Definición
Una matriz de orden \(m\times n\) es un arreglo rectangular de \(m\cdot n\) cantidades, las que se distrubuyen en \(m\) filas y \(n\) columnas. Cada cantidad se denomina elemento de la matriz, siendo \(a_{ij}\) el elemento que se encuntra en el cruce de la \(i\)-ésima fila y la \(j\)-ésima columna.
\[ \mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} _{m\times n} \]
Ejemplo
Matriz de orden \(3 \times 4\):
\[ \mathbf{M_1} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \end{bmatrix}_{3\times 4} \]
Ejemplo
Matriz de orden \(5 \times 2\):
\[ \mathbf{M_2} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \\ 7 & 8 \\ 9 & 10 \end{bmatrix}_{5\times 2} \]
Ejemplo
Matriz de orden \(3\times 2\) mediante la función matrix( ) de RStudio.
# Crear una matriz de 3 filas y 2 columnas
M <- matrix(c(1,2,3,4,5,6), nrow = 3, ncol = 2, byrow = TRUE)
M## [,1] [,2]
## [1,] 1 2
## [2,] 3 4
## [3,] 5 6Definición
Una matriz cuadrada o matriz de orden \(n\) es un tipo especial de matriz donde el número de filas es igual al número de columnas.
\[ \mathbf{C} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} _{n\times n} \]
Ejemplo
Matriz de orden \(6\).
\[ \mathbf{M_3} = \begin{bmatrix} 17 & 23 & 5 & 11 & 34 & 29 \\ 12 & 45 & 18 & 7 & 16 & 25 \\ 30 & 2 & 39 & 10 & 21 & 8 \\ 24 & 33 & 4 & 28 & 9 & 14 \\ 19 & 31 & 22 & 6 & 20 & 26 \\ 27 & 15 & 3 & 32 & 13 & 35 \end{bmatrix}_{6\times 6} \]
Definición
Una matriz identidad es una matriz de orden \(n\) en la cual todos los elementos de la diagonal principal son iguales a \(1\) , y todos los demás elementos son iguales a \(0\) . Es decir, el elemento \(a_{ii}\) es igual a \(1\) para toda \(i\) desde \(1\) hasta \(n\) , mientras que \(a_{ij}\) es igual a \(0\) cuando \(i \neq j\) .
\[ \mathbf{I}_n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} _{n\times n} \]
Ejemplo
Matriz identidad de orden \(4\).
\[ \mathbf{I_4} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}_{4\times 4} \]
Definición
Una matriz triangular superior es una matriz de orden \(n\) en la cual todos los elementos por debajo de la diagonal principal son iguales a \(0\). Es decir, el elemento \(a_{ij}\) es igual a \(0\) para toda \(i > j\).
\[ \mathbf{T_s} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} _{n\times n} \]
Ejemplo
Matriz triangular superior de orden \(4\).
\[ \mathbf{T_s} = \begin{bmatrix} 1 & 6 & 2 & 1 \\ 0 & 7 & 6 & 5 \\ 0 & 0 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 8 \end{bmatrix}_{4\times 4} \]
Definición
Una matriz triangular inferior es una matriz de orden \(n\). en la cual todos los elementos por encima de la diagonal principal son iguales a \(0\). Es decir, el elemento \(a_{ij}\) es igual a \(0\). para toda \(i < j\).
\[ \mathbf{T_i} = \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} _{n\times n} \]
Ejemplo
Matriz triangular inferior de orden \(6\).
\[ \mathbf{T_i} = \begin{bmatrix} 6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 5 & 6 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 8 & 9 & 10 & 0 & 0 \\ 5 & 4 & 13 & 14 & 15 & 0 \\ 3 & 7 & 2 & 1 & 3 & 21 \end{bmatrix}_{6\times 6} \]
Definición
Una matriz nula es una matriz de cualquier orden en la cual todos sus elementos son iguales a \(0\). Es decir, para cualquier elemento \(a_{ij}\) en la matriz, se cumple que \(a_{ij} = 0\) para todo \(i\) y \(j\).
\[ \mathbf{O} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} _{m\times n} \]
Ejemplo
Matriz nula de orden \(4\).
\[ \mathbf{O} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}_{4\times 4} \]
Definición
La suma de matrices es una operación que se puede realizar siempre y cuando éstas tengan el mismo orden, es decir, mismo número de filas y columnas. La suma de dos matrices \(\mathbf{A}\) y \(\mathbf{B}\) se obtiene sumando los elementos correspondientes de ambas matrices. Es decir, el elemento \(c_{ij}\) de la matriz suma \(\mathbf{C}\) se define como \(c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}\).
\[ \begin{alignedat}{2} \mathbf{C} & = \mathbf{A} + \mathbf{B} \\ \\ & = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \end{bmatrix} \end{alignedat} \]
Ejemplo
Suma de matrices de orden \(3 \times 2\):
\[ \begin{alignedat}{2} \mathbf{C} & = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} 1 + 7 & 2 + 8 \\ 3 + 9 & 4 + 10 \\ 5 + 11 & 6 + 12 \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} 8 & 10 \\ 12 & 14 \\ 16 & 18 \end{bmatrix} \end{alignedat} \]
Ejemplo
Suma de matrices de orden \(3 \times 2\) usando RStudio.
# Crear la primera matriz de 3 filas y 2 columnas
A <- matrix(c(1, 2, 3, 4, 5, 6), nrow = 3, ncol = 2, byrow = TRUE)
# Crear la segunda matriz de 3 filas y 2 columnas
B <- matrix(c(6, 5, 4, 3, 2, 1), nrow = 3, ncol = 2, byrow = TRUE)
# Sumar las dos matrices
C <- A + B
# Mostrar el resultado
C## [,1] [,2]
## [1,] 7 7
## [2,] 7 7
## [3,] 7 7Definición
La multiplicación de una matriz por un escalar es una operación en la que cada elemento de la matriz se multiplica por un número fijo (escalar). Si \(\mathbf{A}\) es una matriz de orden \(m \times n\) y \(k\) es un escalar, el producto de la matriz \(\mathbf{A}\) por el escalar \(k\) es una nueva matriz \(\mathbf{B}\) de orden \(m \times n\), donde cada elemento \(b_{ij}\) se obtiene como \(b_{ij} = k \cdot a_{ij}\).
\[ \begin{alignedat}{2} \mathbf{B} & = k \cdot \mathbf{A} \\ \\ & = k \cdot \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} _{m\times n} \\ \\ & = \begin{bmatrix} k \cdot a_{11} & k \cdot a_{12} & \cdots & k \cdot a_{1n} \\ k \cdot a_{21} & k \cdot a_{22} & \cdots & k \cdot a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k \cdot a_{m1} & k \cdot a_{m2} & \cdots & k \cdot a_{mn} \end{bmatrix} _{m\times n} \end{alignedat} \]
Ejemplo
Multiplicación de una matriz de orden \(2 \times 3\) por un escalar \(k = 3\).
\[ \begin{alignedat}{2} \mathbf{B} & = 3 \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} 3 \cdot 1 & 3 \cdot 2 & 3 \cdot 3 \\ 3 \cdot 4 & 3 \cdot 5 & 3 \cdot 6 \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} 3 & 6 & 9 \\ 12 & 15 & 18 \end{bmatrix} \end{alignedat} \]
Ejemplo
Multiplicación de una matriz de orden \(3 \times 2\) por el escalar \(k = 2\) usando RStudio.
# Crear la matriz de 3 filas y 2 columnas
A <- matrix(c(1, 2, 3, 4, 5, 6), nrow = 3, ncol = 2, byrow = TRUE)
# Definir el escalar
k <- 2
# Multiplicar la matriz por el escalar
B <- k * A
# Mostrar el resultado
B## [,1] [,2]
## [1,] 2 4
## [2,] 6 8
## [3,] 10 12Definición
La multiplicación de matrices es una operación que se puede realizar entre dos matrices donde el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda matriz. Si \(\mathbf{A}\) es una matriz de orden \(m \times n\) y \(\mathbf{B}\) es una matriz de orden \(n \times p\), el producto de las matrices \(\mathbf{A}\) y \(\mathbf{B}\) es una nueva matriz \(\mathbf{C}\) de orden \(m \times p\), donde cada elemento \(c_{ij}\) se obtiene como la suma de los productos de los elementos correspondientes de la fila \(i\) de \(\mathbf{A}\) y la columna \(j\) de \(\mathbf{B}\).
\[ \begin{alignedat}{2} \mathbf{C} & = \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} \\ \\ & = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} _{m\times n} \cdot \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1p} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{np} \end{bmatrix} _{n\times p} \\ \\ & = \begin{bmatrix} \sum_{k=1}^{n} a_{1k}b_{k1} & \sum_{k=1}^{n} a_{1k}b_{k2} & \cdots & \sum_{k=1}^{n} a_{1k}b_{kp} \\ \sum_{k=1}^{n} a_{2k}b_{k1} & \sum_{k=1}^{n} a_{2k}b_{k2} & \cdots & \sum_{k=1}^{n} a_{2k}b_{kp} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_{k=1}^{n} a_{mk}b_{k1} & \sum_{k=1}^{n} a_{mk}b_{k2} & \cdots & \sum_{k=1}^{n} a_{mk}b_{kp} \end{bmatrix} _{m\times p} \end{alignedat} \]
Ejemplo
Multiplicación de una matriz de orden \(1 \times 3\) por una matriz de orden \(3 \times 2\).
\[ \begin{alignedat}{2} \mathbf{C} & = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 6 & 7 \\ 8 & 9 \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} 1 \cdot 4 + 2 \cdot 6 + 3 \cdot 8 & 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 9 \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} 4 + 12 + 24 & 5 + 14 + 27 \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} 40 & 46 \end{bmatrix} \end{alignedat} \]
Ejemplo
Multiplicación de una matriz de orden \(3 \times 2\) por una matriz de orden \(2 \times 4\).
\[ \begin{alignedat}{2} \mathbf{C} & = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 7 & 8 & 9 & 10 \\ 11 & 12 & 13 & 14 \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} 1 \cdot 7 + 2 \cdot 11 & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 12 & 1 \cdot 9 + 2 \cdot 13 & 1 \cdot 10 + 2 \cdot 14 \\ 3 \cdot 7 + 4 \cdot 11 & 3 \cdot 8 + 4 \cdot 12 & 3 \cdot 9 + 4 \cdot 13 & 3 \cdot 10 + 4 \cdot 14 \\ 5 \cdot 7 + 6 \cdot 11 & 5 \cdot 8 + 6 \cdot 12 & 5 \cdot 9 + 6 \cdot 13 & 5 \cdot 10 + 6 \cdot 14 \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} 7 + 22 & 8 + 24 & 9 + 26 & 10 + 28 \\ 21 + 44 & 24 + 48 & 27 + 52 & 30 + 56 \\ 35 + 66 & 40 + 72 & 45 + 78 & 50 + 84 \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} 29 & 32 & 35 & 38 \\ 65 & 72 & 79 & 86 \\ 101 & 112 & 123 & 134 \end{bmatrix} \end{alignedat} \]
Ejemplo
Multiplicación de matrices de orden \(2 \times 3\) y \(3 \times 2\) usando RStudio.
# Crear la primera matriz de 2 filas y 3 columnas
A <- matrix(c(1, 2, 3, 4, 5, 6), nrow = 2, ncol = 3, byrow = TRUE)
# Crear la segunda matriz de 3 filas y 2 columnas
B <- matrix(c(7, 8, 9, 10, 11, 12), nrow = 3, ncol = 2, byrow = TRUE)
# Multiplicar las dos matrices
C <- A %*% B
# Mostrar el resultado
C## [,1] [,2]
## [1,] 58 64
## [2,] 139 154Definición
La transposición de una matriz es una operación que consiste en intercambiar las filas y las columnas de la matriz original. Si \(\mathbf{A}\) es una matriz de orden \(m \times n\), la matriz transpuesta, denotada por \(\mathbf{A}^T\), es de orden \(n \times m\), y cada elemento \(a_{ij}\) de \(\mathbf{A}\) se convierte en el elemento \(a_{ji}\) en \(\mathbf{A}^T\).
\[ \mathbf{A}^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} _{n\times m} \]
Ejemplo
Transposición de una matriz de orden \(2 \times 3\).
\[ \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \]
\[ \mathbf{A}^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} \]
Ejemplo
Transposición de una matriz de orden \(3 \times 2\) usando RStudio.
# Crear la matriz de 5 filas y 2 columnas
A <- matrix(c(0,1,2,5,1, 2, 3, 4, 5, 6), nrow = 5, ncol = 2, byrow = TRUE)
# Obtener la transpuesta de la matriz
A_transpuesta <- t(A)
# Mostrar A
A## [,1] [,2]
## [1,] 0 1
## [2,] 2 5
## [3,] 1 2
## [4,] 3 4
## [5,] 5 6# Mostrar el resultado
A_transpuesta## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,] 0 2 1 3 5
## [2,] 1 5 2 4 6Definición
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con las mismas incógnitas que deben ser resueltas simultáneamente. El objetivo de un sistema de ecuaciones es encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen todas las ecuaciones al mismo tiempo.
Ejemplo
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales con cuatro incógnitas \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), y \(x_4\).
\[ \begin{aligned} 2x_1 + 3x_2 - x_3 + 4x_4 & = 10 \\ x_1 - 2x_2 + 5x_3 - x_4 & = 3 \\ 3x_1 + x_2 + 2x_3 + 6x_4 & = 8 \\ 4x_1 - x_2 + x_3 - 2x_4 & = 1 \end{aligned} \]
Definición
Para resolver un sistema de ecuaciones en R el método más directo es utilizar la función solve(), que permite resolver sistemas de la forma \(\mathbf{A} \cdot \mathbf{x} = \mathbf{b}\), donde \(\mathbf{A}\) es la matriz de coeficientes y \(\mathbf{b}\) es el vector de términos independientes.
Ejemplo
Resolver un sistema de ecuaciones lineales en RStudio.
Supongamos que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
\[ \begin{aligned} 2x + 3y & = 5 \\ 4x + y & = 6 \end{aligned} \]
Podemos resolver este sistema en RStudio utilizando la función
solve():
# Definir la matriz de coeficientes
A <- matrix(c(2, 4, 3, 1), nrow = 2, byrow = FALSE)
# Definir el vector de términos independientes
b <- c(5, 6)
# Resolver el sistema de ecuaciones
solucion <- solve(A, b)
# Mostrar la solución
solucion## [1] 1.3 0.8Una fábrica produce dos tipos de bicicletas, \(x_1\) y \(x_2\). Cada bicicleta \(x_1\) genera una ganancia de $50.000 CLP y cada bicicleta \(x_2\) genera una ganancia de $70.000 CLP. La producción de una bicicleta \(x_1\) requiere 4 horas de trabajo y 2 unidades de material, mientras que la producción de \(x_2\) requiere 6 horas de trabajo y 3 unidades de material. La fábrica tiene un máximo de 240 horas de trabajo disponibles y 120 unidades de material. Determina la función objetivo y las restricciones necesarias para maximizar las ganancias.
Una refinería produce dos tipos de combustibles, \(x_1\) y \(x_2\). El combustible \(x_1\) genera una ganancia de $20.000 CLP por litro y el \(x_2\) genera $30.000 CLP por litro. La refinería tiene disponible un máximo de 500 litros de crudo tipo A y 300 litros de crudo tipo B. Cada litro de \(x_1\) requiere 2 litros de crudo tipo A y 1 litro de crudo tipo B, mientras que cada litro de \(x_2\) requiere 1 litro de crudo tipo A y 2 litros de crudo tipo B. Determina la función objetivo y las restricciones necesarias para maximizar las ganancias.
Una empresa produce tres productos, \(x_1\), \(x_2\), y \(x_3\). Los beneficios por unidad son de $40.000 CLP, $50.000 CLP, y $60.000 CLP respectivamente. Los productos utilizan dos tipos de recursos: tiempo de máquina y materiales. Los recursos disponibles son 300 horas de máquina y 400 unidades de material. Cada unidad de \(x_1\) utiliza 1 hora de máquina y 4 unidades de material, \(x_2\) utiliza 2 horas de máquina y 3 unidades de material, y \(x_3\) utiliza 3 horas de máquina y 2 unidades de material. Determina la función objetivo y las restricciones necesarias para maximizar las ganancias.
Un agricultor necesita mezclar tres tipos de fertilizantes \(x_1\), \(x_2\), y \(x_3\) para maximizar la efectividad de su cosecha. El costo por unidad de cada fertilizante es de $10.000 CLP, $15.000 CLP, y $25.000 CLP respectivamente. Los fertilizantes deben cumplir con ciertas restricciones de nutrientes: la mezcla debe contener al menos 100 unidades de nitrógeno, 150 unidades de fósforo, y 200 unidades de potasio. Cada unidad de \(x_1\) aporta 1 unidad de nitrógeno, 2 de fósforo y 1 de potasio; \(x_2\) aporta 3 de nitrógeno, 1 de fósforo, y 2 de potasio; \(x_3\) aporta 2 de nitrógeno, 1 de fósforo, y 3 de potasio. Determina la función objetivo y las restricciones necesarias para minimizar el costo.
Una fábrica produce cuatro productos \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), y \(x_4\). Los beneficios por unidad son de $30.000 CLP, $40.000 CLP, $50.000 CLP, y $60.000 CLP respectivamente. Los productos requieren horas de trabajo y materiales. La fábrica tiene disponibles 1000 horas de trabajo y 500 unidades de material. Cada unidad de \(x_1\) requiere 1 hora de trabajo y 2 unidades de material, \(x_2\) requiere 2 horas de trabajo y 3 unidades de material, \(x_3\) requiere 3 horas de trabajo y 4 unidades de material, y \(x_4\) requiere 4 horas de trabajo y 5 unidades de material. Determina la función objetivo y las restricciones necesarias para maximizar las ganancias. Considera este ejercicio para minimizar los tiempos de trabajo.