PML PRAK Pert2

PROFIL

Ghonniyu Hiban Saputra G1401221012

CONTOH SOAL

Soal 1

#Definisi Matriks
A <- matrix(c(2, -3, 1, 1, 2, 0, -1, 6, 1), nrow=3,  ncol=3, byrow=TRUE)
mu <- c(1,3,2)
sigma_kuadrat <- 4
V <- diag(3) * sigma_kuadrat

# Menghitung E{y'Ay}
trace_AV <- sum(diag(A%*%V))
mu_A_mu <- t(mu)%*% A %*% mu
E_y_A_y <- trace_AV+mu_A_mu
E_y_A_y

##      [,1]
## [1,]   74

Soal 2

#Definisikan vektor-vektor 
x1 <- c(1, 1, - 1, - 1) 
x2 <- c(1, - 1, 1, - 1) 
x3 <- c(1, 1, 1, 1)

# Mengecek apakah x1 dan 2 ortogonal
ortogonal_x1_x2 <- sum(x1*x2) == 0 
ortogonal_x1_x3 <- sum(x1*x3) == 0 
ortogonal_x2_x3 <- sum(x2*x3) == 0

# Mengecek apakah panjang vektor adalah 1 (ortonormal)
norm_x1 <- sqrt(sum(x1^2)) 
norm_x2 <- sqrt(sum(x2^2)) 
norm_x3 <- sqrt(sum(x3^2))

#Mengecek apakah himpunan x1, x2, x3) ortonormal
is_ortonormal <- ortogonal_x1_x2 && ortogonal_x1_x3 && ortogonal_x2_x3 && norm_x1 == 1 && norm_x2 ==1 && norm_x3 == 1
is_ortonormal

## [1] FALSE

#Jika tidak ortonormal, hitung nilai c agar {cx1,cx2,cx3} ortonormal
c_value <- 1/norm_x1
c_value

## [1] 0.5

Soal 3

# Definisikan beberapa matriks A, B, C, D

A <- matrix(c(2, -1, -1, 2), nrow = 2, byrow = TRUE)
B <- matrix(c(1, 1, 1, 2), nrow = 2, byrow = TRUE)
C <- matrix(c(2, 2, 2, 2), nrow = 2, byrow = TRUE)
D <- matrix(c(0, -1, -1, 0), nrow = 2, byrow = TRUE)

# Fungsi untuk mengecek sifat definit dari suatu matriks

check_definit <- function(mat) { 
  eigen_values <- eigen (mat)$values
  if (all(eigen_values > 0)) {
    return("Definit Positif")
  } else if (all (eigen_values >= 0)) {
    return("Semi-Definit Positif")
  } else {
    return("Indefinit") 
  }
}

# Mengecek sifat definit dari masing-masing matriks
result_A <- check_definit(A)
result_B <- check_definit(B)
result_C <- check_definit(C)
result_D <- check_definit(D)

result_A

## [1] "Definit Positif"

result_B

## [1] "Definit Positif"

result_C

## [1] "Semi-Definit Positif"

result_D

## [1] "Indefinit"

LATIHAN SOAL

TIPE 1

1

#Definisi Matriks
A <- matrix(c(3, 1, 2, 1, 4, -2, 2, -2, 5), nrow=3,  ncol=3, byrow=TRUE)
mu <- c(2,1,4)
sigma_kuadrat <- 9
V <- diag(3) * sigma_kuadrat

# Menghitung E{y'Ay}
trace_AV <- sum(diag(A%*%V))
mu_A_mu <- t(mu)%*% A %*% mu
E_y_A_y <- trace_AV+mu_A_mu
E_y_A_y

##      [,1]
## [1,]  224

2

#Definisi Matriks
A <- matrix(c(4, 2, -1, 2, 3, 0, -1, 0, 1), nrow=3,  ncol=3, byrow=TRUE)
mu <- c(0,-1,3)
sigma_kuadrat <- 16
V <- diag(3) * sigma_kuadrat

# Menghitung E{y'Ay}
trace_AV <- sum(diag(A%*%V))
mu_A_mu <- t(mu)%*% A %*% mu
E_y_A_y <- trace_AV+mu_A_mu
E_y_A_y

##      [,1]
## [1,]  140

3

#Definisi Matriks
A <- matrix(c(5, -1, 3, -1, 2, 4, 3, 4, 6), nrow=3,  ncol=3, byrow=TRUE)
mu <- c(1,2,1)
sigma_kuadrat <- 25
V <- diag(3) * sigma_kuadrat

# Menghitung E{y'Ay}
trace_AV <- sum(diag(A%*%V))
mu_A_mu <- t(mu)%*% A %*% mu
E_y_A_y <- trace_AV+mu_A_mu
E_y_A_y

##      [,1]
## [1,]  362

4

#Definisi Matriks
A <- matrix(c(2, 3, -2, 3, 7, 1, -2, 1, 4), nrow=3,  ncol=3, byrow=TRUE)
mu <- c(3,0,-2)
sigma_kuadrat <- 4
V <- diag(3) * sigma_kuadrat

# Menghitung E{y'Ay}
trace_AV <- sum(diag(A%*%V))
mu_A_mu <- t(mu)%*% A %*% mu
E_y_A_y <- trace_AV+mu_A_mu
E_y_A_y

##      [,1]
## [1,]  110

TIPE 2

5

#Definisikan vektor-vektor 
x1 <- c(2,2,-2,-2) 
x2 <- c(1,-1,1,-1) 
x3 <- c(1, 1, 1, 1)

# Mengecek apakah x1 dan 2 ortogonal
ortogonal_x1_x2 <- sum(x1*x2) == 0 
ortogonal_x1_x3 <- sum(x1*x3) == 0 
ortogonal_x2_x3 <- sum(x2*x3) == 0

# Mengecek apakah panjang vektor adalah 1 (ortonormal)
norm_x1 <- sqrt(sum(x1^2)) 
norm_x2 <- sqrt(sum(x2^2)) 
norm_x3 <- sqrt(sum(x3^2))

#Mengecek apakah himpunan x1, x2, x3) ortonormal
is_ortonormal <- ortogonal_x1_x2 && ortogonal_x1_x3 && ortogonal_x2_x3 && norm_x1 == 1 && norm_x2 ==1 && norm_x3 == 1
is_ortonormal

## [1] FALSE

#Jika tidak ortonormal, hitung nilai c agar {cx1,cx2,cx3} ortonormal
c_value_x1 <- 1/norm_x1
c_value_x1

## [1] 0.25

c_value_x2 <- 1/norm_x2
c_value_x2

## [1] 0.5

c_value_x3 <- 1/norm_x3
c_value_x3

## [1] 0.5

6

#Definisikan vektor-vektor 
x1 <- c(1,0,-1,0) 
x2 <- c(0,1,0,-1) 
x3 <- c(1, 1, 1, 1)

# Mengecek apakah x1 dan 2 ortogonal
ortogonal_x1_x2 <- sum(x1*x2) == 0 
ortogonal_x1_x3 <- sum(x1*x3) == 0 
ortogonal_x2_x3 <- sum(x2*x3) == 0

# Mengecek apakah panjang vektor adalah 1 (ortonormal)
norm_x1 <- sqrt(sum(x1^2)) 
norm_x2 <- sqrt(sum(x2^2)) 
norm_x3 <- sqrt(sum(x3^2))

#Mengecek apakah himpunan x1, x2, x3) ortonormal
is_ortonormal <- ortogonal_x1_x2 && ortogonal_x1_x3 && ortogonal_x2_x3 && norm_x1 == 1 && norm_x2 ==1 && norm_x3 == 1
is_ortonormal

## [1] FALSE

#Jika tidak ortonormal, hitung nilai c agar {cx1,cx2,cx3} ortonormal
c_value_x1 <- 1/norm_x1
c_value_x1

## [1] 0.7071068

c_value_x2 <- 1/norm_x2
c_value_x2

## [1] 0.7071068

c_value_x3 <- 1/norm_x3
c_value_x3

## [1] 0.5

7

#Definisikan vektor-vektor 
x1 <- c(3,1,-1,-3) 
x2 <- c(2,-2,2,-2) 
x3 <- c(1, 1, 1, 1)

# Mengecek apakah x1 dan 2 ortogonal
ortogonal_x1_x2 <- sum(x1*x2) == 0 
ortogonal_x1_x3 <- sum(x1*x3) == 0 
ortogonal_x2_x3 <- sum(x2*x3) == 0

# Mengecek apakah panjang vektor adalah 1 (ortonormal)
norm_x1 <- sqrt(sum(x1^2)) 
norm_x2 <- sqrt(sum(x2^2)) 
norm_x3 <- sqrt(sum(x3^2))

#Mengecek apakah himpunan x1, x2, x3) ortonormal
is_ortonormal <- ortogonal_x1_x2 && ortogonal_x1_x3 && ortogonal_x2_x3 && norm_x1 == 1 && norm_x2 ==1 && norm_x3 == 1
is_ortonormal

## [1] FALSE

#Jika tidak ortonormal, hitung nilai c agar {cx1,cx2,cx3} ortonormal
c_value_x1 <- 1/norm_x1
c_value_x1

## [1] 0.2236068

c_value_x2 <- 1/norm_x2
c_value_x2

## [1] 0.25

c_value_x3 <- 1/norm_x3
c_value_x3

## [1] 0.5

TIPE 3

8

# Definisikan beberapa matriks A, B, C, D

A <- matrix(c(6,2,-1,2,5,3,-1,3,7), nrow = 3, byrow = TRUE)
B <- matrix(c(2,-1,0,-1,3,1,0,1,4), nrow = 3, byrow = TRUE)
C <- matrix(c(1,1,1,1,2,2,1,2,3), nrow = 3, byrow = TRUE)

# Fungsi untuk mengecek sifat definit dari suatu matriks

check_definit <- function(mat) { 
  eigen_values <- eigen (mat)$values
  if (all(eigen_values > 0)) {
    return("Definit Positif")
  } else if (all (eigen_values >= 0)) {
    return("Semi-Definit Positif")
  } else {
    return("Indefinit") 
  }
}

# Mengecek sifat definit dari masing-masing matriks
result_A <- check_definit(A)
result_B <- check_definit(B)
result_C <- check_definit(C)

result_A

## [1] "Definit Positif"

result_B

## [1] "Definit Positif"

result_C

## [1] "Definit Positif"

9

# Definisikan beberapa matriks A, B, C, D

A <- matrix(c(4,-2,1,-2,3,0,1,0,2), nrow = 3, byrow = TRUE)
B <- matrix(c(3,0,0,0,2,-2,0,-2,1), nrow = 3, byrow = TRUE)
C <- matrix(c(2,2,1,2,5,4,1,4,6), nrow = 3, byrow = TRUE)

# Fungsi untuk mengecek sifat definit dari suatu matriks

check_definit <- function(mat) { 
  eigen_values <- eigen (mat)$values
  if (all(eigen_values > 0)) {
    return("Definit Positif")
  } else if (all (eigen_values >= 0)) {
    return("Semi-Definit Positif")
  } else {
    return("Indefinit") 
  }
}

# Mengecek sifat definit dari masing-masing matriks
result_A <- check_definit(A)
result_B <- check_definit(B)
result_C <- check_definit(C)

result_A

## [1] "Definit Positif"

result_B

## [1] "Indefinit"

result_C

## [1] "Definit Positif"

10

# Definisikan beberapa matriks A, B, C, D

A <- matrix(c(7,-4,2,-4,8,-3,2,-3,6), nrow = 3, byrow = TRUE)
B <- matrix(c(5,1,0,1,4,2,0,2,3), nrow = 3, byrow = TRUE)
C <- matrix(c(1,2,1,2,1,2,1,2,3), nrow = 3, byrow = TRUE)

# Fungsi untuk mengecek sifat definit dari suatu matriks

check_definit <- function(mat) { 
  eigen_values <- eigen (mat)$values
  if (all(eigen_values > 0)) {
    return("Definit Positif")
  } else if (all (eigen_values >= 0)) {
    return("Semi-Definit Positif")
  } else {
    return("Indefinit") 
  }
}

# Mengecek sifat definit dari masing-masing matriks
result_A <- check_definit(A)
result_B <- check_definit(B)
result_C <- check_definit(C)

result_A

## [1] "Definit Positif"

result_B

## [1] "Definit Positif"

result_C

## [1] "Indefinit"