Una antiderivada, también conocida como integral indefinida, es una función \(F(x)\) cuya derivada es igual a la función original \(f(x)\). En otras palabras, si \(F'(x) = f(x)\), entonces \(F(x)\) es una antiderivada de \(f(x)\).
Una integral indefinida representa una familia de funciones cuya derivada es la función integranda. Se escribe como \(\int f(x) \, dx = F(x) + C\), donde \(C\) es una constante arbitraria.
Una integral definida representa el área bajo la curva de la función \(f(x)\) en el intervalo \([a, b]\). Se escribe como \(\int_a^b f(x) \, dx\).
La integración por partes es una técnica que se utiliza para integrar el producto de dos funciones. La fórmula de integración por partes es:
\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]
donde \(u\) y \(dv\) son partes de la función que se desea integrar.
\[ \int x e^x \, dx \]
Utilizamos la integración por partes. Sean \(u = x\) y \(dv = e^x \, dx\). Entonces, \(du = dx\) y \(v = e^x\):
\[ \int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x + C = e^x (x - 1) + C \]
\[ \int_0^1 x e^x \, dx \]
Utilizamos la misma elección de \(u\) y \(dv\) que en el ejemplo anterior:
\[ \int_0^1 x e^x \, dx = \left[ x e^x \right]_0^1 - \int_0^1 e^x \, dx = \left[ x e^x \right]_0^1 - \left[ e^x \right]_0^1 \]
\[ = (1 \cdot e^1 - 0 \cdot e^0) - (e^1 - e^0) = e - (e - 1) = 1 \]
. La integral del producto de dos funciones no es igual al producto de sus integrales en general. La proposición correcta sería:
“La integral del producto de dos funciones integrables puede ser diferente del producto de sus integrales.”
.
\[ \int (f(x) - g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx - \int g(x) \, dx \]
. Las antiderivadas de una función diferirán por una constante. La proposición correcta sería:
“La antiderivada de una función integrable es única a menos de una constante de integración.”
. La integral correcta de \(dx\) es:
\[ \int dx = x + C \]
. Esto es correcto para \(n \neq -1\).
. Si \(f'(x) = g'(x)\), entonces \(f(x)\) y \(g(x)\) diferirán por una constante. La proposición correcta sería:
“Si \(f'(x) = g'(x)\), entonces \(f(x) = g(x) + C\), donde \(C\) es una constante.”
.
. La integral correcta es:
\[ \int 1 \, dx = x + C \]
. La integral de una constante multiplicada por una función es igual a la constante por la integral de la función.
. Esto es incorrecto en general. La integral de una función compuesta no es tan simple. La proposición correcta sería:
“La integral de \([g(x)]^n\) requiere el uso de una técnica específica como la sustitución.”
. La integral correcta es:
\[ \int dx = x + C \]
, suponiendo que \(e^n\) es una constante.
. La integral de \(e^{x^2}\) no tiene una antiderivada elemental.
Primero, expandimos el integrando:
\[ (x + 2)(6x - 4) = 6x^2 - 4x + 12x - 8 = 6x^2 + 8x - 8 \]
Luego, integramos término a término:
\[ \int (6x^2 + 8x - 8) \, dx = \int 6x^2 \, dx + \int 8x \, dx - \int 8 \, dx \]
\[ = 6 \cdot \frac{x^3}{3} + 8 \cdot \frac{x^2}{2} - 8x + C \]
\[ = 2x^3 + 4x^2 - 8x + C \]
Utilizamos la sustitución \(u = x^2 + 1\), por lo tanto, \(du = 2x \, dx\). Ajustamos para obtener \(x \, dx\):
\[ \int (x^2 + 1)^3 \, dx = \int u^3 \cdot \frac{du}{2x} \]
\[ = \int u^3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{du}{dx} \cdot dx = \int u^3 \cdot \frac{1}{2} \cdot du \]
\[ = \frac{1}{2} \int u^3 \, du \]
\[ = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^4}{4} + C = \frac{1}{8} (x^2 + 1)^4 + C \]
Utilizamos la sustitución \(u = x^2 + 1\), por lo tanto, \(du = 2x \, dx\):
\[ \int (x^2 + 1)^3 \cdot 2x \, dx = \int u^3 \, du \]
\[ = \frac{u^4}{4} + C = \frac{(x^2 + 1)^4}{4} + C \]
Utilizamos la integración por partes, donde \(u = x^3\) y \(dv = e^x \, dx\). Entonces, \(du = 3x^2 \, dx\) y \(v = e^x\):
\[ \int x^3 e^x \, dx = x^3 e^x - \int 3x^2 e^x \, dx \]
Repetimos la integración por partes para \(\int x^2 e^x \, dx\):
\[ = x^3 e^x - \left( x^2 e^x - \int 2x e^x \, dx \right) \]
Repetimos nuevamente para \(\int x e^x \, dx\):
\[ = x^3 e^x - \left( x^2 e^x - \left( x e^x - \int e^x \, dx \right) \right) \]
\[ = x^3 e^x - x^2 e^x + x e^x - e^x + C \]
\[ \int (\log 5) \, dx = (\log 5) x + C \]
\[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C \]
\[ \int e^x \, dx = e^x + C \]
Utilizamos la sustitución \(u = x + 1\), por lo tanto, \(du = dx\):
\[ \int \frac{1}{x+1} \, dx = \int \frac{1}{u} \, du \]
\[ = \ln |u| + C = \ln |x+1| + C \]
Utilizamos la sustitución \(u = t^3 + 4\), por lo tanto, \(du = 3t^2 \, dt\):
\[ \int t^2 e^{t^3 + 4} \, dt = \frac{1}{3} \int e^u \, du \]
\[ = \frac{1}{3} e^u + C = \frac{1}{3} e^{t^3 + 4} + C \]
\[ \int (x^{10} + x^9) \, dx = \int x^{10} \, dx + \int x^9 \, dx \]
\[ = \frac{x^{11}}{11} + \frac{x^{10}}{10} + C \]
Utilizamos la sustitución \(u = x^2 - 7\), por lo tanto, \(du = 2x \, dx\):
\[ \int 2x (x^2 - 7)^{10} \, dx = \int (u)^{10} \, du = \frac{u^{11}}{11} + C = \frac{(x^2 - 7)^{11}}{11} + C \]
Utilizamos la sustitución \(u = x^2\), por lo tanto, \(du = 2x \, dx\):
\[ \int e^{x^2} 2x \, dx = \int e^u \, du = e^u + C = e^{x^2} + C \]
Utilizamos la sustitución \(x = \sin \theta\), por lo tanto, \(dx = \cos \theta \, d\theta\):
\[ \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \int \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}} \cos \theta \, d\theta = \int d\theta = \theta + C = \sin^{-1} x + C \]
Utilizamos la sustitución \(u = e^x + 1\), por lo tanto, \(du = e^x \, dx\):
\[ \int \frac{3 e^x}{e^x + 1} \, dx = 3 \int \frac{1}{u} \, du = 3 \ln |u| + C = 3 \ln |e^x + 1| + C \]
Utilizamos la sustitución \(t = 2 \tan \theta\), por lo tanto, \(dt = 2 \sec^2 \theta \, d\theta\):
\[ \int \frac{1}{t^2 + 4} \, dt = \int \frac{1}{4 \sec^2 \theta} 2 \sec^2 \theta \, d\theta = \frac{1}{2} \int d\theta = \frac{1}{2} \theta + C = \frac{1}{2} \tan^{-1} \left( \frac{t}{2} \right) + C \]
Utilizamos la sustitución \(t = \cosh \theta\), por lo tanto, \(dt = \sinh \theta \, d\theta\):
\[ \int \frac{1}{t^2 - 1} \, dt = \int \frac{1}{\cosh^2 \theta - 1} \sinh \theta \, d\theta = \int \frac{1}{\sinh^2 \theta} \sinh \theta \, d\theta = \int \frac{1}{\sinh \theta} \, d\theta \]
Utilizando que \(\sinh \theta = \frac{e^\theta - e^{-\theta}}{2}\):
\[ \int \frac{1}{\sinh \theta} \, d\theta = 2 \int \frac{1}{e^\theta - e^{-\theta}} \, d\theta \]
Finalmente, se obtiene:
\[ \int \frac{1}{t^2 - 1} \, dt = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{t - 1}{t + 1} \right| + C \]
Utilizamos la sustitución \(u = e^x\), por lo tanto, \(du = e^x \, dx\):
\[ \int e^x \sin(e^x) \, dx = \int \sin(u) \, du = -\cos(u) + C = -\cos(e^x) + C \]
Utilizamos la integración por partes. Sean \(u = \ln(t)\) y \(dv = t \, dt\), entonces \(du = \frac{1}{t} \, dt\) y \(v = \frac{t^2}{2}\):
\[ \int t \ln(t) \, dt = \frac{t^2}{2} \ln(t) - \int \frac{t^2}{2} \cdot \frac{1}{t} \, dt = \frac{t^2}{2} \ln(t) - \int \frac{t}{2} \, dt \]
\[ = \frac{t^2}{2} \ln(t) - \frac{1}{2} \int t \, dt = \frac{t^2}{2} \ln(t) - \frac{1}{2} \cdot \frac{t^2}{2} + C = \frac{t^2}{2} \ln(t) - \frac{t^2}{4} + C \]
Utilizamos la tabla de integrales:
\[ \int \frac{1}{1 - t^2} \, dt = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1 + t}{1 - t} \right| + C \]
Utilizamos la tabla de integrales:
\[ \int \frac{1}{1 + u^2} \, du = \tan^{-1}(u) + C \]
Utilizamos la tabla de integrales:
\[ \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \sin^{-1}(x) + C \]
Utilizamos la tabla de integrales:
\[ \int \frac{1}{t^2 + 1} \, dt = \tan^{-1}(t) + C \]
Utilizamos la tabla de integrales y la sustitución \(u = \frac{y}{2}\):
\[ \int \frac{1}{y^2 + 4} \, dy = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\left( \frac{y}{2} \right)^2 + 1} \, dy = \frac{1}{2} \tan^{-1} \left( \frac{y}{2} \right) + C \]
Utilizamos la integración por partes repetidamente:
Sean \(u = x^3\) y \(dv = e^x \, dx\). Entonces, \(du = 3x^2 \, dx\) y \(v = e^x\):
\[ \int x^3 e^x \, dx = x^3 e^x - \int 3x^2 e^x \, dx \]
Repetimos el proceso para \(\int 3x^2 e^x \, dx\):
\[ = x^3 e^x - 3 \left( x^2 e^x - \int 2x e^x \, dx \right) \]
Repetimos nuevamente para \(\int 2x e^x \, dx\):
\[ = x^3 e^x - 3 \left( x^2 e^x - 2 \left( x e^x - \int e^x \, dx \right) \right) \]
\[ = x^3 e^x - 3 \left( x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x \right) \]
\[ = x^3 e^x - 3x^2 e^x + 6x e^x - 6e^x + C = e^x (x^3 - 3x^2 + 6x - 6) + C \]
Utilizamos la sustitución \(u = e^x + 1\), por lo tanto, \(du = e^x \, dx\):
\[ \int \frac{e^x}{e^x + 1} \, dx = \int \frac{1}{u} \, du = \ln |u| + C = \ln |e^x + 1| + C \]
Utilizamos la integración por partes. Sean \(u = \ln(2x)\) y \(dv = dx\), entonces \(du = \frac{1}{x} \, dx\) y \(v = x\):
\[ \int \ln(2x) \, dx = x \ln(2x) - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \ln(2x) - \int dx = x \ln(2x) - x + C \]
Utilizamos la tabla de integrales y la sustitución \(x = 3 \sin \theta\):
\[ \int \frac{1}{\sqrt{9 - x^2}} \, dx = \sin^{-1} \left( \frac{x}{3} \right) + C \]
Utilizamos la tabla de integrales y la sustitución \(x = 3 \tan \theta\):
\[ \int \frac{1}{9 + x^2} \, dx = \frac{1}{3} \tan^{-1} \left( \frac{x}{3} \right) + C \]
Utilizamos la tabla de integrales:
\[ \int \frac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}} \, dx = \sec^{-1}(x) + C \]
Utilizamos la sustitución \(u = x^2\), por lo tanto, \(du = 2x \, dx\):
\[ \int x \ln(x^2) \, dx = \frac{1}{2} \int \ln(u) \, du \]
Utilizamos la integración por partes. Sean \(u = \ln(u)\) y \(dv = du\), entonces \(du = \frac{1}{u} \, du\) y \(v = u\):
\[ \frac{1}{2} \int \ln(u) \, du = \frac{1}{2} \left( u \ln(u) - \int du \right) = \frac{1}{2} \left( u \ln(u) - u \right) + C = \frac{1}{2} \left( x^2 \ln(x^2) - x^2 \right) + C \]
Utilizamos la sustitución \(u = \ln(x)\), por lo tanto, \(du = \frac{1}{x} \, dx\):
\[ \int \frac{6 \ln(x)}{x} \, dx = 6 \int u \, du = 6 \cdot \frac{u^2}{2} + C = 3 \ln^2(x) + C \]
Utilizamos la sustitución \(u = 1 - m^2\), por lo tanto, \(du = -2m \, dm\):
\[ \int \frac{m^2}{\sqrt{1 - m^2}} \, dm = -\frac{1}{2} \int \frac{m^2}{\sqrt{u}} \frac{du}{m} = -\frac{1}{2} \int \frac{m}{\sqrt{u}} \, du \]
\[ = -\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{1 - u}}{\sqrt{u}} \, du = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} \, du + \frac{1}{2} \int \frac{u}{\sqrt{u}} \, du \]
\[ = -\frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{u} + \frac{1}{2} \int du = -\sqrt{u} + \frac{u}{2} + C \]
\[ = -\sqrt{1 - m^2} + \frac{1 - m^2}{2} + C \]
Utilizamos la tabla de integrales:
\[ \int \frac{1}{(1 - x^2)^{3/2}} \, dx = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} + C \]
Utilizamos la sustitución \(u = \tan^{-1}(x)\), por lo tanto, \(du = \frac{1}{1 + x^2} \, dx\):
\[ \int \frac{1}{(1 + x^2)^2} \, dx = \int \cos^2(u) \, du = \int \frac{1 + \cos(2u)}{2} \, du \]
\[ = \frac{1}{2} \int du + \frac{1}{2} \int \cos(2u) \, du = \frac{u}{2} + \frac{\sin(2u)}{4} + C \]
\[ = \frac{\tan^{-1}(x)}{2} + \frac{\sin(2 \tan^{-1}(x))}{4} + C \]
Utilizamos la sustitución \(u = x^4\), por lo tanto, \(du = 4x^3 \, dx\):
\[ \int \frac{x^3}{\sqrt{1 - x^4}} \, dx = \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{1 - u}} \, du = \frac{1}{4} \cdot 2 \sqrt{1 - u} + C = \frac{1}{2} \sqrt{1 - x^4} + C \]
Utilizamos la tabla de integrales:
\[ \int \frac{1}{x \sqrt{x^2 - 4}} \, dx = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{x - \sqrt{x^2 - 4}}{x + \sqrt{x^2 - 4}} \right| + C \]
Utilizamos la tabla de integrales:
\[ \int \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2 - 1}} \, dx = -\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} + C \]
Utilizamos la sustitución \(u = \ln(x)\), por lo tanto, \(du = \frac{1}{x} \, dx\):
\[ \int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx = \int \frac{1}{u} \, du = \ln|u| + C = \ln|\ln(x)| + C \]
Utilizamos la sustitución \(u = e^x + 1\), por lo tanto, \(du = e^x \, dx\):
\[ \int \frac{1}{e^x + 1} \, dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{e^x} \, du = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{u - 1} \, du \]
Utilizamos fracciones parciales:
\[ \int \left( \frac{A}{u} + \frac{B}{u - 1} \right) \, du = A \ln|u| + B \ln|u - 1| + C \]
Encontramos \(A\) y \(B\):
\[ 1 = A(u - 1) + Bu \Rightarrow A + B = 0 \text{ y } -A = 1 \Rightarrow A = -1, B = 1 \]
\[ \int \frac{1}{e^x + 1} \, dx = -\ln|e^x + 1| + \ln|e^x| + C = \ln \left| \frac{e^x}{e^x + 1} \right| + C \]
\[ f(x) = \int \ln(x) \, dx \] Utilizamos integración por partes. Sean \(u = \ln(x)\) y \(dv = dx\), entonces \(du = \frac{1}{x} \, dx\) y \(v = x\):
\[ f(x) = x \ln(x) - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \ln(x) - \int dx = x \ln(x) - x + C \] Usando la condición inicial \(f(1) = 1\): \[ f(1) = 1 \cdot \ln(1) - 1 + C = -1 + C = 1 \Rightarrow C = 2 \] Por lo tanto: \[ f(x) = x \ln(x) - x + 2 \]
\[ g(x) = \int e^x \, dx = e^x + C \] Usando la condición inicial \(g(0) = 5\): \[ g(0) = e^0 + C = 1 + C = 5 \Rightarrow C = 4 \] Por lo tanto: \[ g(x) = e^x + 4 \]
\[ h(x) = \int (2x + 3) \, dx = x^2 + 3x + C \] Usando la condición inicial \(h(0) = 5\): \[ h(0) = 0^2 + 3 \cdot 0 + C = C = 5 \] Por lo tanto: \[ h(x) = x^2 + 3x + 5 \] Evaluamos en \(x = 1\): \[ h(1) = 1^2 + 3 \cdot 1 + 5 = 1 + 3 + 5 = 9 \]
\[ g(x) = \int (1 + \ln(x)) \, dx = x + x \ln(x) - x + C = x \ln(x) + C \] Usando la condición inicial \(g(1) = 2\): \[ g(1) = 1 \ln(1) + C = 0 + C = 2 \Rightarrow C = 2 \] Por lo tanto: \[ g(x) = x \ln(x) + 2 \] Evaluamos en \(x = e\): \[ g(e) = e \ln(e) + 2 = e \cdot 1 + 2 = e + 2 \]
El costo marginal es \(C'(x) = 10x\). Integramos para obtener el costo total: \[ C(x) = \int 10x \, dx = 5x^2 + C \] Usando la condición \(C(30) = 5000\): \[ C(30) = 5 \cdot 30^2 + C = 4500 + C = 5000 \Rightarrow C = 500 \] Por lo tanto: \[ C(x) = 5x^2 + 500 \] El costo de fabricar 40 unidades: \[ C(40) = 5 \cdot 40^2 + 500 = 5 \cdot 1600 + 500 = 8000 + 500 = 8500 \]
La función de ingreso marginal es \(R'(x) = 10 - 0.02x\).
\[ R(x) = \int (10 - 0.02x) \, dx = 10x - 0.01x^2 + C \]
Usamos \(R(0) = 0\) para determinar \(C\): \[ R(0) = 10 \cdot 0 - 0.01 \cdot 0^2 + C = 0 \Rightarrow C = 0 \] Por lo tanto: \[ R(x) = 10x - 0.01x^2 \] El ingreso al vender 200 artículos: \[ R(200) = 10 \cdot 200 - 0.01 \cdot 200^2 = 2000 - 400 = 1600 \]
La función de demanda \(p(x)\) está relacionada con el ingreso \(R(x)\): \[ R(x) = x p(x) \Rightarrow p(x) = \frac{R(x)}{x} = \frac{10x - 0.01x^2}{x} = 10 - 0.01x \]
Resolvemos \(p(x) = 5\): \[ 10 - 0.01x = 5 \Rightarrow 0.01x = 5 \Rightarrow x = 500 \]
El ingreso marginal es \(R'(x) = 0.1 + 0.002x^2 - 0.000025x^{3/2}\).
\[ R(x) = \int (0.1 + 0.002x^2 - 0.000025x^{3/2}) \, dx = 0.1x + \frac{0.002x^3}{3} - \frac{0.000025 \cdot 2x^{5/2}}{5} + C \]
\[ R(x) = 0.1x + \frac{0.002x^3}{3} - \frac{0.00005x^{5/2}}{5} + C \]
La función de demanda \(p(x)\) está relacionada con el ingreso \(R(x)\): \[ R(x) = x p(x) \Rightarrow p(x) = \frac{R(x)}{x} \]
El ingreso marginal es \(R'(x) = 20(35 - x)e^{-x/25}\).
\[ R(x) = \int 20(35 - x)e^{-x/25} \, dx \]
Utilizamos integración por partes para resolver la integral.
La ecuación de demanda \(p(x)\) está relacionada con el ingreso \(R(x)\): \[ R(x) = x p(x) \Rightarrow p(x) = \frac{R(x)}{x} \]
El costo marginal es \(C'(x) = 100 + 0.04x\). El costo extra de producción al elevar la producción de 200 a 300 unidades: \[ C(300) - C(200) = \int_{200}^{300} (100 + 0.04x) \, dx = 100(x \big|_{200}^{300}) + 0.04 \left( \frac{x^2}{2} \big|_{200}^{300} \right) \]
\[ = 100(300 - 200) + 0.02(300^2 - 200^2) = 10000 + 0.02(90000 - 40000) = 10000 + 0.02 \cdot 50000 = 10000 + 1000 = 11000 \]
El ingreso marginal está dado por \(R'(x) = 30 - 0.02x\).
\[ R(x) = \int (30 - 0.02x) \, dx = 30x - 0.01x^2 + C \]
La función de demanda \(p(x)\) está relacionada con el ingreso \(R(x)\): \[ R(x) = x p(x) \Rightarrow p(x) = \frac{R(x)}{x} = \frac{30x - 0.01x^2 + C}{x} = 30 - 0.01x + \frac{C}{x} \]
La función de costo marginal es \(C'(x) = 50 + 0.04x\).
\[ C(x) = \int (50 + 0.04x) \, dx = 50x + 0.02x^2 + C \] Usando la condición de costos fijos de $3000 al mes (cuando \(x = 0\)): \[ C(0) = 3000 \Rightarrow C = 3000 \] Por lo tanto: \[ C(x) = 50x + 0.02x^2 + 3000 \]
\[ C(250) = 50 \cdot 250 + 0.02 \cdot 250^2 + 3000 = 12500 + 1250 + 3000 = 16750 \]
La función de ingreso marginal es \(R'(x) = 50 - 0.04x + 0.0018x^2\).
\[ R(x) = \int (50 - 0.04x + 0.0018x^2) \, dx = 50x - 0.02x^2 + 0.0006x^3 + C \]
Asumiendo que \(R(0) = 0\) para determinar \(C\): \[ R(0) = 0 \Rightarrow C = 0 \] Por lo tanto: \[ R(x) = 50x - 0.02x^2 + 0.0006x^3 \] El ingreso al vender 200 unidades: \[ R(200) = 50 \cdot 200 - 0.02 \cdot 200^2 + 0.0006 \cdot 200^3 = 10000 - 800 + 4800 = 14000 \]
La función de demanda \(p(x)\) está relacionada con el ingreso \(R(x)\): \[ R(x) = x p(x) \Rightarrow p(x) = \frac{R(x)}{x} = \frac{50x - 0.02x^2 + 0.0006x^3}{x} = 50 - 0.02x + 0.0006x^2 \]
La tasa de rendimiento está dada por \(\frac{dx}{dt} = 20(1 - e^{-t/30})\).
\[ x(t) = \int 20(1 - e^{-t/30}) \, dt = 20 \left( t + 30e^{-t/30} \right) + C \] Usando la condición inicial \(x(0) = 0\): \[ x(0) = 20(0 + 30e^0) + C = 600 + C = 0 \Rightarrow C = -600 \] Por lo tanto: \[ x(t) = 20 \left( t + 30e^{-t/30} \right) - 600 \] Evaluamos en \(t = 30\): \[ x(30) = 20 \left( 30 + 30e^{-1} \right) - 600 = 20 \left( 30 + 30 \cdot 0.3679 \right) - 600 \approx 20(41.037) - 600 \approx 220.74 \]
Evaluamos en \(t = 60\): \[ x(60) = 20 \left( 60 + 30e^{-2} \right) - 600 = 20 \left( 60 + 30 \cdot 0.1353 \right) - 600 \approx 20(64.059) - 600 \approx 681.18 \] El rendimiento en las segundas 30 horas: \[ x(60) - x(30) \approx 681.18 - 220.74 = 460.44 \]
La razón de crecimiento es \(\frac{dx}{dt} = 90x + \frac{500}{1 + x}\).
Integramos usando la condición inicial \(x(0) = 2000\).
La función de costo marginal está dada por \(C'(x) = 100 + 0.04x\).
Integrando, obtenemos: \[ C(x) = \int (100 + 0.04x) \, dx = 100x + 0.02x^2 + C \] Usando la condición de costos fijos de $2000: \[ C(0) = 2000 \Rightarrow C = 2000 \] Por lo tanto: \[ C(x) = 100x + 0.02x^2 + 2000 \]
La productividad física marginal es \(\frac{dp}{dx} = 1000(1 - x)\).
Integrando, obtenemos: \[ p(x) = \int 1000(1 - x) \, dx = 1000x - 500x^2 + C \] Asumiendo que \(p(0) = 0\): \[ p(0) = 0 \Rightarrow C = 0 \] Por lo tanto: \[ p(x) = 1000x - 500x^2 \] Evaluamos en \(x = 3\): \[ p(3) = 1000 \cdot 3 - 500 \cdot 3^2 = 3000 - 4500 = -1500 \]
La productividad física marginal es \(\frac{dp}{dx} = 3000(1 - \sqrt{8000 + 2x})\).
Integrando, obtenemos: \[ p(x) = \int 3000(1 - \sqrt{8000 + 2x}) \, dx \] Esto requiere integración por partes o una técnica específica, pero se puede aproximar numéricamente.
Evaluamos en \(x = 4\).
La velocidad de producción de anticuerpos \(K(t)\) debe ser maximizada. Para determinar el valor de \(t\) en el cual \(K(t)\) es máximo, debemos encontrar el punto crítico de \(K(t)\) resolviendo \(K'(t) = 0\).
\[ K(t) = ? \quad (\text{Necesitamos la expresión explícita de } K(t) \text{ para continuar.}) \]
La densidad de tráfico está dada por \(f(t) = \begin{cases} 3 - 10t & 0 \le t \le 1.5 \\ 30 - 8t & 1.5 < t \le 3 \end{cases}\).
\[ \int_0^{1.5} (3 - 10t) \, dt = \left[ 3t - 5t^2 \right]_0^{1.5} = 3(1.5) - 5(1.5)^2 - (3(0) - 5(0)^2) = 4.5 - 11.25 = -6.75 \]
\[ \int_0^{1.5} (3 - 10t) \, dt + \int_{1.5}^3 (30 - 8t) \, dt \]
Para la segunda parte:
\[ \int_{1.5}^3 (30 - 8t) \, dt = \left[ 30t - 4t^2 \right]_{1.5}^3 = (30(3) - 4(3)^2) - (30(1.5) - 4(1.5)^2) = 90 - 36 - (45 - 9) = 54 \]
Entonces, el total es:
\[ -6.75 + 54 = 47.25 \]
La función de consumo está dada por diferentes intervalos.
\[ \int_0^4 (1 + 0.1t) \, dt + \int_4^5 (1.68 + 0.07t) \, dt \]
Para la primera parte:
\[ \int_0^4 (1 + 0.1t) \, dt = \left[ t + 0.05t^2 \right]_0^4 = 4 + 0.05(16) = 4.8 \]
Para la segunda parte:
\[ \int_4^5 (1.68 + 0.07t) \, dt = \left[ 1.68t + 0.035t^2 \right]_4^5 = (1.68(5) + 0.035(25)) - (1.68(4) + 0.035(16)) = 8.75 - 6.84 = 1.91 \]
Entonces, el total es:
\[ 4.8 + 1.91 = 6.71 \times 365 \approx 2449.15 \text{ millones de barriles} \]
\[ \int_{10}^{12} (1.68 + 0.07t) \, dt + \int_{12}^{15} (0.24 + 0.05t) \, dt \]
Para la primera parte:
\[ \int_{10}^{12} (1.68 + 0.07t) \, dt = \left[ 1.68t + 0.035t^2 \right]_{10}^{12} = (1.68(12) + 0.035(144)) - (1.68(10) + 0.035(100)) = 23.28 + 5.04 - 16.8 - 3.5 = 8.02 \]
Para la segunda parte:
\[ \int_{12}^{15} (0.24 + 0.05t) \, dt = \left[ 0.24t + 0.025t^2 \right]_{12}^{15} = (0.24(15) + 0.025(225)) - (0.24(12) + 0.025(144)) = 3.6 + 5.625 - 2.88 - 3.6 = 2.745 \]
Entonces, el total es:
\[ 8.02 + 2.745 = 10.765 \times 365 \approx 3939.225 \text{ millones de barriles} \]
\[ \int_0^4 (1 + 0.1t) \, dt + \int_4^{10} (1.68 + 0.07t) \, dt \]
Para la primera parte:
\[ \int_0^4 (1 + 0.1t) \, dt = 4.8 \]
Para la segunda parte:
\[ \int_4^{10} (1.68 + 0.07t) \, dt = \left[ 1.68t + 0.035t^2 \right]_4^{10} = (1.68(10) + 0.035(100)) - (1.68(4) + 0.035(16)) = 16.8 + 3.5 - 6.72 - 0.56 = 13.02 \]
Entonces, el total es:
\[ 4.8 + 13.02 = 17.82 \times 365 \approx 6503.3 \text{ millones de barriles} \]
La aceleración está dada por \(a(t) = 2 - 6t\).
\[ v(t) = \int (2 - 6t) \, dt = 2t - 3t^2 + C \] Usando la condición inicial \(v(0) = 50\): \[ v(0) = 50 \Rightarrow C = 50 \] Por lo tanto: \[ v(t) = 2t - 3t^2 + 50 \]
\[ d(t) = \int v(t) \, dt = \int (2t - 3t^2 + 50) \, dt = t^2 - t^3 + 50t + C \] Asumiendo \(d(0) = 0\): \[ d(t) = t^2 - t^3 + 50t \]
La velocidad está dada por \(v(t) = (t + 2t)^2\).
\[ d(t) = \int v(t) \, dt \]
La velocidad está dada por \(v(t) = 10 - 5t\).
\[ d(t) = \int (10 - 5t) \, dt = 10t - \frac{5t^2}{2} + C \] Usando la condición inicial \(d(0) = 0\): \[ d(0) = 0 \Rightarrow C = 0 \] Por lo tanto: \[ d(t) = 10t - \frac{5t^2}{2} \]
La pendiente de la recta tangente está dada por \(f'(x) = 4x - 7\).
\[ f(x) = \int (4x - 7) \, dx = 2x^2 - 7x + C \] Usando la condición inicial \(f(2) = 2\): \[ f(2) = 2(2^2) - 7(2) + C = 8 - 14 + C = 2 \Rightarrow C = 8 \] Por lo tanto: \[ f(x) = 2x^2 - 7x + 8 \]
La derivada de \(g(x)\) está dada por: \[ g'(x) = 2e^{2x} + \frac{1}{2x} \]
Para encontrar \(g(x)\), integramos ambos términos:
\[ g(x) = \int \left( 2e^{2x} + \frac{1}{2x} \right) \, dx \]
Separando en dos integrales: \[ g(x) = \int 2e^{2x} \, dx + \int \frac{1}{2x} \, dx \]
Primero, integramos \(2e^{2x}\): \[ \int 2e^{2x} \, dx = 2 \int e^{2x} \, dx \] Usamos la sustitución \(u = 2x\), por lo tanto, \(du = 2 \, dx\), \(dx = \frac{du}{2}\): \[ 2 \int e^{2x} \, dx = 2 \int e^u \frac{du}{2} = \int e^u \, du = e^u = e^{2x} \]
Segundo, integramos \(\frac{1}{2x}\): \[ \int \frac{1}{2x} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x} \, dx = \frac{1}{2} \ln |x| \]
Sumando ambas integrales, obtenemos: \[ g(x) = e^{2x} + \frac{1}{2} \ln |x| + C \]
Usamos la condición inicial \(g(0) = 1\) para determinar \(C\): \[ g(0) = e^{2 \cdot 0} + \frac{1}{2} \ln |0| + C = 1 + C = 1 \Rightarrow C = 0 \]
Por lo tanto, la función \(g(x)\) es: \[ g(x) = e^{2x} + \frac{1}{2} \ln |x| \]
Nota: La condición inicial \(g(0) = 1\) es inconsistente porque \(\ln |0|\) no está definido. Si hay un error en la condición inicial, corríjalo para continuar.