Medidas Descriptivas
Fredy Alexander Rivera Aguilar, correo: rariveraa@udistrital.edu.co
Con las tablas de frecuencia logramos presentar los datos de una forma organizada y visualmente mas clara, pero en la mayoría de ocasiones es necesario condensar dicha información en unos numeros que la expresen de forma clara y concisa (Medidas de tendencia central o posición). Ademas es necesario medir la variabilidad que tienen nuestros datos (Medidas de dispersión), estableciendo una medida que indique dicha fluctuación. Por ello es necesario definir algunos tipos de medidas (parámetros) para representar los datos.
Medidas de tendencia central
En la mayoría de los datos se evidencia la tendencia a agruparse alrededor de un valor central, este nos permite obtener un valor que describe el conjunto de nuestros datos. A este valor denominamos medida de tendencia central, como la media, la mediana y la moda.
Media
La media (media aritmética) es la mas utilizada y se calcula realizando la suma de los datos sobre el total de la muestra tomada y se notara con \(\bar{x}\)
\[\bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i\]
observación: Si los datos corresponden a toda la población, se hablara de media poblacional y la notaremos con \(\mu\).
Ejemplo 1 Temperatura de un horno
Montgomery, D.C., Runger, G.C. (2002). Probabilidad y Estadística aplicadas a la ingeniería. Editorial Limusa Wiley.
Las siguientes mediciones corresponden a las temperaturas de un horno registradas en lotes sucesivos de un proceso de fabricación de semiconductores (Las unidades estan en °F): 953, 950, 948, 955, 951, 949, 957, 954, 955.
ej1temp <- c(953, 950, 948, 955, 951, 949, 957, 954, 955)
sum(ej1temp)/length(ej1temp)## [1] 952.4444mean(ej1temp)## [1] 952.4444Ejemplo 2 Donantes de sangre Hospital general de Medellin
Esta base de datos fue descargada de la pagina https://www.datos.gov.co/Salud-y-Protecci-n-Social/Banco-de-sangre-Hospital-General-de-Medell-n/65is-zhxx/about_data y se encuentran en los archivos del curso.
# leyendo el archivo con los datos
BSHGM20240123 <- read.csv("Banco_de_sangre__Hospital_General_de_Medell_n_20240123.csv")
dim(BSHGM20240123)## [1] 28961 11BSHGM20240123 <- na.omit(BSHGM20240123)
dim(BSHGM20240123)## [1] 28937 11# calculando la media para la edad y estatura
mean(BSHGM20240123$EDAD)## [1] 37.86944mean(BSHGM20240123$ESTATURA)## [1] 1.661843colMeans(BSHGM20240123[,c(7,8,10)])## EDAD ESTATURA PESO
## 37.869441 1.661843 73.042541Otro caso que se nos pueda presentar es que los datos estén agrupados, es decir que algunos se repitan y tengan su frecuencia absoluta respectiva, en consecuencia la media se calculara multiplicando cada dato por su frecuencia, realizando la suma de estos valores y dividiendo el resultado entre el tamano de la muestra.
\[\bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum_{j=1}^mx_j*f_j\]
donde \(x_j\) es nuestro dato de la clase o la marca de clase del intervalo, \(f_j\) es su frecuencia absoluta respectiva y \(m\) es el numero de clases.
Ejemplo 3 Asignaturas inscritas
Número de asignaturas inscritas por semestre para una muestra de 50 estudiantes de la Universidad Distrital obteniendo los siguientes resultados
asign <- c(2,5,3,6,7,1,5,6,7,4,4,3,5,5,5,6,4,3,2,2,3,5,6,5,6,6,6,4,5,7,3,2,1,7,7,6,6,4,5,3,5,6,5,2,3,4,4,3,4,4)
n <- length(asign)
tej3 <- data.frame(t(table(asign)))[,-1]
h_i <- tej3$Freq/n
F_i <- cumsum(tej3$Freq)
H_i <- F_i/n
tej3 <- cbind.data.frame(tej3,h_i,F_i,H_i)
colnames(tej3) <- c("Clase","f_i","h_i","F_i","H_i")
sum(as.numeric(tej3$Clase)*tej3$f_i)/n## [1] 4.44sum(as.numeric(tej3$Clase)*tej3$h_i)## [1] 4.44mean(asign)## [1] 4.44Ejemplo 2 Donantes de sangre Hospital general de Medellin
tabedad <- table(BSHGM20240123$EDAD)
tabedad <- data.frame(Clase = as.numeric(names(tabedad)), f_i = as.vector(tabedad))
sum(tabedad$Clase*tabedad$f_i)/sum(tabedad$f_i)## [1] 37.86944En el caso de trabajar con intervalos se cambia \(x_i\) por la marca de clase
Ejemplo 4 COVID 19 Boyaca
C19Boy <- c(57,69,72,73,84,70,42,40,29,72,50,20,2,58,60,15,42,25,36,32,52,19,46,64,34,36,24,18,66,38,23,24,31,43,16,27,77,68,33)
n <- length(C19Boy)
R <- max(C19Boy)-min(C19Boy)
m <- nclass.Sturges(C19Boy)
a <- (trunc(R/m*10)+1)/10
LI <- min(C19Boy)+0:(m-1)*a
LS <- LI+a
f_i <- rep(0,m)
for (i in 1:m) {
f_i[i]=length(C19Boy[C19Boy<LS[i]&C19Boy>=LI[i]])
}
h_i <- f_i/n
F_i <- cumsum(f_i)
H_i <- F_i/n
tej4 <- cbind.data.frame(LI,LS,0.5*(LI+LS),f_i,h_i,F_i,H_i)
colnames(tej4) <- c("L_inf","L_sup","x_i","f_i","h_i","F_i","H_i")
sum(tej4$x_i*tej4$h_i)## [1] 42.99744Ejemplo 2 Donantes de sangre Hospital general de Medellin
n <- length(BSHGM20240123$EDAD)
m <- nclass.Sturges(BSHGM20240123$EDAD)
R <- max(BSHGM20240123$EDAD)-min(BSHGM20240123$EDAD)
a <- trunc(R/m)+1
LI <- min(na.omit(BSHGM20240123$EDAD))+0:(m-1)*a
LS <- LI+a
f_i <- rep(0,m)
for (i in 1:m) {
f_i[i]=length(BSHGM20240123$EDAD[BSHGM20240123$EDAD<LS[i]&BSHGM20240123$EDAD>=LI[i]])
}
h_i <- f_i/n
F_i <- cumsum(f_i)
H_i <- F_i/n
tej2ed <- cbind.data.frame(LI,LS,0.5*(LI+LS),f_i,h_i,F_i,H_i)
colnames(tej2ed) <- c("L_inf","L_sup","x_i","f_i","h_i","F_i","H_i")
sum(tej2ed$x_i*tej2ed$h_i)## [1] 38.39114mean(BSHGM20240123$EDAD)## [1] 37.86944La ventajas de la media aritmetica es su facil calculo e interpretación, en contraposición su mayor desventaja es su afectación por valores extremos por esta razon no es recomendable su calculo con datos asimetricos.
Otra media posible es la media geometrica que se nota con \(\bar{x_g}\) y se define como la media de los logaritmos;
\[ \log(\bar{x}_g)=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n\log(x_i)\hspace{3cm}\bar{x}_g=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^nx_i} \]
Su uso esta recomendado para variables que no “sigan una distribución normal”, la mayor ventaja es que no se afecta por valores extremos, pero su calculo e interpretación es mas dificil ademas solo se puede aplicar si los numeros son positivos.
Otra media es la media armonica que se define como el reciproco de la media de los reciprocos de los datos y se nota por \(\bar{x}_a\);
\[ \dfrac{1}{\bar{x}_a}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{x_i} \hspace{3cm} \bar{x}_a=\dfrac{n}{\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{x_i}} \]
Su uso principal es para promediar velocidades, tiempos y rendimientos, no se recomienda usar con valores muy pequeños.
Por ultimo se introduce la media cuadratica que es la raiz cuadrada de la media de los cuadrados, se usa principalmente para calcular el valor eficaz de una corriente alterna.
\[ \bar{x}_c=\sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^2}\] En este caso calcularemos las cuatro medias para la variable estatura, es necesario tomas solo las estaturas mayores a cero.
ESTATURA <- BSHGM20240123$ESTATURA[BSHGM20240123$ESTATURA>0]
# media aritmetica
mean(ESTATURA)## [1] 1.662647# media geometrica
prod(ESTATURA^{1/n})## [1] 1.659525# media armonica
length(ESTATURA)/sum(1/ESTATURA)## [1] 1.656736# media cuadratica
(sum(ESTATURA^2)/length(ESTATURA))^{1/2}## [1] 1.665213Mediana
La mediana \(Me\) es el valor que se encuentra en el centro de una secuencia ordenada de datos, al ser una medida que depende del orden de los datos por esto no se ve afectada por valores extremos, ademas su calculo e interpretación es sencilla. El calculo se realiza segun si la cantidad de datos es par o impar;
\[ n\ \text{impar}\hspace{1cm} Me=x_{\frac{n+1}{2}} \hspace{3cm} n\ \text{par}\hspace{1cm} Me=\frac{1}{2}\left(x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1}\right) \] ### Ejemplo 1 Temperatura de un horno
ej1temp## [1] 953 950 948 955 951 949 957 954 955sort(ej1temp)## [1] 948 949 950 951 953 954 955 955 957(n <- length(ej1temp))## [1] 9sort(ej1temp)[(n+1)*0.5]## [1] 953median(ej1temp)## [1] 953Ejemplo 5 Datos de acomodamiento visual
Montgomery, D.C., Runger, G.C. (2002). Probabilidad y Estad´ıstica aplicadas a la ingenier´ıa. Editorial Limusa Wiley.
Un articulo publicado en Humnas Factors(junio 1989) presenta datos de acomodamiento visual (una función del movimiento del ojo) cuando se reconoce un patrón de manchas sobre la pantalla de un tubo de rayos catódicos de alta resolución. Los datos son: 36.45, 67.90, 38.77, 42.18, 26.72, 50.77, 39.30, y 49.71. Determinar la mediana.
ej5av <- c(36.45, 67.90, 38.77, 42.18, 26.72, 50.77, 39.30, 49.71)
(n <- length(ej5av))## [1] 80.5*(sort(ej5av)[0.5*n]+sort(ej5av)[0.5*n+1])## [1] 40.74median(ej5av)## [1] 40.74Ejemplo 2 Donantes de sangre Hospital general de Medellin
median(BSHGM20240123$EDAD)## [1] 36median(BSHGM20240123$ESTATURA)## [1] 1.65apply(BSHGM20240123[,c(7,8,10)], MARGIN = 2, FUN = median)## EDAD ESTATURA PESO
## 36.00 1.65 71.00Moda
Es el valor de un conjunto de datos que aparece con mayor frecuencia. A diferencia de la media, la moda no se afecta por los valores extremos. Sin embargo es mucho mas variable para distintas muestras que las demas medidas de tendencia central. Un conjunto de datos puede tener mas de una moda o ninguna.
Ejemplo 1 Temperatura de un horno
library(modeest)
mlv(ej1temp, method = "mfv")## [1] 955Ejemplo 2 Donantes de sangre Hospital general de Medellin
mlv(BSHGM20240123$EDAD, method ="mfv")## [1] 22modas <- function(x) {mlv(x,method = "mfv")}
apply(BSHGM20240123[,c(7,8,10)], 2, modas)## EDAD ESTATURA PESO
## 22.0 1.6 68.0En el caso de datos agrupados existen diferentes formulas las mas usadas son;
\[ Mo = L_i+\left(\dfrac{f_i-f_{i-1}}{2f_i-f_{i-1}-f_{i+1}}\right)a \hspace{3cm} Mo=L_i+\left(\dfrac{f_{i+1}}{f_{i-1}+f_{i+1}}\right)a\] donde \(i\) es el la clase o clases con mayor frecuencia absoluta, \(L_i\) es el limite inferior del intervalo de la clase correspondiente y \(a\) es la amplitud.
Ejemplo 4 COVID 19 Boyaca
tej4[tej4$f_i==max(tej4$f_i),]i <- 2
a <- tej4$L_sup[1]-tej4$L_inf[1]
tej4$L_inf[i]+(tej4$f_i[i]-tej4$f_i[i-1])/(2*tej4$f_i[i]-tej4$f_i[i-1]-tej4$f_i[i+1])*a## [1] 24.28889Ejemplo 2 Donantes de sangre Hospital general de Medellin
tej2ed[tej2ed$f_i==max(tej2ed$f_i),]i <- 4
a <- tej2ed$L_sup[1]-tej2ed$L_inf[1]
tej2ed$L_inf[i]+(tej2ed$f_i[i]-tej2ed$f_i[i-1])/(2*tej2ed$f_i[i]-tej2ed$f_i[i-1]-tej2ed$f_i[i+1])*a## [1] 27.54277Medidas de posición
Cuartiles agrupados
El calculo de los cuartiles usado en R esta dado por los siguientes pasos.
- Se calcula la posicion del cuartil dos (\(w = \frac{n+1}{2}\) ) si es entero sera el dato de esta posición, en caso contrario se calcula el punto medio entre los datos alrededor de la posición.
- para calcular el cuartil uno (tres) se calcula su posicion con \(\frac{w+1}{2}\) (\(n + 1 − \frac{w+1}{2}\)), si este valor es entero se toma el dato de la posición correspondiente, en caso contrario se restan los datos alrededor de esta posición, se multiplican por la parte decimal del calculo de la posición y se le suma el dato anterior a la posición.
Ejemplo 1 Temperatura de un horno
n <- length(ej1temp)
ej1temp <- sort(ej1temp)
# calculo de la posición del cuartil 2
(w <- (n+1)/2)## [1] 5# calculo del cuartil 2
(q_2 <- ej1temp[w])## [1] 953# calculo de la posición del cuartil 1
(tmp <- 0.5*(w+1))## [1] 3# calculo del caurtil 1
(q_1 <- ej1temp[tmp])## [1] 950# calculo de la posición del cuartil 3
(tmp <- n+1-tmp)## [1] 7# calculo del cuartil 3
(q_3 <- ej1temp[tmp])## [1] 955Ejemplo 5 Datos de acomodamiento visual
n <- length(ej5av)
ej5av <- sort(ej5av)
# calculo de la posición del cuartil 2
(w <- (n+1)/2)## [1] 4.5# calculo del cuartil 2
(q_2 <- (ej5av[floor(w)]+ej5av[floor(w)+1])/2)## [1] 40.74# calculo de la posición del cuartil 1
(tmp <- 0.5*(w+1))## [1] 2.75# calculo del caurtil 1
(q_1 <- ej5av[floor(tmp)]+(ej5av[floor(tmp)+1]-ej5av[floor(tmp)])*(tmp-floor(tmp)))## [1] 38.19# calculo de la posición del cuartil 3
(tmp <- n+1-tmp)## [1] 6.25# calculo del cuartil 3
(q_3 <- ej5av[floor(tmp)]+(ej5av[floor(tmp)+1]-ej5av[floor(tmp)])*(tmp-floor(tmp)))## [1] 49.975quantile(ej5av)## 0% 25% 50% 75% 100%
## 26.720 38.190 40.740 49.975 67.900boxplot(ej5av)
Ejemplo 2 Donantes de sangre Hospital general de Medellin
apply(BSHGM20240123[,c(7,8,10)],2,quantile)## EDAD ESTATURA PESO
## 0% 0 0.00 2
## 25% 27 1.60 63
## 50% 36 1.65 71
## 75% 47 1.73 81
## 100% 104 2.03 170Cuartiles agrupados
Para el caso de datos agrupados se calcula tomando \(i\) como la \(F_i > \frac{n}{4}\), \(F_i>\frac{n}{2}\) y \(F_i > \frac{3n}{4}\) para el primer, segundo y tercer cuartil respectivamente y se le asigna a cada cuartil el dato correspondiente. Si los datos estan agrupados en intervarlos se define el \(i\) de igual forma pero el cuartil se calcula con la siguiente formula;
\[Q_j = L_i+\dfrac{\frac{jn}{4}-F_{i-1}}{{f_i}}a\]
Donde \(L_i\) es el limite inferior del intervalo \(i\), \(a\) corresponde a la amplitud, \(j\) es el cuartil.
Ejemplo 2 Donantes de sangre Hospital general de Medellin
n <- sum(tej2ed$f_i)
tej2edc(n/4,n/2,3*n/4)## [1] 7234.25 14468.50 21702.75a <- tej2ed$L_sup[1]-tej2ed$L_inf[1]
(Q_1 <- tej2ed$L_inf[4]+(n/4-tej2ed$F_i[3])/tej2ed$f_i[4]*a)## [1] 27.79577(Q_2 <- tej2ed$L_inf[6]+(n/2-tej2ed$F_i[5])/tej2ed$f_i[6]*a)## [1] 36.98699(Q_3 <- tej2ed$L_inf[7]+(3*n/4-tej2ed$F_i[6])/tej2ed$f_i[7]*a)## [1] 48.04572Percentiles
En el caso de datos des-agrupados se calcula la posición de la siguiente forma, si se quiere calcular el percentil del \(k\) por ciento \(p_k\) con \(0 < k < 1\); \[w = k(n-1)+1\] Para el calculo de su valor podemos tomar dos opciones una parecida a la de los cuartiles, donde definimos \(w_1\) como la parte entera de \(w\) y \(w_2\) como la parte decimal y se realiza el siguiente calculo;
\[ x_{w_1} + (x_{w_1+1} − x_{w_1}) ∗ w_2\]
O sencillamente se calcula el promedio entre los datos alrededor de la posición calculada, así;
\[\dfrac{x_{w_1} + x_{w_1+1}}{2}\]
Ejemplo 5 Datos de acomodamiento visual
ej5av## [1] 26.72 36.45 38.77 39.30 42.18 49.71 50.77 67.90n <- length(ej5av)
k <- 0.37
(w <- k*(n-1)+1)## [1] 3.59ej5av[floor(w)]+(ej5av[floor(w)+1]-ej5av[floor(w)])*(w-floor(w))## [1] 39.08270.5*(ej5av[floor(w)]+ej5av[floor(w)+1])## [1] 39.035quantile(ej5av,k)## 37%
## 39.0827Ejemplo 2 Donantes de sangre Hospital general de Medellin
quantile(BSHGM20240123$EDAD,seq(from = 0.02, to = 1, by = 0.06))## 2% 8% 14% 20% 26% 32% 38% 44% 50% 56% 62% 68% 74% 80% 86% 92% 98%
## 19 21 23 25 28 30 32 34 36 39 41 44 47 50 54 58 63En el caso de los datos agrupados se usa la siguiente formula;
\[P_k=L_i+\dfrac{kn-F_{i-1}}{{f_i}}a\]
tomando \(i\) como la primera clase donde la frecuencia acumulada supera a \(kn\) y el resto de valores se toman igual que en los cuartiles
Ejemplo 2 Donantes de sangre Hospital general de Medellin
n <- tej2ed$F_i[16]
tej2edn*0.26## [1] 7523.62(p_26 <- tej2ed$L_inf[5]+(n*0.26-tej2ed$F_i[4])/tej2ed$f_i[5]*a)## [1] 28.14549n*0.98## [1] 28358.26(p_98 <- tej2ed$L_inf[10]+(n*0.98-tej2ed$F_i[9])/tej2ed$f_i[10]*a)## [1] 63.51894Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión también denominadas medidas de variabilidad, nos indican si las medidas anteriores están muy próximas entres sí o si por el contrario están muy dispersas. Las medidas de dispersion mas usadas son rango, varianza, desviación estándar y el coeficiente de variación.
Rango
Su calculo del rango es sencillo se calcula la diferencia entre el mayor dato y el menor, en caso de estar agrupados se toma el limite superior del ultimo intervalo y se le resta al limite inferior del primer intervalo. Se caracterizan por su facil calculo, ser afectada por valores extremos, puede aumentar o quedar igual con nuevas observaciones pero nunca disminuye.
Ejemplo 2 Donantes de sangre Hospital general de Medellin
# datos desagrupados
max(BSHGM20240123$EDAD)-min(BSHGM20240123$EDAD)## [1] 104# datos agrupados
tej2ed$L_sup[16]-tej2ed$L_inf[1]## [1] 112Varianza y Desviación Estandar
Establecen la forma en que los valores fluctuan con respecto a la media aritmetica, la desviacion estandar (\(S\)) es la raiz cuadrada de la varianza (\(S^2\)). La característica principal es que siempre son positivas, y su uso principal es para la inferencia estadística. Para el caso de varianza poplacional y desviacion estandar poblacional se usan los simbolos \(\sigma^2\) y \(\sigma\) respectivamente. El calculo se hace con las siguientes formulas;
\[\text{No agrupados}\hspace{1cm} S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2 \hspace{2cm} \text{agrupados} \hspace{1cm} S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2f_i\]
Ejemplo 2 Donantes de sangre Hospital general de Medellin
sum((BSHGM20240123$EDAD-mean(BSHGM20240123$EDAD))^2)/(length(BSHGM20240123$EDAD)-1)## [1] 156.1733var(BSHGM20240123$EDAD)## [1] 156.1733sqrt(var(BSHGM20240123$EDAD))## [1] 12.49693sd(BSHGM20240123$EDAD)## [1] 12.49693- Como las unidades de la varianza son las unidades de los datos, es mas usada la desviación.
- Su uso no es recomendable cuando la media aritmetica como medida de tendencia central.
- En el intervalo \((\bar{x}-iS,\bar{x}+iS)\) se encuentra el 68%, 95% y 99.7% para \(i=1\), \(2\) y \(3\) respectivamente.
media <- mean(BSHGM20240123$EDAD)
desvest <- sd(BSHGM20240123$EDAD)
n <- length(BSHGM20240123$EDAD)
for (i in 1:3) {
tmp <- sum(BSHGM20240123$EDAD>media-i*desvest&BSHGM20240123$EDAD<media+i*desvest)
print(paste("i=",i," ",round(tmp/n*100,2),"%"," en (",round(media-i*desvest,1),",",round(media+i*desvest,1),")"))
}## [1] "i= 1 60.11 % en ( 25.4 , 50.4 )"
## [1] "i= 2 97.84 % en ( 12.9 , 62.9 )"
## [1] "i= 3 99.99 % en ( 0.4 , 75.4 )"Coeficiente de Variación
La mayor ventaja del coeficiente de variación es ser una variable a dimensional, permitiendo comparar diferentes poblaciones o medidas de una misma población. se debe calcular sobre valores positivos.
Ejemplo 2 Donantes de sangre Hospital general de Medellin
sd(BSHGM20240123$EDAD)/mean(BSHGM20240123$EDAD)## [1] 0.3300004sd(BSHGM20240123$PESO)/mean(BSHGM20240123$PESO)## [1] 0.1847584sd(BSHGM20240123$ESTATURA)/mean(BSHGM20240123$ESTATURA)## [1] 0.05978125Bibliografia
- Montgomery, D.C., Runger, G.C. (2002). Probabilidad y Estadística aplicadas a la ingeniería. Editorial Limusa Wiley.
- Walpole, Ronald E. (2007) Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. Editorial Pearson.
- Canavos, George. (1999) Probabilidad y Estadística. Editorial Mc. Graw Hill. M
- https://r-charts.com
- https://www.datos.gov.co/Salud-y-Protecci-n-Social/Banco-de-sangre-Hospital-General-de-Medell-n/65is-zhxx/about_data
- Hyndman, R. J., & Fan, Y. (1996). Sample quantiles in statistical packages. The American Statistician, 50(4), 361-365.