Inferencia para la media con la Estadística Z para muestras grandes

Problema 4.1 del Taller de ejercicios

Algunos investigadores creen que la vitamina C puede ser util para reducir el aumento de los depositos de colesterol en las paredes internas de las arterias, reduciendo asi la posibilidad de ataques al corazon. Se observo el nivel de colesterol en 50 personas( con niveles de colesterol mayores que los normales) antes y despues de un tratamiento de un mes bajo un regimen de 500 mg de vitamina c por dia. Los datos siguientes muestran la disminucion en el nivel de colesterol de cada una de las personas. Constittuye un IC del 95% para la disminuciion promedio del nivel de colesterol.¿Aportan los datos suficiente evidencia para decir que la disminucion promedio en el nivel de colesterol es menor que 35 mg/100? Usa un nivel de significanca del 5%.

Solución
Disminución de los niveles de colesterol de 50 personas
##  [1] 30.0277 30.0000 29.9959 29.9949 29.9979 30.0098 30.0045 29.0000 30.0085
## [10] 30.0040 30.0148 29.0000 30.0014 30.0062 29.9864 29.9913 30.0000 29.9820
## [19] 30.0016 29.9971 30.0152 30.0081 29.9971 29.0000 28.0000 29.9932 29.9969
## [28] 29.9985 28.0000 30.0000 29.9933 30.0012 30.0035 29.9989 30.0044 30.0057
## [37] 29.9850 29.9949 29.9879 29.9948 30.0127 29.9981 30.0000 29.9881 29.9949
## [46] 29.9967 29.9975 30.0075 30.0058 29.0000
Prueba de normalidad

Sea \(X=\) Disminución en el nivel de colesterol

H0: \(X\) tiene distribución normal vs. Ha: \(X\) no tiene distribución normal

## 
##  RESULTADOS PARA LA PRUEBA DE NORMALIDAD 
##         Estadistica   ValorCal       Pvalor
## 1      Shapiro-Wilk  0.4022122 5.595764e-13
## 2 Cramer-Von-Misses  2.9472581 7.370000e-10
## 3  Anderson-Darling 13.9563189 3.700000e-24
## 4   Shapiro-Francia  0.3931548 3.316948e-11
## 5        Lilliefort  0.4991927 4.829755e-36
## Pvalor minimo: 4.829755e-36

Conclusión: Se rechaza la H0 al 5%, por lo tanto, el IC al 95% indica que la disminución promedio del nivel de colesterol se encuentra entre 29.71 y 29.97 mg/100.

Como la variable \(X\) no tiene distribución normal pero el tamaño \(n≥30\), se usará la estadística \(Z\) para muestras grandes para inferir la media de la población.

Inferencia para la media con la estadística Z

Sea \(\mu=\) Disminución promedio en el nivel de colesterol.

\(H_0: \mu = 35\) vs. \(H_a: \mu < 35\)

## RESULTADOS CON LA ESTADISTICA Z PARA MUESTRAS GRANDES
##   Estadistica       Valor
## 1           n  50.0000000
## 2       Media  29.8400780
## 3     DesvEst   0.4678317
## 4    ErrorEst   0.0661614
## 5     LIMedia  29.7104040
## 6     LSMedia  29.9697520
## 7          Zc -77.9899154
## 8      Pvalor   0.0000000

Conclusión: Se rechaza la H0 al 5%, por lo tanto, el IC al 95% indica que la disminución promedio del nivel de colesterol se encuentra entre 29.71 y 29.97 mg/100.

Inferencia para la media con la Estadística T-student

Problema 4.2 del Taller de ejercicios

Una compañia farmaceutica afirma que la potencia media de uno de sus antibioticos es de 80%. Se someta a prueba una muesta aleatoria de 40 capsulas. Constituye un IC del 99% para la potencia media del antibiotico. ¿Presentan los datos suficiente evidencia para refutar la afirmacion de la compañia? Usa un nivel de significancia del 1%

Solución
Potencia media de antibiótico.
##  [1] 76.2 73.6 74.7 74.8 75.4 74.2 73.0 74.3 74.3 76.3 74.3 74.0 75.3 73.9 76.9
## [16] 74.5 76.1 74.1 73.7 77.6 74.9 74.4 75.0 73.6 75.7 74.2 75.4 75.7 74.8 74.6
## [31] 75.1 74.9 75.2 74.9 75.1 73.7 74.1 76.4 74.8 75.0
Prueba de normalidad

Sea \(X=\) Potencia media de antibiótico.

H0: \(X\) tiene distribución normal vs. Ha: \(X\) no tiene distribución normal

## 
##  RESULTADOS PARA LA PRUEBA DE NORMALIDAD 
##         Estadistica   ValorCal    Pvalor
## 1      Shapiro-Wilk 0.96545853 0.2561250
## 2 Cramer-Von-Misses 0.07496887 0.2342511
## 3  Anderson-Darling 0.46418143 0.2421942
## 4   Shapiro-Francia 0.96236652 0.1754711
## 5        Lilliefort 0.10479077 0.3271290
## Pvalor minimo: 0.1754711

Conclusión: No se rechaza H0 para ningún estadístico de prueba al 1%, por lo tanto, el número de microvatios por centímetro cuadrado procede de una distribución normal.

Como la variable \(X\) tiene distribución normal se usará la estadística T-student para inferir la media de la población.

Inferencia para la media con la estadística T-student

Sea \(\mu=\) Potencia media de antibiótico.

\(H_0: \neq 80\) vs. \(H_a: \mu = 80\)

## 
##  RESULTADOS CON LA ESTADISTICA T-STUDENT 
##   Estadistica         Valor
## 1           n  4.000000e+01
## 2       Media  7.486750e+01
## 3     DesvEst  9.648668e-01
## 4    ErrorEst  1.525588e-01
## 5     LIMedia  7.445438e+01
## 6     LSMedia  7.528062e+01
## 7          Tc -3.364276e+01
## 8      Pvalor  1.998521e-30

Conclusión: No se rechaza H0. Los datos muestras suficiente evidencia para decir que la potencia media del antibiótico es diferente de 80%, ya que el IC al 99% está de 74.45 y 75.28 %

Inferencia para una proporción

Problema 4.11 del Taller de ejercicios

Un grupo de estudio de medicos americanos que visito la China, informo que los doctores chinos afirmaban que la acupuntura tenia una eficacia del 90% como anestesia para cirugia. De los 48 pacientes que los americanos observaron peresonalmente, solo 73% experimento alivio satisfactorio con la cupuntura. ¿Las observaciones de los americanos son inconsistentes con las afirmaciones de los medicos chinos? Constituye IC del 99% para la proporcion

Solución
Prueba para una proporción con la estadística Z para muestras grandes

Sea \(P=\) Proporción de pacientes que experimentó alivio con la acupuntura.

H0: \(P \neq 0.73\) vs. Ha: \(P = 0.73\)

## RESULTADOS CON LA ESTADISTICA Z PARA MUESTRAS GRANDES
##   Estadistica      Valor
## 1           n 48.0000000
## 2        PEst  0.7291667
## 3       Media 35.0000000
## 4     DesvEst  3.0788255
## 5      LIProp  0.5431318
## 6      LSProp  0.8592822
## 7          Zc  0.0000000
## 8      Pvalor  1.0000000
## 
## 
## RESULTADOS CON LA PRUEBA BINOMIAL
##   Estadistica      Valor
## 1      LIProp  0.5366722
## 2      LSProp  0.8749351
## 3          Zc 35.0000000
## 4      Pvalor  1.0000000

Conclusión: No se rechaza H0 al 1%, por lo tanto, los datos no muestran evidencia para decir que la proporción de pacientes que experimentó alivio con la acupun tura es igual al 73%. El IC indica que el porcentaje está entre 54.31 y 8 5.92%.