Proceso Ruido Blanco

Se dice que \(\{\varepsilon_t\}\) es ruido blanco si es una colección de variables aleatorias independientes e identicamente distribuidas. Por lo que todo proceso de ruido blanco cumple con

  1. \(\mathbb{E}(\varepsilon_t)=0\), para todo \(t\)

  2. \(Var(\varepsilon_t)=\sigma^2\), para todo \(t\)

  3. \(Cov(\varepsilon_t,\varepsilon_{t-k})=0\), para todo \(t\) y para \(k>0\)

Gráfica de un ruido blanco

set.seed(123)
n=1000
rb=rnorm(n,mean = 0, sd = 5)
plot(rb, type="l",main="Ruido Blanco")

Prueba Estadística de Ljung-Box

Es una prueba de hipótesis para detectar si algo es ruido blanco o no. ## Serie de tiempo que sí es ruido blanco

Box.test(rb, type="Ljung-Box")
## 
##  Box-Ljung test
## 
## data:  rb
## X-squared = 0.75359, df = 1, p-value = 0.3853

Para nuestra serie rb la prueba de Ljung-Box arroja que sí es ruido blanco.

Serie de tiempo que no es ruido blanco

#Construyamos una caminata aleatoria_random walk 
n=1000
y=0 #contenedor vacío
for (t in 2:n) {
  y[t]=y[t-1]+rb[t]
}

plot(y, type="l", main="Caminata Aleatoria")

Box.test(y, type="Ljung-Box")
## 
##  Box-Ljung test
## 
## data:  y
## X-squared = 981.92, df = 1, p-value < 2.2e-16

Proceso estacionario débil

Un proceso \(\{X_t\}\) se dice que es estacionario débil si cumple con lo siguiente:

1.\(E(X_t)=\mu\), para todo \(t\), no depende del tiempo

2.\(Var(X_t)=\sigma^2\), para todo \(t\), no depende del tiempo

3.\(Cov(X_t, X{t-k})=\gamma(k)\), no depende del tiempo para todo \(t\) ya para todo \(k\), \(k\) es un rezago

Ejemplo de proceso estacionario débil

Sea el proceso \(Y_t=\phi_0+\varepsilon_t\), donde \(\phi_0\) es una constante, \(\varepsilon_t\) son ruido blanco.

set.seed(123)
n=100
wn=rnorm(n, mean=0, sd=4)
phi0=0
#proceso
Yt=phi0+wn
plot(Yt,type="l", main="Ejemplo de proceso estacionario débil", col="darkblue",lwd=3)
abline(h=phi0,lty=3,col="darkred")