Definición
El límite de una función \(f(x)\) cuando \(x\) tiende a un valor \(c\) es el valor al que se acerca \(f(x)\) conforme \(x\) se aproxima a \(c\). Formalmente, decimos que
\(\lim\limits_{x \to c} f(x) = L\) si para cada \(\epsilon > 0\) existe un \(\delta > 0\) tal que, si \(0 < |x - c| < \delta\), entonces \(|f(x) - L| < \epsilon\)
Ejemplo
Dada la función \(f(x) = 2x + 3\), demostraremos que el \(\lim\limits_{x \to 1} f(x) = 5\) usando la definición formal de límite.
\(\Rightarrow\) Para \(\epsilon > 0\), debemos encontrar un \(\delta > 0\) tal que si \(0 < |x - 1| < \delta\), entonces \(|f(x) - 5| < \epsilon\).
\(\Rightarrow\) Comenzamos con \(|f(x) - 5| = |2x + 3 - 5| = |2x - 2| = 2|x - 1|\).
\(\Rightarrow\) Queremos que \(2|x - 1| < \epsilon\), lo que implica \(|x - 1| < \frac{\epsilon}{2}\).
\(\Rightarrow\) Por lo tanto, si tomamos \(\delta = \frac{\epsilon}{2}\), entonces para \(0 < |x - 1| < \delta\), se cumple que \(|f(x) - 5| < \epsilon\). Esto demuestra que \(\lim\limits_{x \to 1} (2x + 3) = 5\).
Ejemplo
Dada la función \(f(x) = x^2 + 2x + 1\), demostraremos que el \(\lim\limits_{x \to 1} f(x) = 4\) usando la definición formal de límite.
\(\Rightarrow\) Para \(\epsilon > 0\), debemos encontrar un \(\delta > 0\) tal que si \(0 < |x - 1| < \delta\), entonces \(|f(x) - 4| < \epsilon\).
\(\Rightarrow\) Comenzamos con \(|f(x) - 4| = |x^2 + 2x + 1 - 4| = |x^2 + 2x - 3|\).
\(\Rightarrow\) Factorizamos: \(|f(x) - 4| = |(x - 1)(x + 3)|\).
\(\Rightarrow\) Queremos que \(|(x - 1)(x + 3)| < \epsilon\). Si \(|x - 1| < 1\), entonces \(|x + 3|\) está acotado por 4, lo que implica que \(|(x - 1)(x + 3)| < 4|x - 1|\).
\(\Rightarrow\) Queremos que \(4|x - 1| < \epsilon\), lo que implica \(|x - 1| < \frac{\epsilon}{4}\).
\(\Rightarrow\) Por lo tanto, si tomamos \(\delta = \frac{\epsilon}{4}\), entonces para \(0 < |x - 1| < \delta\), se cumple que \(|f(x) - 4| < \epsilon\). Esto demuestra que \(\lim\limits_{x \to 1} (x^2 + 2x + 1) = 4\).
Definición
El límite de una función polinomial cuando \(x\) tiende a un valor \(c\) se obtiene simplemente evaluando la función.
\[\lim\limits_{x \to c} f(x) = f(c) = a_nc^n + a_{n-1}c^{n-1} + \cdots + a_1c + a_0.\]
Ejemplo
Calcula el límite de la función constante \(f(x) = 7\) cuando \(x\) tiende a \(3\):
\[\lim\limits_{x \to 3} 7\]
Dado que \(f(x)\) es una función constante, el límite será simplemente el valor constante. Por lo tanto:
\[\lim\limits_{x \to 3} 7 = 7\]
Ejemplo
Calcula el límite de la función lineal \(f(x) = 2x + 5\) cuando \(x\) tiende a \(4\):
\[\lim\limits_{x \to 4} (2x + 5)\]
Sustituimos \(x\) por \(4\) en la función:
\[\lim\limits_{x \to 4} (2x + 5) = 2(4) + 5 = 8 + 5 = 13\]
Ejemplo
Calcula el límite de la función cuadrática \(f(x) = x^2 - 3x + 2\) cuando \(x\) tiende a -1:
\[\lim\limits_{x \to -1} (x^2 - 3x + 2)\]
Sustituimos \(x\) por \(-1\) en la función:
\[\lim\limits_{x \to -1} (x^2 - 3x + 2) = (-1)^2 - 3(-1) + 2 = 1 + 3 + 2 = 6\]