¿Cuánto dinero se tendría que depositar mensualmente en una cuenta de inversión durante 2 años seguidos (24 aportes mensuales en total, todos del mismo valor, comenzando desde el mes cero), para obtener al final de 5 años un saldo de $150 millones? La cuenta de inversiones ofrece un rendimiento garantizado del 7% NTA.
# Valor futuro deseado al final de 5 años
VF_total <- 150000000
# Tasa nominal trimestral anticipada
NTA <- 0.07
# Número de aportes mensuales
n_aportes <- 24 # Convertir NTA a tasa efectiva trimestral
i_t <- NTA / 4
# Convertir la tasa trimestral efectiva a tasa mensual efectiva
i_m <- (1 + i_t)^(1/3) - 1
i_m## [1] 0.005799633# Factor de acumulación durante 24 meses
factor_24 <- (1 + i_m)^n_aportes - 1VF_2años <- function(A) {
A * factor_24 / i_m
}VF_5años <- function(A) {
VF_2años(A) * (1 + i_m)^36
}A <- VF_total / ((factor_24 / i_m) * (1 + i_m)^36)
# Resultado
A## [1] 4745010El valor que se tendría que depositar mensualmente en la cuenta de inversión durante 2 años para obtener un saldo de $150 millones al final de 5 años es aproximadamente $4’745.010.
Una persona obtiene un préstamo por $80 millones a una tasa de interés del 14% NM y pactó con el banco pagarlo mediante 5 pagos semestrales de igual valor, iniciando la secuencia de pagos dentro de un año (periodo de gracia de 12 meses). ¿Cuál sería el valor de cada pago?
# Valor presente del préstamo
VP <- 80000000
# Tasa nominal mensual (NM)
NTA <- 0.14
# Número de pagos semestrales
n_pagos <- 5
# Periodo de gracia en semestres (12 meses = 2 semestres)
k <- 2 Paso 1: Conversión de la Tasa Nominal Mensual a Tasa Efectiva Semestral
# Tasa efectiva mensual
i_m <- NTA / 12
# Tasa efectiva semestral
i_s <- (1 + i_m)^6 - 1
i_s## [1] 0.07207371Paso 2: Cálculo del Valor de los Pagos Semestrales
# Calcular el valor de la anualidad diferida
A <- VP * i_s / ((1 - (1 + i_s)^-n_pagos) * (1 + i_s)^-k)
# Mostrar el valor de cada pago semestral
A## [1] 22549760El valor de cada pago semestral diferido, considerando la tasa efectiva semestral y el periodo de gracia, es 22’549.760
Un ingeniero aisló el techo de su casa con una espuma de material aislante, lo cual reduce la cuenta de calefacción en $25 mensuales, y el costo de aire acondicionado en $55 mensuales. Suponiendo que el invierno (que apenas comienza) dura 6 meses del año, y que el verano los siguientes 6 meses, ¿cuál sería la cantidad equivalente de ahorros al final de 3 años, valorados a una tasa del 12%EA?
# Ahorro mensual en invierno y verano
ahorro_invierno <- 25 # Ahorro mensual en invierno
ahorro_verano <- 55 # Ahorro mensual en verano
# Tasa efectiva anual
r <- 0.12
# Duración del periodo
plazo <- 3 # en añosPaso 1: Conversión de la Tasa Efectiva Anual a Tasa Efectiva Mensual
# Tasa efectiva mensual
i_m <- (1 + r)^(1/12) - 1
i_m## [1] 0.009488793Paso 2: Cálculo del Valor Futuro de los Ahorros al Final de Cada Año
# Función para calcular el valor futuro de ahorro mensual
calcular_valor_futuro <- function(ahorro, i_m, n_values) {
sum(sapply(n_values, function(n) {
ahorro * (1 + i_m)^n
}))
}
# N valores para invierno y verano
n_invierno <- c(1:6, 13:18, 25:30) # 1:6, 13:18, 25:30
n_verano <- c(7:12, 19:24, 31:36) # 7:12, 19:24, 31:36
# Calcular el valor futuro para invierno
VF_invierno <- calcular_valor_futuro(ahorro_invierno, i_m, n_invierno)
VF_invierno## [1] 523.2383# Calcular el valor futuro para verano
VF_verano <- calcular_valor_futuro(ahorro_verano, i_m, n_verano)
# Sumar ambos valores para obtener el ahorro total
ahorro_total <- VF_invierno + VF_verano# Mostrar resultados
VF_invierno## [1] 523.2383VF_verano## [1] 1218.236ahorro_total## [1] 1741.474El ahorro total al final de los 3 años será de $1741.474 dólares
Encuentre el valor de \(x\) en el siguiente diagrama de flujos de efectivo que hace que los flujos positivos sean equivalentes a los flujos negativos, a una tasa de interés del 16% ESA.
| Año | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Flujo | 800 | 0 | -500 | 1000 | 1000 | -\(x\) | 1200 | 1200 | -2\(x\) | 0 | 3\(x\) |
# Tasa efectiva semestral anticipada (ESA)
i_anticipada <- 0.16 # 16% ESA
# Conversión a tasa efectiva semestral vencida (ESV)
i_vencida <- i_anticipada / (1 - i_anticipada) #### Efectiva semestral
#i_vencida
i_vencida <- (1+i_vencida)^2 -1 #### Efectiva anual
i_vencida## [1] 0.4172336Paso 1: Calcular el Valor Presente de los Flujos Positivos
# Flujos positivos
VP_positivo <- 800 +
1000 / (1 + i_vencida)^3 +
1000 / (1 + i_vencida)^4 +
1200 / (1 + i_vencida)^6 +
1200 / (1 + i_vencida)^7
# Coeficiente del término con 3x
VP_3x <- 3 / (1 + i_vencida)^10Paso 2: Calcular el Valor Presente de los Flujos Negativos
# Flujos negativos
VP_negativo <- 500 / (1 + i_vencida)^2
# Coeficientes de los términos con x
VP_x <- 1 / (1 + i_vencida)^5
VP_2x <- 2 / (1 + i_vencida)^8Paso 3: Resolver la Ecuación para x
# Resolver la ecuación
x_value <- (VP_positivo - VP_negativo) / (VP_x + VP_2x - VP_3x)
# Resultado
x_value## [1] 6809.338El valor de \(x\) que hace que los flujos de efectivo positivos sean equivalentes a los flujos negativos es aproximadamente 6.809,338.
Una persona ha tomado un préstamo por $250 millones a un plazo de 5 años a una tasa del 17%NM. El plan de pagos fue negociado de manera muy particular, de tal modo que el préstamo se pagaría mediante cuotas trimestrales, cuyo valor va incrementando en $250.000 pesos en cada cuota. Determine el plan de pagos (valor de cada una de las 20 cuotas al final de cada trimestre).
# Datos iniciales
P <- 250000000 # Monto del préstamo
i_t <- (1 + (0.17/12))^3 -1 # Tasa efectiva trimestral
i_t## [1] 0.04310493n_periodos <- 20 # Número de cuotas
incremento <- 250000 # Incremento en cada cuotaCálculos de S1 y S2
# Cálculo de las sumas S1 y S2
S1 <- sum(1 / (1 + i_t)^(1:n_periodos))
S2 <- sum((0:(n_periodos-1)) / (1 + i_t)^(1:n_periodos))Cálculo de C1
# Cálculo de la primera cuota C1
C1 <- (P - incremento * S2) / S1
# Mostrar C1
C1## [1] 16876434Calculamos el valor de todas las cuotas trimestrales.
# Calcular y mostrar todas las cuotas
cuotas <- C1 + (0:(n_periodos-1)) * incremento
cuotas## [1] 16876434 17126434 17376434 17626434 17876434 18126434 18376434 18626434
## [9] 18876434 19126434 19376434 19626434 19876434 20126434 20376434 20626434
## [17] 20876434 21126434 21376434 21626434Ahora calculamos el valor presente de cada cuota y verificamos el valor presente total.
# Calcular el valor presente de cada cuota
VP_cuotas <- cuotas / (1 + i_t)^(1:n_periodos)
VP_cuotas## [1] 16179037 15740225 15310052 14888552 14475744 14071629 13676194 13289411
## [9] 12911241 12541631 12180522 11827840 11483506 11147433 10819526 10499683
## [17] 10187799 9883761 9587455 9298759# Verificación del valor presente total
VP_total <- sum(VP_cuotas)
VP_total## [1] 250000000El valor de la primera cuota es de 16’876.434 y así irá incrementando en 250.000 cada cuota
Su mejor amigo obtuvo hace un par de años un préstamo por un valor de $120 millones a una tasa del 23%NTA. El préstamo se pagaría con cuotas mensuales de igual valor durante un plazo de 8 años. Hoy, dos años después del desembolso del préstamo, su amigo acaba de pagar la cuota #24 de dicho préstamo, y usted le recomienda que debería renegociar la deuda debido a que las tasas del mercado han bajado significativamente. Efectivamente, otro banco le está ofreciendo ahora mismo comprar esta cartera a una tasa del 15%NTA, con cuotas mensuales a un plazo de 10 años (empezando a pagar el mes siguiente). ¿Cuál sería el valor mensual de la cuota con este nuevo banco tras haber efectuado la operación de compra de cartera? ### Datos
# Monto del préstamo inicial
monto_inicial <- 120000000
# Tasa nominal trimestral anticipada del préstamo original
NTA_original <- 0.23
# Plazo original del préstamo en meses
plazo_original <- 8 * 12
# Cuotas pagadas
cuotas_pagadas <- 24
# Tasa nominal trimestral anticipada del nuevo banco
NTA_nueva <- 0.15
# Nuevo plazo en meses
plazo_nuevo <- 10 * 12 Paso 1: Convertir la Tasa Nominal Trimestral Anticipada a Tasa Efectiva Mensual tanto del crédito actual como del nuevo propuesto
# Convertir tasa trimestral anticipada original a efectiva trimestral
i_t_a_original <- (1 + NTA_original / 4) - 1
i_t_original <- (i_t_a_original)/(1-i_t_a_original)
# Convertir la tasa efectiva trimestral a tasa efectiva mensual
i_m_original <- (1 + i_t_original)^(1/3) - 1
i_m_original## [1] 0.0199359# Convertir NTA nueva a tasa efectiva trimestral
i_t_a_nueva <- (1 + NTA_nueva / 4) - 1
i_t_nueva <- (i_t_a_nueva)/(1-i_t_a_nueva)
# Convertir la tasa efectiva trimestral nueva a tasa efectiva mensual
i_m_nueva <- (1 + i_t_nueva)^(1/3) - 1
i_m_nueva## [1] 0.01282191Paso 2: Calcular el Saldo Insoluto del Préstamo Original
# Calcular la cuota mensual original
cuota_original <- monto_inicial * i_m_original / (1 - (1 + i_m_original)^(-plazo_original))
# Calcular el saldo insoluto después de 24 cuotas
saldo_insoluto <- cuota_original * ((1 - (1 + i_m_original)^(-(plazo_original - cuotas_pagadas))) / i_m_original)
# Mostrar el saldo insoluto
saldo_insoluto## [1] 107135020Paso 3: Calcular la Nueva Cuota Mensual con el Nuevo Banco
# Calcular la nueva cuota mensual con el nuevo banco
nueva_cuota <- saldo_insoluto * i_m_nueva / (1 - (1 + i_m_nueva)^(-plazo_nuevo))
# Mostrar la nueva cuota mensual
nueva_cuota## [1] 1753894###Conclusión
El valor mensual de la nueva cuota sería aproximadamente de $1’704.964 pesos
Una compañía desea alquilar todos los equipos de cómputo requeridos en las oficinas en vez de comprarlos. Este servicio de alquiler incluye el mantenimiento y algunos otros servicios de soporte, lo cual es muy atractivo. El contrato con el proveedor de esta solución se firmaría a un plazo de 7 años. El proveedor X acaba de enviar su cotización por un valor de $2,500 mensuales durante el primer año, y esta cuota mensual se incrementaría en un 10% en cada año siguiente. Todos los pagos se realizan al final de cada mes. La persona encargada de la compra de servicios en la empresa, acaba de identificar otro proveedor potencial (proveedor Y), el cual propone un esquema de pago fijo mensual sin cambios durante los 7 años del contrato. Si la tasa mínima atractiva de retorno de la compañía es del 22%EA, determine el pago mensual fijo con el proveedor Y que haría que ambas propuestas sean equivalentes desde un punto de vista económico.
# Pago mensual inicial con el proveedor X
pago_inicial <- 2500
# Incremento anual del 10%
incremento_anual <- 0.10
# Plazo del contrato en años
plazo <- 7
# Tasa mínima atractiva de retorno (TMAR) efectiva anual
tmar <- 0.22 Paso 1: Convertir la Tasa Efectiva Anual a Tasa Efectiva Mensual
# Convertir TMAR (tasa mínima atractiva de retorno) a tasa efectiva mensual
i_m <- (1 + tmar)^(1/12) - 1 Paso 2: Calcular el Valor Presente de los Pagos Ofrecidos por el Proveedor X
VP_X <- 0
for (year in 0:(plazo - 1)) {
# Pago mensual en el año actual
pago_anual <- pago_inicial * (1 + incremento_anual)^year
# Valor presente de los pagos mensuales de este año
VP_anual <- sum(sapply(1:12, function(mes) {
pago_anual / (1 + i_m)^(12 * year + mes)
}))
# Sumar el valor presente de este año al valor presente total
VP_X <- VP_X + VP_anual
}
# Mostrar el valor presente de los pagos con el proveedor X
VP_X## [1] 141423.2Paso 3: Determinar el Pago Mensual Fijo del Proveedor Y
# Determinar el valor del pago mensual fijo que iguala el valor presente calculado
pago_fijo <- VP_X * i_m / (1 - (1 + i_m)^(-plazo * 12))
# Mostrar el pago mensual fijo
pago_fijo## [1] 3144.795El pago mensual fijo con el proveedor Y que haría que ambas propuestas sean equivalentes desde un punto de vista económico sería aproximadamente de $3144.795