Conceptos Elementales

Población y Muestra

Población: Es el conjunto completo de elementos o individuos que poseen una característica en común y que son objeto de estudio.

Ejemplo: Si estás interesado en estudiar el rendimiento académico de los estudiantes de una institución, la población sería todos los estudiantes de dicha institución.

En el diagrama de Venn:

Población: Representa el conjunto completo de datos (el círculo azul).

Muestra: Representa un subconjunto de la población (el círculo rojo).

El área de intersección (si se dibuja) muestra que la muestra es una parte de la población. Este diagrama visualiza cómo una muestra forma parte del conjunto total de la población.

library(VennDiagram)

## Loading required package: grid

## Loading required package: futile.logger

library(grid)
# Crear un diagrama de Venn
venn.plot <- venn.diagram(
  x = list(
    Poblacion = 1:1000,
    Muestra = sample(1:1000, 100)
  ),
  category.names = c("Población", "Muestra"),
  filename = NULL,
  output = TRUE,
  col = c("blue", "red"),
  fill = c("blue", "red"),
  alpha = 0.5,
  cex = 1.5,
  cat.cex = 1.5,
  cat.col = c("blue", "red"),
  cat.pos = 0,
  cat.dist = 0.05,
  main = "Diagrama de Venn: Población y Muestra"
)

# Mostrar el diagrama
grid.draw(venn.plot)

Muestra: Es un subconjunto de la población que se selecciona para realizar el estudio. La muestra debe ser representativa para que los resultados puedan ser generalizados a la población.

Ejemplo: De los 1,000 estudiantes de una institución, seleccionas una muestra aleatoria de 100 estudiantes para evaluar su rendimiento académico.

library(ggplot2)
library(plotly)

## 
## Attaching package: 'plotly'

## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     last_plot

## The following object is masked from 'package:stats':
## 
##     filter

## The following object is masked from 'package:graphics':
## 
##     layout

set.seed(123)  # Para reproducibilidad
# Generar datos de la población
poblacion <- data.frame(
  id = 1:1000,
  valor = rnorm(1000, mean = 50, sd = 10)
)

# Seleccionar una muestra aleatoria de la población
muestra <- poblacion[sample(nrow(poblacion), 100), ]

# Crear el gráfico
g<-ggplot() +
  # Graficar la población
  geom_point(data = poblacion, aes(x = id, y = valor), color = "blue", alpha = 0.3) +
  # Graficar la muestra
  geom_point(data = muestra, aes(x = id, y = valor), color = "red", size = 3) +
  labs(
    title = "Población y Muestra",
    x = "ID",
    y = "Valor"
  ) +
  theme_minimal() +
  scale_color_manual(values = c("Población" = "blue", "Muestra" = "red")) +
  theme(legend.position = "none")

ggplotly(g)

En el gráfico:

Población: Los puntos azules representan todos los datos de la población. Muestra: Los puntos rojos representan la muestra seleccionada aleatoriamente de la población. Este gráfico muestra cómo se puede visualizar la relación entre una población completa y una muestra extraída de ella.

Variables y Datos

Variables: Son características o propiedades que pueden tomar diferentes valores en distintos elementos de una población o muestra. Las variables pueden ser cualitativas o cuantitativas.

Ejemplo: En un estudio sobre el rendimiento académico, las variables pueden incluir el promedio de notas (cuantitativa) y la carrera (cualitativa).

Datos: Son los valores específicos que se observan o se miden para cada variable en la muestra o población.

Ejemplo: Si el promedio de notas para un estudiante es 85 y su carrera es “Ingeniería”, estos son datos específicos relacionados con las variables mencionadas.

Clasificación de Variables

Las variables se pueden clasificar en diferentes tipos según su naturaleza:

Cualitativas (o categóricas): Representan categorías o grupos. Se subdividen en nominales y ordinales.
- Ejemplo: Tipo de carrera (nominal), nivel de satisfacción (ordinal).
Cuantitativas: Representan cantidades y se dividen en discretas y continuas.
- Ejemplo: Número de hijos (discreta), altura (continua).

# Cargar librerías necesarias
library(dplyr)

## 
## Attaching package: 'dplyr'

## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     filter, lag

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     intersect, setdiff, setequal, union

# Crear un dataframe con datos ficticios
datos <- data.frame(
  ID = 1:10,
  Edad = c(22, 25, 30, 29, 35, 40, 23, 31, 27, 33),
  Carrera = c("Ingeniería", "Medicina", "Economía", "Arquitectura", "Ingeniería", 
              "Medicina", "Economía", "Arquitectura", "Ingeniería", "Medicina"),
  Satisfaccion = c("Alta", "Media", "Alta", "Baja", "Alta", "Media", "Baja", 
                   "Alta", "Media", "Baja")
)

# Mostrar el dataframe
print(datos)

##    ID Edad      Carrera Satisfaccion
## 1   1   22   Ingeniería         Alta
## 2   2   25     Medicina        Media
## 3   3   30     Economía         Alta
## 4   4   29 Arquitectura         Baja
## 5   5   35   Ingeniería         Alta
## 6   6   40     Medicina        Media
## 7   7   23     Economía         Baja
## 8   8   31 Arquitectura         Alta
## 9   9   27   Ingeniería        Media
## 10 10   33     Medicina         Baja

# Clasificación de las variables
variables <- list(
  ID = "Identificador (Cualitativa Nominal)",
  Edad = "Edad (Cuantitativa Continua)",
  Carrera = "Carrera (Cualitativa Nominal)",
  Satisfaccion = "Satisfacción (Cualitativa Ordinal)"
)

# Imprimir clasificación de variables
print(variables)

## $ID
## [1] "Identificador (Cualitativa Nominal)"
## 
## $Edad
## [1] "Edad (Cuantitativa Continua)"
## 
## $Carrera
## [1] "Carrera (Cualitativa Nominal)"
## 
## $Satisfaccion
## [1] "Satisfacción (Cualitativa Ordinal)"

# Descripción básica de las variables cuantitativas
summary(datos$Edad)

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##    22.0    25.5    29.5    29.5    32.5    40.0

# Descripción de variables cualitativas
table(datos$Carrera)

## 
## Arquitectura     Economía   Ingeniería     Medicina 
##            2            2            3            3

table(datos$Satisfaccion)

## 
##  Alta  Baja Media 
##     4     3     3

Explicación del Código

Datos: Se crea un data.frame llamado datos que contiene cuatro columnas:
ID: Un identificador numérico para cada registro (variable cualitativa nominal).
Edad: La edad de cada persona (variable cuantitativa continua).
Carrera: La carrera que estudian (variable cualitativa nominal).
Satisfaccion: El nivel de satisfacción con los estudios (variable cualitativa ordinal).
Clasificación de Variables: Se define una lista variables que clasifica cada variable del data.frame según su tipo.
Descripción Básica:

Para la variable cuantitativa Edad, se utiliza la función summary() para obtener estadísticas descriptivas básicas.

Para las variables cualitativas (Carrera y Satisfaccion), se utiliza la función table() para obtener frecuencias de cada categoría.

Resultados Esperados

El data.frame se imprime mostrando los datos.

La clasificación de variables se imprime, indicando el tipo de cada variable.

Se obtiene un resumen estadístico de la variable Edad.

Se muestran las frecuencias de las categorías en Carrera y Satisfaccion.

Este código te permitirá ver cómo se ingresan y se clasifican las variables en R, así como obtener información básica sobre los datos.

Escalas de Medición

Las escalas de medición definen el tipo de información que una variable puede proporcionar. Las escalas principales son:

Nominal: Clasifica datos en categorías sin un orden específico.
- Ejemplo: Género (masculino, femenino).
Ordinal: Clasifica datos en categorías con un orden específico, pero sin una magnitud precisa de la diferencia entre categorías.
- Ejemplo: Rangos de satisfacción (bajo, medio, alto).
Intervalo: Mide la diferencia entre valores, pero no tiene un cero absoluto.
- Ejemplo: Temperatura en grados Celsius.
Razón: Mide la diferencia entre valores y tiene un cero absoluto, lo que permite realizar operaciones matemáticas.
- Ejemplo: Peso en kilogramos.

Agrupamiento de Valores

El agrupamiento de valores se refiere a la organización de los datos en categorías o intervalos para facilitar su análisis.

Ejemplo: Para analizar las edades de un grupo de personas, podrías agrupar los datos en intervalos de 10 años (0-10, 11-20, 21-30, etc.).

Sobre los Datos

Los datos deben ser analizados para obtener información útil. Esto incluye la recopilación, organización, y análisis de los datos para identificar patrones o tendencias.

Ejemplo: Al analizar los datos de una encuesta sobre hábitos de compra, podrías calcular la frecuencia de compra de diferentes productos para entender cuáles son los más populares.

# Cargar librerías necesarias
library(dplyr)

# Crear un dataframe con datos ficticios
datos <- data.frame(
  ID = 1:10,
  Edad = c(22, 25, 30, 29, 35, 40, 23, 31, 27, 33),
  Carrera = c("Ingeniería", "Medicina", "Economía", "Arquitectura", "Ingeniería", 
              "Medicina", "Economía", "Arquitectura", "Ingeniería", "Medicina"),
  Satisfaccion = factor(c("Alta", "Media", "Alta", "Baja", "Alta", "Media", "Baja", 
                          "Alta", "Media", "Baja"), levels = c("Baja", "Media", "Alta")),
  Temperatura = c(20, 22, 23, 21, 20, 19, 24, 25, 22, 21),
  Peso = c(55.5, 60.0, 70.2, 68.3, 72.0, 65.5, 62.0, 75.5, 67.0, 64.0)
)

# Mostrar el dataframe
print(datos)

##    ID Edad      Carrera Satisfaccion Temperatura Peso
## 1   1   22   Ingeniería         Alta          20 55.5
## 2   2   25     Medicina        Media          22 60.0
## 3   3   30     Economía         Alta          23 70.2
## 4   4   29 Arquitectura         Baja          21 68.3
## 5   5   35   Ingeniería         Alta          20 72.0
## 6   6   40     Medicina        Media          19 65.5
## 7   7   23     Economía         Baja          24 62.0
## 8   8   31 Arquitectura         Alta          25 75.5
## 9   9   27   Ingeniería        Media          22 67.0
## 10 10   33     Medicina         Baja          21 64.0

# Clasificación de las variables por escalas de medición
escalas <- list(
  ID = "Nominal: Identificador sin un orden específico",
  Edad = "Razón: Variable continua con un cero absoluto",
  Carrera = "Nominal: Categorías sin un orden específico",
  Satisfaccion = "Ordinal: Niveles de satisfacción con un orden específico",
  Temperatura = "Intervalo: Diferencias significativas sin un cero absoluto",
  Peso = "Razón: Variable continua con un cero absoluto"
)

# Imprimir clasificación de escalas
print(escalas)

## $ID
## [1] "Nominal: Identificador sin un orden específico"
## 
## $Edad
## [1] "Razón: Variable continua con un cero absoluto"
## 
## $Carrera
## [1] "Nominal: Categorías sin un orden específico"
## 
## $Satisfaccion
## [1] "Ordinal: Niveles de satisfacción con un orden específico"
## 
## $Temperatura
## [1] "Intervalo: Diferencias significativas sin un cero absoluto"
## 
## $Peso
## [1] "Razón: Variable continua con un cero absoluto"

# Descripción de las variables por tipo de escala
summary(datos$Edad)           # Razón

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##    22.0    25.5    29.5    29.5    32.5    40.0

table(datos$Carrera)          # Nominal

## 
## Arquitectura     Economía   Ingeniería     Medicina 
##            2            2            3            3

table(datos$Satisfaccion)     # Ordinal

## 
##  Baja Media  Alta 
##     3     3     4

summary(datos$Temperatura)    # Intervalo

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   19.00   20.25   21.50   21.70   22.75   25.00

summary(datos$Peso)           # Razón

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   55.50   62.50   66.25   66.00   69.72   75.50

Explicación del Código

Datos: Se crea un data.frame llamado datos con las siguientes columnas:

ID: Un identificador numérico para cada registro (escala nominal).
Edad: La edad de cada persona (escala razón).
Carrera: La carrera que estudian (escala nominal).
Satisfaccion: El nivel de satisfacción con los estudios, codificado como factor ordinal (escala ordinal).
Temperatura: Temperatura en grados Celsius (escala intervalo).
Peso: Peso en kilogramos (escala razón).

Clasificación de Escalas: Se define una lista escalas que clasifica cada variable según su escala de medición.

Descripción Básica:

Edad y Peso (razón): Se utiliza summary() para obtener un resumen estadístico de las variables continuas.
Carrera (nominal): Se utiliza table() para obtener frecuencias de cada categoría.
Satisfaccion (ordinal): Se utiliza table() para obtener frecuencias y levels() para mostrar el orden de las categorías.
Temperatura (intervalo): Se utiliza summary() para obtener un resumen estadístico de la temperatura.

Resultados Esperados

El data.frame se imprime mostrando los datos.
La clasificación de escalas se imprime, indicando el tipo de cada variable.
Se obtienen resúmenes estadísticos de las variables según su escala de medición.

Este ejemplo te ayudará a entender cómo se pueden clasificar las variables según las escalas de medición y cómo se puede realizar un análisis básico de cada tipo de variable en R.

¿Qué es la Estadística Descriptiva?

La estadística descriptiva es una rama de la estadística que se encarga de la organización, resumen y presentación de los datos de manera que sea fácil de entender y analizar.

Ejemplo: Calcular la media, la mediana y la desviación estándar de las notas de un examen es parte de la estadística descriptiva. Estos cálculos proporcionan una visión general del desempeño del grupo.

Ejercicio 1: Población y Muestra

Defina con la mayor precisión posible una población adecuada en el caso de que se desee llevar a cabo un estudio estadístico sobre los siguientes temas. En cada caso, determine una unidad de observación.

La preferencia electoral en unos comicios.
- Población:
- Unidad de Observación:
La calidad del aire en una ciudad.
- Población:
- Unidad de Observación:
Los efectos del tabaco en la salud de las personas.
- Población:
- Unidad de Observación:
El uso de la biblioteca en una escuela.
- Población:
- Unidad de Observación:
El nivel de pobreza económica de las familias en una región geográfica.
- Población:
- Unidad de Observación:
La calidad de los productos de una fábrica.
- Población:
- Unidad de Observación:
Los efectos de un nuevo medicamento para tratar una enfermedad.
- Población:
- Unidad de Observación:
El consumo de drogas en una ciudad.
- Población:
- Unidad de Observación:
La calidad del agua que llega a las casas en una ciudad.
- Población:
- Unidad de Observación:
El nivel de cultura de las personas en un país.
- Población:
- Unidad de Observación:
La relación entre pobreza y mortalidad.
- Población:
- Unidad de Observación:
Los niveles de audiencia de un programa de televisión.
- Población:
- Unidad de Observación:
La práctica de actividades deportivas en los niños.
- Población:
- Unidad de Observación:
La calidad del sueño en las personas en una ciudad.
- Población:
- Unidad de Observación:
La alimentación de las personas de edad avanzada.
- Población:
- Unidad de Observación:

Ejercicio 2: Clasificación de Variables

Clasifique las siguientes variables en cualitativas o cuantitativas. En caso de ser cualitativas, indique si son nominales u ordinales; y en caso de ser cuantitativas, indique si son discretas o continuas.

El nivel de felicidad de una persona.
- Clasificación:
El tiempo de vida útil de un foco.
- Clasificación:
El número de hijos en las familias.
- Clasificación:
La cantidad de agua en una presa.
- Clasificación:
La cantidad de dinero en una cuenta bancaria.
- Clasificación:
El estado civil de una persona.
- Clasificación:
El nivel de contaminación en el aire de una ciudad.
- Clasificación:
La precipitación pluvial en una región.
- Clasificación:
La preferencia sexual de una persona.
- Clasificación:
El tiempo necesario para llevar a cabo un trabajo.
- Clasificación:
La temperatura en un cierto lugar en un cierto día.
- Clasificación:
El número de mascotas por familia.
- Clasificación:
La causa de muerte de una persona.
- Clasificación:
El nivel de dominio de un idioma extranjero.
- Clasificación:
El coeficiente intelectual de una persona.
- Clasificación:
El nivel adquisitivo de una persona.
- Clasificación:
Los lugares de residencia de una persona previos al actual.
- Clasificación:
La actividad u oficio de una persona.
- Clasificación:
La capacidad de ahorro de una persona.
- Clasificación:
El capital de una persona en el momento de su retiro laboral.
- Clasificación:
El resultado de un examen de matemáticas.
- Clasificación:
El estado de salud de una persona.
- Clasificación:
La estatura promedio de un equipo de baloncesto.
- Clasificación:

Ejercicio 3: Escalas de Medición

En las variables del punto anterior, indique la escala de medición de cada una.

El nivel de felicidad de una persona.
- Escala de Medición:
El tiempo de vida útil de un foco.
- Escala de Medición:
El número de hijos en las familias.
- Escala de Medición:
La cantidad de agua en una presa.
- Escala de Medición:
La cantidad de dinero en una cuenta bancaria.
- Escala de Medición:
El estado civil de una persona.
- Escala de Medición:
El nivel de contaminación en el aire de una ciudad.
- Escala de Medición:
La precipitación pluvial en una región.
- Escala de Medición:
La preferencia sexual de una persona.
- Escala de Medición:
El tiempo necesario para llevar a cabo un trabajo.
- Escala de Medición:
La temperatura en un cierto lugar en un cierto día.
- Escala de Medición:
El número de mascotas por familia.
- Escala de Medición:
La causa de muerte de una persona.
- Escala de Medición:
El nivel de dominio de un idioma extranjero.
- Escala de Medición:
El coeficiente intelectual de una persona.
- Escala de Medición:
El nivel adquisitivo de una persona.
- Escala de Medición:
Los lugares de residencia de una persona previos al actual.
- Escala de Medición:
La actividad u oficio de una persona.
- Escala de Medición:
La capacidad de ahorro de una persona.
- Escala de Medición:
El capital de una persona en el momento de su retiro laboral.
- Escala de Medición:
El resultado de un examen de matemáticas.
- Escala de Medición:
El estado de salud de una persona.
- Escala de Medición:
La estatura promedio de un equipo de baloncesto.
- Escala de Medición:

Ejercicio 4: Clasificación de Variables en R

# Crear un data.frame con las variables para clasificación
variables <- data.frame(
  Variable = c("Nivel de felicidad", "Tiempo de vida útil de un foco", "Número de hijos en las familias",
               "Cantidad de agua en una presa", "Cantidad de dinero en una cuenta bancaria",
               "Estado civil de una persona", "Nivel de contaminación en el aire de una ciudad",
               "Precipitación pluvial en una región", "Preferencia sexual de una persona",
               "Tiempo necesario para llevar a cabo un trabajo", "Temperatura en un cierto lugar en un cierto día",
               "Número de mascotas por familia", "Causa de muerte de una persona",
               "Nivel de dominio de un idioma extranjero", "Coeficiente intelectual de una persona",
               "Nivel adquisitivo de una persona", "Lugares de residencia de una persona previos al actual",
               "Actividad u oficio de una persona", "Capacidad de ahorro de una persona",
               "Capital de una persona en el momento de su retiro laboral", "Resultado de un examen de matemáticas",
               "Estado de salud de una persona", "Estatura promedio de un equipo de baloncesto"),
  Clasificacion = NA
)

# Imprimir el data.frame para completar las clasificaciones
print(variables)

##                                                     Variable Clasificacion
## 1                                         Nivel de felicidad            NA
## 2                             Tiempo de vida útil de un foco            NA
## 3                            Número de hijos en las familias            NA
## 4                              Cantidad de agua en una presa            NA
## 5                  Cantidad de dinero en una cuenta bancaria            NA
## 6                                Estado civil de una persona            NA
## 7            Nivel de contaminación en el aire de una ciudad            NA
## 8                        Precipitación pluvial en una región            NA
## 9                          Preferencia sexual de una persona            NA
## 10            Tiempo necesario para llevar a cabo un trabajo            NA
## 11           Temperatura en un cierto lugar en un cierto día            NA
## 12                            Número de mascotas por familia            NA
## 13                            Causa de muerte de una persona            NA
## 14                  Nivel de dominio de un idioma extranjero            NA
## 15                    Coeficiente intelectual de una persona            NA
## 16                          Nivel adquisitivo de una persona            NA
## 17    Lugares de residencia de una persona previos al actual            NA
## 18                         Actividad u oficio de una persona            NA
## 19                        Capacidad de ahorro de una persona            NA
## 20 Capital de una persona en el momento de su retiro laboral            NA
## 21                     Resultado de un examen de matemáticas            NA
## 22                            Estado de salud de una persona            NA
## 23              Estatura promedio de un equipo de baloncesto            NA

Instrucción para el Estudiante

Reemplaza los valores NA en la columna Clasificacion del data.frame variables con la clasificación correcta para cada variable. La clasificación debe indicar si la variable es cualitativa (y si es nominal u ordinal) o cuantitativa (y si es discreta o continua).

Ejemplo:

Para la variable “Nivel de felicidad” que es cualitativa ordinal, tu respuesta debería ser “Cualitativa Ordinal”.
Para la variable “Tiempo de vida útil de un foco” que es cuantitativa continua, tu respuesta debería ser “Cuantitativa Continua”.

Actualiza el data.frame con las clasificaciones correctas y luego imprime el resultado para verificar tus respuestas.

Al completar este ejercicio, obtendrás una visión más clara de cómo clasificar diferentes tipos de variables y cómo estas clasificaciones afectan el análisis estadístico.

Descripciones Numéricas

Medidas de Centralización

Las medidas de centralización son estadísticas que describen el centro o el punto de referencia de una distribución de datos. Estas medidas nos ayudan a comprender el valor típico o central de un conjunto de datos.

Media

Definición Formal

La media (o promedio) de un conjunto de datos es el valor que se obtiene al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos. Matemáticamente, si \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) son los datos, la media \(\bar{x}\) se calcula como:

\[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \]

Propiedades

Sensibilidad a valores extremos: La media puede ser afectada por valores extremadamente altos o bajos.
Centro de gravedad: La media se puede considerar como el centro de gravedad de los datos.
Promedio aritmético: Es el promedio aritmético de todos los valores.

Ejemplo

Consideremos los siguientes datos: 4, 8, 6, 5, 7.

La media se calcula como:

\[ \bar{x} = \frac{4 + 8 + 6 + 5 + 7}{5} = \frac{30}{5} = 6 \]

Ejemplos en R: Media

La media se calcula sumando todos los valores y dividiendo entre el número de valores. Aquí tienes un ejemplo en R:

# Datos de ejemplo
datos <- c(4, 8, 6, 5, 7)

# Calcular la media
media <- mean(datos)

# Mostrar el resultado
media

## [1] 6

Explicación del Código

datos <- c(4, 8, 6, 5, 7): Define un vector de datos. mean(datos): Calcula la media de los datos. media: Almacena y muestra el resultado de la media. El resultado será la media de los datos, que en este caso es 6.

Moda

Definición Formal

La moda es el valor que aparece con mayor frecuencia en un conjunto de datos. Un conjunto de datos puede tener una sola moda, más de una moda (si varios valores tienen la misma frecuencia máxima), o ninguna moda (si todos los valores tienen la misma frecuencia).

Propiedades

Frecuencia máxima: La moda es el valor con la frecuencia máxima.
Puede no ser única: Un conjunto de datos puede ser unimodal, bimodal, trimodal, o multimodal.
No siempre existe: Si todos los valores son únicos, el conjunto no tiene moda.

Ejemplo

Consideremos los siguientes datos: 3, 7, 3, 2, 8, 3.

La moda es el valor que aparece con mayor frecuencia, que en este caso es 3.

# Función para calcular la moda
calcular_moda <- function(x) {
  tab <- table(x)  # Crea una tabla de frecuencias
  moda <- as.numeric(names(tab[tab == max(tab)]))  # Encuentra el valor o valores con mayor frecuencia
  return(moda)
}

# Datos de ejemplo
datos <- c(3, 7, 3, 2, 8, 3)

# Calcular la moda
moda <- calcular_moda(datos)

# Mostrar el resultado
moda

## [1] 3

Explicación del Código

calcular_moda <- function(x) { … }: Define una función para calcular la moda. table(x): Crea una tabla de frecuencias para los datos. tab[tab == max(tab)]: Encuentra los valores con la frecuencia máxima. names(): Obtiene los nombres (valores) correspondientes a la frecuencia máxima. datos <- c(3, 7, 3, 2, 8, 3): Define un vector de datos. moda <- calcular_moda(datos): Calcula la moda usando la función personalizada. moda: Almacena y muestra el resultado de la moda.

El resultado será el valor que aparece con mayor frecuencia, que en este caso es 3.

Mediana

Definición Formal

La mediana es el valor que divide un conjunto de datos en dos mitades iguales. Para calcular la mediana, primero se ordenan los datos en forma ascendente. Si el número de datos \(n\) es impar, la mediana es el valor en la posición central. Si \(n\) es par, la mediana es el promedio de los dos valores centrales. Matemáticamente:

Si \(n\) es impar, la mediana es \(x_{(\frac{n+1}{2})}\).
Si \(n\) es par, la mediana es \(\frac{x_{(\frac{n}{2})} + x_{(\frac{n}{2}+1)}}{2}\).

Propiedades

Menos sensible a valores extremos: La mediana no se afecta por valores extremadamente altos o bajos.
División en partes iguales: Divide el conjunto de datos en dos partes iguales.
Representa el punto medio: Proporciona el valor central del conjunto de datos.

Ejemplo

Consideremos los siguientes datos: 2, 7, 3, 5, 8.

Primero, ordenamos los datos: 2, 3, 5, 7, 8. Dado que el número de datos es impar (5), la mediana es el valor en la posición central, que es 5.

Para un conjunto con un número par de datos, por ejemplo: 2, 3, 5, 7, 8, 9.

Ordenamos los datos: 2, 3, 5, 7, 8, 9. Dado que el número de datos es par (6), la mediana es el promedio de los dos valores centrales, que son 5 y 7. Por lo tanto:

\[ \text{Mediana} = \frac{5 + 7}{2} = 6 \]

# Datos de ejemplo
datos <- c(2, 3, 5, 7, 8, 9)

# Calcular la mediana
mediana <- median(datos)

# Mostrar el resultado
mediana

## [1] 6

Explicación del Código

En este caso, el conjunto tiene un número par de datos, por lo que la mediana es el promedio de los dos valores centrales (5 y 7), que da como resultado 6.

Medidas de dispersión

Ahora exploraremos algunas cantidades que nos permiten evaluar el grado de dispersión en un conjunto de datos numéricos. En la mayoría de estas medidas de dispersión, es necesario tener en cuenta un valor central de los datos como punto de referencia. En nuestro caso, utilizaremos la media \(\bar{x }\) como este valor central. Aunque otras medidas de centralización podrían emplearse como punto de referencia, optaremos por la media, siguiendo la práctica más común en el análisis estadístico.

Varianza

La varianza es una medida que indica el promedio de las distancias al cuadrado de cada dato \(x_i\) respecto a la media \(\bar{x}\). Es una de las medidas de dispersión más utilizadas en estadística. Se calcula de la siguiente manera:

\[\text{Var}(x)=s^2(x)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(\bar{x}-x_i)^2\]

Para especificar que se trata de la varianza de un conjunto de datos denotado por \(x\), utilizamos los símbolos \(s^2\), \(s^2(x)\), o también \(\text{var}(x)\). Es evidente que para calcular la varianza, primero es necesario determinar la media \(\bar{x}\).

Ejemplo: Cálculo Manual de la Varianza

Consideremos el siguiente conjunto de datos: \(x = \{4, 8, 6, 5, 3\}\).

Calcular la media \(\bar{x}\): \[ \bar{x} = \frac{4 + 8 + 6 + 5 + 3}{5} = \frac{26}{5} = 5.2 \]
Calcular la diferencia de cada valor respecto a la media: \[ x_1 - \bar{x} = 4 - 5.2 = -1.2 \] \[ x_2 - \bar{x} = 8 - 5.2 = 2.8 \] \[ x_3 - \bar{x} = 6 - 5.2 = 0.8 \] \[ x_4 - \bar{x} = 5 - 5.2 = -0.2 \] \[ x_5 - \bar{x} = 3 - 5.2 = -2.2 \]
Elevar al cuadrado cada una de las diferencias: \[ (x_1 - \bar{x})^2 = (-1.2)^2 = 1.44 \] \[ (x_2 - \bar{x})^2 = (2.8)^2 = 7.84 \] \[ (x_3 - \bar{x})^2 = (0.8)^2 = 0.64 \] \[ (x_4 - \bar{x})^2 = (-0.2)^2 = 0.04 \] \[ (x_5 - \bar{x})^2 = (-2.2)^2 = 4.84 \]
Sumar todos los valores cuadrados: \[ \text{Suma} = 1.44 + 7.84 + 0.64 + 0.04 + 4.84 = 14.8 \]
Calcular la varianza \(s^2\): \[ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 = \frac{14.8}{4} = 3.7 \]

Resultado

La varianza de los datos \(x = \{4, 8, 6, 5, 3\}\) es \(3.7\). Este valor indica el grado de dispersión de los datos respecto a la media.

Ejemplo: Cálculo de la Varianza en R

A continuación, calcularemos la varianza de un conjunto de datos usando R.

# Definimos un vector de datos
datos <- c(4, 8, 6, 5, 3)

# Calculamos la media de los datos
media <- mean(datos)

# Calculamos la varianza
varianza <- var(datos)

# Mostramos la media y la varianza
media

## [1] 5.2

varianza

## [1] 3.7

Explicación del Código

Definición de datos:

Creamos un vector llamado datos que contiene los valores 4, 8, 6, 5, 3.

Cálculo de la media:

Utilizamos la función mean(datos) para calcular la media del conjunto de datos. La media es 5.2.

Cálculo de la varianza:

La función var(datos) calcula la varianza de los datos. En este caso, la varianza es 4.7. Nota: La función var() en R utiliza el divisor \(n-1\) (donde \(n\) es el número de datos) para calcular la varianza muestral.

Resultados:

Se imprimen tanto la media como la varianza calculadas.

Desviación estándar

La desviación estándar, también conocida como desviación típica, se representa por la letra s y se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza. Para calcularla, se utiliza la siguiente fórmula:

\[ s = \sqrt{\text{var}(x)}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(\bar{x}-x_i)^2} \] #### Ejemplo: Cálculo Manual de la Desviación Estándar

Consideremos el mismo conjunto de datos: \(x = \{4, 8, 6, 5, 3\}\).

Calcular la media \(\bar{x}\): \[ \bar{x} = \frac{4 + 8 + 6 + 5 + 3}{5} = \frac{26}{5} = 5.2 \]
Calcular la diferencia de cada valor respecto a la media: \[ x_1 - \bar{x} = 4 - 5.2 = -1.2 \] \[ x_2 - \bar{x} = 8 - 5.2 = 2.8 \] \[ x_3 - \bar{x} = 6 - 5.2 = 0.8 \] \[ x_4 - \bar{x} = 5 - 5.2 = -0.2 \] \[ x_5 - \bar{x} = 3 - 5.2 = -2.2 \]
Elevar al cuadrado cada una de las diferencias: \[ (x_1 - \bar{x})^2 = (-1.2)^2 = 1.44 \] \[ (x_2 - \bar{x})^2 = (2.8)^2 = 7.84 \] \[ (x_3 - \bar{x})^2 = (0.8)^2 = 0.64 \] \[ (x_4 - \bar{x})^2 = (-0.2)^2 = 0.04 \] \[ (x_5 - \bar{x})^2 = (-2.2)^2 = 4.84 \]
Sumar todos los valores cuadrados: \[ \text{Suma} = 1.44 + 7.84 + 0.64 + 0.04 + 4.84 = 14.8 \]
Calcular la varianza \(s^2\): \[ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 = \frac{14.8}{4} = 3.7 \]
Calcular la desviación estándar \(s\): \[ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{3.7} \approx 1.92 \]

Resultado

La desviación estándar de los datos \(x = \{4, 8, 6, 5, 3\}\) es aproximadamente \(1.92\). Este valor proporciona una medida de la dispersión de los datos alrededor de la media.

Ejemplo: Cálculo de la Desviación Estándar en R

Calcularemos la desviación estándar de un conjunto de datos usando R.

# Definimos un vector de datos
datos <- c(4, 8, 6, 5, 3)

# Calculamos la media de los datos
media <- mean(datos)

# Calculamos la varianza
varianza <- var(datos)

# Calculamos la desviación estándar usando sqrt y la varianza
desviacion_estandar_sqrt <- sqrt(varianza)

# Calculamos la desviación estándar usando la función sd()
desviacion_estandar_sd <- sd(datos)

# Mostramos la media, la varianza y las desviaciones estándar
media

## [1] 5.2

varianza

## [1] 3.7

desviacion_estandar_sqrt

## [1] 1.923538

desviacion_estandar_sd

## [1] 1.923538

Explicación del Código

Definición de datos:
- Creamos un vector llamado datos que contiene los valores \(4, 8, 6, 5, 3\).
Cálculo de la media:
- Utilizamos la función mean(datos) para calcular la media del conjunto de datos. La media es \(5.2\).
Cálculo de la varianza:
- La función var(datos) calcula la varianza de los datos. La varianza es \(4.7\).
Cálculo de la desviación estándar:
- Usamos sqrt(varianza) para calcular la raíz cuadrada de la varianza, que es la desviación estándar. Esta medida es aproximadamente \(2.17\).
- También utilizamos la función sd(datos), que calcula directamente la desviación estándar. Esta medida también es aproximadamente \(2.17\), confirmando que ambas formas de cálculo son equivalentes.
Resultados:
- Se imprimen la media, la varianza y la desviación estándar calculadas usando ambos métodos. Esto muestra cómo ambos métodos para calcular la desviación estándar producen resultados equivalentes y proporciona una visión clara de la dispersión de los datos alrededor de la media.

Rango

El rango de una colección de números \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) se define como la diferencia entre el valor más grande y el valor más pequeño en el conjunto de datos. Para calcular el rango, se identifican el dato más pequeño \(x_{(1)}\) y el dato más grande \(x_{(n)}\). La fórmula para el rango \(r\) es:

\[ r = x_{(n)} - x_{(1)} \]

El rango es una medida de dispersión que indica la distancia máxima entre cualesquiera dos datos en el conjunto. También puede interpretarse como la longitud del intervalo más pequeño en el que se encuentran todos los datos observados.

El rango proporciona una idea general de la dispersión de los datos, aunque no considera la distribución de los datos entre el valor mínimo y máximo.

Ejemplo Manual: Cálculo del Rango

Consideremos el siguiente conjunto de datos: \(x = \{7, 2, 9, 5, 3\}\).

Identificar el valor más pequeño y el valor más grande:
- Valor más pequeño (\(x_{(1)}\)): 2
- Valor más grande (\(x_{(n)}\)): 9
Calcular el rango: \[ r = x_{(n)} - x_{(1)} = 9 - 2 = 7 \]

Resultado

El rango del conjunto de datos \(x = \{7, 2, 9, 5, 3\}\) es 7. Esto indica que la distancia máxima entre el valor más grande y el valor más pequeño en el conjunto de datos es 7.

Aquí tienes el ejemplo del cálculo del rango usando R en formato RMarkdown:

# Definimos un vector de datos
datos <- c(7, 2, 9, 5, 3)

# Calculamos el rango utilizando min() y max()
valor_minimo <- min(datos)
valor_maximo <- max(datos)
rango_calculado <- valor_maximo - valor_minimo

# Calculamos el rango utilizando range()
rango_funcion <- range(datos)
rango_funcion_calculado <- diff(rango_funcion)

# Mostramos los resultados
valor_minimo

## [1] 2

valor_maximo

## [1] 9

rango_calculado

## [1] 7

rango_funcion

## [1] 2 9

rango_funcion_calculado

## [1] 7

Explicación del Código

Definición de datos:
- Creamos un vector llamado datos que contiene los valores \(7, 2, 9, 5, 3\).
Cálculo del valor más pequeño y el valor más grande:
- Utilizamos la función min(datos) para encontrar el valor más pequeño en el conjunto de datos. En este caso, el valor mínimo es \(2\).
- Utilizamos la función max(datos) para encontrar el valor más grande en el conjunto de datos. En este caso, el valor máximo es \(9\).
- Calculamos el rango como la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo: rango_calculado <- valor_maximo - valor_minimo. Así, el rango es \(7\).
Cálculo del rango utilizando range():
- La función range(datos) devuelve un vector con dos elementos: el valor mínimo y el valor máximo del conjunto de datos. Para el conjunto de datos dado, el resultado es \(2\) y \(9\).
- Utilizamos la función diff(rango_funcion) para calcular la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo obtenidos con range(). Esta diferencia es el rango, que también es \(7\).
Resultados:
- Se imprimen el valor mínimo, el valor máximo y el rango calculado de dos maneras: manualmente (usando min() y max()) y automáticamente (usando range() y diff()). Ambos métodos deberían proporcionar el mismo valor de rango, confirmando la precisión del cálculo.

Ejercicios

Media

Calcule la media del siguiente conjunto de datos.
1. \(1, 5, 0, 3, 3, 2, 1, 0\)
  1. \(2.5, 3.2, 2.7, 2.0, 3.4, 3.7, 5.2, 2.0, 2.5, 4.0, 2.3\)
  2. \(20, 32, 25, 27, 30, 28, 31, 20, 30\)
  3. \(0, 1, -1, 0, 1, 1, 0, 0, 1\)
Calcule la media del siguiente conjunto de datos.
1. \(12, 15, 30, 23, 10\)
  1. \(23, 10, 15, 30, 12\)
  2. \(30, 15, 12, 10, 23\)
  3. \(15, 30, 23, 10, 12\)
Considere el conjunto de cinco datos como aparece abajo. Determine el valor del dato faltante \(x_5\) si la media es 6.
- \(x_1 = 3\)
- \(x_2 = 8\)
- \(x_3 = 4\)
- \(x_4 = 7\)
- \(x_5 = ?\)
Calcule la media de los siguientes conjuntos de datos. La primera columna corresponde al conjunto de datos original. El resto de las columnas se obtienen según la operación indicada en el encabezado.

\(x\)	\(x^2\)	\(x^4\)	\(2x\)	\(10x\)
4	16	256	8	40
7	49	2401	14	70
3	9	81	6	30
2	4	16	4	20

Calcule la media de los datos que aparecen en la tabla de abajo. Además de los valores observados se proporciona el número de veces que cada valor ha sido observado.

Valor	Frecuencia
-2	7
-1	2
0	1
1	4
2	3

Los siguientes datos corresponden a las calificaciones aprobatorias de un estudiante y el número de veces que ha obtenido cada calificación en cursos anteriores. Calcule el promedio del estudiante.

Calificación	Frecuencia
6	0
7	2
8	3
9	5
10	3

Calcule la media de los dos conjuntos de datos que aparecen en la siguientes figuras. Considere que se tienen tantos datos como puntos aparezcan sobre el valor numérico.

# Cargar la librería ggplot2 y plotly
library(ggplot2)
library(plotly)
# Datos para el primer gráfico de barras
data1 <- data.frame(
  Valor = factor(c(1, 2, 3, 4)),
  Frecuencia = c(3, 2, 2, 3)
)

# Primer gráfico de barras
g1<-ggplot(data1, aes(x = Valor, y = Frecuencia)) +
  geom_bar(stat = "identity", fill = "skyblue") +
  labs(title = "Gráfico de Barras: Valores 1 a 4", x = "Valor", y = "Frecuencia") +
  theme_minimal()
ggplotly(g1)

# Datos para el segundo gráfico de barras
data2 <- data.frame(
  Valor = factor(c(-2, -1, 0, 1, 2)),
  Frecuencia = c(2, 1, 3, 1, 2)
)

# Segundo gráfico de barras
g2<-ggplot(data2, aes(x = Valor, y = Frecuencia)) +
  geom_bar(stat = "identity", fill = "lightgreen") +
  labs(title = "Gráfico de Barras: Valores -2 a 2", x = "Valor", y = "Frecuencia") +
  theme_minimal()
ggplotly(g2)

Indique el punto que corresponde a la media en cada uno de los dos conjuntos de datos que aparecen en las figuras. Considere que cada punto se observa con la frecuencia indicada arriba de la barra correspondiente.

# Cargar la librería ggplot2
library(ggplot2)

# Datos para el primer gráfico de barras
data1 <- data.frame(
  Valor = factor(c(0, 2, 4, 6, 8, 10)),
  Frecuencia = c(8, 18, 12, 10, 8, 6)
)

# Primer gráfico de barras
g1<-ggplot(data1, aes(x = Valor, y = Frecuencia)) +
  geom_bar(stat = "identity", fill = "skyblue") +
  labs(title = "Gráfico de Barras: Valores 0 a 10", x = "Valor", y = "Frecuencia") +
  theme_minimal()
ggplotly(g1)

# Datos para el segundo gráfico de barras
data2 <- data.frame(
  Valor = factor(c(-1, 0, 1, 2, 3, 4)),
  Frecuencia = c(20, 15, 10, 5, 5, 5)
)

# Segundo gráfico de barras
g2<-ggplot(data2, aes(x = Valor, y = Frecuencia)) +
  geom_bar(stat = "identity", fill = "lightgreen") +
  labs(title = "Gráfico de Barras: Valores -1 a 4", x = "Valor", y = "Frecuencia") +
  theme_minimal()
ggplotly(g2)

¿Cuál es la media de un conjunto que consta de:

a)  Un único dato.


    b)  Dos datos idénticos.



    c)  Dos datos distintos.



    d)  Mil datos idénticos.

Diga falso o verdadero:
1. La media puede ser cero.
  1. Dos conjuntos de datos distintos pueden tener la misma media.
  2. Si se añade un cero a un conjunto de datos, la media no cambia.
  3. Si se añade un valor positivo a un conjunto de datos, la media aumenta.
  4. Si se añade un valor negativo a un conjunto de datos, la media disminuye.

Ejercicios con Uso de R

Calcule la media del siguiente conjunto de datos usando R:

a)  `c(1, 5, 0, 3, 3, 2, 1, 0)`



b)  `c(2.5, 3.2, 2.7, 2.0, 3.4, 3.7, 5.2, 2.0, 2.5, 4.0, 2.3)`



c)  `c(20, 32, 25, 27, 30, 28, 31, 20, 30)`



d)  `c(0, 1, -1, 0, 1, 1, 0, 0, 1)`

Utilizando R, calcule la media de los siguientes conjuntos de datos y verifique la consistencia:
- 1. c(12, 15, 30, 23, 10)
  2. c(23, 10, 15, 30, 12)
  3. c(30, 15, 12, 10, 23)
  4. c(15, 30, 23, 10, 12)
En R, determine el valor del dato faltante \(x_5\) si la media del conjunto \(c(3, 8, 4, 7, x_5)\) es 6.
Para el siguiente conjunto de datos .

\(x=\{4, 7, 3, 2,9, 10\}\)

Calcule la media de:

\(x,x^2,2x,x+2,(x+2)^2\)

en R.

Calcule la media de los datos en la tabla usando R, considerando la frecuencia de cada valor:

Valor	Frecuencia
-2	7
-1	2
0	1
1	4
2	3

Usando R, calcule el promedio de las calificaciones y frecuencias dadas:

Calificación	Frecuencia
6	0
7	2
8	3
9	5
10	3

Moda

Ejercicio 1

Suponga que \(a, b, c, d\) son los valores de una variable cualitativa. Encuentre las posibles modas del siguiente conjunto de datos.

a, a, a, a, b, b, b, c, c, c, c, d, d, d
a, b, c, a, b, c, a, b, c, a, b, c, a, b, c
a, b, b, b, b, b, c, d, d, d, d, d
a, b, c, d

Ejercicio 2

Calcule la moda de los siguientes conjuntos de datos.

x1 = 3, 5, 4, 3, 5, 1, 4, 3, 2, 1, 2, 3
x2 = 3, 6, 8, 7, 6, 4, 7, 5, 4, 5, 6
x3 = 2, 3, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 1, 2, 1
x4 = 0, 1, 1, 0, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 1
x5 = 6, 10, 8, 6, 10, 2, 8, 6, 4, 2, 4, 6
x6 = 10, 30, 50, 40, 30, 50, 10, 40, 30, 20, 10, 20, 30

¿Notas algo extraño?

Ejercicio 3

Diga falso o verdadero: si se le añaden ceros a un conjunto de datos, la moda, si existe, no cambia.

Ejercicios con R

Calcule la moda del siguiente conjunto de datos en R. Implemente el código necesario para encontrar la moda.

datos <- c(7, 5, 7, 8, 5, 7, 9, 8, 7)
   # Crea un data.frame para calcular la moda
   df <- data.frame(valor = datos)
   # Calcular la moda

Utilice R para calcular la moda de los siguientes conjuntos de datos. Reemplace los datos en el código y calcule la moda correspondiente.

datos1 <- c(3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 8)
datos2 <- c(-1, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3)

Dado el siguiente conjunto de datos, utilice R para calcular la moda y verificar si hay más de una moda.

datos <- c(10, 20, 20, 30, 30, 30, 40, 40, 50)

Mediana

Ejercicio 1

Calcule la mediana del siguiente conjunto de datos.

1, 5, 0, 3, 3, 2, 1, 0
2.5, 3.2, 2.7, 2.0, 3.4, 3.7, 5.2, 2.0, 2.5, 4.0, 2.3
20, 32, 25, 27, 30, 28, 31, 20, 30
0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1

Ejercicio 2

Calcule la mediana del siguiente conjunto de datos.

12, 15, 30, 23, 10
23, 10, 15, 30, 12
30, 15, 12, 10, 23
15, 30, 23, 10, 12

Ejercicio 3

Calcule la mediana de los siguientes conjuntos de datos.

x1 = 4, 6, 8, 1, 2, 20, 7, 9, 11, 4, 7, 2, 35, 3, 5, 7, 0, 3, 2, 15, 2, 4, 6
x2 = 1, 1, 10, 7, 9, 11, 4, 7, 2, 35, 3, 5, 7, 0, 3, 2, 15, 2, 4, 6
x3 = 3, 5, 7, 0, 2, 20, 4, 6, 8, 9, 11, 7, 35, 2, 4, 2, 15, 6

¿ Notas algo extraño?

Ejercicio 4

¿Cuál es la mediana de un conjunto que consta de:

un único dato?
dos datos idénticos?
dos datos distintos?
tres datos idénticos?
tres datos distintos?
mil datos idénticos?

Ejercicio 5

A un conjunto de datos se le añade un dato adicional y resulta que la mediana no cambia. ¿Cuál es el dato que se añadió?

Ejercicio 6

Considere un conjunto de datos cuya mediana es \(\tilde{x}\). Diga falso o verdadero:

Si se añade un dato a la izquierda de \(\tilde{x}\) y otro dato a la derecha de \(\tilde{x}\), entonces la mediana no cambia.
Si se omite un dato a la izquierda de \(\tilde{x}\) y se omite otro dato a la derecha de \(\tilde{x}\), entonces la mediana no cambia.

Ejercicio 7

Calcule la mediana de los dos conjuntos de datos que aparecen en la figura del punto 8. Considere que se tienen tantos datos como puntos aparezcan sobre el valor numérico.

Ejercicio 8

Diga falso o verdadero: si se le añaden ceros a un conjunto de datos, la mediana no cambia.

Ejercicio 9

Considere el conjunto de cinco números: 3, 5, 1, 8, 4. Suponga que el valor 4 se cambia por el valor 8. Diga si cada una de las siguientes cantidades aumenta, disminuye o no cambia.

La media.
La moda.
La mediana.

Ejercicio 10 (Uso de R)

Calcule la mediana del siguiente conjunto de datos usando R:

10, 23, 5, 12, 7, 15, 19, 8, 11
45, 32, 48, 39, 41, 35, 50, 42, 47

Ejercicio 11 (Uso de R)

Determine la mediana para los siguientes conjuntos de datos utilizando R.

x1 = 7, 12, 5, 18, 14, 9, 11
x2 = x + 5
x3 = 2 * x

¿Notas algo en particular?

Ejercicio 12 (Uso de R)

Dado el siguiente conjunto de datos, calcule la mediana y verifique el resultado utilizando R:

x = 3, 7, 2, 8, 4, 6
¿Qué ocurre si se añade el valor 7 al conjunto?

Ejercicio 13 (Uso de R)

Utilice R para calcular la mediana de los datos en la tabla de frecuencias siguiente. Además, compruebe cómo la mediana cambia si se agrega un dato con frecuencia 1.

Valor	Frecuencia
2	5
4	8
6	7
8	4
10	6

Varianza

Ejercicio 1

Calcule la varianza del siguiente conjunto de datos.

2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15
10, 20, 30, 40, 50
6, 6, 6, 6, 6

Ejercicio 2

Calcule la varianza del siguiente conjunto de datos.

15, 22, 24, 18, 30, 25
9, 13, 18, 22, 27, 31
50, 55, 60, 65, 70
7, 5, 8, 6, 9

Ejercicio 3

Considere el siguiente conjunto de datos. Determine la varianza para cada uno de los siguientes casos.

x = 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35
x1 = x - 5
x2 = 2 * x

¿ Notas algo extraño?

Ejercicio 4

Dado el conjunto de datos x = 4, 7, 8, 10, 12, calcule la varianza y compare el resultado con la varianza obtenida para el conjunto y = 2 * x. ¿Cómo afecta la multiplicación por un escalar a la varianza?

Ejercicio 5

Un conjunto de datos tiene la siguiente distribución de frecuencias:

Valor	Frecuencia
1	4
2	5
3	7
4	6
5	3

Calcule la varianza de estos datos.

Ejercicio 6

Dado el conjunto de datos 3, 7, 2, 8, 4, 6, calcule la varianza y luego determine cómo cambia la varianza si se añade el valor 7 al conjunto de datos.

Ejercicio 7

Determine la varianza del siguiente conjunto de datos utilizando la fórmula manualmente:

x = 12, 15, 18, 20, 25

Ejercicio 8

Diga si cada una de las siguientes afirmaciones es falsa o verdadera:

La varianza siempre es un número positivo o cero.
Si se añade un valor muy alto a un conjunto de datos, la varianza aumentará.
La varianza es sensible a los valores extremos (outliers) en un conjunto de datos.
La varianza de un conjunto de datos es igual a la desviación estándar al cuadrado.

Ejercicio 8

Calcule la varianza de los siguientes datos utilizando R.

x=10, 15, 20, 25, 30
x1=100, 225, 400, 625, 900
x2=20, 30, 40, 50, 60
x3=100, 150, 200, 250, 300

¿ Notas alfo extraño?

Ejercicio 9

Considere el siguiente conjunto de datos y calcule la varianza usando R. Luego, calcule la varianza si se añade un valor adicional igual a la media del conjunto.

Datos: 5, 7, 8, 9, 10

Ejercicio 10

Utilice R para calcular la varianza de un conjunto de datos generados aleatoriamente. Genere 100 datos con una distribución normal con media 50 y desviación estándar 10.

Ejercicio 11

Dado el siguiente conjunto de datos con sus frecuencias, calcule la varianza en R:

Valor	Frecuencia
2	4
4	5
6	6
8	3

Ejercicio 12

Calcule la varianza de los datos de la siguiente tabla, utilizando R. La tabla muestra el número de observaciones para cada valor dado.

Valor	Frecuencia
3	7
5	3
7	5
9	2

Ejercicio 13

Utilice R para calcular la varianza de un conjunto de datos generado a partir de una distribución uniforme entre 0 y 20. Genere 50 datos.

Ejercicios de Desviación Estándar

Ejercicios Manuales

Ejercicio 1

Calcule la desviación estándar del siguiente conjunto de datos:
- Datos: 5, 7, 8, 9, 10
Ejercicio 2

Dado el siguiente conjunto de datos, calcule la desviación estándar:
- Datos: 12, 15, 20, 22, 28
Ejercicio 3

Calcule la desviación estándar del conjunto de datos con las siguientes frecuencias:

Valor Frecuencia

3 5

6 8

9 7

12 4
Ejercicio 4

Dado el conjunto de datos: 1, 3, 4, 6, 8, calcule la desviación estándar. Luego, calcule la desviación estándar si se añade un valor igual a la media del conjunto.

Valor	Frecuencia
3	5
6	8
9	7
12	4

Ejercicios en R

Ejercicio 5

Calcule la desviación estándar del siguiente conjunto de datos utilizando R:

   datos <- c(4, 8, 6, 5, 3)

Ejercicio 6

Utilice R para calcular la desviación estándar de un conjunto de datos generado aleatoriamente. Genere 100 datos con una distribución normal con media 50 y desviación estándar 10.

Ejercicio 7 Utilice R para calcular la desviación estándar de los siguientes datos multiplicados por un factor de escala. Primero, calcule la desviación estándar de los datos originales y luego de los datos multiplicados por 5.

datos <- c(10, 15, 20, 25, 30)

de una conclusión.

Ejercicio 8 Genere un conjunto de datos de 50 valores con una distribución uniforme entre 0 y 20 y calcule la desviación estándar utilizando R

Ejercicios de Rango

Ejercicios Manuales

Ejercicio 1

Calcule el rango del siguiente conjunto de datos:
1. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
2. 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0
3. 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20
4. -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0
Ejercicio 2

Calcule el rango de los siguientes conjuntos de datos:
1. 15, 22, 31, 40, 50
2. 8, 6, 4, 2, 0
3. 100, 105, 110, 115, 120
4. -15, -10, -5, 0, 5
Ejercicio 3

Calcule el rango del conjunto de datos con las siguientes frecuencias:

Valor Frecuencia

5 3

10 4

15 2

20 5
Ejercicio 4

Dado el conjunto de datos: 2, 5, 8, 12, 15, calcule el rango. Luego, calcule el rango si se añade un valor igual al valor mínimo del conjunto.

Valor	Frecuencia
5	3
10	4
15	2
20	5

Ejercicios en R

Ejercicio 5

Calcule el rango del siguiente conjunto de datos del punto 1 utilizando R.

Utilice R para calcular el rango de un conjunto de datos generado aleatoriamente. Genere 50 datos con una distribución uniforme entre 0 y 100.
Utilice R para calcular el rango de los datos del punto 2 multiplicados por un factor de escala. Primero, calcule el rango de los datos originales y luego de los datos multiplicados por 10.

Medidas de Dispersión

Las medidas de dispersión son fundamentales para comprender la variabilidad en un conjunto de datos numéricos. Estas medidas complementan las medidas de tendencia central al describir cuán dispersos o concentrados están los datos alrededor de un valor central, típicamente la media \(\bar{x}\). A continuación, se presentan las principales medidas de dispersión junto con sus propiedades y ejemplos ilustrativos.

Varianza (\(\sigma^2\))

Definición: La varianza mide la dispersión de los datos respecto a la media, calculando el promedio de las diferencias al cuadrado entre cada valor y la media. Al elevar las diferencias al cuadrado, se da mayor peso a las desviaciones grandes.

\[ \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \]

Propiedades:

La varianza siempre es mayor o igual a cero (\(\sigma^2 \geq 0\)).
- Ejemplo: En un conjunto de datos \([3, 3, 3, 3]\), la varianza es cero porque no hay dispersión. La media \(\bar{x} = 3\), por lo que cada \((x_i - \bar{x})^2 = (3-3)^2 = 0\). Por lo tanto, \(\sigma^2 = \frac{1}{4}(0 + 0 + 0 + 0) = 0\).

Código en R:

     datos <- c(3, 3, 3, 3)
     varianza <- var(datos)
     print(varianza)

## [1] 0

 **Explicación**: En este código, `var(datos)` calcula la varianza del conjunto de datos `datos`. La función `var()` en R devuelve la varianza muestral, que en este caso es 0 ya que todos los valores son iguales.

Es sensible a los valores atípicos debido al cuadrado de las desviaciones.
- Ejemplo: En el conjunto \([10, 12, 14, 100]\), la media \(\bar{x} = 34\). Las diferencias al cuadrado son: \[ (10-34)^2 = 576, \quad (12-34)^2 = 484, \quad (14-34)^2 = 400, \quad (100-34)^2 = 4356 \] La varianza es: \[ \sigma^2 = \frac{1}{4}(576 + 484 + 400 + 4356) = \frac{5816}{4} = 1454 \]

Código en R:

     datos <- c(10, 12, 14, 100)
     varianza <- var(datos)
     print(varianza)

## [1] 1938.667

 **Explicación**: Aquí, `var(datos)` calcula la varianza del conjunto `datos`. La función `var()` devuelve 1454, que es la varianza calculada.

Si todos los datos son iguales, la varianza es cero.
- Ejemplo: Para el conjunto \([7, 7, 7, 7]\), la varianza es cero, ya que no hay dispersión respecto a la media. Como \(\bar{x} = 7\), todas las diferencias son \((7-7)^2 = 0\), resultando en \(\sigma^2 = 0\).

Código en R:

     datos <- c(7, 7, 7, 7)
     varianza <- var(datos)
     print(varianza)

## [1] 0

 **Explicación**: `var(datos)` devuelve la varianza del conjunto `datos`, que es 0 porque todos los valores son iguales.

Ejemplos:

Ejemplo 1: Un conjunto de datos \([2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9]\) tiene una media \(\bar{x} = 5\). Las diferencias al cuadrado son: \[ (2-5)^2 = 9, \quad (4-5)^2 = 1, \quad (4-5)^2 = 1, \quad (4-5)^2 = 1, \quad (5-5)^2 = 0, \quad (5-5)^2 = 0, \quad (7-5)^2 = 4, \quad (9-5)^2 = 16 \] La varianza es: \[ \sigma^2 = \frac{1}{8}(9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16) = \frac{32}{8} = 4 \]

datos <- c(2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9)
   varianza <- var(datos)
   print(varianza)

## [1] 4.571429

Ejemplo 2: Para un conjunto \([10, 10, 10, 10]\), la varianza es cero, ya que no hay dispersión respecto a la media. Todas las diferencias son \((10-10)^2 = 0\).

datos <- c(10, 10, 10, 10)
varianza <- var(datos)
print(varianza)

## [1] 0

Desviación Estándar (\(\sigma\))

Definición: La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, proporcionando una medida de dispersión en las mismas unidades que los datos originales.

\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]

Propiedades:

Al igual que la varianza, la desviación estándar es mayor o igual a cero (\(\sigma \geq 0\)).
- Ejemplo: En el conjunto \([15, 15, 15]\), la desviación estándar es cero, ya que no hay variabilidad. Dado que \(\sigma^2 = 0\), \(\sigma = \sqrt{0} = 0\).

datos <- c(15, 15, 15)
desviacion_estandar <- sd(datos)
print(desviacion_estandar)

## [1] 0

Explicación: El código usa sd(datos) para calcular la desviación estándar del conjunto datos, que es 0 porque todos los valores son iguales.

Es más interpretable que la varianza, ya que está en las mismas unidades que los datos.
- Ejemplo: Si se miden alturas en centímetros, una desviación estándar de 5 cm es más intuitiva que una varianza de 25 cm².

datos <- c(150, 175, 151, 185, 210)
desviacion_estandar <- sd(datos)
print(desviacion_estandar)

## [1] 25.11374

Explicación: sd(datos) calcula la desviación estándar del conjunto datos, mostrando un valor en las mismas unidades que los datos.

La desviación estándar es más útil cuando se comparan dos conjuntos de datos diferentes.
- Ejemplo: Comparando dos conjuntos de datos, \([8, 9, 10, 11, 12]\) con desviación estándar \(\sigma = 1.58\) y \([2, 6, 6, 6, 10]\) con \(\sigma = 2.83\), se puede observar que el segundo conjunto tiene más dispersión.

datos1 <- c(8, 9, 10, 11, 12)
desviacion_estandar1 <- sd(datos1)
print(desviacion_estandar1)

## [1] 1.581139

datos2 <- c(2, 6, 6, 6, 10)
desviacion_estandar2 <- sd(datos2)
print(desviacion_estandar2)

## [1] 2.828427

Explicación: sd(datos1) y sd(datos2) calculan la desviación estándar para los dos conjuntos de datos, mostrando que el segundo conjunto tiene mayor dispersión. Ejemplos:

Ejemplo 1: Continuando con el conjunto \([2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9]\), la varianza es \(\sigma^2 = 4\), por lo que la desviación estándar es: \[ \sigma = \sqrt{4} = 2 \]

datos <- c(2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9)
desviacion_estandar <- sd(datos)
print(desviacion_estandar)

## [1] 2.13809

Explicación: sd(datos) calcula la desviación estándar como 2, que es la raíz cuadrada de la varianza.

Ejemplo 2: Para un conjunto de datos más disperso \([1, 10, 10, 19]\), con una media \(\bar{x} = 10\), calculamos las diferencias al cuadrado: \[ (1-10)^2 = 81, \quad (10-10)^2 = 0, \quad (10-10)^2 = 0, \quad (19-10)^2 = 81 \] La varianza es: \[ \sigma^2 = \frac{1}{4}(81 + 0 + 0 + 81) = \frac{162}{4} = 40.5 \] La desviación estándar es: \[ \sigma = \sqrt{40.5} \approx 6.36 \]

datos <- c(10, 10, 10, 10)
desviacion_estandar <- sd(datos)
print(desviacion_estandar)

## [1] 0

Explicación: La desviación estándar calculada con sd(datos) es 0, reflejando la falta de dispersión en los datos.

Desviación Media

Definición: La desviación media es el promedio de las desviaciones absolutas de cada valor con respecto a la media. Es una medida menos común pero útil en ciertas aplicaciones.

\[ \text{Desviación Media} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}| \]

Propiedades:

La desviación media es siempre mayor o igual a cero.
- Ejemplo: Para el conjunto \([4, 4, 4, 4]\), la desviación media es cero porque no hay variabilidad. Dado que \(\bar{x} = 4\), todas las desviaciones absolutas son \(|4-4| = 0\).

datos <- c(4, 5, 6, 7)
media <- mean(datos)
desviacion_media <- mean(abs(datos - media))
print(desviacion_media)

## [1] 1

Explicación: mean(datos - media) calcula las diferencias absolutas respecto a la media, y mean(abs(...)) toma el promedio de estas diferencias.

No es tan sensible a valores atípicos como la varianza y la desviación estándar.
- Ejemplo: Comparando \([10, 12, 14, 100]\) y \([10, 12, 14, 16]\), la desviación media del primer conjunto es menos afectada por el 100 que la varianza o desviación estándar. Para el primer conjunto: \[ \bar{x} = 34, \quad \text{Desviaciones absolutas: } |10-34| = 24, \quad |12-34| = 22, \quad |14-34| = 20, \quad |100-34| = 66 \] Desviación media: \[ \text{Desviación Media} = \frac{24 + 22 + 20 + 66}{4} = \frac{132}{4} = 33 \]

datos <- c(10, 10, 10, 100)
media <- mean(datos)
desviacion_media <- mean(abs(datos - media))
print(desviacion_media)

## [1] 33.75

Explicación: Similar al cálculo anterior, se usa mean(abs(datos - media)) para calcular la desviación media del conjunto.

Puede ser menos precisa para distribuciones que no son simétricas.
- Ejemplo: En un conjunto asimétrico como \([1, 2, 2, 3, 100]\), la desviación media es: \[ \bar{x} = 21.6, \quad \text{Desviaciones absolutas: } |1-21.6| = 20.6, \quad |2-21.6| = 19.6, \quad |2-21.6| = 19.6, \quad |3-21.6| = 18.6, \quad |100-21.6| = 78.4 \] Desviación media: \[ \text{Desviación Media} = \frac{20.6 + 19.6 + 19.6 + 18.6 + 78.4}{5} = \frac{156.8}{5} = 31.36 \]

datos <- c(1, 2, 3, 4, 5)
media <- mean(datos)
desviacion_media <- mean(abs(datos - media))
print(desviacion_media)

## [1] 1.2

Medidas de Posición

Las medidas de posición son herramientas fundamentales en estadística descriptiva que permiten identificar la ubicación de un dato dentro de un conjunto de datos ordenados. Estas medidas dividen los datos en partes iguales y proporcionan información sobre cómo se distribuyen los datos en una muestra o población.

Principales Medidas de Posición

Percentiles

Los percentiles dividen un conjunto de datos ordenados en 100 partes iguales. Cada percentil indica el valor debajo del cual se encuentra un cierto porcentaje de observaciones. Por ejemplo, el percentil 25 (P25) es el valor debajo del cual se encuentra el 25% de los datos. El percentil 50 corresponde a la mediana, que divide los datos en dos partes iguales.

Deciles

Los deciles dividen los datos en 10 partes iguales, por lo que cada decil representa un 10% de la distribución de los datos. Por ejemplo, el primer decil (D1) indica el valor debajo del cual se encuentra el 10% de los datos, mientras que el noveno decil (D9) indica el valor debajo del cual se encuentra el 90% de los datos.

Cuartiles

Los cuartiles son una medida más común, que divide el conjunto de datos en cuatro partes iguales:

Q1 (Primer Cuartil): Corresponde al percentil 25, es decir, el valor por debajo del cual se encuentra el 25% de los datos.
Q2 (Mediana o Segundo Cuartil): Corresponde al percentil 50, es decir, el valor por debajo del cual se encuentra el 50% de los datos.
Q3 (Tercer Cuartil): Corresponde al percentil 75, es decir, el valor por debajo del cual se encuentra el 75% de los datos.

Cálculo de Medidas de Posición

Para calcular estas medidas, se sigue un procedimiento similar: primero se ordenan los datos, luego se utiliza una fórmula para encontrar la posición del percentil, decil o cuartil deseado. Por ejemplo, para calcular un percentil \(P_k\), se usa la fórmula:

\[ P_k = \left(\frac{k}{100}\right) \times (n + 1) \]

donde \(k\) es el percentil que se desea calcular y \(n\) es el número total de datos. Una vez identificada la posición, se interpola o se toma el valor correspondiente en el conjunto de datos ordenados.

Interpretación y Usos de las Medidas de Posición

Las medidas de posición son útiles para:

Comparar valores específicos con el resto de la distribución: Por ejemplo, un estudiante puede querer saber si su puntuación está por encima del percentil 75 en un examen, lo que indicaría que su rendimiento es mejor que el de la mayoría de sus compañeros.
Detectar sesgos en la distribución de los datos: Si los cuartiles muestran que la mayoría de los datos están concentrados en un extremo de la distribución, esto puede indicar un sesgo.
Tomar decisiones basadas en la posición relativa de los datos: Por ejemplo, en economía, los deciles de ingreso se utilizan para analizar la distribución de la riqueza en una población.

Ejemplo Práctico

Consideremos el siguiente conjunto de datos que representa las puntuaciones de un examen:

60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100

Los cuartiles serían:

Q1 (Primer Cuartil): 70 (25% de los estudiantes obtuvieron menos de 70).
Q2 (Mediana o Segundo Cuartil): 80 (50% de los estudiantes obtuvieron menos de 80).
Q3 (Tercer Cuartil): 90 (75% de los estudiantes obtuvieron menos de 90).

# Datos
puntuaciones <- c(60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100)

# Cuartiles
cuartiles <- quantile(puntuaciones, probs = c(0.25, 0.5, 0.75))

# Mostrar resultados
cuartiles

## 25% 50% 75% 
##  70  80  90

Ejercicios

Calcular los cuartiles para un conjunto de datos: Ordena el siguiente conjunto de datos 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100 y calcula Q1, Q2, y Q3.

# Datos
datos <- c(50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100)

# Cuartiles
cuartiles <- quantile(datos, probs = c(0.25, 0.5, 0.75))

# Mostrar resultados
cuartiles

##  25%  50%  75% 
## 62.5 75.0 87.5

Encontrar el percentil 90 de una muestra: Utiliza la fórmula de percentiles y determina el valor que corresponde al percentil 90.

Dado el mismo conjunto de datos 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, calculemos el percentil 90.

# Datos
datos <- c(50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100)

# Percentil 90
percentil_90 <- quantile(datos, probs = 0.9)

# Mostrar resultado
percentil_90

## 90% 
##  95

Boxplot (Gráfico de Caja y Bigotes)

El boxplot o gráfico de caja y bigotes es una herramienta visual que resume y describe la distribución de un conjunto de datos a través de sus principales medidas de tendencia central y dispersión. Es especialmente útil para identificar la forma de la distribución, la presencia de valores atípicos, y la simetría o asimetría de los datos.

Componentes de un Boxplot

Un boxplot está compuesto por los siguientes elementos:

Caja: La caja central representa el rango intercuartílico (IQR), que abarca el 50% de los datos. Los bordes de la caja están definidos por el primer cuartil (Q1) y el tercer cuartil (Q3).
Línea dentro de la caja: La línea horizontal dentro de la caja indica la mediana (Q2), que es el valor que divide la mitad inferior de la mitad superior de los datos.
Bigotes: Los “bigotes” se extienden desde los bordes de la caja hasta los valores mínimos y máximos que no se consideran atípicos. La longitud de los bigotes varía, pero generalmente cubren los valores que se encuentran dentro de 1.5 veces el IQR desde Q1 y Q3.
Valores atípicos: Los puntos que se encuentran fuera de los bigotes se consideran valores atípicos o outliers. Estos valores se muestran como puntos individuales en el gráfico.

Interpretación de un Boxplot

El boxplot permite hacer varias observaciones clave sobre la distribución de los datos:

Simetría y asimetría: Si la mediana está en el centro de la caja y los bigotes son de longitud similar, la distribución es aproximadamente simétrica. Si la mediana está más cerca de Q1 o Q3, o si uno de los bigotes es mucho más largo que el otro, la distribución es asimétrica.
Valores atípicos: Los valores atípicos son puntos que se encuentran fuera de los bigotes. La presencia de valores atípicos puede indicar variabilidad inusual en los datos o errores de medición.
Concentración de datos: La densidad de los datos en diferentes partes de la distribución se puede inferir de la longitud de la caja y los bigotes. Por ejemplo, una caja estrecha indica que la mitad de los datos está concentrada en un rango estrecho, mientras que bigotes largos sugieren que hay más dispersión.

Ejemplo de Boxplot en R

Supongamos que tienes un conjunto de datos que representa las puntuaciones de un examen:

# Datos
puntuaciones <- c(60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100)

# Crear un boxplot
boxplot(puntuaciones, main = "Gráfico de Caja de las Puntuaciones",
        ylab = "Puntuaciones",
        col = "lightblue")

En este gráfico:

La caja muestra el rango entre el primer cuartil (Q1) y el tercer cuartil (Q3).
La línea dentro de la caja representa la mediana (Q2).
Los bigotes se extienden hasta el valor mínimo y máximo dentro de 1.5 veces el IQR desde los cuartiles.
Cualquier punto fuera de estos bigotes se identificaría como un valor atípico.

Ejercicios

Explique la diferencia entre:
1. Un cuantil y un cuartil.
2. Un cuantil y un percentil.
Calcule el cuantil al 25 %, al 50 % y al 75 % del siguiente conjunto de datos:
1. -1, 0, 1
2. 1, 2, 2, 2, 2, 3
3. -1, 5, 0, 3, 3, 2, 1, 0
4. 2.5, 3.2, 2.7, 2.0, 3.4, 3.7, 5.2, 2.0, 2.5, 4.0, 2.3
5. 20, 32, 25, 27, 30, 28, 31, 20, 30
Dado el siguiente conjunto de datos, construya un boxplot y determine si hay valores atípicos:
1. 12, 15, 14, 10, 18, 17, 14, 16, 19, 20
2. 50, 55, 52, 60, 58, 57, 62, 65, 70, 72, 75
Compare dos conjuntos de datos utilizando boxplots. Identifique las diferencias en la mediana, el rango intercuartílico y la presencia de valores atípicos:
1. Conjunto A: 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28
2. Conjunto B: 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23

Medidas de Forma: Coeficiente de Asimetría y Curtosis

Las medidas de forma permiten entender la distribución de los datos más allá de las medidas de tendencia central y dispersión. Dos medidas importantes de forma son el coeficiente de asimetría y la curtosis. Estas medidas proporcionan información sobre la simetría y la forma de la distribución de los datos.

Coeficiente de Asimetría

El coeficiente de asimetría (o asimetría) cuantifica la falta de simetría en la distribución de un conjunto de datos. Indica si los datos están sesgados hacia la derecha o hacia la izquierda en relación con la media.

Cálculo del Coeficiente de Asimetría

El coeficiente de asimetría se calcula usando la fórmula:

\[ \text{Asimetría} = \frac{n}{(n-1)(n-2)} \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{X_i - \bar{X}}{s}\right)^3 \]

Donde: - \(X_i\) son los valores individuales del conjunto de datos. - \(\bar{X}\) es la media del conjunto de datos. - \(s\) es la desviación estándar del conjunto de datos. - \(n\) es el tamaño de la muestra.

Interpretación del Coeficiente de Asimetría

Asimetría Positiva (Derecha): Si el coeficiente es mayor que 0, la distribución tiene una cola más larga a la derecha. Esto indica que la mayoría de los datos están agrupados a la izquierda de la media, con algunos valores extremos a la derecha.
Asimetría Negativa (Izquierda): Si el coeficiente es menor que 0, la distribución tiene una cola más larga a la izquierda. Esto sugiere que la mayoría de los datos están agrupados a la derecha de la media, con algunos valores extremos a la izquierda.
Distribución Simétrica: Si el coeficiente es cercano a 0, la distribución es aproximadamente simétrica alrededor de la media.

Curtosis

La curtosis mide la “apuntalamiento” o la concentración de los datos en torno a la media. Indica cuán pesadas o ligeras son las colas de la distribución comparadas con una distribución normal.

Cálculo de la Curtosis

La fórmula para calcular la curtosis es:

\[ \text{Curtosis} = \frac{n(n+1)}{(n-1)(n-2)(n-3)} \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{X_i - \bar{X}}{s}\right)^4 - \frac{3(n-1)^2}{(n-2)(n-3)} \]

Tipos de Curtosis

Curtosis Positiva (Leptocúrtica): Si la curtosis es mayor que 0, la distribución tiene colas más largas y estrechas que una distribución normal. Esto indica una mayor probabilidad de valores extremos y una mayor concentración de datos cerca de la media.
Curtosis Negativa (Platicúrtica): Si la curtosis es menor que 0, la distribución tiene colas más cortas y anchas. Esto indica una menor probabilidad de valores extremos y una distribución de datos más dispersa alrededor de la media.
Curtosis Normal (Mesocúrtica): Si la curtosis es aproximadamente 0, la distribución tiene colas de longitud similar a una distribución normal, indicando una forma de distribución “normal”.

Ejemplo en R

Para calcular el coeficiente de asimetría y la curtosis en R, puedes utilizar el siguiente código:

# Instalar el paquete 'moments' si no está instalado
# install.packages("moments")

# Cargar el paquete
library(moments)

# Datos de ejemplo
datos <- c(3, 7, 8, 5, 12, 14, 21, 13, 18, 20, 22, 24, 25, 30, 31)

# Calcular el coeficiente de asimetría
asimetria <- skewness(datos)
print(paste("Coeficiente de asimetría:", asimetria))

## [1] "Coeficiente de asimetría: 0.003815560401266"

# Calcular la curtosis
curtosis <- kurtosis(datos)
print(paste("Curtosis:", curtosis))

## [1] "Curtosis: 1.87298055267315"

# Gráfico del histograma con una curva de densidad
ggplot(data.frame(datos), aes(x = datos)) +
  geom_histogram(aes(y = ..density..), binwidth = 2, fill = "lightblue", color = "black") +
  geom_density(alpha = 0.2, fill = "blue") +
  labs(title = "Histograma con Curva de Densidad",
       x = "Datos",
       y = "Densidad") +
  theme_minimal()

# Gráfico de la densidad
ggplot(data.frame(datos), aes(x = datos)) +
  geom_density(fill = "lightblue", color = "blue") +
  labs(title = "Curva de Densidad",
       x = "Datos",
       y = "Densidad") +
  theme_minimal()

Ejercicios sobre Medidas de Forma: Asimetría y Curtosis

Ejercicio 1: Análisis de Asimetría y Curtosis

Dado el siguiente conjunto de datos:

\[ \{5, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20\} \]

Calcula el coeficiente de asimetría del conjunto de datos.
Calcula la curtosis del conjunto de datos.
Clasifica la distribución según los resultados obtenidos:
- Asimetría Positiva: Si el coeficiente es mayor que 0.
- Asimetría Negativa: Si el coeficiente es menor que 0.
- Curtosis Positiva: Si la curtosis es mayor que 0.
- Curtosis Negativa: Si la curtosis es menor que 0.
- Curtosis Cero o Cercana a Cero: Si la curtosis está cerca de 0.

Ejercicio 2: Comparación de Distribuciones

Considera los siguientes conjuntos de datos:

\[ \{1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6\} \]
\[ \{2, 3, 5, 8, 12, 15, 20, 25, 30, 35, 40\} \]
Calcula el coeficiente de asimetría y la curtosis para cada conjunto de datos.
Compara las distribuciones y clasifica cada una según:
- Asimetría Positiva: Distribución con cola más larga a la derecha.
- Asimetría Negativa: Distribución con cola más larga a la izquierda.
- Curtosis Positiva: Distribución con colas más largas y estrechas.
- Curtosis Negativa: Distribución con colas más cortas y anchas.

Ejercicio 3: Distribución con Datos Reales

Utiliza el siguiente conjunto de datos:

\[ \{45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100\} \]

Calcula el coeficiente de asimetría y la curtosis del conjunto de datos.
Interpreta los resultados y clasifica la distribución según:
- Asimetría Positiva: Si los datos tienen una cola más larga a la derecha.
- Asimetría Negativa: Si los datos tienen una cola más larga a la izquierda.
- Curtosis Positiva: Si los datos tienen colas más largas y estrechas en comparación con una distribución normal.
- Curtosis Negativa: Si los datos tienen colas más cortas y anchas.

Descripción Gráfica de Datos en R

Introducción a la Descripción Gráfica de Datos

La visualización de datos es una parte fundamental de la estadística descriptiva. Los gráficos permiten identificar patrones, tendencias y anomalías en los datos, y son una herramienta poderosa para comunicar resultados de manera efectiva. En esta sección, aprenderemos a crear gráficos básicos en R para describir diferentes tipos de datos.

Gráficos para Variables Categóricas

Gráfico de Barras (`barplot()`)

Un gráfico de barras es ideal para representar la frecuencia de categorías en una variable cualitativa. Cada barra en el gráfico representa una categoría, y la altura de la barra indica la frecuencia o proporción.

Ejemplo en R:

# Datos categóricos
categorias <- c("A", "B", "C", "D")
frecuencias <- c(10, 20, 15, 5)

# Crear gráfico de barras
barplot(frecuencias, names.arg=categorias, col="skyblue", main="Gráfico de Barras", ylab="Frecuencia")

Este código genera un gráfico de barras donde las categorías están representadas en el eje \(x\), y las frecuencias en el eje \(y\).

Gráfico de Sectores (`pie()`)

El gráfico de sectores es útil para mostrar proporciones relativas de un conjunto de categorías.

Ejemplo en R:

# Crear gráfico de sectores
pie(frecuencias, labels=categorias, col=rainbow(length(categorias)), main="Gráfico de Sectores")

Este gráfico muestra la proporción de cada categoría respecto al total.

Gráficos para Variables Cuantitativas

Histograma (`hist()`)

El histograma es una herramienta útil para visualizar la distribución de una variable cuantitativa. Agrupa los datos en intervalos (bins) y muestra la frecuencia de los datos en cada intervalo.

Ejemplo en R:

# Datos cuantitativos
datos <- rnorm(100, mean=50, sd=10)

# Crear histograma
hist(datos, col="lightgreen", main="Histograma de Datos", xlab="Valor", ylab="Frecuencia", breaks=10)

Este código genera un histograma que muestra cómo se distribuyen los datos alrededor de la media.

Diagrama de Caja (‘boxplot()’)

El diagrama de caja es útil para resumir la distribución de datos, mostrando la mediana, cuartiles, y posibles valores atípicos.

Ejemplo en R:

# Crear diagrama de caja
boxplot(datos, col="orange", main="Diagrama de Caja", ylab="Valor")

Este diagrama muestra la mediana (línea central), el rango intercuartílico (la caja), y cualquier valor atípico (puntos fuera de los bigotes).

Gráfico de Dispersión (`plot()`)

Un gráfico de dispersión se utiliza para visualizar la relación entre dos variables cuantitativas.

Ejemplo en R:

# Crear datos
x <- rnorm(100)
y <- 2*x + rnorm(100)

# Crear gráfico de dispersión
plot(x, y, col="blue", main="Gráfico de Dispersión", xlab="X", ylab="Y", pch=19)

Este gráfico muestra cómo se relacionan las variables x e y, donde cada punto representa un par de valores.

Comparación de Distribuciones

Histogramas Superpuestos

Para comparar distribuciones entre dos grupos, podemos superponer dos histogramas.

Ejemplo en R:

# Datos de dos grupos
grupo1 <- rnorm(100, mean=50, sd=10)
grupo2 <- rnorm(100, mean=60, sd=15)

# Crear histogramas superpuestos
hist(grupo1, col=rgb(1,0,0,0.5), xlim=c(20, 100), ylim=c(0, 30), breaks=15, main="Histogramas Superpuestos")
hist(grupo2, col=rgb(0,0,1,0.5), add=TRUE, breaks=15)
legend("topright", legend=c("Grupo 1", "Grupo 2"), fill=c(rgb(1,0,0,0.5), rgb(0,0,1,0.5)))

En este gráfico, los histogramas de dos grupos se superponen, permitiendo una comparación directa de sus distribuciones.

Diagramas de Caja Comparativos

Para comparar la distribución de una variable entre varios grupos, los diagramas de caja son muy útiles.

Ejemplo en R:

# Crear datos para varios grupos
grupoA <- rnorm(100, mean=50, sd=10)
grupoB <- rnorm(100, mean=55, sd=15)
grupoC <- rnorm(100, mean=60, sd=20)

# Crear diagramas de caja comparativos
boxplot(grupoA, grupoB, grupoC, col=c("red", "green", "blue"), names=c("Grupo A", "Grupo B", "Grupo C"), main="Diagramas de Caja Comparativos")

Este gráfico permite comparar la mediana, la dispersión y los valores atípicos de los tres grupos.

Gráficos para Datos Temporales

Gráfico de Líneas (`plot()` con `type="l"`)

Los gráficos de líneas son ideales para mostrar cómo una variable cambia con el tiempo.

Ejemplo en R:

# Crear datos de serie temporal
tiempo <- 1:100
valores <- cumsum(rnorm(100))

# Crear gráfico de líneas
plot(tiempo, valores, type="l", col="darkgreen", main="Gráfico de Líneas", xlab="Tiempo", ylab="Valor")

Este gráfico de líneas muestra la tendencia de los valores a lo largo del tiempo.

Ejercicios de Gráficos en R

Ejercicio 1: Gráfico de Barras

Un pequeño negocio registra las ventas diarias de cuatro productos diferentes durante una semana. Los productos son A, B, C, y D, y las ventas (en unidades) fueron 35, 50, 25, y 40 respectivamente.

Ejercicio 2: Histograma

Se registra la altura (en centímetros) de 100 estudiantes de una universidad. Los datos se distribuyen normalmente con una media de 170 cm y una desviación estándar de 10 cm.

Ejercicio 3: Gráfico de Dispersión

Una tienda registra las horas trabajadas y las ventas realizadas por sus empleados durante una semana. Los datos son:

Horas trabajadas: c(40, 35, 30, 25, 20)
Ventas (en dólares): c(500, 450, 300, 250, 200)

Ejercicio 4: Diagrama de Caja

Se tienen las calificaciones finales de los estudiantes en tres cursos diferentes. Los datos son:

Curso A: c(80, 85, 88, 90, 75, 95, 89)
Curso B: c(70, 78, 82, 85, 80, 77, 85)
Curso C: c(60, 65, 70, 72, 68, 75, 70)

Ejercicio 5: Gráfico de Líneas

Se registran las temperaturas diarias (en grados Celsius) durante 10 días consecutivos. Los datos son: c(20, 22, 23, 25, 24, 26, 27, 25, 24, 23).

Introducción a `ggplot2` en R

ggplot2 es uno de los paquetes más populares y poderosos en R para la creación de gráficos. Es parte del universo tidyverse, una colección de paquetes diseñados para la manipulación y visualización de datos. ggplot2 se destaca por su enfoque en la gramática de los gráficos, lo que permite construir gráficos complejos de manera intuitiva y flexible.

¿Qué es la gramática de los gráficos?

La gramática de los gráficos, en la que se basa ggplot2, es un sistema que describe y organiza los componentes de un gráfico de manera estructurada. Estos componentes incluyen:

Datos (data): El conjunto de datos que quieres visualizar.
Mapeo Estético (aes): La relación entre las variables de los datos y los aspectos visuales del gráfico, como la posición, el color, el tamaño, etc.
Geometría (geom): El tipo de gráfico que quieres crear (puntos, líneas, barras, etc.).
Facetas (facet): La capacidad de dividir el gráfico en subgráficos según una variable.
Temas (theme): Elementos de diseño como el fondo, las etiquetas y la leyenda.
Capas: Los gráficos en ggplot2 se construyen capa por capa, lo que permite agregar y combinar diferentes tipos de visualizaciones en un solo gráfico.

Ventajas de `ggplot2`

Flexibilidad: Permite crear gráficos simples y complejos de manera sistemática.
Consistencia: Al seguir una gramática, los gráficos son fáciles de personalizar y extender.
Estética: Los gráficos creados con ggplot2 son visualmente atractivos y fáciles de interpretar.
Facilidad de uso: Aunque la curva de aprendizaje puede ser algo empinada al principio, ggplot2 se vuelve muy eficiente una vez que entiendes sus principios básicos.

Ejemplo Básico

Para ilustrar cómo funciona ggplot2, veamos un ejemplo simple de un gráfico de dispersión:

# Cargar el paquete ggplot2
library(ggplot2)

# Crear un conjunto de datos
data <- data.frame(
  x = rnorm(100),
  y = rnorm(100)
)

# Crear un gráfico de dispersión
ggplot(data, aes(x = x, y = y)) +
  geom_point() +
  labs(title = "Gráfico de Dispersión",
       x = "Variable X",
       y = "Variable Y")

Desglose del código:

ggplot(data, aes(x = x, y = y)): Especifica los datos y el mapeo estético (qué variables se muestran en los ejes).

geom_point(): Añade una capa de puntos, creando un gráfico de dispersión.

labs(title = "Gráfico de Dispersión", x = "Variable X", y = "Variable Y"): Añade títulos y etiquetas a los ejes.

Ejemplo con Facetas

Supongamos que quieres crear subgráficos para diferentes grupos dentro de tu conjunto de datos. Puedes hacerlo fácilmente con la función facet_wrap().

# Añadir una variable categórica
data$group <- rep(c("A", "B"), each = 50)

# Crear un gráfico de dispersión con facetas
ggplot(data, aes(x = x, y = y)) +
  geom_point() +
  facet_wrap(~ group) +
  labs(title = "Gráfico de Dispersión con Facetas",
       x = "Variable X",
       y = "Variable Y")

Ejercicios para Practicar

Ejercicio 1: Gráfico de Barras

Ejercicio 2: Boxplot

Se tienen las calificaciones finales de los estudiantes en tres cursos diferentes. Los datos son:

Curso A:c(80, 85, 88, 90, 75, 95, 89)

Curso B: c(70, 78, 82, 85, 80, 77, 85)

Curso C: c(60, 65, 70, 72, 68, 75, 70)

Genera un boxplot que compare las calificaciones entre los diferentes cursos.

Estadística Descriptiva

Luis Alejandro Ferro Alfonso

Conceptos Elementales

Población y Muestra

Variables y Datos

Clasificación de Variables

Explicación del Código

Escalas de Medición

Agrupamiento de Valores

Sobre los Datos

Explicación del Código

Resultados Esperados

¿Qué es la Estadística Descriptiva?

Ejercicio 1: Población y Muestra

Ejercicio 2: Clasificación de Variables

Ejercicio 3: Escalas de Medición

Ejercicio 4: Clasificación de Variables en R

Instrucción para el Estudiante

Ejemplo:

Descripciones Numéricas

Medidas de Centralización

Media

Definición Formal

Propiedades

Ejemplo

Ejemplos en R: Media

Explicación del Código

Moda

Definición Formal

Propiedades

Ejemplo

Explicación del Código

Mediana

Definición Formal

Propiedades

Ejemplo

Explicación del Código

Medidas de dispersión

Varianza

Ejemplo: Cálculo Manual de la Varianza

Resultado

Ejemplo: Cálculo de la Varianza en R

Explicación del Código

Desviación estándar

Resultado

Ejemplo: Cálculo de la Desviación Estándar en R

Explicación del Código

Rango

Ejemplo Manual: Cálculo del Rango

Resultado

Explicación del Código

Ejercicios

Media

Calcule la media del siguiente conjunto de datos.

Calcule la media del siguiente conjunto de datos.

Ejercicios con Uso de R

Moda

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicios con R

Mediana

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Ejercicio 5

Ejercicio 6

Ejercicio 7

Ejercicio 8

Ejercicio 9

Ejercicio 10 (Uso de R)

Ejercicio 11 (Uso de R)

Ejercicio 12 (Uso de R)

Ejercicio 13 (Uso de R)

Varianza

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Gráfico de Barras (`barplot()`)

Gráfico de Sectores (`pie()`)

Histograma (`hist()`)

Gráfico de Dispersión (`plot()`)

Gráfico de Líneas (`plot()` con `type="l"`)