Bastão de Asclépio & Símbolo de Integral

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Chapter 7: Acceleration and Curvature: What Is Calculus About - Sawyer - 1962
5.3.1. Model 5.1: A Nonlinear Delayed Logistic Model e 5.3.3. Model 5.3: Delayed Nonlinear Competing Species, p. 371:
- Explorations of mathematical models in biology with MATLAB - Shahin - 2014.pdf

Material

HTML de R Markdown em RPubs
Prof. José Siqueira: ResearchGate

Pensamento

“Muito menos, ninguém de senso se daria ao trabalho de definir a tecelagem só por amor da própria arte de tecer. Mas o que a maioria não percebe, segundo penso, é que algumas coisas apresentam semelhanças naturais, muito fáceis de apontar aos que pedem explicações de certas realidades, quando não queremos ter trabalho de grandes explanações; ao passo que para as mais importantes verdades e da mais alta relevância, não existe imagem capaz de fornecer aos homens uma ideia clara que, para completa satisfação do espírito, bastaria apresentar a quem nos interroga, com a devida acomodação a qualquer dos sentidos. Por isso mesmo, precisamos esforçar-nos para ficar em condições de dar ou compreender a razão de cada coisa. As realidades imateriais, as maiores e as mais belas, só nos podem ser claramente reveladas por meio da razão, nada mais, sendo a elas que se refere tudo o que dissemos até agora. Mas, é muito mais fácil tratar das coisas pequenas do que das grandes.”

PLATÃO (cerca de 400 a.C., 285de-286ab) Diálogos: político ou da realeza. Tradução de Carlos Alberto Nunes. Universidade Federal do Pará.

Conteúdo

Número real (Capítulo 1)
Função e relação (Capítulo 3)
Funções potência, periódica, exponencial e logarítmica (Capítulos 4, 5 e 6)
Método gráfico (Capítulo 7)
Série e limite (Capítulo 8)

6. Derivada e integral (Capítulos 9 e 10)

Equação diferencial ordinária (ODE) (Capítulo 11)
Função de duas ou mais variáveis independentes (Capítulo 12)
Probabilidade (Capítulo 13)
Matriz, vetor e número complexo (Capítulos 14 e 15)

Introdução

O cálculo diferencial e integral é baseado na noção de taxa de variação.

A noção aparece implicitamente em palavras como taxa de crescimento, crescimento relativo, velocidade, aceleração, taxa de reação, densidade e inclinação de uma curva.

As ferramentas matemáticas oriundas do cálculo diferencial e integral denominadas limite, derivada e integral (antiderivada) são usadas para as análises qualitativa, quantitativa e gráfica de função.

A função é analisável localmente por esses instrumentos matemáticos, isto é, em cada ponto de seus valores possíveis, isto é, de seu domínio prático.

Do ponto de vista aplicado, o conhecimento qualitativo e quantitativo da função em todo seu domínio prático é necessário para garantir a obtenção da solução adequada e correta do problema. Esse conhecimento da função expressa-se pela intelecção de sua anatomia após tê-la dissecado com o uso do limite, da derivada e da integral. A intelecção não é necessariamente visual, pois com o uso dessas ferramentas do cálculo é possível compreender, mesmo sem desenhar o gráfico da função, sua anatomia por meio da visualização intelectual que pode ser treinada. Na medida do possível, as visualizações gráficas em duas ou três dimensões são analisadas nos problemas.

Atualmente, há programas de computação científica que calculam limite, derivada e integral de forma numérica e também simbólica. Os programas que realizam ambas as computações são o WolframAlpha, Mathematica, Maple, Scilab, Matlab e R. As calculadoras científicas avançadas também realizam ambas computações.

Derivada

Derivative: Wikipedia

O objetivo é mostrar as aplicações de derivada na análise de uma função.

Uma função relaciona matematicamente as variáveis independentes com a dependente. Esse relacionamento expresso por meio de uma fórmula matemática tem informações úteis para a solução do problema.

Essas informações são:

domínios teórico e prático das variáveis independentes,
imagens teórica e prática da variável dependente,
assíntota,
raiz,
declividade,
concavidade,
pontos extremantes de máximo e mínimo,
curvatura,
função aproximativa de Taylor e
elasticidade.

Taxa de crescimento

Exponential growth: Wikipedia

Fig. 9.1. A velocidade média Δs/Δt é representada pela inclinação média de uma curva em um sistema de coordenadas cartesianas.

Fig. 9.4. Como x<sub>2</sub> → x<sub>1</sub> a linha _l_ tende para a tangente _t_ ao gráfico em (x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>). A inclinação _a_ = Δy/Δx de _l_ tende para a inclinação da tangente.

Fig. 9.4. Como x₂ → x₁ a linha l tende para a tangente t ao gráfico em (x₁, x₂). A inclinação a = Δy/Δx de l tende para a inclinação da tangente.

Diferenciação

Differential calculus: Wikipedia

Fig. 9.6. Uma abordagem alternativa para encontrar a derivada.

Se a derivada da função \(f(x)\) existe, então ela é chamada de diferenciável em \(x\).

Para que a função \(f(x)\) seja diferenciável em \(x\), é necessário que o seguinte limite exista:

\[ \begin{align} f^{\prime}(x)&=\lim_{h\to0}{\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}\\ f^{\prime}(x)&=f_x(x)=\dfrac{df(x)}{dx} \end{align} \]

Exemplo: derivada de \(f(x)=x^2\)

\[ \begin{align} f^{\prime}(x)&=\lim_{h\to0}{\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}}\\ &=\lim_{h\to0}{\dfrac{2xh+h^2}{h}}\\ &=\lim_{h\to0}{(2x+h)}\\ f^{\prime}(x)&=2x \end{align} \]

limit ((x+h)^2 - x^2)/h as h->0

Fig. 9.7. Tangentes à parábola com a equação y = x<sup>2</sup>. A inclinação das tangentes é 2x.

Fig. 9.7. Tangentes à parábola com a equação y = x². A inclinação das tangentes é 2x.

Portanto, a função \(f(x)=x^2\) é diferenciável em todos os pontos do domínio.

tangent to y = x^2 at x = 2

tangent to y = x^2 at x = 4

tangent to y = x^2 at x = -2

tangent to y = x^2 at x = -4

Significados da primeira derivada

A primeira derivada de uma função \(f(x)\), denotada por \(f^{\prime}(x)\), fornece informações sobre a taxa de variação instantânea da função em relação à variável \(x\). De maneira intuitiva, ela mede quão rápido e em que direção o valor de \(f(x)\) está mudando à medida que \(x\) varia.

Aqui estão alguns pontos-chave para entender intuitivamente a primeira derivada:

Inclinação da Tangente: A primeira derivada em um ponto \(x\) é a inclinação da reta tangente à curva da função \(f(x)\) naquele ponto. Isso significa que \(f^{\prime}(x)\) nos diz se a função está subindo (derivada positiva), descendo (derivada negativa) ou se é plana (derivada zero) naquele ponto.
Velocidade de Mudança: Se pensarmos na função \(f(x)\) como uma descrição da posição de um objeto ao longo do tempo, a derivada \(f^{\prime}(x)\) representa a velocidade do objeto nesse instante. Ou seja, como a posição está mudando com o tempo.
Sensibilidade: A derivada também pode ser vista como uma medida de sensibilidade da função \(f(x)\) em relação a mudanças em \(x\). Um valor alto de \(f^{\prime}(x)\) significa que uma pequena mudança em \(x\) resultará em uma grande mudança em \(f(x)\).
Geometria: Visualmente, se você desenhar uma linha reta que toca a curva \(f(x)\) apenas em um ponto e tem a mesma inclinação da curva nesse ponto, essa linha é a reta tangente. A inclinação dessa reta tangente é exatamente o valor de \(f^{\prime}(x)\) naquele ponto.

Em resumo, a primeira derivada fornece uma visão local da mudança de uma função, permitindo entender como a função se comporta em torno de um ponto específico.

A função da reta tangente no ponto \(x_0\) é:

\[ t(x)=\left(f(x_0)-f^{\prime}(x_0)x_0\right)+f^{\prime}(x_0)x \]

Note que:

se \(x=x_0\), então \(t(x_0)=f(x_0)\).
se \(x=x_0+1\), então \(t(x_0+1)=\left(f(x_0)-f^{\prime}(x_0)x_0\right)+f^{\prime}(x_0)(x_0+1)=f(x_0)+f^{\prime}(x_0)\).

Então:

\[ t(x_0+1)-t(x_0)=f^{\prime}(x_0) \]

Note também que \(t(x_0+1)\approx f(x_0+1)\).

Portanto, a primeira derivada em \(x_0\) é aproximadamente igual à variação de variável dependente \(f(x)\) causada pela variação de 1 unidade da variável independente \(x\).

# Definindo a função e sua derivada
f <- function(x) {
  return(x^2)
}

f_prime <- function(x) {
  return(2 * x)
}

# Pontos de interesse
x0 <- 1  # ponto onde queremos a tangente
x1 <- x0 + 1

# Calculando os valores da função e da reta tangente
y0 <- f(x0)
slope <- f_prime(x0)
tangent_line <- function(x) {
  return((y0 - slope * x0) + slope * x)
}

# Valores para o gráfico
x_vals <- seq(x0 - 2, x0 + 2, length.out = 400)
f_vals <- f(x_vals)
tangent_vals <- tangent_line(x_vals)

# Valores específicos de x e t(x)
x_specific <- c(x0, x1)
t_specific <- tangent_line(x_specific)
f_specific <- f(x_specific)
plot(x_vals, f_vals, type = "l", col = "blue", lwd = 2,
     xlab = expression(x), ylab = expression(y),
     main = expression("Função " * f(x) == x^2 * " e Reta Tangente " * t(x)))

lines(x_vals, tangent_vals, col = "black", lwd = 2, lty = 1)
points(x_specific, f_specific, col = "red", pch = 19)
points(x_specific, t_specific, col = "green", pch = 19)

# Anotações matemáticas
text(x0, y0, labels = bquote(f(x[0]) == .(round(y0, 2))), pos = 2, col = "red")
text(x1, f_specific[2], labels = bquote(f(x[0] + 1) == .(round(f_specific[2], 2))), pos = 2, col = "red")
text(x1, t_specific[2], labels = bquote(t(x[0] + 1) == .(round(t_specific[2], 2))), pos = 4, col = "black")

# Legenda com expression
legend("topleft",
       legend = c(expression(f(x) == x^2),
                  expression("Tangente em " * x[0]),
                  expression("Ponto em " * f(x)),
                  expression("Ponto em " * t(x))),
       col = c("blue", "black", "red", "green"),
       lty = c(1, 1, NA, NA), pch = c(NA, NA, 19, 19), bty = "n")

Continuidade e diferenciabilidade

Se \(f\) é diferenciável em \(a\), então \(f\) também deve ser contínua em \(a\).

A afirmação de que se uma função \(f\) é diferenciável em um ponto \(a\), então ela também deve ser contínua nesse ponto, é uma propriedade fundamental da análise matemática. A diferenciabilidade é uma condição mais forte que a continuidade. Para que uma função seja diferenciável em um ponto, não apenas a função deve ser contínua (ou seja, não deve haver “saltos” ou descontinuidades nesse ponto), mas também deve ser possível calcular uma tangente (ou seja, uma derivada) que descreva a taxa de variação da função nesse ponto.

A ideia-chave aqui é que a existência de uma derivada em um ponto implica uma mudança “suave” da função em torno desse ponto, o que não é possível se houver uma descontinuidade (ou “salto”). A continuidade garante que a função se aproxime do seu valor em \(a\) conforme nos aproximamos de \(a\), enquanto a diferenciabilidade garante que essa aproximação seja feita de maneira suave, com uma taxa de variação bem definida.

Exemplo da Função Degrau

A função degrau, também conhecida como função Heaviside ou função degrau unitário, tem uma forma funcional simples que expressa seu comportamento de “salto”. A forma básica da função degrau \(H(x)\) pode ser definida como:

\[ H(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ 1, & x \geq 0 \end{cases} \]

Esta definição descreve uma função que é 0 para todos os valores negativos de \(x\) e 1 para \(x\) igual a zero e todos os valores positivos de \(x\). É um exemplo claro de uma função que exibe uma descontinuidade em \(x = 0\), passando de 0 para 1 instantaneamente sem assumir nenhum valor intermediário.

No contexto da sua pergunta sobre a função degrau que retorna o valor 1 para todo \(x\) menor que \(a\) e um valor diferente (por exemplo, 10) para todo \(x\) maior ou igual a \(a\), a forma funcional poderia ser adaptada da seguinte maneira:

\[ f(x) = \begin{cases} 1, & x < a \\ 10, & x \geq a \end{cases} \]

Nesta versão modificada, \(a\) serve como o ponto de “salto” da função, onde ela muda abruptamente de 1 para 10. Essa função ilustra a ideia de uma função degrau generalizada, onde o “degrau” ocorre em um ponto \(a\) específico, e os valores que a função assume de cada lado do degrau são especificados (1 para \(x < a\) e 10 para \(x \geq a\)).

Portanto, a natureza descontínua da função degrau em \(a\) impede que ela tenha uma derivada nesse ponto, ilustrando vividamente a relação entre continuidade e diferenciabilidade.

Como exemplo, escolher um ponto \(a\) e seja \(f\) a função degrau que retorna o valor 1 para todo \(x\) menor que \(a\), e retorna um valor diferente 10 para todo \(x\) maior ou igual a \(a\). \(f\) não pode ter uma derivada em \(a\).

# Definir os valores de x
x <- seq(0, 10, by = 0.01)

# Definir a função degrau
y <- ifelse(x < 5, 1, 10)

# Plotar a função degrau
plot(x, y, ylim = c(0, 11), 
     xlab = "x", ylab = "f(x)", 
     main = "Função Degrau: a = 5", 
     col = "black")

# Adicionar o ponto vazio (aberto) em (5, 1)
points(5, 1, col = "black", pch = 1, cex = 2)

# Adicionar o ponto cheio em (5, 10)
points(5, 10, col = "black", pch = 16, cex = 2)

is sgn(x) continuous?

Exemplo da Função de Valor Absoluto

No entanto, mesmo que uma função seja contínua em um ponto, ela pode não ser diferenciável ali. Por exemplo, a função de valor absoluto dada por \(f(x)=|x|\) é contínua em \(x=0\), mas não é diferenciável aí. Se \(h\) for positivo, então a inclinação da linha secante de 0 a \(h\) é um; se \(h\) for negativo, então a inclinação da linha secante de 0 a \(h\) é -1. Isso pode ser visto graficamente como uma “quina” ou uma “cúspide” no gráfico em \(x=0\).

A função de valor absoluto é contínua, mas falha em ser diferenciável em \(x = 0\), uma vez que as inclinações da tangente não se aproximam do mesmo valor pela esquerda e pela direita.

curve(abs(x), -5, 5, ylab="|x|")

is |x| continuous?

is |x| differentiable?

Exemplo: \(\sqrt[3]{x}\) versus \(x^{\frac{1}{3}}\)

How are they different? Cube root vs the exponent of 1/3

Uma função com um gráfico suave não é diferenciável em um ponto onde sua tangente é vertical.

Por exemplo, as funções \(f(x)=\sqrt[3]{x}\) e \(f(x)=x^{\frac{1}{3}}\) não são diferenciáveis em \(x=0\).

curve(x^(1/3), -3, 3, ylab=expression(x^{1/3}))

is cuberoot(x) continuous?

is cuberoot(x) differentiable?

is x^(1/3) continuous?

is x^(1/3) differentiable?

cuberoot(-1)

cuberoot(x)

derivative cuberoot(x)

derivative cuberoot(x) at x=0

(-1)^(1/3)

x^(1/3)

derivative x^(1/3)

derivative x^(1/3) at x=0

\[\Diamond\]

Resumindo, uma função que tem derivada é contínua, mas existem funções contínuas que não têm derivada.

A maioria das funções que ocorrem na prática têm derivadas em todos os pontos ou em quase todos os pontos. No início da história do cálculo, muitos matemáticos assumiram que uma função contínua era diferenciável na maioria dos pontos. Sob condições suaves (por exemplo, se a função for monótona ou Lipschitz), isso é verdade. No entanto, em 1872, Weierstrass encontrou o primeiro exemplo de uma função contínua em todos os lugares, mas diferenciável em nenhum lugar. Este exemplo agora é conhecido como função de Weierstrass.

Regras Básicas de Derivação

Regra da Constante:

\[ \dfrac{d}{dx}(c) = 0 \]

Regra da Constante por Função:

\[ \dfrac{d}{dx}[c f(x)] = c f^{\prime}(x) \]

Regra da Potência:

\[ \dfrac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1} \]

Regra da Soma:

\[ \dfrac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = f^{\prime}(x) + g^{\prime}(x) \]

Regra da Diferença:

\[ \dfrac{d}{dx}[f(x) - g(x)] = f^{\prime}(x) - g^{\prime}(x) \]

Regra do Produto:

\[ \dfrac{d}{dx}[f(x) g(x)] = f(x) g^{\prime}(x) + g(x) f^{\prime}(x) \]

Regra do Quociente:

\[ \dfrac{d}{dx} \left[ \dfrac{f(x)}{g(x)} \right] = \dfrac{f^{\prime}(x)g(x) - f(x) g^{\prime}(x)}{[g(x)]^2} \]

Na derivada da razão, o numerador é o valor negativo do determinante do Wronskiano.

Wronskian: Wikipedia

Determinante representa o Wronskiano:

\[ W(f, g)(x) = \det \left[ \begin{array}{cc} f(x) & g(x) \\ f^{\prime}(x) & g^{\prime}(x) \end{array} \right] \]

Portanto:

\[ \dfrac{d}{dx} \left[ \dfrac{f(x)}{g(x)} \right] = -\dfrac{\det \left[ \begin{array}{cc} f(x) & g(x) \\ f^{\prime}(x) & g^{\prime}(x) \end{array} \right]}{[g(x)]^2} \]

Logo, a derivada da razão é o oposto do Wronskiano dividido pelo quadrado do denominador.

Derivada implícita

Uma relação tem a derivada definida por meio da derivada implícita.

Exemplo: Derivada de circunferência

Qual é a derivada implícita da circunferência \(x^2+y^2=1\) no ponto \((x,y)=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)?

Diferenciando ambos os lados da equação em relação a \(x\) e considerando que \(y(x)\), temos:

\[ \begin{align} \dfrac{d}{dx}\left(x^2+y^2\right)=\dfrac{d}{dx}1\\ \dfrac{d}{dx}x^2+\dfrac{d}{dx}y^2=\dfrac{d}{dx}1\\ 2x+2y\dfrac{dy}{dx}&=0\\ \dfrac{dy}{dx}&=-\dfrac{x}{y}\\ \left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{x = \frac{\sqrt{2}}{2}, \,y = \frac{\sqrt{2}}{2}} &= -1 \end{align} \]

x^2 + y^2 = 1

differentiate x^2 + y^2 = 1 with respect to x

Derivada implícita em \((x,y)=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\):

Gráfico da Derivada Implícita

Taxas relacionadas

As variáveis \(x\) e \(y\) estão relacionadas numa equação e são funções de uma terceira variável \(t\), que frequentemente representa o tempo. A diferenciação implícita pode ser usada para relacionar \(\frac{dx}{dt}\) e \(\frac{dy}{dt}\). Este tipo de problema é dito envolver taxas relacionadas.

Exemplo: Aumento da sombra de uma pessoa andando

Suponha que uma pessoa de 2 metros de altura está andando para longe de um poste de luz de 5 metros de altura a uma velocidade de 1.5 m/s. Queremos determinar a taxa de variação do comprimento da sombra da pessoa no momento em que ela está a 6 metros do poste.

Solução:

Definindo as variáveis:
- Seja \(x\) a distância da pessoa até o poste (em metros).
- Seja \(y\) o comprimento da sombra da pessoa (em metros).
- \(t\) é o tempo (em segundos).
Relacionando as variáveis:
- Usamos a semelhança de triângulos. O triângulo formado pelo poste e a sombra no chão é semelhante ao triângulo formado pela pessoa e sua sombra.

\[ \dfrac{5}{x + y} = \dfrac{2}{y} \]

Diferenciação implícita:
- Primeiro, simplificamos a relação:

\[ \begin{align} 5y &= 2(x + y) \\ 5y &= 2x + 2y \\ 3y&= 2x\\ y &= \dfrac{2}{3}x \end{align} \]

Diferenciamos ambos os lados da equação em relação a \(t\):

\[ \dfrac{d}{dt}\left(y = \dfrac{2}{3}x\right) \\ \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{2}{3} \dfrac{dx}{dt} \]

Substituindo as taxas:
- Sabemos que \(\dfrac{dx}{dt} = 1.5 \text{ m/s}\).
- Então,

\[ \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{2}{3} \times 1.5 = 1 \text{ m/s} \]

Portanto, a taxa de variação do comprimento da sombra da pessoa é de 1 m/s quando ela está a 6 metros do poste.

differentiate y(t) = 2/3 x(t) with respect to t

Elasticidade: análise de sensibilidade relativa da função

Elasticity of a function: Wikipedia

Grosso modo, a elasticidade é a sensibilidade relativa da função \(f(x)\) à variacão de 1% em \(x\).

De modo geral, a fórmula da elasticidade e de seu valor aproximado (usando a aproximação linear de Taylor) em \(x\) de uma função \(f\) é a seguinte:

\[ \begin{align} \eta(x)&=\left| \dfrac{f\left(x+0.01x\right)-f(x)}{f(x)}\times 100\right| \\ &\approx \left| x\dfrac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\right|\\\\ &=\left| \dfrac{\dfrac{df(x)}{dx}}{\dfrac{f(x)}{x}}\right|\\ \eta(x)&\approx\left| \dfrac{\dfrac{\Delta f(x)}{\Delta x}}{\dfrac{f(x)}{x}}\right| \end{align} \]

A elasticidade aproximada \(|x f^{\prime}(x)/f(x)|\) é denominada elasticidade instantânea ou pontual.

A elasticidade instantânea da função \(f\) no ponto \((x,f(x))\) é expressa matematicamente por:

\[ \eta(x)=\left|x\dfrac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\right| \]

A variação de 1% de \(x\) causa a variação aproximada de \(\eta(x)\)% de \(f(x)\).

Demonstração da elasticidade instantânea: Expansão de Taylor aplicada

A definição de elasticidade baseada em variação percentual é:

\[ \eta(x) = \left| \dfrac{f(x + 0.01x) - f(x)}{f(x)} \times 100 \right| \]

Aplicamos a expansão de Taylor de primeira ordem ao termo \(f(x + 0.01x)\):

\[ f(x + h) \approx f(x) + f^{\prime}(x)\, h, \quad \text{com } h = 0.01x \]

Substituindo:

\[ f(x + 0.01x) \approx f(x) + f^{\prime}(x) \times 0.01x \]

Portanto, a variação no numerador da elasticidade torna-se:

\[ f(x + 0.01x) - f(x) \approx f^{\prime}(x) \times 0.01x \]

Substituímos na fórmula de \(\eta(x)\):

\[ \eta(x) \approx \left| \dfrac{f^{\prime}(x) \times 0.01x}{f(x)} \times 100 \right| = \left| \dfrac{f^{\prime}(x) \, x}{f(x)} \right| \]

A aproximação:

\[ \eta(x) \approx \left| x \, \dfrac{f^{\prime}(x)}{f(x)} \right| \]

decorre diretamente da expansão de Taylor de ordem 1, aplicada com \(h = 0.01x\). Isso mostra que a elasticidade é aproximadamente a razão entre a derivada relativa de \(f\) e a variação relativa de \(x\).

\[\Diamond\]

Classificação da elasticidade

A elasticidade no ponto \((x,f(x))\) é:

Elástica se o valor absoluto da elasticidade é maior que 1, isto é, \(\eta(x)>1\);
Inelástica se o valor absoluto da elasticidade é menor que 1, ou seja, \(\eta(x)<1\);
Isoelástica se o valor absoluto da elasticidade é igual a 1, isto é, \(\eta(x)=1\);
Totalmente inelástica se a elasticidade é nula, isto é, \(\eta(x)=0\);
Totalmente elástica se ela é infinita, isto é, \(\eta(x)=\infty\).

Elasticidade de algumas funções

Função linear: \(f(x)=a+bx\)

\[ \eta(x)=\left| \dfrac{bx}{a+bx}\right| \]

|(x D[a+bx,x])/(a+bx)|

Função recíproca: \(f(x)=\dfrac{b}{x}\)

\[ \eta(x)=1 \]

|(x D[a+b/x,x])/(a+b/x)| /. a = 0

Função recíproca com constante: \(f(x)=a+\dfrac{b}{x}\)

\[ \eta(x)=\left| \dfrac{b}{b+ax}\right| \]

|(x D[a+b/x,x])/(a+b/x)|

Função linear-log: \(f(x)=a+b\;\ln(x)\)

\[ \eta(x)=\left| \dfrac{b}{a+b\;\ln(x)}\right| \]

abs((x D[a+b log(x),x])/(a+b log(x)))

Função log-linear: \(\ln(f(x))=a+bx\)

\[ \eta(x)=\left| bx\right| \]

Função log-log: \(\ln(f(x))=a+b\;\ln(x)\)

\[ \eta(x)=\left| b\right| \]

Função log-recíproca: \(\ln(f(x))=a+\dfrac{b}{x}\)

\[ \eta(x)=\left| \dfrac{b}{x}\right| \]

Função exponencial: \(f(x)=a \; e^{bx}\)

\[ \eta(x)=\left| bx\right| \]

abs((x D[a exp(bx), x])/(a exp(bx)))

Função \(f(x)=\cos(x)\)

\[ \eta(x)=\left| x\tan(x)\right| \]

abs((x D[cos(x),x])/cos(x))

Função \(f(x)=\sin(x)\)

\[ \eta(x)=\left| x\cot(x)\right| \]

abs((x D[sin(x),x])/sin(x))

Integral ou Antiderivada

Fig. 9.9. Toda função y = x<sup>2</sup> + c é uma antiderivada de f'(x) = 2x.

Fig. 9.9. Toda função y = x² + c é uma antiderivada de f’(x) = 2x.

Integral: Wikipedia

A integral calcula a área entre a função e o eixo das abscissas. As áreas acima e abaixo do eixo das abscissas são, respectivamente, positiva e negativa.

A operação inversa da derivada é antiderivada ou integral. A integral é útil para o cálculo de área de função e para resolver equações com derivadas como incógnitas. Uma equação com derivadas como incógnitas é chamada equação diferencial. Atualmente, muitos problemas envolvendo integração podem ser resolvidos por programas de computação numérica e simbólica.

Como vimos, as principais motivações para a introdução do cálculo diferencial são problemas de taxa de crescimento, taxa de reação, concentração, velocidade e aceleração.

Seja \(A\) a área desconhecida da região \(R\). A pode ser aproximada pelas áreas de \(n\) retângulos que estão dentro da região \(R\) ou pelas áreas de n retângulos que cobrem \(R\) completamente. No primeiro caso, a área total é muito pequena, no segundo caso, muito grande. Denotamos essas aproximações por \(A_l\) (limite inferior) e por \(A_u\) (limite superior).

Fig. 9.12. Região R entre uma curva e o segmento [a, b] no eixo x. A área é encontrada por um processo de limite.

Da Fig. 9.12 deduzimos:

\[ \begin{align} A_l&=\sum_{i=1}^{n}y_i\Delta x \\ A_u&=\sum_{i=0}^{n-1}y_i\Delta x \\ A_u-A_l&=y_0\Delta x-y_n\Delta x \\ A_u-A_l&=(f(a)-f(b))\Delta x \\ \lim_{\Delta x\to 0}{\left(A_u-A_l\right)}&=\lim_{\Delta x\to 0}{(f(a)-f(b))}\Delta x\\ \lim_{\Delta x\to 0}{\left(A_u-A_l\right)}&=0 \end{align} \]

Portanto, \(A_u\) e \(A_l\) tendem para o mesmo limite. Então:

\[ A=\lim_{\Delta x\to 0}{A_l}=\lim_{\Delta x\to 0}{A_u} \]

Este limite comum é expresso com o símbolo de integral da seguinte forma:

\[ A=\int_{a}^{b}{f(x)}dx \]

\(A_{a}^{x}=F(x)\), se \(f(x)>0\), é uma função de \(x\) que é chamada de área da função.

Note que \(A_{a}^{a}=F(a)=0\).

Fig. 9.13. A área de uma região entre uma curva e um intervalo [a, x] em função de x.

A derivada da área \(F(x)\) é a função \(f(x)\):

\[ F^{\prime}(x)=f(x) \]

A função da área \(F(x)\) é uma determinada antiderivada de \(f(x)\).

Seja \(I(x)\) uma antiderivada arbitrária de \(f(x)>0\) e \(c\in \mathbb{R}\) no intervalo \([a,b]\), então:

\[ \begin{align} F(x)&=I(x)+c \\ F(x)&=I(x)-I(a), \;\text{pois}\; F(a)=0=I(a)+c \\ F(b)&=A_a^b=I(b)-I(a) \\ \int_{a}^{b}{f(x)}dx&=I(b)-I(a) \end{align} \]

O integrando é a função \(f(x)\) a ser integrada.

A variável de integração é \(x\).

O intervalo de integração é \([a,b]\).

A antiderivada \(I(x)\) é também chamada de integral indefinida:

\[ I(x)=\int{f(x)}dx \]

A integral definida é expressa da seguinte maneira:

\[ F(x)=\int_{a}^{x}{f(t)}dt \]

O Teorema Fundamento do Cálculo (TFC) é expresso pelas seguintes igualdades equivalentes:

\[ \begin{align} \dfrac{d}{dx}\int_{a}^{x}{f(t)}\,dt&=f(x) \\ \int_{a}^{x}{\dfrac{d}{dt}F(t)}\,dt&=F(x) \end{align} \]

TFC mostra que diferenciação e integração são operações inversas.

No entanto, para abranger várias aplicações, é essencial ter em mente um conceito mais “abstrato” de integrais. A interpretação geométrica por áreas exige que atribuamos uma área negativa a uma região abaixo do eixo x.

Fig. 9.14. Áreas de regiões acima do eixo x são positivas, de regiões abaixo do eixo x negativas.

Propriedadas de integral

\(\int_a^b{f(x)dx}= \int_a^c{f(x)dx}+\int_c^b{f(x)dx}\)
\(\int_a^b{f(x)dx}= -\int_b^a{f(x)dx}\)
\(\int kf(x)dx=k\int f(x)dx\)
\(\int(f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx\)

Integral em R

curve(1*x, 0, 5)

# Integral numerica

f <- function(x) x
integrate(f, 0, 1)

0.5 with absolute error < 5.6e-15

integrate(f, 0, 5)

12.5 with absolute error < 1.4e-13

try(integrate(f, 0, Inf))

Error in integrate(f, 0, Inf) : the integral is probably divergent

Listas de integrais

Tábua de integrais: Wikipedia

List of integrals: Wikipedia

List of integrals of exponential functions: Wikipedia

List of definite integrals: Wikipedia

Derivada segunda

Second derivative: Wikipedia

Derivada de primeira ordem

Se a função \(f\) é diferenciável em \(x\), então o valor da inclinação da reta tangente em \(f(x)\) é \(f^{\prime}(x)\).

Se \(f^{\prime}(x)>0\), então a inclinação é positiva, i.e., a função \(f\) é crescente em \(x\).

Se \(f^{\prime}(x)<0\), então a inclinação é negativa, i.e., a função \(f\) é decrescente em \(x\).

Se \(f^{\prime}(x)=0\), então a inclinação é nula, i.e., a função \(f\) é estacionária em \(x\).

Fig. 9.15. Uma função permanece estacionária quando f’(x) = 0. No caso (a) onde é um ponto máximo, no caso (b) um ponto mínimo, e no caso (c) um ponto de inflexão.

Derivada de segunda ordem

A derivada segunda é taxa de mudança da inclinação.

\[ \dfrac{d^2f(x)}{dx^2}=f^{\prime\prime}(x) \]

Se \(f^{\prime\prime}(x)<0\), a curva é convexa para cima e côncavo para baixo em \(x\) (\(\cap\)).

Se \(f^{\prime\prime}(x)>0\), a curva é côncava para cima e convexa para baixo em \(x\) (\(\cup\)).

Fig. 9.16. A concavidade e a convexidade de uma curva podem ser julgadas pelo sinal da segunda derivada f’’(x).

Se \(f^{\prime\prime}(x)=0\), a curva tem mudança de concavidade em \(x\) (ponto de inflexão).

Fig. 9.17. Nos pontos de inflexão P<sub>1</sub> e P<sub>2</sub>, a segunda derivada é zero.

Fig. 9.17. Nos pontos de inflexão P₁ e P₂, a segunda derivada é zero.

Curvatura

Cada ponto do gráfico da função tem sua própria curvatura.

A análise de cada ponto do gráfico de uma função é chamada análise local.

Essa análise pode ser realizada em um ponto do gráfico que pertença a uma linha lisa, isto é, em um ponto que não seja uma ponta ou canto vivo ou cúspide do gráfico.

Quanto menor o valor absoluto da função da curvatura em um ponto do gráfico, mais retilínea (achatada ou aproximadamente reta) é a vizinhança do gráfico onde está o ponto analisado. E.g., a curvatura de um ponto da reta é nula.

Por outro lado, quanto maior o valor absoluto da função da curvatura em um ponto do gráfico, mais curvilínea é a vizinhança do gráfico onde está o ponto analisado.

A magnitude da curvatura no ponto \(x\), \(\kappa(x)\), está diretamente relacionada com a rapidez de variação da inclinação da reta tangente da função no ponto.

Se \(\kappa(x)<0\), então \(f(x)\) é côncava (∩) em \(x\).

Se \(\kappa(x)>0\), então \(f(x)\) é convexa (∪) em \(x\).

\[ \kappa(x)=\dfrac{f^{\prime\prime}(x)}{\sqrt[2]{\left(1 + \left( f^{\prime}(x)\right)^{2}\right)^{3}}} \]

A unidade de medida da curvatura é radiano por unidade de comprimento da linha do gráfico. A circunferência da curvatura ou circunferência osculadora de uma curva em um ponto \((x, f(x))\) do gráfico é a circunferência de raio \(r(x)=1/|\kappa(x)|\) tangente ao gráfico nesse ponto e situada no lado côncavo do gráfico.

O centro da circunferência osculadora é o ponto \((x_c,y_c)\), sendo

\[ \begin{align} x_c&=x+\dfrac{f^{\prime}(x)}{f^{\prime\prime}(x)}\left( 1+ \left( f^{\prime}(x)\right)^{2}\right) \\ y_c&=f(x)+\dfrac{1+ \left( f^{\prime}(x)\right)^{2}}{f^{\prime\prime}(x)} \end{align} \]

O lugar geométrico de todos os centros de curvatura é denominado desenvolvida.

A função \(f(x)=e^{-x^2}\) tem curvatura:

\[ \kappa(x)=\dfrac{2e^{x^2}(2x^2-1)}{(e^{2x^2} + 4x^2)\sqrt{1 + 4e^{-2x^2}x^2}} \]

O valor da curvatura \(\kappa(x)<0\) se \(2x^2-1<0\), i.e., se \(-1/\sqrt{2}<x<1/\sqrt{2}\). A circunferência que tangencia a curva neste intervalo está abaixo dela.

O valor da curvatura \(\kappa(x)>0\) se \(2x^2-1>0\), i.e., se \(x< -1/\sqrt{2}\) ou \(x >1/\sqrt{2}\). A circunferência que tangencia a curva neste intervalo está acima dela.

Aula08.nb

funcao <- function(x) {
  numerador <- 2 * exp(x^2) * (2 * x^2 - 1)
  denominador <- (exp(2 * x^2) + 4 * x^2) * sqrt(1 + 4 * exp(-2 * x^2) * x^2)
  return(numerador / denominador)
}
curve(exp(-x^2), -2, 2,
      main=expression(exp(-x^2)))

curve(funcao, -2, 2,
      main=expression("Curvatura de " * exp(-x^2)))
abline(h=0, lty=2)

A função \(f(x)=-e^{-x^2}\) tem curvatura:

\[ \kappa(x)=\dfrac{2e^{x^2}(1-2x^2)}{(e^{2x^2} + 4x^2)\sqrt{1 + 4e^{-2x^2}x^2}} \]

funcao <- function(x) {
  numerador <- 2 * exp(x^2) * (1 - 2 * x^2)
  denominador <- (exp(2 * x^2) + 4 * x^2) * sqrt(1 + 4 * exp(-2 * x^2) * x^2)
  return(numerador / denominador)
}
curve(-exp(-x^2), -2, 2,
      main=expression("Curvatura de " * -exp(-x^2)))

curve(funcao, -2, 2,
      main=expression("Curvatura de " * -exp(-x^2)))
abline(h=0, lty=2)

Curvatura de \(f(x)=x\):

Curvatura de \(f(x)=e^{-x^2}\):

Curvatura de \(f(x)=-e^{-x^2}\):

2 e^(x^2) (1-2 x^2)/((e^(2 x^2) + 4 x^2) sqrt(1 + 4 e^(-2 x^2) x^2))

As fórmulas para curvatura de uma relação (e.g., circunferência) podem ser encontradas em Goldman (2005).

Extremante

Se a função é convexa (côncava) na região e tem extremante, ele é um ponto de mínimo (máximo).

A função \(f\) atinge o valor máximo local em \(x\) se e somente se \(f^{\prime}(x)=0\) e \(f^{\prime\prime}(x)<0\).

Do ponto de vista geométrico, a desiguldade envolvendo a segunda derivada pode ser substituída com vantagem por \(\kappa(x)<0\), sendo \(\kappa(x)\) o valor da curvatura. Então, a função \(f\) atinge o valor máximo local em \(x\) se \(f^{\prime}(x)=0\) e \(\kappa(x)<0\).

A função \(f\) atinge o valor mínimo local em \(x\) se \(f^{\prime}(x)=0\) e \(f^{\prime\prime}(x)>0\).

De maneira equivalente, a função \(f\) atinge o valor mínimo local em \(x\) se \(f^{\prime}(x)=0\) e \(\kappa(x)>0\).

extrema x^2

curvature x^2

2/(1 + 4 x^2)^(3/2)

derivative x^2

derivative x^2 at x=0

second derivative x^2

second derivative x^2 at x=0

extrema -x^2

curvature -x^2

-2/(1 + 4 x^2)^(3/2)

derivative -x^2

derivative -x^2 at x=0

second derivative -x^2

second derivative -x^2 at x=0

extrema x^3

curvature x^3

6 x/(1 + 9 x^4)^(3/2)

derivative x^3

derivative x^3 at x=0

second derivative x^3

second derivative x^3 at x=0

extrema x^3-x

curvature x^3-x

plot 6 x/(2 - 6 x^2 + 9 x^4)^(3/2) from x=-2 to x=2

derivative x^3-x

derivative x^3-x at x=1/3^(1/2)

second derivative x^3-x

second derivative x^3-x at x=1/3^(1/2)

derivative x^3-x

derivative x^3-x at x=-1/3^(1/2)

second derivative x^3-x at x=-1/3^(1/2)

second derivative x^3-x at x=0

e^(-x^2)

extrema e^(-x^2)

curvature e^(-x^2)

2 e^(x^2) (1 - 2 x^2)/((e^(2 x^2) + 4 x^2) sqrt(1 + 4 e^(-2 x^2) x^2))

derivative e^(-x^2)

derivative e^(-x^2) at x=0

second derivative e^(-x^2)

second derivative e^(-x^2) at x=0

extrema |x|

curvature |x|

derivative |x|

derivative |x| at x=0

second derivative |x|

second derivative |x| at x=0

extrema x^(1/3)

curvature x^(1/3)

plot 6/sqrt((9 + 1/x^(4/3))/(1/((9 + 1/x^(4/3))^3 x^(14/3)) + (9 (9 + 1/x^(4/3)) x^2)/(1 + 9 x^(4/3))^4)) from x=0 to 2

derivative x^(1/3)

derivative x^(1/3) at x=0

second derivative x^(1/3)

second derivative x^(1/3) at x=0

Derivada na cinemática

Uma partícula se move ao longo de uma linha reta e \(s(t)\) é sua distância a partir de um ponto fixo na linha. Então sabemos que a derivada \(s^{\prime}(t)\) é a velocidade (instantânea) da partícula:

\[ v(t)=s^{\prime}(t) \]

Se a velocidade não for constante, podemos perguntar pela aceleração (instantânea), ou seja, a taxa de variação da velocidade. Portanto, temos que diferenciar \(v(t)\) em relação a \(t\). Então \(v^{\prime}(t)\) é a segunda derivada de \(s(t)\) e a primeira derivada de \(s^{\prime}(t)\). Assim, a aceleração da partícula é:

\[ a(t)=v^{\prime}(t)=s^{\prime\prime}(t) \]

Exemplo 9.6.5: Um corpo que cai

Para um corpo em queda que não está sujeito à resistência do ar, Galilei encontrou a fórmula:

\[ s(t)=\dfrac{g}{2}t^2 \]

sendo \(t\) o tempo e \(s\) a distância vertical percorrida. Quando \(t\) é medido em segundo e \(s\) em metro, então g = 9.81 m/s² na superfície da Terra. Então, \(v(t)= gt\) e \(a(t) = g\). Portanto, para um corpo em queda, a velocidade aumenta linearmente com o tempo e a aceleração permanece constante durante o movimento.

Comparative gravities of the Earth, Sun, Moon, and planets: https://en.wikipedia.org/wiki/Gravitational_acceleration.

derivative g t^2/2 for t

second derivative g t^2/2 for t

Exemplo 9.6.6: Um corpo que oscila

Simple harmonic motion

Um corpo oscila de tal forma que seu centro de gravidade permanece no eixo \(x\) e tem abcissas

\[ x(t) = 1+ \sin\left(\dfrac{2\pi}{T}t\right) \]

sendo t = tempo (seg), T = 3 seg, e x é medido em metro. Para discutir o movimento, primeiro notamos que x está restrito ao intervalo [0 m, 2 m].

Quando o tempo t aumenta de 0 seg para 3 seg, \(2\pi t/3\) cresce de 0 a \(2\pi\).

Portanto, neste intervalo de tempo, o seno completa um período completo.

Isso acontece novamente de t = 3 seg a t = 6 seg, de t = 6 seg a t = 9 seg etc. Portanto, x é uma função periódica de período T = 3 seg.

Obtemos a velocidade instantânea por diferenciação:

\[ v(t) = \dfrac{2\pi}{T}\cos\left(\dfrac{2\pi}{T}t\right) \]

Por exemplo, quando t = 0 seg, a velocidade atinge o valor \(v(0)= 2\pi/3\) m/seg.

A aceleração é dada pela segunda derivada de \(x(t)\) ou primeira derivada de \(v(t)\):

\[ a(t) = -\left(\dfrac{2\pi}{T}\right)^2\sin\left(\dfrac{2\pi}{T}t\right) \]

No instante de tempo t = 0 seg, obtemos \(a(0) = 0\) m/s².

derivative 1+ sin(2 pi t / T) for t

derivative 1+ sin(2 pi t / 3) for t

second derivative 1+ sin(2 pi t / T) for t

second derivative 1+ sin(2 pi t / 3) for t

Condição necessária e condição suficiente

Necessity and sufficiency

A aplicação de derivadas levanta um problema lógico, ou seja, a distinção entre diferentes tipos de condições. Vimos que um ponto de máximo pode ocorrer somente se \(f^{\prime}(x) = 0\) (cuidado com as beiradas da função, pois um ponto pode ser de máximo mesmo com derivada primeira não nula: Fig. 9.20, ponto \(a\)). Tal condição é dita necessária, pois deve ser satisfeita. Entretanto, a condição \(f^{\prime}(x) = 0\) não garante um ponto de máximo, pois poderia indicar também um mínimo ou um ponto de inflexão. Portanto, diz-se que a condição não é suficiente. Uma condição suficiente para um ponto máximo em \(x\) é: \(f^{\prime}(x) = 0\) e \(f^{\prime\prime}(x) < 0\).

As duas noções “condição necessária” e “condição suficiente” são muito convenientes. Eles têm sido padrão em matemática por várias décadas. Agora eles estão entrando nas ciências lentamente. Mais alguns exemplos podem ajudar o leitor a entender a ideia:

Para contrair uma doença contagiosa é necessário ter o patógeno, mas a condição não é suficiente, porque uma infecção não precisa resultar em doença.
Para se envenenar basta engolir dez gramas de estricnina. No entanto, a condição não é necessária. Uma dose de um grama ainda seria suficiente. Além disso, não precisa ser estricnina. Existem outros produtos químicos que também podem causar envenenamento.
Um triângulo é equilátero se cada ângulo tiver sessenta graus. A condição “todos os ângulos medem sessenta graus” é suficiente. Se um ângulo difere de sessenta graus, o triângulo não pode ser equilátero. Portanto, a condição também é necessária. Assim, a condição “todos os ângulos medem sessenta graus” é necessária e suficiente para que um triângulo seja equilátero. Uma frase alternativa para expressar a mesma afirmação é a seguinte: Um triângulo é equilátero se, e somente se, todos os três ângulos tiverem sessenta graus de tamanho.

A expressão “se, e somente se,” é expressa por iff e por \(\iff\).

Os casos paradigmáticos de \(f(x)=x^4\) e \(f(x)=\sqrt[3]{x}\)

\(f^{\prime\prime}(x)=0\) não é condição necessária e também não é condição suficiente para ponto de inflexão. As funções \(f(x)=x^4\) e \(f(x)=\sqrt[3]{x}\) em \(x=0\) serão usadas para mostrar este resultado.

curve(x^4, from = -2, to = 2, col = "blue", lwd = 2,
      ylim = c(-2, 2), xlab = "x", ylab = "f(x)", asp=1,
      main = expression(f(x) == x^4 ~ "e" ~ f(x) == x^{1/3}))
curve(sign(x) * abs(x)^(1/3), from = -2, to = 2,
      col = "red", lwd = 2, add = TRUE)
legend("bottomright", legend = c(expression(f(x) == x^4),
                                 expression(f(x) == x^{1/3})),
       col = c("blue", "red"), lty = 1, lwd = 2, bty="n")
abline(h = 0, v = 0, lty = 2, col = "darkgray")

Seja \(f(x)=x^4\).

\(f^{\prime}(0)=4x^3=0\) não permite concluir que \(x=0\) é um ponto de mínimo, máximo ou de inflexão.

\(f^{\prime\prime}(0)=12x^2=0\) não permite concluir que \(x=0\) é um ponto de inflexão, pois claramente ele é um ponto de mínimo.

Portanto, segunda derivada nula não é condição necessária para ponto de inflexão.

Como as primeiras derivadas à direita e à esquerda da vizinhança deste ponto têm sinais, respectivamente, positivo e negativo, então ele é ponto de mínimo.

Outra maneira de concluir isto é pelos sinais positivos da segunda derivada, significando que é côncava para cima.

Além disso, \(f^{\prime\prime\prime\prime}(0)=24>0\) permite concluir que ele é um ponto de máximo.

x^4

first and second derivative of x^4

-x^4

first and second derivative of -x^4

Seja \(f(x)=\sqrt[3]{x}\).

No entanto, no caso da função raiz cúbica, no ponto 0, a curva tem ponto de inflexão, mas as primeira e segunda derivadas não existem.

Portanto, segunda derivada nula não é condição necessária para ponto de inflexão.

cuberoot(-1)

cuberoot(x)

first and second derivatives of cuberoot(x)

first and second derivatives of cuberoot(x) at x=0

Função aproximativa de Taylor

Taylor series

Em geral, uma função é curvilínea, isto é, seu gráfico não é o de uma reta. Além disso, a função pode não ser polinomial. Sendo assim, uma forma de simplificar a análise local de uma função é aproximá-la em cada ponto por uma função Taylor afim ou quadrática. Essas funções aproximativas são funções polinomiais de ordem 1 e 2, respectivamente.

De modo geral, a função afim aproximativa da função \(f\) no ponto \((x_0,f(x_0))\) é a dada pela seguinte fórmula:

\[ t(x)=f(x_0)-f^{\prime}(x_0)x_0+f^{\prime}(x_0)x=f(x_0)+f^{\prime}(x_0)(x-x_0) \]

De modo geral, a função quadrática aproximativa da função \(f\) no ponto \((x_0,f(x_0))\) é a dada pela seguinte fórmula:

\[ p(x)=f(x_0)+f^{\prime}(x_0)(x-x_0)+\dfrac{1}{2}f^{\prime\prime}(x_0)(x-x_0)^{2} \]

Derivada de função mista (piecewise)

Plot[Piecewise[{{x^2, x < 0}, {x, x >= 0}}], {x,-2,2}]

D[Piecewise[{{x^2, x < 0}, {x, x >= 0}}], x]

Otimização

Mathematical optimization: Wikipedia

Durante a evolução, todas as funções de um organismo que são essenciais para sobreviver em condições severas devem ser maximizadas. Por outro lado, o “custo”, como a necessidade de alimentos e proteção, deve ser minimizado. Assim, nas plantas, as folhas devem receber o máximo de luz solar e as raízes devem ter acesso ao máximo de minerais possível. Por outro lado, o tempo necessário para se adaptar às novas condições deve ser mínimo. Nos animais, a capacidade de obter alimento e de se proteger contra inimigos deve ser a mais alta possível, enquanto a suscetibilidade a doenças deve ser minimizada.

A partir desses poucos exemplos, vemos que a natureza busca a economia na medida em que algumas quantidades são maximizadas e outras minimizadas. Se tal quantidade puder ser expressa como uma função de outras variáveis, o cálculo diferencial fornece um método para encontrar valores extremos, isto é, máximos e mínimos.

Também temos que considerar um tipo diferente de extremante, ou seja, extremantes tomados em pontos de fronteira. No ponto \(R\) da Fig. 9.20 a função atinge um máximo, pois todos os pontos vizinhos da curva são mais baixos.

A propriedade de um ponto ser um ponto extremante é puramente local.

Assim, falamos de máximos e mínimos locais. Muitas vezes, no entanto, somos solicitados a encontrar o máximo mais alto e o mínimo mais baixo. Então estamos preocupados com o máximo absoluto e o mínimo absoluto.

Na Fig. 9.20, o máximo absoluto é tomado em \(R\) e o mínimo absoluto em \(P\). Os dois extremantes absolutos determinam o alcance da função.

O ponto \(Q\) é de máximo local.

O ponto \(S\) não é ponto de mínimo ou máximo local.

Fig. 9.20. Valores extremos de uma função.

Exemplo 9.7.3: Célula da colmeia de abelha

A célula da colmeia é um prisma hexagonal regular com uma extremidade aberta e um ápice triédrico (ver Fig. 9.21 a).

Podemos construir a superfície começando com uma base hexagonal regular abcdef com lado s (Fig. 9.21 b).

Sobre a base levantamos um prisma reto de uma certa altura h com a parte superior ABCDEF.

Fig. 9.21. A célula da abelha.

A base hexagonal abcdef é a extremidade aberta.

As abelhas formam as faces usando cera.

Quando o volume é dado, é econômico poupar cera e, portanto, escolher o ângulo de inclinação, \(\theta=\measuredangle NVX\), de forma que a área da superfície da célula da abelha seja minimizada.

Esta área é função da variável ângulo \(\theta\) e, portanto, a denotamos por \(f(\theta)\):

\[ f(\theta) = 6 h s+\dfrac{3}{2}s^2 \left(\dfrac{\sqrt{3}}{\sin(\theta)}-\cot(\theta)\right) \]

O valor do ângulo que minimiza a área da superfície da célula da abelha, que independe de \(s\) e \(h\), é:

\[ \theta^{\ast}= \arccos\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) \approx 0.9553 \;\text{rad} \approx 54.74^\circ \]

\[f(\theta^{\ast})=\dfrac{3}{2} s \left(\sqrt{2} s + 4 h \right)\]

D[6 h s+(3/2) s^2 (sqrt(3)/sin(x)-cot(x)),x]

Resultado: \(f^{\prime}(\theta)=\dfrac{3}{2} s^2 \csc^2(\theta)\left(1-\sqrt{3} \cos(\theta)\right)\)

6 h s+(3/2) s^2 (sqrt(3)/sin(x)-cot(x)) /. x=arccos(1/sqrt(3))

D[6 h s+(3/2) s^2 (sqrt(3)/sin(x)-cot(x)),{x,2}]

A expressão \(f^{\prime\prime}(\theta)=\frac{3}{2} s^2 \csc(\theta) \left(-2 \cot(\theta) \csc(\theta) + \sqrt{3} (\cot^2(\theta) + \csc^2(\theta))\right)\) é positiva para todos os \(\theta\) exceto \(\theta \neq n\pi\), com \(n \in \mathbb{Z}\).

Vale a pena comparar o resultado com o ângulo real escolhido pelo abelhas. É difícil medir esse ângulo. No entanto, a média de todas medições não difere significativamente do valor teórico. Portanto, as abelhas preferem fortemente o ângulo ideal. É improvável que o resultado seja devido ao acaso. Podemos supor que a pressão da seleção natural teve um efeito no ângulo \(\theta\).

Exemplo 9.7.4: Pombo-correio

É sabido que os pombos-correio evitam voar sobre grandes áreas de água, a menos que sejam forçados a fazê-lo. A razão para esse comportamento não é conhecida no momento. No nosso exemplo, supomos que os pombos preferem um desvio em torno de um lago, pois durante o dia o ar desce sobre a água fria, fenômeno que aumenta a energia necessária para manter a altitude em vôo.

Fig. 9.22. Um pombo solto de um barco (ponto B) faz um desvio ao retornar para seu pombal (ponto L). Supõe-se que a energia total necessária para regresso (homing) seja minimizada.

Na Fig. 9.22 assumimos que um pombo é solto de um barco (ponto B) flutuando no lado oeste de um lago, enquanto o pombal (ponto L) está localizado na margem sudeste. A rota mais curta de B a L é indicada por uma linha tracejada. No entanto, o pombo faz um desvio. Primeiro ele segue para um certo ponto P na margem sul, não muito longe de B, então segue a margem para leste até L. Para simplificar, supomos que a margem é reta na direção leste-oeste. Surge a pergunta: onde deve ser escolhido o ponto P para minimizar a energia necessária para o voo de B para L? Em outras palavras, qual é o ângulo ideal BPA?

Seja \(\theta=\measuredangle APB\), \(AB=r\) e \(AL=s\).

Denotamos a energia necessária para voar uma unidade de comprimento sobre o lago por \(e_1\) e ao longo da margem por \(e_2\). Assumimos que nenhum vento horizontal interfere. Pelas razões mencionadas acima, temos \(e_1 > e_2\) ou \(e_1 = ce_2\) com uma certa constante \(c> 1\). A energia necessária para voar de B para P é \(e_1 \times BP\) e para continuar de P para L é \(e_2 \times PL\). Assim, a energia total \(E\) acaba por ser:

\[ E(\theta)=e_2\left(s+r\left(\dfrac{c}{\sin(\theta)}-\cot(\theta)\right)\right) \]

\[ G(\theta)=\dfrac{c}{\sin(\theta)}-\cot(\theta) \]

D[c/sin(x)-cot(x),x]

D[c/sin(x)-cot(x),{x,2}]

Resultado:

\[ G^{\prime}(\theta)=\csc^2(\theta)(1 - c \cos(\theta)) \]

\[ \begin{align} G^{\prime\prime}(\theta)&=\csc(\theta) \left( c \cot^2(\theta) - 2 \cot(\theta) \csc(\theta) + c \csc^2(\theta) \right) \\ G^{\prime\prime}(\theta)&= \dfrac{c (\cos^2(\theta) + 1) - 2 \cos(\theta)}{\sin^3(\theta)} \end{align} \]

A segunda derivada \(G^{\prime\prime}(\theta)\) é positiva para \(c>1\) e todo \(\theta\) que não é múltiplo inteiro de \(\pi\).

Portanto, \(\theta^{\ast}\) é ponto de mínimo:

\[ \begin{align} \theta^{\ast}&= \arccos \left(\dfrac{1}{c} \right)\\ &=\arccos \left(\dfrac{1}{2} \right)\\ \theta^{\ast}&=\dfrac{\pi}{3} \end{align} \]

Dessa forma, \(\theta^{\ast}=\dfrac{\pi}{3}=60^{\circ}\), se \(c=2\), é o ângulo que minimiza energia necessária para voar sobre o lago (B para P) e sobre a margem (P para L).

\[ E(\theta^{\ast})=e_2 \left(s+r\sqrt{3}\right) \]

Exemplo 9.7.5: Ramificação vascular

O sistema vascular sanguíneo consiste em artérias, arteríolas, capilares e veias. O transporte de sangue do coração por todos os órgãos do corpo e de volta ao coração deve ser o mais eficaz possível. Com um gasto mínimo de energia, o corpo deve ser alimentado rapidamente pelos constituintes do sangue. A otimização deve ser alcançada de várias maneiras. Por exemplo, cada vaso deve ser largo o suficiente para evitar turbulência, e os eritrócitos (hemácias ou glóbulos vermelhos) devem ser mantidos em um tamanho que minimize a viscosidade.

Fig. 9.23. Ramificação dos vasos sanguíneos e a busca de um ângulo ideal.

Em nosso exemplo, nos restringimos a um problema de otimização especial, o da ramificação vascular. Assumimos que um vaso principal de raio \(r_1\) corre ao longo da linha horizontal de A a B na Fig. 9.23. Um ponto C deve ser alcançado por um ramo de um dado raio \(r_2\). Para implicitamente, escolhemos B tal que CB é perpendicular a AB. Seja \(CB = s\) e seja D o ponto onde o eixo do vaso ramificado intercepta o eixo do vaso principal. Denotamos o ângulo BDC por \(\theta\). O problema que consideramos é então:

Encontre o ângulo \(\theta\) que minimiza a resistência total do sangue, \(R\), ao longo do caminho ADC.

Quanto menor a resistência, menos energia é gasta pelo coração que bombeia.

Para resolver o problema, precisamos da lei de Poiseuille.

\[ \begin{align} R(\theta)&=k\dfrac{l}{r^4}\\ R(\theta)&=k\left( \dfrac{l_0-s\,\cot(\theta)}{r_{1}^{4}}+\dfrac{s}{r_{2}^{4}\,\sin(\theta)} \right) \end{align} \]

D[k (((l-s cot(x))/a) + s/(b sin(x))),x]

\[ R^{\prime}(\theta)=\dfrac{ks}{\left(r_{1}r_{2}\right)^{4}}\,\csc(\theta)\left(r_{2}^{4}\,\csc(\theta)-r_{1}^{4}\,\cot(\theta)\right) \]

symplify a csc(x) - b cot(x) = 0

\[ \begin{align} \theta^{\ast}&=\arccos\left(\left( \dfrac{r_2}{r_1} \right)^4\right)\\ &=\arccos\left(\left( \dfrac{3}{4} \right)^4\right)\\ &\approx1.25\,\text{rad}\\ \theta^{\ast}&\approx71.55^{\circ} \end{align} \]

arccos((3/4)^4))

\[ R(\theta^{\ast})= k \left( \dfrac{l_0}{r_1^4} + s\dfrac{\sqrt{1 - \left( \dfrac{r_2}{r_1} \right)^8}}{r_2^4} \right) \]

Média de função

Em um laboratório, foram tomadas providências para manter a temperatura constante. Uma gravação de temperatura mostrou pequenas flutuações.

Surgiu o problema: como determinar a temperatura média?

Situações semelhantes ocorrem com frequência em pesquisas. Umidade, intensidade de luz, taxas de reação etc. mudam continuamente. No entanto, geralmente apenas os valores médios são de interesse.

No estudo dos ritmos biológicos observa-se que todas as atividades corporais variam em intensidade. Para se livrar dos altos e baixos, pode-se pedir intensidades médias.

Por exemplo, a pergunta pode ser: Qual é o débito médio dos rins por hora?

Fig. 9.26. A média de uma função contínua u = f(t) ao longo de um intervalo de t<sub>0</sub> a t<sub>1</sub>.

Fig. 9.26. A média de uma função contínua u = f(t) ao longo de um intervalo de t₀ a t₁.

A média da função \(f\) contínua no intervalo \([t_0,t_1]\), \(\bar{u}\), é expresso por:

\[ \bar{u}=\dfrac{1}{T}\int_{t_0}^{t_1}f(t)dt \]

Uma interpretação geométrica ainda mais forte procederia da seguinte forma: A figura com borda curvilínea é substituída por um retângulo com a mesma base T e a mesma área. A altura \(\bar{u}\) deste retângulo é a média desejada de u.

Exemplo 9.8.1: Estimativa da Fração de Volume a partir de Fatia Fina

A questão é: é possível estimar a fração volumétrica de um componente em um tecido tridimensional a partir de uma fatia bidimensional?

Segundo o princípio de Delesse (1842) e apresentação de Weibel (1963), a resposta é sim.

Modelo Geométrico

Considere um cubo de volume:

\[ V = L^3 \]

Suponha que o tecido contenha grânulos de qualquer forma, distribuídos de modo homogêneo (não agrupados). O volume total ocupado pelos grânulos é:

\[ v = \rho V, \quad q < 1 \]

onde \(\rho\) é a fração volumétrica do componente.

Fatia Bidimensional

Considere uma fatia de espessura \(dx\), paralela ao plano \(y,z\). O volume dessa fatia é:

\[ dV = L^2 \, dx \]

Se a função \(\eta(x)\) representa a fração de área ocupada pelos grânulos nesta fatia, o volume de grânulos na fatia é:

\[ \begin{align} dv &= \eta(x) \, dV \\ dv &= \eta(x) L^2 \, dx \end{align} \]

Taxa Média Bidimensional

Definimos a taxa média bidimensional \(\bar{\eta}\) como:

\[ \bar{\eta} = \dfrac{1}{L} \int_{0}^{L} \eta(x) \, dx \]

Integrando o volume total de grânulos sobre todas as fatias:

\[ \begin{align} v &= \int dv \\ &= \int_{0}^{L} \eta(x) L^2 \, dx\\ &= L^2 \int_{0}^{L} \eta(x) \, dx\\ v &= L^2 L \bar{\eta} \end{align} \]

Portanto:

\[ v = V \bar{\eta} \]

Comparando com \(v = q V\):

\[ \rho = \bar{\eta} \]

Exemplo 9.8.2: Velocidade Média no Fluxo Laminar do Sangue

O termo laminar no fluxo de sangue se refere ao tipo de escoamento em que o fluido se move em camadas paralelas, sem turbulência, com cada camada deslizando suavemente sobre a adjacente.

Consideramos o escoamento (fluxo) laminar em um vaso sanguíneo, onde a velocidade em função da distância radial \(r\) é dada por:

\[ v(r) = c (R^2 - r^2), \quad 0 \leq r \leq R \]

onde \(c = \dfrac{P}{4 \eta l}\) é uma constante que depende da pressão \(P\), viscosidade \(\eta\) e comprimento do vaso \(l\).

Fluxo Total de Sangue

Dividimos a seção transversal do vaso em anéis concêntricos. O volume de sangue que atravessa um anel entre \(r\) e \(r + \Delta r\) por unidade de tempo é aproximadamente:

\[ 2 \pi r \cdot v(r) \cdot \Delta r \]

O fluxo total é então:

\[ \sum_{i=0}^{n-1} 2 \pi r_i \cdot v(r_i) \cdot \Delta r \]

No limite \(n \to \infty\), obtemos a integral:

\[ Q = \int_{0}^{R} 2 \pi r \cdot v(r) \, dr \]

Velocidade Média

A velocidade média \(\bar{v}\) é o fluxo total dividido pela área total da seção transversal (\(\pi R^2\)):

\[ \bar{v} = \dfrac{1}{\pi R^2} \int_{0}^{R} 2 \pi r \cdot v(r) \, dr \]

Substituindo \(v(r) = c (R^2 - r^2)\):

\[ \bar{v} = \dfrac{1}{\pi R^2} \cdot 2 \pi c \int_{0}^{R} r (R^2 - r^2) \, dr \]

Calculando a integral:

\[ \begin{align} \int_{0}^{R} r (R^2 - r^2) \, dr &= \int_{0}^{R} (R^2 r - r^3) \, dr\\ &= \left[ \dfrac{R^2 r^2}{2} - \dfrac{r^4}{4} \right]_{0}^{R}\\ &= \dfrac{R^4}{2} - \dfrac{R^4}{4}\\ \int_{0}^{R} r (R^2 - r^2) \, dr&= \dfrac{R^4}{4} \end{align} \]

Portanto:

\[ \begin{align} \bar{v} &= \dfrac{1}{\pi R^2} \cdot 2 \pi c \cdot \dfrac{R^4}{4}\\ \bar{v} &= \dfrac{c }{2}R^2 \end{align} \]

Relação com a Velocidade Máxima

A velocidade máxima ocorre em \(r = 0\):

\[ v_{\text{max}} = c R^2 \]

Logo, a velocidade média é:

\[ \bar{v} = \dfrac{1}{2} v_{\text{max}} \]

Centro de massa (centróide) de \(f(x)\)

Para uma região plana sob a curva \(y = f(x)\) entre \(x = a\) e \(x = b\):

Área sob \(f(x)\):

\[ A = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]

Coordenadas do centro de massa \(\left(\bar{x},\bar{y}\right)\):

\[ \begin{align} \bar{x} &= \dfrac{1}{A} \int_{a}^{b} x f(x) \, dx \\ \bar{y} &= \dfrac{1}{A} \int_{a}^{b} \dfrac{1}{2} f(x)^2 \, dx \end{align} \]

Exemplo em \(f(x) = 1 - x^2\) de \(x = -1\) a \(x = 1\):

f <- function(x) 1 - x^2
area <- integrate(f, -1, 1)$value
x_bar <- (1 / area) * integrate(function(x) x * f(x), -1, 1)$value
y_bar <- (1 / area) * integrate(function(x) 0.5 * f(x)^2, -1, 1)$value
c(area = area, x_bar = x_bar, y_bar = y_bar)

    area    x_bar    y_bar 
1.333333 0.000000 0.400000

curve(f(x), from = -1.2, to = 1.2, ylim = c(0, 1.2),
      main = "Centro de Massa de y = 1 - x²", xlab = "x", ylab = "y")
polygon(c(-1, seq(-1, 1, 0.01), 1), c(0, f(seq(-1, 1, 0.01)), 0),
        col = "lightblue", border = NA)
points(x_bar, y_bar, pch = 19, col = "red")
text(x_bar, y_bar + 0.05, labels = "Centro de Massa", col = "red")

Pressão arterial média (PAM)

Mean arterial pressure: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Mean_arterial_pressure
Mean Arterial Pressure (MAP) Calculator: https://www.learningaboutelectronics.com/Articles/Mean-arterial-pressure-MAP-calculator.php
Alex Yartsev (2015) Systolic, diastolic and mean arterial blood pressure: https://derangedphysiology.com/main/cicm-primary-exam/required-reading/cardiovascular-system/Chapter%20035/systolic-diastolic-and-mean-arterial-blood-pressure
Richard E. Klabunde: Mean Arterial Pressure: https://www.cvphysiology.com/Blood%20Pressure/BP006

MAP é determinada por medidas diretas ou indiretas da pressão arterial. A partir do traçado da pressão aórtica ao longo do tempo (ver figura a seguir), a forma do traçado da pressão produz um valor de pressão média (média geométrica) que é menor que a média aritmética das pressões sistólica e diastólica.

Indivíduo adulto masculino com PAM entre 70 e 100 mmHg podem ser considero com pressão normal, sendo que a ideal é 90 mmHg.

Este paciente da UTI tem PAM igual a 71 mmHg. Note que PAS = 112 mmHg e PAD = 47. Como foi calculada PAM = 71 mmHg?

BP <- c(112, 47)
round(DescTools::Hmean(BP),0)

[1] 66

round(DescTools::Gmean(BP),0)

[1] 73

round(DescTools::Mean(BP),0)

[1] 80

Em frequências cardíacas normais em repouso, a MAP pode ser aproximada pela seguinte equação (Gauer, 1960):

\[ MAP=dBP+\dfrac{1}{3}(sBP-dBP) \]

Por exemplo, se a pressão sistólica é 120 mmHg e a pressão diastólica é 80 mmHg (conforme mostrado na figura), então a pressão arterial média (MAP) é de aproximadamente 93 mmHg usando este cálculo.

BP <- c(120, 80)
MAP <- BP[2] + (BP[1] - BP[2])/3 # Em repouso: HR = 64
round(MAP,0)

[1] 93

round(DescTools::Hmean(BP),0)

[1] 96

round(DescTools::Gmean(BP),0)

[1] 98

round(DescTools::Mean(BP),0)

[1] 100

MAP <- BP[2] + (BP[1] - BP[2])/2 # HR = 180
round(MAP,0)

[1] 100

BP <- c(112, 47)
MAP <- BP[2] + (BP[1] - BP[2])/3 # Repouso: HR = 64
round(MAP,0)

[1] 69

MAP <- BP[2] + (BP[1] - BP[2])/2 # HR = 180
round(MAP,0)

[1] 80

Em altas frequências cardíacas, entretanto, a MAP está mais próxima da média aritmética das pressões sistólica e diastólica (portanto, quase 100 mmHg neste exemplo) por causa da mudança no formato do pulso da pressão arterial (torna-se mais estreito).

Para determinar a pressão arterial média com precisão absoluta, são usados circuitos eletrônicos analógicos ou técnicas digitais. Na prática clínica normal, no entanto, as pressões sistólica e diastólica são medidas usando um esfigmomanômetro.

Conforme Moran et al. (1995), a pressão arterial média (MAP) é uma característica comum do ciclo cardíaco. Geralmente é avaliado assumindo que o tempo de ejeção do ventrículo esquerdo (sístole) constitui uma proporção constante do ciclo cardíaco (ou seja, 1/3), independentemente da frequência cardíaca (HR).

No entanto, a elevação da FC durante o exercício resulta em redução da duração do período de ejeção e ainda maior redução do período de enchimento ventricular.

Portanto, uma proporção constante de diástole/sístole em várias frequências cardíacas pode ser enganosa. O objetivo deste estudo foi, portanto, avaliar a proporção precisa do período sistólico do ciclo cardíaco em diferentes taxas metabólicas e calcular a PAM de acordo. Vinte indivíduos saudáveis (idade: 20-50 anos) exercitaram-se em diferentes intensidades de trabalho em um cicloergômetro para obter HR na faixa de 55-180 bpm. Durante o passeio, a forma de onda da velocidade do fluxo mitral e aórtico foi registrada por ecocardiografia Doppler; o fluxo mitral na visão apical e o fluxo aórtico na visão apical do eixo longo.

A pressão arterial foi medida usando um esfigmomanômetro. A fração de sístole (S_t) do ciclo cardíaco foi relacionada à HR e foi descrita em termos matemáticos como:

\[ S_t=0.01e^{4.14-40.74/HR} \tag{eq. 6} \]

A PAM foi então calculada a partir da pressão arterial diastólica (dBP) e da pressão de pulso (PP) ajustada para S_t da seguinte forma:

\[ \begin{align} PP&=sBP-dBP\\ MAP&=dBP+S_t\times PP \\ MAP&=dBP+0.01e^{4.14-40.74/HR}\times PP \end{align} \]

HR <- 71
BP

[1] 112  47

MAP <- BP[2] + 0.01*exp(4.14-40.74/HR)*(BP[1] - BP[2]) 
round(MAP,1)

[1] 70

A utilização do modelo sugerido reduz erros na avaliação de diversos parâmetros cardíacos relacionados à pressão arterial, como a resistência periférica, principalmente sob estresse físico-calórico.”

Tabela 1 Características gerais dos participantes.

Pelo método dos mínimos quadrados a melhor equação preditiva linear \(\widehat{S}_t = 26.7+ 0.14\times HR\) explica apenas R²=0.54 da variabilidade de S_t (p < 0.001). Onze outros modelos lineares (por transformação) foram testados no mesmo procedimento [sic: todos têm dois parâmetros?]. O modelo \(y=\exp(a+b/x)\) teve o maior R²=0.81.

Fig. 1 Análise de regressão da porcentagem de tempo de ejeção do ventrículo esquerdo (LV) do ciclo cardíaco em relação à frequência cardíaca.

Tabela 2 A fração corrigida (S<sub>t</sub>) da sBP do ciclo cardíaco em diferentes HR calculada pela eq. 6.

Tabela 2 A fração corrigida (S_t) da sBP do ciclo cardíaco em diferentes HR calculada pela eq. 6.

A média da integral da pressão arterial no tempo \(t\) (\(BP_t\)) durante o ciclo cardíaco \([0,\tau]\) é:

\[ MAP = \dfrac{1}{\tau} \int_{0}^{\tau}{BP_t dt}\tag{eq. 2} \]

Supondo que a sístole esteja incluída no intervalo \([0, p \tau]\) e a diástole no intervalo \([p\tau, \tau]\), então (para: \(0 < p < 1\)):

\[ MAP = \dfrac{1}{\tau} \left(\int_{0}^{p\tau}{BP_t dt}+ \int_{p\tau}^{\tau}{BP_t dt}\right) \tag{eq. 3} \]

portanto, a qualquer momento, o MAP pode ser definido como:

\[ MAP = p \left(\dfrac{1}{p\tau}\int_{0}^{p\tau}{BP_t dt}\right)+ (1-p)\left(\dfrac{1}{(1-p)\tau}\int_{p\tau}^{\tau}{BP_t dt}\right) \]

Implementando a eq. 3 em termos de medições de pico de pressão arterial sistólica e diastólica (sBP e dBP, respectivamente) leva a:

\[ \begin{align} MAP &= p \times sBP+(1-p)\times dBP\\ MAP &= dBP+p\:(sBP-dBP)\\ MAP &= dBP+p\:PP \end{align} \tag{eq. 4} \]

O intervalo \(p\) nas equações 3 e 4 é a fração da sístole (S_t) do ciclo cardíaco. Foi obtido a partir de uma análise de regressão do tempo de ejeção do ventrículo esquerdo em diferentes frequências cardíacas. O tempo de contração isovolumétrica e o tempo de relaxamento foram incluídos na duração da diástole.

Simulação de PAM

MAP: Wolfram Cloud

As três linhas horizontais representam as médias calculadas:

Fração Sistólica: 0.23
Curva Aórtica: Representa a pressão ao longo do tempo.
Pressão Média Sistólica: 113.63 mmHg.
Pressão Média Diastólica: 86.68 mmHg.
PAM = Pressão Média Ponderada: 92.88 mmHg.

Pequena variação

Na análise de sistemas, estudamos a interdependência de várias partes de um organismo. Se o sistema for estável, uma pequena alteração em uma parte gerará apenas pequenas alterações nas outras partes. O problema de determinar pequenas mudanças é resolvido pelo cálculo diferencial, desde que as variáveis sejam contínuas (reais).

A variação relativa também pode ser considerada como medindo o erro relativo e incorrido ao calcular uma quantidade \(f(x)\) com um valor impreciso \(x\) em vez do valor exato \(x +\delta x\).

Exemplo 9.9.1: Íris do olho

Iris (anatomy): https://en.wikipedia.org/wiki/Iris_(anatomy).

Considere a íris do nosso olho que age como um diafragma.

Quanto uma pequena mudança em sua largura afeta a intensidade da luz que entra?

Fig. 9.28. Um pequeno aumento δr causa uma pequena mudança δI. A razão δI/δr é aproximadamente igual à inclinação da tangente, ou seja, a derivada dI/dr.

Seja \(r\) o raio da pupila. Então sua área (abertura) é proporcional a \(r^2\), e o mesmo vale para a intensidade da luz, digamos \(I\).

Portanto, \(I=cr^2\) para uma constante adequada \(c\). Quando \(r\) aumenta em um certo incremento \(\Delta r\), o incremento correspondente de \(I\) é

\[ \Delta I = c(r + \Delta r)^2 - c r^2 = 2cr \Delta r + c(\Delta r)^2 \]

Agora assumimos que \(\Delta r\) é pequeno em comparação com \(r\), digamos no máximo um décimo de \(r\), i.e., \(\Delta r\le0.1 r\). Então \((\Delta r)^2\) é tão pequeno comparado com \(r\Delta r\) que o último termo da equação anterior pode ser desprezado.

Para indicar que \(\Delta r\) deve ser suficientemente pequeno, costuma-se escrever \(\delta r\) em vez de \(\Delta r\).

Portanto, a equação anterior se transforma na fórmula aproximada:

\[ \delta I \approx 2cr\,\delta r \]

Existe, no entanto, uma maneira mais rápida de obter a fórmula anterior.

Para explicar a ideia básica, examinamos a Fig. 9.28. O gráfico da função \(\Delta I\) é um pedaço de uma parábola. De um dado ponto P com coordenadas \((r, I)\) procedemos a um novo ponto Q com coordenadas \((r +\delta r, I+ \delta I)\). Porém, chegaríamos quase ao mesmo ponto seguindo a tangente à parábola até o ponto \(Q^{\prime}\) com abcissa \(r +\delta r\). Como a inclinação da tangente é:

\[ \begin{align} \dfrac{dI}{dr}&=2cr\\ \dfrac{\delta I}{\delta r} &\approx \dfrac{dI}{dr}\\\\ \delta I &\approx \dfrac{dI}{dr}\delta r\\ \delta I &\approx 2cr\,\delta r \end{align} \]

Portanto, a ordenada de Q’ é \(I + 2cr \, \delta r\).

Observe que a aproximação não seria satisfatória se \(\delta r\) fosse da mesma ordem de grandeza que \(r\).

\[\Diamond\]

Em geral, seja \(f\) uma função diferenciável de \(x\), e seja \(\delta x\) ser um incremento suficientemente próximo de zero, então:

\[ \delta f(x)\approx f^{\prime}(x)\,\delta x \]

Em cada aplicação particular, um exame especial é necessário para determinar o significado de “suficientemente pequeno”. Isso depende das propriedades da função, bem como da precisão desejada.

Exemplo 9.9.2: Vaso sanguíneo

Hagen–Poiseuille equation: Wikipedia

No fluxo laminar, a lei de Poiseuille estabelece que a resistência \(R\) é proporcional ao comprimento \(l\) do vaso e inversamente proporcional à quarta potência de seu raio \(r\), ou seja,

\[ R(r)=k\dfrac{l}{r^4} \]

\(k\) sendo um fator constante determinado pela viscosidade do sangue.

Fig. 9.23. Ramificação dos vasos sanguíneos e a busca de um ângulo ideal.

Como uma pequena mudança \(\delta r\) afeta a resistência \(R\)?

Diferenciamos \(R\) em relação a \(r\) e obtemos:

\[ \dfrac{dR(r)}{dr}=-4k\dfrac{l}{r^5} \]

Portanto:

\[ \delta R(r)\approx\left(-4k\dfrac{l}{r^5}\right) \delta r \]

O resultado afirma que a resistência \(R\) diminui à medida que o raio \(r\) aumenta.

A taxa de variação é \(-4k\dfrac{l}{r^5}\).

Exemplo 9.9.4: Resistência elétrica

A fórmula \(\delta f(x)\approx f^{\prime}(x)\;\delta x\) também é utilizada em problemas de propagação de erros.

Suponha que um experimentador seja incapaz de manter constante a resistência elétrica \(R\) de um fio. Ele observa flutuações da corrente elétrica dentro de um intervalo \(I+\delta I\).

A questão é: podemos estimar o intervalo correspondente \(R \pm \delta R\) para a resistência? Em outras palavras: como um erro de \(R\) pode estar relacionado a um desvio de \(I\)?

A lei de Ohm afirma que:

\[ R=\dfrac{V}{I} \]

Assumimos que a tensão \(V\) é constante.

Portanto, \(R\) é uma função de \(I\).

Diferenciamos \(R\) em relação a \(I\) e obtemos:

\[ \delta R\approx-\dfrac{V}{I^2}\delta I \]

Portanto, o intervalo desejado é \(\left[R \mp \dfrac{V}{I^2}\delta I\right]\).

Taxa de variação relativa e variação relativa

A taxa de variação relativa é uma medida que expressa a taxa de mudança de uma função em relação ao seu valor atual. É especialmente útil em contextos onde estamos interessados em entender como uma quantidade está mudando proporcionalmente ao seu tamanho atual, como no crescimento populacional, taxas de juros, ou reações químicas.

A variação relativa também pode ser considerada como medindo o erro relativo e incorrido ao calcular uma quantidade \(f(x)\) com um valor impreciso \(x\pm\delta x\) em vez do valor exato \(x\).

Taxa de variação relativa

Seja \(f(x)\) uma função diferenciável.

A taxa de variação relativa de \(f(x)\) é definida como:

\[ \tau(f(x)) = \dfrac{f^{\prime}(x)}{f(x)} \]

Aqui:

\(f^{\prime}(x)\) é a derivada de \(f(x)\), que representa a taxa de variação absoluta de \(f(x)\) em relação a \(x\).
\(f(x)\) é o valor da função no ponto \(x\).

A razão \(\dfrac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\) nos dá a taxa de variação relativa, ou seja, como a função está mudando em relação ao seu valor atual.

Interpretação Intuitiva

A taxa de variação relativa nos diz quão rápido algo está crescendo ou diminuindo proporcionalmente ao seu tamanho atual. Por exemplo, se estamos analisando o crescimento de uma população, a taxa de variação relativa nos dirá a taxa de crescimento em relação ao tamanho atual da população.

A derivada da função \(f(x)\) representa a taxa de variação absoluta. Para obter a taxa de variação relativa, dividimos essa taxa de variação absoluta pelo valor atual da função.

Consideremos uma função \(f(x)\) e seu incremento \(\delta x\). A variação absoluta \(\delta f(x)\) da função é:

\[ \delta f(x) = f(x + \delta x) - f(x) \]

Para pequenos incrementos \(\delta x\), a variação absoluta pode ser aproximada pela derivada:

\[ \delta f(x) \approx f^{\prime}(x) \delta x \]

A variação relativa é a razão entre a variação absoluta \(\delta f(x)\) e o valor da função \(f(x)\):

\[ \nu(f(x)) = \left|\dfrac{\delta f(x)}{f(x)}\right| \approx \left|\dfrac{f^{\prime}(x) \delta x}{f(x)}\right| = \left|\tau(f(x)) \delta x\right| \]

Aqui, \(\tau(f(x))\) é a taxa de variação relativa.

Aplicações na Biologia

Crescimento Populacional:

Seja \(P(t)\) o tamanho da população no tempo \(t\). A taxa de variação relativa é:

\[ \tau(P(t)) = \dfrac{P^{\prime}(t)}{P(t)} \]

Isso mede a taxa de crescimento da população em relação ao seu tamanho atual. Por exemplo, se a população está crescendo exponencialmente, \(P(t) = P_0 e^{rt}\), onde \(P_0\) é a população inicial e \(r\) é a taxa de crescimento, a taxa de variação relativa é:

\[ \tau(P(t)) = \dfrac{r P_0 e^{rt}}{P_0 e^{rt}} = r \]

Portanto, para crescimento exponencial, a taxa de variação relativa é constante e igual à taxa de crescimento \(r\).

Metabolismo Celular:

No metabolismo celular, a taxa de variação relativa de uma substância \(S(t)\) pode ser usada para entender como a concentração de \(S(t)\) muda em relação ao seu nível atual. Por exemplo:

\[ \tau(S(t)) = \dfrac{S^{\prime}(t)}{S(t)} \]

Isso pode ser útil para modelar a dinâmica de concentrações de substâncias dentro de uma célula.

Crescimento de Plantas:

A taxa de variação relativa pode ser usada para medir o crescimento de uma planta em termos de altura ou biomassa em relação ao seu tamanho atual. Se \(H(t)\) representa a altura da planta no tempo \(t\):

\[ \tau(H(t)) = \dfrac{H^{\prime}(t)}{H(t)} \]

Isso pode ajudar a entender como diferentes condições ambientais, como luz e água, afetam o crescimento relativo da planta.

Variação relativa

O erro relativo é uma medida de precisão que compara a diferença entre o valor exato e o valor aproximado com o valor exato. Quando calculamos uma função \(f(x)\) com um valor impreciso \(x \pm \delta x\), a variação relativa \(\nu(f(x))\) pode ser usada para quantificar esse erro relativo.

Se \(\delta f(x)\) é a mudança na função devido a uma pequena alteração \(\delta x\) na entrada, temos:

\[ \delta f(x) = f(x + \delta x) - f(x) \]

Para pequeno \(\delta x\), podemos aproximar \(\delta f(x)\) usando a derivada:

\[ \delta f(x) \approx f^{\prime}(x) \delta x \]

A variação relativa é então:

\[ \nu(f(x)) = \left|\dfrac{\delta f(x)}{f(x)}\right| \approx \left|\dfrac{f^{\prime}(x) \delta x}{f(x)}\right| = \left|\tau(f(x)) \delta x\right| \]

Isso mostra que a variação relativa \(\nu(f(x))\) é aproximadamente igual ao produto da taxa de variação relativa \(\tau(f(x))\) e a pequena alteração \(\delta x\).

Variação relativa interpretada como erro relativo

A variação relativa \(\nu(f(x))\) pode ser considerada como medindo o erro relativo incorrido ao calcular \(f(x)\) com um valor impreciso \(x \pm \delta x\):

\[ \nu(f(x)) = \left|\dfrac{\delta f(x)}{f(x)}\right| \approx \left|\tau(f(x)) \delta x\right| \]

Portanto, a variação relativa nos dá uma estimativa de quanto o valor de \(f(x)\) pode variar proporcionalmente ao seu valor atual quando há uma pequena incerteza na entrada \(x\).

A variação relativa é uma ferramenta útil para quantificar o erro relativo em cálculos aproximados. Ela oferece uma forma de entender a sensibilidade de uma função \(f(x)\) a pequenas variações em sua entrada \(x\).

Exemplo: Superfície de tumor esférico

Durante um procedimento médico, o tamanho de um tumor aproximadamente esférico é estimado medindo seu diâmetro e usando a fórmula \(A = 4\pi R^2\) para calcular sua área da superfície. Se o diâmetro for medido como 2.5 cm com um erro máximo de 2%, qual é a variação relativa da área da superfície do tumor?

Solução A

Uma esfera de raio \(R\) e diâmetro \(D = 2R\) tem a área superficial:

\[ A = 4\pi R^2 = 4\pi \left( \frac{D}{2} \right)^2 = \pi D^2 \]

Então, a área superficial usando o diâmetro estimado \(D = 2.5\) cm é:

\[ A = \pi (2.5)^2 \approx 19.635 \;\text{cm}^2 \]

O erro cometido ao calcular essa área usando o diâmetro de 2.5 cm quando o diâmetro real é \(2.5 + \delta D\) é:

\[ \delta A = A(2.5 + \delta D) - A(2.5) \approx A^{\prime}(2.5)\delta D \]

A medição do diâmetro pode ser incorreta por até 2%, ou seja, até \(0.02 \times 2.5 = 0.05\) cm em qualquer direção.

Portanto, o erro máximo na medição do diâmetro é \(\delta D = \pm 0.05\) cm, e o erro máximo correspondente no cálculo da área é

\[ \text{Erro máximo na área} = \delta A \approx A^{\prime}(2.5) \times (\pm 0.05) \]

Como

\[ \begin{align} A^{\prime}(D) &= \frac{d}{dD} (\pi D^2) = 2\pi D \\ A^{\prime}(2.5) &= 2\pi (2.5) \approx 15.708 \end{align} \]

Então

\[ \text{Erro máximo na área} = 15.708 \times (\pm 0.05) \approx \pm 0.785 \]

Assim, na pior das hipóteses, o cálculo da área como 19.635 cm² está errado em 0.785 cm², então a área real \(A \in [18.850, 20.420]\).

\[ \begin{align} \text{Variação relativa da área} &= \nu(A(D))\\ &=\left|\dfrac{A^{\prime}(D) }{A(D)}\delta D\right| \\ &= \left|\tau(A(D))\delta D\right| \\ &= \dfrac{15.708 }{19.635}\times (\pm 0.05) \\ &= 0.8\times (\pm 0.05)\\ &\approx \dfrac{0.785}{19.635} \\ \text{Variação relativa da área} &\approx 0.04 \end{align} \]

A variação relativa é aproximadamente igual a 4% da área.

Solução B

Vamos calcular a taxa de variação relativa para a superfície do tumor esférico neste exemplo.

A taxa de variação relativa, \(\tau(f(x))\), é definida como:

\[ \tau(f(x)) = \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} \]

No nosso caso, a função \(f(x)\) é a área da superfície \(A(D) = \pi D^2\), onde \(D\) é o diâmetro.

Primeiro, precisamos da derivada da área em relação ao diâmetro \(D\):

\[ A(D) = \pi D^2 \]

\[ \begin{align} A^{\prime}(D) &= \frac{d}{dD} (\pi D^2) \\ A^{\prime}(D) &= 2\pi D \end{align} \]

Agora, podemos calcular a taxa de variação relativa:

\[ \begin{align} \tau(A(D)) &= \dfrac{A^{\prime}(D)}{A(D)} \\ &= \dfrac{2\pi D}{\pi D^2} \\ \tau(A(D)) &= \dfrac{2}{D} \end{align} \]

Usando o diâmetro estimado \(D = 2.5\) cm:

\[ \tau(A(2.5)) = \dfrac{2}{2.5} = 0.8 \]

Portanto, a taxa de variação relativa da área da superfície em relação ao diâmetro é \(0.8\) cm\(^{-1}\).

A taxa de variação relativa da área da superfície em relação ao diâmetro é uma medida de como a área da superfície de uma esfera muda em relação a pequenas mudanças no diâmetro da esfera. Especificamente, se a taxa de variação relativa é \(0.8 \, \text{cm}^{-1}\), isso significa que para cada incremento de 1 cm no diâmetro, a área da superfície muda em 0.8 vezes a área atual.

Vamos entender isso mais claramente:

Interpretação da Taxa de Variação Relativa

A taxa de variação relativa é dada por:

\[ \tau(A(D)) = \dfrac{A^{\prime}(D)}{A(D)} = \dfrac{2}{D} \]

Quando calculamos isso para \(D = 2.5 \, \text{cm}\):

\[ \tau(A(2.5)) = \dfrac{2}{2.5} = 0.8 \, \text{cm}^{-1} \]

Significado

Unidade da Taxa de Variação Relativa: A unidade \(\text{cm}^{-1}\) significa que esta taxa é uma medida por centímetro de variação no diâmetro.
Valor de 0.8 \(\text{cm}^{-1}\): Um valor de \(0.8 \, \text{cm}^{-1}\) indica que se o diâmetro aumenta em \(\Delta D \, \text{cm}\), a área da superfície aumenta em aproximadamente \(0.8 \times \Delta D\) vezes a área atual.

Exemplo Numérico

Se o diâmetro de um tumor esférico aumenta de 2.5 cm para 2.55 cm (um aumento de 0.05 cm), a área da superfície \(A\) do tumor mudará aproximadamente em:

\[ \Delta A \approx A \times \tau(A(D)) \times \Delta D \]

Para \(D = 2.5 \, \text{cm}\), \(\tau(A(2.5)) = 0.8 \, \text{cm}^{-1}\), e se a área atual é \(A\):

\[ \Delta A \approx A \times 0.8 \times 0.05 \]

Impacto Prático

Essa taxa ajuda a entender a sensibilidade da área da superfície do tumor a pequenas variações no diâmetro. Uma taxa de 0.8 cm\(^{-1}\) indica que a área da superfície é bastante sensível a mudanças no diâmetro, o que é importante para precisão em medições médicas e tratamento.

Aplicando a Taxa de Variação Relativa

Se o diâmetro \(D\) é medido com um erro máximo de 2%, ou seja, \(\delta D = \pm 0.05\) cm, podemos calcular a variação relativa da área da superfície:

\[ \begin{align} \nu(A(D)) &= \left|\tau(A(D)) \delta D \right| \\ &= \left| 0.8 \times 0.05 \right| \\ \nu(A(D)) &= 0.04 \end{align} \]

A variação relativa da área da superfície é aproximadamente \(0.04\) ou 4%. Isso indica que um erro de 2% na medição do diâmetro resulta em uma variação de aproximadamente 4% na área da superfície do tumor.

Aplicações de funções exponencial e logarítmica

Nenhuma outra função teve uma tal diversidade de aplicações em biociências, como têm as funções exponencial e logarítmica.

A relação entre o número de Euler e o logaritmo natural é:

\[ \begin{align} e &\approx 2.72 \\ \lim_{k \to \infty}{\left( 1+\dfrac{x}{k}\right)^k} &= e^x = \exp(x)\\ \ln(x) &= \log_{e}{x} \\ \ln(e^x) &= e^{\ln(x)}=x \end{align} \]

Fig. 10.2 Plot of the function y = ln(x). The domain is the positive x axis. The function is monotone increasing.

A função exponencial é função inversa da logarítmica e vice-versa.

plot exp(x), ln(x), x

Fig. 10.3. Graph of the exponential function y = e<sup>x</sup> obtained by reflection of the graph of y = ln(x) about the line y = x.

Fig. 10.3. Graph of the exponential function y = e^x obtained by reflection of the graph of y = ln(x) about the line y = x.

# Definindo o intervalo de x para cada função
x_exp <- seq(-8, 8, length.out = 300)
x_ln <- seq(0.01, 8, length.out = 300)  # evitar log(0)

# Plot da função exponencial
plot(x_exp, exp(x_exp), type = "l", col = "black", lwd = 2,
     xlab = "x", ylab = "f(x)", asp=1, , lty=3,
     ylim = c(-1, 8),
     main = expression(paste("Graphs of ", e^x, ", ", ln(x), " and ", x)))

# Adiciona a função logarítmica
lines(x_ln, log(x_ln), col = "black", lwd = 2, lty=2)

# Adiciona a função identidade
lines(x_exp, x_exp, col = "black", lwd = 1, , lty=1)
abline(v=0,h=0,lty=4)

# Legenda
legend("topleft",
       legend = c(expression(e^x), expression(ln(x)), expression(x)),
       col = c("black", "black", "black"), lwd = c(2,2,1), lty=c(3,2,1), bty="n")

A relação entre as funções recíproca e logarítmica é:

\[ \begin{align} \int\dfrac{1}{x}dx&=\ln(|x|)+c, \; x\ne0 \\ \dfrac{d}{dx}\ln(x)&=\dfrac{1}{x} \\ \dfrac{d}{dx}\ln(k x)&=\dfrac{1}{x} \end{align} \]

A relação entre as funções exponencial e logarítmica é:

\[ \begin{align} \dfrac{d}{dx}e^{x}&=e^{x} \\ \dfrac{d}{dx}e^{k x}&=ke^{kx} \\ \int{e^{kx}dx}&=\dfrac{e^{kx}}{k}+c \\ k&\ne0 \end{align} \]

As derivadas de funções potência e exponencial, respectivamente, são:

\[\begin{align} \dfrac{d}{dx}x^k&=\dfrac{d}{dx}e^{k\ln(x)}=kx^{k-1}, \; x>0 \\ \dfrac{d}{dx}k^x&=\dfrac{d}{dx}e^{x\ln(k)}=\ln(k)\;k^{x} \end{align}\]

Hoffmann et al. (2013, p. 363)

Exemplo 10.9.1: Incubação de ovo de galinha

Um ovo de galinha foi incubado por três dias a uma temperatura de a = 37° C. Posteriormente, durante um período de 40 minutos, a temperatura t foi reduzida e o número N de batimentos cardíacos por minuto medido:

t	N
36.3	154
35.0	133
33.9	110
32.4	94
31.8	83
31.1	82
30.4	75
24.7	38
24.1	36

\[ \tau=37^{\circ}-t \]

\[ \widehat{\log(N)}=5.09695 - 0.119123 \tau \]

sendo \(\tau \in [0.7, 12.8]\).

\[ \begin{align} \widehat{N}&=e^{5.09695 - 0.119123 \tau} \\ \widehat{N} &= 163.522 \; e^{- 0.119123 \tau} \end{align} \]

Portanto, a função resultante é da forma:

\[ N(\tau)= N_{0}e^{-k\tau} \\ k>0 \]

A taxa de decréscimo é:

\[ \begin{align} \dfrac{dN(\tau)}{dt}&=-kN_{0}e^{-k\tau}=-kN(\tau) \\ N^{\prime}(\tau)+kN(\tau)&=0 \end{align} \]

plot {{0.7,154},{2,133},{3.1,110},{4.6,94},{5.2,83},{5.9,82},{6.6,75},{12.3,38},{12.8,36}}

plot {{0.7, ln(154)},{2,ln(133)},{3.1,ln(110)},{4.6,ln(94)},{5.2,ln(83)},{5.9,ln(82)},{6.6,ln(75)},{12.3,ln(38)},{12.8,ln(36)}}

linear fit {{0.7, ln(154)},{2,ln(133)},{3.1,ln(110)},{4.6,ln(94)},{5.2,ln(83)},{5.9,ln(82)},{6.6,ln(75)},{12.3,ln(38)},{12.8,ln(36)}}

simplify e^(5.09695 - 0.119123 \\tau)

plot 10 e^{-\tau}, \tau from 0 to 13 axis label "\tau" "N"

simplify derivative N_0e^(-k\tau) for \tau

n'(\tau) + k n(\tau) = 0, n(0)=10

Exemplo 10.9.5: função de sobrevivência de Gompertz

Uma aplicação mais sofisticada da função exponencial ocorre em relação à mortalidade por causas naturais. A Fig. 10.7 mostra o número de ratos sobreviventes em função do tempo, \(t\), (medido em meses).

Os dados foram coletados de 144 ratos de laboratório da mesma cepa. Todos esses ratos atingiram a idade de sete meses.

A partir de então foram registradas suas idades no momento da morte natural.

A função de sobrevivência é uma função degrau, mas pode ser aproximada por uma curva suave de acordo com uma fórmula de Gompertz:

\[ N(t)=ae^{-be^{kt}} \\ k>0, \; a>0, \; 0<b<1 \]

É essencialmente “uma função exponencial de uma função exponencial”.

O gráfico é em forma de S e, portanto, chamado de curva sigmóide.

Fig. 10.7. Sobrevivência de 144 ratos a partir do sétimo mês. Os pontos representam o número observado de ratos sobreviventes em função do tempo (meses). A linha ajustada é uma curva de Gompertz.

Na fórmula, \(t = 0\) não se refere ao nascimento, mas a alguma idade fixa (no nosso exemplo, \(t = 0\) significa a idade de 7 meses quando as observações começaram).

O número inicial de animais é \(N_{0} = a e^{-b}\).

A fórmula de Gompertz é usada por atuários que precisam estimar o risco de morte em seguros de vida.

Tentativas foram feitas para justificar a fórmula por razões biológicas.

\[ N^{\prime}(t)=abke^{kt-be^{kt}}= bke^{kt}N(t)\\ k>0, \; a>0, \; 0<b<1 \]

O ponto de inflexão é:

\[ \begin{align} t_i&=-\dfrac{\ln(b)}{k} \\ N(t_i)&=\dfrac{a}{e} \end{align} \]

plot 2e^(-0.2 e^t), t from 0 to 4 axis label "t" "N"

D[a e^(-b e^(k t)), t]

Solve[D[a e^(-b e^(k t)), t,t]==0,t]

a e^(-b e^(k t)) /. t=-ln(b)/k

-ln(0.2)/1, 2/e

Função hipérbolica

LibreTexts: 6.6: Hyperbolic Functions

Hyperbolic functions: Wikipedia

Na teoria biológica, há ocasiões em que a soma ou a diferença de \(e^x\) e \(e^{-x}\) entram em uma fórmula.

Nessa ocasião, costuma-se reescrever a fórmula fazendo uso das seguintes funções:

Seno hiperbólico: \(\sinh(x)=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}\)

Cosseno hiperbólico: \(\cosh(x)=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}\)

Tangente hiperbólica: \(\tanh(x)=\dfrac{\sinh(x)}{\cosh(x)}=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}\)

Cotangente hiperbólica: \(\coth(x)=\dfrac{\cosh(x)}{\sinh(x)}=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}\)

Secante hiperbólica: \(\text{sech}(x)=\dfrac{1}{\cosh(x)}=\dfrac{2}{e^{x}+e^{-x}}\)

Cossecante hiperbólica: \(\text{cosech}(x)=\dfrac{1}{\sinh(x)}=\dfrac{2}{e^{x}-e^{-x}}\)

Relações:

\[ \begin{align} \cosh^{2}(x)-\sinh^{2}(x)&=1\\ \dfrac{d\;\cosh(x)}{dx}&=\sinh(x)\\ \dfrac{d\;\sinh(x)}{dx}&=\cosh(x) \end{align} \]

Fig. 10.8. Gráficos de três funções hiperbólicas.

cosh(x)\^2-sinh(x)\^2==1

Exemplo: Função logística padrão

Logistic function: Wikipedia

\[ \begin{align} f(x)&=\dfrac{1}{1+e^{-x}}=\dfrac{1}{2}\left(1+\tanh\left(\dfrac{x}{2}\right)\right) \\ f^{\prime}(x)&=\dfrac{d}{dx}\dfrac{1}{1+e^{-x}}=f(x)(1-f(x))=\dfrac{1}{4}\text{sech}^2\left(\dfrac{x}{2}\right) \end{align} \]

Exemplo: Catenária Aracnídea

Teia de aranha.

Catenária: Wikipedia

Catenary: Wikipedia

Applications of Hyperbolic Functions

Suponha que uma catenária da teia (arco) tem a forma \(f(x)=a\,\cosh(x/a)\), \(a=30\) mm, para \(x\in [-50,50]\) em milímetro (o comprimento horizontal do arco é 100 mm).

https://en.wikipedia.org/wiki/Catenary

O comprimento do arco, \(s\), é dado por:

\[ \begin{align} s&=\int_{-50}^{50}\sqrt{1+(f^{\prime}(x))^2}dx \\ &=\int_{-50}^{50}\sqrt{1+\left(\sinh\left(\dfrac{x}{30}\right)\right)^2}dx \\ &=\int_{-50}^{50}\cosh\left(\dfrac{x}{30}\right)dx \\ &= 30\left(\sinh\left(\dfrac{50}{30}\right)-\sinh\left(-\dfrac{50}{30}\right)\right) \\ &= 60 \;\sinh\left(\dfrac{5}{3}\right) \\ s&\approx 153.17\; \text{mm} \end{align} \]

integral (1+(sinh(x/2))\^2)\^0.5, x from -1 to 1

Taylor a cosh(x/a)

Lista de fórmulas

Derivada e Integral em R

Os recursos derivados do R estão no sistema básico (essencialmente as funções D() e deriv()) e em diferentes pacotes, ou seja, nlsr, Deriv e calculus.

Ferramentas gerais para aproximações de derivadas são encontradas no pacote numDeriv assim como no optimx.

curve(x^2+3*x, 0, 5)

f <- expression(x^2+3*x)
f_x <- D(f, "x")
f_x

2 * x + 3

f_xx <- D(D(f, "x"), "x")
f_xx

[1] 2

f_x <- calculus::derivative(f=f, var=c("x"), order=1)
f_x

[1] "2 * x + 3"

f_xn <- calculus::derivative(f=f, var=c(x=0), order=1)
f_xn

[1] 3

f_xx <- calculus::derivative(f=f, var=c("x"), order=2)
f_xx

[1] "2"

f_xxn <- calculus::derivative(f=f, var=c(x=0), order=2)
f_xxn

[1] 2

x <- seq(0, 5, 0.5)
eval(f)

 [1]  0.00  1.75  4.00  6.75 10.00 13.75 18.00 22.75 28.00 33.75 40.00

eval(f_x)

[1] "2 * x + 3"

eval(f_xx)

[1] "2"

DD <- function(expr, name, order = 1){
  if(order < 1) stop("Order must be >= 1")
  if(order == 1) D(expr, name)
  else DD(D(expr, name), name, order - 1)
}

DD(f, "x", 1)

2 * x + 3

DD(f, "x", 2)

[1] 2

DD(f, "x", 3)

[1] 0

f_x <- nlsr::nlsDeriv(f, "x")
f_x

2 * x + 3

f_x <- nlsr::nlsDeriv(~ x^2+3*x, "x")
f_x

2 * x + 3

f_x <- Deriv::Deriv(f)
f_x

expression(2 * x + 3)

f_x <- Deriv::Deriv("x^2+3*x")
f_x

[1] "2 * x + 3"

f <- function(x) x^2+3*x
f_x <- Deriv::Deriv(f)
f_x

function (x) 
2 * x + 3

# Simplificação

nlsr::nlsSimplify(quote((a+b) + (a+b))) ## 2 * (a + b)

2 * (a + b)

nlsr::nlsSimplify(quote((a+b) - (a+b))) ## 0

[1] 0

nlsr::nlsSimplify(quote(log(exp(a+b)))) ## a + b

a + b

nlsr::nlsSimplify(quote(exp(log(a+b)))) ## a + b

a + b

Deriv::Simplify(quote((a+b) + (a+b))) ## 2 * (a + b)

2 * (a + b)

Deriv::Simplify(quote((a+b) - (a+b))) ## 0

[1] 0

Deriv::Simplify(quote(log(exp(a+b)))) ## a + b

a + b

Deriv::Simplify(quote(exp(log(a+b)))) ## exp(log(a + b))

exp(log(a + b))

Derivada e Integral no YouTube

Referências

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Bates, JH & Sobel, BE (2003) The conceptual basis of mathematics in cardiology: (II). Calculus and differential equations. Coronary artery disease 14(2): 135–148.
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Bernardo, E (?) Estudo de cálculo e aplicações. São Carlos: ICCM-USP. https://web.icmc.usp.br/SMA/Portal%20SMA/Material%20Didatico/Exercicios%20de%20aplicacoes%20do%20Calculo.pdf
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Zwillinger, D (1992) The handbook of integration. Boston: Jones & Bartlett.

Aula 6: Derivada e Integral

MSP4092: Biomatemática: aspectos quantitativos da vida

José Siqueira (siqueira@usp.br)

17 agosto 2025 20:03h

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Material

Pensamento

Conteúdo

Introdução

Derivada

Taxa de crescimento

Diferenciação

Exemplo: derivada de \(f(x)=x^2\)

Significados da primeira derivada

Continuidade e diferenciabilidade

Exemplo da Função Degrau

Exemplo da Função de Valor Absoluto

Exemplo: \(\sqrt[3]{x}\) versus \(x^{\frac{1}{3}}\)

Regras Básicas de Derivação

Derivada implícita

Exemplo: Derivada de circunferência

Taxas relacionadas

Exemplo: Aumento da sombra de uma pessoa andando

Elasticidade: análise de sensibilidade relativa da função

Demonstração da elasticidade instantânea: Expansão de Taylor aplicada

Classificação da elasticidade

Elasticidade de algumas funções

Integral ou Antiderivada

Propriedadas de integral

Integral em R

Listas de integrais

Derivada segunda

Derivada de primeira ordem

Derivada de segunda ordem

Curvatura

Extremante

Derivada na cinemática

Exemplo 9.6.5: Um corpo que cai

Exemplo 9.6.6: Um corpo que oscila

Condição necessária e condição suficiente

Os casos paradigmáticos de \(f(x)=x^4\) e \(f(x)=\sqrt[3]{x}\)

Função aproximativa de Taylor

Derivada de função mista (piecewise)

Otimização

Exemplo 9.7.3: Célula da colmeia de abelha

Exemplo 9.7.4: Pombo-correio

Exemplo 9.7.5: Ramificação vascular

Média de função

Exemplo 9.8.1: Estimativa da Fração de Volume a partir de Fatia Fina

Modelo Geométrico

Fatia Bidimensional

Taxa Média Bidimensional

Exemplo 9.8.2: Velocidade Média no Fluxo Laminar do Sangue

Fluxo Total de Sangue

Velocidade Média

Relação com a Velocidade Máxima

Centro de massa (centróide) de \(f(x)\)

Exemplo em \(f(x) = 1 - x^2\) de \(x = -1\) a \(x = 1\):

Pressão arterial média (PAM)

Simulação de PAM

Pequena variação

Exemplo 9.9.1: Íris do olho

Exemplo 9.9.2: Vaso sanguíneo

Exemplo 9.9.4: Resistência elétrica

Taxa de variação relativa e variação relativa

Taxa de variação relativa

Interpretação Intuitiva

Aplicações na Biologia

Variação relativa

Variação relativa interpretada como erro relativo

Exemplo: Superfície de tumor esférico

Solução A

Solução B

Aplicações de funções exponencial e logarítmica

Exemplo 10.9.1: Incubação de ovo de galinha

Exemplo 10.9.5: função de sobrevivência de Gompertz

Função hipérbolica

Exemplo: Função logística padrão

Exemplo: Catenária Aracnídea

Lista de fórmulas