Taller de Probabilidad

1. Introducción

El problema aborda una serie de conceptos fundamentales en probabilidad y estadística a través de diferentes escenarios. Se exploran temas como la distribución de probabilidad en un experimento compuesto, la permutación y combinación en la selección y ordenación, y el análisis de probabilidades en eventos condicionales. Se utilizan herramientas de simulación en R y cálculos matemáticos para resolver los problemas propuestos y presentar los resultados en un formato comprensible.

2. Objetivos

2.1. Objetivo General

• Aplicar y analizar conceptos de probabilidad y técnicas de conteo en diversos contextos prácticos y experimentales, utilizando herramientas matemáticas y gráficas para resolver problemas de permutación, combinación, y distribución de probabilidad, y para interpretar resultados en situaciones reales.

2.2. Objetivos Específicos

• Identificar todos los posibles resultados de un experimento que involucra el lanzamiento de una moneda y un dado, y crear un diagrama de árbol para visualizar estos resultados.
• Determinar el número de formas en que se puede prescribir un medicamento, ordenar jugadores en un equipo, sentar a amigos en una fila, y organizar letras en una palabra, utilizando técnicas de permutación y combinación.
• Evaluar la probabilidad de recibir una multa en un sistema de radar y la probabilidad de que un cliente que ha comprado un rodillo haya comprado pintura de látex.
• Calcular la distribución de probabilidad, la media y la varianza para un problema de muestreo sin reemplazo, y representar gráficamente la distribución.

3. Probabilidad y Estadistica

3.1. Concepto de Probabilidad y Espacio Muestral

La probabilidad es una rama de las matemáticas que estudia la posibilidad de que ocurran eventos específicos dentro de un conjunto de resultados posibles. El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.

Espacio Muestral y Diagrama de Árbol: Un diagrama de árbol es una herramienta gráfica que ayuda a visualizar todos los posibles resultados de un experimento compuesto. Se utiliza para enumerar y calcular las probabilidades de los diferentes eventos que pueden ocurrir en un experimento aleatorio.

3.2. Problemas de Conteo

a. Permutaciones y Combinaciones

El conteo se refiere a la enumeración de las posibles formas de organizar o seleccionar elementos. Los conceptos principales son:

Permutaciones: Número de maneras de ordenar un conjunto de elementos.

Fórmula de Permutaciones

\[ P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!} \]

donde: - \(n\) es el número total de elementos. - \(r\) es el número de elementos a tomar. - \(!\) denota el factorial de un número.

Fórmula de Permutaciones con Repeticiones

Combinaciones: Número de maneras de seleccionar un subconjunto de elementos de un conjunto dado sin importar el orden.

Fórmula de Combinaciones

\[ C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n - r)!} \]

donde: - \(n\) es el número total de elementos. - \(r\) es el número de elementos a tomar. - \(!\) denota el factorial de un número. - \(\binom{n}{r}\) es el símbolo de combinación, que representa el número de formas de elegir \(r\) elementos de un conjunto de \(n\) elementos sin importar el orden.

3.3. Diagrama de Arbol para el ejercicio

Un diagrama de árbol es una herramienta visual utilizada para representar todos los posibles resultados de un experimento compuesto de manera sistemática. Es particularmente útil para descomponer un problema en pasos más simples y para calcular probabilidades de eventos compuestos. En el contexto del ejercicio dado, el diagrama de árbol nos ayuda a visualizar todas las secuencias posibles de lanzamientos de una moneda y un dado.

Representación Gráfica del Diagrama de Árbol

        [Lanzar Moneda]
          /         \
       Cara        Sello
       /   \        / | | | | | \
   Cara   Sello   S1 S2 S3 S4 S5 S6
    / \
  Cara Sello

Aquí está cómo se representaría el diagrama de árbol para el experimento:

3.4. Teorema de Bayes

El Teorema de Bayes se usa para calcular la probabilidad de un evento dado que otro evento ha ocurrido.

Fórmula del Teorema de Bayes

\[ P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} \]

donde: - \(P(A|B)\) es la probabilidad de \(A\) dado \(B\). - \(P(B|A)\) es la probabilidad de \(B\) dado \(A\). - \(P(A)\) es la probabilidad de \(A\). - \(P(B)\) es la probabilidad de \(B\).

3.5. Distribución Condicional

Para resolver problemas de probabilidad condicional, como la probabilidad de que la pintura sea de látex dado que el cliente compró un rodillo, utilizamos la probabilidad condicional.

Fórmula de Probabilidad Condicional

\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]

donde: - \(P(A \cap B)\) es la probabilidad de que ambos eventos \(A\) y \(B\) ocurran. - \(P(B)\) es la probabilidad de que ocurra el evento \(B\).

3.6. Distribución Hipergeométrica

La distribución hipergeométrica se usa para problemas de muestreo sin reemplazo, y las estadísticas descriptivas incluyen la media y la varianza.

Fórmula de Distribución Hipergeométrica

\[ P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \cdot \binom{N - K}{n - k}}{\binom{N}{n}} \]

donde: - \(\binom{K}{k}\) es el número de formas de elegir \(k\) éxitos de \(K\). - \(\binom{N - K}{n - k}\) es el número de formas de elegir \(n - k\) fracasos de \(N - K\). - \(\binom{N}{n}\) es el número total de formas de elegir \(n\) elementos de \(N\).

Fórmula de Media

\[ \mu = E[X] = \sum_{x} x \cdot P(X = x) \]

Fórmula de Varianza

\[ \sigma^2 = \text{Var}(X) = \sum_{x} (x - \mu)^2 \cdot P(X = x) \]

4. Realización del Taller

4.1. Un experimento consiste en lanzar una moneda y después lanzarla una segunda vez si sale cara. Si en el primer lanzamiento sale sello, entonces se lanza un dado una vez. Listar todos los elementos del espacio muestral.

Realización Diagrama de Arbol

# Definir el código DOT para el diagrama de árbol
dot_code <- "
digraph tree {
  node [shape=box, style=filled, fillcolor=lightblue]
  
  Inicio [label='Inicio']
  Cara [label='Cara']
  Sello [label='Sello']
  CC [label='CC']
  CS [label='CS']
  Dado [label='Lanzar Dado']
  D1 [label='Dado=1']
  D2 [label='Dado=2']
  D3 [label='Dado=3']
  D4 [label='Dado=4']
  D5 [label='Dado=5']
  D6 [label='Dado=6']
  
  Inicio -> Cara [label='Lanzamiento Inicial']
  Inicio -> Sello [label='Lanzamiento Inicial']
  
  Cara -> CC [label='Cara']
  Cara -> CS [label='Sello']
  
  Sello -> Dado [label='Sello']
  
  Dado -> D1 [label='1']
  Dado -> D2 [label='2']
  Dado -> D3 [label='3']
  Dado -> D4 [label='4']
  Dado -> D5 [label='5']
  Dado -> D6 [label='6']
}
"

# Crear el diagrama y renderizarlo
graph <- grViz(dot_code)

# Exportar el diagrama a SVG
svg_code <- export_svg(graph)

# Guardar el SVG en un archivo
writeLines(svg_code, "diagrama_arbol.svg")

# Convertir el SVG a PNG y guardar
rsvg_png("diagrama_arbol.svg", file = "diagrama_arbol.png")

# Cargar y mostrar el PNG en RStudio
img <- readPNG("diagrama_arbol.png")
grid.raster(img)

Solución Matemática

a. Lanzamiento Inicial: Se lanza una moneda. Si el resultado es Cara (C), se realiza un segundo lanzamiento de la moneda. Si el resultado es Sello (S), se lanza un dado.

b. Segundo Lanzamiento (si el primer lanzamiento fue Cara): Si el segundo lanzamiento es Cara (C), no hay más acciones. Si el segundo lanzamiento es Sello (S), tampoco hay más acciones.

c. Lanzamiento del Dado (si el primer lanzamiento fue Sello): El dado tiene 6 resultados posibles: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Desglose de S

- Si el primer lanzamiento es Cara (C) y el Segundo lanzamiento Cara (C): Es un evento CC.

- Si el primer lanzamiento es Cara (C) y el Segundo lanzamiento Sello (S): Es un evento CS.

b. Si el primer lanzamiento es Sello (S): Se lanza un dado, y el dado puede mostrar cualquier número del 1 al 6. Así, el espacio muestral completo S es:

S={CC,CS,S1,S2,S3,S4,S5,S6}

Respuesta: Cada evento representa una secuencia de acciones y resultados posibles según las reglas del problema. El espacio muestral completo muestra todas las posibles combinaciones de resultados que pueden ocurrir en el proceso descrito.

Solución con R

# Función para simular un lanzamiento de moneda
lanzar_moneda <- function() {
  sample(c("C", "S"), 1)
}

# Función para simular un lanzamiento de dado
lanzar_dado <- function() {
  sample(1:6, 1)
}

# Función principal para simular el proceso
simular_lanzamientos <- function() {
  primer_lanzamiento <- lanzar_moneda()
  
  if (primer_lanzamiento == "C") {
    # Segundo lanzamiento de moneda si el primer lanzamiento fue Cara
    segundo_lanzamiento <- lanzar_moneda()
    resultado <- paste(primer_lanzamiento, segundo_lanzamiento, sep = "")
  } else {
    # Lanzamiento de dado si el primer lanzamiento fue Sello
    dado_resultado <- lanzar_dado()
    resultado <- paste(primer_lanzamiento, dado_resultado, sep = "")
  }
  
  return(resultado)
}

# Generar el espacio muestral completo S
espacio_muestral <- unique(replicate(10000, simular_lanzamientos()))

# Mostrar el espacio muestral completo
espacio_muestral

[1] "S6" "S3" "S4" "S2" "CS" "CC" "S5" "S1"

Simulación del Ejercicio con R

# Definir la función para realizar una simulación de los lanzamientos
simular_eventos <- function() {
  # Definir el espacio muestral
  espacio_muestral <- c()
  
  # Simular el primer lanzamiento de la moneda
  primer_lanzamiento <- sample(c("C", "S"), 1, replace = TRUE)
  
  if (primer_lanzamiento == "C") {
    # Simular el segundo lanzamiento de la moneda
    segundo_lanzamiento <- sample(c("C", "S"), 1, replace = TRUE)
    if (segundo_lanzamiento == "C") {
      espacio_muestral <- c(espacio_muestral, "CC")
    } else {
      espacio_muestral <- c(espacio_muestral, "CS")
    }
  } else {
    # Simular el lanzamiento del dado si el primer lanzamiento es Sello (S)
    dado_resultado <- sample(1:6, 1, replace = TRUE)
    espacio_muestral <- c(espacio_muestral, paste0("S", dado_resultado))
  }
  
  return(espacio_muestral)
}

# Ejecutar la simulación un número de veces para obtener el espacio muestral completo
n_simulaciones <- 100
resultados <- replicate(n_simulaciones, simular_eventos())

# Convertir los resultados en un data frame y contar las ocurrencias de cada evento
resultados_df <- data.frame(evento = unlist(resultados))
conteo_resultados <- as.data.frame(table(resultados_df$evento))

# Mostrar el conteo de los eventos
print(conteo_resultados)

  Var1 Freq
1   CC   27
2   CS   23
3   S1    5
4   S2    7
5   S3   11
6   S4    6
7   S5    9
8   S6   12

4.2.Resuelva los siguientes problemas de conteo:

a. Un medicamento para aliviar el asma se puede adquirir en 5 diferentes laboratorios y en forma de líquido, comprimidos o cápsulas, todas en concentración normal o alta. ¿De cuántas formas diferentes puede un médico recetar la medicina a un paciente que sufre de asma?

Solución Matemática

Sea: L: “El número de laboratorios”. L = 5

F: “Número de Formas del Medicamento”. F = 3

C: “Número de concentraciones”. C = 2

Combinaciones = 5 (L) * 3 (F) * 2 (C) = 30

Respuesta: Hay 30 formas diferentes en las que un médico puede recetar el medicamento.

Solución con R

# Definir el número de opciones para cada categoría
laboratorios <- 5
formas <- 3
concentraciones <- 2

# Calcular el número total de combinaciones
total_combinaciones <- laboratorios * formas * concentraciones

# Mostrar el resultado
print(total_combinaciones)

[1] 30

b. ¿De cuántas formas se pueden cubrir las 5 posiciones iniciales en un equipo de baloncesto con 8 jugadores que pueden jugar cualquiera de las posiciones?

Solución Matemática

Sea: N = “Número total de jugadores”. N = 8 K = “Número de jugadores a elegir y ordenar” k = 5

Esto es un problema de permutación en el que estamos eligiendo 5 jugadores de un grupo de 8 y ordenándolos en 5 posiciones.

P(8,5)= 8!/(8-5)! P(8,5)= 8!/(3)! P(8,5)= 40320/6 P(8,5)= 6720

Respuesta: Hay 6720 formas diferentes de cubrir las 5 posiciones iniciales en el equipo de baloncesto.

Solución con R

#install.packages("gtools")
library(gtools)
# Calcular el número de permutaciones
permutaciones <- gtools::permutations(n = 8, r = 5, v = 1:8)

# Mostrar el número de permutaciones
print(nrow(permutaciones))

[1] 6720

c. Ocho amigos se sientan en una hilera en el cine para ver una película, ¿De cuántas formas se pueden sentar?

Solución Matemática

Sea n “El número de Amigos”. n = 8 (8)!= 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

n(8)!= 40320

Respuesta: Hay 40320 formas diferentes en las que los 8 amigos se pueden sentar en una hilera.

Solución con R

# Número de amigos
n <- 8

# Calcular el número de permutaciones
num_permutaciones <- factorial(n)

# Mostrar el resultado
print(num_permutaciones)

[1] 40320

d. ¿De cuántas formas se pueden ordenar las letras de la palabra INFINITO?

Solución Matemática

La palabra “INFINITO” tiene 8 letras.

Sea n = “La Frecuencia de cada letra”

I N F T O 3 2 1 1 1

Sustituyendo en la fórmula:

\[ nP = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot \ldots \cdot n_k!} \]

\[ nP = \frac{8!}{3! *2! * 1! * 1! * 1!} \]

\[ nP = \frac{8*7*6*5*4*3*2*1}{(3*2*1)*(2*1)*(1* 1)* (1* 1)* (1* 1)} \]

\[ nP = \frac{40320}{12} \]

nP= 3360

Respuesta: Hay 3360 formas diferentes de ordenar las letras de la palabra “INFINITO”.

Solución con R

# Número total de letras
n <- 8

# Frecuencias de las letras
freq_I <- 3
freq_N <- 2
freq_F <- 1
freq_T <- 1
freq_O <- 1

# Calcular el número de permutaciones
numero_permutaciones <- factorial(n) / (factorial(freq_I) * factorial(freq_N) * factorial(freq_F) * factorial(freq_T) * factorial(freq_O))

# Mostrar el resultado
print(numero_permutaciones)

[1] 3360

Solución con R

library(combinat)

# Definir las frecuencias de las letras
freqs <- c(I = 3, N = 2, F = 1, T = 1, O = 1)

# Número total de letras
n <- sum(freqs)

# Calcular el número de permutaciones
numero_permutaciones <- factorial(n) / prod(factorial(freqs))

# Mostrar el resultado
print(numero_permutaciones)

[1] 3360

4.3. La policía planea hacer respetar los límites de velocidad usando un sistema de radar en 4 diferentes puntos a las orillas de la ciudad. Las trampas de radar en cada uno de los sitios L1, L2, L3 y L4 operarán 40%, 30 %, 20% y 30% del tiempo. Si una persona que excede el límite de velocidad cuando va a su trabajo tiene probabilidades de 0.2, 0.1, 0.5 y 0.2, respectivamente, de pasar por esos lugares,

¿Cuál es la probabilidad de que reciba una multa por conducir con exceso de velocidad?

Si la persona es multada por conducir con exceso de velocidad en su camino al trabajo. ¿cuál es la probabilidad de que pase por el sistema de radar que se ubica en L2?

Solución Matemática

En el ejercicio dado, las variables involucradas son:

Probabilidad de operación del radar en cada ubicación:

• P(RL1) = Probabilidad de que el radar en el punto L1 esté operativo.
• P(RL2) = Probabilidad de que el radar en el punto L2 esté operativo.
  
• P(RL3) = Probabilidad de que el radar en el punto L3 esté operativo.
• P(RL4) = Probabilidad de que el radar en el punto L4 esté operativo.

Probabilidad de pasar por cada punto:

P(PL1) = Probabilidad de pasar por el punto L1. P(PL2) = Probabilidad de pasar por el punto L2. P(PL3) = Probabilidad de pasar por el punto L3. P(PL4) = Probabilidad de pasar por el punto L4.

Probabilidad de recibir una multa (combinación de los eventos anteriores):

• P(M) = Probabilidad total de recibir una multa.

Probabilidad condicional:

• P(L2∣M) = Probabilidad de que la persona haya pasado por el sistema de radar en L2, dado que recibió una multa.

Probabilidades de pasar por cada punto: P(PL1)=0.20 P(PL2)=0.10 P(PL3)=0.50 P(PL4)=0.20

Probabilidades de operación del radar en cada ubicación:

P(RL1) = 0.40 P(RL2) = 0.30 P(RL3) = 0.20 P(RL4) = 0.30 Probabilidad de recibir una multa (combinación de los eventos anteriores): P(M) = Probabilidad total de recibir una multa.

Probabilidad condicional: P(L2∣M) = Probabilidad de que la persona haya pasado por el sistema de radar en L2L2L2, dado que recibió una multa.

a. Probabilidad de recibir una multa

La fórmula general para calcular la probabilidad de recibir una multa es:

\[ P(M) = \sum_{i=1}^4 P(L_i) \times P(R_{L_i}) \]

Sustituyendo los valores en la ecuación:

\[ P(M) = [P(L_1) \times P(R_{L_1})] + [P(L_2) \times P(R_{L_2})] + [P(L_3) \times P(R_{L_3})] + [P(L_4) \times P(R_{L_4})] \]

\[ P(M) = [0.20 \times 0.40] + [0.10 \times 0.30] + [0.50 \times 0.20] + [0.20 \times 0.30] \]

\[ P(M) = 0.08 + 0.03 + 0.10 + 0.06 \]

\[ P(M) = 0.27 \]

La probabilidad de recibir una multa es \(P(M) = 0.27\).

b. Probabilidad de pasar por L2 dado que recibió una multa

La fórmula para la probabilidad de pasar por L2 dado que recibió una multa es:

\[ P(L_2 \mid M) = \frac{P(R_{L_2}) \times P(L_2)}{P(M)} \]

Sustituyendo los valores en la ecuación:

\[ P(L_2 \mid M) = \frac{0.30 \times 0.10}{0.27} \]

\[ P(L_2 \mid M) = \frac{0.03}{0.27} \]

\[ P(L_2 \mid M) \approx 0.1111 \]

La probabilidad de que, dado que recibió una multa, la persona haya pasado por el sistema de radar en L2 es del 11.11%.

Solución con R

# Probabilidades de operación de los radares
P_R1 <- 0.40
P_R2 <- 0.30
P_R3 <- 0.20
P_R4 <- 0.30

# Probabilidades de pasar por cada lugar
P_L1 <- 0.20
P_L2 <- 0.10
P_L3 <- 0.50
P_L4 <- 0.20

# ¿Cuál es la probabilidad de que reciba una multa por conducir con exceso de velocidad? 
P_M <- (P_R1 * P_L1) + (P_R2 * P_L2) + (P_R3 * P_L3) + (P_R4 * P_L4)

# ¿cuál es la probabilidad de que pase por el sistema de radar que se ubica en L2
P_L2_given_M <- (P_R2 * P_L2) / P_M

# Mostrar el resultado
print(P_M)

[1] 0.27

print(P_L2_given_M)

[1] 0.1111111

4. Una cadena de tiendas de pintura produce y vende pintura de látex y semi esmaltada. De acuerdo con las ventas a largo plazo, la probabilidad de que un cliente compre pintura de látex es 0.75. De los que compran pintura de látex, 60 % también compra rodillos. Sin embargo, sólo 30 % de los que compran pintura semi esmaltada compra rodillos. Un comprador que se selecciona al azar adquiere un rodillo y una lata de pintura. ¿Cuál es la probabilidad de que sea pintura de látex?

Variables:

1. P(L): Probabilidad de que un cliente compre pintura de látex. P(L) = 0.75
2. P(S): Probabilidad de que un cliente compre pintura semi esmaltada. P(S) = 1 – 0.75 P(S) = 0.25
3. P(R|L): Probabilidad de comprar un rodillo dado que se compra pintura de látex. P(R|L) = 0.60
4. P(R): Probabilidad de que un cliente compre un rodillo.
5. P(L∣R): Probabilidad de que un cliente haya comprado pintura de látex dado que compró un rodillo.

Primero, debemos calcular P(R) usando la ley de la probabilidad total:

P(R) = P(R∣L) * P(L) + P(R∣S) * P(S) P(R) = (0.60 * 0.75) + (0.30 * 0.25) P(R) = 0.45 + 0.075 = 0.525

Aplicación del Teorema de Bayes

Aplicamos el Teorema de Bayes para encontrar \(P(L \mid R)\), la probabilidad de que un cliente que ha adquirido un rodillo también haya comprado pintura de látex.

La fórmula del Teorema de Bayes es:

\[ P(L \mid R) = \frac{P(R \mid L) \times P(L)}{P(R)} \]

Sustituyendo los valores proporcionados:

\[ P(L \mid R) = \frac{0.60 \times 0.75}{0.525} \]

Primero, realizamos la multiplicación en el numerador:

\[ 0.60 \times 0.75 = 0.45 \]

Luego, dividimos este resultado por el denominador:

\[ P(L \mid R) = \frac{0.45}{0.525} \]

Realizando la división:

\[ P(L \mid R) \approx 0.8571 \]

Respuesta: La probabilidad de que un cliente que ha adquirido un rodillo también haya comprado pintura de látex es aproximadamente \(85.71\%\).

# Datos del problema
P_L <- 0.75    # Probabilidad de que un cliente compre pintura de látex
P_S <- 1 - P_L # Probabilidad de que un cliente compre pintura semi esmaltada
P_R_given_L <- 0.60 # Probabilidad de que un cliente compre un rodillo dado que compró pintura de látex
P_R_given_S <- 0.30 # Probabilidad de que un cliente compre un rodillo dado que compró pintura semi esmaltada

# Calcular P(R)
P_R <- (P_R_given_L * P_L) + (P_R_given_S * P_S)

# Calcular P(L|R) usando el Teorema de Bayes
P_L_given_R <- (P_R_given_L * P_L) / P_R

# Mostrar el resultado
P_L_given_R

## [1] 0.8571429

5. Un embarque de 7 televisores contiene 2 unidades defectuosas. Un hotel compra 3 de los televisores al azar. Si x es el número de unidades defectuosas que compra el hotel, calcule la distribución de probabilidad de X. Exprese los resultados de forma gráfica como un histograma de probabilidad. Calcule la media y la varianza de X.

N: “Total de televisores”. N = 7 K “Televisores defectuosos”. K = 2 n “Número de televisores comprados por el hotel”. n=3 X “Número de defectuosos comprados por el hotel”. X = ?

Distribución hipergeométrica:

Cálculo de Probabilidades y Estadísticas

Dado un problema de probabilidad en el que deseamos encontrar la probabilidad de obtener exactamente \(k\) defectuosos en una muestra de tamaño \(n\) de una población con \(K\) defectuosos en un total de \(N\) elementos, utilizamos la fórmula de la distribución hipergeométrica:

\[ P(X=k) = \frac{{\binom{K}{k} \cdot \binom{N-K}{n-k}}}{{\binom{N}{n}}} \]

Donde: - \(\binom{a}{b}\) representa el coeficiente binomial “a sobre b”.

Cálculo de Probabilidades

Para \(X=0\) (Ninguno defectuoso):

\[ P(X=0) = \frac{{\binom{2}{0} \cdot \binom{5}{3}}}{{\binom{7}{3}}} \]

Calculamos:

\[ P(X=0) = \frac{{1 \cdot 10}}{{35}} = \frac{10}{35} = 0.2857 \]

Para \(X=1\) (Exactamente 1 defectuoso):

\[ P(X=1) = \frac{{\binom{2}{1} \cdot \binom{5}{2}}}{{\binom{7}{3}}} \]

Calculamos:

\[ P(X=1) = \frac{{2 \cdot 10}}{{35}} = \frac{20}{35} = 0.5714 \]

Para \(X=2\) (Exactamente 2 defectuosos):

\[ P(X=2) = \frac{{\binom{2}{2} \cdot \binom{5}{1}}}{{\binom{7}{3}}} \]

Calculamos:

\[ P(X=2) = \frac{{1 \cdot 5}}{{35}} = \frac{5}{35} = 0.1429 \]

Probabilidades de X

La probabilidad para \(X\) se representa con las siguientes probabilidades:

\[ P(X=0) = 0.2857 \]

\[ P(X=1) = 0.5714 \]

\[ P(X=2) = 0.1429 \]

Media (\(\mu\))

La media \(\mu\) se calcula usando la fórmula:

\[ \mu = \frac{n \cdot K}{N} \]

Sustituyendo los valores:

\[ \mu = \frac{3 \cdot 2}{7} = 0.8571 \]

Varianza (\(\sigma^2\))

La varianza \(\sigma^2\) se calcula usando la fórmula:

\[ \sigma^2 = \frac{n \cdot K}{N} \cdot \frac{(N-K)}{N} \cdot \frac{(N-n)}{(n-1)} \]

Sustituyendo los valores:

\[ \sigma^2 = \frac{3 \cdot 2}{7} \cdot \frac{5}{7} \cdot \frac{2}{3} = 0.4082 \]

Resúmen: Las probabilidades de obtener exactamente 0, 1 o 2 defectuosos son 0.2857, 0.5714 y 0.1429, respectivamente. La media es 0.8571 y la varianza es 0.4082.

# Definir los parámetros
N <- 7  # Total de televisores
K <- 2  # Número de defectuosos
n <- 3  # Número de televisores comprados por el hotel

# Calcular la distribución de probabilidad de X
x <- 0:n
probabilidades <- dhyper(x, K, N-K, n)

# Crear un dataframe para los gráficos
df <- data.frame(
  X = x,
  Probabilidad = probabilidades
)

# Mostrar la distribución de probabilidad en formato tabular
print(df)

  X Probabilidad
1 0    0.2857143
2 1    0.5714286
3 2    0.1428571
4 3    0.0000000

# Crear el histograma de probabilidad
ggplot(df, aes(x = X, y = Probabilidad)) +
  geom_bar(stat = "identity", fill = "lightblue", color = "black") +
  labs(title = "Distribución de Probabilidad de X",
       x = "Número de defectuosos comprados",
       y = "Probabilidad") +
  theme_minimal()

# Calcular la media y la varianza
media <- sum(x * probabilidades)
varianza <- sum((x - media)^2 * probabilidades)

# Mostrar la media y la varianza
cat("Media de X:", media, "\n")

Media de X: 0.8571429 

cat("Varianza de X:", varianza, "\n")

Varianza de X: 0.4081633 

5. Conclusiones

• El espacio muestral para el experimento de lanzar una moneda y, dependiendo del resultado, lanzar otra moneda o un dado, se completa con todos los eventos posibles derivados de estas acciones. Los eventos identificados incluyen “CC”, “CS” para los lanzamientos de monedas, y “S1” a “S6” para los resultados del dado. Esto ilustra cómo las reglas del experimento definen claramente todas las posibles combinaciones de resultados.

• La simulación en R mostró cómo generar el espacio muestral completo y obtener frecuencias de eventos en experimentos. La simulación ayudó a confirmar la teoría y calcular la frecuencia de eventos específicos en el espacio muestral, como los eventos “CC”, “CS” y “S1” a “S6”. Esto destaca el uso de simulaciones para explorar y verificar espacios muestrales complejos donde una enumeración directa no es práctica.

• El Teorema de Bayes se utilizó para calcular la probabilidad condicional de que un cliente haya comprado pintura de látex dado que compró un rodillo. La probabilidad resultante de aproximadamente 85.71% demuestra la utilidad del teorema para actualizar probabilidades basadas en información adicional, ayudando a identificar la probabilidad de un evento condicionado a otro.

• La probabilidad total de recibir una multa por exceso de velocidad se calculó en un 27% combinando las probabilidades de operación de los radares y las probabilidades de pasar por cada punto. Además, la probabilidad de que la multa se haya emitido en el punto de radar L2 dado que se recibió una multa es del 11.11%. Esto muestra cómo se puede usar la probabilidad total y condicional para evaluar escenarios complejos en problemas de probabilidad.

• La distribución hipergeométrica se aplicó para calcular la probabilidad de seleccionar diferentes cantidades de televisores defectuosos de un total. Las probabilidades calculadas de obtener 0, 1 o 2 defectuosos entre los 3 comprados son 0.2857, 0.5714 y 0.1429, respectivamente. La media y varianza calculadas (0.8571 y 0.4082, respectivamente) proporcionan una visión completa de la distribución de defectuosos en la muestra. Esto demuestra cómo la distribución hipergeométrica puede modelar la probabilidad de eventos en muestreo sin reemplazo.