Capítulo 6: Análise de variância multivariada (MANOVA) em R
DES4033: Análise Multivariada em Biologia
28 novembro 2025 00:18h
Bastão de Asclépio & Distribuição Normal
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# suppressMessages(library(Hotelling, warn.conflicts=FALSE))
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suppressMessages(library(MVA, warn.conflicts=FALSE)) # An Introduction to Applied Multivariate Analysis with R
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# suppressMessages(library(MVLM, warn.conflicts=FALSE))
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suppressMessages(library(sjPlot, warn.conflicts=FALSE))
# suppressMessages(library(skimr, warn.conflicts=FALSE))
suppressMessages(library(tidyr, warn.conflicts=FALSE))Adicionar
matrixNormal::I,matrixNormal::J,matrixNormal::traov: medidas repetidas (aulas em PPTX sobre GLM e GLMM)biotools::mvpaircomp: Multivariate Pairwise ComparisonsbruceRbruceR::cor_diffbruceR::CorrbruceR::DescribebruceR::RECODEbruceR::model_summarybruceR::regressbruceR::EMMEANSbruceR::GLM_summarybruceR::HLM_summarybruceR::TTESTbruceR::MANOVA: https://psychbruce.github.io/bruceR/reference/MANOVA.html
apaTables::apa.aov.table
apaTables::apa.aov.table(fit,
conf.level=1-alfa,
type=3)
lmboot::ANOVA.boot
modelo_boot <- lmboot::ANOVA.boot(Sodium ~ Instructor,
B=B,
type="residual",
wild.dist="normal",
seed=123,
data=TH,
keep.boot.resp=FALSE)
d <- density(modelo_boot$bootFStats)
plot(d,
main=paste("Independent one-way ANOVA (",bootsamples,
" replicates)",sep=""),
xlab="F", ylab="Density", lwd=2)
Fc <- quantile(modelo_boot$bootFStats,probs = 1-alfa)
abline(v=Fc, lty=3)
Fobs <- qf(1-modelo_boot$`p-values`, modelo_boot$df[1],
modelo_boot$df[2])
abline(v=Fobs, lty=4)
legend("topright",
c(expression(H[0]),
paste("F(",modelo_boot$df[1],", ",modelo_boot$df[2],
"; ",1-alfa,") = ",round(Fc,2),sep=""),
paste("\nF(",modelo_boot$df[1],", ",modelo_boot$df[2],") = ",
round(Fobs,2),"\n",
"p = ",round(modelo_boot$`p-values`,5),sep="")
),
lwd=c(2,1,1), lty=c(1,3,4))
cat(paste("F(",modelo_boot$df[1],", ",modelo_boot$df[2],") = ",
round(Fobs,2),
", p = ",round(modelo_boot$`p-values`,5),"\n", sep=""))
cat(paste("(",bootsamples," bootstrap samples)\n", sep=""))
cat("Effect size analysis")
eta2 <- modelo_boot$df[1]*Fobs/(modelo_boot$df[1]*Fobs+modelo_boot$df[2])
cat("eta^2 = ", round(eta2,2), sep="")
es <- effectsize::interpret_eta_squared(eta2)
names(es) <- c("Tamanho de efeito: estimativa pontual")
print(es)
MultivariateAnalysis::MANOVA- Monteiro, A. L. M. (2024). Pacote do R MultivariateAnalysis e suas aplicações na análise estatística de dados [Dissertação de mestrado, Universidade Federal de Minas Gerais]
Material
- HTML de Rmarkdown em
RPubs - Livro-texto:
- JOHNSON, RA & WICHERN, DW (2007) Applied multivariate statistical analysis. 6th ed. NJ: Prentice Hall.
- JOHNSON, RA & WICHERN, DW (2007) Applied multivariate statistical analysis: Solutions Manual. 6th ed. NJ: Prentice Hall.
- Arquivos de dados do livro-texto:
- Prof. José Siqueira: ResearchGate
Pensamento
“Não é paradoxo dizer que nos nossos momentos de inspiração mais teórica podemos estar o mais próximo possível de nossas aplicações mais práticas.”
WHITEHEAD, AN apud BOYER, CB (1974) História da matemática. São Paulo: Blücher/EDUSP, p. 419.
Sumário
- Aspectos de análise multivariada
- Álgebra matricial e vetor estocástico
- Geometria amostral e amostragem aleatória
- Distribuição normal multivariada
- Inferência sobre vetor de média
- Comparação de várias médias multivariadas
- Modelo de regressão linear multivariada
- Componentes principais
- Análise de fatores e inferência sobre matriz de covariância
- Análise de correlação canônica
- Discriminação e classificação
- Clusterização, métodos de distância e ordination
Pré-requisitos do Capítulo 6
Comentário gerais sobre o livro-texto
- Delineamento do estudo e nível de mensuração da variável determinam o teste estatístico
- Modelo explicativo: teste estatístico multivariado sem dados brutos
- Arquivo de dados sempre
wide - Apenas efeito fixo (sem efeito aleatório)
- Não há GLM multivariado misto com efeito aleatório
- Bootstrapping com dados completos
- Missing value é problema com arquivo wide
- Estimação de tamanho e importância de efeito
- Estimação de importância de medida (measure)
- Estimação da importância da VI ou efeito na rejeição da hipótese nula multivariada
Distribuição \(T^2\) de Hotelling
A estatística \(T^2\) é chamada de \(T^2\) de Hotelling em homenagem a Harold Hotelling, um pioneiro na análise multivariada, que primeiro obteve sua distribuição amostral. Aqui, \((1/n)\mathbf{S}\) é a matriz de covariância estimada de \(\overline{\mathbf{X}}\) (consulte o Resultado 3.1).
Se a distância estatística observada \(T^2\) for muito grande — ou seja, se \(\overline{\mathbf{X}}\) estiver “muito longe” de \(\boldsymbol{\mu}_0\) — a hipótese \(H_0: \boldsymbol{\mu} = \boldsymbol{\mu}_0\) é rejeitada. Acontece que tabelas especiais de quantis de \(T^2\) não são necessárias para testes formais de hipóteses. Isso ocorre porque pode ser usada a distribuição \(F\) para realizar testes de hipótese nula envolvendo a estatística \(T^2\).
Se \(F\sim F_{p, \,n-p}\), então
\[ T^2=(n-1)\dfrac{p}{n-p} F \;\overset{H_0}{\sim}\; T^2_{p,\,n-1} \tag{5-5} \]
Sendo que:
\[ T^2_{p,\,n-1}(1-\alpha)=(n-1)\dfrac{p}{n-p} F_{p, \,n-p}(1-\alpha) \]
em que \(F_{p, n-p}\) é distribuição F de Fisher-Snedecor com \(p\) e \(n-p\) graus de liberdade do numerador e denominador, respectivamente.
Se \(n-p\ge200\) e \(p\le6\), então
\[ T^2_{p,\,n-1}(1-\alpha) \approx \chi^2_p(1-\alpha) \]
De forma mais geral, temos que a seguinte relação dos quantis:
\[ T^2_{k_1,\,k_2}(1-\alpha)=k_2\dfrac{k_1}{k_2-k_1+1} F_{k_1,\, k_2-k_1+1}(1-\alpha) \] Funções da distribuição T² de Hotelling:
A função densidade de probabilidade (fdp) é dada por
\[ f_{T^2}(t;k_1,k_2) = \frac{t^{\frac{k_1}{2}-1}} {k_2^{\frac{k_1}{2}}\,B\!\left(\frac{k_1}{2},\,\frac{k_2-k_1+1}{2}\right)} \left(1+\frac{t}{k_2}\right)^{-\frac{k_2+1}{2}}, \quad t>0 \]
sendo que \(B(a,b)\) é a função beta completa:
\[ B(a,b)=\int_0^1 u^{a-1}(1-u)^{b-1}\,du \]
A função distribuição acumulada (cdf) é
\[ F_{T^2}(t;k_1,k_2) = I_{\frac{t}{k_2+t}}\!\left(\frac{k_1}{2},\,\frac{k_2-k_1+1}{2}\right) \]
em que \(I_z(a,b)\) é a beta incompleta regularizada:
\[ I_z(a,b) = \frac{B_z(a,b)}{B(a,b)}, \quad B_z(a,b)=\int_0^z u^{a-1}(1-u)^{b-1}\,du \]
No caso usual de teste de uma amostra, com dimensão \(p\) e tamanho amostral \(n\), temos \(k_1=p\) e \(k_2=n-1\), logo:
\[ \begin{align} T^2&=n\left(\overline{\mathbf{X}}-\boldsymbol{\mu}_0\right)^{\prime}\mathbf{S}^{-1}\left(\overline{\mathbf{X}}-\boldsymbol{\mu}_0\right)\sim T^2_{p,n-1}=\frac{p(n-1)}{n-p}F_{p,n-p}\\\\ f_{T^2}(t;p,n)&=\frac{t^{\frac{p}{2}-1}} {(n-1)^{\frac{p}{2}}\,B\!\left(\frac{p}{2},\,\frac{n-p}{2}\right)} \left(1+\frac{t}{n-1}\right)^{-\frac{n}{2}}\\ F_{T^2}(t;p,n)&=I_{\frac{t}{t+n-1}}\!\left(\frac{p}{2},\,\frac{n-p}{2}\right) \end{align} \]
Observação: caso \(\mathbf{\Sigma}\) conhecida, \(T^2\sim\chi^2_p\).
source("T2.R")
p <- 3
n <- 75
k1 <- p
k2 <- n - 1
alpha <- 0.05
B <- 1e6
set.seed(123)
q_emp <- quantile(rT2(B, k1, k2), 1-alpha)
q_the <- qT2(1-alpha, k1, k2)
print(round(c(emp = unname(q_emp), te = q_the), 4)) emp te
8.4113 8.4231 # --- fdp: p fixo, variar n ---
plot_fdp_fix_p_var_n <- function(p = 3, ns = c(15, 30, 75, 150), x_max = 30) {
cols <- 1:length(ns)
plot(NA, xlim = c(0, x_max), ylim = c(0, 0.25),
xlab = expression(T^2), ylab = "fdp",
main = bquote("fdp T"^2*" (p="*.(p)*")"))
for (i in seq_along(ns)) {
n <- ns[i]; k1 <- p; k2 <- n - 1
curve(dT2(x, k1, k2), from = 0, to = x_max, add = TRUE, lwd = 2, col = cols[i])
}
legend("topright", legend = paste0("n=", ns), col = cols, lwd = 2, bty = "n")
}
# --- fdp: n fixo, variar p ---
plot_fdp_fix_n_var_p <- function(n = 75, ps = c(2, 3, 5, 10), x_max = 30) {
cols <- 1:length(ps)
plot(NA, xlim = c(0, x_max), ylim = c(0, 0.2),
xlab = expression(T^2), ylab = "fdp",
main = bquote("fdp T"^2*" (n="*.(n)*")"))
for (i in seq_along(ps)) {
p <- ps[i]; k1 <- p; k2 <- n - 1
curve(dT2(x, k1, k2), from = 0, to = x_max, add = TRUE, lwd = 2, col = cols[i])
}
legend("topright", legend = paste0("p=", ps), col = cols, lwd = 2, bty = "n")
}
# --- CDF: p fixo, variar n ---
plot_cdf_fix_p_var_n <- function(p = 3, ns = c(15, 30, 75, 150), x_max = 30) {
cols <- 1:length(ns)
plot(NA, xlim = c(0, x_max), ylim = c(0, 1),
xlab = expression(T^2), ylab = "CDF",
main = bquote("CDF T"^2*" (p="*.(p)*")"))
for (i in seq_along(ns)) {
n <- ns[i]; k1 <- p; k2 <- n - 1
curve(pT2(x, k1, k2), from = 0, to = x_max, add = TRUE, lwd = 2, col = cols[i])
}
legend("bottomright", legend = paste0("n=", ns), col = cols, lwd = 2, bty = "n")
}
# --- CDF: n fixo, variar p ---
plot_cdf_fix_n_var_p <- function(n = 75, ps = c(2, 3, 5, 10), x_max = 30) {
cols <- 1:length(ps)
plot(NA, xlim = c(0, x_max), ylim = c(0, 1),
xlab = expression(T^2), ylab = "CDF",
main = bquote("CDF T"^2*" (n="*.(n)*")"))
for (i in seq_along(ps)) {
p <- ps[i]; k1 <- p; k2 <- n - 1
curve(pT2(x, k1, k2), from = 0, to = x_max, add = TRUE, lwd = 2, col = cols[i])
}
legend("bottomright", legend = paste0("p=", ps), col = cols, lwd = 2, bty = "n")
}
# --- fdp em escala log (semi-log) ---
plot_fdp_log_p_var_n <- function(p = 3, ns = c(15, 30, 75, 150), x_max = 30) {
cols <- 1:length(ns)
plot(NA, xlim = c(0, x_max), ylim = c(1e-6, 1), log = "y",
xlab = expression(T^2), ylab = "fdp (log)",
main = bquote("fdp T"^2*" log (p="*.(p)*")"))
for (i in seq_along(ns)) {
n <- ns[i]; k1 <- p; k2 <- n - 1
curve(dT2(x, k1, k2), from = 1e-6, to = x_max, add = TRUE,
lwd = 2, col = cols[i], n = 2001)
}
legend("topright", legend = paste0("n=", ns), col = cols, lwd = 2, bty = "n")
}
par(mfrow = c(1, 2), mar = c(4, 4, 2, 1))
plot_fdp_fix_p_var_n(p = 3, ns = c(15, 30, 75, 150))
plot_fdp_fix_n_var_p(n = 75, ps = c(2, 3, 5, 10))
par(mfrow = c(1, 2), mar = c(4, 4, 2, 1))
plot_cdf_fix_p_var_n(p = 3, ns = c(15, 30, 75, 150))
plot_cdf_fix_n_var_p(n = 75, ps = c(2, 3, 5, 10))
- Hotelling’s T-squared distribution: Wikipedia
- Hotelling t-squared distribution: WolframAlpha
PDF[HotellingTSquareDistribution[p, m], x]: WolframAlphaPlot[PDF[HotellingTSquareDistribution[5, 10], x], {x, 0, 50}]Plot[PDF[HotellingTSquareDistribution[2, 30], x], {x, 0, 5}]RandomReal[HotellingTSquareDistribution[5, 10], 10]
Introdução
Análise estatística multivariada tem que produzir valor p para o teste de hipótese nula omnibus.
As ideias desenvolvidas no Capítulo 5 podem ser estendidas para lidar com problemas envolvendo a comparação de vetores de média.
O teste \(T^2\) de Hotelling foi concebidos por H. Hotelling (1931, 1951).
O teste \(T^2\) de Hotelling para uma condição é o primeiro e mais básico dos testes multivariados.
O teste \(T^2\) de Hotelling para duas condições independentes testa a igualdade de dois centróides multivariados populacionais.
MANOVA foi concebida por Wilks (1932) para testar o efeito de um fator com três ou mais condições.
A teoria é um pouco mais complexa e baseia-se na suposição de distribuição multinormal ou tamanho de amostra grande (TLC) [tamanho de amostra pequeno (bootstrapping)].
Da mesma forma, a notação se torna mais pesada. Para contornar esses problemas, frequentemente revisaremos procedimentos univariados para comparar várias médias e depois generalizaremos para os casos multivariados correspondentes por analogia. Os exemplos numéricos que apresentamos ajudarão a consolidar os conceitos.
Como as comparações de médias frequentemente (e deveriam) emanam de experimentos planejados, aproveitamos a oportunidade para discutir alguns dos princípios de uma boa prática experimental. Um delineamento de medidas repetidas (intraparticipantes), útil em estudos comportamentais, é explicitamente considerado, juntamente com modificações necessárias para analisar curvas de crescimento.
Começamos considerando pares de vetores de média. Nas seções posteriores, discutimos várias comparações entre vetores de média organizados de acordo com os níveis de tratamento. As estatísticas de teste correspondentes dependem de uma divisão da variação total em parcelas de variação atribuíveis às fontes de tratamento e erro. Essa divisão é conhecida como análise de variância multivariada (MANOVA).
Modelo linear geral (GLM) multivariado multifatorial
O modelo linear geral (GLM) multivariado multifatorial nada mais é do que uma forma unificada de tratar regressão multivariada e MANOVA. Ele descreve a relação entre variáveis dependentes (VD) intervalares e uma ou mais variáveis independentes (VI) (que podem ser intervalares e/ou nominais). A VD também pode ser chamada de variável de desfecho, medida (measure) ou variável de resposta. A VI pode ser chamada de fator (VI nominal) ou covariável (VI intervalar).
Em palavras simples: você observa duas ou mais VD e verificar se elas estão conjuntamente relacionadas com uma VI interesse do pesquisador.
GLM multivariado permite o controle estatístico das variáveis de confusão na análise da relação entre as variáveis dependentes (VD) e a variável independente (VI) de interesse. Esse controle é feito pela inclusão das potenciais variáveis de confusão como covariáveis e fatores no modelo, de modo que o efeito estimado da VI sobre a VD seja ajustado e condicional às demais variáveis incluídas. Assim, o coeficiente associado à VI reflete sua associação com a VD mantendo fixos as covariáveis e os fatores de controle.
Exemplo: se as VD são pressão arterial (PA) e massa corporal total (MCT) e a VI de interesse é o fator uso de medicamento (sim/não), com as VI de controle idade (covariável) e sexo (fator), o GLM multivariado testa estatisticamente o efeito do fator medicamento sobre a PA e MCT controlando por idade e sexo.
Ou seja: GLM multivariado é um modelo que responde à pergunta “qual é o efeito da VI de interesse sobre as VD, quando controlo estatisticamente por meio de outras VI (variáveis de confusão)?”.
Controlar estatisticamente significa excluir os efeitos de sexo e idade da relação entre (PA, MCT) e medicamento. Este controle estatistico das variáveis de confusão sexo e idade consiste numa maneira de purificar a relação entre (PA, MCT) e medicamento.
Portanto, GLM multivariado é um modelo explicativo em contraposição ao modelo preditivo.
Além do controle estatístico, em um estudo empírico também se pode recorrer ao controle experimental, que visa aumentar a plausibilidade da relação causal entre as VD e VI. Esse controle se subdivide em estratégias voltadas à validade externa e à validade interna. A validade externa está relacionada à possibilidade de generalizar os resultados, dependendo de fatores como o método de amostragem, o processo de recrutamento e a definição clara da população-alvo por meio de critérios de inclusão e exclusão. Já a validade interna diz respeito à capacidade de assegurar que a relação observada entre as VD e VI não seja espúria, o que pode ser alcançado por técnicas como a randomização, o matching (pareamento) e o controle direto de variáveis de confusão.
Assim, a combinação entre o controle estatístico proporcionado pelo modelo linear geral e os procedimentos de controle experimental fortalece tanto a validade interna quanto a externa do estudo, oferecendo maior veracidade às conclusões sobre a relação entre as VD e VI de interesse.
Comparação de Pares e Delineamento de Medidas Repetidas
Delineamento intraparticipantes com duas condições dependentes
- \(p\ge1,\; q=2,\; g=1: \; n_1\ge2\)
O número de UE é \(n=n_1\ge2\).
Medições são frequentemente registradas sob diferentes conjuntos de condições experimentais para verificar se as respostas diferem significativamente entre esses conjuntos. Por exemplo, a eficácia de um novo medicamento ou de uma campanha publicitária saturada pode ser determinada ao comparar medições antes do “tratamento” (medicamento ou publicidade) com aquelas após o tratamento. Em outras situações, dois ou mais tratamentos podem ser administrados nas mesmas ou em unidades experimentais semelhantes, e as respostas podem ser comparadas para avaliar os efeitos dos tratamentos.
Uma abordagem racional para comparar dois tratamentos, ou a presença e ausência de um único tratamento, é atribuir ambos os tratamentos à mesma unidade ou unidades idênticas (indivíduos, lojas, lotes de terra, e assim por diante). As respostas em pares podem então ser analisadas calculando suas diferenças, eliminando assim grande parte da variação extrínseca de unidade para unidade.
No caso de uma única resposta (univariada), seja \(X_{i1}\) denotar a resposta ao tratamento 1 (ou a resposta antes do tratamento) e \(X_{i2}\) denotar a resposta ao tratamento 2 (ou a resposta após o tratamento) para a i-ésima tentativa. Ou seja, \((X_{i1},X_{i2})\) são medições registradas na i-ésima unidade ou i-ésimo par de unidades semelhantes. Por delineamento, as \(n\) diferenças
\[ D_i = X_{i1} - X_{i2}, \quad i = 1,2,...,n \tag{6-1} \]
deveriam refletir apenas os efeitos diferenciais dos tratamentos.
Dado que as diferenças \(D_i\) representam observações independentes de uma distribuição \(\mathcal{N}(\delta, \sigma^2_D)\), a variável
\[ T = \dfrac{\overline{D}-\delta}{\dfrac{S_D}{\sqrt{n}}} \sim t_{n-1} \tag{6-2} \]
em que
\[ \overline{D} = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} D_i \quad \text{e} \quad S_D^2 = \dfrac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} \left(D_i - \overline{D}\right)^2 \tag{6-3} \]
Consequentemente, um teste de nível \(\alpha\) de
\[ \begin{cases} H_0: \;\delta = 0 \\ H_1: \;\delta \neq 0 \end{cases}\\ \alpha=5\% \]
pode ser realizado comparando-se \(|t|\) com \(t_{n-1}(1-\alpha/2)\). Um intervalo de confiança de \(100(1 - \alpha)\%\) para a diferença média \(\delta = \mathbb{E}(X_{i1}-X_{i2})= \mathbb{E}(X_{i1})-\mathbb{E}(X_{i2})\) é fornecido pelo intervalo de confiança:
\[ \text{IC}^{1-\alpha}(\delta)=\left[\overline{D} \pm t_{n-1}(1-\alpha/2) \dfrac{S_D}{\sqrt{n}}\right]\tag{6-4} \]
Uma notação adicional é necessária para a extensão multivariada do procedimento de comparação pareada. É necessário distinguir entre \(p\) respostas, dois tratamentos e \(n\) unidades experimentais.
Rotulamos as \(p\) respostas dentro da \(j\)-ésima unidade observacional como:
\[ X_{1j1} = \text{variável 1 sob tratamento 1} \\ X_{1j2} = \text{variável 2 sob tratamento 1} \\ \vdots \\ X_{1jp} = \text{variável } p \text{ sob tratamento 1} \]
\[ \text{---------------} \]
\[ X_{2j1} = \text{variável 1 sob tratamento 2} \\ X_{2j2} = \text{variável 2 sob tratamento 2} \\ \vdots \\ X_{2jp} = \text{variável } p \text{ sob tratamento 2} \]
A observação tem a seguinte notação:
\[ X_{\text{tratamento},\,\text{UE},\,\text{medida}}=X_{i,j,k} \]
Sendo que:
\[ \begin{align} i &= 1,2,\ldots,q \\ j &= 1,2,\ldots,n \\ k &= 1,2,\ldots,p \end{align} \]
Sendo que:
\(q\): número de condições experimentais dependentes (tratamentos)
\(n\): número de unidades experimentais (UE)
\(p\): número de medidas (measures) intervalares
As \(p\) variáveis aleatórias de diferença pareada tornam-se:
\[ \begin{align} D_{j1} &= X_{1j1} - X_{2j1} \\ D_{j2} &= X_{1j2} - X_{2j2} \\ \vdots \\ D_{jp} &= X_{1jp} - X_{2jp} \end{align} \tag{6-5} \]
Seja \(\mathbf{D}^{\prime}_j = [D_{j1}\; D_{j2}\; \cdots\; D_{jp}]\) e suponha que, para \(j = 1, 2, \ldots, n\):
\[ \mathbb{E}\left(\mathbf{D}_j\right) = \boldsymbol{\delta} = \begin{bmatrix} \delta_1 \\ \delta_2 \\ \vdots\\ \delta_p \end{bmatrix} \]
e
\[ \mathbb{C}\left(\mathbf{D}_j\right) = \mathbf{\Sigma}_\mathbf{D} \tag{6-6} \]
Se, além disso, \(\{\mathbf{D}_i\}_{i=1}^{n} \sim \mathcal{N}_p\text{IID}(\boldsymbol{\delta}, \mathbf{\Sigma_\mathbf{D}})\), inferências sobre o vetor das diferenças médias \(\boldsymbol{\delta}\) podem ser baseadas em uma estatística \(T^2\). Especificamente,
\[ T^2 = n\left(\overline{\mathbf{D}} - \boldsymbol{\delta}_0\right)^{\prime} \mathbf{S}_\mathbf{D}^{-1} \left(\overline{\mathbf{D}} - \boldsymbol{\delta}_0\right) \tag{6-7} \]
em que
\[ \overline{\mathbf{D}} = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \mathbf{D}_i \quad \text{e} \quad \mathbf{S}_\mathbf{D} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left(\mathbf{D}_i - \overline{\mathbf{D}}\right)\left(\mathbf{D}_i - \overline{\mathbf{D}}\right)^{\prime} \tag{6-8} \]
Resultado 6.1. Sejam as diferenças \(\{\mathbf{D}_i\}_{i=1}^{n} \sim \mathcal{N}_p\text{IID}(\boldsymbol{\delta}, \mathbf{\Sigma_\mathbf{D}})\). Então
\[ T^2 = n\left(\overline{\mathbf{D}} - \boldsymbol{\delta}_0\right)^{\prime} \mathbf{S}_\mathbf{D}^{-1} \left(\overline{\mathbf{D}} - \boldsymbol{\delta}_0\right) \sim \dfrac{(n - 1)p}{n - p}F_{p, n - p}=T^2_{p,n-1} \]
Se \(n - p \ge 30\), pode-se recorrer ao Teorema Central do Limite, dispensando-se a suposição de multinormalidade.
Se \(n - p \ge200\) e \(p\le6\), \(T^2\) segue aproximadamente uma distribuição \(\chi^2_p\).
- \(p\ge1,\; q=2,\; g=1: \; n_1\ge2\)
O número de UE é \(n=n_1\ge2\).
GLM multivariado com um fator intraparticipantes:
\[ \begin{align} T^2_{df_1,\,k_2}&=k_2\dfrac{df_1}{df_2}F_{df_1,\,df_2} \\\\ df_1 &= p(q-1) + p(g-1)=p\\ k_2&=n-g=n-1\\ df_2 &= k_2 - df_1+1= n-p\\\\ T^2_{p,\,n-1}&=(n-1)\dfrac{p}{n-p}F_{p,\,n-p} \end{align} \]
Prova. A distribuição exata de \(T^2\) é uma reformulação do resumo em (5-6), com vetores de diferenças para os vetores de observação. A distribuição aproximada de \(T^2\), para \(n - p \ge200\) e \(p\le6\), segue de (4-28).
Portanto, a hipótese nula multivariada é:
\[ \begin{cases} H_0: \;\boldsymbol{\delta} = \boldsymbol{\delta}_0 \\ H_1: \;\boldsymbol{\delta} \neq \boldsymbol{\delta}_0 \end{cases}\\ \alpha=5\% \]
Mais formalmente:
\[ \begin{cases} H_0: \;\boldsymbol{\delta} - \boldsymbol{\delta}_0 =\mathbf{0}\\ H_1: \;\boldsymbol{\delta} - \boldsymbol{\delta}_0\neq\mathbf{0} \end{cases}\\ \alpha=5\% \]
\[\Diamond\]
A condição \(\boldsymbol{\delta} = \boldsymbol{\delta}_0=\mathbf{0}\) é equivalente a “nenhuma diferença média entre os dois tratamentos”. Para a i-ésima variável, \(\delta_i > 0\) implica que o tratamento 1 é maior, em média, do que o tratamento 2. Em geral, inferências sobre \(\delta\) podem ser feitas usando o Resultado 6.1.
Dadas as diferenças observadas \(\mathbf{d}_j = [d_{j1}, d_{j2}, \ldots, d_{jp}]\), \(j = 1, 2, \ldots, n\), correspondendo às variáveis aleatórias em (6-5), um teste de nível \(\alpha\) de \(H_0: \boldsymbol{\delta} = \mathbf{0}\) versus \(H_1: \boldsymbol{\delta} \ne \mathbf{0}\) para uma população \(\mathcal{N}_p(\boldsymbol{\delta}, \mathbf{\Sigma_\mathbf{D}})\) rejeita \(H_0\) se
\[ T^2 = n\bar{\mathbf{d}}^{\prime} \mathbf{s}_\mathbf{d}^{-1} \bar{\mathbf{d}} > \dfrac{(n - 1)p}{n - p} F_{p, n-p}(1-\alpha) \]
Uma região de confiança de \(100(1 - \alpha)\%\) para \(\boldsymbol{\delta}\) consiste em todos os \(\boldsymbol{\delta}\) tais que:
\[ \left(\bar{\mathbf{d}}-\boldsymbol{\delta}\right)^{\prime} \mathbf{s}_\mathbf{d}^{-1} \left(\bar{\mathbf{d}}-\boldsymbol{\delta}\right) \le \dfrac{(n - 1)p}{n(n - p)} F_{p, n-p}(1-\alpha) \tag{6-9} \]
Além disso, intervalos de confiança simultâneos de \(100(1 - \alpha)\%\) para as diferenças médias individuais \(\delta_i\) são dados por:
\[ \text{IC}^{1-\alpha}\left(\delta_i\right)=\left[\bar{d}_i \pm \sqrt{ \dfrac{(n-1)p}{n-p}F_{p,n-p}(1-\alpha)\dfrac{s_{d_i}^2}{n}}\right]\tag{6-10} \]
Os intervalos de confiança simultâneos t de Bonferroni de \(100(1 - \alpha)\%\) para as diferenças médias individuais são:
\[ \text{IC}^{1-\alpha}(\delta_i)=\left[\bar{d}_i \pm t_{n-1}\left(1-\dfrac{\alpha}{2p}\right)\sqrt{\dfrac{s_{d_i}^2}{n}}\right]\tag{6-10a} \]
Exemplo 6.1: Verificando a diferença média com observações pareadas
- \(p=2,\; q=2,\; g=1:\; n_1=11\)
O número de UE é \(n=n_1=11\).
- UE: amostra retirada de descarregamento num rio ou afluente, homogeneizada e dividida em duas partes iguais; as duas partes são atribuídas aleatoriamente para cada laboratório
Estações de tratamento de águas residuais municipais são obrigadas por lei a monitorar suas descargas em rios e córregos regularmente. Preocupações sobre a confiabilidade dos dados de um desses programas de auto-monitoramento levaram a um estudo no qual amostras de efluentes foram divididas e enviadas para dois laboratórios para teste. Metade de cada amostra foi enviada para o Laboratório Estadual de Higiene de Wisconsin, e a outra metade foi enviada para um laboratório comercial privado rotineiramente usado no programa de monitoramento. Medidas da demanda bioquímica de oxigênio (DBO) e sólidos suspensos (SS) foram obtidas, para \(n = 11\) divisões de amostras, dos dois laboratórios. Os dados estão exibidos na Tabela 6.1.
Tabela 6.1 Dados do Efluente
| Amostra \(j\) | Laboratório Comercial (DBO) \(x_{1j1}\) | Laboratório Comercial (SS) \(x_{1j2}\) | Laboratório Estadual de Higiene (DBO) \(x_{2j1}\) | Laboratório Estadual de Higiene (SS) \(x_{2j2}\) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 6 | 27 | 25 | 15 |
| 2 | 6 | 23 | 28 | 13 |
| 3 | 18 | 64 | 36 | 22 |
| 4 | 8 | 44 | 35 | 29 |
| 5 | 11 | 30 | 15 | 31 |
| 6 | 34 | 75 | 44 | 64 |
| 7 | 28 | 26 | 42 | 30 |
| 8 | 71 | 124 | 54 | 64 |
| 9 | 43 | 54 | 34 | 56 |
| 10 | 33 | 30 | 29 | 20 |
| 11 | 20 | 14 | 39 | 21 |
Os resultados das análises químicas dos dois laboratórios concordam? Se existem diferenças, qual é a sua natureza?
A estatística \(T^2\) para testar \(H_0: \boldsymbol{\delta}^{\prime} = [\delta_1 \;\delta_2] = [0\;0]\) é construída a partir das diferenças de observações pareadas:
\[ \begin{align} d_{j1} &= x_{1j1} - x_{2j1}: -19, -22, -18, -27, -4, -10, -14, 17, 9, 4, -19\\ d_{j2} &= x_{1j2} - x_{2j2}: 12, 10, 42, 15, -1, 11, -4, 60, -2, 10, -7 \end{align} \]
\[ \bar{\mathbf{d}}= \begin{bmatrix} \bar{d}_1\\ \bar{d}_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -9.36\\ 13.27 \end{bmatrix} \]
\[ \mathbf{s}_\mathbf{d}= \begin{bmatrix} 199.26&88.31\\ 88.31&418.61 \end{bmatrix} \]
\[ T^2=\begin{bmatrix}-9.36&13.27\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0.0055&-0.0012\\ -0.0012&0.0026\end{bmatrix} \begin{bmatrix}-9.36\\13.27\end{bmatrix}=13.64 \]
Adotando \(\alpha = 0.05\), encontramos que
\[ \dfrac{p(n - 1)}{n - p} F_{p,n-p}(0.95) = \dfrac{2\times10}{9}F_{2,9}(0.95) = 9.46 \]
Como \(T^2 = 13.6 > 9.47\), rejeitamos \(H_0\) e concluímos que existe uma diferença média não nula entre as medições dos dois laboratórios. Ao inspecionar os dados, parece que o laboratório comercial tende a produzir medições de DBO mais baixas e medições de SS mais altas do que o Laboratório Estadual de Higiene. Os intervalos de confiança simultâneos de 95% para as diferenças médias \(\delta_1\) e \(\delta_2\) podem ser calculados usando a equação (6-10). Estes intervalos são:
\[ \text{IC}^{95\%}(\delta_1)=\left[ -9.36 \pm \sqrt{9.47\dfrac{199.26}{11}} \right]=[-22.45, 3.73] \]
\[ \text{IC}^{95\%}(\delta_2)=\left[ 13.27 \pm \sqrt{9.47\dfrac{418.61}{11}} \right]=[-5.70, 32.25] \]
Os intervalos de confiança simultâneos de 95% incluem zero, mas a hipótese \(H_0: \boldsymbol{\delta} = \mathbf{0}\) foi rejeitada no nível de 5%. O que devemos concluir?
As evidências apontam para diferenças reais. O ponto \(\boldsymbol{\delta} = \mathbf{0}\) está fora da região de confiança de 95% para \(\boldsymbol{\delta}\) (veja o Exercício 6.1), e esse resultado é consistente com o teste \(T^2\). O nível de confiança simultâneo de 95% se aplica ao conjunto inteiro de intervalos que poderiam ser construídos para todas as combinações lineares possíveis da forma \(a_1 \delta_1 + a_2 \delta_2\). Os intervalos particulares correspondentes às escolhas \((a_1 = 1, a_2 = 0)\) e \((a_1 = 0, a_2 = 1)\) contêm zero. Outras escolhas de \(a_1\) e \(a_2\) produzirão intervalos simultâneos que não contêm zero. (Se a hipótese \(H_0: \boldsymbol{\delta} = \mathbf{0}\) não fosse rejeitada, então todos os intervalos simultâneos incluiriam zero.)
Os intervalos simultâneos de Bonferroni também abrangem zero. (Veja o Exercício 6.2.)
Nossa análise assumiu uma distribuição normal para os \(\mathbf{D}_j\). Na verdade, a situação é ainda mais complexa pela presença de um ou, possivelmente, dois valores discrepantes (outliers). (Veja o Exercício 6.3.) Esses dados podem ser transformados para se tornarem mais próximos de uma distribuição normal, mas com uma amostra tão pequena, é difícil remover os efeitos dos outliers. (Veja o Exercício 6.4.)
Os resultados numéricos deste exemplo ilustram uma circunstância incomum que pode ocorrer ao fazer inferências.
A hipótes nula multivariada é:
\[ \begin{cases} H_0: \;\boldsymbol{\delta} - \boldsymbol{\delta}_0 =\mathbf{0}\\ H_1: \;\boldsymbol{\delta} - \boldsymbol{\delta}_0\neq\mathbf{0} \end{cases}\\ \alpha=5\% \]
Neste caso, \(\boldsymbol{\delta}_0 =\mathbf{0}\).
Usando lm:
# Usando lm
suppressMessages(suppressWarnings(
invisible(Sys.setlocale("LC_ALL", "pt_BR.UTF-8"))))
x <- read.table("JW6Data/T6-1.dat", quote="\"", comment.char="")
names(x) <- c("BOD_C", "SS_C", "BOD_S", "SS_S")
print.data.frame(x) BOD_C SS_C BOD_S SS_S
1 6 27 25 15
2 6 23 28 13
3 18 64 36 22
4 8 44 35 29
5 11 30 15 31
6 34 75 44 64
7 28 26 42 30
8 71 124 54 64
9 43 54 34 56
10 33 30 29 20
11 20 14 39 21d_BOD <- x$BOD_C-x$BOD_S
d_SS <- x$SS_C-x$SS_S
d <- data.frame(d_BOD,d_SS)
p <- dim(d)[2]
H0 <- rep(0, p)
fit <- lm(data=d,
sweep(cbind(d_BOD , d_SS), 2, H0, "-") ~ 1)
print(car::Anova(fit))Note: model has only an intercept; equivalent type-III tests substituted.
Type III MANOVA Tests: Pillai test statistic
Df test stat approx F num Df den Df Pr(>F)
(Intercept) 1 0.57698 6.1377 2 9 0.02083 *
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1suppressMessages(suppressWarnings(
invisible(Sys.setlocale("LC_ALL", "pt_BR.UTF-8"))))
x <- read.table("JW6Data/T6-1.dat", quote="\"", comment.char="")
names(x) <- c("BOD_C", "SS_C", "BOD_S", "SS_S")
print.data.frame(x) BOD_C SS_C BOD_S SS_S
1 6 27 25 15
2 6 23 28 13
3 18 64 36 22
4 8 44 35 29
5 11 30 15 31
6 34 75 44 64
7 28 26 42 30
8 71 124 54 64
9 43 54 34 56
10 33 30 29 20
11 20 14 39 21
alfa <- 0.05
d_BOD <- x$BOD_C-x$BOD_S
d_SS <- x$SS_C-x$SS_S
d <- data.frame(d_BOD,d_SS)
print.data.frame(d) d_BOD d_SS
1 -19 12
2 -22 10
3 -18 42
4 -27 15
5 -4 -1
6 -10 11
7 -14 -4
8 17 60
9 9 -2
10 4 10
11 -19 -7
Test Statistic p.value Method MVN
1 Henze-Zirkler 0.583 0.079 asymptotic ✓ Normal Test Variable Statistic p.value Normality
1 Shapiro-Wilk d_BOD 0.920 0.322 ✓ Normal
2 Shapiro-Wilk d_SS 0.819 0.017 ✗ Not normald_BOD d_SS
-9.4 13.3 d_BOD d_SS
d_BOD 199.3 88.3
d_SS 88.3 418.6[1] 11[1] 2[1] 9.5H0 <- rep(0, p)
T2 <- as.numeric(n*t(centroidif-H0)%*%solve(s)%*%(centroidif-H0)) # 6-7
print(T2, 3)[1] 13.6[1] TRUEF <- T2/((n-1)*p/(n-p))
pv <- 1-pf(F, p, n-p)
cat("\nF(",p,", ",n-p,") = ", round(F,2),", p = ",round(pv,4), "\n", sep="")
F(2, 9) = 6.14, p = 0.0208a.hat_abs <- abs(solve(s)%*%centroidif)
colnames(a.hat_abs) <- "Importância"
rownames(a.hat_abs) <- c("BOD", "SS")
print(proportions(a.hat_abs), digits=2) Importância
BOD 0.59
SS 0.41me1 <- sqrt(T2crit*s[1,1]/n)
cat("IC95(delta1) = [", round(centroidif[1]-me1,2),", ", round(centroidif[1]+me1,2),"]", sep="")IC95(delta1) = [-22.45, 3.73]me2 <- sqrt(T2crit*s[2,2]/n)
cat("IC95(delta2) = [", round(centroidif[2]-me2,2),", ", round(centroidif[2]+me2,2),"]", sep="")IC95(delta2) = [-5.7, 32.25]c <- sqrt(T2crit/n)
car::ellipse(center=centroidif,
shape=s,
radius=c,
fill=TRUE,
fill.alpha=0.1,
grid=FALSE,
col="black",
add=FALSE,
xlab=expression(mu[BOD[C]]-mu[BOD[S]]),
ylab = expression(mu[SS[C]]-mu[SS[S]]),
main="Região elíptica de confiança de 95%")
points(H0[1], H0[2], pch=3, col="black")
text(H0[1], H0[2], pos=1, expression(H[0]))
[,1] [,2]
d_BOD -22.453272 3.72600
d_SS -5.700119 32.24557 One Sample Hotelling T Square Test
Hotelling T Sqaure Statistic = 13.63931
F value = 6.138 , df1 = 2 , df2 = 9 , p-value: 0.0208
Descriptive Statistics
d_BOD d_SS
N 11.000000 11.00000
Means -9.363636 13.27273
Sd 14.115755 20.46016
Detection important variable(s)
Lower Upper Mu0 Important Variables?
d_BOD -22.453272 3.72600 0 FALSE
d_SS -5.700119 32.24557 0 FALSE
NULL Multivariate Paired Hotelling T Square Test
Hotelling T Sqaure Statistic = 13.63931
F value = 6.138 , df1 = 2 , df2 = 9 , p-value: 0.0208
Descriptive Statistics (The First Treatment)
BOD_C SS_C
Means 25.27273 46.45455
Sd 19.68294 31.84451
Descriptive Statistics (The Second Treatment)
BOD_S SS_S
Means 34.63636 33.18182
Sd 10.45249 19.07259
Descriptive Statistics (The Differences)
BOD_S SS_S
Means 9.363636 -13.27273
Sd 14.115755 20.46016
NULLNote: model has only an intercept; equivalent type-III tests substituted.
Type III MANOVA Tests: Pillai test statistic
Df test stat approx F num Df den Df Pr(>F)
(Intercept) 1 0.57698 6.1377 2 9 0.02083 *
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1# Usando matriz de contraste
xmean <- colMeans(x)
sx <- cov(x)
I <- diag(1,p)
C <- cbind(I,-I)
T2_C <- as.numeric(n*t(C%*%xmean)%*%solve(C%*%sx%*%t(C))%*%(C%*%xmean)) # 6-15
print(T2, 3) # 6-7[1] 13.6# MANOVA.RM::multRM: non-normal error terms and/or heteroscedastic
Dados.long <- readxl::read_xlsx("JW6Data/T6-1_long.xlsx")
Dados.long$Amostra <- factor(Dados.long$Amostra)
Dados.long$Lab <- factor(Dados.long$Lab)
print.data.frame(Dados.long) Amostra Lab BOD SS
1 1 Com 6 27
2 2 Com 6 23
3 3 Com 18 64
4 4 Com 8 44
5 5 Com 11 30
6 6 Com 34 75
7 7 Com 28 26
8 8 Com 71 124
9 9 Com 43 54
10 10 Com 33 30
11 11 Com 20 14
12 1 State 25 15
13 2 State 28 13
14 3 State 36 22
15 4 State 35 29
16 5 State 15 31
17 6 State 44 64
18 7 State 42 30
19 8 State 54 64
20 9 State 34 56
21 10 State 29 20
22 11 State 39 21alfa <- 0.05
fit <- MANOVA.RM::multRM(cbind(BOD,SS) ~ Lab,
data=Dados.long,
iter=1e5,
alpha=alfa,
within="Lab",
subject="Amostra")
print(summary(fit))Call:
cbind(BOD, SS) ~ Lab
A multivariate repeated measures analysis with 1 within-subject factor(s) ( Lab )and 0 between-subject factor(s).
Descriptive:
Lab n BOD SS
1 Com 11 25.273 46.455
2 State 11 34.636 33.182
Wald-Type Statistic (WTS):
Test statistic df p-value
Lab "13.639" "2" "0.001"
modified ANOVA-Type Statistic (MATS):
Test statistic
Lab 3.348
p-values resampling:
paramBS (WTS) paramBS (MATS)
Lab "0.021" "0.031"
paramBS (WTS) paramBS (MATS)
Lab "0.021" "0.031" \[\Diamond\]
O pesquisador no Exemplo 6.1 realmente dividiu uma amostra primeiro agitando-a e depois despejando-a rapidamente para frente e para trás em duas garrafas para análise química. Isso foi prudente porque uma simples divisão da amostra em duas partes, obtida despejando a metade superior em uma garrafa e o restante em outra, poderia resultar em mais sólidos suspensos na metade inferior devido à sedimentação. Os dois laboratórios então não estariam trabalhando com as mesmas unidades experimentais, ou mesmo unidades semelhantes, e as conclusões não se relacionariam com a competência do laboratório, técnicas de medição e assim por diante.
Sempre que um investigador pode controlar a atribuição de tratamentos a unidades experimentais, um emparelhamento apropriado de unidades e uma atribuição randomizada de tratamentos podem aprimorar a análise estatística. Diferenças, se houver, entre unidades supostamente idênticas devem ser identificadas e as unidades mais semelhantes emparelhadas. Além disso, uma atribuição aleatória do tratamento 1 a uma unidade e do tratamento 2 à outra unidade ajudará a eliminar os efeitos sistemáticos de fontes não controladas de variação. A randomização pode ser implementada jogando uma moeda para determinar se a primeira unidade de um par recebe o tratamento 1 (cara) ou tratamento 2 (coroa). O tratamento restante é então atribuído à outra unidade. Uma randomização independente separada é realizada para cada par. Pode-se conceber o processo da seguinte forma:
Concluímos nossa discussão sobre comparações pareadas observando que \(\bar{\mathbf{d}}\) e \(\mathbf{s}_\mathbf{d}\), consequentemente, \(T_1\), podem ser calculados a partir das quantidades da amostra completa \(\bar{\mathbf{x}}\) e \(\mathbf{s}\). Aqui, \(\bar{\mathbf{x}}\) é o vetor \(2p \times 1\) das médias amostrais para as \(p\) variáveis nos dois tratamentos, dado por:
\[ \underset{1\times 2p}{\bar{\mathbf{x}}^{\prime}} = [\bar{x}_{11}\; \bar{x}_{12}\; \cdots\;\bar{x}_{1p}\; \bar{x}_{21}\; \bar{x}_{22}\; \cdots\; \bar{x}_{2p}] \tag{6-11} \]
\(\mathbf{s}\) é a matriz \(2p \times 2p\) de variâncias e covariâncias amostrais organizada como:
\[ \underset{2p\times 2p}{\mathbf{s}}= \begin{bmatrix} \underset{p\times p}{\mathbf{s}_{11}} & \underset{p\times p}{\mathbf{s}_{12}} \\ \underset{p\times p}{\mathbf{s}_{21}} & \underset{p\times p}{\mathbf{s}_{22}} \\ \end{bmatrix} \tag{6-12} \]
em que \(\mathbf{s}_{11}, \mathbf{s}_{12}, \mathbf{s}_{21}, \mathbf{s}_{22}\) são matrizes \(p \times p\).
A matriz \(\mathbf{s}_{11}\) contém as variâncias e covariâncias amostrais para as \(p\) variáveis no tratamento 1. Da mesma forma, \(\mathbf{s}_{22}\) contém as variâncias e covariâncias amostrais calculadas para as \(p\) variáveis no tratamento 2. Finalmente, \(\mathbf{s}_{12} = \mathbf{s}_{21}^{\prime}\) são as matrizes de covariâncias amostrais calculadas a partir das observações em pares das variáveis do tratamento 1 e tratamento 2.
Definindo a matriz:
\[ \underset{p\times 2p}{\mathbf{C}}=\left[\underset{p\times p}{\mathbf{I}}\;\;\underset{p\times p}{-\mathbf{I}}\right] \]
Podemos verificar (veja o Exercício 6.9) que:
\[ \begin{align} \mathbf{d}_i &= \mathbf{C}\mathbf{x}_{i}, \quad i = 1, 2, \ldots, n \\\\ \overline{\mathbf{d}}&=\mathbf{C}\bar{\mathbf{x}}\\ \mathbf{s}_{\mathbf{d}}&=\mathbf{C}\mathbf{s}\mathbf{C}^{\prime} \end{align} \tag{6-14} \]
Assim,
\[ T^2 = n\left(\mathbf{C}\bar{\mathbf{x}}\right)^{\prime}\left(\mathbf{C}\mathbf{s}\mathbf{C}^{\prime}\right)^{-1} \mathbf{C}\bar{\mathbf{x}} \tag{6-15} \]
Portanto, não é necessário calcular as diferenças \(\mathbf{d}_1, \mathbf{d}_2, \ldots, \mathbf{d}_{n}\). Por outro lado, é aconselhável calcular essas diferenças para verificar a normalidade e a suposição de uma amostra aleatória.
Cada linha \(\mathbf{c}^{\prime}_i\) da matriz \(\mathbf{C}\) na Equação (6-13) é um vetor de contraste, porque seus elementos somam zero. A atenção geralmente é centrada em contrastes ao comparar tratamentos. Cada contraste é perpendicular ao vetor \(\mathbf{1}^{\prime} = [1\; 1\;\ldots\; 1]\) uma vez que \(\mathbf{c}^{\prime}_i \mathbf{1} = 0\). O componente \(\mathbf{1}^{\prime} \mathbf{x}_i\), representando a soma total do tratamento, é ignorado pela estatística de teste \(T^2\) apresentada nesta seção.
# Usando matriz de contraste
xmean <- colMeans(x)
sx <- cov(x)
I <- diag(1,p)
C <- cbind(I,-I)
T2_C <- as.numeric(n*t(C%*%xmean)%*%solve(C%*%sx%*%t(C))%*%(C%*%xmean)) # 6-15
print(T2_C, 4)[1] 13.64[1] 13.64Delineamento de Medidas Repetidas para Comparar Tratamentos
- \(p=1,\; q\ge2,\; g=1\)
Outra generalização da estatística t pareada univariada surge em situações onde \(q\) tratamentos são comparados em relação a uma única variável resposta. Cada sujeito ou unidade experimental recebe cada tratamento uma vez ao longo de períodos sucessivos de tempo. A i-ésima observação é
\[ \mathbf{X}_{i}= \begin{bmatrix} X_{i1}\\X_{i2}\\\vdots\\X_{iq} \end{bmatrix}\\ i = 1, 2, \ldots ,n \]
em que \(X_{ij}\) é a resposta ao \(j\)-ésimo tratamento na \(i\)-ésima unidade. O nome medidas repetidas deriva do fato de que todos os tratamentos são administrados a cada unidade.
Para fins comparativos, consideramos os contrastes dos componentes de
\[ \boldsymbol{\mu}_i = \mathbb{E}\left(\mathbf{X}_{i}\right) \]
Esses podem ser:
\[ \begin{bmatrix} \mu_1 - \mu_2\\ \mu_1 - \mu_3\\ \vdots\\ \mu_1 - \mu_q \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&-1&0&\cdots&0&0\\ 1&0&-1&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 1&0&0&\cdots&0&-1\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \mu_{1}\\\mu_{2}\\\vdots\\\mu_{q} \end{bmatrix}= [\mathbf{1}\;-\mathbf{I}] \begin{bmatrix} \mu_{1}\\\mu_{2}\\\vdots\\\mu_{q} \end{bmatrix}= \mathbf{C}_1\boldsymbol{\mu} \]
ou
\[ \begin{bmatrix} \mu_2 - \mu_1\\ \mu_3 - \mu_2\\ \vdots\\ \mu_{q} - \mu_{q-1} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -1&1&0&\cdots&0&0\\ 0&-1&1&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&-1&1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mu_{1}\\\mu_{2}\\\vdots\\\mu_{q} \end{bmatrix}=\mathbf{C}_2\boldsymbol{\mu} \]
Ambos \(\mathbf{C}_1\) e \(\mathbf{C}_2\) são chamadas de matrizes de contraste, porque suas \(q-1\) linhas são linearmente independentes e cada uma é um vetor de contraste (soma nula e ortogonais ao vetor unitário).
A natureza do desenho elimina grande parte da influência da variação de unidade para unidade nas comparações de tratamento. Claro, o pesquisador deve randomizar a ordem na qual os tratamentos são apresentados a cada sujeito.
Quando as médias dos tratamentos são iguais, \(\mathbf{C}_1\boldsymbol{\mu} = \mathbf{C}_2\boldsymbol{\mu} = \mathbf{0}\). Em geral, a hipótese de que não há diferenças nos tratamentos (médias de tratamento iguais) torna-se \(\mathbf{C}\boldsymbol{\mu} = \mathbf{0}\) para qualquer escolha da matriz de contraste \(\mathbf{C}\).
Consequentemente, com base nos contrastes \(\mathbf{C}\mathbf{X}_i\) nas observações, temos médias \(\mathbf{C}\overline{\mathbf{X}}\) e matriz de covariância \(\mathbf{C}\mathbf{S}\mathbf{C}^{\prime}\), e testamos \(\mathbf{C}\boldsymbol{\mu} = \mathbf{0}\) usando a estatística \(T^2\):
\[ T^2 = n\left(\mathbf{C}\overline{\mathbf{X}}\right)^{\prime}\left(\mathbf{C}\mathbf{S}\mathbf{C}^{\prime}\right)^{-1} \mathbf{C}\overline{\mathbf{X}} \]
Teste para Igualdade de Tratamentos em Delineamento de Medidas Repetidas
Considere uma população \(\mathcal{N}_q(\boldsymbol{\mu}, \mathbf{\Sigma})\) e seja \(\mathbf{C}\) uma matriz de contraste. Um teste de nível \(\alpha\) de \(H_0: \mathbf{C}\boldsymbol{\mu} = \mathbf{0}\) vs. \(H_1: \mathbf{C}\boldsymbol{\mu} \ne \mathbf{0}\) é o seguinte:
Rejeite \(H_0\) se:
\[ \begin{align} T^2 &= n\left(\mathbf{C}\bar{\mathbf{x}}\right)^{\prime}\left(\mathbf{C}\mathbf{s}\mathbf{C}^{\prime}\right)^{-1} \mathbf{C}\bar{\mathbf{x}} \\ T^2 &> \dfrac{(n-1)(q-1)}{n-q+1}F_{q-1, n-q+1}(1-\alpha)=T^2_{q-1,n-1}(1-\alpha) \end{align} \tag{6-16} \]
Pode-se mostrar que \(T^2\) não depende da escolha particular de \(\mathbf{C}\).
Qualquer par de matrizes de contraste \(\mathbf{C}_1\) e \(\mathbf{C}_2\) deve estar relacionado por \(\mathbf{C}_1 = \mathbf{B}\mathbf{C}_2\), com \(\mathbf{B}\) não singular. Isso ocorre porque cada \(\mathbf{C}\) tem o maior número possível, \(q - 1\), de linhas linearmente independentes, todas perpendiculares ao vetor 1. Então, temos:
\[ \begin{align} \mathbf{C}_1^{\prime}(\mathbf{C}_1\mathbf{S}\mathbf{C}_1^{\prime})^{-1}\mathbf{C}_1&=(\mathbf{B}\mathbf{C}_2)^{\prime}(\mathbf{B}\mathbf{C}_2\mathbf{S}\mathbf{C}_2^{\prime}\mathbf{B}^{\prime})^{-1}(\mathbf{B}\mathbf{C}_2) \\ &= \mathbf{C}_2^{\prime}\mathbf{B}^{\prime}(\mathbf{B}^{\prime})^{-1}(\mathbf{C}_2\mathbf{S}\mathbf{C}_2^{\prime})^{-1}\mathbf{B}^{-1}\mathbf{B}\mathbf{C}_2 \\ \mathbf{C}_1^{\prime}(\mathbf{C}_1\mathbf{S}\mathbf{C}_1^{\prime})^{-1}\mathbf{C}_1&= \mathbf{C}_2^{\prime}(\mathbf{C}_2\mathbf{S}\mathbf{C}_2^{\prime})^{-1}\mathbf{C}_2 \end{align} \]
Assim, \(T^2\) calculado com \(\mathbf{C}_2\) ou \(\mathbf{C}_1 = \mathbf{B}\mathbf{C}_2\) produz o mesmo resultado.
Uma região de confiança para os contrastes \(\mathbf{C}\boldsymbol{\mu}\), com \(\boldsymbol{\mu}\) sendo a média de uma população normal, é determinada pelo conjunto de todos \(\mathbf{C}\boldsymbol{\mu}\) tais que:
\[ n\left(\mathbf{C}\bar{\mathbf{x}} - \mathbf{C}\boldsymbol{\mu}\right)^{\prime}\left(\mathbf{C}\mathbf{s}\mathbf{C}^{\prime}\right)^{-1}\left(\mathbf{C}\bar{\mathbf{x}} - \mathbf{C}\boldsymbol{\mu}\right) \leq \dfrac{(n-1)(q - 1)}{n - q+1}F_{q-1, n-q+1}(1-\alpha) \tag{6-17} \]
em que \(\bar{\mathbf{x}}\) e \(\mathbf{s}\) são definidos como na Equação (6-16). Portanto, intervalos de confiança simultâneos de \(100(1 - \alpha)\%\) para contrastes simples \(\mathbf{c}^{\prime}\boldsymbol{\mu}\) (e.g., cada linha de \(\mathbf{C}\)) para quaisquer vetores de contraste de interesse são dados por (veja o Resultado 5A.1):
\[ \text{IC}^{1-\alpha}\left(\mathbf{c}^{\prime}\boldsymbol{\mu}\right)=\left[\mathbf{c}^{\prime}\bar{\mathbf{x}} \pm \sqrt{\dfrac{(n-1)(q - 1)}{n - q+1}F_{q-1, n-q+1}(1-\alpha)\dfrac{\mathbf{c}\mathbf{s}\mathbf{c}^{\prime}}{n}} \right] \tag{6-18} \]
Exemplo 6.2: Testando tratamentos iguais em um delineamento de medidas repetidas
- \(p=1,\; q=4,\; g=1:\; n=19\)
O número de UE é \(n=19\).
- UE: cão sob pentabarbitol
Anestésicos melhorados são frequentemente desenvolvidos primeiro estudando seus efeitos em animais não-humanos. Em um estudo, 19 cães foram inicialmente administrados com o medicamento pentobarbitol*. Cada cão foi então administrado com dióxido de carbono (CO\(_2\)) em dois níveis de pressão. Em seguida, halotano (H) foi adicionado, e a administração de CO\(_2\) foi repetida. A resposta, em milissegundos entre batimentos cardíacos, foi medida para as quatro combinações de tratamento:
*: Em contextos reais, o pentobarbitol é um barbitúrico
que pode ser usado como anestésico ou sedativo. Em experimentos com
animais, pode ser usado para sedar ou anestesiar os animais antes de
administrar outros tratamentos ou realizar procedimentos, garantindo
assim que os animais estejam calmos e não sintam dor ou desconforto.
Neste caso, é possível que o pentobarbitol tenha sido usado para sedar
ou anestesiar os cães antes da administração de CO2 e
halotano, de modo a controlar variáveis externas, reduzir o estresse ou
desconforto dos animais e garantir a segurança do procedimento.
A Tabela 6.2 contém as quatro medições para cada um dos 19 cães, onde:
- Tratamento 1 = alta pressão CO2 sem H
- Tratamento 2 = baixa pressão CO2 sem H
- Tratamento 3 = alta pressão CO2 com H
- Tratamento 4 = baixa pressão CO2 com H
Os tratamentos sem H precedem os com H.
Tabela: Dados Sleeping-Dog (mili-segundo)
| Cão | Trat. 1 | Trat. 2 | Trat. 3 | Trat. 4 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 426 | 609 | 556 | 600 |
| 2 | 253 | 236 | 392 | 395 |
| 3 | 359 | 433 | 349 | 357 |
| 4 | 432 | 431 | 522 | 600 |
| 5 | 405 | 426 | 513 | 513 |
| 6 | 324 | 438 | 507 | 539 |
| 7 | 310 | 312 | 410 | 456 |
| 8 | 326 | 326 | 350 | 504 |
| 9 | 375 | 447 | 547 | 548 |
| 10 | 286 | 286 | 403 | 422 |
| 11 | 349 | 382 | 473 | 497 |
| 12 | 429 | 410 | 488 | 547 |
| 13 | 348 | 377 | 447 | 514 |
| 14 | 412 | 473 | 472 | 446 |
| 15 | 347 | 326 | 455 | 468 |
| 16 | 434 | 458 | 637 | 524 |
| 17 | 364 | 367 | 432 | 469 |
| 18 | 420 | 395 | 508 | 531 |
| 19 | 397 | 556 | 645 | 625 |
Fonte: Dados cortesia do Dr. J. Atlee.
Analisaremos os efeitos anestésicos da pressão CO2 e do halotano a partir deste delineamento de medidas repetidas.
Existem três contrastes de tratamento que podem ser de interesse no experimento. Sejam \(\boldsymbol{\mu}_1, \boldsymbol{\mu}_2, \boldsymbol{\mu}_3\) e \(\boldsymbol{\mu}_4\) as respostas médias para os tratamentos 1, 2, 3 e 4, respectivamente. Então:
- Contraste do Halotano representando a diferença entre a presença e a ausência de halotano:
\[ (\boldsymbol{\mu}_3 + \boldsymbol{\mu}_4) - (\boldsymbol{\mu}_1 + \boldsymbol{\mu}_2)\\ -\boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2 + \boldsymbol{\mu}_3 + \boldsymbol{\mu}_4 \]
- Contraste do CO2 representando a diferença entre alta e baixa pressão CO2:
\[ (\boldsymbol{\mu}_1 + \boldsymbol{\mu}_3) - (\boldsymbol{\mu}_2 + \boldsymbol{\mu}_4) \\ \boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2 + \boldsymbol{\mu}_3 - \boldsymbol{\mu}_4 \]
- Contraste representando a influência do halotano nas diferenças de pressão CO2 (Interação H:CO2):
\[ (\boldsymbol{\mu}_1 + \boldsymbol{\mu}_4) - (\boldsymbol{\mu}_2 + \boldsymbol{\mu}_3) \\ \boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2 - \boldsymbol{\mu}_3 + \boldsymbol{\mu}_4 \]
A matriz de contraste é:
\[ \mathbf{C}= \begin{bmatrix} -1& -1& 1& 1\\ 1& -1& 1& -1\\ 1& -1& -1& 1 \end{bmatrix} \]
A partir da Equação (6-16), temos \(T^2 = 116 > 10.93\), e rejeitamos \(H_0: \mathbf{C}\boldsymbol{\mu} = \mathbf{0}\) (sem efeito populacional de tratamento).
Para determinar quais dos contrastes são responsáveis pela rejeição de \(H_0\), construímos intervalos de confiança simultâneos de 95% para esses contrastes. A partir da Equação (6-18), o contraste
\[ \mathbf{c}^{\prime}\boldsymbol{\mu} = (\boldsymbol{\mu}_3 + \boldsymbol{\mu}_4) - (\boldsymbol{\mu}_1 + \boldsymbol{\mu}_2) = \text{influência do halotano} \]
é estimado pelo intervalo
\[ \begin{align} \text{IC}^{95\%}((\boldsymbol{\mu}_3 + \boldsymbol{\mu}_4) - (\boldsymbol{\mu}_1 + \boldsymbol{\mu}_2)) &=\left[(\bar{x}_3 + \bar{x}_4) - (\bar{x}_1 + \bar{x}_2) \pm \sqrt{\dfrac{18\times3}{16} F_{3,16}(0.95)\dfrac{\mathbf{c}_1^{\prime}\mathbf{s}\mathbf{c}_1}{19}}\right]\\ &= \left[209.31 \pm \sqrt{10.94\dfrac{9432.32}{16}}\right] \\ &= \left[209.31 \pm 73.70\right]\\ \text{IC}^{95\%}((\boldsymbol{\mu}_3 + \boldsymbol{\mu}_4) - (\boldsymbol{\mu}_1 + \boldsymbol{\mu}_2))&=[135.61,283.01] \end{align} \]
em que \(\mathbf{c}_1\) é a primeira linha de \(\mathbf{C}\).
Da mesma forma, os contrastes remanescentes são estimados por:
Influência da pressão CO2:
\[ \text{IC}^{95\%}((\boldsymbol{\mu}_1 + \boldsymbol{\mu}_3) - (\boldsymbol{\mu}_2 + \boldsymbol{\mu}_4))=[-114.05,-6.05] \]
Interação H-CO2:
\[ \text{IC}^{95\%}((\boldsymbol{\mu}_1 + \boldsymbol{\mu}_4) - (\boldsymbol{\mu}_2 + \boldsymbol{\mu}_3))=[-78.76,53.18] \]
A análise dos efeitos principais e de interação é hierárquica. Primeiramente, é analisado o efeito de interação. Se a hipótese nula de ausência de efeito de interação não é rejeitada, os efeitos principais são diretamente analisáveis pelos respectivos intervalos de confiança.
O contraste de interação H-CO2, \((\boldsymbol{\mu}_1 + \boldsymbol{\mu}_4) - (\boldsymbol{\mu}_2 + \boldsymbol{\mu}_3)\) não é significativamente diferente de zero (veja o terceiro intervalo de confiança).
Portanto, o primeiro intervalo de confiança implica que há um efeito do halotano. A presença de halotano produz tempos mais longos entre batimentos cardíacos.
O segundo intervalo de confiança indica que há um efeito devido à pressão CO2: a menor pressão CO2 produz tempos mais longos entre batimentos cardíacos.
Deve-se ter cautela na interpretação dos resultados, pois os ensaios com halotano devem seguir aqueles sem halotano. O aparente efeito do H pode ser devido a uma tendência temporal. (Idealmente, a ordem temporal de todos os tratamentos deveria ser determinada aleatoriamente.)
suppressMessages(suppressWarnings(
invisible(Sys.setlocale("LC_ALL", "pt_BR.UTF-8"))))
x <- read.table("JW6Data/T6-2.dat", quote="\"", comment.char="")
names(x) <- c("CO2high_Hwithout", "CO2low_Hwithout",
"CO2high_Hwith", "CO2low_Hwith")
print.data.frame(x) CO2high_Hwithout CO2low_Hwithout CO2high_Hwith CO2low_Hwith
1 426 609 556 600
2 253 236 392 395
3 359 433 349 357
4 432 431 522 600
5 405 426 513 513
6 324 438 507 539
7 310 312 410 456
8 326 326 350 504
9 375 447 547 548
10 286 286 403 422
11 349 382 473 497
12 429 410 488 547
13 348 377 447 514
14 412 473 472 446
15 347 326 455 468
16 434 458 637 524
17 364 367 432 469
18 420 395 508 531
19 397 556 645 625
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] -1 -1 1 1
[2,] 1 -1 1 -1
[3,] 1 -1 -1 1CO2high_Hwithout CO2low_Hwithout CO2high_Hwith CO2low_Hwith
368.2 404.6 479.3 502.9 CO2high_Hwithout CO2low_Hwithout CO2high_Hwith CO2low_Hwith
CO2high_Hwithout 2819 3568 2943 2295
CO2low_Hwithout 3568 7963 5304 4065
CO2high_Hwith 2943 5304 6851 4500
CO2low_Hwith 2295 4065 4500 4879[1] 19[1] 4[1] 10.93H0 <- rep(0, dim(C)[1])
T2 <- as.numeric(n*t(C%*%mean-H0)%*%solve(C%*%s%*%t(C))%*%(C%*%mean-H0))
print(T2, 5)[1] 116.02[1] TRUEF <- T2/((n-1)*(q-1)/(n-q+1))
pv <- 1-pf(F, q-1, n-q+1)
cat("\nF(",q-1,", ",n-q+1,") = ", round(F,2),", p = ", pv, "\n\n", sep="")
F(3, 16) = 34.38, p = 3.317767e-07a.hat_abs <- abs(solve(C%*%s%*%t(C))%*%(C%*%mean))
colnames(a.hat_abs) <- "Importância"
rownames(a.hat_abs) <- c("H", "CO2p", "H:CO2p")
print(proportions(a.hat_abs), digits=2) Importância
H 0.562
CO2p 0.375
H:CO2p 0.063# Halotano
c <- C[1,]
me <- sqrt(T2crit*t(c)%*%s%*%c/n)
cat("\nIC95%(Halotano) = [", round(t(c)%*%mean-me, 2),", ",
round(t(c)%*%mean+me,2), "]", sep="")
IC95%(Halotano) = [135.65, 282.98]# Pressão de CO2
c <- C[2,]
me <- sqrt(T2crit*t(c)%*%s%*%c/n)
cat("\nIC95%(Pressão de CO2) = [", round(t(c)%*%mean-me, 2),", ",
round(t(c)%*%mean+me, 2), "]", sep="")
IC95%(Pressão de CO2) = [-114.73, -5.38]# H:CO2p
c <- C[3,]
me <- sqrt(T2crit*t(c)%*%s%*%c/n)
cat("\nIC95%(H:CO2p) = [", round(t(c)%*%mean-me, 2),", ",
round(t(c)%*%mean+me, 2), "]", sep="")
IC95%(H:CO2p) = [-78.73, 53.15]ANOVA bifatorial relacionada
ANOVA bifatorial relacionada (ou para medidas repetidas) (rmANOVA)
não-balanceada é possível em arquivo de dados no formato long
se a identificação da unidade experimental é modelada como efeito
aleatório. No entanto, esta ANOVA bifatorial relacionada usando
lmerTest::lmer(heartbeats ~ H*CO2 + (1|UE), data=Dados),
car::Anova(modelo,test.statistic="F") e
summary(modelo, correl=FALSE) não produz o valor p
omnibus, não sendo assim uma autêntica análise multivariada. A
maior vantagem desta análise é permitir desbalanceamento num
delineamento intraparticipantes. A modelagem multivariada com \(T^2\) usa arquivo de dados no formato
wide ou apenas o vetor de média e matriz de covariância
amostrais (que pode ser obtida mesmo com dados faltantes, em geral, de
maneira inadequada; FIML necessita de valores faltantes aleatoriamente
(MAR: Missing At Random)).
suppressMessages(suppressWarnings(
invisible(Sys.setlocale("LC_ALL", "pt_BR.UTF-8"))))
x <- read.table("JW6Data/T6-2.dat", quote="\"", comment.char="")
names(x) <- c("CO2high_Hwithout", "CO2low_Hwithout",
"CO2high_Hwith", "CO2low_Hwith")
x$UE <- factor(1:nrow(x))
dados_wide <- x
# Transformar os dados de formato wide para longo
Dados_long <- tidyr::gather(dados_wide, key = "variavel",
value = "FCLatencia", -UE)
# Separar as variáveis CO2 e H
Dados_long$CO2 <- ifelse(grepl("high", Dados_long$variavel),
"High", "Low")
Dados_long$H <- ifelse(grepl("without", Dados_long$variavel,
ignore.case = TRUE),
"Without", "With")
# Remover a coluna variável
Dados_long$variavel <- NULL
Dados_long$H <- factor(Dados_long$H)
Dados_long$CO2 <- factor(Dados_long$CO2)
print(ftable(Dados_long$UE, Dados_long$H, Dados_long$CO2)) High Low
1 With 1 1
Without 1 1
2 With 1 1
Without 1 1
3 With 1 1
Without 1 1
4 With 1 1
Without 1 1
5 With 1 1
Without 1 1
6 With 1 1
Without 1 1
7 With 1 1
Without 1 1
8 With 1 1
Without 1 1
9 With 1 1
Without 1 1
10 With 1 1
Without 1 1
11 With 1 1
Without 1 1
12 With 1 1
Without 1 1
13 With 1 1
Without 1 1
14 With 1 1
Without 1 1
15 With 1 1
Without 1 1
16 With 1 1
Without 1 1
17 With 1 1
Without 1 1
18 With 1 1
Without 1 1
19 With 1 1
Without 1 1, , CO2 = High
H
UE With Without
1 1 1
2 1 1
3 1 1
4 1 1
5 1 1
6 1 1
7 1 1
8 1 1
9 1 1
10 1 1
11 1 1
12 1 1
13 1 1
14 1 1
15 1 1
16 1 1
17 1 1
18 1 1
19 1 1
, , CO2 = Low
H
UE With Without
1 1 1
2 1 1
3 1 1
4 1 1
5 1 1
6 1 1
7 1 1
8 1 1
9 1 1
10 1 1
11 1 1
12 1 1
13 1 1
14 1 1
15 1 1
16 1 1
17 1 1
18 1 1
19 1 1'data.frame': 76 obs. of 4 variables:
$ UE : Factor w/ 19 levels "1","2","3","4",..: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
$ FCLatencia: int 426 253 359 432 405 324 310 326 375 286 ...
$ CO2 : Factor w/ 2 levels "High","Low": 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
$ H : Factor w/ 2 levels "With","Without": 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ...source("summarySEwithin2.R")
alfa <- 0.05
print(psych::describe(FCLatencia ~ H*CO2,
data=Dados_long), digits=2)
Descriptive statistics by group
H: With
CO2: High
vars n mean sd median trimmed mad min max range skew
FCLatencia 1 19 479.26 82.77 473 477.18 72.65 349 645 296 0.32
kurtosis se
FCLatencia -0.62 18.99
------------------------------------------------------------
H: Without
CO2: High
vars n mean sd median trimmed mad min max range skew
FCLatencia 1 19 368.21 53.1 364 371.12 60.79 253 434 181 -0.43
kurtosis se
FCLatencia -0.92 12.18
------------------------------------------------------------
H: With
CO2: Low
vars n mean sd median trimmed mad min max range skew
FCLatencia 1 19 502.89 69.85 513 504.29 65.23 357 625 268 -0.21
kurtosis se
FCLatencia -0.66 16.02
------------------------------------------------------------
H: Without
CO2: Low
vars n mean sd median trimmed mad min max range skew
FCLatencia 1 19 404.63 89.24 410 402.53 63.75 236 609 373 0.32
kurtosis se
FCLatencia -0.12 20.47alfaBonf <- alfa/(length(unique(Dados_long$H))*
length(unique(Dados_long$CO2)))
ic <- summarySEwithin2(Dados_long,
measurevar="FCLatencia",
withinvars=c("H","CO2"),
idvar="UE",
na.rm=TRUE,
conf.interval=1-alfaBonf)
print(ic, 2) H CO2 FCLatencia n_obs.x FCLatenciaNormed sd n_obs.y se
1 With High 479.2632 19 479.2632 41.53206 19 9.528107
2 With Low 502.8947 19 502.8947 40.83881 19 9.369066
3 Without High 368.2105 19 368.2105 40.78560 19 9.356859
4 Without Low 404.6316 19 404.6316 48.36286 19 11.095201
ci
1 26.43601
2 25.99474
3 25.96087
4 30.78396grf <- ggplot2::ggplot(ic,
ggplot2::aes(x=H,
y=FCLatencia,
colour=CO2)) +
ggplot2::geom_errorbar(position=ggplot2::position_dodge(.9),
width=.1,
ggplot2::aes(ymin=FCLatencia-ci,
ymax=FCLatencia+ci)) +
ggplot2::geom_point(shape=21,
size=3,
fill="white",
position=ggplot2::position_dodge(.9)) +
ggplot2::ylab("FCLatencia") +
ggplot2::ggtitle("H & CO2: FCLatencia\nWithin-subject CI95% Bonferroni") +
ggplot2::theme_bw()
print(grf)
ANOVAAnalysis of Deviance Table (Type II Wald F tests with Kenward-Roger df)
Response: FCLatencia
F Df Df.res Pr(>F)
H 112.5668 1 54 8.071e-15 ***
CO2 9.2655 1 54 0.003604 **
H:CO2 0.4203 1 54 0.519558
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Linear mixed model fit by REML. t-tests use Satterthwaite's method [
lmerModLmerTest]
Formula: FCLatencia ~ H * CO2 + (1 | UE)
Data: Dados_long
REML criterion at convergence: 797.6
Scaled residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-2.06165 -0.42869 -0.00709 0.41075 2.49423
Random effects:
Groups Name Variance Std.Dev.
UE (Intercept) 3779 61.48
Residual 1849 43.00
Number of obs: 76, groups: UE, 19
Fixed effects:
Estimate Std. Error df t value Pr(>|t|)
(Intercept) 479.26 17.21 30.60 27.846 < 2e-16 ***
HWithout -111.05 13.95 54.00 -7.961 1.14e-10 ***
CO2Low 23.63 13.95 54.00 1.694 0.096 .
HWithout:CO2Low 12.79 19.73 54.00 0.648 0.520
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Effect size analysisRegistered S3 methods overwritten by 'MuMIn':
method from
nobs.multinom broom
nobs.fitdistr broom
Tamanho de efeito: eta^2 omnibus = 0.79es <- effectsize::interpret_eta_squared(eta2g)
names(es) <- c("Tamanho de efeito omnibus: estimativa pontual")
print(es)Tamanho de efeito omnibus: estimativa pontual
"large"
(Rules: field2013)eta2 <- effectsize::eta_squared(anv,
partial=TRUE,
generalized=FALSE,
ci=1-alfa/3,
alternative="two.sided",
verbose=TRUE)
eta2$interpret <- effectsize::interpret_eta_squared(eta2$Eta2)
print(eta2, digits=4)# Effect Size for ANOVA (Type II)
Parameter | Eta2 (partial) | 98.3333% CI | interpret
----------------------------------------------------------
H | 0.6758 | [0.4887, 0.7844] | large
CO2 | 0.1465 | [0.0050, 0.3612] | large
H:CO2 | 0.0077 | [0.0000, 0.1460] | very small# Grafico de perfis de medias
o.par <- par()
fit.means <- phia::interactionMeans(modelo)
plot(fit.means,
errorbar=paste0("ci",
round((1-alfaBonf)*100,4)),
abbrev.levels=FALSE)
par(o.par)Warning in par(o.par): parâmetro gráfico "cin" não pode ser especificadoWarning in par(o.par): parâmetro gráfico "cra" não pode ser especificadoWarning in par(o.par): parâmetro gráfico "csi" não pode ser especificadoWarning in par(o.par): parâmetro gráfico "cxy" não pode ser especificadoWarning in par(o.par): parâmetro gráfico "din" não pode ser especificado
Warning in par(o.par): parâmetro gráfico "page" não pode ser especificado# plot(effects::effect(c("H"), modelo,
# confidence.level=1-alfa/length(unique(Dados_long$H))),
# ci.style = "bars")
# plot(effects::effect(c("CO2"), modelo,
# confidence.level=1-alfa/length(unique(Dados_long$CO2))),
# ci.style = "bars")
# plot(effects::effect(c("H", "CO2"), modelo, confidence.level=1-alfaBonf),
# multiline = TRUE, ci.style = "bars")
cat("\nPost hoc tests")
Post hoc tests
HEMM.A <- emmeans::emmeans(modelo,
specs=pairwise~"H",
adjust="holm",
level=1-alfa,
lmer.df="satterthwaite",
lmerTest.limit=nrow(Dados_long))NOTE: Results may be misleading due to involvement in interactions H emmean SE df lower.CL upper.CL
With 491 15.7 22.1 458 524
Without 386 15.7 22.1 354 419
Results are averaged over the levels of: CO2
Degrees-of-freedom method: satterthwaite
Confidence level used: 0.95 contrast estimate SE df lower.CL upper.CL t.ratio p.value
With - Without 105 9.86 54 84.9 124 10.610 <.0001
Results are averaged over the levels of: CO2
Degrees-of-freedom method: satterthwaite
Confidence level used: 0.95 
print(multcomp::cld(object=EMM.A$emmeans,
level=1-alfa,
adjust="holm",
Letters=letters,
alpha=alfa)) H emmean SE df lower.CL upper.CL .group
Without 386 15.7 22.1 349 424 a
With 491 15.7 22.1 453 529 b
Results are averaged over the levels of: CO2
Degrees-of-freedom method: satterthwaite
Confidence level used: 0.95
Conf-level adjustment: bonferroni method for 2 estimates
significance level used: alpha = 0.05
NOTE: If two or more means share the same grouping symbol,
then we cannot show them to be different.
But we also did not show them to be the same.
CO2EMM.C <- emmeans::emmeans(modelo,
specs=pairwise~"CO2",
adjust="holm",
level=1-alfa,
lmer.df="satterthwaite",
lmerTest.limit=nrow(Dados_long))NOTE: Results may be misleading due to involvement in interactions CO2 emmean SE df lower.CL upper.CL
High 424 15.7 22.1 391 456
Low 454 15.7 22.1 421 486
Results are averaged over the levels of: H
Degrees-of-freedom method: satterthwaite
Confidence level used: 0.95 contrast estimate SE df lower.CL upper.CL t.ratio p.value
High - Low -30 9.86 54 -49.8 -10.2 -3.044 0.0036
Results are averaged over the levels of: H
Degrees-of-freedom method: satterthwaite
Confidence level used: 0.95 
print(multcomp::cld(object=EMM.C$emmeans,
level=1-alfa,
adjust="holm",
Letters=letters,
alpha=alfa)) CO2 emmean SE df lower.CL upper.CL .group
High 424 15.7 22.1 386 462 a
Low 454 15.7 22.1 416 492 b
Results are averaged over the levels of: H
Degrees-of-freedom method: satterthwaite
Confidence level used: 0.95
Conf-level adjustment: bonferroni method for 2 estimates
significance level used: alpha = 0.05
NOTE: If two or more means share the same grouping symbol,
then we cannot show them to be different.
But we also did not show them to be the same. \[\Diamond\]
O teste na Equação (6-16) é apropriado quando a matriz de covariância, \(\mathbb{C}(\mathbf{X}) = \mathbf{\Sigma}\), não pode ser assumida com nenhuma estrutura especial. Se for razoável supor que \(\mathbf{\Sigma}\) tenha uma estrutura particular, os testes projetados com essa estrutura em mente têm maior poder do que o da Equação (6-16). (Para \(\mathbf{\Sigma}\) com a estrutura de correlação igual (8-14), consulte uma discussão sobre o delineamento “bloco randomizado” em [17] ou [22].)
Comparando Vetores de Média de Duas Populações
- \(p\ge2,\; q=1,\; g=2\)
Um teste \(T^2\) para testar a igualdade de médias vetoriais de duas populações multivariadas pode ser desenvolvido por analogia com o procedimento univariado. (Consulte [11] para uma discussão sobre o caso univariado.) Esta estatística \(T^2\) é apropriada para comparar respostas de um conjunto de condições experimentais (população 1) com respostas independentes de outro conjunto de condições experimentais (população 2). A comparação pode ser feita sem controlar explicitamente a variabilidade de unidade para unidade, como no caso de comparação pareada.
Se possível, as unidades experimentais devem ser atribuídas aleatoriamente aos conjuntos de condições experimentais. A randomização irá, até certo ponto, mitigar o efeito da variabilidade de unidade para unidade em uma subsequente comparação de tratamentos. Embora alguma precisão seja perdida em relação às comparações pareadas, as inferências no caso de duas populações são, normalmente, aplicáveis a uma coleção mais geral de unidades experimentais, simplesmente porque a homogeneidade da unidade não é exigida.
Considere uma amostra aleatória de tamanho \(n_1\) da população 1 e uma amostra de tamanho \(n_2\) da população 2. As observações sobre \(p\) variáveis podem ser organizadas da seguinte forma:
Amostra da População 1
\[ \mathbf{x}_{11}, \mathbf{x}_{12}, \ldots, \mathbf{x}_{1n_1} \]
\[ \bar{\mathbf{x}}_1 = \dfrac{1}{n_1} \sum_{i=1}^{n_1} \mathbf{x}_{1i} \quad \mathbf{s}_1 = \dfrac{1}{n_1} \sum_{i=1}^{n_1} \left(\mathbf{x}_{1i} - \bar{\mathbf{x}}_1\right)\left(\mathbf{x}_{1i} - \bar{\mathbf{x}}_1\right)^{\prime} \]
Amostra da População 2
\[ \mathbf{x}_{21}, \mathbf{x}_{22}, \ldots, \mathbf{x}_{2n_2} \]
\[ \bar{\mathbf{x}}_2 = \dfrac{1}{n_2} \sum_{i=1}^{n_2} \mathbf{x}_{2i} \quad \mathbf{s}_2 = \dfrac{1}{n_2} \sum_{i=1}^{n_2} (\mathbf{x}_{2i} - \bar{\mathbf{x}}_2)(\mathbf{x}_{2i} - \bar{\mathbf{x}}_2)^{\prime} \]
Nesta notação, o primeiro subscrito — 1 ou 2 — denota a população.
Queremos fazer inferências sobre
\[ \text{vetor médio da população 1} - \text{vetor médio da população 2} = \boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2 \]
Por exemplo, queremos responder à questão: \(\boldsymbol{\mu}_1 = \boldsymbol{\mu}_2\) (ou, equivalentemente, \(\boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2 = \mathbf{0}\))? Além disso, se \(\boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2 \neq \mathbf{0}\), quais médias componentes são diferentes?
Com algumas suposições, somos capazes de fornecer respostas para essas perguntas.
Suposições Sobre a Estrutura dos Dados
A amostra \(\mathbf{X}_{11}, \mathbf{X}_{12}, \ldots, \mathbf{X}_{1n_1}\) é uma amostra aleatória de tamanho \(n_1\) de uma população p-variada com vetor médio \(\boldsymbol{\mu}_1\) e matriz de covariância \(\mathbf{\Sigma}_1\).
A amostra \(\mathbf{X}_{21}, \mathbf{X}_{22}, \ldots, \mathbf{X}_{2n_2}\) é uma amostra aleatória de tamanho \(n_2\) de uma população p-variada com vetor médio \(\boldsymbol{\mu}_2\) e matriz de covariância \(\mathbf{\Sigma}_2\).
Além disso, \(\mathbf{X}_{11}, \mathbf{X}_{12}, \ldots, \mathbf{X}_{1n_1}\) são independentes de \(\mathbf{X}_{21}, \mathbf{X}_{22}, \ldots, \mathbf{X}_{2n_2}\). (6-19)
Veremos adiante, para amostra grande, essa estrutura é suficiente para fazer inferências sobre o vetor \(p \times 1\) \(\boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2\). No entanto, quando os tamanhos das amostras \(n_1\) e \(n_2\) são pequenos, são necessárias mais suposições.
Suposições adicionais quando \(n_1+n_2-p-1<30\)
Ambas as populações são multivariadas normais.
Além disso, \(\mathbf{\Sigma}_1 = \mathbf{\Sigma}_2\) (homocedasticidade multivariada). (6-20)
A segunda suposição, de que \(\mathbf{\Sigma}_1 = \mathbf{\Sigma}_2\), é muito mais forte que sua contraparte univariada. Aqui estamos supondo que vários pares de variâncias e covariâncias são iguais.
Quando \(\mathbf{\Sigma}_1 = \mathbf{\Sigma}_2 = \mathbf{\Sigma}\),
\[ \sum_{i=1}^{n_1} (\mathbf{x}_{1i} - \bar{\mathbf{x}}_1)(\mathbf{x}_{1i} - \bar{\mathbf{x}}_1)^{\prime} \]
é uma estimativa de \((n_1 - 1)\mathbf{\Sigma}\) e
\[ \sum_{i=1}^{n_2} (\mathbf{x}_{2i} - \bar{\mathbf{x}}_2)(\mathbf{x}_{2i} - \bar{\mathbf{x}}_2)^{\prime} \]
é uma estimativa de \((n_2 - 1)\mathbf{\Sigma}\).
Consequentemente, podemos agrupar as informações em ambas as amostras para estimar a covariância comum \(\mathbf{\Sigma}\).
Definimos
\[ \mathbf{s}_{\text{comb}} = \dfrac{1}{n_1 + n_2 - 2} \left( \sum_{i=1}^{n_1} (\mathbf{x}_{1i} - \bar{\mathbf{x}}_1)(\mathbf{x}_{1i} - \bar{\mathbf{x}}_1)^{\prime} + \sum_{i=1}^{n_2} (\mathbf{x}_{2i} - \bar{\mathbf{x}}_2)(\mathbf{x}_{2i} - \bar{\mathbf{x}}_2)^{\prime} \right) \]
ou, de forma equivalente,
\[ \mathbf{s}_{\text{comb}} = \dfrac{n_1 - 1}{n_1 + n_2 - 2} \mathbf{s}_1 + \dfrac{n_2 - 1}{n_1 + n_2 - 2} \mathbf{s}_2 \tag{6-21} \]
Dado que \(\sum_{i=1}^{n_1} (\mathbf{x}_{1i} - \bar{\mathbf{x}}_1)(\mathbf{x}_{1i} - \bar{\mathbf{x}}_1)^{\prime}\) tem \(n_1 - 1\) graus de liberdade e \(\sum_{i=1}^{n_2} (\mathbf{x}_{2i} - \bar{\mathbf{x}}_2)(\mathbf{x}_{2i} - \bar{\mathbf{x}}_2)^{\prime}\) tem \(n_2 - 1\) graus de liberdade, o divisor \((n_1 - 1) + (n_2 - 1)\) em (6-21) é obtido combinando os dois graus de liberdade componentes. [Veja (4-24)]. Suporte adicional para o procedimento de agrupamento vem da consideração da verossimilhança normal multivariada. (Veja o Exercício 6.11.)
Hipótese nula multivariada:
\[ \begin{cases} H_0:\;\boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2 = \boldsymbol{\delta}_0\\ H_1:\;\boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2 \ne \boldsymbol{\delta}_0 \end{cases}\\ \alpha=5\% \]
Mais formalmente:
\[ \begin{cases} H_0:\;\boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2 - \boldsymbol{\delta}_0 = \mathbf{0}\\ H_1:\;\boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2 - \boldsymbol{\delta}_0 \ne \mathbf{0} \end{cases}\\ \alpha=5\% \]
Para testar a hipótese de que \(\boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2 = \boldsymbol{\delta}_0\), um vetor especificado, consideramos a distância estatística ao quadrado de \(\overline{\mathbf{X}}_1 - \overline{\mathbf{X}}_2\) para \(\boldsymbol{\delta}_0\). Agora,
\[ \begin{align} \mathbb{E}\left(\overline{\mathbf{X}}_1 - \overline{\mathbf{X}}_2\right) &= \mathbb{E}\left(\overline{\mathbf{X}}_1\right) - \mathbb{E}\left(\overline{\mathbf{X}}_2\right) \\ \mathbb{E}\left(\overline{\mathbf{X}}_1 - \overline{\mathbf{X}}_2\right)&= \boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2 \end{align} \]
Dado que a suposição de independência em (6-19) implica que \(\overline{\mathbf{X}}_1\) e \(\overline{\mathbf{X}}_2\) são independentes e, portanto, \(\mathbb{C}\left(\overline{\mathbf{X}}_1, \overline{\mathbf{X}}_2\right) = \mathbf{0}\) (veja o Resultado 4.5), por (3-9), segue-se que:
\[ \begin{align} \mathbb{C}\left(\overline{\mathbf{X}}_1- \overline{\mathbf{X}}_2\right) &= \mathbb{C}\left(\overline{\mathbf{X}}_1\right) + \mathbb{C}\left(\overline{\mathbf{X}}_2\right) \\ &= \dfrac{1}{n_1}\mathbf{\Sigma} + \dfrac{1}{n_2}\mathbf{\Sigma} \\ \mathbb{C}\left(\overline{\mathbf{X}}_1- \overline{\mathbf{X}}_2\right) &= \left( \dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2} \right)\mathbf{\Sigma} \end{align} \tag{6-22} \]
Como \(\mathbf{S}_{\text{comb}}\) estima \(\mathbf{\Sigma}\), vemos que
\[ \begin{align} \hat{\mathbb{C}}\left(\overline{\mathbf{X}}_1- \overline{\mathbf{X}}_2\right)&=\left( \dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2} \right)\mathbf{S}_{\text{comb}}\\ \hat{\mathbb{C}}\left(\overline{\mathbf{X}}_1- \overline{\mathbf{X}}_2\right)&=\dfrac{\mathbf{S}_{\text{comb}}}{\dfrac{\bar{n}_h}{2}} \end{align} \]
em que \(\bar{n}_h=\left(\dfrac{n_1^{-1}+n_2^{-1}}{2}\right)^{-1}\) é a média harmônica dos tamanhos de amostra das duas condições independentes, é um estimador de \(\mathbb{C}\left(\overline{\mathbf{X}}_1- \overline{\mathbf{X}}_2\right)\).
O teste da razão de verossimilhança de:
\[ H_0: \boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2 - \boldsymbol{\delta}_0=\mathbf{0} \]
é baseado no quadrado da distância estatística, \(T^2\), e é dado por (consulte [1]).
Rejeite \(H_0\) se:
\[ T^2 = (\bar{\mathbf{x}}_1- \bar{\mathbf{x}}_2 - \boldsymbol{\delta}_0)^{\prime} \left(\left( \dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2} \right)\mathbf{s}_{\text{comb}}\right)^{-1} (\bar{\mathbf{x}}_1- \bar{\mathbf{x}}_2 - \boldsymbol{\delta}_0) > c^2 \tag{6-23} \]
em que a distância crítica \(c^2\) é determinada a partir da distribuição da estatística \(T^2\) de duas condições independentes.
Resultado 6.2. Se \(\{\mathbf{X}_{1i}\}_{i=1}^{n_1} \sim \mathcal{N}_p\text{IID}(\boldsymbol{\mu}_1, \mathbf{\Sigma})\) e \(\{\mathbf{X}_{2i}\}_{i=1}^{n_2} \sim \mathcal{N}_p\text{IID}(\boldsymbol{\mu}_2, \mathbf{\Sigma})\), então:
\[ \begin{align} T^2 &= \left(\overline{\mathbf{X}}_1- \overline{\mathbf{X}}_2 - (\boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2)\right)^{\prime} \left(\left( \dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}\right) \mathbf{S}_{\text{comb}}\right)^{-1} \left(\overline{\mathbf{X}}_1- \overline{\mathbf{X}}_2 - (\boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2)\right) \\ T^2 &\sim \dfrac{(n_1 + n_2 - 2)p}{n_1 + n_2 - p - 1}F_{p, n_1 + n_2 - p - 1}=T^2_{p,n_1 + n_2 - 2} \end{align} \tag{6-24} \]
\[\Diamond\]
Estamos principalmente interessados em regiões de confiança para \(\boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2\). A partir de (6-24), concluímos que todos os \(\boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2\) dentro da distância estatística ao quadrado \(c^2\) de \(\bar{\mathbf{x}}_1 - \bar{\mathbf{x}}_2\) constituem a região de confiança. Esta região é um elipsoide centrado na diferença observada \(\bar{\mathbf{x}}_1 - \bar{\mathbf{x}}_2\) e cujos eixos são determinados pelos autovalores e autovetores de \(\mathbf{s}_{\text{comb}}\) (ou \(\mathbf{s}_{\text{comb}}^{-1}\)).
Exemplo 6.3: Construindo uma região de confiança para a diferença de dois vetores de média
- \(p = 2,\; q=1,\; g=2:\; n_1=50,\; n_2=50\)
O número de UE é \(n_1+n_2=100\).
Cinquenta barras de sabão são fabricadas de duas maneiras diferentes. Duas características, \(X_1\) (espumosidade) e \(X_2\) (suavidade), são medidas. As estatísticas resumidas para barras produzidas pelos métodos 1 e 2 são:
\[ \bar{\mathbf{x}}_1 = \begin{bmatrix} 8.3 \\ 4.1 \end{bmatrix} \quad \mathbf{s}_1 = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 6 \end{bmatrix} \]
\[ \bar{\mathbf{x}}_2 = \begin{bmatrix} 10.2 \\ 3.9 \end{bmatrix} \quad \mathbf{s}_2 = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \]
Obtenha uma região de confiança de 95% para \(\boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2\).
Primeiramente, observamos que \(\mathbf{s}_1\) e \(\mathbf{s}_2\) são aproximadamente iguais, então é razoável agrupá-los. Assim, a partir de (6-21), temos:
\[ \mathbf{s}_{\text{comb}} = \dfrac{49}{98} (\mathbf{s}_1 + \mathbf{s}_2) \]
Além disso,
\[ \bar{\mathbf{x}}_1 - \bar{\mathbf{x}}_2 = \begin{bmatrix} -1.9 \\ 0.2 \end{bmatrix} \]
então a elipse de confiança é centrada em \([-1.9, 0.2]^{\prime}\). Os autovalores e autovetores de \(\mathbf{s}_{\text{comb}}\) são obtidos a partir da equação:
\[ \det(\mathbf{s}_{\text{comb}} - \lambda \mathbf{I}) = 0 \]
o que nos dá \(\lambda^2 - 7\lambda + 9 = 0\). Daí, \(\lambda_1 = 5.303\) e \(\lambda_2 = 1.697\). Os autovetores correspondentes, \(\mathbf{e}_1\) e \(\mathbf{e}_2\), determinados a partir de \(\mathbf{S}_{\text{comb}} \mathbf{e}_i = \lambda_i \mathbf{e}_i\), são:
\[ \mathbf{e}_1 = \begin{bmatrix} 0.290 \\ 0.957 \end{bmatrix} \quad \text{e} \quad \mathbf{e}_2 = \begin{bmatrix} 0.957\\ -0.290\end{bmatrix} \]
Pelo Resultado 6.2,
\[ \left(\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}\right)c^2=\dfrac{2}{50} \dfrac{98\times 2}{97} F_{2, 97}(0.95) = 0.25 \]
já que \(F_{2,97}(0.95) = 3.1\).
A elipse de confiança se estende por \(\sqrt{\lambda_1\left(\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}\right)c^2}=\sqrt{\lambda_1\;0.25}\) no autovetor \(\mathbf{e}_i\), ou \(1.15\) unidades na direção do autovetor \(\mathbf{e}_1\) e \(0.65\) unidades na direção \(\mathbf{e}_2\).
A elipse de confiança de 95% é mostrada na Figura 6.1.
Claramente, \(H_0: \boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2 = \mathbf{0}\) não está na elipse, e concluímos que os dois métodos de fabricação de sabão produzem resultados diferentes.
Parece que os dois processos produzem barras de sabão com aproximadamente a mesma suavidade (\(X_2\)), mas aquelas do segundo processo têm mais espuma (\(X_1\)).
Figura 6.1 Elipse de confiança de 95% para diferença de duas médias populacionais.
Sem dados brutos
suppressMessages(suppressWarnings(
invisible(Sys.setlocale("LC_ALL", "pt_BR.UTF-8"))))
x1 <- c(8.3, 4.1)
x2 <- c(10.2, 3.9)
centroidif <- x1 - x2
print(centroidif, 2)[1] -1.9 0.2s1 <- matrix(c(2, 1,
1, 6),
nrow=2, byrow=TRUE)
s2 <- matrix(c(2, 1,
1, 4),
nrow=2, byrow=TRUE)
p <- length(centroidif)
p[1] 2 [,1] [,2]
[1,] 2 1
[2,] 1 5[1] 6.24H0 <- rep(0, p)
T2 <- as.numeric(t(centroidif-H0)%*%solve((1/n1+1/n2)*sp)%*%(centroidif-H0))
print(T2, 4)[1] 52.47F <- T2/((n1+n2-2)*p/(n1+n2-p-1))
pv <- 1-pf(F, p, n1+n2-p-1)
cat("\nF(",p,", ",n1+n2-p-1,") = ", round(F,2),", p = ",pv, "\n", sep="")
F(2, 97) = 25.97, p = 9.286081e-10c <- sqrt(T2crit*(1/n1+1/n2))
car::ellipse(center=centroidif,
shape=sp,
radius=c,
fill=TRUE,
fill.alpha=0.1,
grid=FALSE,
col="black",
add=FALSE,
xlab=expression(mu[11] - mu[21]),
ylab=expression(mu[12] - mu[22]),
xlim=c(-3,1),
ylim=c(-1,2),
main="Região elíptica de confiança de 95%\nlather vs. mildness")
abline(v=0,h=0,lty=2)
points(H0[1], H0[2], pch=9, col="black")
text(H0[1], H0[2], pos=1, expression(H[0]))
a.hat_abs <- abs(solve(sp)%*%centroidif)
colnames(a.hat_abs) <- "Importância"
rownames(a.hat_abs) <- c("lather", "mildness")
print(proportions(a.hat_abs), digits=2) Importância
lather 0.81
mildness 0.19Com dados brutos: iris
suppressMessages(suppressWarnings(
invisible(Sys.setlocale("LC_ALL", "pt_BR.UTF-8"))))
Dados <- datasets::iris
vervir <- subset(x=Dados,
subset=Species!="setosa")
vervir$Species <- droplevels(vervir$Species)
# lm
fit <- lm(cbind(Sepal.Length,
Sepal.Width,
Petal.Length,
Petal.Width)~Species,
data=vervir)
print(anv <- car::Anova(fit,
test="Pillai"),
digits=3)
Type II MANOVA Tests: Pillai test statistic
Df test stat approx F num Df den Df Pr(>F)
Species 1 0.784 86.1 4 95 <2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1alpha <- 0.05
eta2 <- effectsize::eta_squared(anv,
partial=TRUE,
generalized=FALSE,
ci=1-alpha,
alternative="two.sided",
verbose=TRUE)
eta2$interpret <- effectsize::interpret_eta_squared(eta2$Eta2)
print(eta2, digits=2)# Effect Size for ANOVA (Type II)
Parameter | Eta2 (partial) | 95% CI | interpret
-----------------------------------------------------
Species | 0.78 | [0.71, 0.83] | large# Na saída, T.2 é F
DescTools::HotellingsT2Test(cbind(Sepal.Length,
Sepal.Width,
Petal.Length,
Petal.Width)~Species,
test="f",
data=vervir)
Hotelling's two sample T2-test
data: cbind(Sepal.Length, Sepal.Width, Petal.Length, Petal.Width) by Species
T.2 = 86.148, df1 = 4, df2 = 95, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true location difference is not equal to c(0,0,0,0)Intervalos de Confiança Simultâneos
É possível derivar intervalos de confiança simultâneos para os componentes do vetor \(\boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2\). Esses intervalos de confiança são desenvolvidos a partir de uma consideração de todas as possíveis combinações lineares das diferenças nos vetores médios. Assume-se que as populações multivariadas parentais são normais com uma covariância comum \(\mathbf{\Sigma}\).
Resultado 6.3:
\[ \text{IC}^{1 - \alpha}(\boldsymbol{\mu}_{11} - \boldsymbol{\mu}_{21})=\left[\mathbf{a}^{\prime} \left(\overline{\mathbf{X}}_1 - \overline{\mathbf{X}}_2\right) \pm \\\sqrt{\dfrac{(n_1 + n_2 - 2)p}{n_1 + n_2 - p - 1} F_{p,n_1+n_2-p-1}(1-\alpha)\;\mathbf{a}^{\prime}\left(\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}\right) \mathbf{S}_{\text{comb}}\mathbf{a}}\right] \]
Em particular,
\[ \text{IC}^{1 - \alpha}(\mu_{1i}- \mu_{2i})=\left[\overline{X}_{1i} - \overline{X}_{2i} \pm \\\sqrt{\dfrac{(n_1 + n_2 - 2)p}{n_1 + n_2 - p - 1} F_{p,n_1+n_2-p-1}(1-\alpha)\left(\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}\right) S_{ii,\text{comb}}}\right]\\ i = 1,2,...,p \]
Observação. Para testar \(H_0: \boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2 = \mathbf{0}\), a combinação linear \(\hat{\mathbf{a}}^{\prime} (\bar{\mathbf{x}}_1 - \bar{\mathbf{x}}_2)\), com vetor de coeficiente \(\hat{\mathbf{a}} \propto \mathbf{s}_{\text{comb}}^{-1} (\bar{\mathbf{x}}_1 - \bar{\mathbf{x}}_2)\), quantifica a maior diferença populacional. Ou seja, se \(T^2\) rejeitar \(H_0\), então \(\hat{\mathbf{a}}^{\prime} (\bar{\mathbf{x}}_1 - \bar{\mathbf{x}}_2)\) terá uma média diferente de zero. Frequentemente, tentamos interpretar os componentes dessa combinação linear como a importância estatística da variável dependente ou efeito para rejeição da hipótese nula multivariada.
Exemplo 6.4: Calculando intervalos de confiança simultâneos para as diferenças nos componentes médios
- \(p = 2 \;(\text{on-, off-peak}),\; q = 1,\; g = 2 \;(\text{com, sem ar-condicionado}):\;n_1=45,\; n_2=55\)
O número de UE é \(n_1+n_2=100\).
“On-peak” refere-se aos períodos do dia em que a demanda por eletricidade é maior, geralmente durante as horas mais quentes do dia quando muitas pessoas estão usando ar condicionado, eletrodomésticos, iluminação, etc. Durante esses períodos, as tarifas de eletricidade podem ser mais altas devido à maior demanda.
“Off-peak” refere-se aos períodos de menor demanda, geralmente à noite ou nas primeiras horas da manhã, quando menos dispositivos e aparelhos estão sendo usados. Durante esses períodos, as tarifas de eletricidade podem ser mais baixas.
No contexto fornecido, o texto está comparando o consumo elétrico “on-peak” e “off-peak” entre os proprietários de casas com ar condicionado e aqueles sem ar condicionado. Isso sugere que aqueles com ar condicionado podem consumir mais eletricidade durante os períodos de pico devido ao uso do aparelho de ar condicionado.
Foram coletadas amostras de tamanhos \(n_1 = 45\) e \(n_2 = 55\) de proprietários de casas em Wisconsin com e sem ar-condicionado, respectivamente. (Dados cortesia do Laboratório Estatístico, Universidade de Wisconsin.) Foram consideradas duas medições do uso elétrico (em quilowatt-hora). A primeira é uma medida do consumo total no pico (\(X_1\)) durante julho e a segunda é uma medida do consumo total fora do pico (\(X_2\)) durante julho. As estatísticas resumidas resultantes são:
Com ar-condicionado:
\[ \bar{\mathbf{x}}_1 = \begin{bmatrix} 204.4 \\ 556.6 \end{bmatrix} \quad \mathbf{s}_1 = \begin{bmatrix} 13825.3 & 23823.4 \\ 23823.4 & 73107.4 \end{bmatrix} \quad n_1 = 45 \]
Sem ar-condicionado:
\[ \bar{\mathbf{x}}_2 = \begin{bmatrix} 130.0 \\ 355.0 \end{bmatrix} \quad \mathbf{s}_2 = \begin{bmatrix} 8632.0 & 19616.7 \\ 19616.7 & 55964.5 \end{bmatrix} \quad n_2 = 55 \]
(O consumo fora do pico é maior que o consumo no pico porque há mais horas fora do pico em um mês.)
Vamos encontrar intervalos de confiança simultâneos de 95% para as diferenças nos componentes do vetor de média.
Embora haja alguma discrepância nas variâncias amostrais, para fins ilustrativos, vamos calcular a matriz de covariância da amostra combinada. Aqui:
\[ \mathbf{s}_{\text{comb}} = \dfrac{(n_1 - 1)\mathbf{s}_1 + (n_2 - 1)\mathbf{s}_2}{n_1 + n_2 - 2}= \begin{bmatrix} 10963.7&21505.5\\ 21505.5&63661.3 \end{bmatrix} \]
e
\[ \begin{align} c^2 &= \dfrac{(n_1 + n_2 - 2)p}{n_1 + n_2 - p - 1} F_{p,n_1+n_2-p-1}(1-\alpha)\\ &=\dfrac{98\times2}{97}F_{2,97}(0.95)\\ &=2.02\times3.1\\ c^2 &=6.26 \end{align} \]
Com \(\boldsymbol{\mu}_1^{\prime} - \boldsymbol{\mu}_2^{\prime} = [\mu_{11} - \mu_{21}, \mu_{12} - \mu_{22}]\), os intervalos de confiança simultâneos de 95% para as diferenças populacionais são:
On-peak:
\[ \text{IC}^{95\%}(\mu_{11}- \mu_{21})=\left[ 204.4 - 130.0 \pm \sqrt{6.26\left(\dfrac{1}{45} + \frac{1}{55}\right)10963.7}\right]= [21.7,127.1] \]
Off-peak:
\[ \text{IC}^{95\%}(\mu_{12}- \mu_{22})=\left[ 556.6 - 355.0 \pm \sqrt{6.26\left(\dfrac{1}{45} + \frac{1}{55}\right)63661.3}\right]= [74.7,328.5] \]
Concluímos que há uma diferença no consumo elétrico entre aqueles com ar-condicionado e aqueles sem. Esta diferença é evidente tanto no consumo no pico quanto fora do pico.
A região elíptica de confiança de 95% para \(\boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2\) é determinada a partir dos pares de autovalores e autovetores:
\[ \lambda_1 = 71323.5 \quad\mathbf{e}_1 = \begin{bmatrix} 0.336 \\ 0.942 \end{bmatrix} \]
e
\[ \lambda_2 = 3301.5 \quad\mathbf{e}_2 = \begin{bmatrix} 0.942 \\ -0.336 \end{bmatrix} \]
Dado que:
\[ \sqrt{\lambda_1 \left( \dfrac{1}{45} + \dfrac{1}{55} \right) c^2} = \sqrt{71323.5 \left( \frac{1}{45} + \frac{1}{55} \right) 6.26} = 134.3 \]
e
\[ \sqrt{\lambda_2 \left( \dfrac{1}{45} + \dfrac{1}{55} \right) c^2} = \sqrt{3301.5 \left( \dfrac{1}{45} + \dfrac{1}{55} \right) 6.26} = 28.9 \]
Obtemos a região elíptica de confiança de 95% para \(\boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2\), ilustrada na Figura 6.2.
Como a região elíptica de confiança para a diferença nas médias não cobre \(\mathbf{0}^{\prime} = [0, 0]\), a estatística de teste \(T^2\) rejeita \(H_0: \boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2 = 0\) no nível de 5%.
Figura 6.2: Elipse de confiança de 95% para diferença dos vetores de médias populacionais.
suppressMessages(suppressWarnings(
invisible(Sys.setlocale("LC_ALL", "pt_BR.UTF-8"))))
centroidif <- c(204.4 - 130.0,
556.6 - 355.0)
sp <- matrix(c(10963.7, 21505.5,
21505.5, 63661.3),
nrow=2, byrow=TRUE)
p <- length(centroidif)
n1 <- 45
n2 <- 55
alfa <- 0.05
T2crit <- ((n1+n2-2)*p/(n1+n2-p-1))*qf(1-alfa, p, n1+n2-p-1)
print(T2crit, 3)[1] 6.24H0 <- rep(0, p)
T2 <- as.numeric(t(centroidif-H0)%*%solve((1/n1+1/n2)*sp)%*%(centroidif-H0))
print(T2, 4)[1] 16.07[1] TRUEF <- T2/((n1+n2-2)*p/(n1+n2-p-1))
pv <- 1-pf(F, p, n1+n2-p-1)
cat("\nF(",p,", ",n1+n2-p-1,") = ", round(F,2),", p = ", round(pv,5), "\n", sep="")
F(2, 97) = 7.95, p = 0.00063c <- sqrt(T2crit*(1/n1+1/n2))
car::ellipse(center=centroidif,
shape=sp,
radius=c,
fill=TRUE,
fill.alpha=0.1,
grid=FALSE,
col="black",
add=FALSE,
xlab=expression(mu[11] - mu[21]),
ylab=expression(mu[12] - mu[22]),
xlim=c(-5,130),
ylim=c(-5,330),
main="Região elíptica de confiança de 95%\n on- vs. off-peak")
abline(v=0,h=0,lty=2)
points(H0[1], H0[2], pch=9, col="black")
text(H0[1], H0[2], pos=3, expression(H[0]))
a.hat_abs <- abs(solve(sp)%*%centroidif)
colnames(a.hat_abs) <- "Importância"
rownames(a.hat_abs) <- c("on-peak", "off-peak")
print(proportions(a.hat_abs), digits=3) Importância
on-peak 0.396
off-peak 0.604\[\Diamond\]
Os intervalos de confiança simultâneos t de Bonferroni de \(100(1 - \alpha)\)% para as \(p\) diferenças das médias populacionais são
\[ \text{IC}^{1 - \alpha}(\mu_{1i}- \mu_{2i})=\left[\overline{X}_{1i} - \overline{X}_{2i} \pm t_{n_1+n_2-2}\left(\dfrac{\alpha}{2p}\right)\sqrt{\left(\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}\right) S_{ii,\text{comb}}}\right]\\ i = 1,2,...,p \]
Situação de Duas Condições Independentes Heterocedásticas Multivariadamente
Se \(\mathbf{\Sigma}_1 \neq \mathbf{\Sigma}_2\), somos incapazes de encontrar uma medida de distância estatística como \(T^2\), cuja distribuição não depende dos desconhecidos \(\mathbf{\Sigma}_1\) e \(\mathbf{\Sigma}_2\).
O teste de Bartlett é usado para testar a igualdade de \(\mathbf{\Sigma}_1\) e \(\mathbf{\Sigma}_2\) em termos de variâncias generalizadas.
Infelizmente, as conclusões podem ser seriamente enganosas quando as observações aleatórias multivariadas das condições independentes são não normais. Não normalidade e covariâncias desiguais não podem ser separadas com o teste de Bartlett. (Veja também a Seção 6.6.)
Um método de teste da igualdade de duas matrizes de covariância que é menos sensível à suposição de multinormalidade foi proposto por Tiku e Balakrishnan. No entanto, mais experiência prática é necessária com este teste antes de podermos recomendá-lo incondicionalmente.
Sugerimos, sem muito suporte factual, que qualquer discrepância da ordem de \(\mathbf{\sigma}_{1,ii} = 4\mathbf{\sigma}_{2,ii}\) ou vice-versa, provavelmente é séria. Isso é verdade no caso univariado. O tamanho das discrepâncias que são críticas na situação multivariada provavelmente depende, em grande parte, do número de variáveis \(p\).
Transformação não linear pode melhorar as coisas quando as variâncias marginais são bastante diferentes. No entanto, para \(n_1 - p-g\ge30\) e \(n_2 -p-g\ge30\), podemos evitar as complexidades devido a matrizes de covariância desiguais.
Resultado 6.4. Seja o tamanho da amostra tal que \(n_1 - p - g\ge30\) e \(n_2 - p - g\ge30\). Então, a região elíptica de confiança aproximada de \(100(1- \alpha)\%\) para \(\boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2\) é dado por todos \(\boldsymbol{\mu}\) que satisfazem
\[ (\bar{\mathbf{x}}_1 - \bar{\mathbf{x}}_2 - (\boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2))^{\prime} \left( \dfrac{1}{n_1} \mathbf{s}_1 + \dfrac{1}{n_2} \mathbf{s}_2 \right)^{-1} (\bar{\mathbf{x}}_1 - \bar{\mathbf{x}}_2 - (\boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2)) \leq \chi^2_p(1-\alpha) \]
Além disso, intervalos de confiança simultâneos de \(100(1 - \alpha)\%\) para todas as combinações lineares \(\mathbf{a}^{\prime}(\boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2)\) são fornecidos por
\[ \text{IC}^{1-\alpha}\left(\mathbf{a}^{\prime}(\boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2)\right)= \left[\mathbf{a}^{\prime}(\bar{\mathbf{x}}_1 - \bar{\mathbf{x}}_2) \pm \sqrt{\chi^2_p(1-\alpha)\;\mathbf{a}^{\prime} \left( \dfrac{1}{n_1} \mathbf{s}_1 + \dfrac{1}{n_2} \mathbf{s}_2 \right) \mathbf{a}}\right] \]
Prova.
A partir das equações (6-22) e (3-9), temos:
- A esperança de \(\overline{\mathbf{X}}_1 - \overline{\mathbf{X}}_2\) é dada por:
\[ \mathbb{E}\left(\overline{\mathbf{X}}_1 - \overline{\mathbf{X}}_2\right) = \mathbb{E}\left(\overline{\mathbf{X}}_1\right) - \mathbb{E}\left(\overline{\mathbf{X}}_2\right)= \boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2 \]
- A covariância de \(\overline{\mathbf{X}}_1\) e \(\overline{\mathbf{X}}_2\) é:
\[ \mathbb{C}\left(\overline{\mathbf{X}}_1 - \overline{\mathbf{X}}_2\right) = \mathbb{C}\left(\overline{\mathbf{X}}_1\right) + \mathbb{C}\left(\overline{\mathbf{X}}_2\right) = \dfrac{1}{n_1} \mathbf{S}_1 + \dfrac{1}{n_2} \mathbf{S}_2 \]
Pelo teorema do limite central, \(\overline{\mathbf{X}}_1 - \overline{\mathbf{X}}_2 \underset{a}{\sim} \mathcal{N}_p\left(\boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2, \dfrac{1}{n_1} \mathbf{\Sigma}_1 + \dfrac{1}{n_2} \mathbf{\Sigma}_2\right)\).
\[\Diamond\]
Observação: Se \(n_1 = n_2 = n\), então \(\dfrac{n - 1}{n + n - 2} = \dfrac{1}{2}\), assim
\[ \begin{align} \dfrac{1}{n_1} \mathbf{S}_1 + \dfrac{1}{n_2} \mathbf{S}_2 &= \dfrac{1}{n} \left(\mathbf{S}_1 + \mathbf{S}_2\right)\\ &= \dfrac{(n - 1)\mathbf{S}_1 + (n - 1)\mathbf{S}_2}{n + n - 2}\left(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n}\right) \\ \dfrac{1}{n_1} \mathbf{S}_1 + \dfrac{1}{n_2} \mathbf{S}_2 &= \mathbf{S}_\text{comb}\left(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n}\right) \end{align} \]
Com tamanhos de amostra iguais, o procedimento para amostra grande é essencialmente o mesmo que o procedimento baseado na matriz de covariância agrupada. (Veja o Resultado 6.2.)
Em uma dimensão, é bem conhecido que o efeito de heterocedasticidade é menor quando há balanceamento, i.e., \(n_1 = n_2\), e é maior quanto maior é o desbalanceamento.
Exemplo 6.5: Procedimentos de amostras grandes para inferências sobre a diferença nas médias
- \(p = 2 \;(\text{on-, off-peak}),\; q = 1,\; g = 2 \;(\text{com, sem ar-condicionado}):\; n_1=45,\; n_2=55\)
O número de UE é \(n_1+n_2=100\).
Vamos analisar os dados de consumo elétrico discutidos no Exemplo 6.4 usando a abordagem de amostras grandes. Primeiro, calculamos:
\[ \begin{align} \dfrac{1}{n_1} \mathbf{s}_1 + \dfrac{1}{n_2} \mathbf{s}_2 &= \dfrac{1}{45} \begin{bmatrix} 13825.3 & 23823.4 \\ 23823.4 & 73107.4 \\ \end{bmatrix} + \dfrac{1}{55} \begin{bmatrix} 8632.0 & 19616.7 \\ 19616.7 & 55964.5 \\ \end{bmatrix}\\ \dfrac{1}{n_1} \mathbf{s}_1 + \dfrac{1}{n_2} \mathbf{s}_2&= \begin{bmatrix} 464.17 & 886.08 \\ 886.08 & 2642.15 \\ \end{bmatrix} \end{align} \]
Os intervalos de confiança simultâneos de 95% para as combinações lineares
\[ \mathbf{a}^{\prime}_1(\boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2) = [1\;0]\begin{bmatrix} \mu_{11}-\mu_{21}\\ \mu_{12}-\mu_{22} \end{bmatrix} =\mu_{11} - \mu_{21} \]
e
\[ \mathbf{a}^{\prime}_2(\boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2) = [0\;1]\begin{bmatrix} \mu_{11}-\mu_{21}\\ \mu_{12}-\mu_{22} \end{bmatrix}=\mu_{12} - \mu_{22} \]
são (veja o Resultado 6.4):
\[ \begin{align} \text{IC}^{95\%}(\mu_{11} - \mu_{21}) &=\left[74.4 \pm \sqrt{5.99} \sqrt{464.17}\right]\\ \text{IC}^{95\%}(\mu_{11} - \mu_{21})&=[21.7,127.1]\\\\ \text{IC}^{95\%}(\mu_{12} - \mu_{22}) &=\left[201.6 \pm \sqrt{5.99} \sqrt{2642.15}\right]\\ \text{IC}^{95\%}(\mu_{12} - \mu_{22})&=[75.8,327.4] \end{align} \]
Note que esses intervalos diferem desprezivelmente dos intervalos no Exemplo 6.4, em que o procedimento de agrupamento foi empregado.
A estatística \(T^2\) para testar \(H_0: \boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2 = \mathbf{0}\) é:
\[ T^2 = (\bar{\mathbf{x}}_1 - \bar{\mathbf{x}}_2)^{\prime} \left( \dfrac{1}{n_1} \mathbf{s}_1 + \dfrac{1}{n_2} \mathbf{s}_2 \right)^{-1} (\bar{\mathbf{x}}_1 - \bar{\mathbf{x}}_2) = 16.07 \]
Para \(\alpha = .05\), o valor crítico é \(\chi^2_2(0.95) = 5.99\) e, como \(T^2 = 16.07 > \chi^2_2(0.95) = 5.99\), rejeitamos \(H_0\).
A combinação linear mais crítica que leva à rejeição de \(H_0\) tem o vetor de coeficiente
\[ \hat{\mathbf{a}} \propto \left( \dfrac{1}{n_1} \mathbf{s}_1 + \dfrac{1}{n_2} \mathbf{s}_2 \right)^{-1} (\bar{\mathbf{x}}_1 - \bar{\mathbf{x}}_2) = \begin{bmatrix} 0.04 \\ 0.06 \\ \end{bmatrix} \]
A diferença no consumo elétrico “on-peak” entre aqueles com ar condicionado e aqueles sem contribui mais do que a diferença correspondente no consumo “off-peak” para a rejeição de \(H_0: \boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2 = \mathbf{0}\).
suppressMessages(suppressWarnings(
invisible(Sys.setlocale("LC_ALL", "pt_BR.UTF-8"))))
centroidif <- c(204.4 - 130.0,
556.6 - 355.0)
sdif <- matrix(c(464.17, 886.08,
886.08, 2642.15),
nrow=2, byrow=TRUE)
p <- length(centroidif)
n1 <- 45
n2 <- 55
alfa <- 0.05
X2crit <- qchisq(1-alfa, p)
print(X2crit, 3)[1] 5.99[1] 15.66[1] TRUEpv <- formatC(1-pchisq(T2, p),
format="e", digits=2)
cat("\nX^2(",p,") = ", round(T2,2),", p = ",pv, "\n", sep="")
X^2(2) = 15.66, p = 3.98e-04c <- sqrt(X2crit)
car::ellipse(center=centroidif,
shape=sdif,
radius=c,
fill=TRUE,
fill.alpha=0.1,
grid=FALSE,
col="black",
add=FALSE,
xlab=expression(mu[11] - mu[21]),
ylab=expression(mu[12] - mu[22]),
xlim=c(-5,130),
ylim=c(-5,330),
main="Região elíptica de confiança de 95%\n on- vs. off-peak")
abline(v=0,h=0,lty=2)
points(H0[1], H0[2], pch=9, col="black")
text(H0[1], H0[2], pos=3, expression(H[0]))
a.hat_abs <- abs(solve(sp)%*%centroidif)
colnames(a.hat_abs) <- "Importância"
rownames(a.hat_abs) <- c("on-peak", "off-peak")
print(proportions(a.hat_abs), digits=3) Importância
on-peak 0.396
off-peak 0.604\[\Diamond\]
A estatística similar ao \(T^2\) que é menos sensível a observações atípicas para amostras pequenas e de tamanho moderado foi desenvolvida por Tiku e Singh [24]. No entanto, se o tamanho da amostra for moderado a grande, \(n_1-p-g>12\) e \(n_2-p-g>12\), \(T^2\) de Hotelling é notavelmente não afetado por pequenos desvios da normalidade e/ou pela presença de alguns outliers.
Uma Aproximação para a Distribuição de \(T^2\) para Populações Normais Quando os Tamanhos das Amostras Não São Grandes
É possível testar \(H_0: \boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2 = \mathbf{0}\) quando as matrizes de covariância da população são desiguais, mesmo que os dois tamanhos de amostra não sejam grandes, desde que as duas populações sejam multivariadas normais. Essa situação é frequentemente chamada de problema multivariado de Behrens-Fisher. O resultado exige que \(n_1 >p\) e \(n_2 >p\). A abordagem depende de uma aproximação para a distribuição da estatística
\[ \begin{align} T^2 &= \left(\overline{\mathbf{X}}_1 - \overline{\mathbf{X}}_2-(\boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2)\right)^{\prime} \left( \dfrac{1}{n_1} \mathbf{S}_1 + \dfrac{1}{n_2} \mathbf{S}_2 \right)^{-1} \left(\overline{\mathbf{X}}_1 - \overline{\mathbf{X}}_2-(\boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2)\right)\\ T^2 &\underset{a}{\sim}T^2_{p,\nu} \end{align} \tag{6-27} \]
que é idêntica à estatística de amostra grande no Resultado 6.4. No entanto, em vez de usar a aproximação qui-quadrado para obter o valor crítico para testar \(H_0\), a aproximação recomendada para amostras menores (veja [15] e [19]) é dada por
\[ T^2_{p,\nu} = \dfrac{\nu p}{\nu-p+1}F_{p,\nu-p+1}\tag{6-28} \]
em que o número de graus de liberdade \(\nu\) de \(T^2\) é estimado a partir das matrizes de covariância amostrais usando a relação:
\[ \hat{\nu}=\dfrac{p(1+p)}{ \sum_{i=1}^{2}{\dfrac{1}{n_i}\left( \text{tr}\left(\left(\dfrac{1}{n_i}\mathbf{S}_i\left( \dfrac{1}{n_1}\mathbf{S}_1 + \dfrac{1}{n_2}\mathbf{S}_2 \right)^{-1}\right)^2\right) + \left(\text{tr}\left(\dfrac{1}{n_i}\mathbf{S}_i\left( \dfrac{1}{n_1}\mathbf{S}_1 + \dfrac{1}{n_2}\mathbf{S}_2 \right)^{-1}\right)\right)^2\right)}} \tag{6-29} \]
em que \(\min(n_1, n_2) \le \nu \le n_1+ n_2\).
Esta aproximação reduz-se à solução usual de Welch para o problema de Behrens-Fisher (heterocedasticidade) no caso univariado (\(p = 1\)).
Para populações normais, a aproximação para a distribuição de \(T^2\) dada por (6-28) e (6-29) geralmente fornece resultados razoáveis.
Exemplo 6.6: A distribuição aproximada de \(T^2\) se \(\mathbf{\Sigma_1} \neq \mathbf{\Sigma_2}\)
Embora os tamanhos das amostras sejam bastante grandes para os dados de consumo elétrico no Exemplo 6.4, usamos esses dados e os cálculos do Exemplo 6.5 para ilustrar os cálculos que levam à distribuição aproximada de \(T^2\) quando as matrizes de covariância da população são diferentes.
Primeiro, calculamos:
\[ \dfrac{1}{n_1} \mathbf{s}_1 = \dfrac{1}{45} \begin{bmatrix} 13825.2 & 23823.4 \\ 23823.4 & 73107.4 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 307.227 & 529.409 \\ 529.409 & 1624.609 \\ \end{bmatrix} \]
e
\[ \dfrac{1}{n_2} \mathbf{s}_2 = \dfrac{1}{55} \begin{bmatrix} 8632.0 & 19616.7 \\ 19616.7 & 55964.5 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 156.945 & 356.667 \\ 356.667 & 1017.536 \\ \end{bmatrix} \]
E usando um resultado do Exemplo 6.5,
\[ \left(\dfrac{1}{n_1} \mathbf{s}_1 + \dfrac{1}{n_2} \mathbf{s}_2\right)^{-1} = 10^{-4} \begin{bmatrix} 59.874 & -20.080 \\ -20.080 & 10.519 \\ \end{bmatrix} \]
suppressMessages(suppressWarnings(
invisible(Sys.setlocale("LC_ALL", "pt_BR.UTF-8"))))
centroidif <- c(204.4 - 130.0,
556.6 - 355.0)
s1 <- matrix(c(13825.2, 23823.4,
23823.4, 73107.4),
nrow=2, byrow=TRUE)
s2 <- matrix(c(8632.0, 19616.7,
19616.7, 55964.5),
nrow=2, byrow=TRUE)
p <- length(centroidif)
p[1] 2n1 <- 45
n2 <- 55
alfa <- 0.05
compute_nu_hat <- function(s1, s2, n1, n2, p) {
common_part <- (1/n1)*s1 + (1/n2)*s2
sum_term <- function(n, s) {
A <- (1/n)*s %*% solve(common_part)
tr_A <- sum(diag(A))
return(tr_A^2 + (sum(diag(A %*% A))) )
}
sum_val <- (1/n1)*sum_term(n1, s1) + (1/n2)*sum_term(n2, s2)
nu_hat <- (p*(1+p)) / sum_val
return(nu_hat)
}
nu_hat <- compute_nu_hat(s1, s2, n1, n2, p)
T2crit <- (nu_hat*p/(nu_hat-p+1))*qf(1-alfa, p, nu_hat-p+1)
print(T2crit, 3)[1] 6.31H0 <- rep(0, p)
T2 <- as.numeric(t(centroidif-H0)%*%solve((1/n1)*s1 + (1/n2)*s2)
%*%(centroidif-H0))
print(T2, 4)[1] 15.66[1] TRUEF <- T2/(nu_hat*p/(nu_hat-p+1))
pv <- 1-pf(F, p, nu_hat-p+1)
cat("\nF(",p,", ",nu_hat-p+1,") = ", round(F,2),", p = ", round(pv,5), "\n", sep="")
F(2, 76.59217) = 7.73, p = 0.00088c <- sqrt(T2crit)
car::ellipse(center=centroidif,
shape=(1/n1)*s1 + (1/n2)*s2,
radius=c,
fill=TRUE,
fill.alpha=0.1,
grid=FALSE,
col="black",
add=FALSE,
xlab=expression(mu[11] - mu[21]),
ylab=expression(mu[12] - mu[22]),
xlim=c(-5,130),
ylim=c(-5,330),
main="Região elíptica de confiança de 95% (Welch)\n on- vs. off-peak")
abline(v=0,h=0,lty=2)
points(H0[1], H0[2], pch=9, col="black")
text(H0[1], H0[2], pos=3, expression(H[0])) 
a.hat_abs <- abs(solve((1/n1)*s1 + (1/n2)*s2)%*%centroidif)
colnames(a.hat_abs) <- "Importância"
rownames(a.hat_abs) <- c("on-peak", "off-peak")
print(proportions(a.hat_abs), digits=3) Importância
on-peak 0.394
off-peak 0.606Teste \(T^2\) de Hotelling robusto à heterocedasticidade multivariada
Os testes \(T^2\) de Johansen (1980) e Yao (1965) são robustos à heterocedasticidade multivariada.
Johansen, S (1980) The Welch-James approximation to the distribution of the residual sum of squares in a weighted linear regression. Biometrika 67(1). doi:10.1093/biomet/67.1.85.
Zhang, J (2012) “An Approximate Hotelling T2-Test for Heteroscedastic One-Way MANOVA,” Open Journal of Statistics 2(1): 1-11. doi: 10.4236/ojs.2012.21001. https://www.scirp.org/journal/paperinformation.aspx?paperid=17138
Gokpınar, E et al. (?) A Computational Approach Test for the Equality of Two Multivariate Normal Mean Vectors under Heterogeneity of Covariance Matrices: https://www.ine.pt/revstat/pdf/AComputationalApproachTest.pdf
Teste \(T^2\) de Johansen
suppressMessages(suppressWarnings(
invisible(Sys.setlocale("LC_ALL", "pt_BR.UTF-8"))
))
Dados <- datasets::iris
lst <- split(Dados[, 1:5], iris$Species)
lst <- lapply(lst, function(df) head(df, 6))
Dados <- do.call(rbind, lst)
vervir <- subset(Dados, Species != "setosa")
vervir$Species <- droplevels(vervir$Species)
rownames(vervir) <- NULL
print(summary(vervir)) Sepal.Length Sepal.Width Petal.Length Petal.Width Species
Min. :5.500 Min. :2.300 Min. :4.000 Min. :1.300 versicolor:6
1st Qu.:6.175 1st Qu.:2.800 1st Qu.:4.575 1st Qu.:1.475 virginica :6
Median :6.450 Median :3.000 Median :5.000 Median :1.650
Mean :6.467 Mean :2.942 Mean :5.183 Mean :1.758
3rd Qu.:6.925 3rd Qu.:3.125 3rd Qu.:5.825 3rd Qu.:2.100
Max. :7.600 Max. :3.300 Max. :6.600 Max. :2.500 result <- MVN::mvn(data=vervir,
subset="Species",
univariate_test="SW")
print(result$multivariate_normality) Group Test Statistic p.value MVN
1 versicolor Henze-Zirkler 0.658 0.203 ✓ Normal
2 virginica Henze-Zirkler 0.599 0.379 ✓ Normal Group Test Variable Statistic p.value Normality
1 versicolor Shapiro-Wilk Sepal.Length 0.907 0.414 ✓ Normal
2 versicolor Shapiro-Wilk Sepal.Width 0.858 0.182 ✓ Normal
3 versicolor Shapiro-Wilk Petal.Length 0.914 0.462 ✓ Normal
4 versicolor Shapiro-Wilk Petal.Width 0.775 0.035 ✗ Not normal
5 virginica Shapiro-Wilk Sepal.Length 0.942 0.673 ✓ Normal
6 virginica Shapiro-Wilk Sepal.Width 0.909 0.433 ✓ Normal
7 virginica Shapiro-Wilk Petal.Length 0.971 0.901 ✓ Normal
8 virginica Shapiro-Wilk Petal.Width 0.952 0.753 ✓ Normal
Box's M-test for Homogeneity of Covariance Matrices
data: vervir[-5]
Chi-Sq (approx.) = 11.43, df = 10, p-value = 0.325
versicolor <- as.matrix(subset(x=Dados,
subset=Species=="versicolor",
select=Sepal.Length:Petal.Width))
virginica <- as.matrix(subset(x=Dados,
subset=Species=="virginica",
select=Sepal.Length:Petal.Width))
print(SHT::mean2.1980Johansen(versicolor, virginica))
Two-sample Test for Multivariate Means by Johansen (1980)
data: versicolor and virginica
T2 = 113.37, p-value = 0.0005876
alternative hypothesis: true means are different.
Two-sample Test for Multivariate Means by Yao (1965).
data: versicolor and virginica
T2 = 113.37, p-value = 0.002617
alternative hypothesis: true means are different.
Hotelling's T-squared Test for Independent Samples with Equal
Covariance Assumption.
data: versicolor and virginica
T2 = 113.37, p-value = 0.0006393
alternative hypothesis: true means are different.# Na saída, T.2 é F
print(DescTools::HotellingsT2Test(cbind(Sepal.Length,
Sepal.Width,
Petal.Length,
Petal.Width)~Species,
test="f",
data=vervir))
Hotelling's two sample T2-test
data: cbind(Sepal.Length, Sepal.Width, Petal.Length, Petal.Width) by Species
T.2 = 19.839, df1 = 4, df2 = 7, p-value = 0.0006393
alternative hypothesis: true location difference is not equal to c(0,0,0,0)Teste \(T^2\) de Welch
suppressMessages(suppressWarnings(
invisible(Sys.setlocale("LC_ALL", "pt_BR.UTF-8"))
))
Dados <- datasets::iris
lst <- split(Dados[, 1:5], iris$Species)
lst <- lapply(lst, function(df) head(df, 6))
Dados <- do.call(rbind, lst)
vervir <- subset(Dados, Species != "setosa")
vervir$Species <- droplevels(vervir$Species)
rownames(vervir) <- NULL
print(summary(vervir)) Sepal.Length Sepal.Width Petal.Length Petal.Width Species
Min. :5.500 Min. :2.300 Min. :4.000 Min. :1.300 versicolor:6
1st Qu.:6.175 1st Qu.:2.800 1st Qu.:4.575 1st Qu.:1.475 virginica :6
Median :6.450 Median :3.000 Median :5.000 Median :1.650
Mean :6.467 Mean :2.942 Mean :5.183 Mean :1.758
3rd Qu.:6.925 3rd Qu.:3.125 3rd Qu.:5.825 3rd Qu.:2.100
Max. :7.600 Max. :3.300 Max. :6.600 Max. :2.500 result <- MVN::mvn(data=vervir,
subset="Species",
univariate_test="SW")
print(result$multivariate_normality) Group Test Statistic p.value MVN
1 versicolor Henze-Zirkler 0.658 0.203 ✓ Normal
2 virginica Henze-Zirkler 0.599 0.379 ✓ Normal Group Test Variable Statistic p.value Normality
1 versicolor Shapiro-Wilk Sepal.Length 0.907 0.414 ✓ Normal
2 versicolor Shapiro-Wilk Sepal.Width 0.858 0.182 ✓ Normal
3 versicolor Shapiro-Wilk Petal.Length 0.914 0.462 ✓ Normal
4 versicolor Shapiro-Wilk Petal.Width 0.775 0.035 ✗ Not normal
5 virginica Shapiro-Wilk Sepal.Length 0.942 0.673 ✓ Normal
6 virginica Shapiro-Wilk Sepal.Width 0.909 0.433 ✓ Normal
7 virginica Shapiro-Wilk Petal.Length 0.971 0.901 ✓ Normal
8 virginica Shapiro-Wilk Petal.Width 0.952 0.753 ✓ Normal
Box's M-test for Homogeneity of Covariance Matrices
data: vervir[-5]
Chi-Sq (approx.) = 11.43, df = 10, p-value = 0.325
versicolor <- as.matrix(subset(x=Dados,
subset=Species=="versicolor",
select=Sepal.Length:Petal.Width))
virginica <- as.matrix(subset(x=Dados,
subset=Species=="virginica",
select=Sepal.Length:Petal.Width))
# T^2 de Welch
centroidif <- colMeans(versicolor) - colMeans(virginica)
s1 <- cov(versicolor)
s2 <- cov(virginica)
p <- length(centroidif)
n1 <- nrow(versicolor)
n2 <- nrow(virginica)
alfa <- 0.05
compute_nu_hat <- function(s1, s2, n1, n2, p) {
common_part <- (1/n1)*s1 + (1/n2)*s2
sum_term <- function(n, s) {
A <- (1/n)*s %*% solve(common_part)
tr_A <- sum(diag(A))
return(tr_A^2 + (sum(diag(A %*% A))) )
}
sum_val <- (1/n1)*sum_term(n1, s1) + (1/n2)*sum_term(n2, s2)
nu_hat <- (p*(1+p)) / sum_val
return(nu_hat)
}
# Significância estatística
nu_hat <- compute_nu_hat(s1, s2, n1, n2, p)
T2crit <- (nu_hat*p/(nu_hat-p+1))*qf(1-alfa, p, nu_hat-p+1)
print(T2crit, 3)[1] 21.7H0 <- rep(0, p)
T2 <- as.numeric(t(centroidif-H0)%*%solve((1/n1)*s1 + (1/n2)*s2)
%*%(centroidif-H0))
print(T2, 4)[1] 113.4[1] TRUEF <- T2/(nu_hat*p/(nu_hat-p+1))
pv <- formatC(1-pf(F, p, nu_hat-p+1),
format="e", digits=2)
cat("\nF(",p,", ",round(nu_hat-p+1,2),") = ", round(F,2),", p = ", pv, "\n", sep="")
F(4, 7.73) = 20.42, p = 3.51e-04
T^2(4, 10.73) = 113.37, p = 3.51e-04
Two-sample Test for Multivariate Means by Johansen (1980)
data: versicolor and virginica
T2 = 113.37, p-value = 0.0005876
alternative hypothesis: true means are different.
Two-sample Test for Multivariate Means by Yao (1965).
data: versicolor and virginica
T2 = 113.37, p-value = 0.002617
alternative hypothesis: true means are different.
Hotelling's T-squared Test for Independent Samples with Equal
Covariance Assumption.
data: versicolor and virginica
T2 = 113.37, p-value = 0.0006393
alternative hypothesis: true means are different.# Na saída, T.2 é F
print(DescTools::HotellingsT2Test(cbind(Sepal.Length,
Sepal.Width,
Petal.Length,
Petal.Width)~Species,
test="f",
data=vervir))
Hotelling's two sample T2-test
data: cbind(Sepal.Length, Sepal.Width, Petal.Length, Petal.Width) by Species
T.2 = 19.839, df1 = 4, df2 = 7, p-value = 0.0006393
alternative hypothesis: true location difference is not equal to c(0,0,0,0)# Importância da VD
a.hat_abs <- abs(solve((1/n1)*s1 + (1/n2)*s2)%*%centroidif)
colnames(a.hat_abs) <- "Importância"
rownames(a.hat_abs) <- c("Sepal.Length",
"Sepal.Width",
"Petal.Length",
"Petal.Width")
print(proportions(a.hat_abs), digits=3) Importância
Sepal.Length 0.155
Sepal.Width 0.214
Petal.Length 0.360
Petal.Width 0.271Comparando Várias Médias Populacionais Multivariadas (MANOVA unifatorial independente)
- \(p\ge2,\; q=1,\; g\ge2\)
Frequentemente, é necessário comparar mais do que duas populações. Amostras aleatórias coletadas de cada uma das \(g\) populações (condições experimentais independentes) são organizadas como:
\[ \begin{align} \text{População } 1: \mathbf{X}_{11}, \mathbf{X}_{12}, \ldots, \mathbf{X}_{1n_1}\\ \text{População } 2: \mathbf{X}_{21}, \mathbf{X}_{22}, \ldots, \mathbf{X}_{2n_2}\\ \vdots\\ \text{População } g: \mathbf{X}_{g1}, \mathbf{X}_{g2}, \ldots, \mathbf{X}_{gn_g} \end{align} \tag{6-31} \]
MANOVA unifatorial independente (one-way MANOVA) é usado primeiramente para investigar se os vetores de média populacional são os mesmos e, se não forem, quais componentes do vetores de média diferem significantemente.
Suposições sobre a Estrutura dos Dados para MANOVA unifatorial independente:
- \(\mathbf{X}_{\ell 1}, \mathbf{X}_{\ell 2}, \ldots, \mathbf{X}_{\ell n_\ell}\) é uma amostra aleatória de tamanho \(n_\ell\) de uma população com média \(\boldsymbol{\mu}_\ell\) para \(\ell = 1, 2, \ldots, g\), i.e, \(\{\mathbf{X}_{\ell}\}_{i=1}^{n_{\ell}} \sim \text{IID}(\boldsymbol{\mu }_{\ell}, \mathbf{\Sigma}_{\ell})\). As amostras aleatórias de diferentes populações são independentes.
- Todas as populações têm uma matriz de covariância comum (homocedasticidade multivariada) \(\mathbf{\Sigma}_{\mathcal{1}}=\mathbf{\Sigma}_{\mathcal{2}}=\cdots=\mathbf{\Sigma}_{\ell}=\mathbf{\Sigma}\).
- Cada população é multivariada normal, i.e., \(\{\mathbf{X}_{\ell}\}_{i=1}^{n_{\ell}} \sim \mathcal{N}_p\text{IID}(\boldsymbol{\mu}_{\ell}, \mathbf{\Sigma}_{\ell})\), \(\ell = 1, 2, \ldots, g\).
A condição 3 pode ser relaxada recorrendo ao teorema do limite central (Resultado 4.13) se: \[ \sum_{\ell=1}^{g}{n_\ell} -g \ge 30 \\ \ell = 1, 2, \ldots, g \]
Resumo da ANOVA unifatorial independente de Fisher
- \(p=1,\; q=1,\; g\ge2\)
Na situação univariada, as suposições são de que \(\left\{X_{\ell i}\right\}_{i=1}^{n_\ell} \sim \mathcal{N}\text{IID}\left(\mu_{\ell},\sigma^2\right)\), \(\ell = 1, 2, \ldots, g\), e que as \(g\) amostras aleatórias \(\left\{\left\{X_{\ell i}\right\}_{i=1}^{n_\ell}\right\}_{\ell =1}^{g}\) são independentes.
Embora a hipótese nula de igualdade de médias possa ser formulada como \(\mu_1 = \mu_2 = \cdots = \mu_g\), é costumeiro considerar \(\mu_\ell\) como a soma de um componente de média global, como \(\mu\), e um componente devido à população específica. Por exemplo, podemos escrever \(\mu_{\ell} = \mu + (\mu_{\ell} - \mu)\) ou \(\mu_{\ell} = \mu + \tau_{\ell}\), em que \(\tau_{\ell} = \mu_{\ell} - \mu\).
As populações geralmente correspondem a diferentes conjuntos de condições experimentais independentes e, portanto, é conveniente investigar os desvios \(\tau_{\ell}\) associados à \(\ell\)-ésima população (tratamento).
A reparametrização
\[ \mu_{\ell} = \mu + \tau_{\ell} \]
em que:
- \(\mu_{\ell}\): média da \(\ell\)-ésima população
- \(\mu\): média sem o efeito do fator (média global)
- \(\tau_{\ell}\): efeito fixo do tratamento da \(\ell\)-ésima população
leva a uma reformulação da hipótese de igualdade das médias. A hipótese nula torna-se
\[ H_0: \tau_1 = \tau_2 = \cdots = \tau_g = 0 \]
A resposta \(X_{\ell j} \sim \mathcal{N}\left(\mu + \tau_{\ell} \sigma^2\right)\), pode ser expressa da seguinte forma forma
\[ X_{\ell j} = \mu + \tau_{\ell} + \varepsilon_{\ell j} \]
em que:
- \(\mu\): média global
- \(\tau_{\ell}\): efeito fixo do tratamento
- \(\varepsilon_{\ell j}\): resíduo ou termo de erro aleatório
em que os \(\varepsilon_{\ell j} \sim \mathcal{N}\text{IID}\left(0,\sigma^2\right)\), \(j = 1, 2, \ldots, n_{\ell}\) e \(\ell = 1, 2, \ldots, g\) são independentes. Para definir de forma única os parâmetros do modelo e suas estimativas de mínimos quadrados, é costumeiro impor a restrição \(\sum_{\ell =1}^g n_\ell \tau_{\ell} = 0\).
Motivado pela decomposição anterior, a análise de variância é baseada em uma decomposição análoga das observações,
\[ x_{\ell j} = \bar{x} + (\bar{x}_{\ell} - \bar{x}) + (x_{\ell j} - \bar{x}_{\ell}) \]
em que:
- \(x_{\ell j}\): observação
- \(\hat{\mu}=\bar{x}\): estimativa da média global
- \(\hat{\tau}_{\ell}=\bar{x}_{\ell} - \bar{x}\): estimativa do efeito fixo do tratamento \(\ell\)
- \(\hat{\varepsilon}_{\ell j}=x_{\ell j} - \bar{x}_{\ell}\): estimativa do termo de erro ou resíduo
Exemplo 6.7: Decomposição da soma dos quadrados para ANOVA univariada
- \(p=1,\; q=1,\; g=3:\; n_1=3,\; n_2=2,\; n_3=3\)
O número de UE é \(n_1+n_2+n_3=8\).
Considere as seguintes amostras independentes:
População 1: 9, 6, 9
População 2: 0, 2
População 3: 3, 1, 2
Por exemplo, dado que
\[ \bar{x}_3 = \dfrac{3 + 1 + 2}{3} = 2 \quad \text{e} \quad \bar{x} = \dfrac{9 + 6 + 9 + 0 + 2 + 3 + 1 + 2}{8} = 4 \]
encontramos que
\[ \begin{align} 3 &= x_{31} \\ &= \bar{x} + (\bar{x}_3 - \bar{x}) + (x_{31} - \bar{x}_3) \\ &= 4 + (2 - 4) + (3 - 2) \\ 3&= 4 + (-2) + 1 \end{align} \]
Repetindo esta operação para cada observação, obtemos a seguinte igualdade matricial:
\[ \left[ \begin{array}{rrr} 9 & 6 & 9\\0 & 2 & \\3 & 1 & 2 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrr} 4 & 4 & 4\\4 & 4 & \\4 & 4 & 4 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{rrr} 4 & 4 & 4\\-3 & -3 & \\-2 & -2 & -2 \end{array}\right] + \left[ \begin{array}{rrr} 1 & -2 & 1\\-1 & 1 & \\1 & -1 & 0 \end{array} \right] \]
\[ \begin{align} x_{\ell j} &= \bar{x} + (\bar{x}_{\ell} - \bar{x}) + (x_{\ell j} - \bar{x}_{\ell})\\ x_{\ell j} &= \hat{\mu}+\hat{\tau}_{\ell}+\hat{\varepsilon}_{\ell j} \end{align} \]
observação = média global + efeito de tratamento + resíduo
A questão da igualdade das médias é respondida avaliando se a contribuição do vetor de tratamento é grande em relação aos resíduos.
Nossas estimativas \(\hat{\tau}_{\ell}=\bar{x}_{\ell} - \bar{x}\) sempre satisfazem \(\sum_{\ell =1}^g n_\ell \hat{\tau}_{\ell} = 0\).
Sob \(H_0\), cada \(\hat{\tau}_{\ell}\) é uma estimativa nula.
Se a contribuição do tratamento for grande, \(H_0\) deve ser rejeitada.
O tamanho de um vetor é quantificado transformando as linhas do vetor em um único vetor e calculando seu comprimento ao quadrado. Esta quantidade é chamada de soma dos quadrados (SS: Sum of Squares).
Para as observações, construímos o vetor \(\mathbf{y}^{\prime} = [9\; 6\; 9\; 0\; 2\; 3\; 1\; 2]\).
Seu comprimento ao quadrado é:
\[ \text{SS}_{\text{obs}} = 9^2 + 6^2 + 9^2 + 0^2 + 2^2 + 3^2 + 1^2 + 2^2 = 216 \]
Similarmente,
\[ \begin{align} \text{SS}_{\text{mean}} &= 4^2 + 4^2 + 4^2 + 4^2 + 4^2 + 4^2 + 4^2 + 4^2 = 8(4^2) = 128\\\\ \text{SS}_{\text{trt}} &= 4^2 + 4^2 + 4^2 + (-3)^2 + (-3)^2 + (-2)^2 + (-2)^2 + (-2)^2 \\ \text{SS}_{\text{trt}} &= 3(4^2) + 2(-3)^2 + 3(-2)^2 = 78 \end{align} \]
e a soma dos quadrados residual é
\[ \text{SS}_{\text{res}} = 1^2 + (-2)^2 + 1^2 + (-1)^2 + 1^2 + 1^2 + (-1)^2 + 0^2 = 10 \]
As somas dos quadrados satisfazem a mesma decomposição, (6-34), que as observações. Portanto,
\[ \text{SS}_{\text{obs}} = \text{SS}_{\text{mean}} + \text{SS}_{\text{trt}} + \text{SS}_{\text{res}} \]
ou
\[ 216 = 128 + 78 + 10 \]
A divisão em somas de quadrados aloca a variabilidade nas amostras combinadas em componentes de média, tratamento e residual (erro).
Uma análise de variância procede comparando os tamanhos relativos de \(\text{SS}_{\text{trt}}\) e \(\text{SS}_{\text{res}}\).
Se \(H_0\) for verdadeira, as variâncias calculadas a partir de \(\text{SS}_{\text{trt}}\) e \(\text{SS}_{\text{res}}\) devem ser aproximadamente iguais:
\[ \text{SS}_{\text{trt}} \underset{H_0}{\approx}\text{SS}_{\text{res}} \]
\[\Diamond\]
A decomposição da soma dos quadrados ilustrada numericamente no Exemplo 6.7 é tão básica que o equivalente algébrico será agora desenvolvido.
Subtraindo \(\bar{x}\) de ambos os lados de (6-34) e elevando ao quadrado, obtemos:
\[ (x_{\ell j} - \bar{x})^2 = ( \bar{x}_{\ell} - \bar{x})^2 + (x_{\ell j} - \bar{x}_{\ell})^2 + 2( \bar{x}_{\ell} - \bar{x})(x_{\ell j} - \bar{x}_{\ell}) \]
Podemos somar ambos os lados sobre \(j\), notando que \(\sum_{i=1}^{n_\ell}{(x_{\ell j} - \bar{x}_{\ell})} = 0\), e obtemos:
\[ \sum_{j=1}^{n_{\ell}} (x_{\ell j} - \bar{x})^2 = n_{\ell}(\bar{x}_{\ell} - \bar{x})^2 + \sum_{j=1}^{n_{\ell}} (x_{\ell j} - \bar{x}_{\ell})^2 \]
Em seguida, somando ambos os lados sobre \(\ell\), obtemos:
\[ \begin{align} \sum_{\ell =1}^{g} \sum_{j=1}^{n_{\ell}} (x_{\ell j} - \bar{x})^2 &= \sum_{\ell =1}^{g} n_{\ell}(\bar{x}_{\ell} - \bar{x})^2 + \sum_{\ell =1}^{g} \sum_{j=1}^{n_{\ell}} (x_{\ell j} - \bar{x}_{\ell})^2 \\ \text{SS}_{\text{tot}}&=\text{SS}_{\text{trt}}+\text{SS}_{\text{res}} \end{align} \tag{6-35} \]
Em que:
- \(\text{SS}_{\text{tot}}\) é a soma dos quadrados total corrigida.
- \(\text{SS}_{\text{trt}}\) é a soma dos quadrados entre (between) as condições.
- \(\text{SS}_{\text{res}}\) é a soma dos quadrados dentro (within) das condições.
ou
\[ \begin{align} \sum_{\ell =1}^{g} \sum_{j=1}^{n_{\ell}} x_{\ell j}^2 &= \bar{x}^2 \sum_{\ell=1}^{g}{n_\ell} + \sum_{\ell =1}^{g} n_{\ell}(\bar{x}_{\ell} - \bar{x})^2 + \sum_{\ell =1}^{g} \sum_{j=1}^{n_{\ell}} (x_{\ell j} - \bar{x}_{\ell})^2 \\ \text{SS}_{\text{obs}}&=\text{SS}_{\text{mean}}+\text{SS}_{\text{trt}}+\text{SS}_{\text{res}} \end{align} \tag{6-36} \]
Em que:
- \(\text{SS}_{\text{obs}}\) é a soma dos quadrados das observações,
- \(\text{SS}_{\text{mean}}\) é a soma dos quadrados das médias,
- \(\text{SS}_{\text{trt}}\) é a soma dos quadrados dos tratamentos e
- \(\text{SS}_{\text{res}}\) é a soma dos quadrados dos resíduos.
Ao estabelecer (6-36), verificamos que as matrizes representando a média, os efeitos do tratamento e os resíduos são ortogonais. Ou seja, essas matrizes, consideradas como vetores, são perpendiculares independentemente do vetor de observação
\[ \mathbf{y}^{\prime} = [x_{11}, \ldots, x_{1n_1}, x_{21}, \ldots, x_{2n_2},x_{g1}, \ldots, x_{gn_g}] \]
mean <- rep(4, 8)
trt <- c(4, 4, 4, -3, -3, -2, -2, -2)
res <- c(1, -2, 1, 1, 1, 1, -1, 0)
crossprod(mean, trt) [,1]
[1,] 0 [,1]
[1,] 8 [,1]
[1,] -6Consequentemente, poderíamos obter \(\text{SS}_{\text{res}}\) por subtração, sem ter que calcular os resíduos individuais, porque
\[ \text{SS}_{\text{res}} = \text{SS}_{\text{obs}} - \text{SS}_{\text{mean}} - \text{SS}_{\text{trt}} \]
No entanto, isso é uma economia falsa porque os gráficos dos resíduos fornecem verificações das suposições do modelo.
As representações vetoriais das matrizes envolvidas na decomposição (6-34) também têm interpretações geométricas que fornecem os graus de liberdade. Para um conjunto arbitrário de observações, o vetor de observação \(\mathbf{y}\) pode estar em qualquer lugar em \(n = \sum_{\ell =1}^{g}{n_\ell}\) dimensões; o vetor médio \(\bar{x}\mathbf{1} = [\bar{x}, \ldots, \bar{x}]^{\prime}\) deve estar ao longo da linha equiangular de \(\mathbf{1}\), e o vetor de efeito de tratamento
reside no hiperplano de combinações lineares dos \(g\) vetores \(\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \ldots, \mathbf{u}_g\). Como \(\mathbf{1} = \mathbf{u}_1 + \mathbf{u}_2 + \cdots + \mathbf{u}_g\), o vetor médio também reside neste hiperplano e é sempre perpendicular ao vetor de tratamento. (Consulte o Exercício 6.10). Assim, o vetor médio tem a liberdade de residir em qualquer lugar ao longo da linha equiangular unidimensional, e o vetor de tratamento tem a liberdade de residir em qualquer lugar nas outras \(g - 1\) dimensões. O vetor de resíduo, \(\hat{\boldsymbol{\varepsilon}} = \mathbf{y} - \bar{x}\mathbf{1} - ((\bar{x}_i - \bar{x})\mathbf{u}_j + \cdots + (\bar{x}_g - \bar{x})\mathbf{u}_g)\), é perpendicular a ambos, o vetor de média e o vetor de efeito de tratamento, e tem a liberdade de residir em qualquer lugar no subespaço de dimensão \(n - (g -1) - 1 = n - g\), que é perpendicular ao seu hiperplano.
Em resumo, atribuímos 1 grau de liberdade para \(\text{SS}_{\text{mean}}\), \(g - 1\) graus de liberdade para \(\text{SS}_{\text{trt}}\), e \(n - g = \sum_{\ell =1}^{g}{n_\ell} - g\) graus de liberdade para \(\text{SS}_{\text{res}}\). O número total de graus de liberdade é \(\sum_{\ell =1}^{g}{n_\ell}\). Alternativamente, recorrendo à teoria da distribuição univariada, descobrimos que estes são os graus de liberdade para as distribuições qui-quadrado associadas com as respectivas somas dos quadrados. Os cálculos das somas dos quadrados e os graus de liberdade associados são convenientemente resumidos por uma tabela ANOVA.
| Fonte de variação | Soma dos Quadrados (SS) | Graus de Liberdade (df) |
|---|---|---|
| Tratamentos | \(\text{SS}_{\text{trt}} = \sum_{\ell =1}^{g} n_{\ell}(\bar{x}_{\ell} - \bar{x})^2\) | \(g - 1\) |
| Resíduo | \(\text{SS}_{\text{res}} = \sum_{\ell =1}^{g} \sum_{j=1}^{n_{\ell}} (x_{\ell j} - \bar{x}_{\ell})^2\) | \(\sum_{\ell =1}^{g}{n_\ell} - g\) |
| Total | \(\text{SS}_{\text{tot}} = \sum_{\ell =1}^{g} \sum_{j=1}^{n_{\ell}} (x_{\ell j} - \bar{x})^2\) | \(\sum_{\ell =1}^{g}{n_\ell}-1\) |
O teste F usual rejeita \(H_0: \tau_1 = \tau_2 = \cdots = \tau_g = 0\) no nível \(\alpha\) se
\[ F=\dfrac{\dfrac{\text{SS}_{\text{trt}}}{g-1}}{\dfrac{\text{SS}_{\text{res}}}{\sum_{\ell =1}^{g}{n_\ell} - g}} > F_{g-1, \;\sum_{\ell =1}^{g}{n_\ell} - g}(1-\alpha) \]
Isso é equivalente a rejeitar \(H_0\) para grandes valores de \(\dfrac{\text{SS}_{\text{trt}}}{\text{SS}_{\text{res}}}\) ou para grandes valores de \(1 + \dfrac{\text{SS}_{\text{trt}}}{\text{SS}_{\text{res}}}\).
A estatística apropriada para uma generalização multivariada rejeita \(H_0\) para pequenos valores do recíproco
\[ \dfrac{1}{1 + \dfrac{\text{SS}_{\text{trt}}}{\text{SS}_{\text{res}}}} = \dfrac{\text{SS}_{\text{res}}}{\text{SS}_{\text{res}} + \text{SS}_{\text{trt}}} \tag{6-37} \]
Exemplo 6.8: Uma tabela ANOVA univariada e teste F para efeitos de tratamento
- \(p=1,\; q=1,\; g=3:\; n_1=3,\; n_2=2,\; n_3=3\)
O número de UE é \(n_1+n_2+n_3=8\).
Usando as informações do Exemplo 6.7, temos a seguinte tabela ANOVA:
| Fonte de Variação | Soma dos Quadrados | Graus de Liberdade |
|---|---|---|
| Tratamentos | \(\text{SS}_\text{trt} = 78\) | \(g - 1 = 3 - 1 = 2\) |
| Resíduo | \(\text{SS}_\text{res} = 10\) | \(n - g = (3 + 2 + 3) - 3 = 5\) |
| Total | \(\text{SS}_\text{tot} = 88\) | \(\sum_{\ell =1}^{g}{n_\ell}-1=7\) |
Consequentemente,
\[ F=\dfrac{\dfrac{\text{SS}_\text{trt}}{g - 1}}{\dfrac{\text{SS}_\text{res}}{n - g}} \sim F_{g-1,\,n-g} \]
\[ F=\dfrac{\dfrac{\text{SS}_\text{trt}}{g - 1}}{\dfrac{\text{SS}_\text{res}}{n - g}} = \dfrac{\dfrac{78}{2}}{\dfrac{10}{5}}=19.5 \]
Como \(F = 19.5 > F_{2,5}(0.99) = 13.27\), rejeitamos \(H_0: \tau_1 = \tau_2 = \tau_3 = 0\) (sem efeito populacional de tratamento) no nível de significância de 1%.
Por que \(F=(\text{SS}_{\text{trt}}/(g - 1))/(\text{SS}_\text{res}/(n - g)) \sim F_{g-1,n-g}\)?
A resposta é Teorema de Cochran.
O Teorema de Cochran é uma ferramenta fundamental na análise de variância (ANOVA). O teorema fornece a distribuição de somas de quadrados de certos tipos de combinações lineares de variáveis aleatórias normais independentes. Este teorema é frequentemente utilizado em estatísticas para testar hipóteses sobre os parâmetros de populações.
O artigo seminal relacionado ao Teorema de Cochran é:
- Cochran, WG (1934) The distribution of quadratic forms in a normal system, with applications to the analysis of covariance. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 30: 178-91. doi:10.1017/S0305004100016595.
Outros artigos e referências são:
Kutner, MH et al. (2005) Applied linear statistical model. 5th ed. NY: McGraw-Hill/Irwin, p. 699.
Saw, SLC (1992) ANOVA Sums of Squares as Quadratic Forms. The American Statistician 46(4): 288-90.
Tian, Y & Styan, GPH (2006) Cochran’s statistical theorem revisited. Journal of Statistical Planning and Inference 136(8): 2659-67. https://doi.org/10.1016/j.jspi.2004.09.016.
Proof: F-test for main effect in one-way analysis of variance
suppressMessages(suppressWarnings(
invisible(Sys.setlocale("LC_ALL", "pt_BR.UTF-8"))))
n1 <- 3
n2 <- 2
n3 <- 3
n <- n1 + n2 + n3
Grupo <- factor(c(rep("1", n1),
rep("2", n2),
rep("3", n3)))
y <- c(9, 6, 9, 0, 2, 3, 1, 2)
x <- data.frame(Grupo, y)
print(x) Grupo y
1 1 9
2 1 6
3 1 9
4 2 0
5 2 2
6 3 3
7 3 1
8 3 2 [,1]
[1,] 88[1] 88# Soma dos Quadrados do Modelo
x_bar_g <- rep(aggregate(y~Grupo,
FUN="mean",
data=x)$y,
times=c(n1,n2,n3))
x_bar_g[1] 8 8 8 1 1 2 2 2SS_trt <- crossprod(x_bar_g - mean(y))
# Soma dos Quadrados dos Resíduos
SS_res <- SS_tot - SS_trt
# Grupos
g <- length(unique(Grupo))
n <- length(y)
# Graus de liberdade
df_trt <- g - 1 # tratamentos
df_res <- n - g # erro
df_tot <- n - 1 # total
# Médias dos Quadrados
MS_trt <- SS_trt / df_trt
MS_res <- SS_res / df_res
# Estatística F
F_val <- MS_trt / MS_res
# Valor p
p_val <- formatC(1 - pf(F_val, df_trt, df_res),
format="e", digits=2)
# Tabela ANOVA
cat("\nAnova Table (Type II tests)\n")
Anova Table (Type II tests)Response: yanova_table <- data.frame(Source = c("Grupo", "Residuals", "Total"),
df = c(df_trt, df_res, df_tot),
"Sum Sq" = c(SS_trt, SS_res, SS_tot),
"Mean Sq" = c(MS_trt, MS_res, ""),
"F value" = c(F_val, "", ""),
"p-value" = c(p_val, "", ""),
stringsAsFactors = FALSE,
check.names = FALSE)
print(anova_table, row.names=FALSE) Source df Sum Sq Mean Sq F value p-value
Grupo 2 78 39 19.5 4.35e-03
Residuals 5 10 2
Total 7 88 # Solução model.matrix, HIJ e OLS
# Kutner et al., 2005, p. 204
# Criar a matriz de design
X <- model.matrix(~Grupo,
data=x)
X (Intercept) Grupo2 Grupo3
1 1 0 0
2 1 0 0
3 1 0 0
4 1 1 0
5 1 1 0
6 1 0 1
7 1 0 1
8 1 0 1
attr(,"assign")
[1] 0 1 1
attr(,"contrasts")
attr(,"contrasts")$Grupo
[1] "contr.treatment" [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8]
[1,] 1 0 0 0 0 0 0 0
[2,] 0 1 0 0 0 0 0 0
[3,] 0 0 1 0 0 0 0 0
[4,] 0 0 0 1 0 0 0 0
[5,] 0 0 0 0 1 0 0 0
[6,] 0 0 0 0 0 1 0 0
[7,] 0 0 0 0 0 0 1 0
[8,] 0 0 0 0 0 0 0 1 [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8]
[1,] 1 1 1 1 1 1 1 1
[2,] 1 1 1 1 1 1 1 1
[3,] 1 1 1 1 1 1 1 1
[4,] 1 1 1 1 1 1 1 1
[5,] 1 1 1 1 1 1 1 1
[6,] 1 1 1 1 1 1 1 1
[7,] 1 1 1 1 1 1 1 1
[8,] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8
1 0.33 0.33 0.33 0.0 0.0 0.00 0.00 0.00
2 0.33 0.33 0.33 0.0 0.0 0.00 0.00 0.00
3 0.33 0.33 0.33 0.0 0.0 0.00 0.00 0.00
4 0.00 0.00 0.00 0.5 0.5 0.00 0.00 0.00
5 0.00 0.00 0.00 0.5 0.5 0.00 0.00 0.00
6 0.00 0.00 0.00 0.0 0.0 0.33 0.33 0.33
7 0.00 0.00 0.00 0.0 0.0 0.33 0.33 0.33
8 0.00 0.00 0.00 0.0 0.0 0.33 0.33 0.33SS_trt <- t(y)%*%(H-J/n)%*%y
SS_res <- t(y)%*%(I-H)%*%y
SS_tot <- t(y)%*%(I-J/n)%*%y
df_trt <- sum(diag(H-J/n))
df_res <- sum(diag(I-H))
df_tot <- sum(diag(I-J/n))
# Médias dos Quadrados
MS_trt <- SS_trt / df_trt
MS_res <- SS_res / df_res
# Estatística F
F_val <- MS_trt / MS_res
# Valor p
p_val <- formatC(1 - pf(F_val, df_trt, df_res),
format="e", digits=2)
# Tabela ANOVA
cat("\nAnova Table (Type II tests)\n")
Anova Table (Type II tests)Response: yanova_table <- data.frame(Source = c("Grupo", "Residuals", "Total"),
df = c(df_trt, df_res, df_tot),
"Sum Sq" = c(SS_trt, SS_res, SS_tot),
"Mean Sq" = c(MS_trt, MS_res, ""),
"F value" = c(F_val, "", ""),
"p-value" = c(p_val, "", ""),
stringsAsFactors = FALSE,
check.names = FALSE)
print(anova_table, row.names=FALSE) Source df Sum Sq Mean Sq F value p-value
Grupo 2 78 39 19.5 4.35e-03
Residuals 5 10 2
Total 7 88 # Solução model.matrix e OLS
# https://genomicsclass.github.io/book/pages/expressing_design_formula.html
n1 <- 3
n2 <- 2
n3 <- 3
Grupo <- factor(c(rep("1", n1), rep("2", n2), rep("3", n3)))
y <- c(9, 6, 9, 0, 2, 3, 1, 2)
x <- data.frame(Grupo, y)
# Criar a matriz de design
X <- model.matrix(~Grupo,
data=x)
# Computar as somas de quadrados
coeff <- solve(t(X) %*% X) %*% t(X) %*% y # OLS
cat("\nCoefficients:\n")
Coefficients: Estimate
(Intercept) 8
Grupo2 -7
Grupo3 -6 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 8 0.82 9.8 0.00019
Grupo2 -7 1.29 -5.4 0.00289
Grupo3 -6 1.15 -5.2 0.00348y_hat <- X%*%coeff
SS_trt <- sum((y_hat - mean(y))^2)
SS_res <- sum((y - y_hat)^2)
SS_tot <- sum((y - mean(y))^2)
R2 <- 1-SS_res/SS_tot
cat("R^2 = eta^2 omnibus = ", round(R2,2), sep="")R^2 = eta^2 omnibus = 0.89# Grupos
g <- length(unique(Grupo))
n <- length(y)
# Graus de liberdade
df_trt <- g - 1 # tratamentos
df_res <- n - g # erro
df_tot <- n - 1
# Médias das somas de quadrados
MS_trt <- SS_trt / df_trt
MS_res <- SS_res / df_res
# Estatística F
F_value <- MS_trt / MS_res
# Valor p
p_value <- formatC(1 - pf(F_value, df_trt, df_res),
format="e", digits=2)
# Tabela ANOVA
cat("\nAnova Table (Type II tests)")
Anova Table (Type II tests)
Response: yanova_table <- data.frame(Source = c("Grupo", "Residuals", "Total"),
df = c(df_trt, df_res, df_tot),
"Sum Sq" = c(SS_trt, SS_res, SS_tot),
"Mean Sq" = c(MS_trt, MS_res, ""),
"F value" = c(F_val, "", ""),
"p-value" = c(p_val, "", ""),
stringsAsFactors = FALSE,
check.names = FALSE)
print(anova_table, row.names=FALSE) Source df Sum Sq Mean Sq F value p-value
Grupo 2 78 39 19.5 4.35e-03
Residuals 5 10 2
Total 7 88 Analysis of Variance Table
Response: y
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
Grupo 2 78 39 19.5 0.004353 **
Residuals 5 10 2
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Classes 'anova' and 'data.frame': 2 obs. of 5 variables:
$ Df : int 2 5
$ Sum Sq : num 78 10
$ Mean Sq: num 39 2
$ F value: num 19.5 NA
$ Pr(>F) : num 0.00435 NA
- attr(*, "heading")= chr [1:2] "Analysis of Variance Table\n" "Response: y" term df sumsq meansq statistic p.value
1 Grupo 2 78 39 19.5 0.004353047
2 Residuals 5 10 2 NA NA'data.frame': 2 obs. of 6 variables:
$ term : chr "Grupo" "Residuals"
$ df : int 2 5
$ sumsq : num 78 10
$ meansq : num 39 2
$ statistic: num 19.5 NA
$ p.value : num 0.00435 NAAnova Table (Type II tests)
Response: y
Sum Sq Df F value Pr(>F)
Grupo 78 2 19.5 0.004353 **
Residuals 10 5
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Anova Table (Type III tests)
Response: y
Sum Sq Df F value Pr(>F)
(Intercept) 192 1 96.0 0.0001885 ***
Grupo 78 2 19.5 0.0043530 **
Residuals 10 5
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Classes 'anova' and 'data.frame': 2 obs. of 4 variables:
$ Sum Sq : num 78 10
$ Df : num 2 5
$ F value: num 19.5 NA
$ Pr(>F) : num 0.00435 NA
- attr(*, "heading")= chr [1:2] "Anova Table (Type II tests)\n" "Response: y" term sumsq df statistic p.value
1 Grupo 78 2 19.5 0.004353047
2 Residuals 10 5 NA NA'data.frame': 2 obs. of 5 variables:
$ term : chr "Grupo" "Residuals"
$ sumsq : num 78 10
$ df : num 2 5
$ statistic: num 19.5 NA
$ p.value : num 0.00435 NA
Call:
lm(formula = y ~ Grupo, data = x)
Residuals:
1 2 3 4 5 6 7 8
1 -2 1 -1 1 1 -1 0
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 8.0000 0.8165 9.798 0.000189 ***
Grupo2 -7.0000 1.2910 -5.422 0.002890 **
Grupo3 -6.0000 1.1547 -5.196 0.003478 **
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 1.414 on 5 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.8864, Adjusted R-squared: 0.8409
F-statistic: 19.5 on 2 and 5 DF, p-value: 0.004353List of 11
$ call : language lm(formula = y ~ Grupo, data = x)
$ terms :Classes 'terms', 'formula' language y ~ Grupo
.. ..- attr(*, "variables")= language list(y, Grupo)
.. ..- attr(*, "factors")= int [1:2, 1] 0 1
.. .. ..- attr(*, "dimnames")=List of 2
.. .. .. ..$ : chr [1:2] "y" "Grupo"
.. .. .. ..$ : chr "Grupo"
.. ..- attr(*, "term.labels")= chr "Grupo"
.. ..- attr(*, "order")= int 1
.. ..- attr(*, "intercept")= int 1
.. ..- attr(*, "response")= int 1
.. ..- attr(*, ".Environment")=<environment: R_GlobalEnv>
.. ..- attr(*, "predvars")= language list(y, Grupo)
.. ..- attr(*, "dataClasses")= Named chr [1:2] "numeric" "factor"
.. .. ..- attr(*, "names")= chr [1:2] "y" "Grupo"
$ residuals : Named num [1:8] 1 -2 1 -1 1 ...
..- attr(*, "names")= chr [1:8] "1" "2" "3" "4" ...
$ coefficients : num [1:3, 1:4] 8 -7 -6 0.816 1.291 ...
..- attr(*, "dimnames")=List of 2
.. ..$ : chr [1:3] "(Intercept)" "Grupo2" "Grupo3"
.. ..$ : chr [1:4] "Estimate" "Std. Error" "t value" "Pr(>|t|)"
$ aliased : Named logi [1:3] FALSE FALSE FALSE
..- attr(*, "names")= chr [1:3] "(Intercept)" "Grupo2" "Grupo3"
$ sigma : num 1.41
$ df : int [1:3] 3 5 3
$ r.squared : num 0.886
$ adj.r.squared: num 0.841
$ fstatistic : Named num [1:3] 19.5 2 5
..- attr(*, "names")= chr [1:3] "value" "numdf" "dendf"
$ cov.unscaled : num [1:3, 1:3] 0.333 -0.333 -0.333 -0.333 0.833 ...
..- attr(*, "dimnames")=List of 2
.. ..$ : chr [1:3] "(Intercept)" "Grupo2" "Grupo3"
.. ..$ : chr [1:3] "(Intercept)" "Grupo2" "Grupo3"
- attr(*, "class")= chr "summary.lm" term estimate std.error statistic p.value
1 (Intercept) 8 0.8164966 9.797959 0.0001885113
2 Grupo2 -7 1.2909944 -5.422177 0.0028900202
3 Grupo3 -6 1.1547005 -5.196152 0.0034781651'data.frame': 3 obs. of 5 variables:
$ term : chr "(Intercept)" "Grupo2" "Grupo3"
$ estimate : num 8 -7 -6
$ std.error: num 0.816 1.291 1.155
$ statistic: num 9.8 -5.42 -5.2
$ p.value : num 0.000189 0.00289 0.003478\[\Diamond\]
Modelo MANOVA (Análise de Variância Multivariada) para Comparar \(g\) Vetores de Média Populacionais
- \(p\ge2,\; q=1,\; g\ge2\)
\[ \begin{align} \mathbf{X}_{\ell j} &= \boldsymbol{\mu} + \boldsymbol{\tau}_\ell + \boldsymbol{\varepsilon}_{\ell j}\\\\ j &= 1, 2, \ldots, n_\ell \\ \ell &= 1, 2, \ldots, g \end{align} \tag{6-38} \]
em que os \(\boldsymbol{\varepsilon}_{\ell j}\sim\mathcal{N}_p\text{IID}(\mathbf{0},\mathbf{\sigma^2\mathbf{I}})\).
Aqui, o vetor de parâmetros \(\boldsymbol{\mu}\) é a média global (nível), e \(\boldsymbol{\tau}_\ell\) representa o efeito de tratamento \(\ell\) com
\[ \sum_{\ell = 1}^{g} n_\ell \boldsymbol{\tau}_\ell = \mathbf{0} \]
De acordo com o modelo em (6-38), cada componente do vetor de observação satisfaz o modelo univariado (6-33). Os erros para os componentes de \(\mathbf{X}_{\ell j}\) estão correlacionados, mas a matriz de covariância \(\mathbf{\Sigma}\) é a mesma para todas as populações.
Um vetor de observações pode ser decomposto conforme sugerido pelo modelo. Assim,
observação = média geral + efeito tratamento + resíduo
\[ \begin{align} \mathbf{X}_{\ell j} &= \boldsymbol{\mu} + \boldsymbol{\tau}_\ell + \mathbf{e}_{\ell j}\\ &= \hat{\boldsymbol{\mu}} + \hat{\boldsymbol{\tau}}_\ell + \hat{\mathbf{e}}_{\ell j}\\ &= \hat{\boldsymbol{\mu}} + (\hat{\boldsymbol{\mu}}_\ell - \hat{\boldsymbol{\mu}}) + \hat{\mathbf{e}}_{\ell j}\\ \mathbf{X}_{\ell j} &= \overline{\mathbf{X}} + (\overline{\mathbf{X}}_\ell - \overline{\mathbf{X}}) + (\mathbf{X}_{\ell j} - \overline{\mathbf{X}}_\ell) \end{align} \tag{6-39} \]
A decomposição em (6-39) leva ao análogo multivariado da divisão univariada da soma dos quadrados em (6-35).
Primeiro, notamos que o produto
\[ (\mathbf{x}_{\ell j} - \bar{\mathbf{x}})(\mathbf{x}_{\ell j} - \bar{\mathbf{x}})^{\prime} \]
pode ser expressa como
\[ \begin{align} (\mathbf{x}_{\ell j} - \bar{\mathbf{x}})(\mathbf{x}_{\ell j} - \bar{\mathbf{x}})^{\prime}&=((\mathbf{x}_{\ell j} - \bar{\mathbf{x}}_\ell)+(\bar{\mathbf{x}}_{\ell} - \bar{\mathbf{x}}))((\mathbf{x}_{\ell j} - \bar{\mathbf{x}}_\ell)+(\bar{\mathbf{x}}_{\ell} - \bar{\mathbf{x}}))^{\prime}\\ (\mathbf{x}_{\ell j} - \bar{\mathbf{x}})(\mathbf{x}_{\ell j} - \bar{\mathbf{x}})^{\prime}&=(\mathbf{x}_{\ell j} - \bar{\mathbf{x}}_\ell)(\mathbf{x}_{\ell j} - \bar{\mathbf{x}}_\ell)^{\prime}+(\mathbf{x}_{\ell j} - \bar{\mathbf{x}}_\ell)(\bar{\mathbf{x}}_{\ell} - \bar{\mathbf{x}})^{\prime}+\\ &\;\quad(\bar{\mathbf{x}}_{\ell} - \bar{\mathbf{x}})(\mathbf{x}_{\ell j} - \bar{\mathbf{x}}_\ell)^{\prime}+(\bar{\mathbf{x}}_{\ell} - \bar{\mathbf{x}})(\bar{\mathbf{x}}_{\ell} - \bar{\mathbf{x}})^{\prime} \end{align} \]
A soma sobre \(j\) das duas expressões intermediárias é a matriz nula, porque
\[ \sum_{j=1}^{n_\ell} (\mathbf{x}_{\ell j} - \bar{\mathbf{x}}_\ell)=\mathbf{0} \]
Assim, somando o produto cruzado sobre \(j\) e \(\ell\) obtemos:
Total = Entre (Between) + Dentro (Within)
\[ \begin{align} \sum_{\ell=1}^{g} \sum_{j=1}^{n_\ell} (\mathbf{x}_{\ell j} - \bar{\mathbf{x}})(\mathbf{x}_{\ell j} - \bar{\mathbf{x}})^{\prime} &= \sum_{\ell=1}^{g} n_\ell (\bar{\mathbf{x}}_{\ell} - \bar{\mathbf{x}})(\bar{\mathbf{x}}_{\ell} - \bar{\mathbf{x}})^{\prime}+\\ &\quad\sum_{\ell=1}^{g} \sum_{j=1}^{n_\ell} (\mathbf{x}_{\ell j} - \bar{\mathbf{x}}_\ell)(\mathbf{x}_{\ell j} - \bar{\mathbf{x}}_\ell)^{\prime}\\ \mathbf{T}&=\mathbf{B}+\mathbf{W} \end{align} \tag{6-40} \]
A matriz de somas de quadrados e produtos cruzados dentro (Within) pode ser expressa como:
\[ \begin{align} \mathbf{W} &= \sum_{\ell=1}^{g} \sum_{j=1}^{n_\ell} (\mathbf{x}_{\ell j} - \bar{\mathbf{x}}_\ell)(\mathbf{x}_{\ell j} - \bar{\mathbf{x}}_\ell)^{\prime}\\ \mathbf{W} &= \sum_{\ell=1}^{g}{(n_\ell-1) \mathbf{S}_\ell} \end{align} \tag{6-41} \]
em que \(\mathbf{S}_\ell\) é a matriz de covariância amostral para a \(\ell\)-ésima condição independente. Esta matriz é uma generalização da matriz agrupada \((n_1 + n_2 - 2)\mathbf{S}_{\text{comb}}\) encontrada no caso de duas condições. Ela desempenha um papel dominante no teste para a presença de efeitos de tratamento.
Análogo ao resultado univariado, a hipótese de não haver efeitos populacionais de tratamento
\[ \begin{cases} H_0:\;\boldsymbol{\tau}_1=\boldsymbol{\tau}_2=\cdots=\boldsymbol{\tau}_g=\mathbf{0} \\ H_1:\; \exists\, j \in \{1,\dots,g\}\ \;|\; \boldsymbol{\tau}_j \neq \mathbf{0} \end{cases}\\ \alpha=5\% \]
é testada considerando os tamanhos relativos das somas de quadrados de tratamento e residuais e produtos cruzados. Equivalentemente, podemos considerar os tamanhos relativos das somas de quadrados residuais e totais (corrigidos) e produtos cruzados.
Formalmente, resumimos os cálculos que levam à estatística de teste em uma tabela MANOVA.
Tabela MANOVA para Comparação de Vetores de Média Populacionais
| Fonte de variação | Matriz de soma de quadrados e produtos cruzados (SSP) | Graus de liberdade (df) |
|---|---|---|
| Tratamento | \(\mathbf{B} = \sum_{\ell=1}^{g} n_\ell (\bar{\mathbf{x}}_{\ell} - \bar{\mathbf{x}})(\bar{\mathbf{x}}_{\ell} - \bar{\mathbf{x}})^{\prime}\) | \(g - 1\) |
| Resíduo | \(\mathbf{W} = \sum_{\ell=1}^{g} \sum_{j=1}^{n_\ell} (\mathbf{x}_{\ell j} - \bar{\mathbf{x}}_\ell)(\mathbf{x}_{\ell j} - \bar{\mathbf{x}}_\ell)^{\prime}\) | \(\sum_{\ell=1}^{g}n_\ell - g\) |
| Total | \(\mathbf{T}=\sum_{\ell=1}^{g} \sum_{j=1}^{n_\ell} (\mathbf{x}_{\ell j} - \bar{\mathbf{x}})(\mathbf{x}_{\ell j} - \bar{\mathbf{x}})^{\prime}\) | \(\sum_{\ell=1}^{g}n_\ell - 1\) |
Esta tabela tem exatamente a mesma forma, componente por componente, que a tabela ANOVA unifatorial independente de Fisher, exceto que os quadrados de escalares são substituídos por seus contrapartes vetoriais. Por exemplo, \((\bar{x}_\ell - \bar{x})^2\) torna-se \((\bar{\mathbf{x}}_{\ell} - \bar{\mathbf{x}})(\bar{\mathbf{x}}_{\ell} - \bar{\mathbf{x}})^{\prime}\). Os graus de liberdade correspondem à geometria univariada e também a alguma teoria de distribuição multivariada envolvendo densidade de Wishart. (Veja [1].)
Um teste da hipótese nula multivariada:
\[ H_0:\;\boldsymbol{\tau}_1=\boldsymbol{\tau}_2=\cdots=\boldsymbol{\tau}_g=\mathbf{0} \]
envolve variâncias generalizadas.
Rejeitamos \(H_0\) se a razão das variâncias generalizadas, \(\Lambda^{*}\), for muito pequena:
\[ \Lambda^{*}=\dfrac{|\mathbf{W}|}{|\mathbf{W} + \mathbf{B}|} \tag{6-42} \]
O valor \(\Lambda^{*}\), proposto originalmente por Wilks (veja [25]), corresponde à forma equivalente (6-37) do teste F de \(H_0\): sem efeitos de tratamento no caso univariado.
Lambda de Wilks tem a virtude de ser conveniente e relacionado ao critério da razão de verossimilhança. A distribuição exata de \(\Lambda^{*}\) pode ser derivada para os casos especiais listados na Tabela 6.3. Para outros casos e tamanhos de amostras grandes, uma modificação de \(\Lambda^{*}\) devido a Bartlett (veja [4]) pode ser usada para testar \(H_0\).
Lambda de Wilks também pode ser expresso como uma função dos autovalores \(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_r\) de \(\mathbf{W}^{-1}\mathbf{B}\) como:
\[ \Lambda^* = \prod_{i=1}^{r} \dfrac{1}{1 + \lambda_i} \]
em que \(r = \min(p, g - 1)\), sendo \(p=\text{rank}(\mathbf{B})\). Outras estatísticas para verificar a igualdade de várias médias multivariadas, como a estatística de Pillai, a estatística de Lawley-Hotelling e a estatística da maior raiz de Roy também podem ser escritas como funções particulares dos autovalores de \(\mathbf{W}^{-1}\mathbf{B}\). Para amostras grandes, todas essas estatísticas são, essencialmente, equivalentes. (Veja a discussão adicional na página 336).
Tabela 6.3 Distribuição de Lambda de Wilks, \(\Lambda^*\)
| Número variáveis | Número grupos | Distribuição amostral com multinormalidade |
|---|---|---|
| \(p = 1\) | \(g \ge 2\) | \(\dfrac{\sum{n_\ell}-g}{g-1}\dfrac{1-\Lambda^*}{\Lambda^*}\sim F_{g-1,\;\sum{n_\ell}-g}\) |
| \(p = 2\) | \(g \ge 2\) | \(\dfrac{\sum{n_\ell}-g-1}{g-1}\dfrac{1-\sqrt{\Lambda^*}}{\sqrt{\Lambda^*}}\sim F_{2(g-1),\;2\left(\sum{n_\ell}-g-1\right)}\) |
| \(p \ge 1\) | \(g = 2\) | \(\dfrac{\sum{n_\ell}-p-1}{p}\dfrac{1-\Lambda^*}{\Lambda^*}\sim F_{p,\;\sum{n_\ell}-p-1}\) |
| \(p \ge 1\) | \(g = 3\) | \(\dfrac{\sum{n_\ell}-p-2}{p}\dfrac{1-\sqrt{\Lambda^*}}{\sqrt{\Lambda^*}}\sim F_{2p,\;2\left(\sum{n_\ell}-p-2\right)}\) |
Bartlett (veja [4]) mostrou que, se \(H_0\) é verdadeira e \(\sum{n_\ell}=n \ge 30\),
\[ -\left(n - 1 - \dfrac{p + g}{2}\right) \ln (\Lambda^{\ast}) \underset{a}{\sim} \chi^2_{p(g-1)} \]
Consequentemente, rejeitamos \(H_0\) no nível de significância \(\alpha\) se
\[ -\left(n - 1 - \dfrac{p + g}{2}\right) \ln (\Lambda^{\ast}) > \chi^2_{p(g-1)}(1-\alpha) \]
Exemplo 6.9: Uma tabela MANOVA e o lambda de Wilks para testar a igualdade de três vetores médios
- \(p=2,\; q=1,\; g=3:\; n_1=3,\; n_2=2,\; n_3=3\)
O número de UE é \(n_1+n_2+n_3=8\).
Suponha que uma variável adicional seja observada juntamente com a variável introduzida no Exemplo 6.7. Os tamanhos de amostra são \(n_1 = 3\), \(n_2 = 2\) e \(n_3 = 3\). Organizando os pares de observações \(\mathbf{x}_{\ell j}\) em linhas, obtemos:
\[ \boldsymbol{x}= \begin{bmatrix} \begin{bmatrix}9\\3\end{bmatrix} &\begin{bmatrix}6\\2\end{bmatrix} &\begin{bmatrix}9\\7\end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix}0\\4\end{bmatrix} &\begin{bmatrix}2\\0\end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix}3\\8\end{bmatrix} &\begin{bmatrix}1\\9\end{bmatrix} &\begin{bmatrix}2\\7\end{bmatrix} \end{bmatrix} \]
Então:
\[ \bar{\mathbf{x}}_1=\begin{bmatrix}8\\4\end{bmatrix}\quad \bar{\mathbf{x}}_2=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\quad \bar{\mathbf{x}}_3=\begin{bmatrix}2\\8\end{bmatrix}\\ \bar{\mathbf{x}}=\begin{bmatrix}4\\5\end{bmatrix} \]
- Com dados brutos:
JW6_Example6.9.R
suppressMessages(suppressWarnings(
invisible(Sys.setlocale("LC_ALL", "pt_BR.UTF-8"))))
n1 <- 3; n2 <- 2; n3 <- 3
p <- 2
Grupo <- factor(c(rep("1", n1),
rep("2", n2),
rep("3", n3)))
y <- matrix(c(9, 3, 6, 2, 9, 7,
0, 4, 2, 0,
3, 8, 1, 9, 2, 7),
ncol=p, byrow=TRUE)
x <- data.frame(Grupo, y)
print(x) Grupo X1 X2
1 1 9 3
2 1 6 2
3 1 9 7
4 2 0 4
5 2 2 0
6 3 3 8
7 3 1 9
8 3 2 7y <- as.data.frame(y)
y_split <- split(y, Grupo)
x_bar_k <- tapply(y,
Grupo,
FUN="colMeans")
print(x_bar_k)$`1`
V1 V2
8 4
$`2`
V1 V2
1 2
$`3`
V1 V2
2 8 V1 V2
4 5 n_k <- as.integer(table(Grupo))
g <- nlevels(Grupo)
p <- ncol(y)
B <- matrix(0, ncol = p, nrow = p)
for (k in 1:g) {
d <- x_bar_k[[k]] - x_bar
B <- B + n_k[k] * tcrossprod(d)
}
B [,1] [,2]
[1,] 78 -12
[2,] -12 48W <- matrix(0, ncol = p, nrow = p)
for (k in 1:g) {
for (i in 1:nrow(y_split[[k]])) {
d <- as.numeric(y_split[[k]][i, ]) - x_bar_k[[k]]
W <- W + tcrossprod(d)
}
}
W [,1] [,2]
[1,] 10 1
[2,] 1 24# B = Σ_k n_k (x_bar_k - x̄)x_bar_kk - x̄)'
B <- Reduce(`+`, Map(function(nk, mk) {
d <- as.numeric(mk - x_bar)
tcrossprod(d) * nk
}, n_k, x_bar_k))
# W = Σ_k Σ_{i∈k} (y_i - x_bar_k)(y_i - x_bar_k)'
W <- Reduce(`+`, Map(function(Gk, mk) {
R <- sweep(as.matrix(Gk), 2, as.numeric(mk), "-")
t(R) %*% R
}, y_split, x_bar_k))
B; W [,1] [,2]
[1,] 78 -12
[2,] -12 48 V1 V2
V1 10 1
V2 1 24[1] 0.0385n <- sum(n_k)
g <- nlevels(Grupo)
# O livro usou linha 2 da tabela 6.3, mas poderia usar linha 4!
F <- ((1-sqrt(Lambda))/sqrt(Lambda))*(n-g-1)/(g-1)
print(F, 3)[1] 8.2[1] 4[1] 8[1] 7.01[1] TRUEpv <- formatC(1 - pf(F, df1, df2),
format="e", digits=2)
cat("\nF(0.99; ", df1, ", ", df2, ") = ",
round(Fcrit,2), ", F = ", round(F,2),
", p = ", pv, "\n", sep="")
F(0.99; 4, 8) = 7.01, F = 8.2, p = 6.23e-03
One-way MANOVA (Bartlett Chi2)
data: x
Wilks' Lambda = 0.038455, Chi2-Value = 14.662, DF = 4.000, p-value =
0.005456
sample estimates:
X1 X2
1 8 4
2 1 2
3 2 8# rrcov::Wilks.test(x=iris[,1:4],grouping=iris[,5],method="mcd",nrep=1e3)
rrcov::Wilks.test(Grupo~.,
data=x)
One-way MANOVA (Bartlett Chi2)
data: x
Wilks' Lambda = 0.038455, Chi2-Value = 14.662, DF = 4.000, p-value =
0.005456
sample estimates:
X1 X2
1 8 4
2 1 2
3 2 8fit <- lm(cbind(X1,X2) ~ Grupo,
data=x,
na.action="na.omit")
print(car::Anova(fit, test="Wilks"), digits=3)
Type II MANOVA Tests: Wilks test statistic
Df test stat approx F num Df den Df Pr(>F)
Grupo 2 0.0385 8.2 4 8 0.0062 **
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1alfa <- 0.05
print(effectsize::eta_squared(fit,
partial=TRUE,
ci = 1-alfa/2,
alternative = "two.sided"),
digits=4)For one-way between subjects designs, partial eta squared is equivalent
to eta squared. Returning eta squared.
For one-way between subjects designs, partial eta squared is equivalent
to eta squared. Returning eta squared.# Effect Size for ANOVA (Type I)
Response | Parameter | Eta2 | 97.5% CI
------------------------------------------------
X1 | Grupo | 0.8864 | [0.2209, 0.9609]
X2 | Grupo | 0.6667 | [0.0000, 0.8845]Response X1 :
Call:
lm(formula = X1 ~ Grupo, data = x, na.action = "na.omit")
Residuals:
1 2 3 4 5 6 7 8
1 -2 1 -1 1 1 -1 0
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 8.000 0.816 9.80 0.00019 ***
Grupo2 -7.000 1.291 -5.42 0.00289 **
Grupo3 -6.000 1.155 -5.20 0.00348 **
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 1.41 on 5 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.886, Adjusted R-squared: 0.841
F-statistic: 19.5 on 2 and 5 DF, p-value: 0.00435
Response X2 :
Call:
lm(formula = X2 ~ Grupo, data = x, na.action = "na.omit")
Residuals:
1 2 3 4 5 6 7 8
-1.00e+00 -2.00e+00 3.00e+00 2.00e+00 -2.00e+00 5.55e-17 1.00e+00 -1.00e+00
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 4.00 1.26 3.16 0.025 *
Grupo2 -2.00 2.00 -1.00 0.363
Grupo3 4.00 1.79 2.24 0.076 .
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 2.19 on 5 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.667, Adjusted R-squared: 0.533
F-statistic: 5 on 2 and 5 DF, p-value: 0.0642
Type II MANOVA Tests:
Sum of squares and products for error:
X1 X2
X1 10 1
X2 1 24
------------------------------------------
Term: Grupo
Sum of squares and products for the hypothesis:
X1 X2
X1 78 -12
X2 -12 48
Multivariate Tests: Grupo
Df test stat approx F num Df den Df Pr(>F)
Pillai 2 1.541 8.388 4 10 0.00310 **
Wilks 2 0.038 8.199 4 8 0.00623 **
Hotelling-Lawley 2 9.941 7.456 4 6 0.01643 *
Roy 2 8.076 20.191 2 5 0.00403 **
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 X1 X2
X1 10 1
X2 1 24NULLNULLNULL Response X1 :
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
Grupo 2 78 39 19.5 0.00435 **
Residuals 5 10 2
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Response X2 :
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
Grupo 2 48 24.0 5 0.0642 .
Residuals 5 24 4.8
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1print(summary(car::Anova(fit),
univariate=TRUE,
multivariate=FALSE,
p.adjust.method=TRUE), digits=2)
Type II Sums of Squares
df X1 X2
Grupo 2 78 48
residuals 5 10 24
F-tests
X1 X2
Grupo 19.5 5
p-values
X1 X2
Grupo 0.004353 0.064150
p-values adjusted (by term) for simultaneous inference by holm method
X1 X2
Grupo 0.0087061 0.0641500\[\Diamond\]
Exemplo 6.10: Uma análise multivariada dos dados de asilos de idosos em Wisconsin
- \(p=4,\; q=1,\; g=3:\; n_1=271,\; n_2=138,\; n_3=107\)
O número de UE é \(n_1+n_2+n_3=516\).
O Departamento de Saúde e Serviços Sociais de Wisconsin reembolsa os asilos de idosos no estado pelos serviços prestados. O departamento desenvolve um conjunto de fórmulas para taxas para cada instituição, com base em fatores como nível de atendimento, salário médio e salário médio no estado.
Os asilos de idosos podem ser classificados com base na propriedade (particular, organização sem fins lucrativos e governo) e certificação (instalação de enfermagem especializada, instalação de cuidados intermediários ou uma combinação dos dois).
Um dos objetivos de um estudo recente foi investigar os efeitos da propriedade ou certificação (ou ambos) nos custos. Quatro custos, calculados com base no paciente por dia e medidos em horas por dia do paciente, foram selecionados para análise: \(X_1\) = custo da mão-de-obra de enfermagem, \(X_2\) = custo da mão-de-obra dietética, \(X_3\) = custo da mão-de-obra de operação e manutenção da planta, e \(X_4\) = custo da mão-de-obra de limpeza e lavanderia. Um total de \(n = 516\) observações em cada uma das \(p = 4\) variáveis de custo foi inicialmente separado de acordo com a propriedade.
\[ n_1 = 271, \quad n_2 = 138, \quad n_3 = 107 \]
\[ \bar{\mathbf{x}}_1 = \begin{bmatrix} 2.066 \\ 0.480 \\ 0.082 \\ 0.360 \\ \end{bmatrix} \quad \bar{\mathbf{x}}_2 = \begin{bmatrix} 2.167 \\ 0.596 \\ 0.124 \\ 0.418 \\ \end{bmatrix} \quad \bar{\mathbf{x}}_3 = \begin{bmatrix} 2.273 \\ 0.521 \\ 0.125 \\ 0.383 \\ \end{bmatrix} \]
Média geral ponderada:
\[ \bar{\mathbf{x}} = \dfrac{n_1 \bar{\mathbf{x}}_1 + n_2 \bar{\mathbf{x}}_2 + n_3 \bar{\mathbf{x}}_3}{n} \]
O cálculo de \(\mathbf{B}\) necessita apenas dos dados brutos, mas dos tamanhos e médias dos grupos.
A matriz \(B\) é a matriz de somas de quadrados e produtos cruzados entre os grupos (tratamentos) e é calculada como:
\[ \begin{align} \mathbf{B} &= n_1 (\bar{\mathbf{x}}_1 - \bar{\mathbf{x}})(\bar{\mathbf{x}}_1 - \bar{\mathbf{x}})^{\prime} + n_2 (\bar{\mathbf{x}}_2 - \bar{\mathbf{x}})(\bar{\mathbf{x}}_2 - \bar{\mathbf{x}})^{\prime} + n_3 (\bar{\mathbf{x}}_3 - \bar{\mathbf{x}})(\bar{\mathbf{x}}_3 - \bar{\mathbf{x}})^{\prime}\\ \mathbf{B} &= \begin{bmatrix} 3.4688 & 1.0986 & 0.8107 & 0.5860 \\ 1.0986 & 1.2307 & 0.4500 & 0.6157 \\ 0.8107 & 0.4500 & 0.2318 & 0.2311 \\ 0.5860 & 0.6157 & 0.2311 & 0.3086 \\ \end{bmatrix} \end{align} \]
Como as \(\mathbf{s}_\ell\) parecem ser razoavelmente compatíveis, elas foram agrupadas [veja (6-41)] para obter:
\[ \mathbf{W} = (n_1 - 1)\mathbf{s}_1 + (n_2 - 1)\mathbf{s}_2 + (n_3 - 1)\mathbf{s}_3 \]
\[ \begin{align} \mathbf{s}_1 &= \begin{bmatrix} 0.291 & -0.001 & 0.002 & 0.010 \\ -0.001 & 0.011 & 0.000 & 0.003 \\ 0.002 & 0.000 & 0.001 & 0.000 \\ 0.010 & 0.003 & 0.000 & 0.010 \\ \end{bmatrix} \\ \mathbf{s}_2 &= \begin{bmatrix} 0.561 & 0.011 & 0.001 & 0.037 \\ 0.011 & 0.025 & 0.004 & 0.007 \\ 0.001 & 0.004 & 0.005 & 0.002 \\ 0.037 & 0.007 & 0.002 & 0.019 \\ \end{bmatrix} \\ \mathbf{s}_3 &= \begin{bmatrix} 0.261 & 0.030 & 0.003 & 0.018 \\ 0.030 & 0.017 & -0.000 & 0.006 \\ 0.003 & -0.000 & 0.004 & 0.001 \\ 0.018 & 0.006 & 0.001 & 0.013 \\ \end{bmatrix} \end{align} \]
\[ \mathbf{W} = \begin{bmatrix} 183.093 & 4.417 & 0.995 & 9.677 \\ 4.417 & 8.197 & 0.548 & 2.405 \\ 0.995 & 0.548 & 1.379 & 0.380 \\ 9.677 & 2.405 & 0.380 & 6.681 \\ \end{bmatrix} \]
Para testar \(H_0: \boldsymbol{\tau}_1 = \boldsymbol{\tau}_2 = \boldsymbol{\tau}_3=\mathbf{0}\) (sem efeitos de propriedade ou, equivalentemente, sem diferença nos custos médios entre os três tipos de proprietários - privado, sem fins lucrativos e governo), podemos usar o resultado na Tabela 6.3 para \(g = 3\). Então, \(\Lambda^{*}=0.76\).
No entanto, um teste de teoria normal de \(H_0: \mathbf{\Sigma}_1 = \mathbf{\Sigma}_2 = \mathbf{\Sigma}_3\) rejeitaria \(H_0\) em qualquer nível de significância razoável devido aos grandes tamanhos de amostra (veja o Exemplo 6.12).
É informativo comparar os resultados com base no teste “exato” com aqueles obtidos usando o procedimento de grande amostra resumido em (6-43) e (6-44). Para o exemplo atual, \(n - p - g = 516 - 4 - 3 = 509 \ge 30\), e \(H_0\) pode ser testado no nível \(\alpha = 0.01\) comparando
\[ X^2=-\left(n - 1 - \dfrac{p + g}{2}\right)\ln\left(\Lambda^{\ast}\right) = -511.5 \ln(0.7714) = 138.52 \]
com \(\chi^2_{p(g-1)}(1-\alpha) = \chi^2_8(0.99) = 20.09\). Como \(138.52 > 20.09\), rejeitamos \(H_0\) no nível de 1%.
- Sem dados brutos:
JW6_Example6.10.R
suppressMessages(suppressWarnings(
invisible(Sys.setlocale("LC_ALL", "pt_BR.UTF-8"))))
n1 <- 271
n2 <- 138
n3 <- 107
n <- n1 + n2 + n3
x_bar_1 <- c(2.066, 0.480, 0.082, 0.360)
x_bar_2 <- c(2.167, 0.596, 0.124, 0.418)
x_bar_3 <- c(2.273, 0.521, 0.125, 0.383)
x_bar <- (n1*x_bar_1+n2*x_bar_2+n3*x_bar_3)/n
print(x_bar, 2)[1] 2.14 0.52 0.10 0.38s1 <- matrix(c( 0.291, -0.001, 0.002, 0.010,
-0.001, 0.011, 0.000, 0.003,
0.002, 0.000, 0.001, 0.000,
0.010, 0.003, 0.000, 0.010), nrow=4, byrow=TRUE)
s2 <- matrix(c(0.561, 0.011, 0.001, 0.037,
0.011, 0.025, 0.004, 0.007,
0.001, 0.004, 0.005, 0.002,
0.037, 0.007, 0.002, 0.019), nrow=4, byrow=TRUE)
s3 <- matrix(c(0.261, 0.030, 0.003, 0.018,
0.030, 0.017, -0.000, 0.006,
0.003, -0.000, 0.004, 0.001,
0.018, 0.006, 0.001, 0.013), nrow=4, byrow=TRUE)
B <- n1*tcrossprod(x_bar_1 - x_bar) +
n2*tcrossprod(x_bar_2 - x_bar) +
n3*tcrossprod(x_bar_3 - x_bar)
print(B, 2) [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 3.47 1.10 0.81 0.59
[2,] 1.10 1.23 0.45 0.62
[3,] 0.81 0.45 0.23 0.23
[4,] 0.59 0.62 0.23 0.31 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 183.1 4.42 1.00 9.68
[2,] 4.4 8.20 0.55 2.41
[3,] 1.0 0.55 1.38 0.38
[4,] 9.7 2.41 0.38 6.68p <- length(x_bar)
n_k <- c(n1, n2, n3)
x_bar_k <- list(x_bar_1, x_bar_2, x_bar_3)
s_k <- list(s1, s2, s3)
B <- matrix(0, p, p)
for (k in seq_along(n_k)) {
d <- as.numeric(x_bar_k[[k]] - x_bar)
d <- matrix(d, ncol = 1)
B <- B + n_k[k] * tcrossprod(d)
}
print(B, 2) [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 3.47 1.10 0.81 0.59
[2,] 1.10 1.23 0.45 0.62
[3,] 0.81 0.45 0.23 0.23
[4,] 0.59 0.62 0.23 0.31 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 183.1 4.42 1.00 9.68
[2,] 4.4 8.20 0.55 2.41
[3,] 1.0 0.55 1.38 0.38
[4,] 9.7 2.41 0.38 6.68[1] 0.76[1] 18.49[1] 8[1] 1020[1] 2.53[1] TRUE[1] "0.00e+00"cat("\nF(0.99; ", df1, ", ", df2, ") = ",
round(Fcrit,2), ", F = ", round(F,2),
", p = ", p_value, "\n", sep="")
F(0.99; 8, 1020) = 2.53, F = 18.49, p = 0.00e+00[1] 2.51cat("\nTCL: F(0.99; ", df1, ", ", df2, ") = ",
round(X2crit,2), ", F = ", round(F,2),
", p = ", p_value, "\n", sep="")
TCL: F(0.99; 8, 1020) = 2.51, F = 18.49, p = 0.00e+00[1] 138.5[1] 20.1[1] TRUE[1] "0.00e+00"cat("\nTCL (lambda de Wilks): X^2(0.99; ", df, ") = ",
round(X2crit,2), ", X2 = ", round(X2,2),
", p = ", p_value, "\n", sep="")
TCL (lambda de Wilks): X^2(0.99; 8) = 20.09, X2 = 138.52, p = 0.00e+00\[\Diamond\]
Intervalos de Confiança Simultâneos para Efeitos de Tratamento
Quando a hipótese de efeitos de tratamento iguais é rejeitada, os efeitos que levaram à rejeição da hipótese são de interesse. Para comparações aos pares, a abordagem de Bonferroni (veja a Seção 5.4) pode ser usada para construir intervalos de confiança simultâneos para os componentes das diferenças \(\boldsymbol{\tau}_k - \boldsymbol{\tau}_\ell\) (ou \(\boldsymbol{\mu}_k - \boldsymbol{\mu}_\ell\)). Esses intervalos são mais curtos do que os obtidos para todos os contrastes e requerem valores críticos apenas para a estatística t univariada.
Seja \(\tau_{ki}\) o i-ésimo componente de \(\boldsymbol{\tau}_k\). Uma vez que \(\boldsymbol{\tau}_k\) é estimado por \(\hat{\boldsymbol{\tau}}_k = \bar{\mathbf{x}}_k - \bar{\mathbf{x}}\),
\[ \hat{\tau}_{ki} = \bar{x}_{ki} - \bar{x}_{i} \]
em que \(\hat{\tau}_{ki} - \hat{\tau}_{\ell i} = \bar{x}_{ki}-\bar{x}_{\ell i}\) é a diferença entre duas médias amostrais independentes. O intervalo de confiança t é válido com um \(\alpha\) apropriadamente modificado. Observe que:
\[ \mathbb{V}\left(\hat{\tau}_{ki} - \hat{\tau}_{\ell i} \right) = \mathbb{V}\left(\overline{X}_{ki} - \overline{X}_{\ell i} \right) = \left(\dfrac{1}{n_k}+\dfrac{1}{n_\ell}\right)\sigma_{ii} \]
Como sugerido por (6-41), \(\mathbb{V}\left(\overline{X}_{ki} - \overline{X}_{\ell i} \right)\) é estimado dividindo-se o elemento correspondente de \(\mathbf{W}\) por seus graus de liberdade. Ou seja,
\[ \widehat{\mathbb{V}}\left(\overline{X}_{ki} - \overline{X}_{\ell i} \right)=\left(\dfrac{1}{n_k}+\dfrac{1}{n_\ell}\right)\dfrac{w_{ii}}{n-g} \]
em que \(w_{ii}\) é o i-ésimo elemento diagonal de \(\mathbf{W}\) e \(n = \sum_{\ell = 1}^{g}{n_\ell}\).
Ainda resta distribuir a probabilidade do erro do tipo I global entre as diversos intervalos de confiança. A relação (5-28) ainda se aplica.
Existem \(p\) variáveis e \(\frac{g(g - 1)}{2}\) diferenças aos pares, então cada intervalo t empregará o valor crítico \(t_{n-g}(\frac{\alpha}{2m})\), em que
\[ m =p\binom{g}{2}=p\dfrac{g(g - 1)}{2} \tag{6-46} \]
é o número de intervalos de confiança simultâneos.
Resultado 6.5. Seja \(n = \sum_{\ell = 1}^{g}{n_\ell}\). Para o modelo em (6-38), com confiança de pelo menos \((1-\alpha)\),
\[ \text{IC}^{1-\alpha}\left(\tau_{kl} - \tau_{\ell i}\right)=\left[ \bar{x}_{ki} - \bar{x}_{\ell i} \pm t_{n-g}\left(\dfrac{1-\alpha}{pg(g-1)}\right) \sqrt{\left(\dfrac{1}{n_k} + \dfrac{1}{n_\ell}\right)\dfrac{w_{ii}}{n-g}}\right] \]
para todos os componentes \(i = 1, 2, \dots, p\) e todas as diferenças \(\ell < k = 1, 2, \dots, g\). Aqui \(w_{ii}\) é o i-ésimo elemento diagonal de \(\mathbf{W}\).
Ilustraremos a construção de intervalo de confiança simultâneos para as diferenças aos pares nas médias de tratamento usando os dados de asilos de enfermagem introduzidos no Exemplo 6.10.
Exemplo 6.11: Intervalos simultâneos para diferenças de tratamento - asilos de enfermagem
Vimos no Exemplo 6.10 que os custos médios para asilos de enfermagem diferem, dependendo do tipo de propriedade. Podemos usar o Resultado 6.5 para estimar as magnitudes das diferenças. Uma comparação da variável \(X_3\), custos de operação e mão de obra de manutenção, entre asilos de enfermagem de propriedade privada e asilos de enfermagem de propriedade do governo pode ser feita estimando \(\tau_{13} - \tau_{33}\). Usando (6-39) e as informações no Exemplo 6.10, temos:
\[ \hat{\boldsymbol{\tau}}_1 = \bar{\mathbf{x}}_1 - \bar{\mathbf{x}} = \begin{bmatrix} -0.070 \\ -0.039 \\ -0.020 \\ -0.020 \end{bmatrix} \]
\[ \hat{\boldsymbol{\tau}}_3 = \bar{\mathbf{x}}_3 - \bar{\mathbf{x}} = \begin{bmatrix} 0.137 \\ 0.002 \\ 0.023 \\ 0.003 \end{bmatrix} \]
\[ \mathbf{W} = \begin{bmatrix} 183.093 & 4.417 & 0.995 & 9.677 \\ 4.417 & 8.197 & 0.548 & 2.405 \\ 0.995 & 0.548 & 1.379 & 0.380 \\ 9.677 & 2.405 & 0.380 & 6.681 \\ \end{bmatrix} \]
Consequentemente,
\[ \hat{\tau}_{13} -\hat{\tau}_{33} = -0.020 - 0.023 = -0.043 \]
e \(n = 271 + 138 + 107 = 516\), de forma que
\[ \sqrt{\left(\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_3}\right)\dfrac{w_{33}}{n - g}} = \sqrt{\left(\dfrac{1}{271} + \dfrac{1}{107}\right)\dfrac{1.484}{516 - 3}} = 0.00614 \]
Uma vez que \(p = 4\) e \(g= 3\), para intervalos de confiança simultâneos de 95%, exigimos que \(t_{513}(0.05/4(3)2) \approx 2.87\). (Consulte o Apêndice, Tabela 1.) O intervalo de confiança simultâneo de 95% é
\[ \begin{align} \text{IC}^{1-0.00208} \left(\tau_{13} - \tau_{33}\right)&= \left[\hat{\tau}_{13} - \hat{\tau}_{33} \pm t_{513}(1-0.00208)\sqrt{\left(\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_3}\right)\dfrac{n}{n - g}}\right]\\ \text{IC}^{1-0.00208} \left(\tau_{13} - \tau_{33}\right)&= [-0.061, -0.025] \end{align} \]
Concluímos que o custo médio de manutenção e mão de obra para asilos de enfermagem de propriedade do governo é maior em .025 a .061 hora por dia por paciente do que para asilos de enfermagem de propriedade privada. Com a mesma confiança de 95%, podemos dizer que
\[ \text{IC}^{1-0.00208}\left(\tau_{13} - \tau_{23}\right)=[-.058, -.026] \]
e
\[ \text{IC}^{1-0.00208}\left(\tau_{23} - \tau_{33}\right)=[-.021, .019) \]
Assim, existe uma diferença neste custo entre asilos de enfermagem privados e sem fins lucrativos, mas não se observa diferença entre asilos de enfermagem sem fins lucrativos e de propriedade do governo.
suppressMessages(suppressWarnings(
invisible(Sys.setlocale("LC_ALL", "pt_BR.UTF-8"))))
# Dados
x_bar_1 <- c(-0.070, -0.039, -0.020, -0.020)
x_bar_3 <- c(0.137, 0.002, 0.023, 0.003)
W <- matrix(c(183.093, 4.417, 0.995, 9.677,
4.417, 8.197, 0.548, 2.405,
0.995, 0.548, 1.379, 0.380,
9.677, 2.405, 0.380, 6.681),
nrow=4, byrow=TRUE)
w33 <- W[3,3]
n1 <- 271
n2 <- 138
n3 <- 107
n <- n1 + n2 + n3
g <- 3
p <- length(x_bar_1)
# Cálculos
tau_13 <- x_bar_1[3]
tau_33 <- x_bar_3[3]
tau_13_minus_tau_33 <- tau_13 - tau_33
error_term <- sqrt((1/n1 + 1/n3) * w33 / (n - g))
m <- p*g*(g-1)/2
m[1] 12[1] 2.88confidence_interval <- c(tau_13_minus_tau_33 - t_value * error_term,
tau_13_minus_tau_33 + t_value * error_term)
# Resultados
cat("IC", round(1-alfa/(2*m),4)*100, "% (tau_13 - tau_33) = [",
round(confidence_interval[1], 3), ", ", round(confidence_interval[2], 3), "]", sep="")IC99.79% (tau_13 - tau_33) = [-0.06, -0.026]\[\Diamond\]
Testando a Igualdade das Matrizes de Covariância
Uma das suposições feitas ao comparar dois ou mais vetores médios multivariados é que as matrizes de covariância das potenciais diferentes populações são as mesmas (homocedasticidade multivariada). (Esta suposição aparecerá novamente no Capítulo 11 quando discutirmos discriminação e classificação.) Antes de agrupar a variação entre amostras para formar uma matriz de covariância agrupada ao comparar vetores de média, pode ser útil testar a igualdade das matrizes de covariância da população. Um teste comumente empregado para matrizes de covariância iguais é o teste M de Box ([8], [9]).
Com \(g\) populações, as hipótese nula e alternativa são:
\[ \begin{cases} H_0: \mathbf{\Sigma}_1 = \mathbf{\Sigma}_2 = \cdots = \mathbf{\Sigma}_g = \mathbf{\Sigma}\\ H_1:\; \exists\; i \neq j \;|\; \mathbf{\Sigma}_i \neq \mathbf{\Sigma}_j \end{cases}\\ \alpha=5\% \tag{6-47} \]
em que \(\mathbf{\Sigma}_\ell\) é a matriz de covariância para a \(\ell\)-ésima população, \(\ell = 1, 2, \cdots, g\), e \(\mathbf{\Sigma}\) é a matriz de covariância comum presumida. A hipótese alternativa é que pelo menos duas das matrizes de covariância não são iguais.
Assumindo populações multinormais, uma estatística de razão de verossimilhança para testar (6-47) é dada por (veja [1])
\[ \Lambda=\prod_{\ell = 1}^{g}{\left(\dfrac{|\mathbf{S}_\ell|}{|\mathbf{S}_\text{comb}|}\right)^{\frac{n_\ell -1}{2}}} \tag{6-48} \]
Aqui \(n_\ell\) é o tamanho da amostra para o \(\ell\)-ésimo grupo, \(\mathbf{S}_\ell\) é a matriz de covariância amostral do \(\ell\)-ésimo grupo e \(\mathbf{S}_{\text{comb}}\) é a matriz de covariância da amostra combinada dada por
\[ \mathbf{S}_{\text{comb}} = \dfrac{1}{\sum_{\ell =1}^{g}{(n_\ell -1)}} \sum_{\ell =1}^{g}{(n_\ell -1)\mathbf{S}_\ell} \tag{6-49} \]
O teste M de Box é baseado em sua aproximação \(\chi^2\) para a distribuição amostral de \(-2 \ln \Lambda\) (veja Resultado 5.2).
Definindo \(-2 \ln \Lambda = M\) (estatística M de Box), temos:
\[ M = \sum_{\ell =1}^{g} {(n_\ell - 1)} \ln \left(|\mathbf{S}_{\text{comb}}|\right) - \sum_{\ell =1}^{g} {(n_\ell - 1) \ln \left(|\mathbf{S}_\ell|\right)} \tag{6-50} \]
Se a hipótese nula for verdadeira, não se espera que as matrizes de covariância amostral individuais difiram muito e, consequentemente, não difiram muito da matriz de covariância combinada. Nesse caso, a razão dos determinantes em (6-48) estará próxima de 1, \(\Lambda\) estará próximo de 1 e a estatística M de Box será pequena. Se a hipótese nula for falsa, as matrizes de covariância amostral podem diferir mais e as diferenças em seus determinantes serão mais pronunciadas. Neste caso, \(\Lambda\) será pequeno e M será relativamente grande. Para ilustrar, observe que o determinante da matriz de covariância combinada, \(|\mathbf{S}_{\text{comb}}|\), estará em algum lugar próximo ao “meio” dos determinantes \(|\mathbf{S}_\ell|\) das matrizes de covariância do grupo individual. À medida que essas quantidades se tornam mais distintas, o produto das razões em (6-44) se aproxima de 0. De fato, à medida que os \(|\mathbf{S}_\ell|\) aumentam em dispersão, \(|\mathbf{S}_{(1)}|/|\mathbf{S}_{\text{comb}}|\) reduz o produto proporcionalmente mais do que \(|\mathbf{S}_{(g)}|/|\mathbf{S}_{\text{comb}}|\) o aumenta, em que \(|\mathbf{S}_{(1)}|\) e \(|\mathbf{S}_{(g)}|\) são os valores determinantes mínimo e máximo, respectivamente.
Teste M de Box para Igualdade de Matrizes de Covariância
Seja
\[ u=\left(\sum_{\ell = 1}^{g}{\dfrac{1}{n_\ell - 1}}-\dfrac{1}{\sum_{\ell = 1}^{g}{n_\ell - 1}}\right)\dfrac{2p^2+3p-1}{6(p+1)(g-1)} \tag{6-51} \]
em que \(p\) é o número de variáveis e \(g\) é o número de grupos.
Então
\[ C = (1-u)M \underset{a}{\sim}\chi^2_{p(p + 1)(g - 1)/2} \tag{6-52} \]
No nível de significância \(\alpha\), rejeitar \(H_0\) se \(C > \chi^2_{p(p + 1)(g - 1)/2}(1-\alpha)\).
A aproximação de M de Box funciona bem se cada \(n_\ell - p - g>20\) e se \(p \le 5\) e \(g \le 5\). Em situações em que essas condições não se mantêm, Box ([7],[8]) forneceu uma aproximação \(F\) mais precisa para a distribuição amostral de M de Box.
Exemplo 6.12: Testando a igualdade das matrizes de covariância - asilos de enfermagem
Introduzimos os dados de asilos de enfermagem de Wisconsin no Exemplo 6.10. Naquele exemplo, as matrizes de covariância amostral para \(p = 4\) variáveis de custo associadas com \(g = 3\) grupos de asilos de enfermagem são exibidas. Supondo dados multinormais, testamos a hipótese \(H_0: \mathbf{\Sigma}_1 = \mathbf{\Sigma}_2=\mathbf{\Sigma}_3=\mathbf{\Sigma}\).
Usando as informações do Exemplo 6.10, temos \(n_1 = 271\), \(n_2 = 138\), \(n_3 = 107\) e \(|\mathbf{s}_1| = 2.783 \times 10^{-8}\), \(|\mathbf{s}_2| = 89.539 \times 10^{-8}\), \(|\mathbf{s}_3| = 14.579 \times 10^{-8}\), e \(|\mathbf{s}_{\text{pooled}}| = 17.398 \times 10^{-8}\). Tomando os logaritmos naturais dos determinantes, obtemos:
\[ \ln (|\mathbf{s}_1|) = -17.397, \quad \ln (|\mathbf{s}_2|) = -13.926, \quad \ln (|\mathbf{s}_3|) = -15.741\\ \ln (|\mathbf{s}_{\text{comb}}|) = -15.564 \]
Calculamos
\[ \begin{align} u &= 0.0133\\ M &= (270 + 137 + 106)(-15.564) - (270(-17.397) + 137(-13.926) + 106(-15.741)) \\ M&= 244.15 \end{align} \]
e
\[ C = (1 - 0.0133) \times 244.15 = 240.76 \]
Com \(C=240.76\) e \(\nu = 4(4 + 1)(3 - 1)/2 = 20\) graus de liberdade, fica claro que \(H_0\) é rejeitado em qualquer nível razoável de significância. Concluímos que as matrizes de covariância das variáveis de custo associadas com as três populações de asilos de enfermagem não são as mesmas (heterocedasticidade multivariada).
suppressMessages(suppressWarnings(
invisible(Sys.setlocale("LC_ALL", "pt_BR.UTF-8"))))
# Definindo as matrizes e tamanhos das amostras
n1 <- 271
n2 <- 138
n3 <- 107
n <- n1+n2+n3
s1 <- matrix(c(0.291, -0.001, 0.002, 0.010,
-0.001, 0.011, 0.000, 0.003,
0.002, 0.000, 0.001, 0.000,
0.010, 0.003, 0.000, 0.010), nrow=4, byrow=TRUE)
s2 <- matrix(c(0.561, 0.011, 0.001, 0.037,
0.011, 0.025, 0.004, 0.007,
0.001, 0.004, 0.005, 0.002,
0.037, 0.007, 0.002, 0.019), nrow=4, byrow=TRUE)
s3 <- matrix(c(0.261, 0.030, 0.003, 0.018,
0.030, 0.017, -0.000, 0.006,
0.003, -0.000, 0.004, 0.001,
0.018, 0.006, 0.001, 0.013), nrow=4, byrow=TRUE)
# Definindo p e g
p <- 4
g <- 3
# Calculando a matriz de covariância combinada
s_pooled <- ((n1 - 1)*s1 + (n2 - 1)*s2 + (n3 - 1)*s3) / (n - g)
# Calculando M
u <- (1/(n1-1)+1/(n2-1)+1/(n3-1)-1/(n - g))*
(2*p^2 + 3*p + 1) / (6*(p + 1)*(g - 1))
print(u, 2)[1] 0.014M <- (n-g)*log(det(s_pooled)) -
((n1-1)*log(det(s1)) + (n2-1)*log(det(s2)) + (n3-1)*log(det(s3)))
print(M, 4)[1] 244.1[1] 240.8[1] TRUEpv <- formatC(1 - pchisq(C, df),
format="e", digits=2)
cat("X^2(95%; ", df, ") = ", round(X2crit,2),
", X^2 = ", round(C,2), ", p = ", pv, sep="")X^2(95%; 20) = 31.41, X^2 = 240.76, p = 0.00e+00\[\Diamond\]
O teste M de Box é rotineiramente calculado em muitos pacotes de computação estatística que realizam MANOVA e outros procedimentos que requerem matrizes de covariância iguais. É conhecido que o teste M é sensível a algumas formas de não-normalidade. De forma mais ampla, na presença de não-normalidade, testes de teoria normal em covariâncias são influenciados pela curtose das populações originais (veja [16]). No entanto, com amostras suficientemente grandes, os testes MANOVA de médias ou efeitos de tratamento são bastante robustos à não-normalidade e também funciona o teorema central do limite que permite distribuições multivariadas distintas e eventualmente heterocedásticas nos \(g\) grupos. Assim, o teste M pode rejeitar \(H_0\) em alguns casos de não-normalidade, onde não é prejudicial para os testes MANOVA. Além disso, com tamanhos de amostra iguais (balanceamento perfeito), algumas diferenças nas matrizes de covariância têm pouco efeito nos testes MANOVA. Em resumo, podemos decidir continuar com os testes MANOVA usuais, mesmo que o teste M leve à rejeição de \(H_0\).
Teste Post Hoc da MANOVA Unifatorial Independente
Conforme Grice & Iwasaki (2007), a maneira incorreta de fazer o teste post hoc é realizar uma ANOVA para cada medida.
“Resumo: Muitos pesquisadores realizam uma Análise Multivariada de Variância (MANOVA) em seus dados, mas não reconhecem plenamente a natureza verdadeiramente multivariada de seus efeitos. O erro mais comum é seguir a MANOVA com análises univariadas das variáveis dependentes. Uma das causas desse erro é a falta de materiais pedagógicos claros para identificar e testar os efeitos multivariados obtidos na análise. Este artigo revisa as diferenças fundamentais entre MANOVA e ANOVA univariada e apresenta um conjunto coerente de métodos para explorar a natureza multivariada de um conjunto de dados. Um exemplo completo, com dados reais, é fornecido, incluindo estimativas de tamanho de efeito e intervalos de confiança. Também é apresentada uma seção de resultados de exemplo, redigida segundo o estilo técnico da American Psychological Association. Diversas questões relativas aos métodos atuais também são discutidas.”
Dados <- iris
fit <- lm(cbind(Sepal.Length, Sepal.Width,
Petal.Length, Petal.Width) ~ Species,
data=Dados)
print(car::Anova(fit))
Type II MANOVA Tests: Pillai test statistic
Df test stat approx F num Df den Df Pr(>F)
Species 2 1.1919 53.466 8 290 < 2.2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Response Sepal.Length :
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
Species 2 63.212 31.606 119.26 < 2.2e-16 ***
Residuals 147 38.956 0.265
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Response Sepal.Width :
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
Species 2 11.345 5.6725 49.16 < 2.2e-16 ***
Residuals 147 16.962 0.1154
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Response Petal.Length :
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
Species 2 437.10 218.551 1180.2 < 2.2e-16 ***
Residuals 147 27.22 0.185
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Response Petal.Width :
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
Species 2 80.413 40.207 960.01 < 2.2e-16 ***
Residuals 147 6.157 0.042
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Teste MANOVA omnibus
Implementado em demo_MANOVA_iris.R:
Warning in readLines("demo_MANOVA_iris.R"): linha final incompleta encontrada
em 'demo_MANOVA_iris.R'suppressMessages(suppressWarnings(
invisible(Sys.setlocale("LC_ALL", "pt_BR.UTF-8"))))
Dados <- datasets::iris
print(summary(Dados, digits =2))
result <- try(MVN::mvn(data = Dados,
subset="Species",
univariate_test="SW"))
print(result$multivariate_normality)
print(result$univariate_normality)
print(res <- heplots::boxM(Dados[-5], Dados[,"Species"]))
plot(res, main="Iris")
alfa <- 0.05
fit_lm <- lm(data=Dados,
cbind(Sepal.Length,
Sepal.Width,
Petal.Length,
Petal.Width) ~ Species)
print(anv_lm <- car::Anova(fit_lm,
univariate=FALSE,
multivariate=TRUE,
test="Pillai"),
digits=3)
eta2 <- effectsize::eta_squared(anv_lm,
partial=TRUE,
generalized=FALSE,
ci=1-alfa,
alternative="two.sided",
verbose=TRUE)
eta2$interpret <- effectsize::interpret_eta_squared(eta2$Eta2)
print(eta2, digits=2)
g <- nlevels(Dados$Species)
alfaBonf <- alfa/g
# p = 2, g = 3
setosa <- subset(x=Dados,
subset=Species=="setosa",
select=c(Sepal.Length, Sepal.Width))
n <- nrow(setosa)
p <- ncol(setosa)
centroide <- colMeans(setosa)
s <- cov(setosa)
T2crit <- ((n-1)*p/(n-p))*qf(p=1-alfaBonf, df1=p, df2=n-p)
c <- sqrt(T2crit/n)
car::ellipse(center=centroide,
shape=s,
radius=c,
fill=TRUE,
fill.alpha=0.05,
col="black",
add=FALSE,
lwd=1,
grid=FALSE,
xlim=c(4.5,7),
ylim=c(2.5,3.7),
xlab=expression(mu[SL]),
ylab=expression(mu[SW]),
main="Região elíptica de confiança de 95% Bonferroni")
text(centroide[1],centroide[2], pos=2, expression(bar(x)[setosa]), col="black")
versicolor <- subset(x=Dados,
subset=Species=="versicolor",
select=c(Sepal.Length, Sepal.Width))
n <- nrow(versicolor)
p <- ncol(versicolor)
centroide <- colMeans(versicolor)
s <- cov(versicolor)
T2crit <- ((n-1)*p/(n-p))*qf(p=1-alfaBonf, df1=p, df2=n-p)
c <- sqrt(T2crit/n)
car::ellipse(center=centroide,
shape=s,
radius=c,
fill=TRUE,
fill.alpha=0.05,
col="black",
lwd=1,
add=TRUE)
text(centroide[1],centroide[2], pos=2, expression(bar(x)[versicolor]), col="black")
virginica <- subset(x=Dados,
subset=Species=="virginica",
select=c(Sepal.Length, Sepal.Width))
n <- nrow(virginica)
p <- ncol(virginica)
centroide <- colMeans(virginica)
s <- cov(virginica)
T2crit <- ((n-1)*p/(n-p))*qf(p=1-alfaBonf, df1=p, df2=n-p)
c <- sqrt(T2crit/n)
car::ellipse(center=centroide,
shape=s,
radius=c,
fill=TRUE,
fill.alpha=0.05,
col="black",
lwd=1,
add=TRUE)
text(centroide[1],centroide[2], pos=2, expression(bar(x)[virginica]), col="black")
# p = 3, g = 3
setosa <- subset(x=Dados,
subset=Species=="setosa",
select=c(Sepal.Length, Sepal.Width, Petal.Length))
n <- nrow(setosa)
p <- ncol(setosa)
centroide <- colMeans(setosa)
s <- cov(setosa)
T2crit <- ((n-1)*p/(n-p))*qf(p=1-alfaBonf, df1=p, df2=n-p)
c <- sqrt(T2crit/n)
rgl::aspect3d(1,1,1)
c <- sqrt(T2crit/n)
rgl::plot3d(rgl::ellipse3d(x=s,
centre=centroide,
level=1-alfaBonf,
t=c),
aspect=TRUE,
xlab=expression(mu[SL]),
ylab=expression(mu[SW]),
zlab=expression(mu[PL]),
col="lightgray",
box=FALSE,
alpha=0.3,
add=FALSE)
rgl::points3d(centroide, size=5, color="black")
rgl::text3d(centroide, texts="setosa", adj=1.2, cex=1)
versicolor <- subset(x=Dados,
subset=Species=="versicolor",
select=c(Sepal.Length, Sepal.Width, Petal.Length))
n <- nrow(versicolor)
p <- ncol(versicolor)
centroide <- colMeans(versicolor)
s <- cov(versicolor)
T2crit <- ((n-1)*p/(n-p))*qf(p=1-alfaBonf, df1=p, df2=n-p)
c <- sqrt(T2crit/n)
rgl::aspect3d(1,1,1)
c <- sqrt(T2crit/n)
rgl::plot3d(rgl::ellipse3d(x=s,
centre=centroide,
level=1-alfaBonf,
t=c),
aspect=TRUE,
xlab=expression(mu[SL]),
ylab=expression(mu[SW]),
zlab=expression(mu[PL]),
col="lightgray",
box=FALSE,
alpha=0.3,
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rgl::points3d(centroide, size=5, color="black")
rgl::text3d(centroide, texts="versicolor", adj=1.2, cex=1)
virginica <- subset(x=Dados,
subset=Species=="virginica",
select=c(Sepal.Length, Sepal.Width, Petal.Length))
n <- nrow(virginica)
p <- ncol(virginica)
centroide <- colMeans(virginica)
s <- cov(virginica)
T2crit <- ((n-1)*p/(n-p))*qf(p=1-alfaBonf, df1=p, df2=n-p)
c <- sqrt(T2crit/n)
rgl::aspect3d(1,1,1)
c <- sqrt(T2crit/n)
rgl::plot3d(rgl::ellipse3d(x=s,
centre=centroide,
level=1-alfaBonf,
t=c),
aspect=TRUE,
xlab=expression(mu[SL]),
ylab=expression(mu[SW]),
zlab=expression(mu[PL]),
col="lightgray",
box=FALSE,
alpha=0.3,
add=TRUE)
rgl::points3d(centroide, size=5, color="black")
rgl::text3d(centroide, texts="virginica", adj=1.2, cex=1)
rgl::rglwidget() Sepal.Length Sepal.Width Petal.Length Petal.Width Species
Min. :4.3 Min. :2.0 Min. :1.0 Min. :0.1 setosa :50
1st Qu.:5.1 1st Qu.:2.8 1st Qu.:1.6 1st Qu.:0.3 versicolor:50
Median :5.8 Median :3.0 Median :4.3 Median :1.3 virginica :50
Mean :5.8 Mean :3.1 Mean :3.8 Mean :1.2
3rd Qu.:6.4 3rd Qu.:3.3 3rd Qu.:5.1 3rd Qu.:1.8
Max. :7.9 Max. :4.4 Max. :6.9 Max. :2.5
Group Test Statistic p.value MVN
1 setosa Henze-Zirkler 0.949 0.050 ✗ Not normal
2 versicolor Henze-Zirkler 0.839 0.226 ✓ Normal
3 virginica Henze-Zirkler 0.757 0.497 ✓ Normal
Group Test Variable Statistic p.value Normality
1 setosa Shapiro-Wilk Sepal.Length 0.978 0.46 ✓ Normal
2 setosa Shapiro-Wilk Sepal.Width 0.972 0.272 ✓ Normal
3 setosa Shapiro-Wilk Petal.Length 0.955 0.055 ✓ Normal
4 setosa Shapiro-Wilk Petal.Width 0.800 <0.001 ✗ Not normal
5 versicolor Shapiro-Wilk Sepal.Length 0.978 0.465 ✓ Normal
6 versicolor Shapiro-Wilk Sepal.Width 0.974 0.338 ✓ Normal
7 versicolor Shapiro-Wilk Petal.Length 0.966 0.158 ✓ Normal
8 versicolor Shapiro-Wilk Petal.Width 0.948 0.027 ✗ Not normal
9 virginica Shapiro-Wilk Sepal.Length 0.971 0.258 ✓ Normal
10 virginica Shapiro-Wilk Sepal.Width 0.967 0.181 ✓ Normal
11 virginica Shapiro-Wilk Petal.Length 0.962 0.11 ✓ Normal
12 virginica Shapiro-Wilk Petal.Width 0.960 0.087 ✓ Normal
Box's M-test for Homogeneity of Covariance Matrices
data: Dados[-5]
Chi-Sq (approx.) = 140.94, df = 20, p-value < 2.2e-16
Type II MANOVA Tests: Pillai test statistic
Df test stat approx F num Df den Df Pr(>F)
Species 2 1.19 53.5 8 290 <2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
# Effect Size for ANOVA (Type II)
Parameter | Eta2 (partial) | 95% CI | interpret
-----------------------------------------------------
Species | 0.60 | [0.52, 0.65] | large
Pelo teste de Pillai, rejeita-se \(H_0\).
Os supostos testes post hoc estão implementados aqui por ilustração, exibindo a saída por duas formas diferentes (para o leitor escolher sua preferida), mas (como já dissemos acima) são testes inadequados porque desprezam as correlações entre as medidas.
Teste MANOVA post hoc
A forma adequada de fazer o teste post hoc é comparar as
condições independentes (grupos) dois a dois mas considerando
conjuntamente todas as medidas usadas para o teste omnibus.
Implementado em demo_MANOVA_iris_posthoc.R:
Warning in readLines("demo_MANOVA_iris_posthoc.R"): linha final incompleta
encontrada em 'demo_MANOVA_iris_posthoc.R'# Teste post hoc
alpha <- 0.05
# setosa & versicolor
Dados1 <- subset(iris, Species!="virginica")
fit <- lm(cbind(Sepal.Length, Sepal.Width,
Petal.Length, Petal.Width) ~ Species,
data=Dados1)
print(anv <- car::Anova(fit,
test="Pillai"),
digits=3)
eta2 <- effectsize::eta_squared(anv,
partial=TRUE,
generalized=FALSE,
ci=1-alpha,
alternative="two.sided",
verbose=TRUE)
eta2$interpret <- effectsize::interpret_eta_squared(eta2$Eta2)
print(eta2, digits=2)
# setosa & virginica
Dados2 <- subset(iris, Species!="versicolor")
fit <- lm(cbind(Sepal.Length, Sepal.Width,
Petal.Length, Petal.Width) ~ Species,
data=Dados2)
print(anv <- car::Anova(fit,
test="Pillai"),
digits=3)
eta2 <- effectsize::eta_squared(anv,
partial=TRUE,
generalized=FALSE,
ci=1-alpha,
alternative="two.sided",
verbose=TRUE)
eta2$interpret <- effectsize::interpret_eta_squared(eta2$Eta2)
print(eta2, digits=2)
# versicolor & virginica
Dados3 <- subset(iris, Species!="setosa")
fit <- lm(cbind(Sepal.Length, Sepal.Width,
Petal.Length, Petal.Width) ~ Species,
data=Dados3)
print(anv <- car::Anova(fit,
test="Pillai"),
digits=3)
eta2 <- effectsize::eta_squared(anv,
partial=TRUE,
generalized=FALSE,
ci=1-alpha,
alternative="two.sided",
verbose=TRUE)
eta2$interpret <- effectsize::interpret_eta_squared(eta2$Eta2)
print(eta2, digits=2)
Type II MANOVA Tests: Pillai test statistic
Df test stat approx F num Df den Df Pr(>F)
Species 1 0.963 625 4 95 <2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
# Effect Size for ANOVA (Type II)
Parameter | Eta2 (partial) | 95% CI | interpret
-----------------------------------------------------
Species | 0.96 | [0.95, 0.97] | large
Type II MANOVA Tests: Pillai test statistic
Df test stat approx F num Df den Df Pr(>F)
Species 1 0.98 1183 4 95 <2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
# Effect Size for ANOVA (Type II)
Parameter | Eta2 (partial) | 95% CI | interpret
-----------------------------------------------------
Species | 0.98 | [0.97, 0.98] | large
Type II MANOVA Tests: Pillai test statistic
Df test stat approx F num Df den Df Pr(>F)
Species 1 0.784 86.1 4 95 <2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
# Effect Size for ANOVA (Type II)
Parameter | Eta2 (partial) | 95% CI | interpret
-----------------------------------------------------
Species | 0.78 | [0.71, 0.83] | largeUtilizando correção de Bonferroni para o nível de significância de 5% (i.e., \(\alpha \approx 0.0167\)), conclui-se que os tamanhos totais das três espécies são diferentes.
Podemos imaginar como indicador o produto do comprimento e largura das pétalas e sépalas (que são uma aproximação das respectivas áreas) para colocar as flores das três espécies em ordem de tamanho:
Análise de Variância Multivariada Bifatorial Independente
Após nossa abordagem à MANOVA unifatorial independente, revisaremos brevemente a análise para um modelo univariado independente de efeitos fixos de dois fatores e, em seguida, generalizaremos simplesmente para o caso multivariado por analogia.
Exemplo de GLM univariado multifatorial independente sem interação em Silveira, Tempski, Mayer, Enns, Peleias, Martins & Siqueira (2025)
Título: Comparação entre amostras aleatórias e de conveniência em levantamento multicêntrico para avaliar a qualidade de vida de estudantes de medicina.
Resumo: A avaliação da saúde mental e física de estudantes de medicina é dificultada pela obtenção de amostras aleatórias e pelas limitações de amostras de conveniência. Conduzimos um estudo multicêntrico para avaliar o ambiente educacional, a qualidade de vida e a competência emocional de estudantes de medicina. Entre 2011 e 2012, um total de 1.350 estudantes selecionados aleatoriamente de 22 escolas e 1.201 estudantes voluntários de 50 escolas em todo o Brasil completaram todos os questionários (WHOQOL-BREF, VERAS-Q, IRI, RS-14, BDI, PSQI, ESS, IDATE, MBI e DREEM). Monitoramento, apoio a pesquisadores locais e estratégias de feedback personalizado foram aplicados para assegurar a participação dos estudantes aleatorizados, alcançando taxa de resposta de 81,8%. A plataforma também ficou disponível aos voluntários. A análise estatística examinou o efeito dessas duas estratégias de recrutamento por meio de modelos lineares gerais, controlando por sexo, idade, massa corporal, ano do curso, atividade física e equivalentes metabólicos (METs), tipo de escola, população da cidade e localização. Adotou-se nível de significância de 5% e tamanhos de efeito estimados pelo eta-quadrado de Cohen, ambos com correção de Bonferroni nas variáveis de interesse. O grupo de voluntários apresentou mais mulheres, menos alunos dos anos finais do curso e maior proporção de estudantes de escolas privadas e de cidades maiores. Essas variáveis explicaram em grande parte as diferenças estatisticamente significantes e os tamanhos de efeito observados entre os grupos aleatorizado e voluntário. Em conclusão, embora tenham sido identificadas lições e estratégias motivacionais úteis, o esforço considerável necessário para obter alta adesão via busca ativa pode não se justificar, pois os resultados entre amostras aleatórias e de voluntários mostraram diferenças mínimas nas respostas aos questionários. Nossos achados sugerem que estudos futuros considerem estratégias motivacionais mais leves para reduzir a carga das equipes de pesquisa. Dados e scripts em R para replicar a análise estatística estão disponíveis no Harvard Dataverse em https://doi.org/10.7910/DVN/YECV8E.
Modelo Univariado de Efeitos Fixos de Dois Fatores com Interação
- \(p=1,\; q=1,\; g=2,\; b=2,\; n_{\ell k}\ge2\)
Supomos que as medições são registradas em vários níveis de dois fatores. Em alguns casos, essas condições experimentais representam níveis de um único tratamento organizado em vários blocos. O delineamento experimental particular empregado não nos preocupará neste livro. (Consulte [10] e [17] para discussões sobre delineamento experimental.) No entanto, assumiremos que observações em diferentes combinações de condições experimentais são independentes entre si.
Vamos considerar que os dois conjuntos de condições experimentais sejam os níveis, por exemplo, do fator 1 e do fator 2, respectivamente. Suponha que haja \(g \ge 2\) níveis do fator 1 e \(b \ge 2\) níveis do fator 2, e que \(n \ge 2\) observações independentes possam ser observadas em cada uma das combinações de níveis (tratamentos) \(gb\).
O uso do termo fator para indicar uma condição experimental é conveniente. Os fatores discutidos aqui não devem ser confundidos com os fatores não observáveis considerados no Capítulo 9 no contexto da análise de fatores.
Denotando a r-ésima observação no nível \(\ell\) do fator 1 e nível \(k\) do fator 2 por \(X_{\ell kr}\), especificamos o modelo univariado de dois sentidos como:
\[ X_{\ell kr} = \mu + \tau_\ell + \beta_k + \gamma_{\ell k} + \varepsilon_{\ell kr} \tag{6-54} \]
Em que:
- \(\ell = 1, 2, \ldots, g\)
- \(k = 1, 2, \ldots, b\)
- \(r = 1, 2, \ldots, n\)
Sendo que:
\[ \sum_{\ell=1}^{g} \tau_\ell = \sum_{k=1}^{b} \beta_k = \sum_{\ell=1}^{g} \gamma_{\ell k} = \sum_{k=1}^{b} \gamma_{\ell k} = 0 \]
Os \(\{\varepsilon_{\ell kr}\}_{\ell=1,k=1,r=1}^{g,b,n}\sim\mathcal{N}\text{IID}(0, \sigma^2)\). Aqui, \(\mu\) representa um nível geral, \(\tau_\ell\) representa o efeito fixo do fator 1, \(\beta_k\) representa o efeito fixo do fator 2, e \(\gamma_{\ell k}\) é a interação entre o fator 1 e o fator 2. A resposta esperada no \(\ell\)-ésimo nível do fator 1 e do \(k\)-ésimo nível do fator 2 é, portanto:
\[ \mathbb{E}\left(X_{\ell kr}\right) = \mu + \tau_\ell + \beta_k + \gamma_{\ell k} \]
Em que:
- \(\mathbb{E}(X_{\ell kr})\): resposta média
- \(\mu\): média global (nível geral)
- \(\tau_\ell\): efeito fixo do fator 1
- \(\beta_k\): efeito fixo do fator 2
- \(\gamma_{\ell k}\): efeito fixo de interação fator1:fator2
para \(\ell = 1, 2, \ldots, g\) e \(k = 1, 2, \ldots, b\).
A presença da interação, \(\gamma_{\ell k}\), implica que os efeitos dos fatores não são aditivos e a interpretação dos resultados dos resultados torna-se mais complexa.
Figura 6.3 Perfis de médias (a) com interação e (b) sem interação.
As Figuras 6.3(a) e (b) mostram as respostas esperadas em função dos níveis dos fatores com e sem interação, respectivamente. A ausência de interação significa \(\gamma_{\ell k} = 0\) para todos \(\ell\) e \(k\).
De forma análoga a (6-55), cada observação pode ser decomposta como
\[ \begin{align} X_{\ell kr} &= \mu+\tau_{\ell}+\beta_k+\gamma_{\ell k}+\varepsilon_{\ell kr}\\ &= \mu+\tau_{\ell}+\beta_k+\left(\left(\tau\beta\right)_{\ell k}-\left(\mu+\tau_{\ell}+\beta_k\right)\right)+\varepsilon_{\ell kr}\\ &= \hat{\mu}+\hat{\tau}_{\ell}+\hat{\beta}_k+\left(\widehat{\left(\tau\beta\right)}_{\ell k}-\left( \hat{\mu}+\hat{\tau}_{\ell}+\hat{\beta}_k\right)\right)+\hat{\varepsilon}_{\ell kr}\\ &= \overline{X} + (\overline{X}_{\ell} - \overline{X}) + (\overline{X}_{k} - \overline{X}) + \\ &\quad(\overline{X}_{\ell k} - (\overline{X}+(\overline{X}_{\ell}- \overline{X}) + (\overline{X}_{k} - \overline{X}))) + \\ &\quad(X_{\ell kr} - \overline{X}_{\ell k}) \\ X_{\ell kr} &= \overline{X} + (\overline{X}_{\ell} - \overline{X}) + (\overline{X}_{k} - \overline{X}) + \\ &\quad(\overline{X}_{\ell k} - \overline{X}_{\ell} - \overline{X}_{k}+ \overline{X}) + \\ &\quad(X_{\ell kr} - \overline{X}_{\ell k}) \end{align} \tag{6-56} \]
em que \(\overline{X}\) é a média geral, \(\overline{X}_{\ell}\) é a média para o nível \(\ell\) do fator 1, \(\overline{X}_k\) é a média para o nível \(k\) do fator 2, e \(X_{\ell k}\) é a média para o nível \(\ell\) do fator 1 e o nível \(k\) do fator 2. Ao quadrar e somar os desvios \((X_{\ell kr} - \overline{X})\), obtemos:
\[ \begin{align} \sum_{\ell=1}^{g} \sum_{k=1}^{b} \sum_{r=1}^{n} \left(X_{\ell kr} - \overline{X}\right)^2 &= b n \sum_{\ell=1}^{g} \left(\overline{X}_{\ell} - \overline{X}\right)^2 + g n \sum_{k=1}^{b} \left(\overline{X}_k - \overline{X}\right)^2 +\\ & \quad n \sum_{\ell=1}^{g} \sum_{k=1}^{b} \left(\overline{X}_{\ell k} - \overline{X}_{\ell} - \overline{X}_k + \overline{X}\right)^2 +\\ & \quad\sum_{\ell=1}^{g} \sum_{k=1}^{b} \sum_{r=1}^{n} \left(X_{\ell kr}- \overline{X}_{\ell k}\right)^2 \end{align} \tag{6-57} \]
Em que:
\[ \begin{align} \overline{X}_{\ell k} &= \dfrac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} X_{\ell kr} \\ \overline{X}_{\ell} &= \dfrac{1}{nb} \sum_{k=1}^{b} \sum_{r=1}^{n} X_{\ell kr} \\ \overline{X}_k &= \dfrac{1}{ng} \sum_{\ell=1}^{g} \sum_{r=1}^{n} X_{\ell kr} \\ \overline{X} &= \dfrac{1}{gnb} \sum_{\ell=1}^{g} \sum_{k=1}^{b} \sum_{r=1}^{n} X_{\ell kr} \end{align} \]
ou
\[ \text{SS}_{\text{tot}} = \text{SS}_{\text{fat1}} + \text{SS}_{\text{fat2}} + \text{SS}_{\text{int}} + \text{SS}_{\text{res}} \]
Os graus de liberdade correspondentes associados às somas de quadrados na decomposição em (6-57) são:
\[ gbn - 1 = (g - 1) + (b - 1) + (g - 1) (b - 1) + gb(n - 1) \]
Temos que \(\{X_{\ell kr}\}_{\ell=1,k=1,r=1}^{g,b,n}\sim\mathcal{N}\text{IID}(\mu+\tau_{\ell}+\beta_k+\gamma_{\ell k}, \sigma^2)\).
A tabela ANOVA assume a seguinte forma:
Tabela de ANOVA para Modelo Univariado de Dois Fatores com Interação:
| Fonte de Variação | Graus de Liberdade (df) | Soma de Quadrados (SS) | Quadrado Médio (MS) | F |
|---|---|---|---|---|
| Fator 1 | \(g - 1\) | \(\text{SS}_{\text{fat1}}\) | \(\dfrac{\text{SS}_{\text{fat1}}}{g-1}\) | \(\dfrac{\text{MS}_{\text{fat1}}}{\text{MS}_{\text{res}}}\) |
| Fator 2 | \(b - 1\) | \(\text{SS}_{\text{fat2}}\) | \(\dfrac{\text{SS}_{\text{fat2}}}{b-1}\) | \(\dfrac{\text{MS}_{\text{fat2}}}{\text{MS}_{\text{res}}}\) |
| Interação | \((g - 1)(b - 1)\) | \(\text{SS}_{\text{int}}\) | \(\dfrac{\text{SS}_{\text{int}}} {(g-1)(b-1)}\) | \(\dfrac{\text{MS}_{\text{int}}}{\text{MS}_{\text{res}}}\) |
| Resíduo | \(gb(n - 1)\) | \(\text{SS}_{\text{res}}\) | \(\dfrac{\text{SS}_{\text{res}}}{gb(n-1)}\) | - |
| Total | \(gbn - 1\) | \(\text{SS}_{\text{tot}}\) | - | - |
A tabela ANOVA necessita que \(n\ge2\), i.e., que o número de réplicas seja pelo menos igual a dois em todas as combinações dos níveis dos dois fatores (tratamentos), pois \(\frac{\text{SS}_{\text{res}}}{gb(n - 1)}\) faz parte do denominador das estatísticas de teste F.
Se \(g=b\), i.e., delineamento perfeitamente balanceado no número de níveis dos dois fatores, e um efeito não é significante, então sua exclusão do modelo não altera os resultados da tabela ANOVA.
Pelo teorema de Cochran, as razões F dos quadrados médios, \(\frac{\text{SS}_{\text{fat1}}}{g - 1}\), \(\frac{\text{SS}_{\text{fat2}}}{b - 1}\), e \(\frac{\text{SS}_{\text{int}}}{(g - 1)(b - 1)}\) em relação ao quadrado médio, \(\frac{\text{SS}_{\text{res}}}{gb(n - 1)}\), podem ser usadas para testar hierarquicamente os efeitos do fator 1, fator 2, e a interação fator1:fator2, respectivamente. (Veja [11] para uma discussão sobre análise de variância univariada bifatorial independente).
A hipótese nula omnibus é:
\[ \begin{cases} H_{0}^{\text{omnibus}}&: \tau_1=\cdots=\tau_g=\beta_1=\cdots=\beta_b=\gamma_{11}=\cdots=\gamma_{gb}=0\\ H_{1}^{\text{omnibus}}&:\text{algum efeito populacional é diferente de zero} \end{cases} \]
Se \(H_{0}^{\text{omnibus}}\) é rejeitada, testar o efeito de interação:
\[ H_{0}^{\text{interação}}: \gamma_{11}=\cdots=\gamma_{gb}=0 \]
Se \(H_{0}^{\text{interação}}\) não é rejeitada, testar os efeitos principais:
\[ H_{0}^{\text{Fator 1}}: \tau_1=\cdots=\tau_g=0\\ H_{0}^{\text{Fator 2}}: \beta_1=\cdots=\beta_b=0 \]
Se \(H_{0}^{\text{interação}}\) é rejeitada, testar os efeitos principais simples.
Figura 1. Árvore de Decisão para conduzir análises post-hoc após uma ANOVA de dois ou três fatores. Howell & Lacroix, 2012
- Howell, GT & Lacroix, GL (2012) Decomposing interactions using GLM in combination with the COMPARE, LMATRIX and MMATRIX subcommands in SPSS. Tutorials in Quantitative Methods for Psychology 8(1): 1-22.
“Primeiramente, numa ANOVA univariada bifatorial independente, teste a presença do efeito de interação. Se o efeito de interação for significante, então o teste de efeitos principais simples deve ser considerado.”
Woodward & Bonett, 1991, p. 256
Fig. 1. Estratégia de teste de hipóteses para delineamento de três fatores (Keppel, 1973, p. 293). Woodward & Bonett, 1991
FIG. 2. Estratégia de teste de hipótese para delineamento de três fatores (adaptado de Milliken & Johnson, 1984, p. 198 - veja p. 114 para uma aplicação de análise de estrutura de tratamento de duas vias). Woodward & Bonett, 1991
- Woodward, JA & Bonett, DG (1991) Simple main effects in
factorial designs. Journal of Applied Statistics 18(2): 255-64,
DOI: 10.1080/02664769100000019
Tabela 1. Representações univariada e multivariada do GLM (Modelo Linear General). Chartier & Faulkner, 2008
Uma forma de definir com mais precisão o número de variáveis dependentes (DV) é \(pq\), sendo \(p\) o número de medidas (measures) e \(q\) o número de condições experimentais dependentes. Se \(pq=1\), o modelo é univariado. Se \(pq\ge2\), o modelo é multivariado.
Observe que Correlação Canônica não tem VD-VE, pois não é um modelo de regressão. A confusão da classificação começa ao misturar variável manifesta com variável latente. Variável latente pode ser nominal, ordinal ou intervalar (continuous). Note que a ausência de Regressão Multivariada em GLM multivariado. Note também que há a confusão e ausência de modelos para medidas repetidas. Há GLM duplamente multivariado que não consta na Tabela 1.
Figura 1. Diagramas de Venn para a) dois preditores intervalares em regressão, b) análise de variância unifatorial (trocar C por α), c) ANOVA bifatorial e d) medidas repetidas (ANCOVA pré-pós?). Chartier & Faulkner, 2008
- Chartier, S & Faulkner, A (2008) General Linear Models: An integrated approach to statistics. Tutorial in Quantitative Methods for Psychology 4(2): 65‐78.
Exemplo: Estudo dos Efeitos da Vitamina C no Desenvolvimento Dentário de Porquinhos-da-Índia: Comparação entre Fontes Biológicas e Químicas
porquinho-da-índia
Uma preocupação durante a Segunda Guerra Mundial era o fornecimento de vitamina C aos soldados e, nesse amplo contexto, os efeitos do ácido ascórbico e do suco de laranja foram estudados em animais. Um desses estudos foi realizado por Crampton (1947).
Sessenta porquinhos-da-índia (com 28 dias de idade) receberam um suplemento dietético de vitamina C em uma de três doses (0.5, 1 ou 2 mg/dia) administradas de uma de duas maneiras (como ácido ascórbico ou em suco de laranja). Havia dez porquinhos-da-índia, cinco machos e cinco fêmeas, em cada combinação de dose e método de administração. Após 42 dias na dieta, os porquinhos-da-índia foram sacrificados; os incisivos foram removidos e seccionados para obter medidas do comprimento dos odontoblastos — células que são importantes para o desenvolvimento dos dentes. Poderia haver múltiplas medições (odontoblastos) por animal, então os comprimentos foram médios para fornecer um único valor para cada animal. O resultado de interesse é o comprimento médio dos odontoblastos incisivos; isso foi medido em micrômetros. O interesse é como a dose e o método de administração influenciam o resultado.
Crampton (1947, p. 495)
Você pode estar se perguntando o que um estudo de células em porquinhos-da-índia tem a ver com o fornecimento de vitamina C aos humanos. Os pesquisadores haviam estabelecido que o crescimento dos odontoblastos em porquinhos-da-índia era sensível à ingestão de vitamina C e, portanto, medir os odontoblastos poderia fornecer uma maneira de medir de forma confiável a absorção de vitamina C. Havia um debate sobre se as fontes ‘biológicas’ (por exemplo, suco de laranja) de vitamina C eram melhores do que as formas ‘químicas’ (por exemplo, ácido ascórbico), e isso foi explorado em um modelo animal.
ANOVA unifatorial independente de Fisher com o fator tipo de suplemento resulta na não significância deste fator (\(p=0.060\)) com \(\alpha=5\%\). Os resultados a seguir mostram que há o efeito de interação entre tipo de suplemento e dose (\(p=0.022\)) com \(\alpha=5\%\). Há efeitos simples de tipo de suplemento e dose. Então, suco de laranja tem efeito maior do que ácido ascórbico. As três doses têm efeitos progressivamente maiores.
suppressMessages(suppressWarnings(
invisible(Sys.setlocale("LC_ALL", "pt_BR.UTF-8"))))
# The Effect of Vitamin C on Tooth Growth in Guinea Pigs
# len: numeric Tooth length
# supp: factor Supplement type (VC or OJ).
# dose: numeric Dose in milligrams/day
Dados <- datasets::ToothGrowth
Dados$supp <- factor(Dados$supp,
levels=c("VC", "OJ"))
print(head(Dados)) len supp dose
1 4.2 VC 0.5
2 11.5 VC 0.5
3 7.3 VC 0.5
4 5.8 VC 0.5
5 6.4 VC 0.5
6 10.0 VC 0.5 len supp dose
55 24.8 OJ 2
56 30.9 OJ 2
57 26.4 OJ 2
58 27.3 OJ 2
59 29.4 OJ 2
60 23.0 OJ 2# print(skimr::skim_without_charts(Dados))
Dados$dose <- factor(Dados$dose)
print(ftable(Dados$supp, Dados$dose)) 0.5 1 2
VC 10 10 10
OJ 10 10 10 len supp dose
Min. : 4.20 VC:30 0.5:20
1st Qu.:13.07 OJ:30 1 :20
Median :19.25 2 :20
Mean :18.81
3rd Qu.:25.27
Max. :33.90 
alfa <- 0.05
g1 <- nlevels(Dados$supp)
alfaBonf.supp <- alfa/g1
g2 <- nlevels(Dados$dose)
alfaBonf.dose <- alfa/g2
gplots::plotmeans(len~supp,
connect=FALSE,
col="black",
barcol="black",
p=1-alfaBonf.supp,
main="Porquinho-da-Índia",
data=Dados)Registered S3 method overwritten by 'gplots':
method from
reorder.factor DescTools
gplots::plotmeans(len~dose,
connect=FALSE,
col="black",
barcol="black",
p=1-alfaBonf.dose,
main="Porquinho-da-Índia",
data=Dados)
Call:
lm(formula = len ~ supp, data = Dados)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-12.7633 -5.7633 0.4367 5.5867 16.9367
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 16.963 1.366 12.418 <2e-16 ***
suppOJ 3.700 1.932 1.915 0.0604 .
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 7.482 on 58 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.05948, Adjusted R-squared: 0.04327
F-statistic: 3.668 on 1 and 58 DF, p-value: 0.06039Anova Table (Type II tests)
Response: len
Sum Sq Df F value Pr(>F)
supp 205.4 1 3.6683 0.06039 .
Residuals 3246.9 58
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Call:
lm(formula = len ~ dose, data = Dados)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-7.6000 -3.2350 -0.6025 3.3250 10.8950
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 10.6050 0.9486 11.180 5.39e-16 ***
dose1 9.1300 1.3415 6.806 6.70e-09 ***
dose2 15.4950 1.3415 11.551 < 2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 4.242 on 57 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.7029, Adjusted R-squared: 0.6924
F-statistic: 67.42 on 2 and 57 DF, p-value: 9.533e-16Anova Table (Type II tests)
Response: len
Sum Sq Df F value Pr(>F)
dose 2426.4 2 67.416 9.533e-16 ***
Residuals 1025.8 57
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Call:
lm(formula = len ~ supp + dose, data = Dados)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-7.085 -2.751 -0.800 2.446 9.650
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 8.7550 0.9883 8.859 3.05e-12 ***
suppOJ 3.7000 0.9883 3.744 0.000429 ***
dose1 9.1300 1.2104 7.543 4.38e-10 ***
dose2 15.4950 1.2104 12.802 < 2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 3.828 on 56 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.7623, Adjusted R-squared: 0.7496
F-statistic: 59.88 on 3 and 56 DF, p-value: < 2.2e-16Anova Table (Type II tests)
Response: len
Sum Sq Df F value Pr(>F)
supp 205.35 1 14.017 0.0004293 ***
dose 2426.43 2 82.811 < 2.2e-16 ***
Residuals 820.43 56
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1alfaBonf <- alfa/(g1*g2)
gplots::plotmeans(len~interaction(dose,supp),
connect=FALSE,
col="black",
barcol="black",
p=1-alfaBonf,
main="Porquinho-da-Índia",
data=Dados)
Call:
lm(formula = len ~ supp * dose, data = Dados)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-8.20 -2.72 -0.27 2.65 8.27
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 7.980 1.148 6.949 4.98e-09 ***
suppOJ 5.250 1.624 3.233 0.00209 **
dose1 8.790 1.624 5.413 1.46e-06 ***
dose2 18.160 1.624 11.182 1.13e-15 ***
suppOJ:dose1 0.680 2.297 0.296 0.76831
suppOJ:dose2 -5.330 2.297 -2.321 0.02411 *
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 3.631 on 54 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.7937, Adjusted R-squared: 0.7746
F-statistic: 41.56 on 5 and 54 DF, p-value: < 2.2e-16Anova Table (Type II tests)
Response: len
Sum Sq Df F value Pr(>F)
supp 205.35 1 15.572 0.0002312 ***
dose 2426.43 2 92.000 < 2.2e-16 ***
supp:dose 108.32 2 4.107 0.0218603 *
Residuals 712.11 54
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1[1] 18.8 supp len
1 VC 16.96333
2 OJ 20.66333 dose len
1 0.5 10.605
2 1 19.735
3 2 26.100 dose supp len
1 0.5 VC 7.98
2 1 VC 16.77
3 2 VC 26.14
4 0.5 OJ 13.23
5 1 OJ 22.70
6 2 OJ 26.06# Somas de Quadrados
g <- nlevels(Dados$supp)
b <- nlevels(Dados$dose)
n <- nrow(Dados) / (g*b)
p <- 1
SS_total <- sum((Dados$len - X_bar)^2)
SS_A <- b * n * sum((X_bar_l$len - X_bar)^2)
SS_B <- g * n * sum((X_bar_k$len - X_bar)^2)
SS_error <- sum((Dados$len - rep(X_bar_lk$len, times=rep(n,g*b)))^2)
SS_AB <- SS_total - SS_A - SS_B - SS_error
# Graus de Liberdade
df_A <- g - 1
df_B <- b - 1
df_AB <- (g - 1)*(b - 1)
df_error <- g*b*(n - 1)
# Quadrado Médio
MS_A <- SS_A / df_A
MS_B <- SS_B / df_B
MS_AB <- SS_AB / df_AB
MS_error <- SS_error / df_error
# Estatística F
F_A <- MS_A / MS_error
F_B <- MS_B / MS_error
F_AB <- MS_AB / MS_error
# Valor-p (usando a distribuição F)
p_value_A <- formatC(1-pf(F_A, df_A, df_error),
format="e", digits=2)
p_value_B <- formatC(1-pf(F_B, df_B, df_error),
format="e", digits=2)
p_value_AB <- formatC(1-pf(F_AB, df_AB, df_error),
format="e", digits=2)
# Tabela ANOVA
anova_table <- data.frame(
Source = c("Factor A", "Factor B", "Interaction AB", "Error", "Total"),
SS = c(SS_A, SS_B, SS_AB, SS_error, SS_total),
df = c(df_A, df_B, df_AB, df_error, g*b*n - 1),
MS = c(MS_A, MS_B, MS_AB, MS_error, NA),
"F value" = c(F_A, F_B, F_AB, NA, NA),
"p value" = c(p_value_A, p_value_B, p_value_AB, NA, NA),
stringsAsFactors = FALSE,
check.names = FALSE
)
print(anova_table, digits=3, row.names=FALSE) Source SS df MS F value p value
Factor A 205 1 205.3 15.57 2.31e-04
Factor B 2426 2 1213.2 92.00 0.00e+00
Interaction AB 108 2 54.2 4.11 2.19e-02
Error 712 54 13.2 NA <NA>
Total 3452 59 NA NA <NA># Solução model.matrix e OLS
# https://www.maths.usyd.edu.au/u/UG/SM/STAT3022/r/current/Lecture/lecture18_2020JC.html#17
fit <- lm(len~supp*dose,
data=Dados)
print(anova(fit))Analysis of Variance Table
Response: len
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
supp 1 205.35 205.35 15.572 0.0002312 ***
dose 2 2426.43 1213.22 92.000 < 2.2e-16 ***
supp:dose 2 108.32 54.16 4.107 0.0218603 *
Residuals 54 712.11 13.19
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Anova Table (Type II tests)
Response: len
Sum Sq Df F value Pr(>F)
supp 205.35 1 15.572 0.0002312 ***
dose 2426.43 2 92.000 < 2.2e-16 ***
supp:dose 108.32 2 4.107 0.0218603 *
Residuals 712.11 54
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1y <- Dados$len
X0 <- model.matrix(~ 1, data=Dados)
XA <- model.matrix(~ -1 + supp, data=Dados)
XB <- model.matrix(~ -1 + dose, data=Dados)
XAB <- model.matrix(~ -1 + supp:dose, data=Dados)
PV0 <- X0 %*% solve(t(X0) %*% X0) %*% t(X0)
PWA <- XA %*% solve(t(XA) %*% XA) %*% t(XA) - PV0
PWB <- XB %*% solve(t(XB) %*% XB) %*% t(XB) - PV0
PVAB <- XAB %*% solve(t(XAB) %*% XAB) %*% t(XAB)
PWAB <- PVAB - PWA - PWB - PV0
PRes <- diag(nrow(Dados)) - PVAB
SSA <- t(y) %*% PWA %*% y
SSB <- t(y) %*% PWB %*% y
SSAB <- t(y) %*% PWAB %*% y
SSE <- t(y) %*% PRes %*% y
dfA <- sum(diag(PWA))
dfB <- sum(diag(PWB))
dfAB <- sum(diag(PWAB))
dfE <- sum(diag(PRes))
dfT <- dfA+dfB+dfAB+dfE
SST <- SSA+SSB+SSAB+SSE
R2A <- SSA/SST
R2B <- SSB/SST
R2AB <- SSAB/SST
R2E <- SSE/SST
R2 <- 1 - SSE/SST
eta2partialA <- R2A/(R2A+1-R2)
eta2partialB <- R2B/(R2B+1-R2)
eta2partialAB <- R2AB/(R2AB+1-R2)
FA <- (SSA/dfA)/(SSE/dfE)
pA <- formatC(1-pf(FA, dfA, dfE),
format="e", digits=2)
FB <- (SSB/dfB)/(SSE/dfE)
pB <- formatC(1-pf(FB, dfB, dfE),
format="e", digits=2)
FAB <- (SSAB/dfAB)/(SSE/dfE)
pAB <- formatC(1-pf(FAB, dfAB, dfE),
format="e", digits=2)
R2 <- 1 - SSE/SST
df1 <- dfT-dfE
df2 <- dfE
F_omnibus <- (R2/df1)/((1-R2)/df2) # Pestana & Gageiro, 2005, p. 77
pv <- 1-pf(F_omnibus, df1, df2)
if(pv<2.2e-16) p_omnibus <- "< 2.2e-16"
if(pv>2.2e-16) p_omnibus <- paste0("< ", formatC(pv, format="e", digits=2))
Fcrit <- qf(1-alfa, df1, df2)
cat("Omnibus F(",df1, ",", df2, ") = ", round(Fcrit,2),
", F = ", round(F_omnibus,2),
", p = ", p_omnibus, "\nR^2 = eta^2 = ", round(R2,4), sep="")Omnibus F(5,54) = 2.39, F = 41.56, p = < 2.2e-16
R^2 = eta^2 = 0.7937ANOVA2wtable <- data.frame("Source"=c("supp", "dose", "supp:dose", "Error", "Total"),
# "df"=c(qr(PWA)$rank, qr(PWB)$rank, qr(PWAB)$rank, qr(PRes)$rank),
"df"=c(dfA, dfB, dfAB, dfE, dfT),
"SS"=c(SSA, SSB, SSAB, SSE, SST),
"F value"=c(FA, FB, FAB, NA, NA),
"p value"=c(pA, pB, pAB, NA, NA),
"R^2"=c(R2A, R2B, R2AB, R2E, NA),
"eta^2 partial"=c(eta2partialA, eta2partialB, eta2partialAB, NA, NA),
stringsAsFactors = FALSE,
check.names = FALSE)
print(ANOVA2wtable, digits=2, row.names=FALSE) Source df SS F value p value R^2 eta^2 partial
supp 1 205 15.6 2.31e-04 0.059 0.22
dose 2 2426 92.0 0.00e+00 0.703 0.77
supp:dose 2 108 4.1 2.19e-02 0.031 0.13
Error 54 712 NA <NA> 0.206 NA
Total 59 3452 NA <NA> NA NAeta2 <- effectsize::eta_squared(anv,
partial=TRUE,
generalized=FALSE,
ci=1-alfa/3,
alternative="two.sided",
verbose=TRUE)
eta2$interpret <- effectsize::interpret_eta_squared(eta2$Eta2)
print(eta2, digits=4)# Effect Size for ANOVA (Type II)
Parameter | Eta2 (partial) | 98.3333% CI | interpret
---------------------------------------------------------
supp | 0.2238 | [0.0337, 0.4383] | large
dose | 0.7731 | [0.6299, 0.8496] | large
supp:dose | 0.1320 | [0.0000, 0.3346] | mediumeta2 <- effectsize::eta_squared(anv,
partial=FALSE,
generalized=FALSE,
ci=1-alfa/3,
alternative="two.sided",
verbose=TRUE)
eta2$interpret <- effectsize::interpret_eta_squared(eta2$Eta2)
print(eta2, digits=4)# Effect Size for ANOVA (Type II)
Parameter | Eta2 | 98.3333% CI | interpret
-------------------------------------------------
supp | 0.0595 | [0.0000, 0.2525] | small
dose | 0.7029 | [0.5236, 0.8020] | large
supp:dose | 0.0314 | [0.0000, 0.1848] | small# Regressão Linear Múltipla de two-way ANOVA
fit <- lm(len~supp*dose,
data=Dados)
print(car::Anova(fit))Anova Table (Type II tests)
Response: len
Sum Sq Df F value Pr(>F)
supp 205.35 1 15.572 0.0002312 ***
dose 2426.43 2 92.000 < 2.2e-16 ***
supp:dose 108.32 2 4.107 0.0218603 *
Residuals 712.11 54
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Call:
lm(formula = len ~ supp * dose, data = Dados)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-8.20 -2.72 -0.27 2.65 8.27
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 7.980 1.148 6.949 4.98e-09 ***
suppOJ 5.250 1.624 3.233 0.00209 **
dose1 8.790 1.624 5.413 1.46e-06 ***
dose2 18.160 1.624 11.182 1.13e-15 ***
suppOJ:dose1 0.680 2.297 0.296 0.76831
suppOJ:dose2 -5.330 2.297 -2.321 0.02411 *
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 3.631 on 54 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.7937, Adjusted R-squared: 0.7746
F-statistic: 41.56 on 5 and 54 DF, p-value: < 2.2e-16y <- Dados$len
X <- model.matrix(len~supp*dose, data=Dados)
coeff <- solve(t(X) %*% X) %*% t(X) %*% y # OLS
cat("\nCoefficients:\n")
Coefficients: Estimate
(Intercept) 7.98
suppOJ 5.25
dose1 8.79
dose2 18.16
suppOJ:dose1 0.68
suppOJ:dose2 -5.33[1] 2740.103[1] 712.106[1] 3452.209R^2 = eta^2 omnibus = 0.79df1 <- dim(X)[2] - 1
N <- dim(X)[1]
df2 <- N-df1-1
F_omnibus <- (R2/df1)/((1-R2)/df2) # Pestana & Gageiro, 2005, p. 77
pv <- 1-pf(F_omnibus, df1, df2)
if(pv<2.2e-16) p_omnibus <- "< 2.2e-16"
if(pv>2.2e-16) p_omnibus <- paste0("< ", formatC(pv, format="e", digits=2))
Fcrit <- qf(1-alfa, df1, df2)
cat("Omnibus F(",df1, ",", df2, ") = ", round(Fcrit,2),
", F = ", round(F_omnibus,2),
", p ", p_omnibus, "\nR^2 = eta^2 = ", round(R2,2), sep="")Omnibus F(5,54) = 2.39, F = 41.56, p < 2.2e-16
R^2 = eta^2 = 0.79# print(sjPlot::tab_model(fit,
# p.adjust="holm",
# encoding="Windows-1252",
# title="Effect of Vitamin C on Tooth Growth in Guinea Pigs: holm",
# show.reflvl=TRUE,
# show.ngroups=TRUE,
# show.stat=TRUE,
# show.df=TRUE,
# show.se=TRUE,
# digits=4,
# digits.p=4,
# digits.rsq=6,
# digits.re=6))
# Solução GLM
fit <- lm(len~supp,
data=Dados)
print(anova(fit))Analysis of Variance Table
Response: len
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
supp 1 205.4 205.35 3.6683 0.06039 .
Residuals 58 3246.9 55.98
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Analysis of Variance Table
Response: len
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
supp 1 205.35 205.35 14.017 0.0004293 ***
dose 2 2426.43 1213.22 82.811 < 2.2e-16 ***
Residuals 56 820.43 14.65
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Analysis of Variance Table
Response: len
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
supp 1 205.35 205.35 15.572 0.0002312 ***
dose 2 2426.43 1213.22 92.000 < 2.2e-16 ***
supp:dose 2 108.32 54.16 4.107 0.0218603 *
Residuals 54 712.11 13.19
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Anova Table (Type II tests)
Response: len
Sum Sq Df F value Pr(>F)
supp 205.35 1 15.572 0.0002312 ***
dose 2426.43 2 92.000 < 2.2e-16 ***
supp:dose 108.32 2 4.107 0.0218603 *
Residuals 712.11 54
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1eta2 <- effectsize::eta_squared(anv,
partial=TRUE,
generalized=FALSE,
ci=1-alfa/3,
alternative="two.sided",
verbose=TRUE)
eta2$interpret <- effectsize::interpret_eta_squared(eta2$Eta2)
print(eta2, digits=4)# Effect Size for ANOVA (Type II)
Parameter | Eta2 (partial) | 98.3333% CI | interpret
---------------------------------------------------------
supp | 0.2238 | [0.0337, 0.4383] | large
dose | 0.7731 | [0.6299, 0.8496] | large
supp:dose | 0.1320 | [0.0000, 0.3346] | mediumeta2 <- effectsize::eta_squared(anv,
partial=FALSE,
generalized=FALSE,
ci=1-alfa/3,
alternative="two.sided",
verbose=TRUE)
eta2$interpret <- effectsize::interpret_eta_squared(eta2$Eta2)
print(eta2, digits=4)# Effect Size for ANOVA (Type II)
Parameter | Eta2 | 98.3333% CI | interpret
-------------------------------------------------
supp | 0.0595 | [0.0000, 0.2525] | small
dose | 0.7029 | [0.5236, 0.8020] | large
supp:dose | 0.0314 | [0.0000, 0.1848] | smallo.par <- par()
alfaBonf_int <- alfa/(g1*g2)
fit.means <- phia::interactionMeans(fit)
plot(fit.means,
errorbar=paste0("ci",
round((1-alfaBonf)*100,4)),
abbrev.levels=FALSE)
par(o.par)Warning in par(o.par): parâmetro gráfico "cin" não pode ser especificadoWarning in par(o.par): parâmetro gráfico "cra" não pode ser especificadoWarning in par(o.par): parâmetro gráfico "csi" não pode ser especificadoWarning in par(o.par): parâmetro gráfico "cxy" não pode ser especificadoWarning in par(o.par): parâmetro gráfico "din" não pode ser especificado
Warning in par(o.par): parâmetro gráfico "page" não pode ser especificado# alfaBonf_int <- alfa/(length(unique(Dados$supp))*
# length((unique(Dados$dose))))
# plot(effects::effect(c("supp", "dose"), fit,
# confidence.level=1-alfaBonf_int),
# multiline=TRUE, ci.style="bars")
# alfaBonf_fat1 <- alfa/(length(unique(Dados$supp)))
# plot(effects::effect(c("supp"), fit, confidence.level=1-alfaBonf_fat1),
# ci.style="bars")
# alfaBonf_fat2 <- alfa/(length(unique(Dados$dose)))
# plot(effects::effect(c("dose"), fit, confidence.level=1-alfaBonf_fat2),
# ci.style="bars")
cat("supp simple main effect test in the presence of interaction with dose \n")supp simple main effect test in the presence of interaction with dose F Test:
P-value adjustment method: holm
Value SE Df Sum of Sq F Pr(>F)
0.5 -5.25 1.624 1 137.81 10.4505 0.004185 **
1 -5.93 1.624 1 175.82 13.3330 0.001769 **
2 0.08 1.624 1 0.03 0.0024 0.960893
Residuals 54 712.11
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Post hoc test: supp|supp:dose (there is no simple main effect)emm <- emmeans::emmeans(object=fit,
specs=pairwise~supp|supp:dose,
alpha=alfa,
adjust="holm")
print(emm)$emmeans
dose = 0.5:
supp emmean SE df lower.CL upper.CL
VC 7.98 1.15 54 5.68 10.3
OJ 13.23 1.15 54 10.93 15.5
dose = 1:
supp emmean SE df lower.CL upper.CL
VC 16.77 1.15 54 14.47 19.1
OJ 22.70 1.15 54 20.40 25.0
dose = 2:
supp emmean SE df lower.CL upper.CL
VC 26.14 1.15 54 23.84 28.4
OJ 26.06 1.15 54 23.76 28.4
Confidence level used: 0.95
$contrasts
dose = 0.5:
contrast estimate SE df t.ratio p.value
VC - OJ -5.25 1.62 54 -3.233 0.0021
dose = 1:
contrast estimate SE df t.ratio p.value
VC - OJ -5.93 1.62 54 -3.651 0.0006
dose = 2:
contrast estimate SE df t.ratio p.value
VC - OJ 0.08 1.62 54 0.049 0.9609
dose = 0.5:
supp emmean SE df lower.CL upper.CL .group
VC 7.98 1.15 54 5.33 10.6 a
OJ 13.23 1.15 54 10.58 15.9 b
dose = 1:
supp emmean SE df lower.CL upper.CL .group
VC 16.77 1.15 54 14.12 19.4 a
OJ 22.70 1.15 54 20.05 25.3 b
dose = 2:
supp emmean SE df lower.CL upper.CL .group
OJ 26.06 1.15 54 23.41 28.7 a
VC 26.14 1.15 54 23.49 28.8 a
Confidence level used: 0.95
Conf-level adjustment: bonferroni method for 2 estimates
significance level used: alpha = 0.05
NOTE: If two or more means share the same grouping symbol,
then we cannot show them to be different.
But we also did not show them to be the same. dose simple main effect test in the presence of interaction with supp F Test:
P-value adjustment method: holm
dose1 dose2 SE1 SE2 Df Sum of Sq F Pr(>F)
VC -18.16 -9.37 1.624 1.624 2 1649.49 62.541 1.751e-14 ***
OJ -12.83 -3.36 1.624 1.624 2 885.26 33.565 3.363e-10 ***
Residuals 54 712.11
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Post hoc test: dose (there is simple main effect)NOTE: Results may be misleading due to involvement in interactions$emmeans
dose emmean SE df lower.CL upper.CL
0.5 10.6 0.812 54 8.98 12.2
1 19.7 0.812 54 18.11 21.4
2 26.1 0.812 54 24.47 27.7
Results are averaged over the levels of: supp
Confidence level used: 0.95
$contrasts
contrast estimate SE df t.ratio p.value
dose0.5 - dose1 -9.13 1.15 54 -7.951 <.0001
dose0.5 - dose2 -15.49 1.15 54 -13.493 <.0001
dose1 - dose2 -6.37 1.15 54 -5.543 <.0001
Results are averaged over the levels of: supp
P value adjustment: holm method for 3 tests 
dose emmean SE df lower.CL upper.CL .group
0.5 10.6 0.812 54 8.6 12.6 a
1 19.7 0.812 54 17.7 21.7 b
2 26.1 0.812 54 24.1 28.1 c
Results are averaged over the levels of: supp
Confidence level used: 0.95
Conf-level adjustment: bonferroni method for 3 estimates
P value adjustment: holm method for 3 tests
significance level used: alpha = 0.05
NOTE: If two or more means share the same grouping symbol,
then we cannot show them to be different.
But we also did not show them to be the same.
Post hoc test: supp:dose$emmeans
supp dose emmean SE df lower.CL upper.CL
VC 0.5 7.98 1.15 54 5.68 10.3
OJ 0.5 13.23 1.15 54 10.93 15.5
VC 1 16.77 1.15 54 14.47 19.1
OJ 1 22.70 1.15 54 20.40 25.0
VC 2 26.14 1.15 54 23.84 28.4
OJ 2 26.06 1.15 54 23.76 28.4
Confidence level used: 0.95
$contrasts
contrast estimate SE df t.ratio p.value
VC dose0.5 - OJ dose0.5 -5.25 1.62 54 -3.233 0.0105
VC dose0.5 - VC dose1 -8.79 1.62 54 -5.413 <.0001
VC dose0.5 - OJ dose1 -14.72 1.62 54 -9.064 <.0001
VC dose0.5 - VC dose2 -18.16 1.62 54 -11.182 <.0001
VC dose0.5 - OJ dose2 -18.08 1.62 54 -11.133 <.0001
OJ dose0.5 - VC dose1 -3.54 1.62 54 -2.180 0.1346
OJ dose0.5 - OJ dose1 -9.47 1.62 54 -5.831 <.0001
OJ dose0.5 - VC dose2 -12.91 1.62 54 -7.949 <.0001
OJ dose0.5 - OJ dose2 -12.83 1.62 54 -7.900 <.0001
VC dose1 - OJ dose1 -5.93 1.62 54 -3.651 0.0035
VC dose1 - VC dose2 -9.37 1.62 54 -5.770 <.0001
VC dose1 - OJ dose2 -9.29 1.62 54 -5.720 <.0001
OJ dose1 - VC dose2 -3.44 1.62 54 -2.118 0.1346
OJ dose1 - OJ dose2 -3.36 1.62 54 -2.069 0.1346
VC dose2 - OJ dose2 0.08 1.62 54 0.049 0.9609
P value adjustment: holm method for 15 tests 
supp dose emmean SE df lower.CL upper.CL .group
VC 0.5 7.98 1.15 54 4.83 11.1 a
OJ 0.5 13.23 1.15 54 10.08 16.4 b
VC 1 16.77 1.15 54 13.62 19.9 b
OJ 1 22.70 1.15 54 19.55 25.8 c
OJ 2 26.06 1.15 54 22.91 29.2 c
VC 2 26.14 1.15 54 22.99 29.3 c
Confidence level used: 0.95
Conf-level adjustment: bonferroni method for 6 estimates
P value adjustment: holm method for 15 tests
significance level used: alpha = 0.05
NOTE: If two or more means share the same grouping symbol,
then we cannot show them to be different.
But we also did not show them to be the same. Exemplo de GLM misto multifatorial com interação em Takayanagi, Siqueira, Silveira & Valentova (2024)
Título: O que Diferentes Pessoas Buscam em um Parceiro? Efeitos do Sexo, da Orientação Sexual e das Estratégias de Acasalamento nas Preferências de Parceiro
A artigo apresenta uma aplicação de GLMM (modelo linear misto geral) com fatores entre e intraparticipantes.
Os dados e código R estão disponíveis em OSF Home.
Resumo: As preferências de parceiro são um diferencial importante na formação de relacionamentos e na aptidão evolutiva, variando de acordo com fatores individuais, ecológicos e sociais. Neste estudo, avaliamos a variação na preferência por inteligência, bondade, atratividade física, saúde e nível socioeconômico entre indivíduos de diferentes sexos e orientações sexuais em uma amostra brasileira. Analisamos as pontuações de preferência de 778 homens e mulheres heterossexuais, bissexuais e homossexuais em três tarefas de orçamento de parceiro (baixo vs. médio vs. alto orçamento) e sua associação com sociosexualidade, estilos de apego, homogamia e disposição para engajar-se em relacionamentos de curto e longo prazo. Os resultados indicaram uma ordem global de preferência por traços, com a inteligência em primeiro lugar, seguida por bondade, atratividade física, saúde e, por último, status socioeconômico. Diferenças típicas de sexo foram observadas principalmente no grupo heterossexual, e combinações específicas de sexo e orientação sexual estiveram associadas a variações na preferência por atratividade física, bondade e status socioeconômico. Também encontramos associações únicas de outras variáveis com preferências de parceiro e com a disposição para engajar-se em relacionamentos de curto ou longo prazo. Ao explorar as preferências de parceiro de indivíduos não heterossexuais de um país latino-americano, um grupo sub-representado na pesquisa em psicologia evolucionista, nossos resultados ajudam a compreender os fatores universais e específicos que orientam as preferências de parceiro e o comportamento sexual humano.
Análises Estatísticas: Os dados foram analisados no software
R, versão 4.2.1 (Core Team, 2022). Computamos modelos lineares mistos
gerais (GLMM) utilizando a função lmer do pacote
lmerTest (Kuznetsova et al., 2017).
Na análise principal, utilizamos um GLMM para avaliar como o nível de preferência por cada traço variou em função das características individuais. Usamos a pontuação de preferência pelo traço como variável dependente; o identificador do participante como efeito aleatório; traço do parceiro, sexo e orientação sexual como variáveis fixas nominais; e tamanho do orçamento, sociosexualidade, apego ansioso, apego evitativo e pontuação de autoavaliação do traço como variáveis fixas intervalares. Idade, estado civil, renda mensal domiciliar per capita e nível educacional foram incluídos como variáveis de controle.
Nas análises adicionais, comparamos as pontuações de disposição para engajar-se em relacionamentos de curto e longo prazo entre condições de orçamento, sexo e orientações sexuais, utilizando uma análise de variância (ANOVA) de medidas repetidas com quatro fatores. Também usamos GLMM para explorar como características individuais e diferenças nas preferências de parceiro influenciaram a inclinação para formar relacionamentos de curto ou longo prazo com o parceiro hipotético. Usamos o nível de disposição para engajar-se em relacionamentos de curto ou longo prazo como variável dependente de cada modelo; o identificador do participante como efeito aleatório; sexo e orientação sexual como variáveis fixas nominais; e tamanho do orçamento, sociosexualidade, apego ansioso, apego evitativo e pontuações de preferência por traços como variáveis fixas intervalares. Mais uma vez, idade, estado civil, renda mensal domiciliar per capita e nível educacional foram incluídos como variáveis de controle.
Modelo de Efeitos Fixos Multivariado de Dois Fatores com Interação
\(p\ge2,\; q=1,\; g\ge2,\; b\ge2,\; n\ge2\)
Procedendo por analogia, especificamos o modelo de efeitos fixos de dois fatores para uma resposta vetorial consistindo em \(p\) componentes [veja (6-54)]
\[ \mathbf{X}_{\ell kr} = \boldsymbol{\mu} + \boldsymbol{\tau}_\ell + \boldsymbol{\beta}_k + \boldsymbol{\gamma}_{\ell k} + \boldsymbol{\varepsilon}_{\ell kr} \]
em que \(\ell=1,2,\ldots,g\), \(k = 1,2,..., b\) e \(r = 1,2,...,n\) e
\[ \sum_{\ell=1}^{g} \boldsymbol{\tau}_\ell = \sum_{k=1}^{b} \boldsymbol{\beta}_k = \sum_{\ell=1}^{g} \boldsymbol{\gamma}_{\ell k} = \sum_{k=1}^{b} \boldsymbol{\gamma}_{\ell k} = \mathbf{0} \]
Os vetores são todos da ordem \(p \times 1\), e os \(\{\boldsymbol{\varepsilon}_{\ell kr}\}_{\ell=1,k=1,r=1}^{g,b,n}\sim \mathcal{N}_p\text{IID}(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{\sigma^2\mathbf{I}})\). Assim, as respostas consistem em \(p\) medições replicadas \(n\) vezes em cada uma das possíveis combinações de níveis dos fatores 1 e 2.
Seguindo (6-56), podemos decompor os vetores de observação \(\mathbf{X}_{\ell kr}\) como:
\[ \begin{align} \mathbf{X}_{\ell kr} &= \mathbf{\overline{X}} + \left(\mathbf{\overline{X}}_\ell - \mathbf{\overline{X}}\right) + \left(\mathbf{\overline{X}}_k - \mathbf{\overline{X}}\right)+ \\ &\quad \left(\mathbf{\overline{X}}_{\ell k} - \mathbf{\overline{X}}_\ell - \mathbf{\overline{X}}_k + \mathbf{\overline{X}}\right) + \left(\mathbf{X}_{\ell kr} - \mathbf{\overline{X}}_{\ell k}\right) \end{align} \tag{6-60} \]
em que \(\mathbf{\overline{X}}\) é a média geral dos vetores de observação, \(\mathbf{\overline{X}}_\ell\) é a média dos vetores de observação no \(\ell\)-ésimo nível do fator 1, \(\mathbf{\overline{X}}_k\) é a média dos vetores de observação no \(k\)-ésimo nível do fator 2, e \(\mathbf{\overline{X}}_{\ell k}\) é a média dos vetores de observação no \(\ell\)-ésimo nível do fator 1 e no \(k\)-ésimo nível do fator 2.
Generalizações diretas de (6-57) e (6-58) fornecem as decomposições da soma dos quadrados e produtos cruzados e graus de liberdade:
\[ \begin{align} \sum_{\ell=1}^{g} \sum_{k=1}^{b} \sum_{r=1}^{n} \left(\mathbf{X}_{\ell kr} - \mathbf{\overline{X}}\right)\left(\mathbf{X}_{\ell kr} - \mathbf{\overline{X}}\right)^{\prime} &= b n \sum_{\ell=1}^{g} \left(\mathbf{\overline{X}}_\ell - \mathbf{\overline{X}}\right)\left(\mathbf{\overline{X}}_\ell - \mathbf{\overline{X}}\right)^{\prime}+ \\ &\quad g n \sum_{k=1}^{b} \left(\mathbf{\overline{X}}_k - \mathbf{\overline{X}}\right)\left(\mathbf{\overline{X}}_k - \mathbf{\overline{X}}\right)^{\prime}+\\ &\quad n \sum_{\ell=1}^{g} \sum_{k=1}^{b} \left(\mathbf{\overline{X}}_{\ell k} - \mathbf{\overline{X}}_\ell - \mathbf{\overline{X}}_k + \mathbf{\overline{X}}\right)\left(\mathbf{\overline{X}}_{\ell k} - \mathbf{\overline{X}}_\ell - \mathbf{\overline{X}}_k + \mathbf{\overline{X}}\right)^{\prime}+ \\ &\quad \sum_{\ell=1}^{g} \sum_{k=1}^{b} \sum_{r=1}^{n} \left(\mathbf{X}_{\ell kr} - \mathbf{\overline{X}}_{\ell k}\right)\left(\mathbf{X}_{\ell kr} - \mathbf{\overline{X}}_{\ell k}\right)^{\prime} \end{align} \tag{6-61} \]
Os graus de liberdade correspondentes são:
\[ gbn - 1 = (g - 1) + (b - 1) + (g - 1)(b - 1) + gb(n - 1) \tag{6-62} \]
Mais uma vez, a generalização da análise univariada para a análise multivariada consiste simplesmente em substituir um escalar, como \((x_\ell - \bar{x})^2\), pela matriz correspondente \((\mathbf{X}_\ell - \mathbf{\overline{X}})(\mathbf{X}_\ell - \mathbf{\overline{X}})^{\prime}\).
Traduzindo e adaptando para a notação solicitada:
Tabela MANOVA
| Fonte de Variação | Matriz de Soma de Quadrados e Produtos Cruzados (SSP) | Graus de Liberdade (df) |
|---|---|---|
| Fator 1 | \(\text{SSP}_{\text{fat1}} = \sum_{\ell=1}^{g} bn (\mathbf{\overline{X}}_{\ell} - \mathbf{\overline{X}})(\mathbf{\overline{X}}_{\ell} - \mathbf{\overline{X}})^{\prime}\) | \(g - 1\) |
| Fator 2 | \(\text{SSP}_{\text{fat2}} = \sum_{k=1}^{b} gn (\mathbf{\overline{X}}_k - \mathbf{\overline{X}})(\mathbf{\overline{X}}_k - \mathbf{\overline{X}})^{\prime}\) | \(b - 1\) |
| Interação | \(\text{SSP}_{\text{int}} = \sum_{\ell=1}^{g} \sum_{k=1}^{b} n (\mathbf{\overline{X}}_{\ell k} - \mathbf{\overline{X}}_{\ell} - \mathbf{\overline{X}}_k + \mathbf{\overline{X}})(\mathbf{\overline{X}}_{\ell k} - \mathbf{\overline{X}}_{\ell} - \mathbf{\overline{X}}_k + \mathbf{\overline{X}})^{\prime}\) | \((g - 1)(b - 1)\) |
| Resíduo | \(\text{SSP}_{\text{res}} = \sum_{\ell=1}^{g} \sum_{k=1}^{b} \sum_{r=1}^{n} (\mathbf{X}_{\ell kr} - \mathbf{\overline{X}}_{\ell k})(\mathbf{X}_{\ell kr} - \mathbf{\overline{X}}_{\ell k})^{\prime}\) | \(gb(n - 1)\) |
| Total | \(\text{SSP}_{\text{tot}} = \sum_{\ell=1}^{g} \sum_{k=1}^{b} \sum_{r=1}^{n} (\mathbf{X}_{\ell kr} - \mathbf{\overline{X}})(\mathbf{X}_{\ell kr} - \mathbf{\overline{X}})^{\prime}\) | \(gbn - 1\) |
O teste de razão de verossimilhanças de (sem efeito de interação):
\[ \begin{cases} H_0: \boldsymbol{\gamma}_{11} = \boldsymbol{\gamma}_{12} = \cdots = \boldsymbol{\gamma}_{gb} = \mathbf{0} \\ H_1: \text{Pelo menos um }\boldsymbol{\gamma}_{\ell k} \ne \mathbf{0} \end{cases}\\ \alpha=5\% \tag{6-63} \]
É conduzido rejeitando \(H_0\) para pequenos valores da razão:
\[ \Lambda^{\ast}_\text{int} = \dfrac{|\text{SSP}_\text{res}|}{|\text{SSP}_\text{res} + \text{SSP}_\text{int}|} \tag{6-64} \]
O procedimento de teste de razão de verossimilhanças (LR) requer que \(p \leq gb(n - 1)\), para que o \(\text{SSP}_{\text{res}}\) seja definida positiva (com probabilidade 1).
Para amostra grande, \(gb(n-1) -p\ge30\), o lambda de Wilks, \(\Lambda^*\), pode ser referido a um percentil de qui-quadrado.
Usando o multiplicador de Bartlett (veja [6]) para melhorar a aproximação qui-quadrada, rejeitamos \(H_0: \boldsymbol{\gamma}_{11} = \boldsymbol{\gamma}_{12} = \cdots = \boldsymbol{\gamma}_{gb} = \mathbf{0}\) no nível \(\alpha\) se:
\[ X^2 = -\left(gb(n-1)-\dfrac{p+1-(g-1)(b-1)}{2}\right)\ln(\Lambda^*) > \chi^2_{(g-1)(b-1)p}(1-\alpha) \tag{6-65} \]
Aquelas respostas sem interação podem ser interpretadas em termos de efeitos aditivos dos fatores 1 e 2, desde que esses últimos efeitos existam. Em qualquer caso, gráficos de interação semelhantes à Figura 6.3, mas com médias de amostra de tratamento substituindo os valores esperados, esclarecem melhor as magnitudes relativas dos efeitos principais e de interação.
No modelo multivariado, testamos os efeitos principais dos fatores 1 e 2 da seguinte maneira. Primeiro, considere as hipóteses \(H_{\mathbf{0}}: \boldsymbol{\tau}_1 = \boldsymbol{\tau}_2 = \cdots = \boldsymbol{\tau}_g = \mathbf{0}\) e \(H_1:\) pelo menos um \(\boldsymbol{\tau}_\ell \ne\mathbf{0}\). Essas hipóteses nula e alternativa especificam que não há efeito do fator 1 e há algum efeito do fator 1, respectivamente. Seja
\[ \Lambda^{\ast}_\text{fat1} = \dfrac{|\text{SSP}_\text{res}|}{|\text{SSP}_\text{res} + \text{SSP}_\text{fat1}|} \tag{6-66} \]
de modo que valores pequenos de \(\Lambda^*\) são consistentes com \(H_1\). Para amostra grande, \(g(n-1)-p\ge30\), e usando a correção de Bartlett, o teste de razão de verossimilhanças é o seguinte:
Rejeite \(H_{\mathbf{0}}: \boldsymbol{\tau}_1 = \boldsymbol{\tau}_2 =\cdots= \boldsymbol{\tau}_g = \mathbf{0}\) (sem efeito do fator 1) no nível \(\alpha\) se
\[ X^2 = -\left(gb(n-1)-\dfrac{p+1-(g-1)}{2}\right)\ln(\Lambda^*) > \chi^2_{(g-1)p}(1-\alpha) \tag{6-67} \]
De maneira semelhante, o efeito do fator 2 é testado considerando \(H_{\mathbf{0}}: \boldsymbol{\beta}_1 = \boldsymbol{\beta}_2 = \cdots = \boldsymbol{\beta}_b = \mathbf{0}\) e \(H_1\) onde pelo menos um \(\boldsymbol{\beta}_k \ne\mathbf{0}\). Valores pequenos de
\[ \Lambda^{\ast}_\text{fat2} =\dfrac{|\text{SSP}_\text{res}|}{|\text{SSP}_\text{res} + \text{SSP}_\text{fat2}|} \tag{6-68} \]
são consistentes com \(H_1\). Novamente, para amostra grande, \(b(n-1)-p\ge30\), e usando a correção de Bartlett:
Rejeite \(H_{\mathbf{0}}: \boldsymbol{\beta}_1 = \boldsymbol{\beta}_2 = \cdots = \boldsymbol{\beta}_b = \mathbf{0}\) (sem efeito do fator 2) no nível \(\alpha\) se
\[ X^2 = -\left(gb(n-1)-\dfrac{p+1-(b-1)}{2}\right)\ln(\Lambda^*) > \chi^2_{(b-1)p}(1-\alpha) \tag{6-69} \]
Comentário. Consideramos o modelo multivariado de dois fatores com replicações. Ou seja, o modelo permite \(n\ge2\) replicações das respostas em cada combinação de níveis de fatores. Isso nos permite examinar a interação dos fatores. Se apenas um vetor de observação estiver disponível em pelo menos uma combinação de níveis de fatores, o modelo de dois fatores não permite a possibilidade de um termo de interação geral \(\gamma_{\ell k}\). A tabela MANOVA correspondente inclui apenas o fator 1, o fator 2 e as fontes residuais de variação como componentes da variação total. (Veja o Exercício 6.13).
Exemplo 6.13: Uma análise multivariada de variância de dois fatores de dados de filme plástico
As condições ótimas para extrudir filme plástico foram examinadas usando uma técnica chamada Operação Evolutiva. (Veja [9].)
No decorrer do estudo que foi realizado, três respostas
- \(X_1\) = resistência ao rasgo
- \(X_2\) = brilho
- \(X_3\) = opacidade
foram medidas em dois níveis dos fatores, taxa de extrusão\(\ast\) e quantidade de um aditivo.
\(\ast\): Extrudir é um processo utilizado na produção de objetos com perfil contínuo e homogêneo. Durante a extrusão, um material é empurrado ou puxado através de um molde (conhecido como matriz) que possui um orifício com o perfil desejado, resultando em um produto com a forma desse orifício. Um exemplo comum de extrusão é a produção de massas alimentícias, onde a massa é pressionada através de uma matriz para formar diferentes formatos, como espaguete ou macarrão. Em contextos industriais, a extrusão é amplamente utilizada na produção de itens como tubos, hastes, fios e filmes plásticos. O processo pode ser usado com uma variedade de materiais, incluindo plásticos, metais e cerâmicas.
As medições foram repetidas \(n = 5\) vezes em cada combinação dos níveis de fatores. Os dados são exibidos na Tabela 6.4.
O valor p omnibus é obtido por meio de GLM usando
lm.
porquinho-da-índia
Para testar a interação, calculamos
\[ \Lambda^{\ast}_\text{int}=\dfrac{|\text{SSP}_\text{res}|}{|\text{SSP}_\text{res}+\text{SSP}_\text{int}|}=\dfrac{275.7098}{354.7906}=0.7771 \]
Para \((g - l)(b - 1) = 1\),
\[ F=\left(\dfrac{1-\Lambda^{\ast}_\text{int}}{\Lambda^{\ast}_\text{int}}\right)\dfrac{(gb(n-1)-p+1)/2}{(|(g-1)(b-1)-p|+1)/2} \]
possui uma distribuição F exata com graus de liberdade \(\nu_1 = |(g - l)(b - 1) - p| + 1\) e \(\nu_2=gb(n - 1) - p + 1\). (Veja [1]).
Para o nosso exemplo:
\[ F = \dfrac{1 - 0.7771}{0.7771} \dfrac{(2(2)(4)-3+1)/2}{(|1(1)-3|+1)/2} \]
Uma vez que \(F = 1.34 < F_{3,14}(0.95) = 3.34\), não rejeitamos a hipótese \(H_0: \boldsymbol{\gamma}_{11} = \boldsymbol{\gamma}_{12} = \boldsymbol{\gamma}_{21} = \boldsymbol{\gamma}_{22} = \mathbf{0}\) (sem efeitos de interação).
Observe que a estatística qui-quadrado aproximada para este teste é \(- [2(2)(4) \times (3 + 1 - 2(1))/2] \ln(0.7771) = 3.66\), a partir de (6-65). Uma vez que \(\chi^2(0.95) = 7.81\), chegaríamos à mesma conclusão que foi fornecida pelo teste F exato.
Para testar os efeitos dos fatores 1 e 2 (veja página 317), calculamos:
\[ \Lambda^{\ast}_\text{fat1} = \dfrac{{|\text{SSP}_{\text{res}}|}}{|\text{SSP}_{\text{res}} + \text{SSP}_{\text{fat1}}|} = \dfrac{{275.7098}}{722.0212} = 0.3819 \]
e
\[ \Lambda^{\ast}_\text{fat2} = \dfrac{{|\text{SSP}_{\text{res}}|}}{|\text{SSP}_{\text{res}} + \text{SSP}_{\text{fat2}}|} = \dfrac{{275.7098}}{527.1347} = 0.5230 \]
Para ambos \(g - 1 = 1\) e \(b - 1 = 1\),
\[ F_1 = \left(\dfrac{1 - \Lambda^{\ast}_\text{fat1}}{\Lambda^{\ast}_\text{fat1}}\right) \dfrac{(gb(n-1) - p + 1)/2}{(|(g-1)(b-1) - p| + 1)/2} \]
e
\[ F_2 = \left(\dfrac{1 - \Lambda^{\ast}_\text{fat2}}{\Lambda^{\ast}_\text{fat2}}\right) \dfrac{(gb(n-1) - p + 1)/2}{(|(g-1)(b-1) - p| + 1)/2} \]
possuem distribuições F exatas com graus de liberdade \(\nu_1 = |(g - 1)(b - 1) - p| + 1\) e \(\nu_2 = gb(n - 1) - p + 1\), respectivamente. (Veja [1]).
No nosso caso,
\[ F_1 = \dfrac{1 - 0.3819}{0.3819} \dfrac{(2(2)(4) - 3 + 1)/2}{(|(2 - 1)(2 - 1) - 3| + 1)/2} = 7.55 \]
e
\[ F_2 = \dfrac{1 - 0.5230}{0.5230} \dfrac{(2(2)(4) - 3 + 1)/2}{(|(2 - 1)(2 - 1) - 3| + 1)/2} = 4.26 \]
De antes, \(F_{3,14}(0.95) = 3.34\). Temos \(F_1 = 7.55 > F_{3,14}(0.95) = 3.34\), e portanto, rejeitamos \(H_0: \boldsymbol{\tau}_1 = \boldsymbol{\tau}_2 = \mathbf{0}\) (sem efeitos do fator 1) no nível de 5%. Similarmente, \(F_2 = 4.26 > F_{3,14}(0.95) = 3.34\), e rejeitamos \(H_0: \boldsymbol{\beta}_1 = \boldsymbol{\beta}_2 = \mathbf{0}\) (sem efeitos do fator 2) no nível de 5%. Concluímos que tanto a mudança na taxa de extrusão quanto a quantidade de aditivo afetam as respostas, e eles o fazem de maneira aditiva. Outra solução é usar a correção de Bonferroni ou de Kimball (Sidak) para testar os dois efeitos principais.
A natureza dos efeitos dos fatores 1 e 2 nas respostas é explorada no Exercício 6.15. Nesse exercício, intervalos de confiança simultâneos para contrastes nos componentes de \(\boldsymbol{\tau}_\ell\) e \(\boldsymbol{\beta}_k\) são considerados.
suppressMessages(suppressWarnings(
invisible(Sys.setlocale("LC_ALL", "pt_BR.UTF-8"))
))
x <- read.table("JW6Data/T6-4.dat", quote="\"", comment.char="")
alfa <- 0.05
names(x) <- c("F1", "F2", "X1", "X2", "X3")
x$F1 <- factor(x$F1)
x$F2 <- factor(x$F2)
# --- descritivas rápidas
print(psych::describeBy(X1+X2+X3 ~ F1+F2,
mat=1, digits=2, data=x)) item group1 group2 vars n mean sd median trimmed mad min max range
X11 1 0 0 1 5 6.30 0.31 6.5 6.30 0.00 5.8 6.5 0.7
X12 2 1 0 1 5 6.88 0.26 6.8 6.88 0.30 6.6 7.2 0.6
X13 3 0 1 1 5 6.68 0.46 6.9 6.68 0.44 6.1 7.2 1.1
X14 4 1 1 1 5 7.28 0.26 7.2 7.28 0.30 7.0 7.6 0.6
X21 5 0 0 2 5 9.56 0.25 9.6 9.56 0.15 9.2 9.9 0.7
X22 6 1 0 2 5 8.72 0.45 8.5 8.72 0.30 8.3 9.3 1.0
X23 7 0 1 2 5 9.58 0.37 9.5 9.58 0.59 9.1 10.0 0.9
X24 8 1 1 2 5 9.40 0.50 9.2 9.40 0.59 8.8 10.1 1.3
X31 9 0 0 3 5 3.74 2.05 4.1 3.74 1.63 0.8 6.4 5.6
X32 10 1 0 3 5 3.14 0.99 3.4 3.14 0.89 1.6 4.1 2.5
X33 11 0 1 3 5 3.84 1.88 3.9 3.84 2.67 1.9 5.7 3.8
X34 12 1 1 3 5 5.02 2.74 5.2 5.02 3.71 1.9 8.4 6.5
skew kurtosis se
X11 -0.70 -1.51 0.14
X12 0.17 -2.11 0.12
X13 -0.18 -2.06 0.21
X14 0.17 -2.11 0.12
X21 -0.09 -1.48 0.11
X22 0.29 -2.13 0.20
X23 -0.04 -1.98 0.17
X24 0.21 -1.83 0.23
X31 -0.15 -1.58 0.92
X32 -0.52 -1.60 0.44
X33 -0.02 -2.20 0.84
X34 0.02 -2.06 1.23# --- formato longo (tidyr) para boxplot
Dados.long <- tidyr::pivot_longer(
x, cols = c(X1, X2, X3),
names_to = "variavel", values_to = "valor"
)
# --- boxplot por célula F1:F2, facet por variável
p_box <- ggplot2::ggplot(
Dados.long,
ggplot2::aes(x = interaction(F1, F2, sep=":"),
y = valor,
fill = interaction(F1, F2, sep=":"))
) +
ggplot2::geom_boxplot() +
ggplot2::facet_wrap(~ variavel, scales = "free_y") +
ggplot2::labs(x = "F1:F2", y = "", fill = "F1:F2") +
ggplot2::theme_bw() +
ggplot2::theme(panel.grid =
ggplot2::element_blank())
print(p_box)
# --- pairs plots (corrigindo estética)
print(
GGally::ggpairs(
data = x,
mapping = ggplot2::aes(
alpha=0.3,
color = interaction(F1, F2, sep=":")
)
) +
ggplot2::theme_bw() +
ggplot2::theme(panel.grid =
ggplot2::element_blank())
)Registered S3 method overwritten by 'GGally':
method from
+.gg ggplot2`stat_bin()` using `bins = 30`. Pick better value with `binwidth`.
`stat_bin()` using `bins = 30`. Pick better value with `binwidth`.
`stat_bin()` using `bins = 30`. Pick better value with `binwidth`.
`stat_bin()` using `bins = 30`. Pick better value with `binwidth`.
`stat_bin()` using `bins = 30`. Pick better value with `binwidth`.
`stat_bin()` using `bins = 30`. Pick better value with `binwidth`.
# --- ICs por célula (Bonferroni por célula F1×F2)
g1 <- nlevels(x$F1)
g2 <- nlevels(x$F2)
alfaBonf <- alfa/(g1*g2)
## 0) Nível de confiança (usa 1-alfaBonf se existir)
conf.level <- 1 - alfaBonf
## 1) Longo (a partir de x)
Dados.long <- tidyr::pivot_longer(
x,
cols = c(X1, X2, X3),
names_to = "variavel",
values_to = "valor"
)
Dados.long$variavel <- factor(Dados.long$variavel, levels = c("X1","X2","X3"))
Dados.long$F1 <- factor(Dados.long$F1, levels = levels(x$F1))
Dados.long$F2 <- factor(Dados.long$F2, levels = levels(x$F2))
## 2) Resumo por (variavel, F1, F2)
sumfun <- function(z) c(N = length(z), mean = mean(z, na.rm=TRUE), sd = sd(z, na.rm=TRUE))
res <- aggregate(valor ~ variavel + F1 + F2, data = Dados.long, FUN = sumfun, na.action = na.omit)
ic <- res
ic$N <- ic$valor[, "N"]
ic$mean <- ic$valor[, "mean"]
ic$sd <- ic$valor[, "sd"]
ic$valor <- NULL
## 3) IC de t
ic$se <- ic$sd / sqrt(pmax(ic$N, 1))
tcrit <- qt((1 + conf.level)/2, df = pmax(ic$N - 1, 1))
ic$ci <- tcrit * ic$se
ic$ymin <- ic$mean - ic$ci
ic$ymax <- ic$mean + ic$ci
## 4) Limpeza para evitar facets vazios
ic <- ic[complete.cases(ic[, c("variavel","F1","F2","mean","ci")]), ]
stopifnot(nrow(ic) > 0) # garante que há dados
## 5) Gráfico
pd <- ggplot2::position_dodge(0.9)
grf <- ggplot2::ggplot(ic,
ggplot2::aes(x = F1, y = mean,
colour = F2)) +
ggplot2::geom_errorbar(ggplot2::aes(ymin = ymin,
ymax = ymax),
position = pd,
width = 0.1) +
ggplot2::geom_point(shape = 21,
size = 3,
fill = "white",
position = pd) +
ggplot2::facet_wrap(~ variavel, scales = "free_y") +
ggplot2::labs(x = "F1",
y = "IC",
colour = "F2",
title = sprintf("F1 × F2: IC95 Bonferroni")) +
ggplot2::theme_bw() +
ggplot2::theme(panel.grid =
ggplot2::element_blank())
print(grf)
Type II MANOVA Tests: Wilks test statistic
Df test stat approx F num Df den Df Pr(>F)
F1 1 0.382 7.55 3 14 0.003 **
F2 1 0.523 4.26 3 14 0.025 *
F1:F2 1 0.777 1.34 3 14 0.302
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1eta2 <- effectsize::eta_squared(anv,
partial=TRUE,
generalized=FALSE,
ci=1-alfa/3,
alternative="two.sided",
verbose=TRUE)
eta2$interpret <- effectsize::interpret_eta_squared(eta2$Eta2)
print(eta2, digits=4)# Effect Size for ANOVA (Type II)
Parameter | Eta2 (partial) | 98.3333% CI | interpret
---------------------------------------------------------
F1 | 0.6181 | [0.0654, 0.8129] | large
F2 | 0.4770 | [0.0000, 0.7350] | large
F1:F2 | 0.2229 | [0.0000, 0.5584] | large# valor p omnibus necessita de regressão multivariada múltipla
# Função para calcular a matriz SSP para o Fator 1
SSP_fat1 <- function(data) {
g <- nlevels(data$F1)
b <- nlevels(data$F2)
n <- nrow(data) / (g * b)
p <- ncol(data[, grep("X",colnames(data))])
ssp_matrix <- matrix(0, p, p)
for (i in unique(data$F1)) {
current_subset <- subset(data, F1 == i)
mean_diff <- colMeans(current_subset[, grep("X",colnames(data))]) -
colMeans(data[, grep("X",colnames(data))])
ssp_matrix <- ssp_matrix + b * n * (matrix(mean_diff) %*% t(matrix(mean_diff)))
}
return(ssp_matrix)
}
# Função para calcular a matriz SSP para o Fator 2
SSP_fat2 <- function(data) {
g <- nlevels(data$F1)
b <- nlevels(data$F2)
n <- nrow(data) / (g * b)
p <- ncol(data[, grep("X",colnames(data))])
ssp_matrix <- matrix(0, p, p)
for (i in unique(data$F2)) {
current_subset <- subset(data, F2 == i)
mean_diff <- colMeans(current_subset[, grep("X",colnames(data))]) -
colMeans(data[, grep("X",colnames(data))])
ssp_matrix <- ssp_matrix + g * n * (matrix(mean_diff) %*% t(matrix(mean_diff)))
}
return(ssp_matrix)
}
# Função para calcular a matriz SSP de Interação
SSP_int <- function(data) {
g <- nlevels(data$F1)
b <- nlevels(data$F2)
n <- nrow(data) / (g * b)
p <- ncol(data[, grep("X",colnames(data))])
ssp_matrix <- matrix(0, p, p)
for (i in unique(data$F1)) {
for (j in unique(data$F2)) {
current_subset <- subset(data, F1 == i & F2 == j)
mean_diff <- colMeans(current_subset[, grep("X",colnames(data))]) -
colMeans(subset(data, F1 == i)[, grep("X",colnames(data))]) -
colMeans(subset(data, F2 == j)[, grep("X",colnames(data))]) +
colMeans(data[, grep("X",colnames(data))])
ssp_matrix <- ssp_matrix + n * (matrix(mean_diff) %*% t(matrix(mean_diff)))
}
}
return(ssp_matrix)
}
# Função para calcular a matriz SSP Residual
SSP_res <- function(data) {
g <- nlevels(data$F1)
b <- nlevels(data$F2)
n <- nrow(data) / (g * b)
p <- ncol(data[, grep("X",colnames(data))])
ssp_matrix <- matrix(0, p, p)
for (i in unique(data$F1)) {
for (j in unique(data$F2)) {
current_subset <- subset(data, F1 == i & F2 == j)
mean_diff <- t(as.matrix(current_subset[, grep("X",colnames(data))] -
matrix(rep(colMeans(current_subset[, grep("X",colnames(data))]), each=nrow(current_subset)), ncol=p)))
ssp_matrix <- ssp_matrix + (mean_diff %*% t(mean_diff))
}
}
return(ssp_matrix)
}
# Agora, vamos calcular cada matriz SSP e reproduzir a tabela
ssp_fat1 <- SSP_fat1(x)
ssp_fat2 <- SSP_fat2(x)
ssp_int <- SSP_int(x)
ssp_res <- SSP_res(x)
ssp_tot <- ssp_fat1 + ssp_fat2 + ssp_int + ssp_res
cat("SSP for Factor 1:\n")SSP for Factor 1: [,1] [,2] [,3]
[1,] 1.74 -1.50 0.86
[2,] -1.50 1.30 -0.74
[3,] 0.86 -0.74 0.42
SSP for Factor 2: [,1] [,2] [,3]
[1,] 0.76 0.68 1.9
[2,] 0.68 0.61 1.7
[3,] 1.93 1.73 4.9
SSP for Interaction: [,1] [,2] [,3]
[1,] 0.0005 0.017 0.045
[2,] 0.0165 0.545 1.469
[3,] 0.0445 1.469 3.961
SSP for Residual: X1 X2 X3
X1 1.76 0.02 -3.07
X2 0.02 2.63 -0.55
X3 -3.07 -0.55 64.92
SSP for Total: X1 X2 X3
X1 4.27 -0.79 -0.24
X2 -0.79 5.09 1.91
X3 -0.24 1.91 74.21# Teste de razão de verossimilhança por qui-quadrado aproximado
g <- length(unique(x$F1))
b <- length(unique(x$F2))
n <- nrow(x) / (g*b)
p <- 3
df_fat1 <- (g - 1)*p
df_fat2 <- (b - 1)*p
df_int <- (g - 1) * (b - 1)*p
Lambda_star_int <- det(ssp_res) / det(ssp_int + ssp_res)
X2_int <- -(g*b*(n-1) - (p+1-(g-1)*(b-1))/2) * log(Lambda_star_int)
print(Lambda_star_int, 2)[1] 0.78[1] 3.66[1] 7.81[1] 0.301Lambda_star_fat1 <- det(ssp_res) / det(ssp_fat1 + ssp_res)
X2_fat1 <- -(g*b*(n-1) - (p+1-(g-1))/2) * log(Lambda_star_fat1)
print(Lambda_star_fat1,2)[1] 0.38[1] 13.96[1] 7.81[1] 0.003Lambda_star_fat2 <- det(ssp_res) / det(ssp_fat2 + ssp_res)
X2_fat2 <- -(g*b*(n-1) - (p+1-(b-1))/2) * log(Lambda_star_fat2)
print(Lambda_star_fat2,2)[1] 0.52[1] 9.398[1] 7.815[1] 0.024# Formatando a saída para se assemelhar à função car::Anova
output <- data.frame(
"Wilks Lambda" = c(Lambda_star_fat1, Lambda_star_fat2, Lambda_star_int),
"Approx X2" = c(X2_fat1, X2_fat2, X2_int),
"df" = c(df_fat1, df_fat2, df_int),
"p" = c(p_fat1, p_fat2, p_int),
stringsAsFactors = FALSE,
check.names = FALSE)
rownames(output) <- c("Fator 1", "Fator 2", "Interação")
cat("Teste de razão de verossimilhanças por qui-quadrado aproximado\n")Teste de razão de verossimilhanças por qui-quadrado aproximado Wilks Lambda Approx X2 df p
Fator 1 0.382 13.96 3 0.00296
Fator 2 0.523 9.40 3 0.02445
Interação 0.777 3.66 3 0.30101
Type II MANOVA Tests: Wilks test statistic
Df test stat approx F num Df den Df Pr(>F)
F1 1 0.382 7.55 3 14 0.003 **
F2 1 0.523 4.26 3 14 0.025 *
F1:F2 1 0.777 1.34 3 14 0.302
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1\(T^2\) de Hotelling generalizada
A distribuição \(T^2\) de Hotelling de Modelo Linear Geral (GLM) multivariado indepedendente em arquivo wide ou GLM multivariado relacionado em arquivo long ou GLM duplamente multivariado (ou “misto” (sem efeito aleatório!)) em arquivo long é necessária para a determinação do valor p omnibus.
\(n\): número total de unidades experimentais (UE) do estudo; número de linhas do arquivo wide
\(g_i\): número de condições experimentais independentes ou níveis de fator fixo entre participantes \(i=1,2,\ldots,m\)
\(n_i\): número de unidades experimentais de condição independente (nível) do fator fixo entre participantes \(i=1,2,\ldots,g_i\)
\(p\): número de medidas (measures) intervalares
\(q_i\): número de condições experimentais dependentes do fator fixo intra participantes \(i=1,2,\ldots,h\)
\(p \prod_{i=1}^{h}{q_i}\): número de variáveis dependentes ou de desfecho (outcome) em arquivo wide; número de colunas com variáveis intervalares observadas em arquivo wide ou número de linhas em arquivo long
GLM multivariado unifatorial relacionado
Para Modelo Linear Geral (GLM) multivariado unifatorial relacionado com \(q \ge2\) condições dependentes, a distribuição \(T^2\) de Hotelling para o teste omnibus é (equivalente ao teste do efeito do fator):
\[ \begin{align} T^2_{k_1,\,k_2}&=k_2\dfrac{k_1}{k_2-k_1+1}F_{k_1,\,k_2-k_1+1} \\ T^2_{df_A,\,k_2}&=k_2\dfrac{df_A}{df_E}F_{df_A,\,df_E} \\ T^2_{p(q-1),\,n-1}&=(n-1)\dfrac{p(q-1)}{n-p(q-1)}F_{p(q-1),\,n-p(q-1)} \end{align} \] Os números de graus de liberdade do numerador e denominador da F são, respectivamente,
\[ df_A=k_1=p(q-1) \]
e
\[ \begin{align} df_E&=k_2-k_1+1\\ &=k_2-df_A+1\\ df_E&=n-1-p(q-1)+1\\ df_E&=n-p(q-1) \end{align} \]
Sendo que \(k_2=n-g=n-1\).
GLM multivariado unifatorial independente
Para Modelo Linear Geral (GLM) multivariado unifatorial independente com \(g\ge2\) grupos, a distribuição \(T^2\) de Hotelling para o teste omnibus é (equivalente ao teste do efeito do fator):
\[ \begin{align} T^2_{k_1,\,k_2}&=k_2\dfrac{k_1}{k_2-k_1+1}F_{k_1,\,k_2-k_1+1} \\ T^2_{df_A,\,k_2}&=k_2\dfrac{df_A}{df_E}F_{df_A,\,df_E} \\ T^2_{p(g-1),\,n-g}&=(n-g)\dfrac{p(g-1)}{n-g-p(g-1)+1}F_{p(g-1),\,n-g-p(g-1)+1} \end{align} \] Os números de graus de liberdade do numerador e denominador da F são, respectivamente,
\[ df_A=k_1=p(g-1) \]
e
\[ \begin{align} df_E&=k_2-k_1+1\\ &=k_2-df_A+1\\ df_E&=n-g-p(g-1)+1 \end{align} \]
Sendo que \(k_2=(n-1)-(g-1)=n-g\).
\(df_A\) quantifica a complexidade do modelo (GLM multivariado) e \(df_E\) quantifica o tamanho de amostra efetivo, sendo que \(n\) é o tamanho de amostra nominal.
Se \(df_E \ge 30\), pode-se recorrer ao Teorema Central do Limite, dispensando-se a suposição de multinormalidade para a validade do teste de hipótese nula omnibus.
Se \(df_E < 30\), pode-se recorrer ao argumento de que a distribuição multinormal em cada condição independente é uma condição suficiente para a validade do teste de hipótese nula omnibus. Nenhum teste estatístico de normalidade multivariada ou univariada é prova de normalidade, sendo possível apenas desprovar a normalidade por meio de teste estatístico. Dessa forma, mesmo em situação de amostra pequena, o teste omnibus pode ser válido.
A aproximação do quantil 95% de \(T^2\) por \(\chi^2\) com tolerância de 5% de diferença relativa ocorre para \(df_E \geq 200\) e \(df_A\le6\).
GLM multivariado bifatorial independente com interação
Para Modelo Linear Geral (GLM) multivariado bifatorial independente com interação (full model) há o método de aproximação-F de Rao para o Lambda de Wilks (Rao, 1951; Boik, 1988; Pham-Gia, 2008). Conforme Boik (1988), o método de Rao é adequado para DM-GLM. Portanto, a aplicação para GLM multivariado independente bifatorial é uma adaptação. Nesse artigo, o método a seguir é aplicável para testar o efeito de interação. Pela simplicidade, sugere-se o uso do teste de razão de verossimilhanças (LRT) com correção de Bartlett (fórmulas 6-65, 6-67 e 6-69).
Compute apenas \(\mathrm{SSP}_E\) e \(\mathrm{SSP}_\tau\), sendo que \(\tau\in{A,B,AB,O}\) é o efeito de interesse.
Daí, \(\Lambda_{\tau}=\det(\mathrm{SSP}_E)/\det(\mathrm{SSP}_E+\mathrm{SSP}_\tau)\) e aplique Rao–F ou Bartlett–χ² com as fórmulas abaixo.
- Notação
- \(p\): número de medidas
- \(g_1, g_2 \ge 2\): níveis de \(F_1\) e \(F_2\)
- \(n\): número de unidades experimentais
- Número de graus de liberdade do efeito em teste:
- \(h_A=g_1-1\)
- \(h_B=g_2-1\)
- \(h_{AB}=(g_1-1)(g_2-1)\)
- \(h_O=h_A+h_B+h_{AB}=g_1g_2-1\)
- \(v=n-1-h_O=n-g_1g_2\)
- Matrizes SSP
- \(\mathrm{SSP}_E\) (\(p\times p\)): matriz SSP do erro do modelo completo
- \(\mathrm{SSP}_A,\ \mathrm{SSP}_B,\ \mathrm{SSP}_{AB}\): SSP do efeito (A, B, AB) obtida pela hipótese linear do termo correspondente
- Omnibus: \(\mathrm{SSP}_O=\mathrm{SSP}_A+\mathrm{SSP}_B+\mathrm{SSP}_{AB}\).
- Lambda de Wilks
\[ \Lambda_\tau=\frac{\det\left(\mathrm{SSP}_E\right)}{\det\left(\mathrm{SSP}_E+\mathrm{SSP}_\tau\right)}\in(0,1] \]
- Rao–F (Wilks \(\to F\))
Com \(h_\tau\) do efeito \(\tau\):
\[ t=\sqrt{\frac{p^{2}+h_\tau^{2}-5}{(ph_\tau)^{2}-4}}\quad(\text{se não finito, }t=1),\qquad w=v-\frac{p-h_\tau+1}{2} \] \[ \mathrm{df}_1=ph_\tau,\qquad \mathrm{df}_2=wt+1-\frac{\mathrm{df}_1}{2} \] \[ F_{\tau}={\left(\Lambda_\tau^{-t}-1\right)}\frac{\mathrm{df}_2}{\mathrm{df}_1}, \qquad \text{valor-}p=P\left(F_{\mathrm{df}_1,\mathrm{df}_2}\ge F_{\tau}\right) \]
car::Anova: Df \(=h_\tau\); num Df \(=ph_\tau\); den Df \(=\mathrm{df}_2\); test stat
\(=\Lambda_\tau\);
approx F \(=F^{\text{Rao}}_{\tau}\).
- Bartlett–χ² (Wilks \(\to \chi^{2}\))
\[ X_\tau^{2}=-\left(n-g_1g_2-\frac{p-h_\tau+1}{2}\right)\ln\left(\Lambda_\tau\right) \underset{a}{\sim}\ \chi^{2}_{ph_\tau} \] \[ \text{valor-}p=P\left(\chi^{2}_{ph_\tau}\ge X_\tau^{2}\right) \]
- Relação útil (checagem, \(v=n-g_1g_2\) grande)
\[ \frac{h_\tau}{n-g_1g_2-p+1}F_{\tau}\ \approx\ \Lambda_\tau^{-1}-1 \]
suppressMessages(suppressWarnings(
invisible(Sys.setlocale("LC_ALL", "pt_BR.UTF-8"))))
Dados <- read.table("JW6Data/T6-4.dat", quote="\"", comment.char="")
alfa <- 0.05
names(Dados) <- c("F1", "F2", "X1", "X2", "X3")
Dados$F1 <- factor(Dados$F1)
Dados$F2 <- factor(Dados$F2)
# Fit MANOVA diretamente nos três desfechos
fit <- lm(cbind(X1, X2, X3) ~ F1*F2, data = Dados)
mf <- model.frame(fit)
Y <- model.response(mf) # n×p
X <- model.matrix(fit) # n×q
XtX <- crossprod(X)
B <- solve(XtX, crossprod(X, Y))
E <- crossprod(residuals(fit)) # SSP_E (p×p)
assign_vec <- attr(X, "assign")
term_labels <- attr(terms(fit), "term.labels")
get_cols <- function(lbl) which(assign_vec == which(term_labels == lbl))
cols_A <- get_cols("F1")
cols_B <- get_cols("F2")
cols_AB <- get_cols("F1:F2")
mk_H <- function(cols){
g <- length(cols)
C <- matrix(0, nrow=g, ncol=ncol(X))
C[cbind(seq_len(g), cols)] <- 1
Mid <- C %*% solve(XtX) %*% t(C)
t(C %*% B) %*% solve(Mid) %*% (C %*% B) # SSP_H (p×p)
}
H_A <- mk_H(cols_A)
H_B <- mk_H(cols_B)
H_AB <- mk_H(cols_AB)
logdet <- function(M){ d <- determinant(M, logarithm=TRUE); as.numeric(d$modulus) }
Lambda <- function(H) exp(logdet(E) - logdet(E + H))
lam_A <- Lambda(H_A)
lam_B <- Lambda(H_B)
lam_AB <- Lambda(H_AB)
H_O <- H_A + H_B + H_AB
lam_O <- Lambda(H_O)
# Df do efeito omnibus
p <- ncol(Y)
g1 <- nlevels(Dados$F1); g2 <- nlevels(Dados$F2)
n <- nrow(Dados); v <- n - g1*g2
hA <- g1-1; hB <- g2-1; hAB <- (g1-1)*(g2-1); hO <- g1*g2 - 1
# Rao–Wilks (padrão MANOVA)
rao_one <- function(lam, h){
t <- sqrt((p^2*h^2 - 4)/(p^2 + h^2 - 5)); if (!is.finite(t)) t <- 1
w <- v - (p - h + 1)/2
df1 <- p*h
df2 <- w*t + 1 - df1/2
F <- ((1 - lam^(1/t)) / (lam^(1/t))) * (df2/df1)
pv <- pf(F, df1=df1, df2=df2, lower.tail=FALSE)
c(Df=h, `test stat`=lam, `approx F`=F, `num Df`=df1, `den Df`=df2, `Pr(>F)`=pv)
}
tab_Rao <- rbind(
`F1` = rao_one(lam_A, hA),
`F2` = rao_one(lam_B, hB),
`F1:F2`= rao_one(lam_AB, hAB),
`F1*F2`= rao_one(lam_O, hO)
)
tab_Rao <- as.data.frame(tab_Rao, check.names=FALSE)
cat("Type II MANOVA Tests: Wilks test statistic — Rao–Wilks\n")Type II MANOVA Tests: Wilks test statistic — Rao–Wilks Df test stat approx F num Df den Df Pr(>F)
F1 1 0.463 5.42 3 14.0 0.0110
F2 1 0.813 1.07 3 14.0 0.3931
F1:F2 1 0.777 1.34 3 14.0 0.3018
F1*F2 3 0.320 2.27 9 34.2 0.0406# Bartlett (χ²) para Wilks
bartlett_one <- function(lam, h){
cfac <- v - (p - h + 1)/2 # fator de Bartlett
X2 <- - cfac * log(lam) # estatística χ^2
df <- p * h
pv <- pchisq(X2, df=df, lower.tail=FALSE)
c(Df=h, `test stat`=lam, `approx chi^2`=X2, `df(chi^2)`=df, `Pr(>chi^2)`=pv)
}
tab_Bart <- rbind(
`F1` = bartlett_one(lam_A, hA),
`F2` = bartlett_one(lam_B, hB),
`F1:F2`= bartlett_one(lam_AB, hAB),
`F1*F2`= bartlett_one(lam_O, hO)
)
tab_Bart <- as.data.frame(tab_Bart, check.names=FALSE)
cat("\nType II MANOVA Tests: Wilks test statistic — Bartlett (chi^2)\n")
Type II MANOVA Tests: Wilks test statistic — Bartlett (chi^2) Df test stat approx chi^2 df(chi^2) Pr(>chi^2)
F1 1 0.463 11.17 3 0.0108
F2 1 0.813 3.00 3 0.3924
F1:F2 1 0.777 3.66 3 0.3010
F1*F2 3 0.320 17.67 9 0.0392
Type II MANOVA Tests: Wilks test statistic
Df test stat approx F num Df den Df Pr(>F)
F1 1 0.3819 7.554 3 14 0.00303 **
F2 1 0.5230 4.256 3 14 0.02475 *
F1:F2 1 0.7771 1.339 3 14 0.30178
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1GLM multivariado duplamente multivariado ou misto
Para GLM multivariado duplamente multivariado ou misto (sem efeito aleatório) (Doubly Multivariate General Linear Model (DM-GLM) (com medidas repetidas) ou Mixed MANOVA Model) com efeito de interação, sendo que \(g\ge2\) e \(q\ge2\) são condições independentes e dependentes, respectivamente, a distribuição \(T^2\) de Hotelling para o teste do efeito de interação é desconhecida.
- Livros sobre DM-GLM
- Muller, KE & Stewart, PW (2006) Linear model theory:
Univariate, multivariate, and mixed models. NJ: Wiley.
- Chapter 17: Tests for Generalizations of Multivariate Linear Models: 17.2 DOUBLY MULTIVARIATE MODELS (Superficial!)
- Muller, KE & Stewart, PW (2006) Linear model theory:
Univariate, multivariate, and mixed models. NJ: Wiley.
- Artigos sobre DM-GLM:
- Pham-Gia, T (2008) Exact distribution of the generalized Wilks’s statistic and applications. Journal of Multivariate Analysis 99(8): 1698-716.
- Boik, RJ (1988) The mixed model for multivariate repeated measures: Validity conditions and an approximate test. Psychometrika 53(4): 469–86. https://doi.org/10.1007/BF02294401
- Opheim, T & Roy, A (2021) Doubly multivariate linear models with
block exchangeable distributed errors and site-dependent covariates.
Journal of Applied Statistics 49(14): 3659–76. https://doi.org/10.1080/02664763.2021.1959529
- Krzyśko, M et al. (2014) Analysis of multivariate repeated measures data using a MANOVA model and principal components. Biometrical Letters 51(2): 85–96. https://doi.org/10.2478/bile-2014-0008
- Friendly, M. (2010). HE plots for repeated measures designs. Journal of Statistical Software, 37(4), 1–40. https://doi.org/10.18637/jss.v037.i04
Exemplo: MANOVA.RM::multRM
library(MANOVA.RM)
Dados <- MANOVA.RM::EEG
eeg <- tidyr::spread(EEG, feature, resp)
print(head(eeg), digits=2) sex age diagnosis region id brainrate complexity
1 M 0 AD central 65 -1.1 -1.26
2 M 0 AD central 155 -2.0 -2.87
3 M 0 AD frontal 65 -1.3 -2.56
4 M 0 AD frontal 155 -1.6 -0.78
5 M 0 AD temporal 65 -1.1 -1.25
6 M 0 AD temporal 155 -2.1 -2.89 sex age diagnosis region id brainrate complexity
475 W 1 SCC temporal 123 0.87 0.056
476 W 1 SCC temporal 131 0.32 0.698
477 W 1 SCC temporal 132 1.21 1.073
478 W 1 SCC temporal 133 -0.26 0.265
479 W 1 SCC temporal 135 -0.69 0.343
480 W 1 SCC temporal 147 -1.17 0.740B <- 1e4
fitRM <- MANOVA.RM::multRM(cbind(brainrate, complexity) ~ sex * region,
data=eeg,
subject="id",
within="region",
iter=B)
print(summary(fitRM))Call:
cbind(brainrate, complexity) ~ sex * region
A multivariate repeated measures analysis with 1 within-subject factor(s) ( region )and 1 between-subject factor(s).
Descriptive:
sex region n brainrate complexity
1 M central 59 -0.254 -0.302
2 M frontal 59 -0.335 -0.399
3 M temporal 59 -0.294 -0.386
4 W central 101 0.149 0.176
5 W frontal 101 0.195 0.233
6 W temporal 101 0.172 0.226
Wald-Type Statistic (WTS):
Test statistic df p-value
sex "12.45" "2" "0.002"
region "0.192" "4" "0.996"
sex:region "2.79" "4" "0.593"
modified ANOVA-Type Statistic (MATS):
Test statistic
sex 54.203
region 0.048
sex:region 0.703
p-values resampling:
paramBS (WTS) paramBS (MATS)
sex "0.003" "0.001"
region "0.996" "0.988"
sex:region "0.609" "0.432"
paramBS (WTS) paramBS (MATS)
sex "0.003" "0.001"
region "0.996" "0.988"
sex:region "0.609" "0.432" fit <- lm(cbind(brainrate, complexity) ~ sex * region + id,
data=eeg)
print(car::Anova(fit), digits=3)Warning in cbind(x$df, tests, pf(tests[ok, 2], tests[ok, 3], tests[ok, 4], :
number of rows of result is not a multiple of vector length (arg 3)
Type II MANOVA Tests: Pillai test statistic
Df test stat approx F num Df den Df Pr(>F)
sex 1 0.0791 20.27 2 472 3.6e-09 ***
region 2 0.0000 0.00 4 946 1.1e-06 ***
id 1 0.0564 14.10 2 472 0.96
sex:region 2 0.0014 0.17 4 946 3.6e-09 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1alfa <- 0.05
print(effectsize::eta_squared(fit,
partial=TRUE,
ci = 1-alfa/8,
alternative = "two.sided"),
digits=4)# Effect Size for ANOVA (Type I)
Response | Parameter | Eta2 (partial) | 99.375% CI
-----------------------------------------------------------
brainrate | sex | 0.0523 | [0.0114, 0.1160]
brainrate | region | 1.4160e-31 | [0.0000, 0.0000]
brainrate | id | 0.0270 | [0.0016, 0.0791]
brainrate | sex:region | 0.0007 | [0.0000, 0.0174]
complexity | sex | 0.0773 | [0.0252, 0.1485]
complexity | region | 6.2436e-31 | [0.0000, 0.0000]
complexity | id | 5.3705e-06 | [0.0000, 0.0000]
complexity | sex:region | 0.0012 | [0.0000, 0.0205]Response brainrate :
Call:
lm(formula = brainrate ~ sex * region + id, data = eeg)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-3.512 -0.582 0.039 0.726 3.735
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 0.012068 0.145542 0.08 0.93395
sexW 0.422168 0.158162 2.67 0.00786 **
regionfrontal -0.080174 0.177614 -0.45 0.65191
regiontemporal -0.039491 0.177614 -0.22 0.82415
id -0.003460 0.000955 -3.62 0.00032 ***
sexW:regionfrontal 0.127008 0.223551 0.57 0.57021
sexW:regiontemporal 0.062559 0.223551 0.28 0.77972
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 0.965 on 473 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.0772, Adjusted R-squared: 0.0655
F-statistic: 6.59 on 6 and 473 DF, p-value: 1.05e-06
Response complexity :
Call:
lm(formula = complexity ~ sex * region + id, data = eeg)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-8.306 -0.289 0.202 0.559 2.178
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -3.06e-01 1.45e-01 -2.10 0.0361 *
sexW 4.78e-01 1.58e-01 3.02 0.0026 **
regionfrontal -9.67e-02 1.78e-01 -0.54 0.5862
regiontemporal -8.44e-02 1.78e-01 -0.48 0.6346
id 4.81e-05 9.54e-04 0.05 0.9598
sexW:regionfrontal 1.53e-01 2.23e-01 0.69 0.4933
sexW:regiontemporal 1.34e-01 2.23e-01 0.60 0.5498
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 0.964 on 473 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.0783, Adjusted R-squared: 0.0666
F-statistic: 6.69 on 6 and 473 DF, p-value: 8.17e-07
Type II MANOVA Tests:
Sum of squares and products for error:
brainrate complexity
brainrate 440.2 319.1
complexity 319.1 439.7
------------------------------------------
Term: sex
Sum of squares and products for the hypothesis:
brainrate complexity
brainrate 26.23 31.01
complexity 31.01 36.65
Multivariate Tests: sex
Df test stat approx F num Df den Df Pr(>F)
Pillai 1 0.0791 20.27 2 472 3.57e-09 ***
Wilks 1 0.9209 20.27 2 472 3.57e-09 ***
Hotelling-Lawley 1 0.0859 20.27 2 472 3.57e-09 ***
Roy 1 0.0859 20.27 2 472 3.57e-09 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
------------------------------------------
Term: region
Sum of squares and products for the hypothesis:
brainrate complexity
brainrate -1.11e-16 -1.665e-16
complexity 0.00e+00 -1.110e-16
Multivariate Tests: region
Df test stat approx F num Df den Df Pr(>F)
Pillai 2 0 -5.742e-17 4 946 1
Wilks 2 1 0.000e+00 4 944 1
Hotelling-Lawley 2 0 -5.718e-17 4 942 1
Roy 2 0 -5.742e-17 2 473 1
------------------------------------------
Term: id
Sum of squares and products for the hypothesis:
brainrate complexity
brainrate 12.2205 -0.169870
complexity -0.1699 0.002361
Multivariate Tests: id
Df test stat approx F num Df den Df Pr(>F)
Pillai 1 0.0564 14.1 2 472 1.12e-06 ***
Wilks 1 0.9436 14.1 2 472 1.12e-06 ***
Hotelling-Lawley 1 0.0598 14.1 2 472 1.12e-06 ***
Roy 1 0.0598 14.1 2 472 1.12e-06 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
------------------------------------------
Term: sex:region
Sum of squares and products for the hypothesis:
brainrate complexity
brainrate 0.3004 0.3609
complexity 0.3609 0.5180
Multivariate Tests: sex:region
Df test stat approx F num Df den Df Pr(>F)
Pillai 2 0.0014 0.1672 4 946 0.955
Wilks 2 0.9986 0.1669 4 944 0.955
Hotelling-Lawley 2 0.0014 0.1666 4 942 0.955
Roy 2 0.0012 0.2792 2 473 0.756 brainrate complexity
brainrate 440.2 319.1
complexity 319.1 439.7
Sum of squares and products for the hypothesis:
brainrate complexity
brainrate 0.3004 0.3609
complexity 0.3609 0.5180
Sum of squares and products for error:
brainrate complexity
brainrate 440.2 319.1
complexity 319.1 439.7
Multivariate Tests: sex:region
Df test stat approx F num Df den Df Pr(>F)
Pillai 2 0.0014 0.1672 4 946 0.955
Wilks 2 0.9986 0.1669 4 944 0.955
Hotelling-Lawley 2 0.0014 0.1666 4 942 0.955
Roy 2 0.0012 0.2792 2 473 0.756
Sum of squares and products for the hypothesis:
brainrate complexity
brainrate 26.23 31.01
complexity 31.01 36.65
Sum of squares and products for error:
brainrate complexity
brainrate 440.2 319.1
complexity 319.1 439.7
Multivariate Tests: sex
Df test stat approx F num Df den Df Pr(>F)
Pillai 1 0.0791 20.27 2 472 3.57e-09 ***
Wilks 1 0.9209 20.27 2 472 3.57e-09 ***
Hotelling-Lawley 1 0.0859 20.27 2 472 3.57e-09 ***
Roy 1 0.0859 20.27 2 472 3.57e-09 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Sum of squares and products for the hypothesis:
brainrate complexity
brainrate -1.11e-16 -1.665e-16
complexity 0.00e+00 -1.110e-16
Sum of squares and products for error:
brainrate complexity
brainrate 440.2 319.1
complexity 319.1 439.7
Multivariate Tests: region
Df test stat approx F num Df den Df Pr(>F)
Pillai 2 0 -5.742e-17 4 946 1
Wilks 2 1 0.000e+00 4 944 1
Hotelling-Lawley 2 0 -5.718e-17 4 942 1
Roy 2 0 -5.742e-17 2 473 1 Response brainrate :
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
sex 1 24.3 24.291 26.101 4.71e-07 ***
region 2 0.0 0.000 0.000 1.000000
id 1 12.2 12.220 13.131 0.000322 ***
sex:region 2 0.3 0.150 0.161 0.850997
Residuals 473 440.2 0.931
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Response complexity :
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
sex 1 36.8 36.81 39.599 7.12e-10 ***
region 2 0.0 0.00 0.000 1.000
id 1 0.0 0.00 0.003 0.960
sex:region 2 0.5 0.26 0.279 0.757
Residuals 473 439.7 0.93
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1print(summary(car::Anova(fit),
univariate=TRUE,
multivariate=FALSE,
p.adjust.method=TRUE), digits=2)
Type II Sums of Squares
df brainrate complexity
sex 1 2.6233e+01 3.6653e+01
region 2 -1.1102e-16 -1.1102e-16
id 1 1.2220e+01 2.3613e-03
sex:region 2 3.0041e-01 5.1796e-01
residuals 473 4.4019e+02 4.3967e+02
F-tests
brainrate complexity
sex 28.19 19.72
region 0.00 0.00
id 13.13 0.00
sex:region 0.32 0.28
p-values
brainrate complexity
sex 1.6960e-07 5.9682e-09
region 1.00000000 1.00000000
id 0.00032184 0.99873069
sex:region 0.57019736 0.75695628
p-values adjusted (by term) for simultaneous inference by holm method
brainrate complexity
sex 1.6960e-07 1.1936e-08
region 1.00000000 1.00000000
id 0.00064369 0.99873069
sex:region 1.00000000 1.00000000Exemplo: carData::OBrienKaiser
# a multivariate linear model for repeated-measures data
## See ?OBrienKaiser for a description of the data set used in this example.
phase <- factor(rep(c("pretest", "posttest", "followup"), c(5, 5, 5)),
levels=c("pretest", "posttest", "followup"))
hour <- ordered(rep(1:5, 3))
idata <- data.frame(phase, hour)
idata# A tibble: 15 × 2
phase hour
<fct> <ord>
1 pretest 1
2 pretest 2
3 pretest 3
4 pretest 4
5 pretest 5
6 posttest 1
7 posttest 2
8 posttest 3
9 posttest 4
10 posttest 5
11 followup 1
12 followup 2
13 followup 3
14 followup 4
15 followup 5 mod.ok <- lm(cbind(pre.1, pre.2, pre.3, pre.4, pre.5,
post.1, post.2, post.3, post.4, post.5,
fup.1, fup.2, fup.3, fup.4, fup.5) ~ treatment*gender,
data=carData::OBrienKaiser)
(av.ok <- car::Anova(mod.ok, idata=idata, idesign=~phase*hour))
Type II Repeated Measures MANOVA Tests: Pillai test statistic
Df test stat approx F num Df den Df Pr(>F)
(Intercept) 1 0.96954 318.34 1 10 6.532e-09 ***
treatment 2 0.48092 4.63 2 10 0.0376868 *
gender 1 0.20356 2.56 1 10 0.1409735
treatment:gender 2 0.36350 2.86 2 10 0.1044692
phase 1 0.85052 25.61 2 9 0.0001930 ***
treatment:phase 2 0.68518 2.61 4 20 0.0667354 .
gender:phase 1 0.04314 0.20 2 9 0.8199968
treatment:gender:phase 2 0.31060 0.92 4 20 0.4721498
hour 1 0.93468 25.04 4 7 0.0003043 ***
treatment:hour 2 0.30144 0.35 8 16 0.9295212
gender:hour 1 0.29274 0.72 4 7 0.6023742
treatment:gender:hour 2 0.57022 0.80 8 16 0.6131884
phase:hour 1 0.54958 0.46 8 3 0.8324517
treatment:phase:hour 2 0.66367 0.25 16 8 0.9914415
gender:phase:hour 1 0.69505 0.85 8 3 0.6202076
treatment:gender:phase:hour 2 0.79277 0.33 16 8 0.9723693
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Univariate Type II Repeated-Measures ANOVA Assuming Sphericity
Sum Sq num Df Error SS den Df F value Pr(>F)
(Intercept) 7260.0 1 228.056 10 318.3435 6.532e-09
treatment 211.3 2 228.056 10 4.6323 0.037687
gender 58.3 1 228.056 10 2.5558 0.140974
treatment:gender 130.2 2 228.056 10 2.8555 0.104469
phase 167.5 2 80.278 20 20.8651 1.274e-05
treatment:phase 78.7 4 80.278 20 4.8997 0.006426
gender:phase 1.7 2 80.278 20 0.2078 0.814130
treatment:gender:phase 10.2 4 80.278 20 0.6366 0.642369
hour 106.3 4 62.500 40 17.0067 3.191e-08
treatment:hour 1.2 8 62.500 40 0.0929 0.999257
gender:hour 2.6 4 62.500 40 0.4094 0.800772
treatment:gender:hour 7.8 8 62.500 40 0.6204 0.755484
phase:hour 11.1 8 96.167 80 1.1525 0.338317
treatment:phase:hour 6.3 16 96.167 80 0.3256 0.992814
gender:phase:hour 6.6 8 96.167 80 0.6900 0.699124
treatment:gender:phase:hour 14.2 16 96.167 80 0.7359 0.749562
(Intercept) ***
treatment *
gender
treatment:gender
phase ***
treatment:phase **
gender:phase
treatment:gender:phase
hour ***
treatment:hour
gender:hour
treatment:gender:hour
phase:hour
treatment:phase:hour
gender:phase:hour
treatment:gender:phase:hour
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Mauchly Tests for Sphericity
Test statistic p-value
phase 0.74927 0.27282
treatment:phase 0.74927 0.27282
gender:phase 0.74927 0.27282
treatment:gender:phase 0.74927 0.27282
hour 0.06607 0.00760
treatment:hour 0.06607 0.00760
gender:hour 0.06607 0.00760
treatment:gender:hour 0.06607 0.00760
phase:hour 0.00478 0.44939
treatment:phase:hour 0.00478 0.44939
gender:phase:hour 0.00478 0.44939
treatment:gender:phase:hour 0.00478 0.44939
Greenhouse-Geisser and Huynh-Feldt Corrections
for Departure from Sphericity
GG eps Pr(>F[GG])
phase 0.79953 7.323e-05 ***
treatment:phase 0.79953 0.01223 *
gender:phase 0.79953 0.76616
treatment:gender:phase 0.79953 0.61162
hour 0.46028 8.741e-05 ***
treatment:hour 0.46028 0.97879
gender:hour 0.46028 0.65346
treatment:gender:hour 0.46028 0.64136
phase:hour 0.44950 0.34573
treatment:phase:hour 0.44950 0.94019
gender:phase:hour 0.44950 0.58903
treatment:gender:phase:hour 0.44950 0.64634
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
HF eps Pr(>F[HF])
phase 0.9278594 2.387543e-05
treatment:phase 0.9278594 8.089765e-03
gender:phase 0.9278594 7.984495e-01
treatment:gender:phase 0.9278594 6.319975e-01
hour 0.5592802 2.014357e-05
treatment:hour 0.5592802 9.887716e-01
gender:hour 0.5592802 6.911521e-01
treatment:gender:hour 0.5592802 6.692976e-01
phase:hour 0.7330608 3.440460e-01
treatment:phase:hour 0.7330608 9.804731e-01
gender:phase:hour 0.7330608 6.552382e-01
treatment:gender:phase:hour 0.7330608 7.080122e-01## A "doubly multivariate" design with two distinct repeated-measures variables
## (example courtesy of Michael Friendly)
## See ?WeightLoss for a description of the dataset.
imatrix <- matrix(c(
1,0,-1, 1, 0, 0,
1,0, 0,-2, 0, 0,
1,0, 1, 1, 0, 0,
0,1, 0, 0,-1, 1,
0,1, 0, 0, 0,-2,
0,1, 0, 0, 1, 1), 6, 6, byrow=TRUE)
colnames(imatrix) <- c("WL", "SE", "WL.L", "WL.Q", "SE.L", "SE.Q")
rownames(imatrix) <- colnames(carData::WeightLoss)[-1]
(imatrix <- list(measure=imatrix[,1:2], month=imatrix[,3:6]))$measure
WL SE
wl1 1 0
wl2 1 0
wl3 1 0
se1 0 1
se2 0 1
se3 0 1
$month
WL.L WL.Q SE.L SE.Q
wl1 -1 1 0 0
wl2 0 -2 0 0
wl3 1 1 0 0
se1 0 0 -1 1
se2 0 0 0 -2
se3 0 0 1 1
Call:
lm(formula = cbind(wl1, wl2, wl3, se1, se2, se3) ~ group, data = carData::WeightLoss)
Coefficients:
wl1 wl2 wl3 se1 se2 se3
(Intercept) 5.34444 4.45000 2.17778 14.92778 13.79444 16.28333
group1 0.42222 0.55833 0.04722 0.08889 -0.26944 0.60000
group2 0.43333 1.09167 -0.02500 0.18333 -0.22500 0.71667
Type II Repeated Measures MANOVA Tests: Roy test statistic
Df test stat approx F num Df den Df Pr(>F)
measure 1 86.203 1293.04 2 30 < 2.2e-16 ***
group:measure 2 0.356 5.52 2 31 0.008906 **
month 1 9.407 65.85 4 28 7.807e-14 ***
group:month 2 1.772 12.84 4 29 3.909e-06 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Análise de Perfil
A análise de perfil refere-se a situações nas quais um conjunto de \(p\) tratamentos (testes, itens etc.) é administrado a dois ou mais grupos de unidades experimentais. Assume-se que as respostas para os diferentes grupos são independentes entre si. Normalmente, poderíamos nos perguntar: os vetores de média da população são os mesmos? Na análise de perfil, a questão da igualdade dos vetores de média é dividida em algumas possibilidades específicas.
Figura 6.4 O perfil populacional para p = 4.
Considere as médias populacionais \(\boldsymbol{\mu}_1 = [\mu_{11}\; \mu_{12}\; \mu_{13}\; \mu_{14}]^{\prime}\) representando as respostas médias a quatro tratamentos para o primeiro grupo. Um gráfico dessas médias, conectado por linhas retas, é mostrado na Figura 6.4. Este gráfico de linhas quebradas é o perfil para a população 1. Perfis podem ser construídos para cada população (grupo). Concentraremos a discussão em dois grupos.
Seja \(\boldsymbol{\mu}_1 = [\mu_{11}\; \mu_{12}\; \cdots, \;\mu_{1p}]^{\prime}\) e \(\boldsymbol{\mu}_2 = [\mu_{21}\; \mu_{22}\;\cdots\; \mu_{2p}]^{\prime}\) serem as respostas médias para os \(p\) tratamentos para as populações 1 e 2, respectivamente. A hipótese nula \(H_0: \boldsymbol{\mu}_1 = \boldsymbol{\mu}_2\) implica que os tratamentos têm o mesmo efeito nas duas populações. Em termos dos perfis da população, podemos formular a questão da igualdade de uma forma passo a passo.
- Os perfis são paralelos?
Equivalentemente:
\[ H_{0}^1: \mu_{1i} - \mu_{1(i-1)} = \mu_{2i} - \mu_{2(i-1)}\\ i = 2, 3, \ldots, p \]
- Supondo que os perfis sejam paralelos, os perfis são coincidentes?
Equivalentemente:
\[ H_{0}^2: \mu_{1i} = \mu_{2i}\\ i = 1, 2, \ldots, p \]
A questão “Supondo que os perfis sejam paralelos, os perfis são lineares?” é considerada no Exercício 6.12. A hipótese nula de perfis lineares paralelos pode ser escrita como:
\[ H_{0}: (\mu_{1i} + \mu_{2i}) - \left(\mu_{1(i-1)} + \mu_{2(i-1)}\right)= \left(\mu_{1(i-1)} + \mu_{2(i-1)}\right) - \left(\mu_{1(i-2)} + \mu_{2(i-2)}\right)\\ i = 3,\ldots, p \]
Embora essa hipótese possa ser de interesse em uma situação particular, na prática, a questão de saber se dois perfis paralelos são os mesmos (coincidentes), seja qual for sua natureza, geralmente é de maior interesse.
- Supondo que os perfis sejam coincidentes, os perfis são nivelados? Ou seja, todas as médias são iguais à mesma constante?
Equivalentemente:
\[ H_{0}^3: \mu_{11} = \mu_{12} = \cdots = \mu_{1p} = \mu_{21} = \mu_{22} = \cdots = \mu_{2p} \]
Observação: O teste de paralelismo não exige que os itens intervalares tenha a mesma unidade de medida e que os itens ordinais tenha o mesmo número de níveis. No entanto, os testes de linearidade com ou sem inclinação exigem os itens intervalares tenha a mesma unidade de medida e que os itens ordinais tenha o mesmo número de níveis.
A hipótese nula na etapa 1 pode ser escrita como
\[ H_{0}^1: \mathbf{C}\boldsymbol{\mu}_1 = \mathbf{C}\boldsymbol{\mu}_2 \]
Em que \(\mathbf{C}\) é a matriz de contraste:
\[ \underset{(p-1) \times p}{\mathbf{C}} = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & 1 \\ \end{bmatrix} \tag{6-72} \]
Para condicões independentes de tamanhos \(n_1\) e \(n_2\) das duas populações, a hipótese nula pode ser testada construindo as observações transformadas:
\[ \mathbf{C}\mathbf{X}_{1i} \quad i=1,2,\ldots,n_1 \]
e
\[ \mathbf{C}\mathbf{X}_{2j} \quad j=1,2,\ldots,n_2 \]
Estes têm vetores de média \(\mathbf{C}\overline{\mathbf{X}}_1\sim\mathcal{N}_{p-1}\left(\mathbf{C}\boldsymbol{\mu}_1, \mathbf{C}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{C}^{\prime}\right)\) e \(\mathbf{C}\overline{\mathbf{X}}_2\sim\mathcal{N}_{p-1}\left(\mathbf{C}\boldsymbol{\mu}_2, \mathbf{C}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{C}^{\prime}\right)\), respectivamente, e matriz de covariância agrupada \(\mathbf{C}\mathbf{S}_{\text{comb}}\mathbf{C}^{\prime}\).
Uma aplicação do Resultado 6.2 fornece um teste para perfis paralelos.
Teste de Perfis Paralelos para Duas Populações Normais
Rejeite \(H_{0}^1: \mathbf{C}\boldsymbol{\mu}_1 = \mathbf{C}\boldsymbol{\mu}_2\) (perfis paralelos) no nível \(\alpha\) se:
\[ T^2 = \left(\mathbf{C}\left(\bar{\mathbf{x}}_1 - \bar{\mathbf{x}}_2\right)\right)^{\prime}\left(\left(\dfrac{1}{{n_1}} + \dfrac{1}{{n_2}}\right)\mathbf{C}\mathbf{s}_{\text{comb}}\mathbf{C}^{\prime}\right)^{-1}\mathbf{C}\left(\bar{\mathbf{x}}_1 - \bar{\mathbf{x}}_2\right) >c^2 \tag{6-73} \]
em que
\[ c^2= \dfrac{{(n_1 + n_2 - 2)(p - 1)}}{{n_1 + n_2 - p}}F_{p-1, n_1+n_2-p}(1-\alpha)=T^2_{p-1, n_1+n_2-2}(1-\alpha) \]
Quando os perfis são paralelos, o primeiro está acima do segundo (\(\mu_{1i} > \mu_{2i}\) para todo \(i\)) ou vice-versa. Sob esta condição, os perfis serão coincidentes apenas se as alturas totais \(\sum_{i=1}^{p}{\mu_{1i}}= \mathbf{1}^{\prime}\boldsymbol{\mu}_1\) e \(\sum_{i=1}^{p}{\mu_{2i}} = \mathbf{1}^{\prime}\boldsymbol{\mu}_2\) forem iguais. Portanto, a hipótese nula na etapa 2 pode ser escrita na forma equivalente:
\[ H_{0}^2: \mathbf{1}^{\prime}\boldsymbol{\mu}_1 = \mathbf{1}^{\prime}\boldsymbol{\mu}_2 \]
Podemos então testar \(H_{0}^2\) com a usual estatística t com base nas observações univariadas \(\mathbf{1}^{\prime}\mathbf{x}_{1i}\), \(i = 1, 2, \ldots, n_1\) e \(\mathbf{1}^{\prime}\mathbf{x}_{2j}\), \(j = 1, 2, \ldots, n_2\).
Teste para Perfis Coincidentes se os Perfis São Paralelos
Para duas populações normais, rejeite \(H_{0}^2: \boldsymbol{1}^{\prime}\boldsymbol{\mu}_1 = \boldsymbol{1}^{\prime}\boldsymbol{\mu}_2\) (perfis coincidentes) no nível \(\alpha\) se:
\[ T^2 = \boldsymbol{1}^{\prime}(\bar{\mathbf{x}}_1 - \bar{\mathbf{x}}_2)\left(\left(\dfrac{1}{{n_1}} + \dfrac{1}{{n_2}}\right)\boldsymbol{1}^{\prime}\mathbf{s}_{\text{comb}}\boldsymbol{1}\right)\boldsymbol{1}^{\prime}(\bar{\mathbf{x}}_1 - \bar{\mathbf{x}}_2)>c^2 \tag{6-74} \]
\[ c^2=F_{1,n_1+n_2-2}(1-\alpha)=T^2_{1, n_1+n_2-2}(1-\alpha)=t^{2}_{n_1+n_2-2}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right) \]
Para perfis coincidentes, \(\mathbf{x}_{11}, \mathbf{x}_{12}, \ldots, \mathbf{x}_{1n_1}\) e \(\mathbf{x}_{21}, \mathbf{x}_{22}, \ldots, \mathbf{x}_{2n_2}\) são todas observações da mesma população normal. O próximo passo é verificar se todas as variáveis têm a mesma média, de modo que o perfil comum seja nivelado.
Quando \(H_{0}^1\) e \(H_{0}^2\) são não rejeitáveis, o vetor de média comum é estimado, usando todas as observações \(n_{1} + n_{2}\), por:
\[ \bar{\mathbf{x}} = \dfrac{{n_1 \bar{\mathbf{x}}_1 + n_2 \bar{\mathbf{x}}_2}}{{n_1 + n_2}} \]
Se o perfil comum é nivelado, então \(\mu_1 = \mu_2 = \cdots = \mu_p\), e a hipótese nula na etapa 3 pode ser escrita como:
\[ H_{0}^3: \mathbf{C}\boldsymbol{\mu} = \mathbf{0} \]
em que \(\mathbf{C}\) é dado por (6-72). Consequentemente, temos o seguinte teste.
Teste para Perfis Nivelados Se os Perfis São Coincidentes
Para duas populações normais, rejeite \(H_{0}^3: \mathbf{C}\boldsymbol{\mu} = \mathbf{0}\) (perfis nivelados) no nível \(\alpha\) se:
\[ T^2 = (n_1 + n_2)\,\left(\mathbf{C}\bar{\mathbf{x}}\right)^{\prime}\left(\mathbf{C}\mathbf{s}\mathbf{C}^{\prime}\right)^{-1}\mathbf{C}\bar{\mathbf{x}} > c^2 \tag{6-75} \]
em que \(\mathbf{s}\) é a matriz de covariância amostral baseada em todas as observações \(n_1 + n_2\), e:
\[ c^2 = \dfrac{{(n_1 + n_2 - 2)(p - 1)}}{{n_1 + n_2 - p}}F_{p-1, n_1+n_2-p+1}(1-\alpha)=T^2_{p-1, n_1+n_2-1}(1-\alpha) \]
Exemplo 6.14: Uma análise de perfil de dados sobre amor e casamento
Como parte de um estudo mais amplo sobre amor e casamento, E. Hatfield, um sociólogo, entrevistou homens e mulheres recém-casados. Eles foram convidados a responder às seguintes perguntas:
- Qual é o nível de amor apaixonado que você sente pelo seu parceiro(a)?
- Qual é o nível de amor apaixonado que o seu parceiro(a) sente por você?
- Qual é o nível de amor companheiro que você sente pelo seu parceiro(a)?
- Qual é o nível de amor companheiro que o seu parceiro(a) sente por você?
Os níveis dos quatro itens Likert de cinco pontos são:
- Nada
- Pouco
- Algum
- Muito
- Enorme
suppressMessages(suppressWarnings(
invisible(Sys.setlocale("LC_ALL", "pt_BR.UTF-8"))))
# profileR::spouse
x <- read.table("JW6Data/T6-14.dat", quote="\"", comment.char="")
alfa <- 0.05
names(x) <- c("X1", "X2", "X3", "X4", "Grupo")
x$Grupo <- factor(x$Grupo)
print(car::some(x)) X1 X2 X3 X4 Grupo
1 2 3 5 5 Husband
10 4 4 3 3 Husband
11 4 4 5 5 Husband
20 4 4 4 4 Husband
23 3 4 5 5 Husband
24 5 3 5 5 Husband
38 3 4 5 5 Wife
48 4 5 4 4 Wife
50 5 3 4 4 Wife
58 3 4 4 4 WifeGrupo
Husband Wife
30 30 item group1 vars n mean sd median trimmed mad min max range skew
X11 1 Husband 1 30 3.90 0.76 4.0 3.92 0.00 2 5 3 -0.30
X12 2 Wife 1 30 3.83 0.70 4.0 3.83 0.00 2 5 3 -0.37
X21 3 Husband 2 30 3.97 0.76 4.0 3.96 1.48 3 5 2 0.05
X22 4 Wife 2 30 4.10 0.66 4.0 4.12 0.00 3 5 2 -0.10
X31 5 Husband 3 30 4.33 0.66 4.0 4.42 1.48 3 5 2 -0.44
X32 6 Wife 3 30 4.63 0.49 5.0 4.67 0.00 4 5 1 -0.53
X41 7 Husband 4 30 4.40 0.67 4.5 4.50 0.74 3 5 2 -0.63
X42 8 Wife 4 30 4.53 0.51 5.0 4.54 0.00 4 5 1 -0.13
kurtosis se
X11 -0.35 0.14
X12 0.09 0.13
X21 -1.35 0.14
X22 -0.82 0.12
X31 -0.86 0.12
X32 -1.78 0.09
X41 -0.78 0.12
X42 -2.05 0.09
Type II MANOVA Tests: Pillai test statistic
Df test stat approx F num Df den Df Pr(>F)
Grupo 1 0.136 2.16 4 55 0.086 .
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1eta2 <- effectsize::eta_squared(anv,
partial=TRUE,
generalized=FALSE,
ci=1-alfa,
alternative="two.sided",
verbose=TRUE)
eta2$interpret <- effectsize::interpret_eta_squared(eta2$Eta2)
print(eta2, digits=4)# Effect Size for ANOVA (Type II)
Parameter | Eta2 (partial) | 95% CI | interpret
---------------------------------------------------------
Grupo | 0.1355 | [0.0000, 0.2739] | medium# Profile Analysis
# Results of F-tests for testing parallel, coincidential, and level profiles across two groups
mod <- profileR::pbg(data=x[,1:4],
group=x[,5],
original.names=TRUE,
profile.plot=TRUE)
Data Summary:
Husband Wife
X1 3.900000 3.833333
X2 3.966667 4.100000
X3 4.333333 4.633333
X4 4.400000 4.533333Call:
profileR::pbg(data = x[, 1:4], group = x[, 5], original.names = TRUE,
profile.plot = TRUE)
Hypothesis Tests:
$`Ho: Profiles are parallel`
Multivariate.Test Statistic Approx.F num.df den.df p.value
1 Wilks 0.8785726 2.579917 3 56 0.06255945
2 Pillai 0.1214274 2.579917 3 56 0.06255945
3 Hotelling-Lawley 0.1382099 2.579917 3 56 0.06255945
4 Roy 0.1382099 2.579917 3 56 0.06255945
$`Ho: Profiles have equal levels`
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
group 1 0.234 0.2344 1.533 0.221
Residuals 58 8.869 0.1529
$`Ho: Profiles are flat`
F df1 df2 p-value
1 8.18807 3 56 0.0001310162# Hypothesis 1 - Ratios of the means of the variables over the hypothesized mean are equal to 1.
print(profileR::paos(x[x$Grupo=="Husband",1:4],
scale=TRUE),
digits=3)
Profile Analysis for One Sample with Hotelling's T-Square:
T-Squared F df1 df2 p-value
Ho: Ratios of the means over Mu0=1 2391.4 535.99 4 26 0.000000
Ho: All of the ratios are equal to each other 27.3 8.48 3 27 0.000395# Hypothesis 2 - All of the ratios are equal to each other.
print(profileR::paos(x[x$Grupo=="Wife",1:4],
scale=TRUE),
digits=3)
Profile Analysis for One Sample with Hotelling's T-Square:
T-Squared F df1 df2 p-value
Ho: Ratios of the means over Mu0=1 2940 659 4 26 0.00e+00
Ho: All of the ratios are equal to each other 348 108 3 27 3.77e-15\[\Diamond\]
Quando o tamanho da amostra é pequeno, uma análise de perfil dependerá da suposição de normalidade. Essa suposição pode ser verificada usando métodos discutidos no Capítulo 4, com as observações originais ou as observações de contraste.
A análise de perfis para várias populações procede de maneira muito semelhante àquela para duas populações. Na verdade, as medidas gerais de comparação são análogas àquelas recém-discutidas. (Veja [13], [18]).
Delineamento de Medidas Repetidas e Curva de Crescimento
Como mencionamos anteriormente, o termo “medidas repetidas” refere-se a situações em que a mesma característica é observada, em diferentes momentos ou locais, na mesma unidade experimental.
As observações em uma unidade experimental podem corresponder a diferentes tratamentos, como no Exemplo 6.2, em que o tempo entre batimentos cardíacos foi medido sob as combinações de tratamentos 2 × 2 aplicadas a cada cão. Os tratamentos precisam ser comparados quando as respostas na mesma unidade experimental estão correlacionadas.
Um único tratamento pode ser aplicado a cada unidade experimental e uma única característica observada ao longo de um período de tempo. Por exemplo, poderíamos medir a massa corporal total de um filhote ao nascer e depois uma vez por mês. É a curva traçada por um cão típico que precisa ser modelada. Neste contexto, nos referimos à curva como uma curva de crescimento. Quando algumas unidades experimentais recebem um tratamento e outros outro tratamento, as curvas de crescimento para os tratamentos precisam ser comparadas.
Para ilustrar o modelo de curva de crescimento introduzido por Potthoff e Roy (1964), consideramos as medições de cálcio do osso ulna dominante em mulheres idosas. Além de uma leitura inicial, a Tabela 6.5 fornece leituras após um ano, dois anos e três anos para o grupo controle. Leituras obtidas por absorptiometria de fóton do mesmo participante estão correlacionadas, mas aquelas de diferentes participantes devem ser independentes. O modelo assume que a mesma matriz de covariância \(\mathbf{\Sigma}\) se aplica a cada sujeito. Ao contrário das abordagens univariadas, este modelo não requer que as quatro medidas sejam homocedásticas. Um perfil, construído a partir das quatro médias amostrais (\(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), \(x_4\)), resume o crescimento que aqui é uma perda de cálcio ao longo do tempo. O padrão de crescimento pode ser adequadamente representado por um polinômio no tempo?
suppressMessages(suppressWarnings(
invisible(Sys.setlocale("LC_ALL", "pt_BR.UTF-8"))))
source("summarySEwithin2.R")
alfa <- 0.05
xc <- read.table("JW6Data/T6-5.dat", quote="\"", comment.char="")
xc <- data.frame(ID = 1:15, xc)
names(xc) <- c("ID", "0", "1", "2", "3")
xc$Grupo <- "Contr"
xt <- read.table("JW6Data/T6-6.dat", quote="\"", comment.char="")
xt <- data.frame(ID = 16:31, xt)
names(xt) <- c("ID", "0", "1", "2", "3")
xt$Grupo <- "Trat"
x_wide <- rbind(xc, xt)
x_wide$Grupo <- factor(x_wide$Grupo)
x_wide$ID <- factor(x_wide$ID)
print(car::some(x_wide)) ID 0 1 2 3 Grupo
4 4 70.6 76.1 72.1 65.3 Contr
10 10 82.3 86.9 79.4 77.4 Contr
15 15 72.3 74.6 75.3 66.1 Contr
17 17 65.3 66.9 67.0 60.6 Trat
18 18 81.2 79.5 84.5 75.2 Trat
22 22 76.5 79.9 80.4 71.6 Trat
25 25 77.2 74.0 77.8 67.9 Trat
26 26 67.3 70.7 68.9 65.9 Trat
27 27 50.3 51.4 53.6 48.0 Trat
31 31 57.3 56.0 64.7 53.0 TratGrupo
Contr Trat
15 16 x_long <- data.frame(tidyr::pivot_longer(
x_wide,
cols = c("0", "1", "2", "3"),
names_to = "Year",
values_to = "Ca"
))
x_long$Year <- factor(x_long$Year)
print(tapply(x_long[c(-1,-2)], x_long$Grupo, FUN=summary, digits=3))$Contr
Year Ca
0:15 Min. :49.0
1:15 1st Qu.:65.9
2:15 Median :70.7
3:15 Mean :70.7
3rd Qu.:76.5
Max. :87.3
$Trat
Year Ca
0:16 Min. :48.0
1:16 1st Qu.:63.2
2:16 Median :70.3
3:16 Mean :68.9
3rd Qu.:76.5
Max. :86.2 ID Grupo Year Ca
9 3 Contr 0 76.7
18 5 Contr 1 55.1
19 5 Contr 2 57.2
20 5 Contr 3 49.0
33 9 Contr 0 85.3
34 9 Contr 1 84.4
51 13 Contr 2 67.0
63 16 Trat 2 86.2
100 25 Trat 3 67.9
109 28 Trat 0 57.7 0 1 2 3
Contr 1 1 1 1 1
2 1 1 1 1
3 1 1 1 1
4 1 1 1 1
5 1 1 1 1
6 1 1 1 1
7 1 1 1 1
8 1 1 1 1
9 1 1 1 1
10 1 1 1 1
11 1 1 1 1
12 1 1 1 1
13 1 1 1 1
14 1 1 1 1
15 1 1 1 1
16 0 0 0 0
17 0 0 0 0
18 0 0 0 0
19 0 0 0 0
20 0 0 0 0
21 0 0 0 0
22 0 0 0 0
23 0 0 0 0
24 0 0 0 0
25 0 0 0 0
26 0 0 0 0
27 0 0 0 0
28 0 0 0 0
29 0 0 0 0
30 0 0 0 0
31 0 0 0 0
Trat 1 0 0 0 0
2 0 0 0 0
3 0 0 0 0
4 0 0 0 0
5 0 0 0 0
6 0 0 0 0
7 0 0 0 0
8 0 0 0 0
9 0 0 0 0
10 0 0 0 0
11 0 0 0 0
12 0 0 0 0
13 0 0 0 0
14 0 0 0 0
15 0 0 0 0
16 1 1 1 1
17 1 1 1 1
18 1 1 1 1
19 1 1 1 1
20 1 1 1 1
21 1 1 1 1
22 1 1 1 1
23 1 1 1 1
24 1 1 1 1
25 1 1 1 1
26 1 1 1 1
27 1 1 1 1
28 1 1 1 1
29 1 1 1 1
30 1 1 1 1
31 1 1 1 1, , Grupo = Contr
ID
Year 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
ID
Year 29 30 31
0 0 0 0
1 0 0 0
2 0 0 0
3 0 0 0
, , Grupo = Trat
ID
Year 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
ID
Year 29 30 31
0 1 1 1
1 1 1 1
2 1 1 1
3 1 1 1
q <- nlevels(x_long$Year)
g <- nlevels(x_long$Grupo)
alfaBonf <- alfa/(q*g)
ic <- summarySEwithin2(x_long,
measurevar="Ca",
withinvars="Year",
betweenvars="Grupo",
idvar="ID",
na.rm=TRUE,
conf.interval=1-alfaBonf)
print(ic, digits=3) Grupo Year Ca n_obs.x CaNormed sd n_obs.y se ci
1 Contr 0 72.4 15 71.4 2.55 15 0.657 2.11
2 Contr 1 73.3 15 72.4 2.57 15 0.663 2.13
3 Contr 2 72.5 15 71.5 3.02 15 0.779 2.50
4 Contr 3 64.8 15 63.8 3.38 15 0.873 2.81
5 Trat 0 69.3 16 70.2 1.58 16 0.396 1.26
6 Trat 1 70.7 16 71.5 1.90 16 0.475 1.51
7 Trat 2 71.2 16 72.1 2.06 16 0.515 1.64
8 Trat 3 64.5 16 65.4 1.78 16 0.444 1.41pd <- ggplot2::position_dodge(0.9)
grf <- ggplot2::ggplot(ic,
ggplot2::aes(x=Year,
y=Ca,
color=Grupo)) +
ggplot2::geom_errorbar(position = pd,
width = 0.1,
ggplot2::aes(ymin=Ca-ci,
ymax=Ca+ci)) +
ggplot2::geom_point(shape=21,
size=3,
fill="white",
position = pd) +
ggplot2::ylab("Ca") +
ggplot2::ggtitle("Medições de Cálcio na Ulna Dominante\nWithin-subject CI95 Bonferroni") +
ggplot2::theme_bw() +
ggplot2::theme(panel.grid =
ggplot2::element_blank())
print(grf)
# Profile Analysis
# Results of F-tests for testing parallel, coincidential, and level profiles across two groups
mod <- profileR::pbg(data=x_wide[,2:5],
group=x_wide[,6],
original.names=TRUE,
profile.plot=TRUE)
Data Summary:
Contr Trat
0 72.38000 69.28750
1 73.29333 70.65625
2 72.47333 71.18125
3 64.78667 64.53125Call:
profileR::pbg(data = x_wide[, 2:5], group = x_wide[, 6], original.names = TRUE,
profile.plot = TRUE)
Hypothesis Tests:
$`Ho: Profiles are parallel`
Multivariate.Test Statistic Approx.F num.df den.df p.value
1 Wilks 0.8433309 1.671968 3 27 0.1965042
2 Pillai 0.1566691 1.671968 3 27 0.1965042
3 Hotelling-Lawley 0.1857742 1.671968 3 27 0.1965042
4 Roy 0.1857742 1.671968 3 27 0.1965042
$`Ho: Profiles have equal levels`
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
group 1 25.6 25.62 0.31 0.582
Residuals 29 2398.1 82.69
$`Ho: Profiles are flat`
F df1 df2 p-value
1 50.60026 3 27 3.257707e-11
GLMMmodelo <- lmerTest::lmer(Ca ~ Grupo + Year + (as.numeric(Year)|ID),
data=x_long)
cat("\nRegression")
RegressionLinear mixed model fit by REML. t-tests use Satterthwaite's method [
lmerModLmerTest]
Formula: Ca ~ Grupo + Year + (as.numeric(Year) | ID)
Data: x_long
REML criterion at convergence: 679.3
Scaled residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-2.29930 -0.45525 -0.03677 0.40955 2.86328
Random effects:
Groups Name Variance Std.Dev. Corr
ID (Intercept) 107.45 10.3660
as.numeric(Year) 0.59 0.7681 -0.71
Residual 5.06 2.2495
Number of obs: 124, groups: ID, 31
Fixed effects:
Estimate Std. Error df t value Pr(>|t|)
(Intercept) 70.3927 2.4082 33.3549 29.230 < 2e-16 ***
GrupoTrat 0.7579 3.0735 29.0003 0.247 0.8070
Year1 1.1484 0.5878 78.1289 1.954 0.0543 .
Year2 1.0226 0.6345 78.5336 1.612 0.1111
Year3 -6.1290 0.7055 34.2751 -8.687 3.52e-10 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
ANOVAAnalysis of Deviance Table (Type II Wald F tests with Kenward-Roger df)
Response: Ca
F Df Df.res Pr(>F)
Grupo 0.0569 1 29.00 0.8132
Year 59.8518 3 63.23 <2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Type III Analysis of Variance Table with Kenward-Roger's method
Sum Sq Mean Sq NumDF DenDF F value Pr(>F)
Grupo 0.29 0.288 1 29.00 0.0569 0.8132
Year 920.75 306.918 3 63.23 59.8518 <2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Type III Analysis of Variance Table with Satterthwaite's method
Sum Sq Mean Sq NumDF DenDF F value Pr(>F)
Grupo 0.31 0.308 1 29.000 0.0608 0.807
Year 920.75 306.918 3 61.957 60.6544 <2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
GLMNote: model has aliased coefficients
sums of squares computed by model comparisonAnova Table (Type II tests)
Response: Ca
Sum Sq Df F value Pr(>F)
Grupo 0
Year 1116 3 61.58 <2e-16 ***
ID 9592 29 54.73 <2e-16 ***
Residuals 544 90
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Analysis of Variance Table
Response: Ca
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
Grupo 1 102 102.5 16.96 8.46e-05 ***
Year 3 1116 372.1 61.58 < 2e-16 ***
ID 29 9592 330.8 54.73 < 2e-16 ***
Residuals 90 544 6.0
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Effect size analysiseta2 <- effectsize::eta_squared(anv,
partial=TRUE,
generalized=FALSE,
ci=1-alfa,
alternative="two.sided",
verbose=TRUE)
eta2$interpret <- effectsize::interpret_eta_squared(eta2$Eta2)
print(eta2, digits=4)# Effect Size for ANOVA (Type II)
Parameter | Eta2 (partial) | 95% CI | interpret
----------------------------------------------------------
Grupo | 0.0020 | [0.0000, 0.1239] | very small
Year | 0.7396 | [0.6238, 0.8089] | large
Post hoc testsTeste post hoc: Pairwiseemm <- emmeans::emmeans(modelo,
specs=pairwise~Year|Grupo,
adjust="holm",
level=1-alfa,
lmer.df="satterthwaite",
lmerTest.limit=nrow(x_long))
print(summary(emm$emmeans))Grupo = Contr:
Year emmean SE df lower.CL upper.CL
0 70.4 2.41 33.4 65.5 75.3
1 71.5 2.34 32.7 66.8 76.3
2 71.4 2.28 31.5 66.8 76.1
3 64.3 2.23 29.9 59.7 68.8
Grupo = Trat:
Year emmean SE df lower.CL upper.CL
0 71.2 2.34 33.2 66.4 75.9
1 72.3 2.28 32.7 67.7 76.9
2 72.2 2.22 31.6 67.7 76.7
3 65.0 2.16 29.9 60.6 69.4
Degrees-of-freedom method: satterthwaite
Confidence level used: 0.95 Grupo = Contr:
contrast estimate SE df lower.CL upper.CL t.ratio p.value
Year0 - Year1 -1.148 0.588 78.1 -2.74 0.443 -1.954 0.1629
Year0 - Year2 -1.023 0.634 78.5 -2.74 0.695 -1.612 0.2221
Year0 - Year3 6.129 0.706 34.3 4.15 8.105 8.687 <.0001
Year1 - Year2 0.126 0.588 78.1 -1.47 1.717 0.214 0.8311
Year1 - Year3 7.277 0.634 78.5 5.56 8.995 11.470 <.0001
Year2 - Year3 7.152 0.588 78.1 5.56 8.743 12.167 <.0001
Grupo = Trat:
contrast estimate SE df lower.CL upper.CL t.ratio p.value
Year0 - Year1 -1.148 0.588 78.1 -2.74 0.443 -1.954 0.1629
Year0 - Year2 -1.023 0.634 78.5 -2.74 0.695 -1.612 0.2221
Year0 - Year3 6.129 0.706 34.3 4.15 8.105 8.687 <.0001
Year1 - Year2 0.126 0.588 78.1 -1.47 1.717 0.214 0.8311
Year1 - Year3 7.277 0.634 78.5 5.56 8.995 11.470 <.0001
Year2 - Year3 7.152 0.588 78.1 5.56 8.743 12.167 <.0001
Degrees-of-freedom method: satterthwaite
Confidence level used: 0.95
Conf-level adjustment: bonferroni method for 6 estimates
P value adjustment: holm method for 6 tests 
Grupo = Contr:
Year emmean SE df lower.CL upper.CL .group
3 64.3 2.23 29.9 58.3 70.2 a
0 70.4 2.41 33.4 64.0 76.8 b
2 71.4 2.28 31.5 65.4 77.5 b
1 71.5 2.34 32.7 65.3 77.7 b
Grupo = Trat:
Year emmean SE df lower.CL upper.CL .group
3 65.0 2.16 29.9 59.3 70.8 a
0 71.2 2.34 33.2 65.0 77.3 b
2 72.2 2.22 31.6 66.3 78.0 b
1 72.3 2.28 32.7 66.3 78.3 b
Degrees-of-freedom method: satterthwaite
Confidence level used: 0.95
Conf-level adjustment: bonferroni method for 4 estimates
P value adjustment: holm method for 6 tests
significance level used: alpha = 0.05
NOTE: If two or more means share the same grouping symbol,
then we cannot show them to be different.
But we also did not show them to be the same. Teste post hoc: DunnettEMM.contrast <- emmeans::contrast(object = emm,
by="Grupo",
method = "trt.vs.ctrl",
ref = "Year0",
adjust="holm",
level=1-alfa)
print(EMM.contrast)Grupo = Contr:
contrast estimate SE df t.ratio p.value
Year1 - Year0 1.15 0.588 78.1 1.954 0.1086
Year2 - Year0 1.02 0.634 78.5 1.612 0.1111
Year3 - Year0 -6.13 0.706 34.3 -8.687 <.0001
Grupo = Trat:
contrast estimate SE df t.ratio p.value
Year1 - Year0 1.15 0.588 78.1 1.954 0.1086
Year2 - Year0 1.02 0.634 78.5 1.612 0.1111
Year3 - Year0 -6.13 0.706 34.3 -8.687 <.0001
Degrees-of-freedom method: satterthwaite
P value adjustment: holm method for 3 tests 
Teste post hoc: ConsecutivoEMM.contrast <- emmeans::contrast(object = emm,
by="Grupo",
method = "consec",
adjust="holm",
level=1-alfa)
print(EMM.contrast)Grupo = Contr:
contrast estimate SE df t.ratio p.value
Year1 - Year0 1.148 0.588 78.1 1.954 0.1086
Year2 - Year1 -0.126 0.588 78.1 -0.214 0.8311
Year3 - Year2 -7.152 0.588 78.1 -12.167 <.0001
Grupo = Trat:
contrast estimate SE df t.ratio p.value
Year1 - Year0 1.148 0.588 78.1 1.954 0.1086
Year2 - Year1 -0.126 0.588 78.1 -0.214 0.8311
Year3 - Year2 -7.152 0.588 78.1 -12.167 <.0001
Degrees-of-freedom method: satterthwaite
P value adjustment: holm method for 3 tests 
Teste post hoc: curvas polinomiais de graus 1, 2 e 3EMM.contrast <- emmeans::contrast(object = emm,
by="Grupo",
method = "poly",
adjust="holm",
level=1-alfa)
print(EMM.contrast)Grupo = Contr:
contrast estimate SE df t.ratio p.value
linear -18.51 2.270 30 -8.144 <.0001
quadratic -8.30 0.808 60 -10.272 <.0001
cubic -5.75 1.810 60 -3.183 0.0023
Grupo = Trat:
contrast estimate SE df t.ratio p.value
linear -18.51 2.270 30 -8.144 <.0001
quadratic -8.30 0.808 60 -10.272 <.0001
cubic -5.75 1.810 60 -3.183 0.0023
Degrees-of-freedom method: satterthwaite
P value adjustment: holm method for 3 tests 
Questões
6.1, 6.5, 6.8, 6.12, 6.13, 6.14, 6.15, 6.17, 6.18, 6.20, 6.22, 6.28, 6.31, 6.39, 6.41
Aplicativos
- OpenAI (2021) ChatGPT. https://openai.com/research/chatgpt
- Wolfram Research (n.d.) Wolfram|Alpha. https://www.wolframalpha.com/
- Scilab Enterprises (n.d.) Scilab - Open source software for numerical computation. https://www.scilab.org/
Análise estatística multivariada em R e Python na internet
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ME 731 - Métodos em Análise Multivariada em R. https://www.ime.unicamp.br/~cnaber/Material_AM_2S_2020.htm
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Powell, J (2019) Multivariate statistics in R. https://www.hiercourse.com/multivariate
Plotting PCA/clustering results using ggplot2 and ggfortify: https://rpubs.com/sinhrks/plot_pca
ggfortify : Extension to ggplot2 to handle some popular packages - R software and data visualization: http://www.sthda.com/english/wiki/ggfortify-extension-to-ggplot2-to-handle-some-popular-packages-r-software-and-data-visualization
A Little Book of Python for Multivariate Analysis: https://python-for-multivariate-analysis.readthedocs.io/index.html
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Bibliografia
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- JOHNSON, RA & WICHERN, DW (2007) Applied multivariate statistical analysis: Solutions Manual. 6th ed. NJ: Prentice Hall.
- JOHNSON, RA & WICHERN, DW (2002) Applied multivariate statistical analysis. 5th ed. NJ: Prentice Hall.
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Bibliografia adicional
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