebutkan umurnya tidak sama dengan pengantin pria. Lakukan hipotesis dengan tingkat signifikansi 1%.

Solusi

• Hipotesis H0 : p = 0.5 (Proporsi umur pengantin wanita sama dengan pengantin pria adalah 0.5) H1 : p ≠ 0.5 (Proporsi umur pengantin wanita tidak sama dengan pengantin pria adalah 0.5)

• Diketahui

n7 <- 100
proporsi7 <- 53 / 100
H0_7 <- 0.5
alpha7 <- 0.01

• Menghitung statistik uji z

z_score7 <- (proporsi7 - H0_7) / sqrt((H0_7 * (1 - H0_7)) / n7)

• Menghitung nilai kritis t (one-tailed test)

z_critical7 <- qnorm(1 - alpha7 / 2)

• Menentukan hasil uji hipotesis

if (abs(z_score7) > z_critical7) {
  cat("Tolak H0: Proporsi berbeda signifikan dengan p-value <", alpha7, "\n")
} else {
  cat("Gagal menolak H0: Tidak ada bukti yang cukup untuk mengatakan bahwa proporsi berbeda\n")
}

## Gagal menolak H0: Tidak ada bukti yang cukup untuk mengatakan bahwa proporsi berbeda

Contoh Berpasangan (Kasus 8)

Suatu perusahaan vitamin ingin melihat pengaruh vitaminnya yang diklaim dapat menurunkan berat badan minimal sebesar 0,5 kg dalam sebulan. Untuk itu dipilih 10 sukarelawan. Data sebelum dan sesudah pemberian vitamin dalam sebulan adalah sebagai berikut:

Solusi

• Data

berat_sebelum <- c(57, 69, 56, 67, 55, 56, 62, 67, 67, 56)
berat_sesudah <- c(55, 70, 56, 65, 54, 55, 64, 65, 67, 54)

• Uji hipotesis paired t-test H0: rata-rata perbedaan <= 0.5 H1: rata-rata perbedaan > 0.5

• Diketahui

n8 <- length(berat_sebelum)
alpha8 <- 0.05
df8 <- n8-1
perbedaan8 <- berat_sebelum - berat_sesudah
dbar8 <- sum(perbedaan8)/n8
sigma8 <- sqrt((((n8*sum(perbedaan8^2))-(sum(perbedaan8)^2))/(n8*(n8-1))))

• Menghitung t

t_test8 <- t.test(perbedaan8, mu = 0.5, alternative = "greater")
t_critical8 <- qt(1 - alpha8/2, df8)

• Standard Error

se_diff8 <- (sigma8)/(sqrt(n8))

• Selang Kepercayaan

lower_bound8 <- dbar8 - t_critical8 * se_diff8
upper_bound8 <- dbar8 + t_critical8 * se_diff8
cat("Selang kepercayaan 95%  bagi berat badan sesudah dan sebelum:\n")

## Selang kepercayaan 95%  bagi berat badan sesudah dan sebelum:

cat("(", round(lower_bound8, 2), ",", round(upper_bound8, 2), ")\n")

## ( -0.31 , 1.71 )

• Menentukan hasil uji hipotesis

if (t_test8$p.value < 0.05) {
  cat("Tolak H0: Terdapat cukup bukti bahwa vitamin menyebabkan penurunan berat badan lebih dari 0.5 kg dalam sebulan.\n")
} else {
  cat("Gagal menolak H0: Tidak terdapat cukup bukti bahwa vitamin menyebabkan penurunan berat badan lebih dari 0.5 kg dalam sebulan.\n")
}

## Gagal menolak H0: Tidak terdapat cukup bukti bahwa vitamin menyebabkan penurunan berat badan lebih dari 0.5 kg dalam sebulan.

Contoh Proporsi (Kasus 9)

Suatu penelitian ingin melihat perbedaan dari pemakaian sabuk pengaman di dalam mobil pada perempuan dan laki-laki. Peneliti mempercayai bahwa proporsi perempuan lebih kecil dibandingkan laki-laki yang tidak memakai sabuk pengaman. Data diasumsikan mengikuti sebaran normal dengan tingkat signifikansi sebesar 1%

Solusi

• Hipotesis H0 : p1 − 𝑝2 = 0 H1 : 𝑝1−𝑝2 < 0

• Diketahui

n_female9 <- 2169   # Jumlah sampel perempuan
x_female9 <- 156    # Jumlah perempuan yang tidak memakai sabuk pengaman

n_male9 <- 2231     # Jumlah sampel laki-laki
x_male9 <- 183      # Jumlah laki-laki yang tidak memakai sabuk pengaman
alpha9 <- 0.01

• Proporsi

p_female9 <- x_female9 / n_female9
p_male9 <- x_male9 / n_male9

• Uji proporsi dua sampel

proporsi9 <- prop.test(x = c(x_female9, x_male9), n = c(n_female9, n_male9), alternative = "less", conf.level = 0.99)

• Menentukan hasil uji hipotesis

if (proporsi9$p.value < 0.01) {
  cat("Tolak H0: Terdapat cukup bukti bahwa proporsi wanita yang tidak memakai sabuk pengaman lebih kecil dari pria.\n")
} else {
  cat("Gagal menolak H0: Tidak terdapat cukup bukti bahwa proporsi wanita yang tidak memakai sabuk pengaman lebih kecil dari pria.\n")
}

## Gagal menolak H0: Tidak terdapat cukup bukti bahwa proporsi wanita yang tidak memakai sabuk pengaman lebih kecil dari pria.

Contoh ragam sama (Kasus 10)

Seorang pakar ekonomi mengatakan bahwa rata-rata tingkat pendapatan nelayan di daerah A lebih besar dibandingkan rata-rata tingkat pendapatan nelayan di daerah B. Untuk membuktikan pendapat tersebut, seorang mahasiswa melakukan penelitian mengenai tingkat pendapatan nelayan di dua wilayah pesisir pantai (A dan B). Mahasiswa tersebut melakukan survey terhadap 45 nelayan yang terdiri dari 40% di daerah A dan 60% di daerah B. Apakah data hasil penelitian mahasiswa tersebut mendukung pernyataan pakar ekonomi (alpha = 10%) ? Asumsikan bahwa data dari kedua daerah tersebut menyebar normal dan ragamnya sama

Solusi

• Hipotesis 𝐻0: 𝜇1 − 𝜇2 ≤ 0 𝐻1: 𝜇1 − 𝜇2 > 0

• Diketahui

n10 <- 45
mean_A10 <- 254
sigma_A10 <- 3
n_A10 <- 0.4*n10

mean_B10 <- 225
sigma_B10 <- 2
n_B10 <- 0.6*n10
alpha10 <- 0.1
df10 <- n_A10 + n_B10 - 2

• Statistik Uji

sigma10 <- ((((n_A10-1)*sigma_A10^2)+(n_B10-1)*sigma_B10^2))/(df10)

• Menghitung nilai t

t_test10 <- (mean_A10 - mean_B10 - 0)/(sqrt(sigma10*((1/n_A10)+(1/n_B10))))
t_critical10 <- qt(1 - alpha10/2, df10)

• Menentukan hasil uji hipotesis

if (t_test10 > t_critical10) {
  cat("Tolak H0: Terdapat cukup bukti untuk menyatakan rata-rata tingkat pendapatan nelayan di daerah A lebih besar dibandingkan rata-rata tingkat pendapatan nelayan di daerah B.\n")
} else {
  cat("Gagal menolak H0: Tidak terdapat cukup bukti untuk menyatakan rata-rata tingkat pendapatan nelayan di daerah A lebih besar dibandingkan rata-rata tingkat pendapatan nelayan di daerah B.\n")
}

## Tolak H0: Terdapat cukup bukti untuk menyatakan rata-rata tingkat pendapatan nelayan di daerah A lebih besar dibandingkan rata-rata tingkat pendapatan nelayan di daerah B.

Contoh ragam tidak sama (Kasus 11)

Seorang pakar ekonomi mengatakan bahwa rata-rata tingkat pendapatan nelayan di daerah A lebih besar dibandingkan rata-rata tingkat pendapatan nelayan di daerah B. Untuk membuktikan pendapat tersebut, seorang mahasiswa melakukan penelitian mengenai tingkat pendapatan nelayan di dua wilayah pesisir pantai (A dan B). Mahasiswa tersebut melakukan survey terhadap 45 nelayan yang terdiri dari 40% di daerah A dan 60% di daerah B. Apakah data hasil penelitian mahasiswa tersebut mendukung pernyataan pakar ekonomi (alpha = 10%) ? Asumsikan bahwa data dari kedua daerah tersebut menyebar normal dan ragamnya tidak sama

Solusi

• Hipotesis 𝐻0: 𝜇1 − 𝜇2 ≤ 0 𝐻1: 𝜇1 − 𝜇2 > 0

• Diketahui

n11 <- 45
mean_A11 <- 254
sigma_A11 <- 3
n_A11 <- 0.4*n11

mean_B11 <- 225
sigma_B11 <- 2
n_B11 <- 0.6*n11
alpha11 <- 0.1
df11 <- (((sigma_A11^2/n_A10)+(sigma_B11^2/n_B11))^2)/((((sigma_A11^2/n_A11)^2)/(n_A11-1)) + (((sigma_B11^2/n_B11)^2)/(n_B11-1)))
df11 <- round(df11, 0)

• Menghitung nilai t

t_test11 <- (mean_A10 - mean_B10 - 0)/(sqrt((sigma_A11^2)/(n_A11) + (sigma_B11^2)/(n_B11)))
t_critical11 <- qt(1 - alpha11/2, df11)

• Menentukan hasil uji hipotesis

if (t_test11 > t_critical11) {
  cat("Tolak H0: Terdapat cukup bukti untuk menyatakan rata-rata tingkat pendapatan nelayan di daerah A lebih besar dibandingkan rata-rata tingkat pendapatan nelayan di daerah B.\n")
} else {
  cat("Gagal menolak H0: Tidak terdapat cukup bukti untuk menyatakan rata-rata tingkat pendapatan nelayan di daerah A lebih besar dibandingkan rata-rata tingkat pendapatan nelayan di daerah B.\n")
}

## Tolak H0: Terdapat cukup bukti untuk menyatakan rata-rata tingkat pendapatan nelayan di daerah A lebih besar dibandingkan rata-rata tingkat pendapatan nelayan di daerah B.