FORMA FUNCIONAL

 UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA

Objetivos

Apresentar o problema de Formas Funcionais para o modelo estimado por MQO.

Livro Texto

GUJARATI, D. N. Econometria Básica. São Paulo: MAKRON Books, 2006. Capítulo 2 seção 2.3; Capítulo 6 seções 6.4, 6.5, 6.6, 6.7 e 6.8 – Formas Funcionais dos Modelos de Regressão (pg.141)

HILL, C.; GRIFFITHS,W.; JUDGE,G. Econometria. São Paulo: Saraiva, 2003. Capítulo 6; 6.3.1, 6.3.2, 6.3.3.

FORMAS FUNCIONAIS E MODELOS NÃO-LINEARES

Introdução

A teoria econômica nem sempre prevê a existência de uma relação linear entre as variáveis e os modelos tradicionais de análise de regressão levam em consideração esta linearidade das variáveis. No “mundo real” as variáveis são independentes entre si e não necessariamente são lineares. A única exigência é que a relação não-linear seja “linearizável” por transformações. Evidentemente a escolha de um modelo não linear requer uma justificativa a priori a depender do fenômeno que se deseja obter. O Curso tradicional de econometria se ocupa basicamente de modelos lineares nos parâmetros, entretanto, eles podem ou não ser lineares nas variáveis. As variáveis podem se tornar lineares através de transformações apropriadas. Gujarati, 2000 (pg.25) apresenta uma breve discussão quanto ao significado do termo “linear” nas variáveis e “linear” nos parâmetros.

A expressão linear nos parâmetros significa que os parâmetros não são multiplicados entre si, nem divididos, nem elevados ao quadrado, ao cubo etc. Por outro lado, as variáveis podem ser transformadas em qualquer forma conveniente, desde que o modelo resultante satisfaça as hipóteses de linearidade das variáveis e da não estocasticidade da variável explicativa (Hill et all, 148).

Para os modelos não lineares nas variáveis devemos ter muita cautela ao interpretar os valores dos parâmetros. Para isso, devemos observar a expressão matemática funcional e examinar o efeito marginal e elasticidades, por meio de derivações.

1. Modelo Linear

O Modelo de Regressão Linear é representado por:

\[Y_i=\beta_0+\beta_1X_i+\varepsilon _i\]

A relação entre a variável dependente Y e a variável explicativa é estritamente linear. Em conseqüência, qualquer variação registrada na variável explicativa gera uma variação na variável explicada na mesma proporção. Para estudar este comportamento devemos analisar a expressão matemática e efetuar cálculos de derivadas da seguinte forma:

Efeito Marginal:

\[\frac{dY}{dX}=\beta_1\] Mede o efeito da variável \(X\) na variável \(Y\);

Elasticidade:

\[\xi =\frac{\Delta\%Y }{\Delta\%X}\Rightarrow \frac{dY}{dX}\cdot \frac{X}{Y}\Leftrightarrow \xi =\widehat{\beta}_1\cdot \frac{\overline{X}}{\overline{Y}}\]

O modelo que é linear nas variáveis descreve o ajustamento de uma reta aos dados originais, com coeficiente angular \(\beta_1\) e elasticidade pontual em \(\beta_1\frac{X}{Y}\). O coeficiente angular da relação é constante, mas a elasticidade varia em cada ponto. Para análise dos gráficos admita que \(\beta_1=b\)

2. Modelo Recíproco

Admita o seguinte modelo conhecido como modelo recíproco

\[Y=\beta_0+\beta_1\frac{1}{X}+\varepsilon\]

Embora este modelo seja não-linear na variável \(X\), pois ela entra inversamente ou reciprocamente, o modelo é linear em \(\beta_0\) e \(\beta_1\), sendo, portanto, um modelo de regressão linear. Isto é, a variável dependente (\(Y\)) é melhor explicada pelo Inverso da variável explicativa (\(X\)). Esse modelo apresenta as seguintes características: conforme X aumenta indefinidamente, o termo \(\beta_1\left ( \frac{1}{X} \right )\) se aproxima de zero e \(Y\) se aproxima do valor-limite (\(\beta_0\)).

Exemplo de aplicações deste modelo é a Curva de Phillips da macroeconomia; isto é, existe uma assimetria na resposta das alterações de salários em relação ao desemprego – os salários sobem mais rápido por mudança de uma unidade no desemprego se a taxa de desemprego estiver abaixo da sua taxa natural (\(U^N\)), do que caem por uma variação equivalente quando a taxa de desemprego estiver acima do nível natural - \(\beta_1\); indica o patamar assintótico para a variação dos salários. (Gujarati, pg 165).

Um segundo exemplo de aplicação deste modelo é a curva de despesa de Engel que relaciona a despesa de um consumidor com uma mercadoria em relação à sua despesa total. Se representarmos \(Y\) por gasto com uma mercadoria e \(X\) pela Renda, então: a) existe algum nível mínimo a qual a mercadoria não é comprada - \(\frac{\beta_1}{\beta_0}\); b) existe um nível de saciedade de consumo além do qual o consumidor não irá avançar por maior que seja a sua renda (este nível é a assíntota \(\beta_0\)). Com o aumento da renda o consumo deve aumentar, porém a uma taxa decrescente, atingindo uma quota superior b0. Quando a renda for menor que - \(\frac{\beta_1}{\beta_0}\), o modelo prediz despesa negativa com alimentação o que implica que esta forma funcional é inadequada para pequenos valores de renda (\(X\)). (Exemplo em Hill, pg.152).

Admita o seguinte modelo Recíproco: \(Y=\beta_0+\beta_1X^{-1}+\varepsilon\)

Efeito Marginal:

\[\frac{dY}{dX}=\beta_1-1X^{-2}\Rightarrow -\beta_1\frac{1}{X^2}\Rightarrow -\beta_1\frac{1}{\overline{X}\overline{Y}}\]

Elasticidade:

\[\frac{dY}{dX}\cdot \frac{X}{Y}=\varepsilon \Leftrightarrow -\beta_1\frac{1}{X^2}\frac{X}{Y}\Leftrightarrow -\beta_1\frac{1}{\overline{X}\overline{Y}}\]

Na medida em que \(X\) aumenta, \(Y\) tende para o intercepto (isto é, para a sua assíntota), por cima ou por baixo, conforme o sinal de \(\beta_1\). O coeficiente angular dessa curva varia, tendendo a anular-se com o aumento de \(X\).

A elasticidade também varia em cada ponto e tem sinal oposto ao de \(\beta_1\). Quando \(\beta_1>0\), a relação entre \(X\) e \(Y\) é inversa e a elasticidade é negativa: um aumento de \(1\%\) em \(X\) conduz a uma redução de \(\frac{-\beta_1}{XY}\) por cento em \(Y\).

Para análise dos gráficos admita que \(\beta_0 = a\) e \(\beta_1=b\)

3. Modelo de Função Potência

Admita o modelo de função potência:¹ \(Y=\beta_0X^{\beta_1}e^{\varepsilon }\)

Para tornar o modelo “linear” adota-se a seguinte transformação logarítimica:

Especificação Log-Log:

\[\ln Y=\ln \beta_0+\beta_1\ln X+\varepsilon\]

\[\ln Y=\alpha+\beta_1\ln X+\varepsilon\]

O uso de tal função é adequado toda vez que uma variável cresce (decresce) com o aumento da outra, porém a taxas decrescentes ou crescentes.

Admita o modelo:

\[Y= \beta_0 X^{\beta_1} e^{\epsilon}\]

Efeito Marginal:

\[\frac{\partial Y}{\partial X}= \beta_0\cdot \beta_1 X^{\beta_1 - 1} = \beta_0\cdot \beta_1 X^{\beta_1} \cdot X^{-1}=\beta_1\cdot (\beta_0\cdot X^{\beta_1}) \cdot \frac{1}{X} = \beta_1\cdot \frac{Y}{X}\]

\[\frac{dY}{dX} \cdot \frac{X}{Y} \implies \left( \beta_1 \cdot \frac{Y}{X} \right) \cdot \frac{X}{Y} \implies \beta_1\]

$$ à Modelo de Elasticidade Constante

O Modelo LOG-LOG decorre do fato de que o logaritmo aparece em ambos os membros da equação. Para utilizarmos esse modelo, todos os valores de \(Y\) e \(X\) devem ser positivos. Os coeficientes angulares dessas curvas variam em cada ponto, mas a elasticidade é constante e igual a \(\beta_1\).

Para análise dos gráficos admita que \(\beta_1=b\)

4. Modelo Exponencial

Admita o Modelo Exponencial:² \(Y = \beta_0 \cdot \beta_1^X e^{\varepsilon}\)

Log-Lin: \({Ln}Y = \ln \beta_0 + X_1 \ln \beta_1 + \varepsilon\)

A função exponencial é freqüentemente usada para descrever processos de crescimento contínuo, ou aproximadamente contínuo de uma variável ao longo do tempo. Pode-se, igualmente, aplicar tal função quando uma variável cresce (ou decresce) com o acréscimo na outra variável a taxas crescentes (ou decrescentes). Propriedade da derivada da função exponencial:

\[\frac{dy}{dx}=a^x\Rightarrow a^x\ln a\cdot \frac{dx}{dx}\Leftrightarrow a^x\ln a\cdot f'(x)\]

Admita o modelo exponencial:

\[Y = \beta_0 \cdot \beta_1^X e^{\varepsilon}\]

Efeito Marginal: \(\frac{dY}{dX} = \beta_0 \beta_1^X e^{\varepsilon}\ln \beta_1 f'(X)\) onde \(f'(X)=1\) então,

\[\frac{dY}{dX} = \beta_0 \beta_1^X e^{\varepsilon}\ln \beta_1 \iff \ln \beta_1 \cdot \overline{Y}\]

\[\frac{\partial Y}{\partial X} \frac{X}{Y} \Rightarrow \beta_0 \beta_1^X e^{\varepsilon}\ln \beta_1 \cdot \frac{X}{Y} \iff Y \ln \beta_1 \cdot \frac{X}{Y} \iff \ln \beta_1 \cdot \overline{X}\]

Para o modelo Log-Lin (log no membro esquerdo da equação e linear no membro direito), tanto seu coeficiente angular como sua elasticidade variam em cada ponto e tem o mesmo sinal que \(\beta_1\).

Para análise dos gráficos admita que \(\beta_1 = b\)

5. Modelo para cálculo da taxa de crescimento linear

São modelos utilizados para medir a taxa de crescimento de uma variável (PIB, oferta monetária, emprego, produtividade, déficit comercial etc). A especificação do modelo segue um modelo Log-Lin.

Log-Linear³

\[Y_i=e^{\beta_0+\beta_1X_i}\]

O exemplo mais comum para aplicação deste modelo é dado por economistas, homens de negócios e governos, que estão freqüentemente interessados em saber a taxa de crescimento de certas variáveis econômicas.<> Relembrando a fórmula de juros compostos temos:

\[Y_t=Y_0(1+r)^t\]

em que (\(r\)) é a taxa composta (isto é, ao longo do tempo) de crescimento de \(Y\). Calculando o logaritmo natural temos:

\[\ln Y_t=\ln Y_0+t\ln (1+r)\]

Adicionando o termo de perturbação e fazendo algumas simplificações temos:

\[\ln Y_t=\beta_0+\beta_1t+e_t\]

Este modelo é parecido com o modelo de regressão linear, já que \(\beta_0\) e \(\beta_1\) são lineares. Entretanto, a variável explicativa é o “tempo” (t), que assumirá valores 1,2,3 etc. Neste modelo, o coeficiente de inclinação mede a variação proporcional constante em \(Y\) para uma dada variação absoluta no “tempo”.

Se multiplicarmos a variação relativa em \(Y\), por \(100\), teremos a taxa de crescimento, em \(Y\) para uma variação absoluta do tempo.

Taxa de Crescimento Instantânea (em um ponto no tempo): \(\beta_1 \cdot = 100\)

Taxa de Crescimento Composta (no decurso de um período): \(\left ( e^{\beta_1}-1\cdot 100 \right )\)

Valor Inicial Médio da Série Estudada: \(e^{\beta_0}\)

Lembre-se que \(e \approx 2,7182818\)

6. CRITÉRIOS DE ESCOLHA DA FORMA FUNCIONAL

Segundo Hill et all, 2003, não há regras rígidas e rápidas que funcionam como norteadoras da escolha de uma forma funcional específica. O melhor que podemos fazer é apresentar exemplos e descrever todos os problemas dignos de considerar. Um bom caminho é observar se as propriedades, bem como os pressupostos, do modelo econométrico, estão sendo respeitados.

A teoria econômica, em geral, informa muito pouco sobre a forma funcional mais adequada a ser usada na especificação de um modelo econométrico. Na verdade cada pesquisador decide pela escolha da forma especifica dos modelos. No entanto, há alguns critérios gerais que podem servir de parâmetros:

1. Verificar se os resíduos são distribuídos normalmente;

2. Simplicidade: entre a forma simples e uma complexa, tende-se a escolher a primeira. Se ambas explicarem o fenômeno de modo igualmente bem, não há porque escolher a mais complexa;

3. Indicação da teoria econômica;

4. Poder preditivo: na verdade o modelo econométrico não deve apenas sumarizar um fenômeno efetivo, mas também ser útil para previsões. Isso significa que a forma funcional deve pelo menos ajustar-se bem aos dados (observar a magnitude da estatística R2).

Notas de rodapé

1. Função que tem uma base variável e um expoente constante, é uma função potência do tipo \(Y=x^{\beta}\)

2. Função que tem uma base constante e um expoente variável é uma função exponencial do tipo \(y=\beta^x\)

3. Para uma definição exata do número (\(e\)), em homenagem ao matemático e físico suiço Leonhard Euler (1707-1783), consulte Leithold (1988), “Matemática Aplicada à Economia e Administração”. pg. 314.