INTRODUCCIÓN

En ocasiones nos puede interesar estudiar si existe o no algún tipo de relación entre dos variables aleatorias. Las relaciones o asociaciones de este tipo entre variables se denominan correlaciones; y están medidas en escalas ordinales o de intervalos. En particular, nos interesa cuantificar la intensidad de la relación lineal entre dos variables.

Cuando el aumento de una de las variables viene acompañado del aumento de la otra, se trata de una correlación positiva o directa. La superficie de un bosque y el número de nidos en él están correlacionados positivamente. Si el aumento de una variable viene acompañado de una disminución en la otra, la correlación es negativa o inversa.

El hecho de que dos variables estén correlacionadas no quiere decir que una sea la causante de la otra dos variables pueden estar independientemente relacionadas con una tercera (quizás no identificada).

Es importante notar que la existencia de correlación entre variables no implica causalidad.

Una correlación perfecta se dá cuando todos los puntos de un diagrama de dispersión forman una linea recta perfecta. Estas correlaciones perfectas (positivas o negativas) prácticamente no existen en biología; suelen ser privilegio exclusivo de los físicos.

En lenguaje llano, la palabra “correlación” describe cualquier tipo de relación entre objetos y hechos. No obstante, en estadística tiene un significado más preciso: se refiere a la relación cuantitativa entre dos variables medidas en escalas ordinales o de intervalos.

Los coeficientes de correlación se pueden calcular mediante métodos paramétricos y no paramétricos. Un coeficiente paramétrico es el Coeficiente de Correlación de Pearson, que se usa para observaciones obtenidas sobre una escala de intervalos y esta sujeto a condiciones más restrictivas que las alternativas no paramétricas. De estas, una de las más ampliamente utilizadas es el Coeficiente de Correlación por Rangos de Spearman.

Si no hay correlación de ningún tipo entre dos variable, entonces tampoco habrá correlación lineal, por lo que r = 0. Sin embargo, el que ocurra r = 0 solo nos dice que no hay correlación lineal, pero puede que la haya de otro tipo. Mientras mas cercano a cero la correlación es mas débil.

En ocasiones, una correlación fuerte puede ser considerada como sistemáticamente no significativa, mientras que una débil puede ser sistemáticamente significativa, por lo que debemos resolver esta aparente paradoja (revisar, supuestos, tamaños de muestras, diseño estadístico y poder de la prueba, entre otras).

COEFICIENTE DE DETERMINACION R2

Una pregunta importante que se plantea en el análisis de regresión es la siguiente: Que porcentaje de la variación total en Y se debe a la variación en X? En otras palabras, cual es la proporción de la variación total en Y que puede ser explicada por la variación en X?

El cuadrado del coeficiente de correlación de Pearson es, en si mismo, un estadístico de gran utilidad denominado coeficiente de determinación. Es una medida de la proporción de la variabilidad en una variable, atribuible a la variabilidad de la otra. En una correlación perfecta donde r = +1 o -1, la variación de variable se corresponde con una variación exacta en el valor de la otra. Esta situación no se suele dar en biología, puesto que son muchos los factores que, por lo general, regulan las relaciones entre variables entre organismos.

En el ejemplo anterior el coeficiente de determinación es 0.6075721 = 0,60.75 o 60.75%, de lo que se deduce que aproximadamente el 40% del peso de las aves no esta relacionado con la longitud del pico.

0.7794691^2

## [1] 0.6075721

INTRODUCCIÓN

El Análisis de Regresión se usa cuando el investigador sabe que existe una relación entre las variables porque hay una teoría o investigaciones previas que la han descubierto. Por ejemplo, la relación entre espacio y tiempo ya se sabe que es la velocidad, o como la relación entre voltaje e intensidad de corriente eléctrica. En estos casos, el investigador suele estar interesado en verificar experimentalmente tal relación y el objeto de la regresión es encontrar la curva que mejor ajuste a sus datos experimentales.

Utilizando un diagrama de dispersión de puntos podemos resaltar las características de dos variables relacionadas, la linea que se genera denomina linea de mejor ajuste.

SUPUESTOS DEL MODELO DE REGRESION LINEAL

EJEMPLO

peso <- c(61, 60, 78, 62, 66, 60, 54, 84, 68)
altura <- c(162, 154, 180, 158, 171, 169, 166, 176, 163)
ej1 <- data.frame(peso, altura)
reg1 <- lm(peso ~ altura, data = ej1)
summary(reg1)

## 
## Call:
## lm(formula = peso ~ altura, data = ej1)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -11.444  -3.447   1.347   4.164  10.549 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)  
## (Intercept) -67.4679    51.1995  -1.318    0.229  
## altura        0.8007     0.3071   2.608    0.035 *
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 7.268 on 7 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.4927, Adjusted R-squared:  0.4203 
## F-statistic: 6.799 on 1 and 7 DF,  p-value: 0.03504

anova(reg1)

## Analysis of Variance Table
## 
## Response: peso
##           Df Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)  
## altura     1 359.15  359.15  6.7994 0.03504 *
## Residuals  7 369.74   52.82                  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Observar que el anova es significativo. Muy importante tener este resultado en las pruebas de la regresión, dado que esto se ajusta a lo que buscamos en la hipótesis de la regresión.

Ho = pendientes es igual a cero

H1 = pendientes es diferente a cero

VERIFICACIÓN DE SUPUESTOS

par(mfrow = c(2, 2))
plot(reg1)

# Residual vs Fitted: Deberia estar distribuidos aleatoriamente alrededor de
# la linea horizontal que representa un error residual de cero

# Normal Q-Q: deberia sugerir que los errores residuales se distribuyen
# normalmente.

# Scale-Location Muestra la raiz cuadrada de los residuos estandarizados,
# como una funcion de los valores ajustados. No deberia existir una
# tendencia clara en ese trama.

# Residual vs Leverage Las distancias mas grandes que 1 son sospechosos y
# sugieren la presencia de un valor atipico posible. y su eliminacion podria
# tener efectos sobre la regresion.

FUNCIONES GRÁFICAS USANDO “visreg” AND “ggplot2”

Exploraremos el uso de dos paquetes visreg y ggplot2 para traficar. Usted decide cual es su preferido.

library(visreg)
# Notese que solo requiere incluir la variable independiente, para graficar.
visreg(reg1, "altura", partial = F)  #reg1 es nuestro vector que contiene la ecuacion de regresion.

# Nos brinda una resumen de la regresion
summary(reg1)

## 
## Call:
## lm(formula = peso ~ altura, data = ej1)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -11.444  -3.447   1.347   4.164  10.549 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)  
## (Intercept) -67.4679    51.1995  -1.318    0.229  
## altura        0.8007     0.3071   2.608    0.035 *
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 7.268 on 7 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.4927, Adjusted R-squared:  0.4203 
## F-statistic: 6.799 on 1 and 7 DF,  p-value: 0.03504

Los valores que debemos interpretar del summary son:

La ecuación de predicción obtenida por la regresión sería:

peso = -67.4679 + 0.8007 * altura

INTEPRETACIÓN DE RESULTADOS

En promedio, cada incremento en una unidad de la altura, corresponde a un incremento del peso de 0.80 kg, asi mismo que una persona cuyo peso sea de cero (origen de y), tenga una altura de -67.46, esto obviamente no parece posible. Dado que la regresion estima como logramos ver, estimaciones mas alla de los valores observados.

#Otra forma grafica con ggplot2
library(ggplot2)#ggplot2 es una extension poderosa para graficar
ggplot(ej1, aes(x=altura, y=peso)) +
geom_point(shape=1) +    # genera circulos en el grafico
geom_smooth(method=lm)   # adjunta la linea de regresion por defecto es al 95% de confianza

## `geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'

shapiro.test(resid(reg1))  #Normalidad

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  resid(reg1)
## W = 0.97706, p-value = 0.9475

library(car)

## Cargando paquete requerido: carData

ncvTest(reg1)  #Prueba de heterocedasticidad, Ho=varianzas son constantes

## Non-constant Variance Score Test 
## Variance formula: ~ fitted.values 
## Chisquare = 0.3545291, Df = 1, p = 0.55156

INTRODUCCIÓN

En ocasiones tenemos una variable respuesta “dependiente” (Y) de un múltiples variables predictorias o independiente (X1, X2, X3, …,Xi). En esta circustancia, un analisis de regresión lineal múltiple podría determinar un modelo de la relación de las variable respuesta con las variable regresoras. En este tipo de modelos es importante probar la normalidad de residuos, heterocedasticidad y multicolinealidad.

A continuación de desarrolla un ejemplo de regresión múltiple:

Usaremos los datos de Prestige desde la library (car)

library(car)
data(Prestige)
head(Prestige)

##                     education income women prestige census type
## gov.administrators      13.11  12351 11.16     68.8   1113 prof
## general.managers        12.26  25879  4.02     69.1   1130 prof
## accountants             12.77   9271 15.70     63.4   1171 prof
## purchasing.officers     11.42   8865  9.11     56.8   1175 prof
## chemists                14.62   8403 11.68     73.5   2111 prof
## physicists              15.64  11030  5.13     77.6   2113 prof

names(Prestige)

## [1] "education" "income"    "women"     "prestige"  "census"    "type"

Generamos un modelo de regresion multiple (variables independientes)

reg2 <- lm(prestige ~ education + women, data = Prestige)
summary(reg2)

## 
## Call:
## lm(formula = prestige ~ education + women, data = Prestige)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -28.010  -4.069   1.050   5.027  18.942 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -8.75416    3.54213  -2.471 0.015164 *  
## education    5.42780    0.31612  17.170  < 2e-16 ***
## women       -0.09305    0.02719  -3.422 0.000904 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 8.652 on 99 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.7521, Adjusted R-squared:  0.7471 
## F-statistic: 150.2 on 2 and 99 DF,  p-value: < 2.2e-16

Revisamos el modelo

anova(reg2)

## Analysis of Variance Table
## 
## Response: prestige
##           Df  Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)    
## education  1 21608.4 21608.4 288.685 < 2.2e-16 ***
## women      1   876.7   876.7  11.713 0.0009039 ***
## Residuals 99  7410.3    74.9                      
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Verificamos los supuestos gráficamente

par(mfrow = c(2, 2))
plot(reg2)

shapiro.test(residuals(reg2))

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  residuals(reg2)
## W = 0.98367, p-value = 0.2419

library(visreg)
visreg(reg2, "education", partial = F)

visreg(reg2, "women", partial = F)

#para la variable women
library(ggplot2)
ggplot(Prestige, aes(x=women, y=prestige)) +
geom_point(shape=1) +    # genera circulos en el grafico
geom_smooth(method=lm)   # adjunta la linea de regresion por defecto es al 95% de confianza

## `geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'

#para la variable education
library(ggplot2)
ggplot(Prestige, aes(x=education, y=prestige)) +
geom_point(shape=1) +    # genera circulos en el grafico
geom_smooth(method=lm)   # adjunta la linea de regresion por defecto es al 95% de confianza

## `geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'

#Figura con lineas suavizadas
library(ggplot2)
par(mfrow=c(1,2))
ggplot(Prestige, aes(x=women, y=prestige)) +
geom_point(shape=1) +    # genera circulos en el grafico
geom_smooth()  # adjunta la linea de regresion por defecto es al 95% de confianza, de forma suavizada.

## `geom_smooth()` using method = 'loess' and formula = 'y ~ x'

ggplot(Prestige, aes(x=income, y=prestige)) +
geom_point(shape=1) +    # genera circulos en el grafico
geom_smooth()  # adjunta la linea de regresion por defecto es al 95% de confianza, de forma suavizada.

## `geom_smooth()` using method = 'loess' and formula = 'y ~ x'

# Generamos un segundo modelo de regresion multiple, incluyendo una variable
# adicional (income) al modelo
reg3 <- lm(prestige ~ education + women + income, data = Prestige)
# Revisamos todo lo aprendido
summary(reg3)

## 
## Call:
## lm(formula = prestige ~ education + women + income, data = Prestige)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -19.8246  -5.3332  -0.1364   5.1587  17.5045 
## 
## Coefficients:
##               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -6.7943342  3.2390886  -2.098   0.0385 *  
## education    4.1866373  0.3887013  10.771  < 2e-16 ***
## women       -0.0089052  0.0304071  -0.293   0.7702    
## income       0.0013136  0.0002778   4.729 7.58e-06 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 7.846 on 98 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.7982, Adjusted R-squared:  0.792 
## F-statistic: 129.2 on 3 and 98 DF,  p-value: < 2.2e-16

anova(reg3)

## Analysis of Variance Table
## 
## Response: prestige
##           Df  Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)    
## education  1 21608.4 21608.4 350.974 < 2.2e-16 ***
## women      1   876.7   876.7  14.240 0.0002757 ***
## income     1  1376.7  1376.7  22.361 7.579e-06 ***
## Residuals 98  6033.6    61.6                      
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

par(mfrow = c(2, 2))
plot(reg3)

shapiro.test(residuals(reg3))

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  residuals(reg3)
## W = 0.99363, p-value = 0.918

library(visreg)
visreg(reg3, "income", partial = F)

AIC(reg2, reg3)

##      df      AIC
## reg2  4 734.5998
## reg3  5 715.6358

avPlots(reg2, id.n = 2, id.cex = 0.7)

avPlots(reg3, id.n = 2, id.cex = 0.7)

# Outlier, nos permite identificar los valores extremos.
outlierTest(reg2)

## No Studentized residuals with Bonferroni p < 0.05
## Largest |rstudent|:
##           rstudent unadjusted p-value Bonferroni p
## newsboys -3.437184         0.00086402      0.08813

qqPlot(reg2, id.n = 3)

##                  newsboys service.station.attendant 
##                        53                        54

outlierTest(reg3)

## No Studentized residuals with Bonferroni p < 0.05
## Largest |rstudent|:
##           rstudent unadjusted p-value Bonferroni p
## newsboys -2.694442          0.0083101      0.84763

qqPlot(reg3, id.n = 3)

## newsboys  farmers 
##       53       67

ncvTest(reg3)  # H0= varianza constante.

## Non-constant Variance Score Test 
## Variance formula: ~ fitted.values 
## Chisquare = 0.2490143, Df = 1, p = 0.61777

vif(reg3)  #valores >4 sugieren multicolineariedad

## education     women    income 
##  1.845165  1.526593  2.282038

Modelo de regresión

reg1 <- lm(Volume ~ Height + Girth, data=trees)
summary(reg1)

## 
## Call:
## lm(formula = Volume ~ Height + Girth, data = trees)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -6.4065 -2.6493 -0.2876  2.2003  8.4847 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -57.9877     8.6382  -6.713 2.75e-07 ***
## Height        0.3393     0.1302   2.607   0.0145 *  
## Girth         4.7082     0.2643  17.816  < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 3.882 on 28 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.948,  Adjusted R-squared:  0.9442 
## F-statistic:   255 on 2 and 28 DF,  p-value: < 2.2e-16

Revisamos los supuestos

par(mfrow=c(2,2))
plot(reg1)

Parece haber ciertos problemas en el cumplimiento de los supuestos!

El primer gráfico enfrenta los errores residuales frente a sus valores ajustados. Los residuos deben estar distribuidos al azar alrededor de la línea horizontal que representa un error residual de cero; es decir, no debe haber una tendencia clara en la distribución de puntos. Una tendencia en la variabilidad de los residuos sugiere que la varianza está relacionada con la media, violando el supuesto de varianza constante. Si el gráfico tiene forma de embudo, es decir, si los puntos parecen estar más o menos extendidos a lo largo del gráfico, entonces lo más probable es que exista heterocedastididad en los datos Así mismo, si se presentan agrupados los residuos, es posible que la aleatoriedad no se cumpla.

El segundo gráfico:residuos tipificados se trazan contra los cuantiles de una distribución normal estándar. Si los residuos se distribuyen normalmente los datos se deben situarse a lo largo de la línea.

El tercer gráfico:escala-ubicación en el que los residuos están estandarizados por sus desviaciones estándar estimadas. Esta gráfica se utiliza para detectar si la difusión de los residuos es constante en el rango de valores ajustados. Por lo tanto una variación de la tendencia, es que existen valores altos muestran una gran variación, y se puede traducir como el no cumplimiento de la homogeneidad de las varianzas

El cuarto gráfico:muestra el valor leverage de cada punto, que se relaciona con la medida de su importancia en la determinación del modelo de regresión. Están representados los datos que ejercen mayor influencia.

A veces es bueno correr algunas pruebas alrternativas para identificar esos valores influyentes de la regresión: Ejm

library(car)
influencePlot(reg1, id.n = 2)

##      StudRes       Hat     CookD
## 18 -1.859901 0.1434615 0.1775359
## 20 -1.105744 0.2112366 0.1082855
## 31  2.765603 0.2270585 0.6052326

Observe que los valores son la posición dentro de los datos

De momento nos queda primeramente solucionar el cumplimeinto de los supuestos.

Por lo que ejecutaremos una transformación de los datos.

reg2 <- lm(log(Volume) ~ log(Height) + log(Girth), data=trees)
summary(reg2)

## 
## Call:
## lm(formula = log(Volume) ~ log(Height) + log(Girth), data = trees)
## 
## Residuals:
##       Min        1Q    Median        3Q       Max 
## -0.168561 -0.048488  0.002431  0.063637  0.129223 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -6.63162    0.79979  -8.292 5.06e-09 ***
## log(Height)  1.11712    0.20444   5.464 7.81e-06 ***
## log(Girth)   1.98265    0.07501  26.432  < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.08139 on 28 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9777, Adjusted R-squared:  0.9761 
## F-statistic: 613.2 on 2 and 28 DF,  p-value: < 2.2e-16

par(mfrow=c(2,2))
plot(reg2)

Note como mejoran los supuestos

library(visreg)
par(mfrow=c(2,2))
visreg(reg2)

Forma la parte gráfica intereactiva en ggplot (se requieren de ciertos paquetes)

library(ggplot2)#ggplot2 es una extension poderosa para graficar
plot1<-ggplot(trees, aes(x=log(Height), y=log(Volume))) +
geom_point(shape=1) +    # genera circulos en el grafico
geom_smooth(method=lm)
library(plotly)
ggplotly(plot1) # Make the plot interactive

Buscando valores influyentes

library(car)
avPlots(reg2, id.n=2, id.cex=0.7)

Identificamos valores extremos

outlierTest(reg2)

## No Studentized residuals with Bonferroni p < 0.05
## Largest |rstudent|:
##    rstudent unadjusted p-value Bonferroni p
## 18 -2.32572           0.027789      0.86146

Extraemos el valor extremos y probamos un nuevo modelo

trees1<-trees[-c(3,15,17,18,20),]
trees1

##    Girth Height Volume
## 1    8.3     70   10.3
## 2    8.6     65   10.3
## 4   10.5     72   16.4
## 5   10.7     81   18.8
## 6   10.8     83   19.7
## 7   11.0     66   15.6
## 8   11.0     75   18.2
## 9   11.1     80   22.6
## 10  11.2     75   19.9
## 11  11.3     79   24.2
## 12  11.4     76   21.0
## 13  11.4     76   21.4
## 14  11.7     69   21.3
## 16  12.9     74   22.2
## 19  13.7     71   25.7
## 21  14.0     78   34.5
## 22  14.2     80   31.7
## 23  14.5     74   36.3
## 24  16.0     72   38.3
## 25  16.3     77   42.6
## 26  17.3     81   55.4
## 27  17.5     82   55.7
## 28  17.9     80   58.3
## 29  18.0     80   51.5
## 30  18.0     80   51.0
## 31  20.6     87   77.0

reg3 <- lm(log(Volume) ~ log(Height) + log(Girth), data=trees1)
summary(reg3)

## 
## Call:
## lm(formula = log(Volume) ~ log(Height) + log(Girth), data = trees1)
## 
## Residuals:
##       Min        1Q    Median        3Q       Max 
## -0.152211 -0.057899  0.001432  0.059596  0.115497 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -6.95432    0.95074  -7.315 1.92e-07 ***
## log(Height)  1.20408    0.24134   4.989 4.79e-05 ***
## log(Girth)   1.96470    0.07111  27.630  < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.07021 on 23 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9842, Adjusted R-squared:  0.9829 
## F-statistic: 718.1 on 2 and 23 DF,  p-value: < 2.2e-16

par(mfrow=c(2,2))
plot(reg3)

Nota: no se recomienda hacer más de una extracción al modelo

Revisión de Supuestos con cálculos estadísticos

shapiro.test(residuals(reg2))

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  residuals(reg2)
## W = 0.95922, p-value = 0.2782

library(car)
ncvTest(reg2)

## Non-constant Variance Score Test 
## Variance formula: ~ fitted.values 
## Chisquare = 0.2266356, Df = 1, p = 0.63403

summary(reg2)

## 
## Call:
## lm(formula = log(Volume) ~ log(Height) + log(Girth), data = trees)
## 
## Residuals:
##       Min        1Q    Median        3Q       Max 
## -0.168561 -0.048488  0.002431  0.063637  0.129223 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -6.63162    0.79979  -8.292 5.06e-09 ***
## log(Height)  1.11712    0.20444   5.464 7.81e-06 ***
## log(Girth)   1.98265    0.07501  26.432  < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.08139 on 28 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9777, Adjusted R-squared:  0.9761 
## F-statistic: 613.2 on 2 and 28 DF,  p-value: < 2.2e-16

(-6.63162)+(log(65)*1.11712) + (log(10)*1.98265)

## [1] 2.596892

exp(2.596892)

## [1] 13.42196

predict.lm(reg2,data.frame(Height=c(65,72,75,90), Girth=c(10,15,20,25)))

##        1        2        3        4 
## 2.596908 3.515062 4.131038 4.777129

a) Genere un modelo de regresión utilizando únicamente las filas 1:15

data.frame(mtcars)

##                      mpg cyl  disp  hp drat    wt  qsec vs am gear carb
## Mazda RX4           21.0   6 160.0 110 3.90 2.620 16.46  0  1    4    4
## Mazda RX4 Wag       21.0   6 160.0 110 3.90 2.875 17.02  0  1    4    4
## Datsun 710          22.8   4 108.0  93 3.85 2.320 18.61  1  1    4    1
## Hornet 4 Drive      21.4   6 258.0 110 3.08 3.215 19.44  1  0    3    1
## Hornet Sportabout   18.7   8 360.0 175 3.15 3.440 17.02  0  0    3    2
## Valiant             18.1   6 225.0 105 2.76 3.460 20.22  1  0    3    1
## Duster 360          14.3   8 360.0 245 3.21 3.570 15.84  0  0    3    4
## Merc 240D           24.4   4 146.7  62 3.69 3.190 20.00  1  0    4    2
## Merc 230            22.8   4 140.8  95 3.92 3.150 22.90  1  0    4    2
## Merc 280            19.2   6 167.6 123 3.92 3.440 18.30  1  0    4    4
## Merc 280C           17.8   6 167.6 123 3.92 3.440 18.90  1  0    4    4
## Merc 450SE          16.4   8 275.8 180 3.07 4.070 17.40  0  0    3    3
## Merc 450SL          17.3   8 275.8 180 3.07 3.730 17.60  0  0    3    3
## Merc 450SLC         15.2   8 275.8 180 3.07 3.780 18.00  0  0    3    3
## Cadillac Fleetwood  10.4   8 472.0 205 2.93 5.250 17.98  0  0    3    4
## Lincoln Continental 10.4   8 460.0 215 3.00 5.424 17.82  0  0    3    4
## Chrysler Imperial   14.7   8 440.0 230 3.23 5.345 17.42  0  0    3    4
## Fiat 128            32.4   4  78.7  66 4.08 2.200 19.47  1  1    4    1
## Honda Civic         30.4   4  75.7  52 4.93 1.615 18.52  1  1    4    2
## Toyota Corolla      33.9   4  71.1  65 4.22 1.835 19.90  1  1    4    1
## Toyota Corona       21.5   4 120.1  97 3.70 2.465 20.01  1  0    3    1
## Dodge Challenger    15.5   8 318.0 150 2.76 3.520 16.87  0  0    3    2
## AMC Javelin         15.2   8 304.0 150 3.15 3.435 17.30  0  0    3    2
## Camaro Z28          13.3   8 350.0 245 3.73 3.840 15.41  0  0    3    4
## Pontiac Firebird    19.2   8 400.0 175 3.08 3.845 17.05  0  0    3    2
## Fiat X1-9           27.3   4  79.0  66 4.08 1.935 18.90  1  1    4    1
## Porsche 914-2       26.0   4 120.3  91 4.43 2.140 16.70  0  1    5    2
## Lotus Europa        30.4   4  95.1 113 3.77 1.513 16.90  1  1    5    2
## Ford Pantera L      15.8   8 351.0 264 4.22 3.170 14.50  0  1    5    4
## Ferrari Dino        19.7   6 145.0 175 3.62 2.770 15.50  0  1    5    6
## Maserati Bora       15.0   8 301.0 335 3.54 3.570 14.60  0  1    5    8
## Volvo 142E          21.4   4 121.0 109 4.11 2.780 18.60  1  1    4    2

pairs(mtcars,pch=8)

b) Genere su modelo de regresión utilizando como variable dependiente a “mpg” y como varibles independientes a “hp+wt”.

Con esto, vamos a explicar el consumo (mpg) en función de la potencia (hp) y del peso (wt):

## 
## Call:
## lm(formula = mpg ~ hp + wt, data = mtcars2)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -1.9656 -0.9031 -0.1894  0.9988  1.8708 
## 
## Coefficients:
##              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 33.556402   1.846469  18.173 4.25e-10 ***
## hp          -0.040534   0.009174  -4.419 0.000838 ***
## wt          -2.668977   0.692562  -3.854 0.002294 ** 
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 1.313 on 12 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.8929, Adjusted R-squared:  0.8751 
## F-statistic: 50.03 on 2 and 12 DF,  p-value: 1.507e-06

Esto se interpreta: Cuanto más potente es el coche, menos millas recorre (de ahí el signo negativo de su coeficiente), y cuanto más pesa, menos millas recorre.

El R-squared es del 87.5% , lo que quiere decir que esas dos variables explican bastante bien el consumo.

library(visreg)
visreg(reg1)

c) Predecir, las millas recorridas por galón de un coche que tiene 150 caballos y pesa 2.5 (x 1000 lbs)

##        1 
## 20.80379