Cálculo Vectorial

Álgebra de Vectores y geometría del espacio

1 Álgebra de Vectores y geometría del espacio

En esta unidad se introduce al alumno en los vectores y sistemas de coordenadas para espacios tridimensionales, este es el escenario para el estudio de funciones de dos variables dado que la gráfica de la función es una superficie en el espacio. Los vectores dan descripciones particularmente sencillas de rectas y planos en el espacio, as´como de velocidades y aceleraciones de cuerpos que se mueven en el espacio(Stewart, 2010).

1.1 Definición de un vector en el plano y en el espacio y su interpretación geométrica

Los científicos utilizan el término vector para indicar una cantidad (por ejemplo desplazamiento, velocidad o fuerza) que tiene magnitud, dirección y sentido. Un vector suele representarse por una flecha o un segmento de recta rígido. La lonitud de la flecha representa la magnitud y la flecha apunta en la dirección del vector, así mismo, dado que el vector requiere de un marco referencial, tiene sentido respecto de dicho marco.

Un vector se representa con letras negritas (v) o al poner una flecha sobre la letra ($\vec{v}$).

1.2 Álgebra vectorial y su geometría

Las operaciones fundamentales que pueden realizarse con vectores son:

1. Suma
2. Resta
3. Multiplicación por un escalar
4. Productos escalar y vectorial

Mismos que definiremos en los siguientes apartados.

1.2.1 Suma y resta

1.2.1.1 Método del paralelogramo

Si $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son vectores colocados de modo que el punto inicial de $\vec{v}$ está en el punto terminal de $\vec{u}$, entonces la suma $\vec{u}+\vec{v}$ es el vector desde el punto inicial de $\vec{u}$ hasta el punto terminal de $\vec{v}$.

En la figura anterior podemos identificar claramente a los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$, el vector $\vec{u}+\vec{v}$ resulta de unir el punto inicial de $\vec{u}$ con el final de $\vec{v}$. De esta figura podemos definir que $\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$.

Para el caso de la resta, consideremos que si se invierte el signo de un vector $\vec{v}$, lo que estamos invirtiendo realmente es el sentido del mismo.

Considerando lo anterior, si ahora tomamos al vector -$\vec{v}$ y realizamos la suma tenemos que $\vec{u}+(-\vec{v})=\vec{u}-\vec{v}$. Gráficamente, lo anterior se representa de la siguiente manera:

1.2.1.2 Componentes rectangulares

Para algunos fines es mejor introducir un sistema de coordenadas y tratar los vectores algebraicamente. Si ponemos el punto inicial de un vector $\vec{a}$ en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares, entonces el ponto terminal de $\vec{a}$ tiene coordenadas de la forma $(a_1,a_2)$ o $(a_1,a_2,a_3)$, dependiendo de si nuestro sistema de coordenadas es en dos o tres dimensiones ($\mathbb{R}^2$ o $\mathbb{R}^3$).

En el caso de un sistema en $\mathbb{R}^2$, las componentes rectangulares del vector $\vec{v}$ definen fácilmente mediante el Teorema de Pitágoras, como se muestra a continuación:

Considerando $\vec{v}$ al vector, entonces $v_x$ y $v_y$ son las componentes rectangulares de $\vec{v}$ y se definen de la siguiente manera:

La magnitud del vector, definida por la longitud de este, se determina mediante el Teorema de Pitágoras de la siguiente manera:

$$\begin{equation} |v|=\sqrt{{v_x}^2+{v_y}^2} \end{equation}$$

Para $\vec{v}_x$:

$$\begin{equation} Cos{\theta}=\dfrac{v_x}{|v|} \end{equation}$$

Despejando para $v_x$:

$$\begin{equation} v_x=|v|Cos{\theta} \end{equation}$$

Para $\vec{v}_y$:

$$\begin{equation} Sen{\theta}=\dfrac{v_y}{|v|} \end{equation}$$

Despejando para $v_y$:

$$\begin{equation} v_y=|v|Sen{\theta} \end{equation}$$

Para el ángulo $\theta$, utilizaremos la siguiente relación trigonométrica:

$$\begin{equation} tan{\theta}=\dfrac{v_y}{v_x} \end{equation}$$

Por lo tanto:

$$\begin{equation} \theta=tan^{-1}\dfrac{v_y}{v_x} \end{equation}$$

Resscibiendo al vector en términos de sus componentes rectangulaes tenemos que $\vec{v}=<v_x,v_y>$.

Si consideramos nuevamente la suma $\vec{u}+\vec{v}$, podemos reescribir la suma de vectores en términos de sus componentes rectangulares de la siguiente manera:

Considerando lo anterior, se define que la suma de los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ corresponde a la suma de sus componentes rectangulares:

$$\begin{equation} \vec{u}+\vec{v}=<u_x+v_x,u_y+v_y> \end{equation}$$

De manera análoga, la suma de vectores en forma de componentes rectangulares se define como:

$$\begin{equation} \vec{u}-\vec{v}=<u_x-v_x,u_y-v_y> \end{equation}$$

1.2.2 Multiplicación por un escalar

Es posible mltiplicar un vector por un número real $c$, tambien llamado escalar.

Entonces, si $c$ es un escalar y $\vec{v}$ es un vector, entonces el múltiplo escalar $c{\vec{v}}$ es el vector cuya longitud es $|c|$ por la longitud $|v|$ de $\vec{v}$, y cuya dirección es la misma que $\vec{v}$ si $c>0$ y es opuesto a $\vec{v}$ si $c<0$. Si $c=0$ o $|v|=0$, entonces $c{\vec{v}}=0$.

Es posible tambien enfocar el producto de un escalar por un vector mediante sus componentes rectangulares, para lo cual, el producto de $c$ por un vector $\vec{v}$ es igual al producto de $c$ por sus componentes rectangulares, es decir:

$$\begin{equation} c{\vec{v}}=<c{v_x},c{v_y}> \end{equation}$$

Tanto la suma, resta y multiplicación de un escalar por un vector se pueden generalizar en $\mathbb{R}^n$, esto puede ser demostrable generalizando para vectores en $\mathbb{R}^3$:

Para determinar la longitud del vector $\vec{u}$ en $\mathbb{R}^3$, es necesario usar la proyección del vector sobre el plano $xy$, y utilizando el Teorema de Pitágoras es osibel definir que:

$$\begin{equation} |u_{xy}|=\sqrt{{u_x}^2+{u_y}^2} \end{equation}$$

Si definimos que:

$$\begin{equation} |u|=\sqrt{{|u_{xy}|}^2+{u_z}^2} \end{equation}$$

Sustituyendo $|u_{xy}|$ en la ecuación anterior, tenemos que:

$$\begin{equation} |u|=\sqrt{{\sqrt{{u_x}^2+{u_y}^2}+{u_z}^2}} \end{equation}$$

Simplidicando tenemos que:

$$\begin{equation} |u|=\sqrt{{u_x}^2+{u_y}^2+{u_z}^2} \end{equation}$$

1.2.3 Propiedades de los vectores

De lo anterior se desprenden las siguientes propiedades:

Sean $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$ vectores en $\mathbb{R}^n$, además $c$ y $d$ son escalares, entonces:

1. $\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$	2. $\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})=(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}$
3. $\vec{u}+0=\vec{u}$	4. $\vec{u}+(-\vec{u})=0$
5. $c(\vec{u}+\vec{v})=c\vec{u}+c\vec{v}$	6. $(c+d){\vec{u}=c\vec{u}}+d\vec{u}$
7. $(cd)\vec{u}=c(d\vec{u})$	8. $1\vec{u}=\vec{u}$

1.3 Producto escalar y vectorial

Hasta aqui hemos sumado dos vectores y multiplicado un vector por un escalar. De aquí surge la pregunta ¿ es posible multiplicar dos vectores, de modo que su producto sea una cantidad útil? La respuesta es si, se pueden multiplicar dos vectores de tal forma de que su resultado tenga utilidad tanto geométrica como física. Existen dos formas de realizar esta tarea, una de ellas, el producto punto o producto escalar, da como resultado un escalar, mientras que el producto cruz o producto vectorial, da como resultado un vector. Ambos tienen grandes aplicaciones en geometría e ingeniería.

1.3.1 Producto escalar

El producto punto o producto escalar de dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ diferentes de cero, denotado por $\vec{u}\cdot\vec{v}$, es el escalar:

$$\begin{equation} \vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|Cos{\theta} \end{equation}$$

donde $theta$ es el ángulo entre $\vec{u}$ y $\vec{v}$, $0\leq\theta\leq\pi$, (entonces, $\theta$ es el ángulo más pequeño entre los vectores cuando se trazan a partir del punto inicial). Si $\vec{u}$ o $\vec{v}$ es $0$, definimos que $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$.

Si definimos a los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ en forma matricial, donde cada componente rectangular es un elemento del vector renglón, escribimos que $$\begin{equation} \vec{u}=\begin{pmatrix} u_x & u_y & \dotsi & u_j \end{pmatrix} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \vec{v}=\begin{pmatrix} v_x & v_y & \dotsi & v_j \end{pmatrix} \end{equation}$$

Entonces, el producto punto en forma matricial se escribe como:

$$\begin{equation} \vec{u}\cdot\vec{v}=\begin{pmatrix} u_x & u_y & \dotsi & u_j \end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} v_x & v_y & \dotsi & v_j \end{pmatrix} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \vec{u}\cdot\vec{v}=\begin{pmatrix} u_x \\ u_y \\ \vdots \\ u_j \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_x & v_y & \dotsi & v_j \end{pmatrix} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \vec{u}\cdot\vec{v}={u_x}{v_x}+{u_y}{v_y}+\dotsi+{u_j}{v_j} \end{equation}$$

Para el caso del producto punto observaremos las siguientes propiedades:

Sean $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$ tres vectores en $\mathbb{R}^n$ y $c$ un escalar, entonces:

1. $\vec{u}\cdot\vec{u}=|v|^2$	2. $\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}$
3. $\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}$	4. $(c\vec{u})\cdot\vec{v}=c(\vec{u}\cdot\vec{v})=\vec{u}\cdot(c\vec{v})$
5. $0\cdot\vec{u}=0$

Una característica importante del producto punto es que es un indicador de ortogonalidad, en esto se debe a que $Cos{\dfrac{\pi}{2}=0}$, entonces:

$$\begin{equation} \vec{u}\cdot\vec{v}=0 \end{equation}$$

cuando $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son ortogonales.

Derivado de la expresión que define al producto punto, resolviendo para el $Cos{\theta}$, tenemos que:

$$\begin{equation} Cos{\theta}=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|u||v|} \end{equation}$$

1.3.1.1 Proyecciones

1.3.1.1.1 Proyección escalar

La proyección escalar de $\vec{v}$ sobre $\vec{u}$ (también llamada componente de $\vec{v}$ en la dirección de $\vec{u}$) se define como la magnitud del vector de proyección, que es el número $|v|Cos{\theta}$, donde $\theta$ es el ángulo entre $\vec{u}$ y $\vec{v}$, como se muestra en la siguiente figura.

Y esta dada por la siguiente expresión:

$$\begin{equation} comp_u{v}=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|u|} \end{equation}$$

1.3.1.1.2 Proyección vectorial

Así mismo, esta proyección puede describirse como un vector multiplicando la proyección escalar por el vector unitario que corre en la dirección de $\vec{u}_u$, esto es:

$$\begin{equation} \vec{u}_u=\dfrac{\vec{u}}{|u|} \end{equation}$$

Entonces, el vector de proyección de sobre se define como:

$$\begin{equation} proy_u{v}=comp_u{v}{\vec{u}_u}=(\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|u|})\dfrac{\vec{u}}{|u|}=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|u|^2}{\vec{u}} \end{equation}$$

1.3.2 Producto vectorial

El producto cruz $\vec{u}\times\vec{v}$ de dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$, a diferencia del producto punto, es un vector. Por esta razón también recibe el nombre de producto vectorial.

Si $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son dos vectores coplanares (es decir, que se encuentran contenidos en el mismo plano), entonces el producto cruz $\vec{u}\times\vec{v}$ es un vector ortogonal al plano que contiene a los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$.

La expresión matemática que define al producto vectorial se escribe como sigue:

$$\begin{equation} \vec{u}\times\vec{v}=|u||v|Sen{\theta} \end{equation}$$

De la misma forma que el producto punto, el producto cruz también tiene una forma matricial, misma que se define por el siguiente determinante:
$$\begin{equation} \vec{u}\times\vec{v}=\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \end{vmatrix} \end{equation}$$

Para el caso del producto cruz, sea $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$ vectores y $c$ un escalar:

1. $\vec{u}\times\vec{v}=\vec{-v}\times\vec{u}$	2. $(c\vec{u})\times\vec{v}=c(\vec{u}\times\vec{v})=\vec{u}\times(c\vec{v})$
3. $\vec{u}\times(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\times\vec{v}+\vec{u}\times\vec{w}$	4. $(\vec{u}+\vec{v})\times\vec{w}=\vec{u}\times\vec{w}+\vec{v}\times\vec{w}$
5. $\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}$	6. $\vec{u}\times(\vec{v}\times\vec{w})=(\vec{u}\cdot\vec{w})\vec{v}-(\vec{u}\cdot\vec{v})\vec{w}$

1.3.3 Producto escalar triple triple

El producto $\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})$ que aparece en la propiedad 5 se llama producto escalar triple entre los vectores $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$, y se define por el siguiente determinante:

$$\begin{equation} \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=\begin{vmatrix} u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \\ w_x & w_y & w_z \\ \end{vmatrix} \end{equation}$$

Geométricamente, el producto escalar triple se define como el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$.

1.4 Ecuación de la recta

Una recta en el plano $xy$ está determinada cuando se daun un punto de la recta y su dirección (su pendiente o ángulo de inclinación), por lo tanto, puede establecerse la ecuación punto-pendiente de la recta, misma que se define como:

$$\begin{equation} {y-y_1}=m(x-x_1) \end{equation}$$

Del mismo modo, una recta $L$ en un espacio $\mathbb{R}^3$ se determina cuando conocemos un punto $P_0(x_0,y_0,z_0)$ de $L$ y la dirección de $L$. En tres dimensiones, la dirección de una recta se define cómodamente como un vector, de modo que hacemos que $\vec{v}$ sea un vector paralelo a $L$.

Sea $P(x,y,z)$ un punto arbitrario en $L$ y sean $\vec{r_0}$ y $\vec{r}$ los vectores de posición de $P_0$ y $P$ (es decir, representan la distancia entre el origen $O$ y los punto $P_0$ y $P$). Si $\vec{a}$ es el vector dirección de $P_0$ a $P$, entonces la regla del triángulo para suma de vectores genera $\vec{r}=\vec{r_0}+\vec{a}$, pero como $\vec{a}$ y $\vec{v}$ son vectores paralelos, existe un escalar $t$ tal que $\vec{a}=t{\vec{v}}$, por lo tanto:

$$\begin{equation} \vec{r}=\vec{r_0}+t{\vec{v}} \end{equation}$$

Misma que es una ecuación vectorial de $L$. Cada valor del parámetro $t$ da el vector de posición de un punto en $L$. Como puede verse en la siguiente figura, valores positivos del parámetro $t$ corresponde a puntos en $L$ que se encuentran de un lado de $P_0$, mientras que valores negativos de $t$ correspnden a puntos que están del otro lado de $P_0$.

Si el vector $\vec{v}$ que da la dirección de la recta $L$ se escribe en forma de componentes como $\vec{v}=<a,b,c>$, entonces tenemos que $tv=<ta,tb,tc>$, también podemos escribir $\vec{r}=<x,y,z>$ y $\vec{r_0}=<x_0,y_0,z_0>$, de modo que la ecuación vectorial se reescribe como:

$$\begin{equation} <x,y,z>=<x_0+at,y_0+bt,z_0+ct> \end{equation}$$

Como dos vectores son iguales si y sólo si sus componentes son iguales, por lo tanto, tenemos las ecuaciones escalares:

$$\begin{equation} \begin{matrix} x=x_0+at & y=y_0+bt & z=z_0+ct \end{matrix} \end{equation}$$

Donde $t\in\mathbb{R}$ y se definen como las ecuaciones paramétricas de la recta.

Despejando al parámetro $t$ de las ecuaciones tenemos que:

$$\begin{equation} \begin{matrix} t=\dfrac{x-x_0}{a} & t=\dfrac{y-y_0}{a}b & t=\dfrac{z-z_0}{c} \end{matrix} \end{equation}$$

Debido a que el parámetro $t$ se mantiene constante, se pueden escribir entonces las ecuaciones simétricas de la recta:

$$\begin{equation} \dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c} \end{equation}$$

1.5 Ecuación del plano

Aún cuando una recta en el espacio está determinada por un punto y una dirección, en el caso del plano es más dificil de describir. Un vector paralelo a un plano no es suficiente para indicar la “dirección” del mismo, pero un vector perpendicular describe completamente su dirección. Entonces, un plano en el espacio está descrito por un punto $P_0(x_0,y_0,z_0)$ del plano y un vector $\vec{n}$ que es ortogonal al plano. Ese vector $\vec{n}$ se llama vector normal. Sea $P(x,y,z)$ un punto arbitrario del plano, $\vec{r_0}$ y $\vec{r}$ vectores posición de $P_0$ y $P$. Entonces el vector $\vec{r}-\vec{r_0}$ está representado por $\vec{P_0P}$ tal y como se muestra en la figura.

El vector normal $\vec{n}$ es ortogonal a todo vector del plano dado. En particular es ortogonal a $\vec{r}-\vec{r_0}$ y, por lo tanto tenemos:

$$\begin{equation} \vec{n}\cdot(\vec{r}-\vec{r_0})=0 \end{equation}$$

Si reescribimos la ecuación en forma de componentes rectagulares tenemos que:

$$\begin{equation} <a,b,c>\cdot<x-x_0,y-y_0,z-z_0>=0 \end{equation}$$

Resolviendo el producto punto podemos escribir que:

$$\begin{equation} <a,b,c>\cdot<x-x_0,y-y_0,z-z_0>=\begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-x_0 \\ y-y_0 \\ z-z_0\end{pmatrix} \end{equation}$$

$$\begin{equation} a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0 \end{equation}$$

$$\begin{equation} ax+a{x_0}+by+b{y_0}+cz+c{z_0}=0 \end{equation}$$

Agrupando los términos $a{x_0}$, $b{y_0}$ y $c{z_0}$ en un término independiente $d$, de la siguiente forma $d=-(a{x_0}+b{y_0}+c{z_0})$, finalmente tenemos que:

$$\begin{equation} ax+by+cz+d=0 \end{equation}$$

Es la ecuación lineal del plano en $x$, $y$ y $z$.

1.6 Aplicaciones

Stewart, J. (2010). Cálculo de Varias Variables. Conceptos y Contextos.