EJERCICIO 1

Estimación del valor de π La siguiente figura sugiere como estimar el valor de π con una simulación. En la figura, un círcuito con un área igual a π/4, está inscrito en un cuadrado cuya área es igual a 1. Se elige de forma aleatoria n puntos dentro del cuadrado . La probabilidad de que un punto esté dentro del círculo es igual a la fracción del área del cuadrado que abarca a éste, la cual es π/4. Por tanto, se puede estimar el valor de π/4 al contar el número de puntos dentro del círculo, para obtener la estimación de π/4. De este último resultado se encontrar una aproximación para el valor de π.

Figura

Figura

ANÁLISIS

Resultados de la Estimación de π con 100 datos
Puntos.Dentro.Circulo Estimacion.de.Pi Error.Absoluto Error.Relativo
82 3.28 0.138407 0.044056

Resultados de la Estimación de π con 1000 datos
Puntos.Dentro.Circulo Estimacion.de.Pi Error.Absoluto Error.Relativo
782 3.128 0.013593 0.004327

Resultados de la Estimación de π con 10.000 datos
Puntos.Dentro.Circulo Estimacion.de.Pi Error.Absoluto Error.Relativo
7836 3.1344 0.007193 0.002289

Resultados de la Estimación de π con 100.000 datos
Puntos.Dentro.Circulo Estimacion.de.Pi Error.Absoluto Error.Relativo
78511 3.14044 0.001153 0.000367

Resultados de la Estimación de π con 1’000.000 datos # RESULTADOS
Puntos.Dentro.Circulo Estimacion.de.Pi Error.Absoluto Error.Relativo
785072 3.14029 0.001305 0.000415

Se procede a analizar las tendencias de las muestras en una tabla, para observar cómo, a medida que se incrementa el tamaño de las muestras, la estimación se aproxima cada vez más a π.

Tamaño de Muestra Estimación de π Error Absoluto
100 3.4000 0.2584
1000 3.0760 0.0656
10000 3.1364 0.0052
100000 3.1448 0.0032
1000000 3.1411 0.0005

Se observa una ligera desviación en la estimación en comparación con el tamaño de muestra anterior, está desviación varia entre las muestras, lo cual puede ser atribuido a la fluctuación inherente en la estimación con muestras grandes. A medida que el tamaño de la muestra aumenta, la estimación de π tiende a acercarse más al valor verdadero de π, reduciendo el error absoluto. Aunque la tendencia general muestra una mejora en la estimación con el aumento del tamaño de la muestra, se observa una ligera fluctuación en el error absoluto entre tamaños de muestra grandes (por ejemplo, entre 10,000 y 100,000), lo cual puede deberse a la variabilidad inherente en la simulación y no necesariamente a un problema en el método. Por lo tanto, se procede a revisar los datos para identificar el número de muestras requerido para minimizar el error absoluto a su mínima expresión.

Puntos donde la Estimación de π Coincide con el Valor Real
Tamaño de Muestra Estimación de π Error Absoluto
540000 3.141519 0.000074
580000 3.141531 0.000062

CONCLUSIÓN

El número estimado de muestras necesarias es: 16,587,241,503

Este número se tiene en cuenta con una nivel de confianza de 99%, y con un error deseado de 0.00001.