rm(list=ls()) # limpa os objetos da ultima execução
options(scipen = 9999, # inibe exibição de resultaos em notação científica
digits = 8, # limita o número de digitos das saídas do programa
max.print = 20) # limita o tamanho da saída do programa
library(lifecontingencies) # pacote com operações financeiras e atuariais
library(magrittr) # pacote com operadores semânticos %>%, %$%
library(kableExtra) # pacote para formatar tabelas
library(readxl) # pacote para ler e manipular arquivos xlsx
library(ggplot2) # pacote para elaboração de gráficos
library(MortalityTables) # pacote para manipulação de tábuas biométricasConsiderando a tábua BR-EMS 2021mt-v.2021 feminina e masculina e i = 5,5% a.a.
setwd("C:/Users/cleod/OneDrive/Documentos/Documentos/Estudos/Ciências Atuariais/Matemática Atuarial II")
tabuas <- read_excel('Tábuas.xlsx')
tabua_mas <- tabuas[, c("Idade", "BR-EMSmt-v.2021-m")]
names(tabua_mas) <- c("x", "qx")
tabua_fem <- tabuas[, c("Idade", "BR-EMSmt-v.2021-f")]
names(tabua_fem) <- c("y", "qy")tabua_mas <- probs2lifetable(probs = tabua_mas$qx, type = 'qx', radix = 100000, name = 'BR-EMSmt-v.2021-m')
tabua_mas <- new('actuarialtable', x = tabua_mas@x, lx = tabua_mas@lx, interest = 0.055, name = 'BR-EMSmt-v.2021-m')
print(tabua_mas)## Actuarial table BR-EMSmt-v.2021-m interest rate 5.5 %
##
## x lx Dx Nx Cx Mx Rx
## 1 0 100000.00 100000.000 1871219.2 35.146682 2448.2875 133601.06
## 2 1 99962.92 94751.583 1771219.2 21.742120 2413.1408 131152.77
## [ reached 'max' / getOption("max.print") -- omitted 116 rows ]tabua_fem <- probs2lifetable(probs = tabua_fem$qy, type = 'qx', radix = 100000, name = 'BR-EMSmt-v.2021-f')
tabua_fem <- new('actuarialtable', x = tabua_fem@x, lx = tabua_fem@lx, interest = 0.055, name = 'BR-EMSmt-v.2021-f')
print(tabua_fem)## Actuarial table BR-EMSmt-v.2021-f interest rate 5.5 %
##
## x lx Dx Nx Cx Mx Rx
## 1 0 100000.000 100000.000 1882926.4 33.604294 1837.9592 109307.13
## 2 1 99964.547 94753.126 1782926.4 20.262583 1804.3549 107469.17
## [ reached 'max' / getOption("max.print") -- omitted 115 rows ]Um seguro foi contratado por um homem e uma mulher com as idades 30 e 28, respectivamente. O contrato tem as seguintes características: um diferimento de 20 anos, remunera 6.000 u.m. sob o status de falha vida conjunta. O prêmio referente este seguro será pago em 10 anos pelo casal. Determine o valor de resgate no décimo aniversário do contrato sendo ele 98% de sua reserva.
# Cálculo do Prêmio Puro
idades <- c(30,28)
premio1 <- 6000 * Axyzn(tablesList = tabuas, x = idades, m = 20, status = 'joint') / axyzn(tablesList = tabuas, x = idades, n = 10, status = 'joint', payment = 'advance')
# Cálculo da Reserva
t_reserva <- 10
idades_reserva <- idades + t_reserva
reserva1 <- 6000 * Axyzn(tablesList = tabuas, x = idades_reserva, m = 10, status = 'joint')
# Cálculo do Resgate
resgate1 <- 0.98 * reserva1
# Visualização dos Valores
premio11 <- format(premio1, decimal.mark = ",", big.mark = ".", nsmall = 2, digits = 4)
reserva11 <- format(reserva1, decimal.mark = ",", big.mark = ".", nsmall = 2, digits = 4)
resgate11 <- format(resgate1, decimal.mark = ",", big.mark = ".", nsmall = 2, digits = 4)Resposta:
Para o cálculo da questão utilizamos as seguintes expressões:
Para o Prêmio Puro:
\[ P_{30;28} = \frac{6.000 \cdot {}_{20|}A_{30;28}}{ä_{30;28:\overline{10|}}} \] Para a Reserva Matemática no 10º ano do contrato:
\[ {}_{10}V_{30;28} = 6.000 \cdot {}_{10|}A_{40;38} \] Por fim, para o Valor do Resgate:
\[ {}_{10}R_{30;28} = 0,98 \cdot {}_{10}V_{30;28} \] Assim, encontramos para a questão acima um prêmio puro anual de 67,36 u.m., sendo que no 10º aniversário do contrato a reserva matemática será de 925,23 u.m., e o valor do resgate, constituindo 98% da reserva, será de 906,73 u.m.
Utilizando os dados da questão anterior, calcule a reserva de recorrência, determine o resgate se ele é igual a provisão de benefícios a conceder reduzida em 5%. Determine o benefício do seguro saldado associado a este valor de resgate.
## Cálculo da Reserva Matemática no 11º aniversário, por recorrência
v <- 1/1.055
reserva2 <- reserva1 / (v * pxyzt(tablesList = tabuas, x = idades_reserva, t = 1, status = 'joint'))
# Cálculo do Resgate
resgate2 <- 0.95 * reserva2
# Cálculo do Seguro Saldado
idades_reserva1 <- 1 + idades_reserva
saldado2 <- resgate2 / Axyzn(tablesList = tabuas, x = idades_reserva1, m = 9, status = 'joint')
# Visualização dos Valores
reserva22 <- format(reserva2, decimal.mark = ",", big.mark = ".", nsmall = 2, digits = 4)
resgate22 <- format(resgate2, decimal.mark = ",", big.mark = ".", nsmall = 2, digits = 4)
saldado22 <- format(saldado2, decimal.mark = ",", big.mark = ".", nsmall = 2, digits = 4)Resposta:
Para o cálculo da questão utilizamos as seguintes expressões:
Para a Reserva de Recorrência no 11º ano de contrato:
\[ {}_{11}V_{30;28} = \frac{{}_{10}V_{30;28}}{{}_{1}E_{40;38}} \]
Por sua vez, para o valor do resgate:
\[ {}_{11}R_{30;28} = 0,95 \cdot {}_{11}V_{30;28} \] Por fim, para o Valor do Seguro Saldado:
\[ {}_{11}W_{30;28} = \frac{{}_{11}R_{30;28}}{{}_{9|}A_{41;39}} \]
Assim, encontramos para a questão acima uma reserva matemática no 11º ano de contrato de 978,44 u.m., que possibilita um resgate correspondente a 929,52 u.m., e um seguro saldado de 5.700,00 u.m.
Um seguro contratado por um casal sendo o homem com 42 anos e a mulher com 40 anos, sob o status de vida conjunta paga um benefício de 3.000 u.m. O prêmio é pago anualmente, de forma vitalícia e incide despesas de aquisição 2,5% do capital seguro. Calcule o valor resgate no terceiro ano de aniversário se ele é igual a 95% da sua provisão de benefícios a conceder. Determine o valor do benefício do seguro saldado associado a este valor de resgate.
## Cálculo do Prêmio
idades3 <- c(42,40)
benef3 <- 3000
desp_aquis <- 0.025
premio3 <- (benef3 * Axyzn(tablesList = tabuas, x = idades3, status = 'joint') + benef3 * desp_aquis) / axyzn(tablesList = tabuas, x = idades3, status = 'last', payment = 'advance')
# Cálculo da Reserva no 3º ano de contrato
t_reserva3 <- 3
idades_reserva3 <- idades3 + t_reserva3
reserva3 <- benef3 * Axyzn(tablesList = tabuas, x = idades_reserva3, status = 'joint') - premio3 * axyzn(tablesList = tabuas, x = idades_reserva3, status = 'last', payment = 'advance')
## Cálculo do Resgate no 3º ano de contrato
resgate3 <- 0.95 * reserva3
# Cálculo do Seguro Saldado
saldado3 <- resgate3 / Axyzn(tablesList = tabuas, x = idades_reserva3, status = 'joint')
# Visualização dos Valores
reserva33 <- format(reserva3, decimal.mark = ",", big.mark = ".", nsmall = 2, digits = 4)
resgate33 <- format(resgate3, decimal.mark = ",", big.mark = ".", nsmall = 2, digits = 4)
saldado33 <- format(saldado3, decimal.mark = ",", big.mark = ".", nsmall = 2, digits = 4)Resposta:
Para o cálculo da questão utilizamos as seguintes expressões:
O Prêmio foi expresso por:
\[ P_{42;40} = \frac{3.000 \cdot A_{42;40} + 0.025 \cdot 3.000}{ä_{\overline{42;40}}} \]
Para a Reserva Matemática no 3º ano de contrato:
\[ {}_{3}V_{42;40} = 3.000 \cdot A_{45;43} - P_{42;40} \cdot ä_{\overline{45;43}} \]
Por sua vez, para o valor do resgate:
\[ {}_{3}R_{42;40} = 0,95 \cdot {}_{3}V_{42;40} \] Por fim, para o Valor do Seguro Saldado:
\[ {}_{3}W_{42;40} = \frac{{}_{3}R_{42;40}}{A_{45;43}} \]
Assim, encontramos para a questão acima um resgate no 3º ano de contrato de 13,74 u.m., correspondente a 95% do valor da reserva matemática, e um seguro saldado de 61,82 u.m.
O casal, sendo ele com 60 anos e ela com 55 anos, contratou um seguro temporário de 15 anos onde remunera 3.000 u.m. em caso de falha do status último sobrevivente. Os prêmios serão pagos em 15 anos de forma antecipada pelo casal. No sétimo ano de vigência do contrato o casal decide fazer um resgate de 60% de sua reserva, e com este valor contrata um novo seguro vitalício, encontre o valor do novo benefício.
## Cálculo do Prêmio
benef4 <- 3000
idades4 <- c(60,55)
premio4 <- benef4 * Axyzn(tablesList = tabuas, x = idades4, n = 15, status = 'last') / axyzn(tablesList = tabuas, x = idades4, n = 15, status = 'joint', payment = 'advance')
## Cálculo da Reserva no 7º ano de contrato
t_reserva4 <- 7
idades_reserva4 <- idades4 + t_reserva4
reserva4 <- benef4 * Axyzn(tablesList = tabuas, x = idades_reserva4, n = 8, status = 'last') - premio4 * axyzn(tablesList = tabuas, x = idades_reserva4, n = 8, status = 'joint', payment = 'advance')
## Cálculo do Resgate
resgate4 <- 0.6 * reserva4
## Cálculo do Seguro Saldado
saldado4 <- resgate4 / Axyzn(tablesList = tabuas, x = idades_reserva4, status = 'last')
## Visualização dos Valores
reserva44 <- format(reserva4, decimal.mark = ",", big.mark = ".", nsmall = 2, digits = 4)
resgate44 <- format(resgate4, decimal.mark = ",", big.mark = ".", nsmall = 2, digits = 4)
saldado44 <- format(saldado4, decimal.mark = ",", big.mark = ".", nsmall = 2, digits = 4)Resposta:
Para o cálculo da questão utilizamos as seguintes expressões:
O Prêmio foi expresso por:
\[ P_{60;55} = \frac{3.000 \cdot A^1_{\overline{60;55}:\overline{15|}}}{ä_{60;55:\overline{15|}}} \]
A Reserva no 7º ano de contrato expressa por:
\[ {}_{7}V_{60;55} = 3.000 \cdot A^1_{\overline{67;62}:\overline{8|}} - P_{60;55} \cdot ä_{67;62:\overline{8|}} \]
O valor do resgate correspondendo a 60% da reserva:
\[ {}_{7}R_{60;55} = 0,6 \cdot {}_{7}V_{60;55} \] Por fim, o valor do seguro saldado:
\[ {}_{7}W_{60;55} = \frac{{}_{7}R_{60;55}}{A_{\overline{67;62}}} \]
O valor do novo benefício será de 4,144 u.m.
Calcule agora o valor do novo benefício saldado em t=3 sobre as seguintes condições: um casal de idade, sendo ele 60 e ela 55, contratam um seguro vitalício que remunera 20 u.m. em caso de morte de ambos os segurados. O prêmio será carregado em 1% de cada prêmio comercial, pago de forma anual no período de 5 anos. O resgate corresponde a sua provisão de benefícios a conceder reduzido em 10%.
## Cálculo do Prêmio
idades5 <- c(60, 55)
benef5 <- 20
carreg5 <- 0.01
premio5 <- benef5 * Axyzn(tablesList = tabuas, x = idades5, status = 'last') / (axyzn(tablesList = tabuas, x = idades5, n = 5, status = 'last', payment = 'advance') * (1 - carreg5))
## Cálculo da Reserva no 3º ano de contrato
t_reserva5 <- 3
idades_reserva5 <- idades5 + t_reserva5
reserva5 <- benef5 * Axyzn(tablesList = tabuas, x = idades_reserva5, status = 'last') + premio5 * axyzn(tablesList = tabuas, x = idades_reserva5, n = 2, status = 'last', payment = 'advance') * (carreg5 - 1)
## Cálculo do Resgate
resgate5 <- 0.9 * reserva5
## Cálculo do Seguro Saldado
saldado5 <- resgate5 / Axyzn(tablesList = tabuas, x = idades_reserva5, status = 'last')
## Visualização dos Valores
reserva55 <- format(reserva5, decimal.mark = ",", big.mark = ".", nsmall = 2, digits = 4)
resgate55 <- format(resgate5, decimal.mark = ",", big.mark = ".", nsmall = 2, digits = 4)
saldado55 <- format(saldado5, decimal.mark = ",", big.mark = ".", nsmall = 2, digits = 4)Resposta:
Para o cálculo da questão utilizamos as seguintes expressões:
O Prêmio foi expresso por:
\[ P_{60;55} = \frac{20 \cdot A^1_{\overline{60;55}}}{ä_{\overline{60;55}:\overline{5|}} \cdot (1-0,01)} \]
A Reserva no 3º ano de contrato expressa por:
\[ {}_{3}V_{60;55} = 20 \cdot A_{\overline{63;58}} + P_{60;55} \cdot ä_{63;58:\overline{2|}} \cdot (0,01-1) \]
O valor do resgate correspondendo a 90% da reserva:
\[ {}_{3}R_{60;55} = 0,9 \cdot {}_{3}V_{60;55} \]
Por fim, o valor do seguro saldado:
\[ {}_{3}W_{60;55} = \frac{{}_{3}R_{60;55}}{A_{\overline{63;58}}} \]
O valor do novo benefício será de 11,26 u.m.
Um seguro de 10 anos paga um benefício de 2.300 u.m. no momento exato de morte para um segurado com idade 30, após 6 anos de vigência do contrato o valor de resgate é de 500 u.m., onde o segurado retira 300 u.m. para uso pessoal. Com o restante o segurado contrata um seguro prolongado de s anos e encerra o contrato anterior. Determine o valor de s. Considere que o tempo de vida do segurado segue uma distribuição de Moivre com w = 100. O novo benefício será de 2.000 u.m.
## Cálculo do s anos
benef6 <- 2300
resgate6 <- 500
retirada6 <- 300
benef6_novo <- 2000
idade6 <- 30
t_reserva6 <- 6
w <- 100
d <- 1.055
A_xs <- ((resgate6 - retirada6) / benef6_novo)
vs <- 1 - (w - idade6 - t_reserva6) * log(d) * A_xs
s <- log(vs) / log(1/d)
## Visualização dos valores
vs6 <- format(vs, decimal.mark = ",", big.mark = ".", nsmall = 2, digits = 9)
s6 <- format(s, decimal.mark = ",", big.mark = ".", nsmall = 2, digits = 9)Resposta:
Para o cálculo da questão utilizamos as seguintes expressões e desenvolvimentos:
\[ 2.000 \cdot A^1_{36:\overline{s|}} = {}_{6}R_{30} - 300 \]
\[ A^1_{36:\overline{s|}} = \frac{500 - 300}{2.000} \]
\[ A^1_{36:\overline{s|}} = 0,1 \]
\[ A^1_{36:\overline{s|}} = \int_{0}^{s} \frac{1}{w-(x+t)} \cdot e^{-\delta t} dt \]
\[ A^1_{36:\overline{s|}} = \frac{1}{100-36} \cdot \int_{0}^{s} e^{-\delta t} dt \]
\[ A^1_{36:\overline{s|}} = \frac{1}{64} \cdot \left| \frac{e^{-\delta t}}{-\delta} \right|_{0}^{s} \]
\[ A^1_{36:\overline{s|}} = \frac{1}{64} \cdot \frac{1-e^{-\delta s}}{\delta} \]
\[ A^1_{36:\overline{s|}} = \frac{1}{64} \cdot \frac{1-v^{s}}{ln(1.055)} \]
\[ 1 - A^1_{36:\overline{s|}} \cdot 64 \cdot ln(1.055) = v^{s} \]
\[ v^{s} = 0,65733909 \] \[ s \cdot ln(v) = ln(0,65733909) \]
\[ s = \frac{ln(0,65733909)}{ln(v)} \]
\[ s = \frac{ln(0,65733909)}{ln(\frac{1}{1,055})} \]
\[ s = 7,83618346 \]
O valor de s para o novo seguro contratado será de 7,83618346 anos, que significa aproximadamente 7 anos, 10 meses e 1 dia.