Solucion de ED mediante Transformadas de Laplace

1 Solucion de ecuaciones diferenciales lineales de orden superior mediante transformadas de Laplace

Las transformadas de Laplace se constituyen como una técnica eficiente para resolver una ecuacion diferencial lineal de orden superior siempre y cuando se cuente con las condiciones iniciales de la ecuación.

Para aplicar esta metodologia seguiremos los siguientes pasos:

1. Aplicar la transformada de Laplace
   
2. Expresar la función transformada como una fracción parcial.
3. Aplicar transformada inversa de Laplace para obetener la solución.
   Para ejemplificar la metodología resolveremos la siguiente ecuación diferencial lineal de segundo orden:

$$y''-3y'+2y=e^{-4x}$$ Sujeta a las condiciones iniciales $y(0)=1$ y $y'(0)=5$.

1.1 Aplicando la Transformada de Laplace

$$\begin{equation} \mathscr{L}\{y''\}-\mathscr{L}\{3y'\}+\mathscr{L}\{2y\}=\mathscr{L}\{e^{-4x}\} \end{equation}$$

Ahora implementaremos la transformada de una derivada:

$$[{s^2}y(s)-sy(0)-y'(0)]-3[sy(s)-y(0)]+2[y(s)]=\dfrac{1}{s+4}$$ $$[{s^2}y(s)-s-5]-3[sy(s)-1]+2[y(s)]=\dfrac{1}{s+4}$$ Simplificando y agrupando:

$$y(s)(s^2-3s-2)=\dfrac{1}{s+4}+s-2$$ Resolviendo la fraccion y despejando $y(s)$:

$$y(s)=\dfrac{s^2+6s+9}{(s+4)(s^2-3s+2)}$$ Factorizando el denominador de la fraccion:

$$y(s)=\dfrac{s^2+6s+9}{(s-2)(s-1)(s+4)}$$

1.2 Aplicando fracciones parciales

$$\dfrac{s^2+6s+9}{(s-2)(s-1)(s+4)}=\dfrac{A}{s-1}+\dfrac{B}{s-1}+\dfrac{C}{s+4}$$ Igualando numeradores:

$$s^2+6s+9=A(s-1)(s+4)+B(s-2)(s+4)+C(s-2)(s-1)$$ $$s^2+6s+9=A(s^2+3s-4)+B(s^2+2s-8)+C(s^2-3s+2)$$ Agrupando de acuerdo al término $s$:

$$s^2+6s+9={s^2}(A+B+C)+s(3A+2B-3C)+(-4A-8B+2C)$$ Una vez teniendo esta iagualdad, se genera un sistema de ecuaciones lineales igualando los coeficientes de ambos miembros de la ecuación:

$$A+B+C=1$$ $$3A+2B-3C=6$$ $$-4A-8B+2C=9$$ Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales tenemos que:

$$A=\dfrac{25}{6}$$ $$B=-\dfrac{16}{5}$$ $$c=\dfrac{1}{30}$$ Sustituyendo las soluciones en la fracción parcial tenemos que:

$$y(s)=\dfrac{25}{6(s-2)}-\dfrac{16}{5(s-1)}+\dfrac{1}{30(s+4)}$$

1.3 Aplicando la transformada inversa de Laplace:

$$\mathscr{L}^{-1}\{y(s)\}=\dfrac{25}{6}{\mathscr{L}^{-1}}\{\dfrac{1}{s-2}\}-\dfrac{16}{5}{\mathscr{L}^{-1}}\{\dfrac{1}{s-1}\}+\dfrac{1}{30}{\mathscr{L}^{-1}}\{\dfrac{1}{s+4}\}$$

De ahí que obtenemos:

$$y(x)=\dfrac{25}{6}e^{2x}-\dfrac{16}{5}e^{x}+\dfrac{1}{30}e^{-4x}$$

Se deja al alumno la comprobacion del resultado de la ecuacion diferencial lineal de segundo orden.