Itemanalyse: Itemschwierigkeit

Frage

Kommen wir zum gleichen Ergebnis, wenn wir die Itemschwierigkeit von Testfragen über die erreichten Punktzahlen oder über die erreichten Noten berechnen?

Itemschwierigkeit Pi mit Punktzahl berechnen

Formel zur Berechnung der Itemschwierigkeit (Quelle https://user.uni-frankfurt.de/~johartig/TK/pdf/Itemanalyse.pdf)

\[Pi_{Punkte} = \frac{x - x_{min}}{x_{max} - x_{min}}\]

\(x\) = arithmetisches Mittel der erreichten Punktzahlen
\(x_{max}\) = maximal erreichbare Punktzahl
\(x_{min}\) = minimal erreichbare Punktzahl

Beispiel mit

\(x\) = 80
\(x_{max}\) = 100
\(x_{min}\) = 0

# Variablen Wertzuweisung
x <- 80
x_max <- 100
x_min <- 0

# Berechnung Pi
Pi_punkte <- (x - x_min)/(x_max - x_min)

# Ausgabe Pi
paste("Pi_punkte =", round(Pi_punkte, digits = 2))

## [1] "Pi_punkte = 0.8"

Itemschwierigkeit Pi mit Note berechnen

Formel zur Notenberechnung

\[x_{note} = \frac{5 \times x}{x_{max}} + 1\]

\(x_{note}\) = arithmetischer Notendurchschnitt
\(x\) = arithmetisches Mittel der erreichten Punktzahlen
\(x_{max}\) = maximal erreichbare Punktzahl

Formel Itemschwierigkeit mit Note berechnen

\[Pi_{Note} = \frac{x_{note} - x_{minnote}}{x_{maxnote} - x_{minnote}}\]

\(x_{note}\) = arithmetisches Mittel der erreichten Noten
\(x_{maxnote}\) maximal erreichbare Note (= 6)
\(x_{minnote}\) minimal erreichbare Note (= 1)

Beispiel mit gleichen Zahlen wie oben

\(x\) = 80 (= durchschnittlich erreichte Punktzahl)
\(x_{max}\) = 100
\(x_{maxnote}\) = 6
\(x_{minnote}\) = 1
\(x_{note}\) = erreichte Note

# Variablen Wertzuweisung
x <- 80
x_max <- 100
x_maxnote <- 6
x_minnote <- 1

# Notenberechnung
x_note <- ((5 * x)/x_max) + 1
paste("x_note =", x_note)

## [1] "x_note = 5"

# Berechnung Itemschwierigkeit
Pi_note <- (x_note - x_minnote)/(x_maxnote - x_minnote)

# Ausgabe Pi
paste("Pi_note =", round(Pi_note, 2))

## [1] "Pi_note = 0.8"

Kontrolle

Berechnung von \(Note\), \(Pi_{punkte}\) und \(Pi_{note}\) für eine Serie von 0, 10, 20 … 100 durchschnittlich erreichten Punkten.

punkte <- seq(from = 0, to = 100, by = 10)
minpunkte <- 0
maxpunkte <- 100
minnote <- 1
maxnote <- 6

for (i in punkte) {
  note <- ((5 * i)/maxpunkte) + 1
  pi_punkte <- (i - minpunkte)/(maxpunkte - minpunkte)
  pi_note <- ((note - minnote)/(maxnote - minnote))
  out <- paste("Punkte = ", i, 
               ", Note = ", round(note, 2),
               ", Pi_punkte =", round(pi_punkte, 2),
               ", Pi_note =", round(pi_note, 2))
  print(out)
}

## [1] "Punkte =  0 , Note =  1 , Pi_punkte = 0 , Pi_note = 0"
## [1] "Punkte =  10 , Note =  1.5 , Pi_punkte = 0.1 , Pi_note = 0.1"
## [1] "Punkte =  20 , Note =  2 , Pi_punkte = 0.2 , Pi_note = 0.2"
## [1] "Punkte =  30 , Note =  2.5 , Pi_punkte = 0.3 , Pi_note = 0.3"
## [1] "Punkte =  40 , Note =  3 , Pi_punkte = 0.4 , Pi_note = 0.4"
## [1] "Punkte =  50 , Note =  3.5 , Pi_punkte = 0.5 , Pi_note = 0.5"
## [1] "Punkte =  60 , Note =  4 , Pi_punkte = 0.6 , Pi_note = 0.6"
## [1] "Punkte =  70 , Note =  4.5 , Pi_punkte = 0.7 , Pi_note = 0.7"
## [1] "Punkte =  80 , Note =  5 , Pi_punkte = 0.8 , Pi_note = 0.8"
## [1] "Punkte =  90 , Note =  5.5 , Pi_punkte = 0.9 , Pi_note = 0.9"
## [1] "Punkte =  100 , Note =  6 , Pi_punkte = 1 , Pi_note = 1"

Schlussfolgerung

Unter Verwendung der hier angewandten Formeln macht es keinen Unterschied, ob die Itemschwierigkeit Pi über die Punktzahl oder die Note berechnet wird.