Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

1 Sistemas de ecuaciones diferenciales

En las unidades anteriores trabajamos con ecuaciones diferenciales lineales, tanto homogeneas como no homogeneas, considerando ademas diferentes ordenes de la ecaucion, primordialmente de primer y segundo orden.

En esta unidadad abordaremos sólo sistemas de ecauciones diferenciales lineales de primer orden, siendo estas metodologias no restrictivas para implementarlas en ordenes superiores siempre que se conserve la linealidad.

Abordaremos los dos tipos de sistemas, homogéneos y no homogéneos, centrandonos en la solucion mediante Coeficientes constantes para el caso de los sistemas homogeneos y en Variación de parámetros para los sistemas no homogeneos, ademas de abordar sus respectivas soluciones mediante transformadas de Laplace.

Se asume que los alumnos tienen conocimientos básicos de Álgebra Lineal. requerida para la solcución de estos sistemas.

1.1 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales homogeneos

La solución $y=Ce^{mx}$ se extiende de manera natural a un sistema de ecuaciones diferenciales lineales homogeneos de cualquier orden de la forma:

$$X'=AX$$ donde:

$$\begin{equation} X'=\begin{pmatrix} \dfrac{d~x_1}{dx} \\ \dfrac{d~x_2}{dx} \\ \vdots \\ \dfrac{d~x_i}{dx} \end{pmatrix} \end{equation}$$

$$\begin{equation} A=\begin{pmatrix} {a_{11}(x)} & {a_{12}(x)} & \dotsi & {a_{1n}(x)}\\ {a_{21}(x)} & {a_{22}(x)} & \dotsi & {a_{2n}(x)}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ {a_{n1}(x)} & {a_{n2}(x)} & \dotsi & {a_{nn}(x)} \end{pmatrix} \end{equation}$$

$$\begin{equation} X=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_i \end{pmatrix} \end{equation}$$

Dado lo anterior, la solucion antes mencionada pueder resscribirse como:

$$\begin{equation} X=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_i \end{pmatrix}e^{\lambda{x}}=Ke^{\lambda{x}} \end{equation}$$

1.2 Eigenvalores y eigenvectores

Si la ecuación anterior es una solución del sistema lineal homogéneo, entonces $X'=K{\lambda}e^{\lambda{x}}$, por lo que el sistema se convierte en $K{\lambda}e^{\lambda{x}}=AKe^{\lambda{x}}$, dividiendo entre $e^{\lambda{x}}$ y reacomodando, podemos reescibir el sistema como:

$$(A-{\lambda}I)K=0$$ Que es un sistema de ecuaciones lineales homogéneo, por lo que debemos encontrar una solución no trivial del sistema. Para evitar que el vector solución del sistema sea la solución tivial, debemos asegurarnos que:

$$det(A-{\lambda}I)=0$$ Esta ecuación polinomial en términos de $\lambda$ se llama ecuación caracerística de la matriz A. Sus soluciones son los eigenvalores de A. Una solución $K \neq 0$ del sistema correspondiente a un eigenvalor $\lambda$ se llama eigenvector de A. Entonces una solución del sistema homogéneo es $X=Ke^{\lambda{x}}$

1.2.1 Solución general: Sistemas homogéneos

1.2.1.1 Eigenvalores reales distintos

Sean ${\lambda_1},{\lambda_2},...,{\lambda_n}$ n eigenvalores reales y distintos de la matriz de coeficientes A del sistema homogéneo y sean ${K_1},{K_2},...,{K_n}$ los eigenvectores correspondientes. Entonces la solucion general del sistema en $(-\infty,\infty)$ está dada por:

$$X={C_1}{K_1}{e^{\lambda_1{x}}}+{C_2}{K_2}{e^{\lambda_2{x}}}+\dotsi+{C_n}{K_n}{e^{\lambda_n{x}}}$$

1.2.1.2 Eigenvalores reales repetidos

En general, si $m$ es una entero positivo y $(\lambda-\lambda_1)^m$ es un facto de la ecuación característica, mientas que $(\lambda-\lambda_1)^{m+1}$ no es un factor, entonces se dice que $\lambda_1$ es un eigenvalor de multiplicidad $m$. Podemos entonces observar los siguientes casos:

1. Para algunas matrices A de $n \times n$ sería posible encontrar m eigenvectores linealmente independientes ${K_1},{K_2},...,{K_m}$, correspondientes a un eigenvalor $\lambda_1$, de multiplicidad $m \leq n$, en este caso, lasolución general del sistema contiene la combinación lineal:

$$\begin{equation} {C_1}{K_1}{e^{\lambda_1{x}}}+{C_2}{K_2}{e^{\lambda_1{x}}}+\dotsi+{C_m}{K_m}{e^{\lambda_1{x}}} \end{equation}$$

2. Si sólo hay un eigenvector propio que corresponde al eigenvalor $\lambda_1$ de multiplicidad m, entonces siempre se pueden encontrar m soluciones linealmente independientes de la forma:

$$\begin{equation} \begin{matrix} X_1={K_{11}e^{\lambda_1{x}}}\\ X_2={K_{21}xe^{\lambda_1{x}}}+{K_{22}e^{\lambda_1{x}}}\\ \vdots\\ X_m={K_{m1}\dfrac{x^{m-1}}{(m-1)!}e^{\lambda_1{x}}}+{K_{m2}\dfrac{x^{m-2}}{(m-2)!}e^{\lambda_1{x}}}+\dotsi+{K_{mm}{\lambda_1{x}}} \end{matrix} \end{equation}$$

1.2.1.3 Eigenvalores complejos conjugados

Sea A una matriz de coeficientes que tiene entradas reales del sistema homogéneo y sea $k_1$ un eigenvector correspondiente al eigenvalor complejo $\lambda_1=\alpha+\beta{i}$, con $\alpha$ y $\beta$ reales, entonces:

$$K_1{e^{\lambda_1{x}}}~y~{\overline{K}_1}{e^{\overline{\lambda}_1{x}}}$$ Son solución del sistema homogéneo.

1.3 Ejemplo

Considere el sigueinte sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden:

$$\begin{equation} \begin{pmatrix} \dfrac{dx}{dt} \\ \dfrac{dy}{dt} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2x+3y \\ 2x+y \end{pmatrix} \end{equation}$$

Sujeto a las condiciones iniciales $x(0)=1$ y $y(0)=1$

1. Escribe el sistema en forma matricial

$$\begin{equation} X'=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 1\end{pmatrix}X \end{equation}$$

2. Determinar los eigenvalores del sistema mediante el determinante $det(A-I{\lambda)=0}$.

$$\begin{equation} det(A-I{\lambda})= \begin{vmatrix} (2-\lambda) & 3 \\ 2 & (1-\lambda)\end{vmatrix}=(2-\lambda)(1-\lambda)-6=0 \end{equation}$$

Reduciendo la expresion tenemos que:

$$\begin{equation} (\lambda+1)(\lambda-4)=0 \end{equation}$$

Por lo que se concluye que la solución no trivial del sistema viene dada por $\lambda_1=-1$ y $\lambda_2=4$.

3. Sustituyendo los valores de $\lambda_1=-1$ y $\lambda_2=4$ en el sistema tenemos que:

$$\begin{equation} \begin{matrix} (2-\lambda){k_1}+3{k_2}=0 \\ 2{k_1}+(1-\lambda){k_2}=0 \end{matrix} \end{equation}$$

Sustituyendo el valor de $\lambda=-1$:

$$\begin{equation} \begin{matrix} (2-(-1)){k_1}+3{k_2}=0 \\ 2{k_1}+(1-(-1)){k_2}=0 \end{matrix} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \begin{matrix} 3{k_1}+3{k_2}=0 \\ 2{k_1}+3{k_2}=0 \end{matrix} \end{equation}$$

Escribiendo el sistema en forma matricial:

$$\begin{equation} \begin{pmatrix} 3 & 3\\ 2 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{equation}$$

Aplicando eliminacion de Gauss-Jordan tenemos que $k_1=-k_2$, asumiendo, de manera arbitraria, que $k_1=1$, entonces el vector $K_1$ queda escrito de la siguiente manera:

$$\begin{equation} K_1=\begin{pmatrix} 1 \\-1 \end{pmatrix} \end{equation}$$

Sustituyendo el valor de $\lambda=4$:

$$\begin{equation} \begin{matrix} (2-(4)){k_1}+3{k_2}=0 \\ 2{k_1}+(1-(4)){k_2}=0 \end{matrix} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \begin{matrix} -2{k_1}+3{k_2}=0 \\ 2{k_1}-3{k_2}=0 \end{matrix} \end{equation}$$

Escribiendo la ecuacion en forma matricial:

$$\begin{equation} \begin{pmatrix} -2 & 3\\ 2 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{equation}$$

Aplicando eliminacion de Gauss-Jordan tenemos que $k_1=\dfrac{3}{2}k_2$, asumiendo, de manera arbitraria, que $k_2=1$, entonces el vector $K_1$ queda escrito de la siguiente manera:

$$\begin{equation} K_1=\begin{pmatrix} \dfrac{3}{2} \\ 1 \end{pmatrix} \end{equation}$$

Considerando el caso de que el sistema tiene eigenvalores reales y distintos, la solución al sistema se define mediante la expresion:

$$\begin{equation} X={C_1}{K_1}{e^{\lambda_1{x}}}+{C_2}{K_2}{e^{\lambda_2{x}}}+\dotsi+{C_n}{K_n}{e^{\lambda_n{x}}} \end{equation}$$

Quedando definida como:

$$\begin{equation} \begin{matrix} X={C_1}{\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}}e^{-t}+{C_2}{\begin{pmatrix} \dfrac{3}{2} \\ 1 \end{pmatrix}}e^{4t} \end{matrix} \end{equation}$$

Escrito en forma de ecuación la solucion se representa como:

$$\begin{equation} \begin{matrix} x={C_1}e^{-t}+\dfrac{3}{2}{C_2}e^{4t} \\ y=-{C_1}e^{-t}+{C_2}e^{4t} \end{matrix} \end{equation}$$

Analizando condiciones iniciales $x(0)=1$ y $y(0)=1$:

$$\begin{equation} \begin{matrix} 1={C_1}e^{0}+\dfrac{3}{2}{C_2}e^{4(0)} \\ 1=-{C_1}e^{0}+{C_2}e^{4(0)} \end{matrix} \end{equation}$$

De aqui se desprende el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

$$\begin{equation} \begin{matrix} {C_1}+\dfrac{3}{2}{C_2}=1 \\ -{C_1}+{C_2}=1 \end{matrix} \end{equation}$$

Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales obtenemos los valores $c_1=-\dfrac{1}{5}$ y $C_2=\dfrac{4}{5}$, por lo que la solución particular del sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden se escribe como:

$$\begin{equation} \begin{matrix} x={-\dfrac{1}{5}}e^{-t}+\dfrac{3}{2}{\dfrac{4}{5}}e^{4t} \\ y=-{-\dfrac{1}{5}}e^{-t}+{\dfrac{4}{5}}e^{4t} \end{matrix} \end{equation}$$

Simplificando:

$$\begin{equation} \begin{matrix} x={-\dfrac{1}{5}}e^{-t}+{\dfrac{6}{5}}e^{4t} \\ y={-\dfrac{1}{5}}e^{-t}+{\dfrac{4}{5}}e^{4t} \end{matrix} \end{equation}$$

1.4 Solución mediante transformadas de Laplace

De la misma manera como podemos aplicar la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales lineales lineales homogéneas y no homogéneas, lo podemos hacer para los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales homogémeos y no homogéneos.
En este apartado abordaremos la aplicación de la transformada de Laplace a la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales homogéneos de primer orden, no siedo restrictiva la aplicación en sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de orden superior.

Tomaremos como ejmplo el mismo ejercicio considerado en numerales anteriores:

$$\begin{equation} X'=\begin{pmatrix} 2x +3y \\ 2x+y \end{pmatrix}X \end{equation}$$

Para encontrar la solución procederemos de la siguiente forma:

1. Aplicar la transformada de Laplace a todos los términos del sistema en forma de ecuación, es decir:

$$\begin{equation} \begin{matrix} \dfrac{dx}{dt}=2x+3y \\ \dfrac{dy}{dt}=2x+y \end{matrix} \end{equation}$$

Con condiciones iniciales $x(0)=1$ y $y(0)=1$.

Aplicando la transformada tenemos que:

$$\begin{equation} \begin{matrix} \mathscr{L}\{\dfrac{dx}{dt}\}=\mathscr{L}\{2x\}+\mathscr{L}\{3y\} \\ \mathscr{L}\{\dfrac{dy}{dt}\}=\mathscr{L}\{2x\}+\mathscr{L}\{y\} \end{matrix} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \begin{matrix} sx(s)-x(0)=2x(s)+3y(s) \\ sy(s)-y(0)=2x(s)+y(s) \end{matrix} \end{equation}$$

Sustituyendo las condiciones iniciales:

$$\begin{equation} \begin{matrix} sx(s)-1=2x(s)+3y(s) \\ sy(s)-1=2x(s)+y(s) \end{matrix} \end{equation}$$

Reescribiendo el sistema en terminos de $x(s)$ y $y(s)$ tenemos que:

$$\begin{equation} \begin{matrix} sx(s)-2x(s)-3y(s)=1 \\ sy(s)-2x(s)-y(s)=1 \end{matrix} \end{equation}$$

Reduciendo:

$$\begin{equation} \begin{matrix} (s-2)x(s)-3y(s)=1 \\ (s-1)y(s)-2x(s)=1 \end{matrix} \end{equation}$$

De $(s-1)y(s)-2x(s)=1$ despejamos $y(s)$:

$$\begin{equation} y(s)=\dfrac{1+2x(s)}{s-1} \end{equation}$$

Sustituyendo $y(s)$ en $(s-2)x(s)-3y(s)=1$:

$$\begin{equation} x(s)=\dfrac{3}{s^2-3s-4} \end{equation}$$

Sustituyendo $x(s)$ en $y(s)=\dfrac{1+2x(s)}{s-1}$:

$$\begin{equation} y(s)=\dfrac{s^2-3s+2}{(s^2-3s-4)(s-1)} \end{equation}$$

Ahora que tenemos expresiones tanto para $x(s)$ como para $y(s)$, podemos aplicar el proceso de fracciones parciales:

• Para $x(s)$:

$$\begin{equation} x(s)=\dfrac{3}{s^2-3s-4} \end{equation}$$

Factorizando el denominador tenemos que:

$$\begin{equation} s^2-3s-4=(s+1)(s-4) \end{equation}$$

$$\begin{equation} \dfrac{3}{(s+1)(s-4)}=\dfrac{A}{(s+1)}+\dfrac{B}{(s-4)} \end{equation}$$

Igualando numeradores:

$$\begin{equation} 3=A(s-4)+B(s+1) \end{equation}$$

$$\begin{equation} 3=As-4A+Bs+B \end{equation}$$

Agrupando de acuerdo al termino $s$:

$$\begin{equation} 3=s(A+B)+(-4A+B) \end{equation}$$

Igualando los coeficientes de ambos terminos de la ecuación:

$$\begin{equation} \begin{matrix} A+B=0 \\ -4A+B=3 \end{matrix} \end{equation}$$

Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales tenemos que $A=-\dfrac{3}{5}$ y $B=\dfrac{3}{5}$ y sustityendo en la fracción parcial:

$$\begin{equation} x(s)=\dfrac{-\dfrac{3}{5}}{(s+1)}+\dfrac{\dfrac{3}{5}}{(s-4)} \end{equation}$$

Simplificando:

$$\begin{equation} x(s)=-\dfrac{3}{5(s+1)}+\dfrac{3}{5(s-4)} \end{equation}$$

Aplicando transformada inversa tenemos que:

$$\begin{equation} {\mathscr{L}^{-1}}{x(s)}=-\dfrac{3}{5}{\mathscr{L}^{-1}}\dfrac{1}{s+1}+\dfrac{3}{5}{\mathscr{L}^{-1}}\dfrac{1}{s-4} \end{equation}$$

$$\begin{equation} x(t)=-\dfrac{3}{5}e^{-t}+\dfrac{3}{5}e^{4t} \end{equation}$$

Se deja al alumno el desarrollo de $y(t)$.