Probabilidad Ejercicios en Actuaría

Problemas

Problema: Propiedades de Varones Mayores de 30 Años

De acuerdo con un reciente estudio de mercado, el 40% de los varones mayores de 30 años poseen su propio coche y su propia casa, el 60% su propia casa y el 70% su propio coche.

1. Calcula la probabilidad de que un varón mayor de 30 años posea al menos casa propia o coche propio.

2. Calcula la probabilidad de que no posea ninguna de las dos cosas.

3. Si escogemos dos varones al azar e independientemente, calcula la probabilidad de que ninguno de los dos posea casa ni coche propios.

4. Si sabemos que un determinado varón dispone de coche propio, calcula la probabilidad de que también posea casa propia.

Problema: Probabilidades en una Compañía de Seguros

Una compañía de seguros de automóviles clasifica a sus asegurados en cuatro grupos de edad. La siguiente tabla recoge la proporción de asegurados dentro de cada grupo de edad, junto con la probabilidad de tener un accidente.

Grupo de edad	Proporción de asegurados	Probabilidad de accidente
18-25	0.10	0.07
25-45	0.40	0.04
45-60	0.30	0.02
+60	0.20	0.05

Se elige un asegurado al azar de la compañía:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga un accidente?

2. Si sabemos que el asegurado ha tenido un accidente, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca a cada uno de los grupos de edad?

Problema: Distribución del Coste de un Siniestro

Una compañía de seguros conoce la distribución que sigue el coste de un determinado siniestro (en cientos de euros). Dicho coste se distribuye según la función de densidad:

\[ f(y) = \begin{cases} k \cdot \frac{1}{(1 + y)^3} & \text{si } y \geq 0 \\ 0 & \text{si } y < 0 \end{cases} \]

1. Hallar el valor de \(k\).

2. Obtener la función de distribución. Calcular la probabilidad de que el coste de un siniestro sea superior a 100 euros.

3. Determinar los cuartiles de la distribución del coste del siniestro. Interpretar su obtención.

4. Calcular el coste medio por siniestro.

Problema: Reclamaciones Mensuales en una Compañía de Seguros

En una compañía de seguros, la media mensual de reclamaciones es de 1.5 por cada 100 pólizas contratadas. Consideremos la variable aleatoria \(X\) como el número de reclamaciones mensuales.

1. Bajo la hipótesis de que \(X\) sigue una distribución de Poisson, calcula la probabilidad de que se dé al menos una reclamación a lo largo de un mes cualquiera.

2. Calcula la misma probabilidad que en el apartado anterior, bajo la hipótesis de que \(X\) sigue una distribución binomial con \(n = 10\). Repite los cálculos para \(n = 100\) y \(n = 1000\).

Problema: Reclamaciones en Pólizas Combinadas

En una compañía de seguros se ha estimado que la probabilidad de reclamación en pólizas anuales contra el riesgo A es de 0.08, mientras que en las contratadas contra el riesgo B es de 0.05. La compañía decide ofertar una póliza combinada para cubrir ambos riesgos. Considera que la compañía ha contratado 1000 pólizas de este tipo en un año, que las reclamaciones por ambos riesgos son independientes y que el titular de cada póliza efectúa una reclamación como mucho.

1. Calcula la probabilidad de reclamación sobre contratos de esta póliza combinada.

2. Si se modeliza la variable aleatoria \(X\): número de reclamaciones como una variable aleatoria de Poisson, estima el valor del parámetro \(\lambda\).

3. Calcula la probabilidad aproximada de que ese año haya habido más de 140 reclamaciones.

Ejercicio sobre Distribución de Pareto

En una compañía de seguros se ha estimado que la cuantía por reclamación por responsabilidad del profesional médico es una variable aleatoria (v.a.) con distribución de Pareto con parámetros \(k\) y \(\alpha\). Se sabe además que la empresa aseguradora cubre las reclamaciones de cuantía menor que un cierto valor \(c > k\), y que subcontrata a su vez a una empresa reaseguradora para cubrir las reclamaciones con cuantías superiores a \(c\).

Enunciado:

1. Obtén la función de densidad truncada de \(X\), es decir, la de la v.a. \(Y = X \mid X > c\).

2. Demuestra que la v.a. \(Y\) sigue una distribución de Pareto de parámetros \(k = c\) y \(\alpha\).

Ejercicio sobre Distribuciones de Probabilidad

Considera una variable aleatoria continua de la que sabemos que \(X > k\), con \(k = 2\), y su media es \(E(X) = 3\).

Enunciado:

1. Bajo la hipótesis de que \(X\) sigue una distribución de Pareto de primer tipo, calcula el valor del parámetro \(\alpha\).

2. Bajo la hipótesis de que \(X\) sigue una distribución exponencial desplazada, calcula su varianza.

3. Analiza las diferencias en varianza de las posibilidades anteriores.

4. Analiza las diferencias entre las probabilidades de que dicha variable tome valores superiores a 10, bajo ambas condiciones.

5. Representa gráficamente \(f(2)\), \(f(3)\), \(f(4)\) y \(f(10)\), en ambas situaciones, para darte una idea de cómo decrecen ambas distribuciones.

Problema de Reclamaciones por Incendio

A partir de datos relativos a 1000 edificios, cada uno con 10 viviendas, se ha estimado para la variable aleatoria \(X\): número de reclamaciones por incendio por edificio, los siguientes estadísticos muestrales: \(\bar{x} = 0.3\) y \(s^2 = 1.164\).

a) Distribución Uniforme

Estima los parámetros, bajo la hipótesis de que la distribución de \(X\) es uniforme. Calcula en este caso las probabilidades \(P(X = 0)\), \(P(X = 1)\), \(P(X = 2)\) y \(P(X = 3)\).

b) Distribución Binomial

Estima los parámetros, bajo la hipótesis de que la distribución de \(X\) es binomial. Calcula en este caso las probabilidades \(P(X = 0)\), \(P(X = 1)\), \(P(X = 2)\) y \(P(X = 3)\).

c) Distribución de Poisson

Estima los parámetros, bajo la hipótesis de que la distribución de \(X\) es de Poisson. Calcula en este caso las probabilidades \(P(X = 0)\), \(P(X = 1)\), \(P(X = 2)\) y \(P(X = 3)\).

Solución Problemas

Problema: Probabilidades en una Compañía de Seguros

Una compañía de seguros de automóviles clasifica a sus asegurados en cuatro grupos de edad. La siguiente tabla recoge la proporción de asegurados dentro de cada grupo de edad, junto con la probabilidad de tener un accidente.

Grupo de edad	Proporción de asegurados	Probabilidad de accidente
18-25	0.10	0.07
25-45	0.40	0.04
45-60	0.30	0.02
+60	0.20	0.05

Se elige un asegurado al azar de la compañía:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga un accidente?

Usaremos la regla de la probabilidad total para calcular la probabilidad de que un asegurado seleccionado al azar tenga un accidente.

La probabilidad de que un asegurado tenga un accidente se calcula utilizando la probabilidad total:

\[ P(\text{Accidente}) = \sum_{i} P(\text{Accidente | Grupo } i) \cdot P(\text{Grupo } i) \]

# Definimos las proporciones de asegurados en cada grupo de edad
proporciones <- c(0.10, 0.40, 0.30, 0.20)

# Definimos las probabilidades de tener un accidente para cada grupo de edad
prob_accidente <- c(0.07, 0.04, 0.02, 0.05)

# Calculamos la probabilidad total de tener un accidente
prob_total_accidente <- sum(proporciones * prob_accidente)
prob_total_accidente

## [1] 0.039

2. Si sabemos que el asegurado ha tenido un accidente, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca a cada uno de los grupos de edad?

Para cada grupo de edad \(i\), la probabilidad condicional de pertenecer a ese grupo dado que ha tenido un accidente es:

\[ P(\text{Grupo } i \mid \text{Accidente}) = \frac{P(\text{Accidente | Grupo } i) \cdot P(\text{Grupo } i)}{P(\text{Accidente})} \]

# Calculamos la probabilidad condicional para cada grupo de edad
prob_condicional <- (prob_accidente * proporciones) / prob_total_accidente
prob_condicional

## [1] 0.1794872 0.4102564 0.1538462 0.2564103

Las probabilidades de que el asegurado pertenezca a cada grupo de edad dado que ha tenido un accidente son:

Grupo de edad 18-25: r prob_condicional[1] Grupo de edad 25-45: r prob_condicional[2] Grupo de edad 45-60: r prob_condicional[3] Grupo de edad +60: r prob_condicional[4]

En este ejercicio, hemos utilizado las reglas de la probabilidad total y la probabilidad condicional para calcular la probabilidad de que un asegurado tenga un accidente y la probabilidad de que pertenezca a un grupo de edad específico dado que ha tenido un accidente.

Problema: Propiedades de Varones Mayores de 30 Años

De acuerdo con un reciente estudio de mercado, el 40% de los varones mayores de 30 años poseen su propio coche y su propia casa, el 60% su propia casa y el 70% su propio coche.

1. Calcula la probabilidad de que un varón mayor de 30 años posea al menos casa propia o coche propio.

La probabilidad de que un varón mayor de 30 años posea al menos casa propia o coche propio es:

\[ P(\text{Casa o Coche}) = P(\text{Casa}) + P(\text{Coche}) - P(\text{Casa y Coche}) \]

# Definimos las probabilidades dadas
P_casa <- 0.60
P_coche <- 0.70
P_casa_coche <- 0.40

# Calculamos la probabilidad de poseer al menos una casa o un coche
P_casa_o_coche <- P_casa + P_coche - P_casa_coche
P_casa_o_coche

## [1] 0.9

2. Calcula la probabilidad de que no posea ninguna de las dos cosas.

La probabilidad de que un varón mayor de 30 años no posea ni casa propia ni coche propio es:

\[ P(\text{No Casa y No Coche}) = 1 - P(\text{Casa o Coche}) \]

# Calculamos la probabilidad de no poseer ninguna de las dos cosas
P_no_casa_no_coche <- 1 - P_casa_o_coche
P_no_casa_no_coche

## [1] 0.1

3. Si escogemos dos varones al azar e independientemente, calcula la probabilidad de que ninguno de los dos posea casa ni coche propios.

La probabilidad de que ninguno de los dos varones posea casa ni coche es:

\[ P(\text{Ninguno de los dos}) = P(\text{No Casa y No Coche}) \times P(\text{No Casa y No Coche}) \]

# Calculamos la probabilidad de que ninguno de los dos varones posea casa ni coche
P_ninguno <- P_no_casa_no_coche * P_no_casa_no_coche
P_ninguno

## [1] 0.01

4. Si sabemos que un determinado varón dispone de coche propio, calcula la probabilidad de que también posea casa propia.

La probabilidad de que un varón posea casa propia dado que ya tiene coche propio es:

\[ P(\text{Casa | Coche}) = \frac{P(\text{Casa y Coche})}{P(\text{Coche})} \]

# Calculamos la probabilidad condicional de poseer casa propia dado que tiene coche propio
P_casa_given_coche <- P_casa_coche / P_coche
P_casa_given_coche

## [1] 0.5714286

En este ejercicio, hemos calculado varias probabilidades relacionadas con la posesión de casas y coches por varones mayores de 30 años. Utilizamos reglas de probabilidad básica y condicional para resolver los distintos apartados.

Problema: Distribución del Coste de un Siniestro

Una compañía de seguros conoce la distribución que sigue el coste de un determinado siniestro (en cientos de euros). Dicho coste se distribuye según la función de densidad:

\[ f(y) = \begin{cases} k \cdot \frac{1}{(1 + y)^3} & \text{si } y \geq 0 \\ 0 & \text{si } y < 0 \end{cases} \]

1. Hallar el valor de \(k\).

Para que \(f(y)\) sea una función de densidad válida, debe cumplirse que:

\[ \int_{0}^{\infty} k \cdot \frac{1}{(1 + y)^3} \, dy = 1 \]

# Resolviendo la integral para encontrar k
integrand <- function(y) 1 / (1 + y)^3
integral_value <- integrate(integrand, lower = 0, upper = Inf)$value

# k es el inverso del valor de la integral
k <- 1 / integral_value
k

## [1] 2

2. Obtener la función de distribución. Calcular la probabilidad de que el coste de un siniestro sea superior a 100 euros.

La función de distribución \(F(y)\) es:

\[ F(y) = \int_{0}^{y} k \cdot \frac{1}{(1 + t)^3} \, dt \]

# Definiendo la función de distribución F(y)
F_y <- function(y) 1 - (1 / (1 + y)^2)

# Calculamos la probabilidad de que el coste sea superior a 100 euros (y = 1)
P_y_greater_100 <- 1 - F_y(1)
P_y_greater_100

## [1] 0.25

3. Determinar los cuartiles de la distribución del coste del siniestro. Interpretar su obtención.

Los cuartiles \(Q_1\), \(Q_2\) y \(Q_3\) se obtienen resolviendo la ecuación \(F(y) = q\).

# Cuartiles
quartiles <- function(q) {
  return(sqrt(1 / (1 - q)) - 1)
}

Q1 <- quartiles(0.25)
Q2 <- quartiles(0.5)
Q3 <- quartiles(0.75)

c(Q1, Q2, Q3)

## [1] 0.1547005 0.4142136 1.0000000

4. Calcular el coste medio por siniestro.

El coste medio se calcula como:

\[ E(Y) = \int_{0}^{\infty} y \cdot f(y) \, dy \]

# Esperanza matemática
expected_value <- function(y) y / (1 + y)^3

mean_cost <- k * integrate(expected_value, lower = 0, upper = Inf)$value
mean_cost

## [1] 1

En este ejercicio, hemos resuelto paso a paso la determinación de la constante \(k\), la función de distribución, los cuartiles, y el coste medio de un siniestro para una compañía de seguros. Usamos R para calcular los valores numéricos y confirmar la validez de las soluciones.

Problema: Reclamaciones Mensuales en una Compañía de Seguros

En una compañía de seguros, la media mensual de reclamaciones es de 1.5 por cada 100 pólizas contratadas. Consideremos la variable aleatoria \(X\) como el número de reclamaciones mensuales.

1. Bajo la hipótesis de que \(X\) sigue una distribución de Poisson, calcula la probabilidad de que se dé al menos una reclamación a lo largo de un mes cualquiera.

Bajo la hipótesis de que \(X\) sigue una distribución de Poisson con parámetro \(\lambda = 1.5\), la probabilidad de que se dé al menos una reclamación a lo largo de un mes cualquiera se calcula como:

\[ P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) \]

# Parámetro de la distribución de Poisson
lambda <- 1.5

# Probabilidad de que haya al menos una reclamación
P_at_least_one <- 1 - dpois(0, lambda)
P_at_least_one

## [1] 0.7768698

2. Calcula la misma probabilidad que en el apartado anterior, bajo la hipótesis de que \(X\) sigue una distribución binomial con \(n = 10\). Repite los cálculos para \(n = 100\) y \(n = 1000\).

La probabilidad de que haya al menos una reclamación bajo la hipótesis de que \(X\) sigue una distribución binomial con parámetros \(n\) y \(p = \frac{1.5}{100}\) se calcula como:

\[ P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) \]

donde \(p\) es la probabilidad de una reclamación para cada póliza.

Para n=10

# Parámetros de la distribución binomial
n1 <- 10
p <- 1.5 / 100

# Probabilidad de que haya al menos una reclamación
P_at_least_one_binomial_10 <- 1 - dbinom(0, n1, p)
P_at_least_one_binomial_10

## [1] 0.1402696

Para n=100

# Parámetros de la distribución binomial
n2 <- 100

# Probabilidad de que haya al menos una reclamación
P_at_least_one_binomial_100 <- 1 - dbinom(0, n2, p)
P_at_least_one_binomial_100

## [1] 0.7793911

Para n=1000

# Parámetros de la distribución binomial
n3 <- 1000

# Probabilidad de que haya al menos una reclamación
P_at_least_one_binomial_1000 <- 1 - dbinom(0, n3, p)
P_at_least_one_binomial_1000

## [1] 0.9999997

En este ejercicio, hemos calculado la probabilidad de tener al menos una reclamación mensual usando tanto la distribución de Poisson como la distribución binomial para varios valores de \(n\). Los cálculos se realizaron con R para obtener resultados precisos.

Problema: Reclamaciones en Pólizas Combinadas

En una compañía de seguros se ha estimado que la probabilidad de reclamación en pólizas anuales contra el riesgo A es de 0.08, mientras que en las contratadas contra el riesgo B es de 0.05. La compañía decide ofertar una póliza combinada para cubrir ambos riesgos. Considera que la compañía ha contratado 1000 pólizas de este tipo en un año, que las reclamaciones por ambos riesgos son independientes y que el titular de cada póliza efectúa una reclamación como mucho.

1. Calcula la probabilidad de reclamación sobre contratos de esta póliza combinada.

# Parte (a): Probabilidad de reclamación sobre contratos de la póliza combinada

# Probabilidades de reclamación para los riesgos A y B
p_A <- 0.08
p_B <- 0.05

# Probabilidad de reclamación en una póliza combinada
p_combined <- 1 - (1 - p_A) * (1 - p_B)
p_combined

## [1] 0.126

2. Si se modeliza la variable aleatoria \(X\): número de reclamaciones como una variable aleatoria de Poisson, estima el valor del parámetro \(\lambda\).

# Parte (b): Estimación del parámetro lambda para la distribución de Poisson

# Número de pólizas contratadas
n <- 1000

# Valor del parámetro lambda para Poisson
lambda <- n * p_combined
lambda

## [1] 126

3. Calcula la probabilidad aproximada de que ese año haya habido más de 140 reclamaciones.

# Parte (c): Probabilidad de tener más de 140 reclamaciones

# Probabilidad de que haya más de 140 reclamaciones
prob_more_than_140 <- 1 - ppois(140, lambda)
prob_more_than_140

## [1] 0.09979983

Ejercicio sobre Distribución de Pareto

En una compañía de seguros se ha estimado que la cuantía por reclamación por responsabilidad del profesional médico es una variable aleatoria (v.a.) con distribución de Pareto con parámetros \(k\) y \(\alpha\). Se sabe además que la empresa aseguradora cubre las reclamaciones de cuantía menor que un cierto valor \(c > k\), y que subcontrata a su vez a una empresa reaseguradora para cubrir las reclamaciones con cuantías superiores a \(c\).

Enunciado:

1. Obtén la función de densidad truncada de \(X\), es decir, la de la v.a. \(Y = X \mid X > c\).

Para obtener la función de densidad truncada \(f_Y(y)\), seguimos los siguientes pasos:

1. La función de densidad de la distribución de Pareto es:

   \[ f_X(x) = \frac{\alpha k^\alpha}{x^{\alpha+1}} \text{ para } x \geq k \]

2. La probabilidad de que \(X > c\) es:

   \[ P(X > c) = \left(\frac{k}{c}\right)^\alpha \]

3. La función de densidad truncada \(f_Y(y)\) se calcula como:

   \[ f_Y(y) = \frac{f_X(y)}{P(X > c)} \text{ para } y > c \]

   Sustituyendo:

   \[ f_Y(y) = \frac{\frac{\alpha k^\alpha}{y^{\alpha+1}}}{\left(\frac{k}{c}\right)^\alpha} = \frac{\alpha c^\alpha}{y^{\alpha+1}} \text{ para } y > c \]

# Parámetros de la distribución de Pareto
k <- 2       # Parámetro k
alpha <- 3   # Parámetro alpha
c <- 5       # Valor de truncamiento

# Función de densidad de Pareto
f_X <- function(x, k, alpha) {
  ifelse(x >= k, alpha * k^alpha / x^(alpha + 1), 0)
}

# Probabilidad de que X > c
P_X_gt_c <- (k / c)^alpha

# Función de densidad truncada
f_Y <- function(y, k, alpha, c) {
  ifelse(y > c, alpha * c^alpha / y^(alpha + 1), 0)
}

# Mostrar resultados
cat("Función de densidad de Pareto f_X(x) para x >= k:\n")

## Función de densidad de Pareto f_X(x) para x >= k:

cat("f_X(x) =", f_X(6, k, alpha), "\n")  # Ejemplo para x = 6

## f_X(x) = 0.01851852

cat("Función de densidad truncada f_Y(y) para y > c:\n")

## Función de densidad truncada f_Y(y) para y > c:

cat("f_Y(y) =", f_Y(6, k, alpha, c), "\n")  # Ejemplo para y = 6

## f_Y(y) = 0.2893519

2. Demuestra que la v.a. \(Y\) sigue una distribución de Pareto de parámetros \(k = c\) y \(\alpha\).

3. Demuestra que la v.a. \(Y\) sigue una distribución de Pareto de parámetros \(k = c\) y \(\alpha\).

Para demostrar que la v.a. \(Y\) sigue una distribución de Pareto con parámetros \(k = c\) y \(\alpha\):

1. Observa que la función de densidad truncada \(f_Y(y)\) se ajusta a la forma de la función de densidad de una distribución de Pareto con parámetros \(k = c\) y \(\alpha\):

   \[ f_Y(y) = \frac{\alpha c^\alpha}{y^{\alpha+1}} \text{ para } y > c \]

2. Esto es consistente con la forma general de la distribución de Pareto con parámetros \(k = c\) y \(\alpha\).

Ejercicio sobre Distribuciones de Probabilidad

Considera una variable aleatoria continua de la que sabemos que \(X > k\), con \(k = 2\), y su media es \(E(X) = 3\).

Enunciado:

1. Bajo la hipótesis de que \(X\) sigue una distribución de Pareto de primer tipo, calcula el valor del parámetro \(\alpha\).

Considera una variable aleatoria continua \(X\) que sigue una distribución de Pareto de primer tipo con parámetros \(k\) y \(\alpha\). Sabemos que \(X > k\), con \(k = 2\), y que su media es \(E(X) = 3\).

Para una distribución de Pareto de primer tipo, la media está dada por:

\[ E(X) = \frac{\alpha k}{\alpha - 1} \text{ para } \alpha > 1 \]

Dado que \(k = 2\) y \(E(X) = 3\), podemos resolver para \(\alpha\) de la siguiente manera:

\[ 3 = \frac{\alpha \cdot 2}{\alpha - 1} \]

Reorganizando la ecuación para \(\alpha\):

\[ 3(\alpha - 1) = 2\alpha \]

\[ 3\alpha - 3 = 2\alpha \]

\[ \alpha = 3 \]

Por lo tanto, el parámetro \(\alpha\) para la distribución de Pareto es 3.

Cálculo en R

Puedes calcular el parámetro \(\alpha\) usando el siguiente código en R:

# Parámetros
k <- 2
E_X <- 3

# Calcular el parámetro alpha
alpha <- (E_X * k) / (E_X - k)
alpha

## [1] 6

2. Bajo la hipótesis de que \(X\) sigue una distribución exponencial desplazada, calcula su varianza.

Considera que la variable aleatoria continua \(X\) sigue una distribución exponencial desplazada con parámetro \(\lambda\). Sabemos que \(X > k\), con \(k = 2\), y que su media es \(E(X) = 3\).

Para una distribución exponencial desplazada, la media está dada por:

\[ E(X) = \frac{1}{\lambda} + k \]

Dado que \(E(X) = 3\) y \(k = 2\), podemos resolver para \(\lambda\) de la siguiente manera:

\[ 3 = \frac{1}{\lambda} + 2 \]

Reorganizando la ecuación para \(\lambda\):

\[ \frac{1}{\lambda} = 3 - 2 \]

\[ \frac{1}{\lambda} = 1 \]

\[ \lambda = 1 \]

La varianza de una distribución exponencial desplazada es:

\[ \text{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2} \]

Dado que \(\lambda = 1\), la varianza es:

\[ \text{Var}(X) = \frac{1}{1^2} = 1 \]

Cálculo en R

Puedes calcular el parámetro \(\lambda\) y la varianza usando el siguiente código en R:

# Parámetros
k <- 2
E_X <- 3

# Calcular el parámetro lambda
lambda <- 1 / (E_X - k)

# Calcular la varianza
variance_exp <- 1 / lambda^2

lambda

## [1] 1

variance_exp

## [1] 1

3. Analiza las diferencias en varianza de las posibilidades anteriores.

Ahora compararemos la varianza entre las dos distribuciones consideradas:

1. Distribución de Pareto: La varianza está dada por:

\[ \text{Var}(X) = \frac{k^2 \cdot \alpha}{(\alpha - 2) \cdot (\alpha - 1)^2} \]

donde \(k = 2\) y \(\alpha\) se calculó anteriormente como 3.

2. Distribución Exponencial Desplazada: La varianza está dada por:

\[ \text{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2} \]

donde \(\lambda = 1\), como se calculó anteriormente.

Cálculo en R

Vamos a calcular la varianza para ambas distribuciones usando el siguiente código en R:

# Parámetros
k <- 2
alpha <- 3
lambda <- 1

# Varianza para la distribución de Pareto
variance_pareto <- (alpha * k^2) / ((alpha - 2) * (alpha - 1)^2)

# Varianza para la distribución exponencial desplazada
variance_exp <- 1 / lambda^2

variance_pareto

## [1] 3

variance_exp

## [1] 1

4. Analiza las diferencias entre las probabilidades de que dicha variable tome valores superiores a 10, bajo ambas condiciones.

Vamos a calcular la probabilidad de que la variable aleatoria \(X\) tome valores superiores a 10 en ambas distribuciones:

1. Distribución de Pareto: La probabilidad de que \(X\) sea mayor que un valor \(x\) para una distribución de Pareto de primer tipo con parámetros \(k\) y \(\alpha\) se calcula con:

\[ P(X > x) = \left(\frac{k}{x}\right)^\alpha \]

2. Distribución Exponencial Desplazada: La probabilidad de que \(X\) sea mayor que un valor \(x\) para una distribución exponencial desplazada con parámetro \(\lambda\) se calcula con:

\[ P(X > x) = \exp(-\lambda (x - k)) \]

donde \(k = 2\) para ambas distribuciones y \(\lambda\) se calcula como 1.

Cálculo en R

Vamos a calcular la probabilidad para ambas distribuciones usando el siguiente código en R:

# Parámetros
k <- 2
alpha <- 3
lambda <- 1
x <- 10

# Probabilidad para la distribución de Pareto
prob_pareto <- (k / x)^alpha

# Probabilidad para la distribución exponencial desplazada
prob_exp <- exp(-lambda * (x - k))

prob_pareto

## [1] 0.008

prob_exp

## [1] 0.0003354626

5. Representa gráficamente \(f(2)\), \(f(3)\), \(f(4)\) y \(f(10)\), en ambas situaciones, para darte una idea de cómo decrecen ambas distribuciones.

Para visualizar cómo decrecen las funciones de densidad de ambas distribuciones, vamos a calcular y graficar los valores de \(f(x)\) para \(x = 2, 3, 4\) y \(10\) en ambas distribuciones.

1. Distribución de Pareto: La función de densidad para una distribución de Pareto de primer tipo con parámetros \(k\) y \(\alpha\) es:

\[ f(x) = \frac{\alpha k^\alpha}{x^{\alpha + 1}} \text{ para } x \geq k \]

2. Distribución Exponencial Desplazada: La función de densidad para una distribución exponencial desplazada con parámetro \(\lambda\) es:

\[ f(x) = \lambda \exp(-\lambda (x - k)) \text{ para } x \geq k \]

Cálculo en R

Vamos a calcular y graficar las funciones de densidad para ambas distribuciones usando el siguiente código en R:

# Parámetros
k <- 2
alpha <- 3
lambda <- 1
x_values <- c(2, 3, 4, 10)

# Función de densidad para la distribución de Pareto
f_pareto <- function(x, k, alpha) {
  ifelse(x >= k, alpha * k^alpha / x^(alpha + 1), 0)
}
pareto_density <- sapply(x_values, f_pareto, k = k, alpha = alpha)

# Función de densidad para la distribución exponencial desplazada
f_exp <- function(x, lambda, k) {
  ifelse(x >= k, lambda * exp(-lambda * (x - k)), 0)
}
exp_density <- sapply(x_values, f_exp, lambda = lambda, k = k)

# Crear un data frame para graficar
library(ggplot2)
density_df <- data.frame(
  x = rep(x_values, 2),
  Density = c(pareto_density, exp_density),
  Distribution = rep(c("Pareto", "Exponential"), each = length(x_values))
)

# Graficar las funciones de densidad
ggplot(density_df, aes(x = x, y = Density, color = Distribution)) +
  geom_point() +
  geom_line() +
  labs(title = "Funciones de Densidad para Distribuciones de Pareto y Exponencial Desplazada",
       x = "Valor de x",
       y = "Densidad",
       color = "Distribución") +
  theme_minimal()

Problema de Reclamaciones por Incendio

A partir de datos relativos a 1000 edificios, cada uno con 10 viviendas, se ha estimado para la variable aleatoria \(X\): número de reclamaciones por incendio por edificio, los siguientes estadísticos muestrales: \(\bar{x} = 0.3\) y \(s^2 = 1.164\).

# Datos
x_bar <- 3
s2 <- 1.164

a) Distribución Uniforme

Estima los parámetros, bajo la hipótesis de que la distribución de \(X\) es uniforme. Calcula en este caso las probabilidades \(P(X = 0)\), \(P(X = 1)\), \(P(X = 2)\) y \(P(X = 3)\).

# a) Distribución Uniforme
a <- x_bar - sqrt(3 * s2) / 2
b <- x_bar + sqrt(3 * s2) / 2

# Probabilidades para la distribución uniforme
prob_uniforme <- function(k) {
  ifelse(k < a | k > b, 0, 1 / (b - a))
}

# Valores solicitados
prob_uniforme(c(0, 1, 2, 3))

## [1] 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.5351344

b) Distribución Binomial

Estima los parámetros, bajo la hipótesis de que la distribución de \(X\) es binomial. Calcula en este caso las probabilidades \(P(X = 0)\), \(P(X = 1)\), \(P(X = 2)\) y \(P(X = 3)\).

# Datos
x_bar <- 3
s2 <- 1.164

# b) Distribución Binomial

# Estimación de parámetros usando fórmulas
# Media = np
# Varianza = np(1 - p)

# Resolver para p y n
# Estimamos p y n usando aproximaciones
p <- 1-s2/x_bar 
n <- round(x_bar^2 / p)



# Probabilidades
prob_binomial <- dbinom(c(0, 1, 2, 3), size = n, prob = p)
prob_binomial

## [1] 6.799483e-07 1.608744e-05 1.776252e-04 1.214077e-03

c) Distribución de Poisson

Estima los parámetros, bajo la hipótesis de que la distribución de \(X\) es de Poisson. Calcula en este caso las probabilidades \(P(X = 0)\), \(P(X = 1)\), \(P(X = 2)\) y \(P(X = 3)\).

# c) Distribución de Poisson
x_bar <- 3
s2 <- 1.164
lambda <- x_bar
prob_poisson <- dpois(c(0, 1, 2, 3), lambda = lambda)
prob_poisson

## [1] 0.04978707 0.14936121 0.22404181 0.22404181