Definición
La palabra experimento se utiliza para describir cualquier proceso que genere un conjunto de datos.
Definición
Un experimento aleatorio es un proceso o procedimiento que se puede repetir en condiciones controladas y que produce un conjunto de resultados posibles bien definidos, pero donde no se puede predecir con certeza cuál será el resultado en una realización particular.
Ejemplo
Experimentos aleatorios:
Lanzamiento de una moneda.
Lanzamiento de un dado.
Extracción de una carta desde una baraja.
Sorteo de una rifa.
Resultado de una encuesta.
Definición
El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estadístico se denomona espacio muestral y se representa como \(\Omega\).
Ejemplo 1
Definir el espacio muestral asociado a lanzar una moneda al aire.
\(\Rightarrow\) \(\Omega=\{cara,sello\}\)
Ejemplo 2
Definir el espacio muestral asociado a lanzar un dado al aire.
\(\Rightarrow\) \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\)
Ejemplo 3
Definir el espacio muestral asociado a lanzar una moneda y un dado.
\(\Rightarrow\) \(\Omega=\{(c,1),(c,2),(c,3),(c,4),(c,5),(c,6),\)
\(\phantom{\Rightarrow}\) \(\phantom{\Omega=\{}(s,1),(s,2),(s,3),(s,4),(s,5),(s,6)\}\)
Definición
Un evento es un subconjunto de un espacio muestral.
Ejemplo 1
Definir el evento “obtener un número par” tras lanzar un dado.
\(\Rightarrow\) \(E=\{2,4,6\}\)
Ejemplo 2
Definir el evento “obtener al menos una cara” tras lanzar dos monedas.
\(\Rightarrow\) \(E=\{(c,c),(c,s),(s,c)\}\)
Ejemplo 3
Definir el evento “obtener dos números que sumen siete” tras lanzar dos dados.
\(\Rightarrow\) \(E=\{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\}\)
Definición
El complemento de un evento \(E\) respecto de \(\Omega\) es el subconjunto de todos los elementos de \(\Omega\) que no están en \(E\). Denotamos el complemento como \(E^C\).
Ejemplo
Dado \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\), determinar el complemento del evento \(E=\{1,3,5,7,9\}\).
\(\Rightarrow\) \(E^c=\{2,4,6,8,10\}\)
Definición
La intersección de dos evento \(E_1\) y \(E_2\), que se denota con el símbolo \(E_1\cap E_2\), es el evento que contiene a todos los elementos que son comunes a \(E_1\) y \(E_2\).
Ejemplo
Dado \(E_1=\{1,2,3,a,b,c\}\) y \(E_2=\{1,4,5,c,d,f\}\), determinar \(E_1\cap E_2\).
\(\Rightarrow\) \(E_1\cap E_2=\{1,c\}\)
Definición
Dos eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos si \(E_1\cap E_2=\emptyset\), es decir, si \(E_1\) y \(E_2\) no tienen elementos en común.
Definición
La unión de dos eventos \(E_1\) y \(E_2\), que se denota como \(E_1 \cup E_2\), es el evento que contiene todos los elementos que pertenecen a \(E_1\) o a \(E_2\) o ambos.
Ejemplo
Dado \(E_1=\{1,2,3\}\) y \(E_2=\{a,b,c\}\), determinar \(E_1\cup E_2\).
\(\Rightarrow\) \(E_1\cup E_2=\{1,2,3,a,b,c\}\)
Teorema
Si una operación se puede llevar a cabo de \(n_1\) formas, y si para cada una de éstas se puede realizar una segunda operación en \(n_2\) formas, entonces la cantidad de formas en que se pueden ejecutar las dos operaciones, es:
\[n_1\cdot n_2\]
Importante!. Su uso se da cuando tienes que realizar una serie de acciones o elegir entre varias opciones sucesivas, y cada acción u opción es independiente de las demás.
Ejemplo
Para el almuerzo dispongo de \(3\) alternativas de sopa y \(4\) opciones de plato de fondo. Si consumiré los dos tipos de alimentos, ¿de cuántas formas puedeo elegir mi almuerzo?
\(\Rightarrow\) \(n=3\cdot 4\)
\(\Rightarrow\) \(n=12\)
Definición
Si una operación se puede llevar a cabo de \(n_1\) formas, y si para cada una de éstas se puede realizar una segunda operación en \(n_2\) formas, y para cada una de los dos primeras se puede realizar una tercera operación de \(n_3\) formas, entonces la cantidad de formas en que se pueden ejecutar las operaciones, es
\[n_1\cdot n_2\cdot ...\cdot n_k\]
Ejemplo
Si dispones de \(5\) pantalones, \(3\) poleras y \(2\) pares de zapatos. ¿De cuántas formas distintas puedes vestirte?
\(\Rightarrow\) \(n=5\cdot 3\cdot 2\)
\(\Rightarrow\) \(n=30\)
Definición
Una permutación es un arreglo u ordenación de todos o parte de un conjunto de elementos, donde el orden importa. Las permutaciones cuentan cuántas maneras diferentes se pueden organizar un conjunto de elementos distintos.
Teorema
El número de permutaciones de \(n\) objetos distintos, es:
\[n!=n\cdot (n-1)\cdot ...\cdot 1\]
Ejemplo 1
Tienes 6 libros diferentes y deseas colocarlos en un estante. ¿De cuántas maneras diferentes puedes organizar todos los libros en el estante si el orden importa?
\(\Rightarrow\) \(6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{6!} = 720\)
Luego, existen 720 maneras diferentes de organizar los libros en el estante.
Ejemplo 2
Tienes 8 fotos diferentes y deseas colgarlas en una pared. ¿De cuántas maneras diferentes puedes organizar todas las fotos en la pared si el orden importa?
factorial(8)## [1] 40320Luego, existen 40.320 maneras diferentes de organizar las fotos en la pared.
Teorema
El número de permutaciones de \(n\) objetos distintos tomados de \(r\) a la vez es.
\[nPr=\dfrac{n!}{(n-r)!}\]
Ejemplo 1
Supongamos que tienes 8 corredores y deseas seleccionar 3 de ellos para que ocupen el podio en una competencia. ¿De cuántas maneras diferentes puedes asignar los 3 lugares del podio?
\(\Rightarrow\) \(P(8, 3) = \dfrac{8!}{(8-3)!}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{P(8, 3)}=\dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5!}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{P(8, 3)}=8 \cdot 7 \cdot 6\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{P(8, 3)}= 336\)
Luego, existen 336 maneras diferentes de asignar los 3 lugares del podio.
Ejemplo 2
Tienes 9 banderas diferentes y deseas seleccionar 5 de ellas para colocarlas en fila en un desfile. ¿De cuántas maneras diferentes puedes organizar estas 5 banderas en un orden específico?
factorial(9) / factorial(9 - 5)## [1] 15120Luego, existen 15.120 maneras diferentes de organizar las 5 banderas en un orden específico.
Teorema
El número de permutaciones de \(n\) objetos distintos arreglados en un círculo, es:
\[(n-1)!\]
Ejemplo
Tienes 5 amigos y deseas sentarlos en una mesa redonda. ¿De cuántas maneras diferentes los puedes organizar?
\(\Rightarrow\) \((5-1)! = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{(5-1)!} = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{(5-1)!} = 24\)
Luego, existem 24 maneras diferentes de organizar a tus 5 amigos en la mesa redonda.
Teorema
El número de permutaciones de \(n\) objetos de los que \(n_1\) son de una clase, \(n_2\) de una segunda clase, hasta \(n_k\) de una \(k\)-ésima clases, es:
\[\dfrac{n!}{n_1!\cdot n_2!\cdot ... \cdot n_k!}\]
Ejemplo
Tienes un grupo de 8 letras: A, A, A, B, B, C, C y C. ¿De cuántas maneras diferentes puedes organizar estas 8 letras si las letras del mismo tipo son indistinguibles?
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{8!}{3!\cdot 2!\cdot 3!} = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3!\cdot 2 \cdot 1 \cdot 3!}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{8!}{3!\cdot 2!\cdot 3!}}= \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{2 \cdot 1}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{8!}{3!\cdot 2!\cdot 3!}}= 3360\)
Luego, existen 3.360 maneras diferentes de organizar estas 8 letras.
Definición
Una combinación es una selección de todos o parte de un conjunto de elementos, donde el orden no importa. Las combinaciones cuentan cuántas maneras diferentes se pueden seleccionar un subconjunto de elementos de un conjunto más grande.
Teorema
El número de combinaciones de \(n\) objetos distintos tomados de \(r\) a la vez es:
\[\dfrac{n!}{r!(n-r)!}\]
Ejemplo 1
Supongamos que tienes un grupo de 10 estudiantes y deseas formar un comité de 4 miembros. ¿De cuántas maneras diferentes puedes seleccionar a 4 estudiantes del grupo?
\(\Rightarrow\) \(C(10, 4) = \dfrac{10!}{4!(10-4)!}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{C(10, 4)} = \dfrac{10!}{4!\cdot 6!}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{C(10, 4)}= \dfrac{10\cdot 9 \cdot 8 \cdot 7\cdot 6!}{4!\cdot 6!}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{C(10, 4)} = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{C(10, 4)} = 210\)
Luego, existen 210 maneras diferentes de seleccionar 4 personas desde un grupo de 10.
Ejemplo 2
Tienes un jardín con 12 diferentes tipos de flores y deseas seleccionar 5 tipos para hacer un ramo. ¿De cuántas maneras diferentes puedes seleccionar 5 tipos de flores?
factorial(12) / (factorial(5) * factorial(12 - 5))## [1] 792Luego, existen 792 maneras diferentes de seleccionar 5 tipos de flores para el ramo.
Definición
La probabilidad es una medida cuantitativa de la incertidumbre que se asocia con la ocurrencia de un evento particular en un experimento aleatorio. Se define como el valor numérico entre 0 y 1 que indica la posibilidad de que un evento ocurra, donde:
El valo 0 indica que el evento es imposible, es decir, no ocurrirá bajo ninguna circunstancia.
El valor 1 indica que el evento es seguro, es decir, ocurrirá con total certeza.
Definición
Una variable aleatoria discreta es una función que asocia a cada resultado de un experimento aleatorio un número real, de tal manera que el conjunto de todos los posibles valores de la variable es finito o numerable. Es decir, la variable puede tomar un conjunto limitado de valores o una secuencia infinita numerable.
\[X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}\]
Ejemplo 1
La variable aleatoria \(X\) asociada al número que aparece en la cara superior tras lanzar un dado de seis caras, es:
\(\Rightarrow\) \(X \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)
Ejemplo 2
La variable aleatoria \(Y\) asociada al número de caras tras lanzar una moneda tres veces, es:
\(\Rightarrow\) \(Y \in \{0, 1, 2, 3\}\)
Ejemplo 3
La variable aleatoria \(Z\) asociada al número de preguntas correctas en un cuestionario de 5 preguntas de opción múltiple (cada pregunta tiene 4 opciones y solo una es correcta), es:
\(\Rightarrow\) \(Z \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\)
Definición
La función de probabilidad es una función que asigna a cada posible valor de una variable aleatoria discreta una probabilidad. Para una variable aleatoria discreta \(X\) que puede tomar los valores \(x_1\), \(x_2\), , \(x_n\) , la función de probabilidad se denota como \(P(X = x_i)\) para cada \(i\).
\[P(X = x_i)\]
Definición
La función de distribución acumualda describe la probabilidad acumulada de una variable aleatoria. Específicamente, para una variable aleatoria \(X\), la función de distribución acumulada se define como:
\[F(x)=P(X\leq x)\]
Teorema
La distribución binomial describe la probabilidad de obtener exactamente \(k\) éxitos en una serie de \(n\) ensayos independientes, donde cada ensayo tiene dos resultados posibles: éxito o fracaso. Se caracteriza por los parámetros \(n\), que representa el número de ensayos, y \(p\), que es la probabilidad de éxito en cada ensayo.
\[P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\]
Ejemplo
En un examen de 20 preguntas de verdadero o falso, ¿cuál es la probabilidad de responder correctamente 12 preguntas, si sabes que la probabilidad de responder correctamente cada pregunta es del 85%?
# Parámetros
n = 20 # número de ensayos
k = 12 # número de éxitos deseados
p = 0.85 # probabilidad de responder correctamente cada pregunta
# Cálculo de la probabilidad usando la función dbinom
dbinom(k, n, p)## [1] 0.004592237Ejemplo 1
En un examen de 20 preguntas de verdadero o falso, ¿cuál es la probabilidad de responder correctamente a lo más 15 preguntas, si sabes que la probabilidad de responder correctamente cada pregunta es del 85%?
# Parámetros
n = 20 # número de ensayos
k = 15 # número de éxitos deseados
p = 0.85 # probabilidad de responder correctamente cada pregunta
# Cálculo de la probabilidad usando la función dbinom
pbinom(k, n, p)## [1] 0.1701532Ejemplo 2
En un examen de 20 preguntas de verdadero o falso, ¿cuál es la probabilidad de responder correctamente al menos 19 preguntas, si sabes que la probabilidad de responder correctamente cada pregunta es del 85%?
# Parámetros
n = 20 # número de ensayos
k = 19 # número de éxitos deseados
p = 0.85 # probabilidad de responder correctamente cada pregunta
# Cálculo de la probabilidad usando la función dbinom
1-pbinom(k, n, p)## [1] 0.03875953Ejemplo
En un examen de 20 preguntas de verdadero o falso, ¿cuántas preguntas se espera responder correctas, si sabes que la probabilidad de responder correctamente cada pregunta es del 85%?
# Parámetros
n = 20 # número de ensayos
k = 8 # número de éxitos deseados
p = 0.85 # probabilidad de responder correctamente cada pregunta
# Cálculo de la probabilidad usando la función dbinom
n*p## [1] 17Teorema
La distribución de Poisson describe la probabilidad de que ocurra un número determinado de eventos en un intervalo fijo de tiempo o espacio, bajo la condición de que los eventos ocurren con una tasa promedio constante y de forma independiente. Se caracteriza por el parámetro \(\lambda\), que representa la tasa promedio de ocurrencia de los eventos.
\[P(X = k) = \dfrac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}\]
Ejemplo
Un centro de llamadas recibe en promedio 3 llamadas por minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que el centro reciba exactamente 5 llamadas en un minuto dado?
# Parámetros
lambda = 3 # tasa media de llamadas por minuto
k = 5 # número de llamadas deseadas
# Cálculo de la probabilidad usando la función dpois
dpois(5, 3)## [1] 0.1008188La probabilidad de que el centro de llamadas reciba exactamente 5 llamadas en un minuto es 0.1008188.
Ejemplo
En un examen de 8 preguntas de verdadero o falso, ¿cuál es la probabilidad de responder correctamente exactamente 5 preguntas, si sabes que la probabilidad de responder correctamente cada pregunta es del 60%?
# Parámetros
n = 8 # número de ensayos
k = 5 # número de éxitos deseados
p = 0.6 # probabilidad de responder correctamente cada pregunta
# Cálculo de la probabilidad usando la función dbinom
dbinom(5, 8, 0.6)## [1] 0.2786918pbinom(5, 8, 0.6)## [1] 0.6846054La probabilidad de obtener exactamente 6 caras al lanzar una moneda 10 veces es 0.2050781.
Teorema
La distribución geométrica describe la probabilidad de que el primer éxito ocurra en el \(k\)-ésimo ensayo en una serie de ensayos independientes, donde cada ensayo tiene dos resultados posibles: éxito o fracaso. Se caracteriza por el parámetro \(p\), que es la probabilidad de éxito en cada ensayo.
\[P(X = k) = (1-p)^{k-1} p\]
Teorema
La distribución hipergeométrica describe la probabilidad de obtener exactamente \(k\) éxitos en \(n\) extracciones sin reemplazo de una población finita que contiene \(N\) elementos, de los cuales \(K\) son éxitos.
\[P(X = k) = \dfrac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}\]
Definición
Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo de números reales. A diferencia de una variable aleatoria discreta, una variable aleatoria continua puede asumir un número infinito de valores dentro de un rango continuo.
\[X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}\]