Bsc. Gianfranco David Chamorro Rodriguez
Email: gianfranco.chamorror@gmail.com
Este documento reúne una serie de ejercicios resueltos sobre Distribuciones de Probabilidad Discreta, diseñados como complemento al curso de Estadística Básica. Estos ejercicios están orientados a reforzar el entendimiento de los conceptos tratados en clase, permitiendo a los estudiantes aplicar de manera práctica lo aprendido en temas como la distribución binomial, la distribución de Poisson, entre otros.
Además de proporcionar una resolución detallada de cada problema, este documento también incluye ejemplos de código en RStudio, facilitando así la comprensión y aplicación de las herramientas estadísticas en un entorno de programación. Esto permitirá a los estudiantes no solo afianzar su conocimiento teórico, sino también adquirir habilidades prácticas en el manejo de software estadístico, un componente crucial para el análisis de datos en la actualidad.
Se lanzan 20 monedas donde la probabilidad de obtener cara es 0,6. Se pide calcular:
La variable aleatoria que describe el número de caras obtenidas sigue una distribución binomial con parámetros \(n = 20\) y \(p = 0,6\).
El número más probable de caras (moda) se calcula con la siguiente fórmula:
\[ k_{\text{moda}} = \left\lfloor (n + 1) \cdot p \right\rfloor \]
Sustituyendo los valores:
\[ k_{\text{moda}} = \left\lfloor (20 + 1) \cdot 0,6 \right\rfloor = \left\lfloor 12,6 \right\rfloor = 12 \]
Por lo tanto, el número más probable de caras es 12.
La probabilidad de obtener exactamente 12 caras se calcula con la fórmula de la distribución binomial:
\[ P(X = 12) = \binom{20}{12} \cdot 0,6^{12} \cdot 0,4^8 \]
Calculando paso a paso:
\[ \binom{20}{12} = \frac{20!}{12! \cdot (20 - 12)!} = \frac{20!}{12! \cdot 8!} = 125970 \]
\[ 0,6^{12} \approx 0,0022 \] \[ 0,4^8 \approx 0,0007 \]
\[ P(X = 12) \approx 125970 \cdot 0,0022 \cdot 0,0007 \approx 0,1797 \]
Por lo tanto, la probabilidad de obtener exactamente 12 caras es aproximadamente 0,1797.
Para confirmar estos cálculos, utilizamos R:
# Parámetros
n <- 20
p <- 0.6
# Número más probable de caras
k_moda <- floor((n + 1) * p)
# Cálculo de la probabilidad para 12 caras
probabilidad_12 <- dbinom(k_moda, n, p)
# Mostrar resultados
list(
"Número más probable de caras" = k_moda,
"Probabilidad de obtener 12 caras" = probabilidad_12
)## $`Número más probable de caras`
## [1] 12
##
## $`Probabilidad de obtener 12 caras`
## [1] 0.1797058En una urna hay 30 bolas, de las cuales 10 son rojas y el resto son blancas. Se elige una bola al azar y se repite el proceso 10 veces, devolviendo la bola cada vez. Calcularemos la media y la desviación típica de la distribución binomial correspondiente.
La media (o esperanza matemática) de una distribución binomial se calcula con la fórmula:
\[ \mu = n \cdot p \]
donde:
Cálculo:
\[ \mu = 10 \cdot \frac{1}{3} = \frac{10}{3} \approx 3,33 \]
La desviación típica (o desviación estándar) de una distribución binomial se calcula con la fórmula:
\[ \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} \]
donde:
Cálculo:
\[ \sigma^2 = n \cdot p \cdot (1 - p) \] \[ \sigma^2 = 10 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \] \[ \sigma^2 = 10 \cdot \frac{2}{9} \] \[ \sigma^2 = \frac{20}{9} \] \[ \sigma \approx \sqrt{\frac{20}{9}} \approx 1,49 \]
Por lo tanto, la desviación típica es aproximadamente 1,49.
# Datos del problema
n <- 10 # Número de experimentos
p <- 10 / 30 # Probabilidad de éxito
# Cálculo de la media
media <- n * p
# Cálculo de la desviación típica
desviacion_tipica <- sqrt(n * p * (1 - p))
# Mostrar resultados
media## [1] 3.333333## [1] 1.490712Un centro de llamadas recibe en promedio 4 llamadas por hora. Suponiendo que las llamadas llegan de manera aleatoria y que el número de llamadas por hora sigue una distribución de Poisson, contesta las siguientes preguntas:
La distribución de Poisson se define como:
\[ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \]
donde: - \(\lambda\) es la tasa promedio de eventos (4 llamadas por hora), - \(k\) es el número de eventos (5 llamadas en este caso), - \(e\) es la base del logaritmo natural (aproximadamente 2.71828).
Datos:
Cálculo:
A. Calcular \(\lambda^k\):
\[ 4^5 = 1024 \]
B. Calcular \(e^{-\lambda}\):
\[ e^{-4} \approx 0.0183 \]
C. Calcular \(k!\) (factorial de 5):
\[ 5! = 120 \]
D. Aplicar la fórmula:
\[ P(X = 5) = \frac{4^5 \cdot e^{-4}}{5!} \] \[ P(X = 5) = \frac{1024 \cdot 0.0183}{120} \] \[ P(X = 5) \approx \frac{18.7392}{120} \] \[ P(X = 5) \approx 0.1562 \]
Para calcular esta probabilidad, sumamos las probabilidades de recibir 0, 1 y 2 llamadas:
\[ P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \]
Cálculo:
\[ P(X = 0) = \frac{4^0 \cdot e^{-4}}{0!} \] \[ P(X = 0) = \frac{1 \cdot 0.0183}{1} \] \[ P(X = 0) \approx 0.0183 \]
\[ P(X = 1) = \frac{4^1 \cdot e^{-4}}{1!} \] \[ P(X = 1) = \frac{4 \cdot 0.0183}{1} \] \[ P(X = 1) \approx 0.0732 \]
\[ P(X = 2) = \frac{4^2 \cdot e^{-4}}{2!} \] \[ P(X = 2) = \frac{16 \cdot 0.0183}{2} \] \[ P(X = 2) \approx \frac{0.2938}{2} \] \[ P(X = 2) \approx 0.1469 \]
\[ P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \] \[ P(X \leq 2) \approx 0.0183 + 0.0732 + 0.1469 \] \[ P(X \leq 2) \approx 0.238 \]
A continuación, se muestra el código R para realizar estos cálculos:
# Parámetros
lambda <- 4
# 1. Probabilidad de recibir exactamente 5 llamadas
k_1 <- 5
prob_5_llamadas <- (lambda^k_1 * exp(-lambda)) / factorial(k_1)
# 2. Probabilidad de recibir 2 o menos llamadas
k_2 <- 2
prob_0_llamadas <- (lambda^0 * exp(-lambda)) / factorial(0)
prob_1_llamada <- (lambda^1 * exp(-lambda)) / factorial(1)
prob_2_llamadas <- (lambda^2 * exp(-lambda)) / factorial(2)
prob_2_o_menos_llamadas <- prob_0_llamadas + prob_1_llamada + prob_2_llamadas
# Mostrar resultados
prob_5_llamadas## [1] 0.1562935## [1] 0.2381033Una tienda de café recibe en promedio 3 clientes por hora. Suponiendo que los clientes llegan de manera aleatoria y que el número de clientes por hora sigue una distribución de Poisson, contesta las siguientes preguntas:
La distribución de Poisson se define como:
\[ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \]
donde: - \(\lambda\) es la tasa promedio de eventos (3 clientes por hora), - \(k\) es el número de eventos (2 clientes en este caso), - \(e\) es la base del logaritmo natural (aproximadamente 2.71828).
Datos:
Cálculo:
A. Calcular \(\lambda^k\):
\[ 3^2 = 9 \]
B. Calcular \(e^{-\lambda}\):
\[ e^{-3} \approx 0.0498 \]
C. Calcular \(k!\) (factorial de 2):
\[ 2! = 2 \]
D. Aplicar la fórmula:
\[ P(X = 2) = \frac{3^2 \cdot e^{-3}}{2!} \] \[ P(X = 2) = \frac{9 \cdot 0.0498}{2} \] \[ P(X = 2) \approx \frac{0.4482}{2} \] \[ P(X = 2) \approx 0.224 \]
Para calcular esta probabilidad, primero calculamos la probabilidad de recibir 0, 1, 2 y 3 clientes, y luego restamos esa suma de 1:
\[ P(X \geq 4) = 1 - P(X < 4) \]
donde:
\[ P(X < 4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) \]
Cálculo:
A. Probabilidad de recibir exactamente 0 clientes:
\[ P(X = 0) = \frac{3^0 \cdot e^{-3}}{0!} = \frac{1 \cdot 0.0498}{1} \approx 0.0498 \]
B. Probabilidad de recibir exactamente 1 cliente:
\[ P(X = 1) = \frac{3^1 \cdot e^{-3}}{1!} = \frac{3 \cdot 0.0498}{1} \approx 0.1494 \]
C. Probabilidad de recibir exactamente 2 clientes (ya calculada):
\[ P(X = 2) \approx 0.2241 \]
D. Probabilidad de recibir exactamente 3 clientes:
\[ P(X = 3) = \frac{3^3 \cdot e^{-3}}{3!} = \frac{27 \cdot 0.0498}{6} \approx 0.2241 \]
E. Sumar las probabilidades de recibir 0, 1, 2 y 3 clientes:
\[ P(X < 4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) \] \[ P(X < 4) \approx 0.0498 + 0.1494 + 0.2241 + 0.2241 \] \[ P(X < 4) \approx 0.6474 \]
F. Calcular la probabilidad de recibir 4 o más clientes:
\[ P(X \geq 4) = 1 - P(X < 4) \] \[ P(X \geq 4) = 1 - 0.6474 \] \[ P(X \geq 4) \approx 0.3527 \]
A continuación, se muestra el código R para realizar estos cálculos:
# Parámetros
lambda <- 3
# 1. Probabilidad de recibir exactamente 2 clientes
k_1 <- 2
prob_2_clientes <- (lambda^k_1 * exp(-lambda)) / factorial(k_1)
# 2. Probabilidad de recibir 4 o más clientes
k_max <- 3
prob_menor_4_clientes <- sum(dpois(0:3, lambda))
prob_4_o_mas_clientes <- 1 - prob_menor_4_clientes
# Mostrar resultados
prob_2_clientes## [1] 0.2240418## [1] 0.3527681En una fábrica, la probabilidad de que una máquina funcione correctamente es de 0,8. Se realiza una prueba para saber si una máquina funciona correctamente o no.
La probabilidad de éxito en una distribución Bernoulli es:
\[ P(X = 1) = p = 0,8 \]
Un estudiante tiene una probabilidad de 0,7 de responder correctamente a una pregunta de un examen. Se realiza una prueba para saber si el estudiante responde correctamente o no.
Calcular la probabilidad de que el estudiante responda correctamente.
Calcular la probabilidad de que el estudiante no responda correctamente.
Probabilidad de que el estudiante responda correctamente:
La probabilidad de éxito en una distribución Bernoulli es:
\[ P(X = 1) = p = 0,7 \]
La probabilidad de fracaso es:
\[ P(X = 0) = 1 - p = 1 - 0,7 = 0,3 \]
# Parámetro
p <- 0.7
# Probabilidad de éxito
prob_exito <- p
# Probabilidad de fracaso
prob_fracaso <- 1 - p
# Mostrar resultados
prob_exito## [1] 0.7## [1] 0.3En un estudio de mercado, se realizan encuestas a 20 personas sobre sus preferencias entre tres marcas de teléfonos: Marca A, Marca B y Marca C. Supongamos que la probabilidad de que una persona elija la Marca A es 0,5, la de la Marca B es 0,3 y la de la Marca C es 0,2.
Calcular la probabilidad de que 10 personas elijan la Marca A, 6 personas elijan la Marca B y 4 personas elijan la Marca C.
Calcular la expectativa y la varianza para cada categoría.
Probabilidad de obtener 10, 6 y 4 personas en cada marca:
\[ P(X_A = 10, X_B = 6, X_C = 4) \approx 0,044 \]
Para Marca A:
\[ \mu_A = 10, \quad \sigma_A^2 = 5 \]
Para Marca B:
\[ \mu_B = 6, \quad \sigma_B^2 = 4,2 \]
Para Marca C:
\[ \mu_C = 4, \quad \sigma_C^2 = 3,2 \]
# Parámetros
n <- 20
p_A <- 0.5
p_B <- 0.3
p_C <- 0.2
k_A <- 10
k_B <- 6
k_C <- 4
# Probabilidad de obtener exactamente 10, 6 y 4 personas en cada marca
probabilidad <- dmultinom(c(k_A, k_B, k_C), size = n, prob = c(p_A, p_B, p_C))
# Expectativa
expectativa_A <- n * p_A
expectativa_B <- n * p_B
expectativa_C <- n * p_C
# Varianza
varianza_A <- n * p_A * (1 - p_A)
varianza_B <- n * p_B * (1 - p_B)
varianza_C <- n * p_C * (1 - p_C)
# Mostrar resultados
probabilidad## [1] 0.04419421## [1] 10## [1] 5## [1] 6## [1] 4.2## [1] 4## [1] 3.2En una encuesta con 25 personas, se les pregunta sobre sus preferencias entre cuatro marcas de autos: Marca X, Marca Y, Marca Z y Marca W. Supongamos que la probabilidad de que una persona elija la Marca X es 0,4, la de la Marca Y es 0,3, la de la Marca Z es 0,2 y la de la Marca W es 0,1.
Calcular la probabilidad de que 10 personas elijan la Marca X, 8 personas elijan la Marca Y, 4 personas elijan la Marca Z y 3 personas elijan la Marca W.
Calcular la expectativa y la varianza para cada categoría.
Probabilidad de obtener 10, 8, 4 y 3 personas en cada marca:
\[ P(X_X = 10, X_Y = 8, X_Z = 4, X_W = 3) \approx 0.0081 \]
Para Marca X:
\[ \mu_X = 10, \quad \sigma_X^2 = 6 \]
Para Marca Y:
\[ \mu_Y = 7,5, \quad \sigma_Y^2 = 5,25 \]
Para Marca Z:
\[ \mu_Z = 5, \quad \sigma_Z^2 = 4 \]
Para Marca W:
\[ \mu_W = 2,5, \quad \sigma_W^2 = 2,25 \]
# Parámetros
n <- 25
p_X <- 0.4
p_Y <- 0.3
p_Z <- 0.2
p_W <- 0.1
k_X <- 10
k_Y <- 8
k_Z <- 4
k_W <- 3
# Probabilidad de obtener exactamente 10, 8, 4 y 3 personas en cada marca
probabilidad <- dmultinom(c(k_X, k_Y, k_Z, k_W), size = n, prob = c(p_X, p_Y, p_Z, p_W))
# Expectativa
expectativa_X <- n * p_X
expectativa_Y <- n * p_Y
expectativa_Z <- n * p_Z
expectativa_W <- n * p_W
# Varianza
varianza_X <- n * p_X * (1 - p_X)
varianza_Y <- n * p_Y * (1 - p_Y)
varianza_Z <- n * p_Z * (1 - p_Z)
varianza_W <- n * p_W * (1 - p_W)
# Mostrar resultados
probabilidad## [1] 0.008103816## [1] 10## [1] 6## [1] 7.5## [1] 5.25## [1] 5## [1] 4## [1] 2.5## [1] 2.25Supongamos que la probabilidad de éxito en un ensayo de Bernoulli es \(p = 0.3\). Queremos calcular:
La probabilidad de que el primer éxito ocurra en el tercer ensayo.
La expectativa y la varianza de la distribución geométrica.
Probabilidad de que el primer éxito ocurra en el tercer ensayo:
La fórmula para la probabilidad es:
\[ P(X = k) = (1 - p)^{k-1} \cdot p \]
Para \(k = 3\) y \(p = 0.3\):
\[ P(X = 3) = (1 - 0.3)^{3-1} \cdot 0.3 \]
\[ P(X = 3) = 0.7^2 \cdot 0.3 = 0.49 \cdot 0.3 = 0.147 \]
La expectativa y la varianza son:
\[ \mu = \frac{1}{p} \]
\[ \sigma^2 = \frac{1 - p}{p^2} \]
Para \(p = 0.3\):
\[ \mu = \frac{1}{0.3} \approx 3.33 \]
\[ \sigma^2 = \frac{1 - 0.3}{0.3^2} = \frac{0.7}{0.09} \approx 7.78 \]
# Parámetro
p <- 0.3
k <- 3
# Probabilidad de que el primer éxito ocurra en el tercer ensayo
probabilidad <- dgeom(k - 1, prob = p)
# Expectativa
expectativa <- 1 / p
# Varianza
varianza <- (1 - p) / p^2
# Mostrar resultados
probabilidad## [1] 0.147## [1] 3.333333## [1] 7.777778Considera una situación donde la probabilidad de éxito en cada ensayo es \(p = 0.6\). Queremos calcular:
La probabilidad de que el primer éxito ocurra en el cuarto ensayo.
La expectativa y la varianza de la distribución geométrica.
Probabilidad de que el primer éxito ocurra en el cuarto ensayo:
La fórmula para la probabilidad es:
\[ P(X = k) = (1 - p)^{k-1} \cdot p \]
Para \(k = 4\) y \(p = 0.6\):
\[ P(X = 4) = (1 - 0.6)^{4-1} \cdot 0.6 \]
\[ P(X = 4) = 0.4^3 \cdot 0.6 = 0.064 \cdot 0.6 = 0.0384 \]
La expectativa y la varianza son:
\[ \mu = \frac{1}{p} \]
\[ \sigma^2 = \frac{1 - p}{p^2} \]
Para \(p = 0.6\):
\[ \mu = \frac{1}{0.6} \approx 1.67 \]
\[ \sigma^2 = \frac{1 - 0.6}{0.6^2} = \frac{0.4}{0.36} \approx 1.11 \]
# Parámetro
p <- 0.6
k <- 4
# Probabilidad de que el primer éxito ocurra en el cuarto ensayo
probabilidad <- dgeom(k - 1, prob = p)
# Expectativa
expectativa <- 1 / p
# Varianza
varianza <- (1 - p) / p^2
# Mostrar resultados
probabilidad## [1] 0.0384## [1] 1.666667## [1] 1.111111Supongamos que tenemos una urna con 40 bolas, de las cuales 15 son negras y 25 son blancas. Se seleccionan 8 bolas al azar sin reemplazo.
1. Probabilidad de obtener exactamente 4 bolas negras:
Para calcular esta probabilidad, usamos la fórmula de la distribución hipergeométrica:
\[ P(X = 4) = \frac{\binom{15}{4} \cdot \binom{25}{4}}{\binom{40}{8}} \]
Calculamos cada parte:
\[ \binom{15}{4} = \frac{15!}{4!(15-4)!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1365 \]
\[ \binom{25}{4} = \frac{25!}{4!(25-4)!} = \frac{25 \times 24 \times 23 \times 22}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 12650 \]
\[ \binom{40}{8} = \frac{40!}{8!(40-8)!} = \frac{40 \times 39 \times 38 \times 37 \times 36 \times 35 \times 34 \times 33}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 76904685 \]
Entonces:
\[ P(X = 4) = \frac{1365 \cdot 12650}{76904685} \approx 0.2245 \]
2. Esperanza y Varianza:
La esperanza (\(\mu\)) y la varianza (\(\sigma^2\)) se calculan como:
\[ \mu = n \cdot \frac{K}{N} = 8 \cdot \frac{15}{40} = 3 \]
\[ \sigma^2 = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N - n}{N - 1} \]
Donde: - \(N\) es el número total de bolas (40), - \(K\) es el número total de bolas negras (15), - \(n\) es el número de bolas seleccionadas (8).
Cálculo:
\[ \sigma^2 = 8 \cdot \frac{15}{40} \cdot \left(1 - \frac{15}{40}\right) \cdot \frac{40 - 8}{40 - 1} \]
\[ \sigma^2 = 8 \cdot \frac{15}{40} \cdot \frac{25}{40} \cdot \frac{32}{39} \]
\[ \sigma^2 = 8 \cdot 0.375 \cdot 0.625 \cdot 0.8205 \approx 1.538 \]
# Parámetros
N <- 40 # Total de bolas
K <- 15 # Bolas negras
n <- 8 # Bolas seleccionadas
# Probabilidad de obtener exactamente 4 bolas negras
probabilidad <- dhyper(4, K, N - K, n)
# Esperanza
esperanza <- n * (K / N)
# Varianza
varianza <- n * (K / N) * (1 - (K / N)) * ((N - n) / (N - 1))
# Mostrar resultados
probabilidad## [1] 0.2245279## [1] 3## [1] 1.538462Supongamos que tenemos una urna con 60 bolas, de las cuales 25 son rojas y 35 son azules. Se seleccionan 12 bolas al azar sin reemplazo.
1. Probabilidad de obtener exactamente 7 bolas rojas:
Para calcular esta probabilidad, usamos la fórmula de la distribución hipergeométrica:
\[ P(X = 7) = \frac{\binom{25}{7} \cdot \binom{35}{5}}{\binom{60}{12}} \]
Calculamos cada parte:
\[ \binom{25}{7} = \frac{25!}{7!(25-7)!} = \frac{25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21 \times 20 \times 19}{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 480700 \]
\[ \binom{35}{5} = \frac{35!}{5!(35-5)!} = \frac{35 \times 34 \times 33 \times 32 \times 31}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 324632 \]
\[ \binom{60}{12} = \frac{60!}{12!(60-12)!} = \frac{60 \times 59 \times 58 \times 57 \times 56 \times 55 \times 54 \times 53 \times 52 \times 51 \times 50 \times 49}{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 8070450500 \]
Entonces:
\[ P(X = 7) = \frac{480700 \cdot 324632}{8070450500} \approx 0.1115 \]
2. Esperanza y Varianza:
La esperanza (\(\mu\)) y la varianza (\(\sigma^2\)) se calculan como:
\[ \mu = n \cdot \frac{K}{N} = 12 \cdot \frac{25}{60} \approx 5 \]
\[ \sigma^2 = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N - n}{N - 1} \]
Donde: - \(N\) es el número total de bolas (60), - \(K\) es el número total de bolas rojas (25), - \(n\) es el número de bolas seleccionadas (12).
Cálculo:
\[ \sigma^2 = 12 \cdot \frac{25}{60} \cdot \frac{35}{60} \cdot \frac{48}{59} \]
\[ \sigma^2 = 12 \cdot 0.4167 \cdot 0.5833 \cdot 0.8136 \approx 2.37 \]
# Parámetros
N <- 60 # Total de bolas
K <- 25 # Bolas rojas
n <- 12 # Bolas seleccionadas
# Probabilidad de obtener exactamente 7 bolas rojas
probabilidad <- dhyper(7, K, N - K, n)
# Esperanza
esperanza <- n * (K / N)
# Varianza
varianza <- n * (K / N) * (1 - (K / N)) * ((N - n) / (N - 1))
# Mostrar resultados
probabilidad## [1] 0.1115158## [1] 5## [1] 2.372881Supongamos que se realiza un experimento hasta obtener 4 éxitos. La probabilidad de éxito en cada intento es 0.2.
1. Probabilidad de obtener exactamente 8 intentos para lograr 4 éxitos:
La fórmula de la distribución binomial negativa es:
\[ P(X = k) = \binom{k-1}{r-1} \cdot p^r \cdot (1-p)^{k-r} \]
donde: - \(r\) es el número de éxitos deseados (4), - \(p\) es la probabilidad de éxito en cada intento (0.2), - \(k\) es el número total de intentos (8).
En este caso:
\[ P(X = 8) = \binom{8-1}{4-1} \cdot 0.2^4 \cdot (1-0.2)^{8-4} \]
\[ \binom{7}{3} = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 \]
\[ P(X = 8) = 35 \cdot 0.2^4 \cdot 0.8^4 \]
\[ P(X = 8) = 35 \cdot 0.0016 \cdot 0.4096 \approx 0.022 \]
2. Esperanza y Varianza:
La esperanza (\(\mu\)) y la varianza (\(\sigma^2\)) para una distribución binomial negativa con parámetros \(r\) y \(p\) se calculan como:
\[ \mu = \frac{r}{p} \]
\[ \sigma^2 = \frac{r \cdot (1-p)}{p^2} \]
Para \(r = 4\) y \(p = 0.2\):
\[ \mu = \frac{4}{0.2} = 20 \]
\[ \sigma^2 = \frac{4 \cdot (1 - 0.2)}{0.2^2} = \frac{4 \cdot 0.8}{0.04} = 80 \]
# Parámetros
r <- 4 # Número de éxitos
p <- 0.2 # Probabilidad de éxito
k <- 8 # Número total de intentos
# Probabilidad de obtener exactamente 8 intentos para lograr 4 éxitos
probabilidad <- dnbinom(k - r, size = r, prob = p)
# Esperanza
esperanza <- r / p
# Varianza
varianza <- r * (1 - p) / p^2
# Mostrar resultados
probabilidad## [1] 0.0229376## [1] 20## [1] 80Supongamos que se realiza un experimento hasta obtener 5 éxitos. La probabilidad de éxito en cada intento es 0.3.
1. Probabilidad de obtener exactamente 10 intentos para lograr 5 éxitos:
La fórmula de la distribución binomial negativa es:
\[ P(X = k) = \binom{k-1}{r-1} \cdot p^r \cdot (1-p)^{k-r} \]
donde: - \(r\) es el número de éxitos deseados (5), - \(p\) es la probabilidad de éxito en cada intento (0.3), - \(k\) es el número total de intentos (10).
En este caso:
\[ P(X = 10) = \binom{10-1}{5-1} \cdot 0.3^5 \cdot (1-0.3)^{10-5} \]
\[ \binom{9}{4} = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126 \]
\[ P(X = 10) = 126 \cdot 0.3^5 \cdot 0.7^5 \]
\[ P(X = 10) = 126 \cdot 0.00243 \cdot 0.16807 \approx 0.051 \]
2. Esperanza y Varianza:
La esperanza (\(\mu\)) y la varianza (\(\sigma^2\)) para una distribución binomial negativa con parámetros \(r\) y \(p\) se calculan como:
\[ \mu = \frac{r}{p} \]
\[ \sigma^2 = \frac{r \cdot (1-p)}{p^2} \]
Para \(r = 5\) y \(p = 0.3\):
\[ \mu = \frac{5}{0.3} \approx 16.67 \]
\[ \sigma^2 = \frac{5 \cdot (1 - 0.3)}{0.3^2} = \frac{5 \cdot 0.7}{0.09} \approx 38.89 \]
# Parámetros
r <- 5 # Número de éxitos
p <- 0.3 # Probabilidad de éxito
k <- 10 # Número total de intentos
# Probabilidad de obtener exactamente 10 intentos para lograr 5 éxitos
probabilidad <- dnbinom(k - r, size = r, prob = p)
# Esperanza
esperanza <- r / p
# Varianza
varianza <- r * (1 - p) / p^2
# Mostrar resultados
probabilidad## [1] 0.05145967## [1] 16.66667## [1] 38.88889