Econometria da Raiz Unitária e o Teste de Dickey-Fuller:
1. Introdução
A natureza da tendência de uma série – determinista ou estocástica – é investigada com interesse, pois dela depende a eficácia das políticas macroeconômicas anticíclicas. A macroeconomia tradicional considera que as flutuações no nível de produção agregada são temporárias em torno de uma tendência determinista. Os integrantes da chamada econometria da Raiz Unitária defendem a idéia de que as séries econômicas são melhores caracterizadas por um processo na qual as flutuações estacionárias se dão em torno de uma tendência estocástica, ao invés de uma tendência determinista.
Em geral, considera-se que as inovações nas séries são geradas pela combinação de dois tipos de choques: um com efeito permanente (choque na tendência estocástica) e outra com efeito temporário (choque no componente estacionário). Se uma inovação for permanente, não poderá ser aceita a hipótese de independência entre tendência e ciclos, e as políticas econômicas de curto e longo prazo estarão interligadas.
Em outras palavras, se a tendência for estocástica, a elaboração de políticas econômicas deverá ser feita com ressalvas, pois os efeitos poderão ser adversos. A avaliação desses efeitos tem sido feita através da aplicação dos testes convencionais de raiz unitária, representados, em sua grande maioria, pelos testes de Dickey-Fuller. Se a série econômica apresentar um componente de tendência estocástica, então ela terá pelo menos uma raiz unitária, ou seja, se tornará estacionária após a aplicação de uma ou mais diferenças. O que se discute, é se a estocasticidade ou não de uma tendência resulta, num primeiro momento, na existência ou não de Raiz Unitária nas séries econômicas.
2. Precedentes de Testes de Séries Estacionárias
A condição de estacionariedade é normalmente verificada em estudos empíricos através da função de autocorrelação amostral, a qual é dada pela seguinte fórmula:
A regra de decisão comumente utilizada para verificar se uma série temporal é ou não estacionária é a seguinte:
calcula-se os valores de rk para k defasagens;
projeta-se em um gráfico os valores de \(r_k\) para cada \(k\) (correlograma amostral);
se os valores de \(r_k\) caírem abruptamente na medida em que aumentam as defasagens, diz-se que a série é estacionária. Caso contrário, se os valores da função de autocorrelação caírem lentamente à medida que aumentam as defasagens, diz-se que o processo é não estacionário.
Aplicar a estatística de Q de Box-Pierce (1970) e Q de Ljung-Box (1978) conhecida como o teste de \(Q_{LBP}\) para verificar a significância estatística de cada \(r_k\).
Se uma série apresentar raiz unitária, qualquer choque gera um efeito permanente e, flutuações não seriam transitórias em torno de uma tendência. Entretanto, a tendência pode ser dividida entre duas características:
Tendência Estocástica (Passeio Aleatório): A diferenciação da série deve ser feita para lidar com a falta de “constância” da média;
Tendência Determinista (Trend Stationary): uso de uma variável de tendência (t) que representa a evolução da série no tempo.
As figuras abaixo mostram as funções de autocorrelação para duas séries geradas por um processo AR(1) com dados simulados pela técnica de Monte Carlo. A figura 1 mostra o correlograma de uma série não estacionária enquanto que a figura 2 mostra o correlograma de uma série estacionária. A série não estacionária pode ser visualmente identificada pela queda lenta nos valores da função de autocorrelação à medida em que aumentam as defasagens. A série estacionária, mostrada na figura 2, pode ser identificada por uma queda brusca nos valores de \(r_k\) à medida que aumentam as defasagens.
Função de Autocorrelação para uma Série não Estacionária
Figura 1
Função de Autocorrelação para uma Série Estacionária
Figura 2
Um conceito relacionado com a tendência estocástica é o de ordem de integração: uma série precisa ser diferenciada d vezes antes de se tornar estacionária e, dizemos que esta série é integrada de ordem d, I(d), ou seja, quando a ordem de integração for maior que zero, esta série apresenta tendência estocástica.
O objetivo de teste de Raiz Unitária é realizar uma inferência sobre a ordem de integração de uma série de tempo, de forma a contornar o problema de choques inesperados e seus impactos sobre determinada série. Em suma, o teste de raiz unitária tem que isolar a característica da tendência.
Alguns comentários são necessários. Como muitas das variáveis econômicas possuem tendência e a média delas não é constante ao longo do tempo, infringindo a condição de estabilidade da média. Se a série apresenta uma tendência linear determinista, o procedimento adotado é o de incluir uma variável de tendência (t), que represente a evolução do tempo, na equação de regressão.
Porém, outra grande parte de economistas adota o critério de diferenciar. Se a série for não estacionária pode-se tentar, através de diferenciação, obter estacionariedade. A diferenciação de uma série temporal dá-se da seguinte forma:
\[\Delta y_t=y_t-y_{t-1}\text {, e}\]
\[\Delta^dy_t=\Delta^{d-1}y_t-y_{t-1} \text { para }d\geq 2\]
Onde D indica diferença e d o número de vezes que a série é diferenciada. As diferenças são zero no estado estacionário. Sendo assim, nenhuma solução de equilíbrio de longo prazo é obtida. Do ponto de vista da teoria econômica, que freqüentemente trabalha com o equilíbrio de longo prazo, esse resultado não é totalmente satisfatório.
Obs: Muitos econometristas são contra trabalhar com as diferenças das séries. Costumam citar frases do tipo: “jogar fora a água suja juntamente com o bebê dentro” e “valiosas informações de longo prazo estão sendo perdidas”. A preocupação centra-se na existência do equilíbrio de estado estacionário, que é o equilíbrio de longo prazo, conceito a que a teoria econômica atribui muita importância, mas que, uma vez diferenciada a série, não pode ser avaliado.
3. Processos com Raiz Unitária
Definição: A ordem de integração de uma variável diz respeito ao número de vezes que a série deve ser diferenciada (diferenças do tipo \(y_t – y_{t-1}\)) para que ela se torne estacionária.
Conforme definem Engle e Granger (1987), uma série sem componente determinístico, com representação ARMA, estacionária, invertível, após d diferenças, é dita ser integrada de ordem d, e pode ser representada por \(y_t\sim I(d)\).
Um exemplo bastante simples de série estacionária é a série ruído branco: se a série (\(y_t\)) é identicamente distribuída e independente, com média zero e variância constante, \(y_t\sim i.i.d.(0,\sigma^2)\), então a série é dita ser \(I(0)\), ou seja, integrada de ordem zero.
Admita a série “Passeio Aleatório”\(\rightarrow y_t = y_{t-1} + e_t\) com \(e_t\sim iid(0,\sigma^2)\). Neste caso \(y_t\) é \(I(1)\), pois uma diferença foi necessária para tornar a série estacionária. Neste caso, \(y_t\) é não estacionária, mas a primeira diferença de \(y_t\), (\(\Delta y_t\)), é estacionária.
Admita a série “Auto-Regressiva – AR”\(\rightarrow y_t = \rho y_{t-1} + e_t\) com \(\left |\rho \right |< 1\), a série \(y_t\) é integrada de ordem \(0, I(0\).
A primeira forma de examinar se uma série de tempo é gerada por um processo estacionário, como foi referido anteriormente, é verificar o comportamento do correlograma amostral da série. Se o processo for estacionário, as autocorrelações tendem para 0 rapidamente, sendo esta característica refletida no correlograma. Por outro lado, as autocorrelações de uma série não-estacionária, tipicamente, não convergem rápido para 0 quando as defasagens aumentam. Esse comportamento é mostrado nas figuras 1 e 2.
3.1. Princípio da Raiz Unitária.
Considere a função:
\[a(z)=1-\alpha _1z-...\alpha _{p+d}z^{p+d}\]
onde \(z\) é descrito como uma variável complexa, isto é, \(z = a + b_i\); sendo \(i = \sqrt{-1}\), a a parte real e \(b\) a parte imaginária do número complexo. O módulo de um número complexo \(z\) é definido como \(\left | z \right |=\sqrt{a^2+b^2}\) Dado um número real positivo \(r\), considere o conjunto de todos os números complexos \(z\) tais que \(\left | z \right |=r\) A imagem geométrica desse conjunto é um círculo de centro 0 e raio \(r\). Portanto, sendo \(z\) um número complexo tal que \(\left | z \right |=r\) dizemos que \(z\) está sobre o círculo de centro \(0\) e raio \(r\). Quando \(r = 1\), o círculo é denominado de círculo unitário.
Sendo \(\gamma\) uma raiz da função a \((z) = 0\), então \(\gamma\) é um número complexo tal que a \((\gamma) = 0\). Assim, \(\gamma\) é uma raiz sobre o círculo unitário quando \(\left | \gamma \right |=1\), é uma raiz fora do círculo unitário quando \(\left | \gamma \right |> 1\) e é uma raiz dentro do círculo unitário quando \(\left | \gamma \right |< 1\). Para que o modelo seja processo estacionário é necessário que todas as raízes de \(\alpha (z) = 0\) estejam fora do círculo unitário. Portanto, o modelo será não-estacionário se pelo menos uma das raízes de \(\alpha (z) = 0\) estiver dentro ou sobre o círculo unitário. Verifica-se também que, se alguma raiz de \(\alpha (z) = 0\) estiver dentro do círculo unitário, o processo será não estacionário explosivo. Agora suponha que \(y_t\) em seja não-estacionário, mas de tal modo que exatamente \(d\) raízes tenham valor 1 (estão sobre o círculo unitário) e as demais estejam situadas fora do círculo unitário. Dizemos, então, que \(y_t\) é um processo com d raízes unitárias. Assim, podemos escrever o modelo como segue:
\[\alpha (B)y_t=\phi (B)(1-B)^dy_t\]
Onde \(\phi(B)=(1-\phi_1B-\phi _2B^2-...-\phi_pB^2)\). A equação pode ser escrita da seguinte forma:
\[\phi(B)(1-B)^dy_t=e_t\]
Recordando que \((1 - B)^d y_t = \Delta^d y_t\) , conclui-se que quando a \((z) = 0\) tem d raízes iguais a 1 e as demais estão fora do círculo unitário. Séries, cuja \(d\)-ésima diferença constitui um processo estacionário, chamam-se de séries não-estacionárias homogêneas. Este tipo de série ocorre freqüentemente em Economia. Os dois casos mais comuns são:
séries não-estacionárias em média, isto é, aquelas que oscilam em torno de um nível médio durante um certo período de tempo, saltando para outro nível médio em outro período e assim por diante. Tais séries quando diferenciadas uma vez, tornam-se estacionárias;
séries não-estacionárias em média e direção, ou seja, além do comportamento descrito em a) essas também oscilam numa direção por algum tempo, depois mudam para outra direção durante um novo período de tempo e assim por diante. Nestes casos, quando a série é diferenciada duas vezes, torna-se estacionária.
A análise visual, no entanto, torna-se menos obvia quando o processo tem pelo menos uma raiz com valor próximo à unidade. É o caso da figura 3, que mostra um correlograma de 100 observações simuladas do processo estacionário \(AR(1) y_t = 0.97y_{t-1} + e_t\). Note-se a semelhança com o correlograma da figura 2. Um observador que não soubesse como os dados foram gerados poderia acreditar que o correlograma mostrado na figura 3 representa uma série não- estacionária pelo padrão de queda lenta nos valores da função de autocorrelação. Pode-se, portanto, afirmar que o correlograma amostral não parece ser sempre um método preciso para
Função de Autocorrelação para uma Série Estacionária com Raiz Próxima à Unidade
Figura 3
Identificar a estacionariedade ou não-estacionariedade (presença de uma possível raiz unitária) numa série de tempo. Surge, dessa forma, a necessidade de um procedimento estatístico formal para testar a hipótese da possível existência de uma raiz unitária. Os resultados clássicos da inferência estatística para séries de tempo não são válidos sob a hipótese da presença de uma raiz unitária, visto que, neste caso, a série é não-estacionária. Dickey e Fuller (1979, 1981) apresentaram testes formais para hipótese de existência de raízes unitárias.
Como vimos, podemos distinguir dois modelos alternativos para a série de tempo. O primeiro, que podemos chamar de estacionário ao longo de uma tendência (Trend-Stationay), também chamada de \(I(0)\) onde as raízes do processo estão fora do círculo unitário. O segundo modelo é chamado de estacionário na diferença.
4. O Teste de Dickey-Fuller
Diversos estudos tratam de estabelecer procedimentos para verificar a ordem de integração de uma série temporal. Discussão dessa literatura é encontrada em Handry (1986), Campbell e Perron (1991) e Hamilton (1994). Dentre os procedimentos existentes os de Fuller (1976) e complementado por Dickey-Fuller (1979 e 1981) representam os mais usuais e são considerados os pioneiros nos testes de raiz unitária. O caso mais simples para analisar é o ajuste de um modelo AR(1). Especificamente, suponha que é dada uma série de tempo \(y_1, y_2, . . . , y_T\) para a qual assume-se que o modelo apropriado é o seguinte:
\[y_t=\rho_1y_{t-1}+e_t, 0< \rho _1\leq 1\]
A questão consiste em decidir se o processo gerador da série é um “passeio aleatório” (um processo não-estacionário) ou um AR(1) estacionário. Formalmente deseja-se testar as seguintes hipóteses:
\[H_0:\rho=1 \text{ contra}\]
\[H_1:\rho<1\]
O teste de Dickey-Fuller pode ser realizado de acordo com as seguintes etapas:
ajustar uma reta de regressão (sem intercepto) de \(\Delta y_t\) contra \(y_{t-1}\) para obter uma estimativa de mínimos quadrados de \(\rho\).
designando por \(\rho^*\) e \(S_{\rho^*}\) , respectivamente, a estimativa de mínimos quadrados de \(\rho\) e o correspondente erro-padrão, definir a estatística do teste \(t = \frac{(\rho^* - 1)}{S_{\rho^*}}\)
Comparar o valor de \(t\) com o apropriado valor crítico encontrado na tabela de Dickey-Fuller (anexa), para decidir se rejeita ou não a hipótese \(H_0\). Para o modelo acima proposto, o valor crítico deve ser procurado na parte da tabela encabeçada por \(\tau\).
Três são os modelos que podem testar a Raiz Unitária. As equações podem tomar as seguintes formas:
Estimam-se essas equações através do Método de Mínimos Quadrados Ordinários e, então, se compara o resultado da estatística t-de Student, para o coeficiente \(\rho_1\) com um valor crítico apresentado na Tabela de Dickey-Fuller.
O valor crítico dessa tabela dependerá do tamanho da amostra e de qual modelo está sendo usado: (\(\tau\)) para o primeiro modelo; (\(\tau_\mu\)) para o segundo modelo; e, (\(\tau_\tau\)) para o terceiro modelo. As equações podem apresentar as seguintes possibilidades:
Se \(\left | \rho _1 \right |>1\) então (\(y\)) tem comportamento Explosivo
Se \(\left | \rho _1 \right |=1\) então (\(y\)) tem raiz unitária, não é estacionário;
Se \(\left | \rho _1 \right |<1\) então (\(y\)) é \(I(0)\), isto é, estacionário.
Desta forma, se a estatística (\(\tau\)) do coeficiente \(\rho_1\) for maior (em módulo) que o valor tabelado, rejeita-se a hipótese nula e indica que a série é estacionária em dado nível de significância.
O número de diferenciações necessárias para tornar uma série estacionária determina sua ordem de integração. Isto é, uma variável (\(y\)) é integrada de ordem (\(d\)), representada por \(I(d)\), se for necessário diferenciá-lo (\(d\)) vezes para torná-la estacionária.
Como exemplo, ajustou-se aos dados simulados de um passeio aleatório com 100 observações. O ajuste da reta de regressão (sem intercepto) forneceu os seguintes resultados.
Calculando-se a estatística \(t\) como mostrado acima obtém-se \(t = -1,15\). Na tabela de Dickey-Fuller, na parte encabeçada por \(t\), encontra-se o valor crítico \(-1,61\) correspondente a \(T = 100\) e ao nível de significância de 10%. Como \(t > - 1,61\) a hipótese \(H_0\) não pode ser rejeitada. Ou seja, não se pode afirmar estatisticamente que o processo estocástico em questão é estacionário.
A tabela de Dickey-Fuller também fornece valores críticos para testar a hipótese da presença de uma raiz unitária quando se considera o ajuste dos seguintes modelos:
Para ilustrar esses casos, os modelos foram ajustados aos valores simulados. Com relação ao modelo ao segundo modelo, o valor estimado de \(\rho\) foi \(\rho^* = 0,892\) e a estatística do teste, \(t = -2,35\). Na tabela de Dickey-Fuller, na parte encabeçada por \(\tau_\mu\), encontra-se o valor crítico \(- 2,58\) correspondente a \(T=100\) e ao nível de significância de 10%. Como \(t>-2,58\), novamente a hipótese \(H_0\) não pode ser rejeitada, como era esperado no presente caso. Considerando o terceiro modelo, o valor ajustado de \(\rho\) foi \(\rho^* = 0,797\) e a estatística do teste, \(t = -3,27\). Na tabela de Dickey-Fuller, na parte encabeçada por \(\tau_\tau\), encontra-se o valor crítico \(-3,15\) correspondente a \(T = 100\) e ao nível de significância de 10%. Como \(t>-3,15\), mais uma vez a hipótese \(H_0\) não pode ser rejeitada.
5. O Teste de Dickey-Fuller Aumentado
O teste de Dickey e Fuller Amplo (ADF) é necessário quando se pressupõe resíduos não correlacionados. Por isso, envolve defasagens da variável dependente para contornar o problema de autocorrelação serial. O valor de r deve, então, ser tal que torne os resíduos (\(e_t\)) ruído branco. Vários procedimentos têm sido utilizados para a determinação do valor de r a partir do número de defasagens que permita um modelo ruído branco, podendo citar os critérios de AIC (Akaike), SBC (Schwarz) e HQ (Hannan-Quinn).
AIC:\(T.ln\) (Soma dos Quadrados dos Resíduos) \(+ 2.k\)
SBC:\(T.ln\) (Soma dos Quadrados dos Resíduos) \(+ k.ln (T)\)
HQ:\(T. ln\) (Soma dos Quadrados dos Resíduos) \(+ 2.ln(T)\)
Onde,
\(k\) = número de parâmetros estimados;
\(T\) = número de observações utilizadas.
O teste de Q de Ljung-Box dá a indicação da existência ou não de autocorrelação serial, sendo utilizados como procedimentos auxiliares na determinação do valor de \(\rho\).
Admita o seguinte modelo,
\[\Delta y_t = \alpha y_{t-1} + e_t\]
onde \(\alpha = \rho - 1\). A hipótese de que \(\rho\) é igual a \(1\) é equivalente à hipótese de que \(\alpha = 0\). A estatística do teste, no entanto, passa a ser:
\[t=\frac{\alpha^*}{S_{\alpha^*} }\]
onde \(\alpha^*\) é o estimador de mínimos quadrados de \(\alpha\) e \(S_{\alpha^*}\) é o erro padrão estimado de \(\alpha^*\). A tabela em anexo deve ser usada para a realização do teste. A parte da tabela que deve ser usada para o teste depende de modelo é assumido sem constante ou tendência (\(\tau\)), com constante mas sem tendência (\(\tau_\mu\)) e com constante e tendência (\(\tau_\tau\)).
Entretanto, nem todas as séries de tempo podem ser representadas por um processo autoregressivo de primeira ordem. Em alguns casos, um modelo apropriado pode ser (Enders, 1995):
O coeficiente de interesse é \(\rho_1\) . Se \(\rho_1=0\) tem uma raiz unitária e reduz-se a um modelo autorregressivo de ordem \(p-1\) em \(\Delta y_t\). O teste para a hipótese de \(\rho =0\) é, nesse caso, o teste Dickey-Fuller Aumentado (ADF). A estatística do teste é a parte da tabela em anexo e depende da ocorrência de constante e/ou tendência no modelo.
O valor de \(\rho\) pode também ser obtido utilizando a seguinte sistemática: partindo de uma especificação geral, se o coeficiente do último termo apresentar-se não significativo reduz-se a ordem da regressão estimada até que o coeficiente do termo correspondente à defasagem de maior ordem incluída apresente-se significativo. Se o coeficiente de nenhum termo é significativo, então \(\rho=1\) (Campbell e Perron, 1991).
Dickey e Fuller (1979) mostraram em seu artigo que o teste apresentado era muito mais poderoso do que o feito com a estatística \(Q_{LBP}\), o qual, até então, porém apresenta o viés de aceitar a hipótese nula mais de 95 por cento das vezes para um parâmetro próximo de, mas menor que, um. A partir daquele artigo, uma série de outros testes e tabelas foram sendo propostos na literatura (Phillips e Perron , 1988; Campbell e Perron, 1991; Perman, 1991).
A estatística de Dickey-Fuller pode, então, ser utilizada para testar se uma série que apresenta uma variação sistemática no tempo é descrita por um processo DS (Difference Stationary) com “drift” ou TS (Trend Stationary). No caso de DS a série torna estacionária por um diferença. Por outro lado, TS a série torna estacionária com a inclusão de um termo (t).
