Definición
Un conjunto corresponde a una colección de objetos o colectividad, los cuales se representan principalmente con letras mayúsculas como \(A,B,C,...\).
Definición
Los elementos de un conjunto arbitrario se representan con letras minúsculas, como \(a,b,c,...\)
Definición
La pertenencia de un elemento a un conjunto se simboliza con \(\in\), mientras que la no pertenencia se representa mediante el símbolo \(\notin\).
Ejemplo
Dado \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), es cierto que \(4\in A\) y \(7\notin A\).
Definición
Dos conjuntos son idénticos si y solo si tienen los mismos elementos.
Definición
Si todos los elementos de un conjunto están incluidos en un segundo conjunto, diremos que el primer conjunto es subconjunto del otro. El símbolo de subconjunto es \(\subset\).
Ejemplo
Dado \(B=\{a,b,c,d\}\) y \(C=\{1,2,3,4,a,b,c,d\}\), es evidente que todos los elementos de \(B\) están incluidos en \(C\), por lo que \(B\) es subconjunto de \(C\), lo que se escribe simbólicamente como \(B\subset C\).
Definición
El operador que permite reunir en un solo conjunto a todos los elementos de dos o más conjuntos se denomina unión. El símbolo de una unión es \(\cup\).
Ejemplo
Dado \(D=\{casa, mesa\}\) y \(E=\{rojo\}\), la unión entre \(D\) y \(E\) corresponde a \(D\cup E =\{casa, mesa,rojo\}\)
Definición
El operador que permite reunir en un solo conjunto a todos los elementos en común de dos o más conjuntos se denomina intersección. El símbolo de una intersección es \(\cap\).
Ejemplo
Dado \(F=\{2,3,4,5,\}\) y \(G=\{3,5,7,8,9\}\), la intersección entre \(F\) y \(G\) corresponde a \(F\cap G =\{3,5\}\)
Definición
Sean \(A\) y \(B\) dos conjuntos. El producto cartesiano de \(A\) y \(B\), denotado por \(A \times B\), es el conjunto de todos los pares ordenados \((a, b)\) donde \(a \in A\) y \(b \in B\). Es decir:
\[A \times B = {(a, b) \mid a \in A, b \in B}\]
Ejemplo
Dado \(F = \{2, 3\}\) y \(G = \{a, b\}\), el producto cartesiano entre \(F\) y \(G\) corresponde a:
\(F \times G = \{(2, a), (2, b), (3, a), (3, b)\}\)
Mientras que el producto cartesiano entre \(G\) y \(F\), es:
\(G\times F=\{(a,2),(b,2),(a,3),(b,3)\}\)
Definición
Sean \(A\) y \(B\) dos conjuntos no vacíos. Una relacion \(R\) de elementos de \(A\) y \(B\) es un subconjunto de \(A \times B\).
Ejemplo
Dado \(M=\{r, n\}\) y \(P=\{1,3,5\}\), el producto cartesiano \(M\times P\) se define como:
\[M\times P=\{(r,1),(r,2),(r,3),(n,1),(n,2),(n,3)\}\]
Luego, algunas relaciones de \(A\) en \(B\) son:
\(R_1=\{(r,1),(n,2),(n,3)\}\)
\(R_2=\{(r,2),(n,3)\}\)
\(R_3=\{(r,2),(n,1),(n,2),(n,3)\}\)
Definición
Sean \(A\) y \(B\) dos conjuntos. Una función \(f\) de \(A\) en \(B\), denotada por \(f: A \rightarrow B\), es una regla que asigna a cada elemento de \(A\) exactamente un elemento de \(B\). Formalmente, una función es un subconjunto del producto cartesiano \(A\times B\) tal que para cada \(a\in A\), existe un único \(b\in B\) donde \((a,b)\) pertenece a la función \(f\).
Ejemplo
Dado \(A = \{1, 2, 3\}\) y \(B = \{a, b, c\}\), definimos una función \(f: A \rightarrow B\) como sigue:
\[f = \{(1, a), (2, b), (3, c)\}.\]
Esto significa que la función \(f\) asigna el elemento \(1\) de \(A\) al elemento \(a\) de \(B\), el elemento \(2\) de \(A\) al elemento \(b\) de \(B\), y el elemento \(3\) de \(A\) al elemento \(c\) de \(B\).
Definición
La preimagen de un elemento \(b \in B\) bajo una función \(f: A \rightarrow B\) es el conjunto de todos los elementos \(a \in A\) tales que \(f(a) = b\). Es decir, la preimagen de \(b\) es el conjunto \(f^{-1}(b) = \{a \in A \mid f(a) = b\}\).
Ejemplo
Dado \(f(x) = x^2\) y \(b = 4\), la preimagen de \(4\) bajo la función \(f\) son los valores de \(x\) que satisfacen \(f(x) = 4\). En este caso, \(f^{-1}(4) = \{-2, 2\}\), ya que tanto \((-2)^2\) como \(2^2\) dan como resultado \(4\).
Definición
La imagen de un elemento \(a \in A\) bajo una función \(f: A \rightarrow B\) es el valor \(b \in B\) tal que \(f(a) = b\). En otras palabras, la imagen de \(a\) es el elemento de \(B\) que corresponde a \(a\) bajo la función \(f\).
Ejemplo
Dado \(f(x) = 2x + 3\) y \(a = 1\), la imagen de \(1\) bajo la función \(f\) es \(f(1) = 2(1) + 3 = 5\). Por lo tanto, la imagen de \(1\) es \(5\).
Definición
El dominio de una función \(f: A \rightarrow B\) es el conjunto de todos los posibles valores de \(A\) para los cuales la función \(f\) está definida. Es decir, si \(f(a) = b\), entonces el dominio de \(f\) es el conjunto \(A\).
Ejemplo
Dado \(f(x) = \sqrt{x-1}\), el dominio de \(f\) es el conjunto de todos los valores de \(x\) para los cuales la expresión dentro de la raíz cuadrada es no negativa. Por lo tanto, el dominio de \(f\) es \([1, \infty)\), ya que para cualquier \(x < 1\), la función no está definida en los números reales.
Definición
El recorrido de una función \(f: A \rightarrow B\) es el conjunto de todos los valores de \(B\) que son imagen de algún elemento de \(A\). Es decir, el recorrido de \(f\) es el conjunto \(\{b \in B \mid b = f(a) \text{ para algún } a \in A\}\).
Ejemplo
Dado \(f(x) = x^2\), el recorrido de \(f\) es el conjunto de todos los valores posibles de \(y\) que se obtienen al elevar un número real al cuadrado. Por lo tanto, el recorrido de \(f\) es \([0, \infty)\), ya que cualquier valor de \(y < 0\) no puede ser alcanzado por esta función.
Definición
El codominio de una función \(f: A \rightarrow B\) es el conjunto \(B\) que contiene todos los posibles valores de salida de la función. Es importante notar que el codominio incluye todos los elementos de \(B\), incluso aquellos que no son imagen de ningún elemento de \(A\).
Ejemplo
Dado \(f(x) = x^2\) y \(B = \mathbb{R}\), el codominio de \(f\) es el conjunto de todos los números reales. Aunque el recorrido de \(f\) es \([0, \infty)\), el codominio es \(\mathbb{R}\) porque es el conjunto de valores que hemos decidido que podrían ser posibles salidas de la función.
Definición
Una función \(f: A \rightarrow B\) es inyectiva (o uno a uno) si para cada par de elementos distintos \(a_1, a_2 \in A\), se cumple que \(f(a_1) \neq f(a_2)\). En otras palabras, una función es inyectiva si elementos distintos en el dominio tienen imágenes distintas en el codominio.
Ejemplo
Considera la función \(f(x) = 2x + 3\) definida sobre los números reales. Esta función es inyectiva porque si \(f(a_1) = f(a_2)\), entonces \(2a_1 + 3 = 2a_2 + 3\), lo que implica que \(a_1 = a_2\). Por lo tanto, no existen dos valores distintos de \(x\) que tengan la misma imagen bajo \(f\).
Definición
Una función \(f: A \rightarrow B\) es sobreyectiva (o sobre) si para cada elemento \(b \in B\) existe al menos un elemento \(a \in A\) tal que \(f(a) = b\). En otras palabras, una función es sobreyectiva si su recorrido es igual a su codominio, es decir, todos los elementos de \(B\) son alcanzados por la función.
Ejemplo
Considera la función \(f(x) = x^3\) definida sobre los números reales. Esta función es sobreyectiva porque para cada número real \(y\), existe un número real \(x\) tal que \(f(x) = y\). Por ejemplo, si \(y = 8\), entonces \(x = 2\) cumple \(f(2) = 2^3 = 8\). Así, todos los valores en el codominio (los números reales) son alcanzados por algún valor en el dominio.
Definición
Una función \(f: A \rightarrow B\) es biyectiva si es tanto inyectiva como sobreyectiva. Esto significa que para cada elemento \(b \in B\) existe un único elemento \(a \in A\) tal que \(f(a) = b\), y viceversa. En otras palabras, cada elemento de \(B\) es imagen de un único elemento de \(A\).
Ejemplo
Considera la función \(f(x) = 2x + 3\) definida sobre los números reales. Esta función es biyectiva porque es inyectiva (no hay dos valores distintos de \(x\) que den la misma imagen) y es sobreyectiva (todos los valores reales \(y\) pueden ser alcanzados por algún valor de \(x\)). Por ejemplo, para \(y = 7\), tenemos \(x = 2\), ya que \(f(2) = 2(2) + 3 = 7\). Por lo tanto, \(f\) es tanto uno a uno como sobre.
Definición
La inversa de una función \(f: A \rightarrow B\) es una función \(f^{-1}: B \rightarrow A\) tal que para cada \(b \in B\), se cumple que \(f(f^{-1}(b)) = b\) y \(f^{-1}(f(a)) = a\) para todo \(a \in A\). Es decir, la función inversa “deshace” el efecto de la función original, llevando los elementos del codominio de regreso al dominio. Una función tiene inversa si y solo si es biyectiva.
Ejemplo
Considera la función \(f(x) = 2x + 3\) definida sobre los números reales. La inversa de esta función, denotada por \(f^{-1}(y)\), se encuentra resolviendo la ecuación \(y = 2x + 3\) para \(x\). Así, la inversa es \(f^{-1}(y) = \frac{y - 3}{2}\). Esto significa que si aplicamos \(f^{-1}\) a un valor de \(y\), obtenemos el valor original de \(x\). Por ejemplo, si \(y = 7\), entonces \(f^{-1}(7) = \frac{7 - 3}{2} = 2\), y efectivamente \(f(2) = 7\).
Definición
Una función polinomial es una función de la forma \(f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0\), donde \(a_n, a_{n-1}, \ldots, a_1, a_0\) son constantes reales y \(n\) es un número entero no negativo que representa el grado del polinomio. La gráfica de una función polinomial depende del grado y de los coeficientes del polinomio, pudiendo tener varias curvas o ser simplemente una línea recta (si el polinomio es de grado 1).
Ejemplo
Considera la función \(f(x) = 2x^3 - 4x^2 + x - 5\). Esta es una función polinomial de grado 3, ya que el término de mayor exponente es \(x^3\). La gráfica de esta función tiene la forma de una curva que puede cruzar el eje \(x\) hasta tres veces, dependiendo de los valores de \(x\).
Definición
Una función constante es una función \(f: A \rightarrow B\) tal que todos los elementos de \(A\) se asignan al mismo valor en \(B\). Es decir, existe un valor \(b \in B\) tal que \(f(a) = b\) para todo \(a \in A\). La gráfica de una función constante es una línea horizontal.
Ejemplo
Considera la función \(f(x) = 5\) definida sobre los números reales. Esta es una función constante porque para cualquier valor de \(x\), \(f(x)\) es siempre igual a \(5\). Por ejemplo, \(f(1) = 5\), \(f(10) = 5\), y \(f(-3) = 5\). La gráfica de esta función es una línea horizontal en \(y = 5\).
Propiedades
Propiedades
| Propiedad | Descripción |
|---|---|
| Dominio | El dominio de una función constante es el conjunto de todos los números reales, es decir, \(\mathbb{R}\). |
| Recorrido | El recorrido de una función constante es el valor constante \(c\), es decir, \(\{c\}\). |
| Inyectividad | No es inyectiva, ya que diferentes valores de \(x\) en el dominio se asignan al mismo valor \(c\). |
| Sobreyectividad | No es sobreyectiva a menos que el codominio sea exactamente \(\{c\}\). |
Definición
Una función lineal es una función de la forma \(f(x) = mx + b\), donde \(m\) y \(b\) son constantes, \(x\) es la variable independiente, \(m\) representa la pendiente de la recta, y \(b\) es la ordenada al origen (el punto donde la recta cruza el eje \(y\)). La gráfica de una función lineal es una línea recta.
Ejemplo
Considera la función \(f(x) = 2x + 3\). Esta es una función lineal con pendiente \(m = 2\) y ordenada al origen \(b = 3\). Esto significa que por cada unidad que \(x\) aumenta, \(f(x)\) aumenta en 2 unidades. La gráfica de esta función es una línea recta que cruza el eje \(y\) en \(y = 3\) y tiene una pendiente de 2, lo que indica que la recta sube 2 unidades por cada unidad que avanza hacia la derecha.
Propiedades
| Propiedad | Descripción |
|---|---|
| Dominio | El dominio de una función lineal es el conjunto de todos los números reales, es decir, \(\mathbb{R}\). |
| Recorrido | El recorrido de una función lineal es también \(\mathbb{R}\), ya que para cualquier valor de \(y\) hay un \(x\) tal que \(f(x) = y\). |
| Inyectividad | Una función lineal es inyectiva si su pendiente \(m \neq 0\), ya que valores diferentes de \(x\) se asignan a valores diferentes de \(y\). |
| Sobreyectividad | Una función lineal es sobreyectiva si su recorrido cubre todo \(\mathbb{R}\), lo cual es cierto para cualquier función lineal de la forma \(f(x) = mx + b\) con \(m \neq 0\). |
Definición
Una función cuadrática es una función polinomial de grado 2, de la forma \(f(x) = ax^2 + bx + c\), donde \(a\), \(b\), y \(c\) son constantes reales y \(a \neq 0\). La gráfica de una función cuadrática es una parábola que puede abrirse hacia arriba (si \(a > 0\)) o hacia abajo (si \(a < 0\)). El vértice de la parábola representa el punto mínimo o máximo de la función.
Ejemplo
Considera la función \(f(x) = 2x^2 - 4x + 1\). Esta es una función cuadrática donde \(a = 2\), \(b = -4\), y \(c = 1\). La gráfica de esta función es una parábola que se abre hacia arriba, ya que \(a > 0\). El vértice de la parábola se encuentra en el punto \((1, -1)\), que es el valor mínimo de la función.
Propiedades
| Propiedad | Descripción |
|---|---|
| Dominio | El dominio de una función cuadrática es el conjunto de todos los números reales, es decir, \(\mathbb{R}\). |
| Recorrido |
El recorrido de una función cuadrática depende del coeficiente \(a\):
|
| Inyectividad | Una función cuadrática no es inyectiva en su dominio completo, ya que para un mismo valor de \(y\), pueden existir dos valores de \(x\) diferentes. |
| Sobreyectividad | Una función cuadrática no es sobreyectiva en todo \(\mathbb{R}\), pero es sobreyectiva en el intervalo de su recorrido, ya que cada valor dentro del recorrido tiene un valor de \(x\) correspondiente. |
Definición
Una función cúbica es una función polinomial de grado 3, de la forma \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\), donde \(a\), \(b\), \(c\), y \(d\) son constantes reales y \(a \neq 0\). La gráfica de una función cúbica tiene una forma característica de “S” o de “Z”, dependiendo de los signos de los coeficientes, y puede cruzar el eje \(x\) hasta tres veces.
Ejemplo
Considera la función \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\). Esta es una función cúbica donde \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = 2\), y \(d = 0\). La gráfica de esta función tiene una forma de “S”, cruzando el eje \(x\) en los puntos \(x = 0\), \(x = 1\), y \(x = 2\). A medida que \(x\) aumenta o disminuye, la función crece sin límites en ambas direcciones.
Propiedades
| Propiedad | Descripción |
|---|---|
| Dominio | El dominio de una función cúbica es el conjunto de todos los números reales, es decir, \(\mathbb{R}\). |
| Recorrido | El recorrido de una función cúbica es también el conjunto de todos los números reales, es decir, \(\mathbb{R}\). Una función cúbica puede alcanzar cualquier valor real. |
| Inyectividad | Una función cúbica es inyectiva, ya que para cada valor de \(y\), existe un único valor de \(x\) correspondiente. |
| Sobreyectividad | Una función cúbica es sobreyectiva, ya que cada valor de \(y\) tiene un valor de \(x\) correspondiente. Esto significa que la función cubre todo el conjunto de los números reales. |
Definición
Sean \(a\in \mathbb{R}-\{0\}\), \(b\in \mathbb{R^+}-\{1\}\) y \(x\in \mathbb{R}\). La función exponencial se define como:
\[f(x)=ab^x\]
Propiedad
En toda función exponencial, se cumple que:
Su dominio es \(\mathbb{R}\)
Para \(a>0\) el recorrido es \(]0,+\infty[\)
Para \(a<0\) el recorrido es \(]-\infty,0[\)
Para \(b>1\) su gráfica es creciente.
Para \(0<b<1\) su gráfica es decreciente.
Su gráfica intersecta al eje de la ordenada en el punto \((0,a)\)