1. Sea \(\Omega = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\) el espacio muestral correspondiente a un experimento aleatorio dado y \[ A = \{0, 1, 2, 3\},\,\, B = \{4, 5, 6, 7\}, \,\, C = \{2, 4, 6\}, \,\, \,\, D = \{1, 8, 9\}. \] eventos incluidos en \(\Omega\). Listar los elementos de los conjuntos que corresponden a los siguientes eventos:
  1. \((A^C \cup D)^C =\{1, 4,5,6,7,8,9\}^C = \{0,2,3\}\).
  2. \(B \cap C^C = \{4, 5, 6, 7\} \cap \{0,1,3,5,7,8,9\} = \{5,7\}\) .
  3. \((D^C \cap A)^C \cup C = D \cup A^C\cup C = \{1, 8, 9\}\cup\{4,5,6,7,8,9\}\cup\{2, 4, 6\}=\{1,2,4,5,6,7,8,9\}\).
  4. \((\Omega ^C \cap B)^C = \Omega\cup B^C = \Omega= \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\).
  5. \(B \cap C \cap D^C =\{4, 5, 6, 7\}\cap\{2,4,6\}\cap\{0, 2,3,4,5,6,7\} = \{4,6\}\).
  1. Una entidad educativa ha propuesto tres proyectos para la mejora de la educación en una región del país. Para \(i = 1, 2, 3\), se define \(A_i\) como el evento que representa “el proyecto \(i\) fue aceptado”. Un experto indica que \(\textsf{P}(A_1) = 0.30\), \(\textsf{P}(A_2) = 0.22\), \(\textsf{P}(A_3) = 0.35\), \(\textsf{P}(A_1 \cap A_2) = 0.08\), \(\textsf{P}(A_1 \cap A_3) = 0.09\), \(\textsf{P}(A_2 \cap A_3) = 0.06\), \(\textsf{P}(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = 0.02\). Expresar verbalmente y determinar la probabilidad de que ocurra cada uno de los siguientes eventos:
  1. \(A_1 \cup A_2\). El proyecto 1 o el proyecto 2 fue aceptado: \[ P(A_1 \cup A_2) = P(A_1)+P(A_2)-P(A_1\cap A_2) = 0.30+0.22-0.08=0.44. \]

  1. \(A_1^C \cap A_2^C\). El proyecto 1 y el proyecto 2 no fueron aceptados. \[ P(A_1^C \cap A_2^C) = P((A_1\cup A_2)^C) = 1 - P(A_1\cup A_2) = 1 - 0.44 = 0.56. \]

  2. \(A_1 \cup A_2 \cup A_3\). Alguno de los proyectos fue aceptado. \[ P(A_1 \cup A_2 \cup A_3) = P(A_1)+ P(A_2)+P(A_3)-P(A_1\cap A_2)-P(A_1\cap A_3)-P(A_2\cap A_3)+P(A_1\cap A_2\cap A_3) = 0.30+0.22+0.35-0.08-0.09-0.06+0.02 = 0.66. \]

  3. \(A_1^C \cap A_2^C \cap A_3^C\). Ninguno de los proyectos fue aceptado. \[ P(A_1^C \cap A_2^C \cap A_3^C) = P((A_1\cup A_2\cup A_3)^C) = 1-P(A_1\cup A_2\cup A_3) = 1-0.66 = 0.34. \]

  4. \(A_1^C \cap A_2^C \cap A_3\). El proyecto 3 fue aceptado pero los proyectos 1 y 2 no. \[\begin{align*} P(A_1^C \cap A_2^C \cap A_3) &= P(A_3\cap (A_1\cup A_2)^C) = P(A_3 - (A_1\cup A_2))\\ &= P(A_3) - P(A_3\cap(A_1\cup A_2))\\ &= P(A_3) - P((A_1\cap A_3)\cup (A_2\cap A_3))\\ &= P(A_3)-(P(A_1\cap A_3)+ P(A_2\cap A_3) - P(A_1\cap A_2 \cap A_3))\\ &= 0.35 - (0.09+0.06-0.02) = 0.22 \end{align*}\]

  5. \(\left(A_1^C \cap A_2^C\right) \cup A_3\). Los proyectos 1 o 2 no fueron aceptados o el proyecto 3 sí. \[\begin{align*} P((A_1^C \cap A_2^C) \cup A_3) &= P((A_1 \cup A_2)^C \cup A_3)\\ &=P((A_1 \cup A_2)^C) + P(A_3) - P((A_1 \cup A_2)^C\cap A_3)\\ &=(1-P(A_1 \cup A_2)) + P(A_3) - P(A_1^C \cap A_2^C \cap A_3)\\ &=(1-0.44)+0.35-0.22 = 0.69. \end{align*}\]

  1. La tabla que se muestra a continuación muestra la proporción de adultos de áreas no metropolitanas, clasificados como fumadores o no fumadores y hombres o mujeres.
Fuma Hombre Mujer
Sí 0.63 0.13
No 0.14 0.10

Calcular la probabilidad de que un individuo escogido al azar:

  1. Sea fumador.
  2. Sea hombre.
  3. Sea fumador y sea hombre.
  4. Sea fumador o sea hombre.
  5. Sea hombre, pero no fumador.
  6. Sea hombre si es fumador.

Se definen los siguientes eventos: \(S =\) “el individuo sí fuma”, \(N =\) “el individuo no fuma”, \(H =\) “el individuo es hombre”, \(M=\) “el individuo es mujer”.

  1. \(P(S) = 0.63 + 0.13 = 0.76\).
  2. \(P(H)= 0.63 + 0.14 = 0.77\).
  3. \(P(S\cap H) = 0.63\).
  4. \(P(S \cup H) = P(S) + P(H) - P(S\cap H) =0.76+0.77-0.63 =0.9\).
  5. \(P(H-S) = P(H)-P(H\cap S) = 0.77-0.63 = 0.14\).
  6. \(P(H \mid S) = P(S\cap H)/P(S) = 0.63/0.76 = 0.82894\).
  1. Un protocolo de emergencia en un centro de salud tiene dos etapas, \(A\) y \(B\). El protocolo sólo funcionará si ambas etapas funcionan. La probabilidad de que \(A\) funcione es 0.98, que \(B\) funcione es 0.95 y que \(A\) o \(B\) funcionen es 0.99. ¿Cuál es la probabilidad de que el protocolo funcione?

Dado que \[ P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B) \] se tiene que \[ P(A\cap B) = P(A)+P(B)-P(A\cup B) = 0.98+0.95-0.99 = 0.94. \]

  1. El cuerpo humano puede contener uno o dos antígenos, A y B. A la sangre que contiene sólo el antígeno A se le denomina tipo A, a la que contiene sólo el B se le conoce como tipo B, a la que contiene a ambos se le llama tipo AB y a la sangre que no contiene ninguno se le denomina tipo O. En un banco de sangre, 35% de los donantes de sangre tiene el tipo de sangre A, 10% el tipo B y 5% el tipo AB.
  1. ¿Cuál es la probabilidad que se elija aleatoriamente a un donante de sangre de tipo O? \[ P(A^C\cap B^C) = P((A\cup B)^C) = 1 - P(A\cup B) = 1-(P(A\cap B ^C)+P(B\cap A^C)+P(A\cap B)) = 1 - (0.35+0.10+0.05) = 0.5. \]
  2. Un receptor con sangre tipo A puede recibir sin ningún peligro de un donante sangre que no tenga el antígeno B. ¿Cuál es la probabilidad de que un donante elegido aleatoriamente pueda donar al receptor con sangre tipo A? \[ P(B^C) = 1 - P(B) = 1 - (P( A^C \cap B) + P(A\cap B)) = 1-(0.1+0.05) = 0.85. \]
  1. De un estudio realizado en una universidad, se sabe que el 35% de los estudiantes hacen deporte por lo menos una vez a la semana y que el 40% de los estudiantes tienen un promedio general superior a 4.0. Además, el 30% de los que hacen deporte por lo menos una vez a la semana tienen un promedio general superior a 4.0.
  1. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar haga deporte por lo menos una vez a la semana y tenga un promedio general superior a 4.0?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar, que tiene un promedio general superior a 4.0, haga deporte por lo menos una vez a la semana?
  3. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar haga deporte por lo menos una vez a la semana o tenga una nota media superior a 4.0?
  4. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar, que no tiene un promedio general superior a 4.0, no haga deporte por lo menos una vez a la semana?
  5. ¿Son independientes los eventos “hace deporte por lo menos una vez a la semana” y “tiene un promedio general superior a 4.0”? ¿Son mutuamente excluyentes?

Se definen los eventos \(D =\) “el estudiante hace deporte por lo menos una vez a la semana”, \(S =\) “el estudiante tiene un promedio general superior a 4.0”. Se sabe que \(P(D) = 0.35\), \(P(S)=0.4\), y \(P(S\mid D)=0.3\).

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar haga deporte por lo menos una vez a la semana y tenga un promedio general superior a 4.0? \[ P(D\cap S) = P(S\mid D)P(D) = 0.3*0.35 = 0.105. \]
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar, que tiene un promedio general superior a 4.0, haga deporte por lo menos una vez a la semana? \[ P(D \mid S) = \frac{P(D\cap S)}{P(S)} = \frac{0.105}{0.4} = 0.2625. \]
  3. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar haga deporte por lo menos una vez a la semana o tenga una nota media superior a 4.0? \[ P(D\cup S) = P(D) + P(S) - P(D\cap S) = 0.35+0.4-0.105 = 0.645. \]
  4. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar, que no tiene un promedio general superior a 4.0, no haga deporte por lo menos una vez a la semana? \[ P(D^C\mid S^C) = \frac{P(D^C\cap S^C)}{P(S^C)} = \frac{P((D\cup S)^C)}{1-P(S)} = \frac{1-P(D\cup S)}{1-P(S)} = \frac{1-0.645}{1-0.4} = 0.59166. \]
  5. ¿Son independientes los eventos “hace deporte por lo menos una vez a la semana” y “tiene un promedio general superior a 4.0”? ¿Son mutuamente excluyentes? Dado que \(P(S)=0.4 \neq P(S\mid D)=0.3\) se concluye que los eventos \(S\) y \(D\) no son independiente. Además, dado que \(P(D\cap S) \neq 0\) se concluye que los eventos no son excluyentes.

7.Se ha observado que los hombres y las mujeres reaccionan de una manera diferente en ciertas circunstancias; el \(70\) por ciento de las mujeres reaccionan positivamente mientras que el porcentaje de los hombres es sólo del \(40\) por ciento. Se sometió a prueba a un grupo de 20 personas (15 mujeres y 5 hombres) y se les pidió llenar un cuestionario para descubrir sus reacciones. Una respuesta escogida al azar de las 20 resultó negativa. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido contestada por un hombre?

Se definen los eventos \(H =\) “el individuo es hombre”, \(M =\) “el individuo es mujer”, y \(B =\) “el individuo tiene una reacción positiva”. Se sabe que \(P(H) = 5/20 = 0.25\), \(P(M) = 0.75\), y además que, \(P(B\mid H) = 0.4\), \(P(B\mid M) = 0.7\). Se pide calcular \[ P(H\mid B^C) = \frac{P(H\cap B^C)}{P(B^C)} = \frac{P(B^C\mid H)P(H)}{P(B^C\mid H)P(H) +P(B^C\mid M)P(M)} = \frac{0.6*0.25}{0.6*0.25 + 0.3*0.75} = 0.4. \]

  1. Un médico aplica una prueba diagnóstica a alumnos de un colegio para detectar una enfermedad cuya incidencia sobre una población de niños es del 10 por ciento. La sensibilidad del test es del 80 por ciento y la especificidad del 75 por ciento.

Se definen los eventos \(E =\) “el individuo tiene la enfermedad”, \(P =\) “la prueba diagnóstica del individuo reporta un resultado positivo”, \(N = P^C =\) “la prueba diagnóstica del individuo reporta un resultado negativo”. Se sabe que \(P(E) = 0.1\), la sensibilidad \(P(P\mid E) = 0.8\), y la especificidad es \(P(N \mid E^C) = 0.75\).

  • ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente tenga un resultado positivo? \[ P(P) = P(P\mid E)P(E) + P(P\mid E^C)P(E^C) = 0.8*0.1+0.25*0.9 = 0.305 \]
  • Calcular la probabilidad de que la prueba suministre un resultado incorrecto. \[ P(E^C\cap P) + P(E\cap N) = (0.25*0.9) + (0.2*0.1) = 0.245 \]