Análisis Multivariado
William Gomez
2024-08-15
Tarea 1
1. El archivo ‘anexo1.csv’ contiene los datos de una muestra de vectores aleatorios de 3 componentes. \[X_1, X_2, \ldots, X_n\]
a. Evalue la normalidad multivariada de la muestra
dada.
b. Si el vector de medias poblacionales es \(\mu = \begin{bmatrix} 0.1 & -0.2 & 0.05
\end{bmatrix}^T\) y \(S\) es la
matriz de varianzas-covarianzas muestrales. ¿Cuál es la distribución
aproximada de
\[ 40 \left( \bar{X} - \begin{bmatrix} 0.1 & -0.2 & 0.05 \end{bmatrix}^T \right) S^{-1} \left( \bar{X} - \begin{bmatrix} 0.1 & -0.2 & 0.05 \end{bmatrix}^T \right) ? \]
c. Usando la distancia cuadrada generalizada establezca si existen valores atípicos.
Solución 1
X1 <- read.csv2("anexo1.csv")
n <- nrow(X1)
n## [1] 40p <- ncol(X1)
p## [1] 3head(X1)## X1 X2 X3
## 1 -2.3932177 -2.1584719 -1.5865685
## 2 2.7740539 2.8226023 3.2069833
## 3 0.5384641 0.1086596 -0.4906402
## 4 2.0426030 1.8232092 1.3567716
## 5 1.7732396 2.2194384 1.7299784
## 6 -0.9932595 -0.9960262 -0.8165494- Para evaluar la normalidad multivariada de la muestra, usaremos el test de Mardia.
#Cargar la Librería para el Test de Mardia
library(MVN)mardia_test <- mvn(X1, mvnTest = "mardia")
mardia_test## $multivariateNormality
## Test Statistic p value Result
## 1 Mardia Skewness 3.44263279082527 0.969010425206423 YES
## 2 Mardia Kurtosis -0.959974119510589 0.337068240452895 YES
## 3 MVN <NA> <NA> YES
##
## $univariateNormality
## Test Variable Statistic p value Normality
## 1 Anderson-Darling X1 0.1901 0.8931 YES
## 2 Anderson-Darling X2 0.1688 0.9296 YES
## 3 Anderson-Darling X3 0.3570 0.4388 YES
##
## $Descriptives
## n Mean Std.Dev Median Min Max 25th 75th
## X1 40 0.013463668 1.816194 -0.06227406 -3.952481 3.673581 -1.2041901 1.196851
## X2 40 -0.001685572 1.768519 -0.02411968 -3.656188 3.713670 -1.0884103 1.043540
## X3 40 -0.082345327 1.659509 -0.45863078 -3.778099 3.206983 -0.9503632 1.102676
## Skew Kurtosis
## X1 -0.02735881 -0.5332226
## X2 0.02255044 -0.4845468
## X3 -0.14809282 -0.3814142Podemos observar que el test de normalidad multivariada nos arroja resultados afirmativos tanto en el ‘Mardia Skewness’ como en el ‘Mardia Kurtosis’, lo que sugiere que existe normalidad multivariada en la muestra. Es decir, las variables consideradas en la muestra se distribuyen de manera normal multivariada por el test de Mardia.
La estadística de prueba \[ n (X - \mu)^\top S^{-1} (X - \mu) \approx \chi^2_p \] con \(\mu = \begin{bmatrix} 0.1 & -0.2 & 0.05 \end{bmatrix}^T\), \(S\) y \(n=40\), tiene una distribución \[\chi^2_p\] Esto significa que la estadística de prueba sigue una distribución chi-cuadrada con p grados de libertad.
Xbarra<-colMeans(X1)
S<-cov(X1)
S_inv<-solve(S)
mu <- c(0.1, -0.2, 0.05)
result <- 40 * t(Xbarra - mu) %*% S_inv %*% (Xbarra - mu)
result## [,1]
## [1,] 73.3465alpha <- 0.05
df <- 3 # grados de libertad
chi_square_critical <- qchisq(1 - alpha, df)
chi_square_critical## [1] 7.814728La estadística de prueba calculada (73.3465) es mucho mayor que el valor crítico (7.814728) para alfa=0.05 y 3 grados de libertad. Por tanto, se rechaza la hipótesis nula y se indica que hay una diferencia significativa entre la media muestral y el vector de medias poblacionales especificado.
# Calcular la distancia cuadrada generalizada para cada observación
distances <- apply(X1, 1, function(x) {
(x - Xbarra) %*% S_inv %*% (x - Xbarra)
})
distances## [1] 2.536907504 4.811323299 2.644067334 1.522594023 5.308019728 0.412991046
## [7] 3.363817514 1.457424912 5.522028495 2.526179095 5.649669018 2.929268078
## [13] 6.040574759 4.189424293 3.843993707 1.764055796 5.306311722 1.500701698
## [19] 4.500066237 1.184538732 6.252197434 4.782488434 0.003357339 0.691094899
## [25] 2.570044223 1.173329974 0.098347107 0.147513309 6.855704467 2.768477762
## [31] 0.325131091 1.172094524 0.538101578 1.886409407 6.815650410 3.077184194
## [37] 3.160333807 5.005251987 1.606795282 1.056535781Una vez calculadas las distancias cuadradas generalizadas, calculamos el valor crítico de una distribución chi-cuadrada con p grados de libertad, con el fin de comparar estos valores y decidir sobre los outliers.
alpha <- 0.05 # Nivel de significancia
df <- ncol(X1) - 1 # Grados de libertad (número de p - 1)
quantile_chi2 <- qchisq(1 - alpha, df)
quantile_chi2## [1] 5.991465# Paso 3: Comparar distancias con el cuantíl
outliers <- distances[distances > quantile_chi2] # Valores atípicos
outlier_indices <- which(distances > quantile_chi2) # Índices de los valores atípicos
outlier_indices## [1] 13 21 29 35Podemos también utilizar un método gráfico.
Out<-mvn(X1, mvnTest = "mardia",
multivariateOutlierMethod ="adj")
En conclusión, al observar las distancias cuadradas generalizadas, calcular un nivel de significancia y compararlo con el valor crítico de la distribución chi-cuadrada, así como al utilizar el método gráfico para corroborar, los valores atípicos son los índices: [13, 21, 29, 35].
2. Los datos Protein del paquete MultBiplotR contiene información sobre datos nutricionales de 9 diferentes fuentes de proteínas para los habitantes de 25 países europeos alrededor de 1970:
Consumo de Proteínas por Fuente
- RedMeat: Consumo de proteínas provenientes de carnes rojas.
- WhiteMeat: Consumo de proteínas provenientes de carnes blancas.
- Eggs: Consumo de proteínas del huevo.
- Milk: Consumo de proteínas de la leche.
- Fish: Consumo de proteínas provenientes del pescado.
- Cereals: Consumo de proteínas procedentes de cereales.
- Starch: Consumo de proteínas provenientes de carbohidratos.
- Nuts: Consumo de proteínas procedentes de cereales, frutos secos y semillas oleaginosas.
- FruitVeg: Consumo de proteínas procedentes de frutas y verduras.
Estos datos fueron colectados inicialmente para entender las diferencias nutricionales entre los países europeos.
Determine y analice el vector de medias y la matriz de covarianzas muestrales para las diferentes regiones.
Calcule la media de las variables por regiones. ¿Qué puede decir al respecto?
Intente construir grupos de países usando representaciones pictóricas (gráficos de estrellas o caras de Chernoff).
Utilice las herramientas de gráficas más adecuadas para verificar normalidad multivariada.
Realice la prueba de Mardia para verificar las hipótesis:
- \(H_0\): Los datos provienen de una población Normal Multivariada.
- \(H_1\): Los datos NO provienen de una población Normal Multivariada.
Verifique si hay outliers (multivariados) e identifíquelos.
Pruebe las hipótesis:
- \(H_0: \mu = \mu_0\)
- \(H_1: \mu \neq \mu_0\)
donde \(\mu_0 = \begin{bmatrix} 9 & 7 & 2 & 15 & 5 & 30 & 4 & 3 & 4 \end{bmatrix}^T\).
De forma univariada.
De forma multivariada.
Comente los resultados.
library(MultBiplotR)data("Protein")
region_Sur <- subset(Protein, Region == "South")
region_centro <- subset(Protein, Region == "Center")
region_norte <- subset(Protein, Region == "North")- En el dataset existen 3 regiones.
Region Sur:
summary(region_Sur)## Comunist Region Red_Meat White_Meat Eggs
## No :4 North :0 Min. : 4.400 Min. :1.400 Min. :0.500
## Yes:4 Center:0 1st Qu.: 6.200 1st Qu.:3.300 1st Qu.:1.175
## South :8 Median : 7.450 Median :4.350 Median :1.550
## Mean : 7.625 Mean :4.237 Mean :1.837
## 3rd Qu.: 9.275 3rd Qu.:5.325 3rd Qu.:2.825
## Max. :10.200 Max. :6.300 Max. :3.100
## Milk Fish Cereal Starch
## Min. : 4.900 Min. : 0.200 Min. :27.00 Min. :0.600
## 1st Qu.: 8.525 1st Qu.: 0.900 1st Qu.:34.90 1st Qu.:1.850
## Median : 9.200 Median : 2.300 Median :42.00 Median :2.600
## Mean :10.325 Mean : 4.188 Mean :42.40 Mean :2.962
## 3rd Qu.:11.750 3rd Qu.: 6.175 3rd Qu.:51.17 3rd Qu.:3.750
## Max. :17.600 Max. :14.200 Max. :56.70 Max. :5.900
## Nuts Fruits_Vegetables
## Min. :3.700 Min. :1.700
## 1st Qu.:4.600 1st Qu.:3.100
## Median :5.400 Median :5.350
## Mean :5.362 Mean :5.025
## 3rd Qu.:5.750 3rd Qu.:6.825
## Max. :7.800 Max. :7.900
La región Sur se caracteriza por un elevado consumo de cereal por encima
que cualquier otra cosa. El consumo de leche tiende a ser también algo
común en esta región.
Region Centro:
summary(region_centro)## Comunist Region Red_Meat White_Meat Eggs
## No :8 North : 0 Min. : 5.30 Min. : 4.60 Min. :2.100
## Yes:5 Center:13 1st Qu.: 8.90 1st Qu.: 9.90 1st Qu.:2.900
## South : 0 Median : 9.70 Median :10.20 Median :3.600
## Mean :11.18 Mean :10.41 Mean :3.546
## 3rd Qu.:13.50 3rd Qu.:12.40 3rd Qu.:4.100
## Max. :18.00 Max. :14.00 Max. :4.700
## Milk Fish Cereal Starch Nuts
## Min. : 9.70 Min. :0.300 Min. :18.60 Min. :2.8 Min. :0.800
## 1st Qu.:16.60 1st Qu.:2.200 1st Qu.:24.30 1st Qu.:4.2 1st Qu.:1.500
## Median :19.30 Median :3.000 Median :26.60 Median :5.0 Median :2.000
## Mean :18.35 Mean :3.131 Mean :28.95 Mean :5.0 Mean :2.246
## 3rd Qu.:20.60 3rd Qu.:4.300 3rd Qu.:34.30 3rd Qu.:5.9 3rd Qu.:2.400
## Max. :25.80 Max. :5.700 Max. :43.60 Max. :6.5 Max. :5.400
## Fruits_Vegetables
## Min. :2.900
## 1st Qu.:3.600
## Median :4.000
## Mean :4.208
## 3rd Qu.:4.300
## Max. :6.600
La región Centro se caracteriza también por un consumo elevado de Cereal, pero en menor cantidad. Sin embargo, su población muestra una preferencia mayor a la leche que ne la región Sur. Las carnes rojas y blancas son igualmente una parte importante en la dieta de esta región.
Region Norte:
summary(region_norte)## Comunist Region Red_Meat White_Meat Eggs
## No :4 North :4 Min. : 9.400 Min. : 4.70 Min. :2.70
## Yes:0 Center:0 1st Qu.: 9.475 1st Qu.: 4.85 1st Qu.:2.70
## South :0 Median : 9.700 Median : 6.35 Median :3.10
## Mean : 9.850 Mean : 7.05 Mean :3.15
## 3rd Qu.:10.075 3rd Qu.: 8.55 3rd Qu.:3.55
## Max. :10.600 Max. :10.80 Max. :3.70
## Milk Fish Cereal Starch
## Min. :23.30 Min. :5.800 Min. :19.50 Min. :3.700
## 1st Qu.:24.35 1st Qu.:7.075 1st Qu.:21.30 1st Qu.:4.375
## Median :24.85 Median :8.600 Median :22.45 Median :4.700
## Mean :26.68 Mean :8.225 Mean :22.68 Mean :4.550
## 3rd Qu.:27.18 3rd Qu.:9.750 3rd Qu.:23.82 3rd Qu.:4.875
## Max. :33.70 Max. :9.900 Max. :26.30 Max. :5.100
## Nuts Fruits_Vegetables
## Min. :0.700 Min. :1.400
## 1st Qu.:0.925 1st Qu.:1.850
## Median :1.200 Median :2.200
## Mean :1.175 Mean :2.125
## 3rd Qu.:1.450 3rd Qu.:2.475
## Max. :1.600 Max. :2.700
La región Norte se caracteriza por el consumo elevado de leche seguido a su vez por un gran consumo de cereal. Entre los alimentos con importancia en su población estan las carnes rojas, blancas y el pescado.
matriz_covarianza_por_region <- lapply(split(Protein[, -c(1, 2)], Protein$Region), cov)
matriz_covarianza_por_region## $North
## Red_Meat White_Meat Eggs Milk Fish
## Red_Meat 0.29666667 1.5533333 0.26333333 -0.7650000 0.46833333
## White_Meat 1.55333333 8.2566667 1.45000000 -4.9783333 2.49500000
## Eggs 0.26333333 1.4500000 0.27666667 -1.0850000 0.36500000
## Milk -0.76500000 -4.9783333 -1.08500000 22.4825000 -7.79583333
## Fish 0.46833333 2.4950000 0.36500000 -7.7958333 3.79583333
## Cereal -0.71833333 -4.6150000 -1.10500000 10.6458333 -2.43583333
## Starch -0.02333333 -0.3333333 -0.14333333 1.6516667 -0.07500000
## Nuts -0.15833333 -0.7450000 -0.09833333 -0.7708333 0.03083333
## Fruits_Vegetables 0.06500000 0.3816667 0.05833333 -2.4158333 1.05250000
## Cereal Starch Nuts Fruits_Vegetables
## Red_Meat -0.7183333 -0.02333333 -0.15833333 0.06500000
## White_Meat -4.6150000 -0.33333333 -0.74500000 0.38166667
## Eggs -1.1050000 -0.14333333 -0.09833333 0.05833333
## Milk 10.6458333 1.65166667 -0.77083333 -2.41583333
## Fish -2.4358333 -0.07500000 0.03083333 1.05250000
## Cereal 7.9758333 1.50500000 -0.28083333 -0.75250000
## Starch 1.5050000 0.36333333 -0.12833333 -0.06500000
## Nuts -0.2808333 -0.12833333 0.16250000 0.07083333
## Fruits_Vegetables -0.7525000 -0.06500000 0.07083333 0.31583333
##
## $Center
## Red_Meat White_Meat Eggs Milk Fish
## Red_Meat 14.6735897 -4.5664744 1.51615385 9.7978205 3.3441026
## White_Meat -4.5664744 7.6274359 0.37628205 -1.1695513 -1.3427564
## Eggs 1.5161538 0.3762821 0.65935897 1.6885256 0.2859615
## Milk 9.7978205 -1.1695513 1.68852564 23.8326923 0.2542949
## Fish 3.3441026 -1.3427564 0.28596154 0.2542949 2.2839744
## Cereal -14.0588462 -6.8528846 -4.71480769 -18.2364744 -4.2882051
## Starch -0.2300000 -1.2300000 -0.03666667 -1.2075000 0.7283333
## Nuts -0.3980128 -1.2287179 -0.30147436 -1.4564744 -0.6632051
## Fruits_Vegetables 0.1743590 0.6391026 -0.31621795 0.2037821 0.3364103
## Cereal Starch Nuts Fruits_Vegetables
## Red_Meat -14.058846 -0.23000000 -0.39801282 0.17435897
## White_Meat -6.852885 -1.23000000 -1.22871795 0.63910256
## Eggs -4.714808 -0.03666667 -0.30147436 -0.31621795
## Milk -18.236474 -1.20750000 -1.45647436 0.20378205
## Fish -4.288205 0.72833333 -0.66320513 0.33641026
## Cereal 54.344359 1.26000000 4.96185897 1.14711538
## Starch 1.260000 1.29666667 -0.33250000 -0.31750000
## Nuts 4.961859 -0.33250000 1.51769231 -0.02288462
## Fruits_Vegetables 1.147115 -0.31750000 -0.02288462 1.38243590
##
## $South
## Red_Meat White_Meat Eggs Milk Fish
## Red_Meat 4.2021429 -1.84392857 0.5017857 4.24071429 -0.9567857
## White_Meat -1.8439286 2.75125000 0.1798214 -0.04107143 -1.9708929
## Eggs 0.5017857 0.17982143 0.9369643 2.15178571 0.9119643
## Milk 4.2407143 -0.04107143 2.1517857 14.87642857 -5.3067857
## Fish -0.9567857 -1.97089286 0.9119643 -5.30678571 22.7955357
## Cereal -4.5957143 9.42857143 -3.7471429 6.85000000 -43.1157143
## Starch -2.1803571 0.00875000 0.4530357 -3.12892857 7.2708929
## Nuts 0.6467857 -1.03125000 0.3430357 2.80821429 0.4708929
## Fruits_Vegetables 0.2207143 -0.24964286 1.4832143 0.46071429 9.3532143
## Cereal Starch Nuts Fruits_Vegetables
## Red_Meat -4.595714 -2.1803571 0.6467857 0.2207143
## White_Meat 9.428571 0.0087500 -1.0312500 -0.2496429
## Eggs -3.747143 0.4530357 0.3430357 1.4832143
## Milk 6.850000 -3.1289286 2.8082143 0.4607143
## Fish -43.115714 7.2708929 0.4708929 9.3532143
## Cereal 125.977143 -14.4157143 -1.7614286 -19.3600000
## Starch -14.415714 3.7883929 0.1941071 2.9782143
## Nuts -1.761429 0.1941071 1.5283929 0.2167857
## Fruits_Vegetables -19.360000 2.9782143 0.2167857 5.4278571Por otro lado, la matriz de covarianzas muestra alta varianza en ‘Milk’ (22.4825), lo que indica un consumo muy variable. Existe una covarianza positiva entre ‘Red_Meat’ y ‘White_Meat’ (1.5533), sugiriendo que a medida que aumenta el consumo de carne roja, también lo hace el de carne blanca. Sin embargo, la covarianza negativa entre ‘Milk’ y ‘Fish’ (-7.7958) indica que los hogares que consumen más leche tienden a consumir menos pescado.
En la region Centro se observa una alta varianza en ‘Milk’ (23.8327) y una covarianza negativa entre ‘Red_Meat’ y ‘White_Meat’ (-4.5665), sugiriendo que un aumento en el consumo de carne roja está asociado con una disminución en el de carne blanca. Además, la covarianza negativa en Cereal con otras variables sugiere relaciones inversas en el consumo, lo que podría reflejar preferencias alimentarias distintivas.
En la región Sur la varianza en ‘Fish’ (22.7955) es notablemente alta, lo que indica un consumo muy variable. La covarianza negativa entre ‘Cereal’ y ‘Fish’ (-43.1157) sugiere que los hogares que consumen más pescado tienden a consumir menos cereal, mientras que la covarianza positiva entre ‘Milk’ y ‘Eggs’ (2.1518) sugiere que ambos productos son consumidos conjuntamente en esta región.
media_por_region <- aggregate(. ~ Region, data = Protein, FUN = mean)
media_por_region <- media_por_region[, -c(1, 2)]
media_por_region## Red_Meat White_Meat Eggs Milk Fish Cereal Starch Nuts
## 1 9.85000 7.05000 3.150000 26.67500 8.225000 22.67500 4.5500 1.175000
## 2 11.17692 10.40769 3.546154 18.34615 3.130769 28.94615 5.0000 2.246154
## 3 7.62500 4.23750 1.837500 10.32500 4.187500 42.40000 2.9625 5.362500
## Fruits_Vegetables
## 1 2.125000
## 2 4.207692
## 3 5.025000La región que mayor consumo de cereal presenta es la región Sur. Esta región a su vez es la que mayor consumo de frutas y verduras presenta y menor consumo de Nuts. En la región Norte se da el mayor consumo de Leche y Pesacado. Mientras que en la region Centro se da el mayor consumo de carnes rojas y blancas.
library(ggplot2)
library(reshape2)
library(gridExtra)
## Warning: Using `size` aesthetic for lines was deprecated in ggplot2 3.4.0.
## ℹ Please use `linewidth` instead.
## This warning is displayed once every 8 hours.
## Call `lifecycle::last_lifecycle_warnings()` to see where this warning was
## generated.
A simple vista puedo sugerir agrupar los paises en 2 grupos. Los paises de Bulagria que solo consumen Ceral principalmente pueden agruparse con Albania por ejemplo. Paises como Austria que presentatn consumo de Ceral, Leche y Carnes Blancas pueden formar un grupo con , Belgium, Denmark, Germany , entre otros.
## Red_Meat White_Meat Eggs Milk Fish Cereal Starch Nuts
## Albania 10.1 1.4 0.5 8.9 0.2 42.3 0.6 5.5
## Austria 8.9 14.0 4.3 19.9 2.1 28.0 3.6 1.3
## Belgium 13.5 9.3 4.1 17.5 4.5 26.6 5.7 2.1
## Bulgaria 7.8 6.0 1.6 8.3 1.2 56.7 1.1 3.7
## Czechoslovakia 9.7 11.4 2.8 12.5 2.0 34.3 5.0 1.1
## Denmark 10.6 10.8 3.7 25.0 9.9 21.9 4.8 0.7
## Fruits_Vegetables
## Albania 1.7
## Austria 4.3
## Belgium 4.0
## Bulgaria 4.2
## Czechoslovakia 4.0
## Denmark 2.4## Cargando paquete requerido: carData##
## Adjuntando el paquete: 'car'## The following object is masked from 'package:MultBiplotR':
##
## logit
A simple vista podemos ver sierta discrepancia entre los puntos y la linea recta de color azul. Sin embargo puede que exista normalidad en la mayoría de las variables. e.
Se plantea las siguientes hipótesis para evaluar la normalidad multivariada de los datos:
- H0: Los datos provienen de una población Normal Multivariada.
- H1: Los datos NO provienen de una población Normal Multivariada.
library(MVN)
mardia_result <- mvn(X2, mvnTest = "mardia")
mardia_result## $multivariateNormality
## Test Statistic p value Result
## 1 Mardia Skewness 168.086605971262 0.41858425807236 YES
## 2 Mardia Kurtosis -0.523571666842164 0.600576492382074 YES
## 3 MVN <NA> <NA> YES
##
## $univariateNormality
## Test Variable Statistic p value Normality
## 1 Anderson-Darling Red_Meat 0.6627 0.0737 YES
## 2 Anderson-Darling White_Meat 0.6238 0.0926 YES
## 3 Anderson-Darling Eggs 0.3929 0.3508 YES
## 4 Anderson-Darling Milk 0.3966 0.3435 YES
## 5 Anderson-Darling Fish 0.7257 0.0509 YES
## 6 Anderson-Darling Cereal 1.0013 0.0101 NO
## 7 Anderson-Darling Starch 0.4254 0.2921 YES
## 8 Anderson-Darling Nuts 0.9281 0.0155 NO
## 9 Anderson-Darling Fruits_Vegetables 0.7753 0.0380 NO
##
## $Descriptives
## n Mean Std.Dev Median Min Max 25th 75th Skew
## Red_Meat 25 9.828 3.347078 9.5 4.4 18.0 7.8 10.6 0.77847879
## White_Meat 25 7.896 3.694081 7.8 1.4 14.0 4.9 10.8 0.03504453
## Eggs 25 2.936 1.117617 2.9 0.5 4.7 2.7 3.7 -0.39426844
## Milk 25 17.112 7.105416 17.6 4.9 33.7 11.1 23.3 0.21508664
## Fish 25 4.284 3.402533 3.4 0.2 14.2 2.1 5.8 1.09632534
## Cereal 25 32.248 10.974786 28.0 18.6 56.7 24.3 40.1 0.81881605
## Starch 25 4.276 1.634085 4.7 0.6 6.5 3.1 5.7 -0.58880387
## Nuts 25 3.072 1.985682 2.4 0.7 7.8 1.5 4.7 0.63338857
## Fruits_Vegetables 25 4.136 1.803903 3.8 1.4 7.9 2.9 4.9 0.54556050
## Kurtosis
## Red_Meat 0.2225442
## White_Meat -1.4190709
## Eggs -0.6646212
## Milk -0.7787642
## Fish 0.7974802
## Cereal -0.4981383
## Starch -0.6590063
## Nuts -0.8391066
## Fruits_Vegetables -0.8604672Dado que no se rechaza la hipótesis nula (H0), se concluye que los datos provienen de una población Normal Multivariada. Esto sugiere que las suposiciones de normalidad son válidas para los análisis posteriores.
## $multivariateNormality
## Test Statistic p value Result
## 1 Mardia Skewness 168.086605971262 0.41858425807236 YES
## 2 Mardia Kurtosis -0.523571666842164 0.600576492382074 YES
## 3 MVN <NA> <NA> YES
##
## $univariateNormality
## Test Variable Statistic p value Normality
## 1 Anderson-Darling Red_Meat 0.6627 0.0737 YES
## 2 Anderson-Darling White_Meat 0.6238 0.0926 YES
## 3 Anderson-Darling Eggs 0.3929 0.3508 YES
## 4 Anderson-Darling Milk 0.3966 0.3435 YES
## 5 Anderson-Darling Fish 0.7257 0.0509 YES
## 6 Anderson-Darling Cereal 1.0013 0.0101 NO
## 7 Anderson-Darling Starch 0.4254 0.2921 YES
## 8 Anderson-Darling Nuts 0.9281 0.0155 NO
## 9 Anderson-Darling Fruits_Vegetables 0.7753 0.0380 NO
##
## $Descriptives
## n Mean Std.Dev Median Min Max 25th 75th Skew
## Red_Meat 25 9.828 3.347078 9.5 4.4 18.0 7.8 10.6 0.77847879
## White_Meat 25 7.896 3.694081 7.8 1.4 14.0 4.9 10.8 0.03504453
## Eggs 25 2.936 1.117617 2.9 0.5 4.7 2.7 3.7 -0.39426844
## Milk 25 17.112 7.105416 17.6 4.9 33.7 11.1 23.3 0.21508664
## Fish 25 4.284 3.402533 3.4 0.2 14.2 2.1 5.8 1.09632534
## Cereal 25 32.248 10.974786 28.0 18.6 56.7 24.3 40.1 0.81881605
## Starch 25 4.276 1.634085 4.7 0.6 6.5 3.1 5.7 -0.58880387
## Nuts 25 3.072 1.985682 2.4 0.7 7.8 1.5 4.7 0.63338857
## Fruits_Vegetables 25 4.136 1.803903 3.8 1.4 7.9 2.9 4.9 0.54556050
## Kurtosis
## Red_Meat 0.2225442
## White_Meat -1.4190709
## Eggs -0.6646212
## Milk -0.7787642
## Fish 0.7974802
## Cereal -0.4981383
## Starch -0.6590063
## Nuts -0.8391066
## Fruits_Vegetables -0.86046728 valores atípicos son encontrados con la prueba gráfico siendo el más alejado de todos ‘España’.
mu0 <- c(9, 7, 2, 15, 5, 30, 4, 3, 4)
Xbarra <- colMeans(X2)
S <- apply(X2, 2, sd)
n <- nrow(X2)
n## [1] 25p <- ncol(X2)
p## [1] 9- Univariada:
p_values <- sapply(1:p, function(i) {
t_test <- (Xbarra[i] - mu0[i]) / (S[i] / sqrt(n))
p_value <- 2 * (1 - pt(abs(t_test), df = n - 1))
return(p_value)
})
p_values## Red_Meat White_Meat Eggs Milk
## 0.2280913981 0.2370278242 0.0003277511 0.1502482214
## Fish Cereal Starch Nuts
## 0.3032062741 0.3159698559 0.4067247572 0.8576561693
## Fruits_Vegetables
## 0.7095156149Se observa que solo la variable Eggs tiene un p-valor menor a 0.05, lo que indica que se rechaza la hipótesis nula para esta variable, sugiriendo que su media es significativamente diferente de la población de referencia. Las demás variables no presentan diferencias significativas.
- Multivariada:
# --- PH multivariadas --- #
T2<-function(mu0,alpha,n,p){
Xbarra<-colMeans(X2)
S<-cov(X2)
InvS<-solve(S)
DifMed<-Xbarra - mu0
T2<-n%*%t(DifMed)%*%InvS%*%DifMed
return(T2)
} T2_value <- T2(mu0, alpha = 0.05, n = n, p = p)
T2_value## [,1]
## [1,] 64.84185# Comparar con la distribución F
F_value <- (T2_value * (n - p)) / (p * (n - 1))
F_value## [,1]
## [1,] 4.8031p_value_multivariado <- 1 - pf(F_value, df1 = p, df2 = n - p)
p_value_multivariado## [,1]
## [1,] 0.00318293El valor de T² calculado es 64.84185 y el valor F correspondiente es 4.8031, lo que da como resultado un p-valor de 0.0032. Este p-valor es menor que 0.05, lo que indica que se rechaza la hipótesis nula de que los datos provienen de una población Normal Multivariada.