rm(list=ls()) # limpa os objetos da ultima execução
options(scipen = 9999, # inibe exibição de resultaos em notação científica
digits = 8, # limita o número de digitos das saídas do programa
max.print = 20) # limita o tamanho da saída do programa
library(lifecontingencies) # pacote com operações financeiras e atuariais
library(magrittr) # pacote com operadores semânticos %>%, %$%
library(kableExtra) # pacote para formatar tabelas
library(readxl) # pacote para ler e manipular arquivos xlsx
library(ggplot2) # pacote para elaboração de gráficos
library(MortalityTables) # pacote para manipulação de tábuas biométricasConsiderando a tábua BR-EMS 2021mt-v.2021 feminina e masculina e i = 5,27 % a.a.
setwd("C:/Users/cleod/OneDrive/Documentos/Documentos/Estudos/Ciências Atuariais/Matemática Atuarial II")
tabuas <- read_excel('Tábuas.xlsx')
tabua_mas <- tabuas[, c("Idade", "BR-EMSmt-v.2021-m")]
names(tabua_mas) <- c("x", "qx")
tabua_fem <- tabuas[, c("Idade", "BR-EMSmt-v.2021-f")]
names(tabua_fem) <- c("y", "qy")tabua_mas <- probs2lifetable(probs = tabua_mas$qx, type = 'qx', radix = 100000, name = 'BR-EMSmt-v.2021-m')
tabua_mas <- new('actuarialtable', x = tabua_mas@x, lx = tabua_mas@lx, interest = 0.0527, name = 'BR-EMSmt-v.2021-m')
print(tabua_mas)## Actuarial table BR-EMSmt-v.2021-m interest rate 5.27 %
##
## x lx Dx Nx Cx Mx Rx
## 1 0 100000.00 100000.000 1942347.5 35.223473 2762.6925 155098.87
## 2 1 99962.92 94958.602 1842347.5 21.837231 2727.4690 152336.18
## [ reached 'max' / getOption("max.print") -- omitted 116 rows ]tabua_fem <- probs2lifetable(probs = tabua_fem$qy, type = 'qx', radix = 100000, name = 'BR-EMSmt-v.2021-f')
tabua_fem <- new('actuarialtable', x = tabua_fem@x, lx = tabua_fem@lx, interest = 0.0527, name = 'BR-EMSmt-v.2021-f')
print(tabua_fem)## Actuarial table BR-EMSmt-v.2021-f interest rate 5.27 %
##
## x lx Dx Nx Cx Mx Rx
## 1 0 100000.000 100000.000 1955649.8 33.677714 2096.7543 128399.87
## 2 1 99964.547 94960.148 1855649.8 20.351222 2063.0766 126303.12
## [ reached 'max' / getOption("max.print") -- omitted 115 rows ]O presente trabalho (realizado em grupo, até três integrantes, com valor de 6,00) tem como objetivo simular o cálculo envolvido em uma proposta em andamento para a migração de um plano de benefícios do fundo de pensão JP. A proposta em questão diz respeito à solicitação de migração de uma participante aposentada de 60 anos, que, em caso de seu falecimento, tem como beneficiário seu filho de 15 anos. Atualmente, ela está inscrita no Plano JP-BD e busca migrar para o Plano JP-CD. Abaixo, destacam-se as seguintes observações:
A Reserva de migração individual da participante na data de referência é de R$ 1.453.699,88.
O valor de Benefício JP-BD da participante mensal na data de referência é de R$ 14.766,58.
A partir do momento da migração, a participante assistida pode optar por realizar um saque único de até 15% do saldo da conta de benefício concedido, ou optar por não fazê- lo.
O saldo remanescente da conta de benefício concedido será transformado em benefício mensal, de acordo com a modalidade de recebimento escolhida pelo participante: prazo indeterminado, prazo determinado (10, 20 ou 45 anos) ou percentual do saldo da conta individual (0,2%, 0,5% ou 1%).
Tábua de mortalidade: BR-EMSmt-v.2021 (masculina e feminina)
Taxa de juros atuarial: 5,27% a.a.
Taxa de contribuição mensal: inativa 3% a.a.
Data de referência: 31/12/2021
O pagamento de benefícios ocorre 13 vezes por ano.
O benefício de pensão em caso de morte da participante é concedido ao filho até completar 21 anos, sendo 70% do valor do benefício do participante.
As premissas são iguais às da avaliação atuarial na data de referência do plano de origem (JP-BD).
Os valores das simulações contemplam apenas benefício a ser pago pelo fundo de pensão JP, excluindo qualquer benefício de previdência oficial.
O trabalho deve ser elaborado em formato de relatório (word) e incluir o desenvolvimento no software R ou Excel como anexo.
Estimativa da reserva de migração individual em 31/12/2022.
Calcule os valores de Saque único da participante nas formas: Sem saque, 5%, 10% e 15% do saldo da conta de benefício concedido. O saldo da conta de benefício concedido é igual à reserva de migração (Reserva matemática no momento de migração, ou seja, em 31/12/2022.).
Elabore e compare cenários do valor de benefício mensal para cada uma das modalidades de recebimento previstas na proposta, considerando as diversas opções de saque.
# Atribuição dos valores
x <- 60
y <- 15
idades <- c(60,15)
tabuas <- list(tabua_fem, tabua_mas)
benef <- 14766.58
pens <- 0.7 * benef
v_2021 <- 1453699.88
k <- 12
pgtos <- 13
aliq <- 0.03
v <- 1/1.0527
a_60_1 <- axn(tabua_fem, x = x, n = 1, k = k, payment = 'advance')
a_60.15_1 <- axn(tabua_mas, x = y, n = 1, k = k, payment = 'advance') - axyzn(tabuas, idades, n = 1, k = k, status = 'joint', payment = 'advance')
# Cálculo da Reserva
reserva_2022 <- (v_2021 + (benef * pgtos * aliq * a_60_1) - (benef * pgtos * a_60_1) - (pens * pgtos * a_60.15_1)) / (v * pxyzt(tabuas, idades, t = 1, status = 'joint'))
# Visualização dos valores
reserva <- paste("RS", format(reserva_2022, decimal.mark = ",", big.mark = ".", nsmall = 2, digits = 4))Resposta:
Para o cálculo da reserva na data de 31/12/2022, utilizamos a expressão por recorrência:
\[ {}_{1}V_{60|15} = \frac{1.453.699,88 + 13 \cdot 0,03 \cdot 14.766,58 \cdot ä^{(12)}_{60:\overline{1|}} - 13 \cdot 14.766,58 \cdot ä^{(12)}_{60:\overline{1|}} - 13 \cdot 0,7 \cdot 14.766,58 \cdot ä^{(12)}_{60|15:\overline{1|}}}{{}_{1}E_{60;15}} \]
Assim, o valor da Reserva Matemática para o final do ano de 2022 deverá ser de RS 1.347.250,60.
# Atribuição de percentuais de saque
perc_0 <- 0
perc_5 <- 0.05
perc_10 <- 0.1
perc_15 <- 0.15
# Cálculo dos saques
saque_0 <- reserva_2022 * perc_0
saque_5 <- reserva_2022 * perc_5
saque_10 <- reserva_2022 * perc_10
saque_15 <- reserva_2022 * perc_15
# Saldos Remanescentes
saldo_0 <- reserva_2022 - saque_0
saldo_5 <- reserva_2022 - saque_5
saldo_10 <- reserva_2022 - saque_10
saldo_15 <- reserva_2022 - saque_15Resposta:
A tabela a seguir demonstra os valores para as possibilidades de saque (sem saque, 5%, 10% ou 15%) e os saldos remanenescentes para a migração.
| Opções de Saque | Valor do Saque | Saldo Remanescente |
|---|---|---|
| Sem saque | RS 0,00 | RS 1.347.250,60 |
| Saque de 5% | RS 67.362,53 | RS 1.279.888,07 |
| Saque de 10% | RS 134.725,06 | RS 1.212.525,54 |
| Saque de 15% | RS 202.087,59 | RS 1.145.163,01 |
## Cálculo dos novos benefícios
# Opção sem saque
# Vitalício
idades_1 <- c(61,16)
a_61 <- axn(tabua_fem, x = 61, k = k, payment = 'advance')
a_61.16_5 <- axn(tabua_mas, x = 16, n = 5, k = k, payment = 'advance') - axyzn(tabuas, idades_1,n = 5, k = k, status = 'joint', payment = 'advance')
benef_vit <- saldo_0 / (pgtos * (a_61 + 0.7 * a_61.16_5))
# Temporário de 10 anos
a_61_10 <- axn(tabua_fem, x = 61, n = 10, k = k, payment = 'advance')
benef_t10 <- saldo_0 / (pgtos * (a_61_10 + 0.7 * a_61.16_5))
# Temporário de 20 anos
a_61_20 <- axn(tabua_fem, x = 61, n = 20, k = k, payment = 'advance')
benef_t20 <- saldo_0 / (pgtos * (a_61_20 + 0.7 * a_61.16_5))
# Temporário de 45 anos
a_61_45 <- axn(tabua_fem, x = 61, n = 45, k = k, payment = 'advance')
benef_t45 <- saldo_0 / (pgtos * (a_61_45 + 0.7 * a_61.16_5))
# 0,2% sobre o saldo
benef_0.2 <- saldo_0 * 0.002
# 0,5% sobre o saldo
benef_0.5 <- saldo_0 * 0.005
# 1% sobre o saldo
benef_1 <- saldo_0 * 0.01
# Opção saque 5%
# Vitalício
benef_vit_5 <- saldo_5 / (13 *(a_61 + 0.7 * a_61.16_5))
# Temporário de 10 anos
benef_t10_5 <- saldo_5 / (13 * (a_61_10 + 0.7 * a_61.16_5))
# Temporário de 20 anos
benef_t20_5 <- saldo_5 / (13 * (a_61_20 + 0.7 * a_61.16_5))
# Temporário de 45 anos
benef_t45_5 <- saldo_5 / (13 * (a_61_45 + 0.7 * a_61.16_5))
# 0,2% sobre o saldo
benef_0.2_5 <- saldo_5 * 0.002
# 0,5% sobre o saldo
benef_0.5_5 <- saldo_5 * 0.005
# 1% sobre o saldo
benef_1_5 <- saldo_5 * 0.01
# Opção saque 10%
# Vitalício
benef_vit_10 <- saldo_10 / (13 *(a_61 + 0.7 * a_61.16_5))
# Temporário de 10 anos
benef_t10_10 <- saldo_10 / (13 * (a_61_10 + 0.7 * a_61.16_5))
# Temporário de 20 anos
benef_t20_10 <- saldo_10 / (13 * (a_61_20 + 0.7 * a_61.16_5))
# Temporário de 45 anos
benef_t45_10 <- saldo_10 / (13 * (a_61_45 + 0.7 * a_61.16_5))
# 0,2% sobre o saldo
benef_0.2_10 <- saldo_10 * 0.002
# 0,5% sobre o saldo
benef_0.5_10 <- saldo_10 * 0.005
# 1% sobre o saldo
benef_1_10 <- saldo_10 * 0.01
# Opção saque 15%
# Vitalício
benef_vit_15 <- saldo_15 / (13 *(a_61 + 0.7 * a_61.16_5))
# Temporário de 10 anos
benef_t10_15 <- saldo_15 / (13 * (a_61_10 + 0.7 * a_61.16_5))
# Temporário de 20 anos
benef_t20_15 <- saldo_15 / (13 * (a_61_20 + 0.7 * a_61.16_5))
# Temporário de 45 anos
benef_t45_15 <- saldo_15 / (13 * (a_61_45 + 0.7 * a_61.16_5))
# 0,2% sobre o saldo
benef_0.2_15 <- saldo_15 * 0.002
# 0,5% sobre o saldo
benef_0.5_15 <- saldo_15 * 0.005
# 1% sobre o saldo
benef_1_15 <- saldo_15 * 0.01Resposta:
A tabela a seguir demonstra os valores do novo benefício mensal conforme a opção de saque (sem saque, 5%, 10% ou 15%) e a modalidade de recebimento (vitalícia, temporária de 10, 20 ou 45 anos ou percentual do saldo da conta individual de 0,2%, 0,5% ou 1%).
Para o cálculo do benefício nas modalidades de recebimento vitalícia ou temporária de 10, 20 ou 45 anos, utilizamos a seguinte formulação:
\[ Benefício = \frac{{}_{1}V_{60|15} \cdot [1; 0,95; 0,90; 0,85]}{13 \cdot (ä^{(12)}_{61:?} + 0,7 \cdot ä^{(12)}_{61|16:\overline{5|}})} \]
Por sua vez, para o cálculo do benefício na modalidade percentual do saldo em conta, foi utilizada a seguinte formulação:
\[ Benefício = {}_{1}V_{60|15} \cdot [1; 0,95; 0,90; 0,85] \cdot [0,2\%; 0,5\%; 1\%] \]
| Opções de Benefício | Sem Saque | Saque de 5% | Saque de 10% | Saque de 15% |
|---|---|---|---|---|
| Valor do Saque | RS 0,00 | RS 67.362,53 | RS 134.725,06 | RS 202.087,59 |
| Vitalício | R$ 7.708,45 | R$ 7.323,03 | R$ 6.937,60 | R$ 6.552,18 |
| Temporário de 10 anos | R$ 13.627,59 | R$ 12.946,21 | R$ 12.264,83 | R$ 11.583,45 |
| Temporário de 20 anos | R$ 9.023,77 | R$ 8.572,58 | R$ 8.121,39 | R$ 7.670,20 |
| Temporário de 45 anos | R$ 7.709,18 | R$ 7.323,72 | R$ 6.938,26 | R$ 6.552,80 |
| 0,2% do saldo | R$ 2.694,50 | R$ 2.559,78 | R$ 2.425,05 | R$ 2.290,33 |
| 0,5% do saldo | R$ 6.736,25 | R$ 6.399,44 | R$ 6.062,63 | R$ 5.725,82 |
| 1% do saldo | R$ 13.472,51 | R$ 12.798,88 | R$ 12.125,26 | R$ 11.451,63 |