Aula 5: Série e Limite
MSP4092: Biomatemática: aspectos quantitativos da vida
13 abril 2026 19:02h
Material
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RPubs - Prof. José Siqueira: ResearchGate
Conteúdo
- Número real (Capítulo 1)
- Função e relação (Capítulo 3)
- Funções potência, periódica, exponencial e logarítmica (Capítulos 4, 5 e 6)
- Método gráfico (Capítulo 7)
5. Série e limite (Capítulo 8)
- Derivada e integral (Capítulos 9 e 10)
- Equação diferencial ordinária (ODE) (Capítulo 11)
- Função de duas ou mais variáveis independentes (Capítulo 12)
- Probabilidade (Capítulo 13)
- Matriz, vetor e número complexo (Capítulos 14 e 15)
Pensamento
Folha de São Paulo, 28 de novembro 2021
Introdução
O propósito deste capítulo é tornar os conceitos fundamentais do cálculo diferencial e integral mais compreensíveis e mostrar sua utilidade em problemas da biologia e da medicina.
O estudo de sequências, séries e limites fornece a base matemática para descrever processos nos quais uma quantidade varia ao longo do tempo, do espaço ou de ambos. Em biologia e medicina, isso é essencial para compreender fenômenos como crescimento populacional, proliferação celular, decaimento de concentrações, difusão de substâncias, velocidade de reações químicas, evolução de epidemias e variações de sinais fisiológicos.
Em particular, o conceito de limite permite definir com rigor ideias centrais do cálculo, como taxa instantânea de crescimento ou decaimento, velocidade de variação, taxa de reação e taxa de difusão. Também permite compreender quantidades acumuladas, como crescimento total, perda total, quantidade absorvida ou quantidade eliminada ao longo de um intervalo.
Assim, este capítulo constitui a base conceitual para o estudo de derivadas e integrais, que serão posteriormente aplicadas à modelagem e à análise quantitativa de problemas biológicos e médicos.
Natureza e Álgebra dos infinitos
Pense no conjunto das espécies conhecidas: em princípio, podemos contá-las, catalogá-las e organizá-las em uma lista. Por isso, esse é um exemplo intuitivo de conjunto contável.
Agora pense no conjunto de todos os valores possíveis de uma variável contínua, como expressão gênica, parâmetros fisiológicos ou concentrações moleculares. Entre dois valores quaisquer, sempre existem outros valores intermediários. Por isso, esses conjuntos não podem ser enumerados um a um e são chamados de não contáveis.
Um conjunto contável pode ser finito ou infinito. Já um conjunto não contável é necessariamente infinito.
Portanto, nem todo infinito é do mesmo tipo: há infinitos de tamanhos diferentes.
Na matemática, dois conjuntos têm o mesmo tamanho (ou cardinalidade) quando é possível colocar seus elementos em correspondência um a um, mesmo que ambos sejam infinitos.
O conjunto dos números naturais \(\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}\) é infinito, mas conseguimos contar seus elementos, um após o outro: primeiro, segundo, terceiro, e assim por diante.
Esse tipo de infinito é chamado de infinito contável.
Seu tamanho (cardinalidade) é representado por:
\[ |\mathbb{N}| =\aleph_0 \] O conjunto dos números naturais pares tem a mesma cardinalidade do conjunto dos números naturais.
O símbolo \(\infty\) será usado aqui de modo informal para indicar que um conjunto tem infinitos elementos ou que uma quantidade cresce sem limite. Quando for necessário maior rigor, usaremos \(\aleph_0\) para o infinito contável.
Gerg Cantor mostrou em 1874 que é impossível listar todos os reais de forma que possamos contá-los. Isso significa que \(\mathbb{R}\) não é contável.
O conjunto dos número reais \(\mathbb{R}\) inclui todos os números com casas decimais, inclusive os irracionais. Entre dois números reais quaisquer existem infinitos (não enumeráveis) outros. Por exemplo, entre 0 e 1 há infinitos (não enumeráveis) números reais.
Qualquer segmento de reta tem a mesma quantidade de pontos que a reta real inteira.
O conjunto dos números reais também é infinito, mas seu infinito é maior do que o infinito dos números naturais., i.e., a cardinalidade de \(\mathbb{R}\) é maior que \(\aleph_0\) e é simbolizada por:
\[ |\mathbb{R}|=\mathfrak{c}=2^{\aleph_0}>\aleph_0=|\mathbb{N}| \]
| Conjunto | Cardinalidade | Tipo de infinito |
|---|---|---|
| \(\mathbb{N}\) | \(\aleph_0\) | contável |
| \(\mathbb{Q}\) | \(\aleph_0\) | contável |
| \(\mathbb{R}\) | \(\mathfrak{c}\) | não contável |
Para simplificar a exposição do conteúdo, o símbolo \(\infty\), ao longo do texto, representa a cardinalidade de \(\mathbb{N}\) e \(\mathbb{R}\).
Na matemática moderna, \(\infty\) não é um número. Em conexão com sequências, “infinito” significa simplesmente que \(a_n\) de um certo \(n\) em diante, excede qualquer limite \(C\), não importa quão grande \(C\) seja escolhido.
Operações algébricas com infinito
Operações algébricas envolvendo o conceito de infinito, representado frequentemente por \(\infty\), seguem algumas regras especiais dentro da matemática, principalmente porque o infinito não é um número, mas um conceito que descreve algo que não tem limites finitos. Aqui estão algumas operações padrão com infinito e suas propriedades usuais:
- Adição e Subtração:
- \(\infty + a = \infty\) para qualquer número real \(a\) (exceto \(-\infty\))
- \(\infty - a = \infty\) para qualquer número real \(a\) (exceto \(+\infty\))
- \(-\infty - a = -\infty\) para qualquer número real \(a\) (exceto \(+\infty\))
- \(-\infty + a = -\infty\) para qualquer número real \(a\) (exceto \(+\infty\))
- \(\infty + \infty = \infty\)
- \(-\infty + (-\infty) = -\infty\)
- \(\infty - \infty\) e \(-\infty + \infty\) são formas indeterminadas
- Multiplicação:
- \(\infty \times a = \infty\) se \(a > 0\)
- \(\infty \times a = -\infty\) se \(a < 0\)
- \(-\infty \times a = -\infty\) se \(a > 0\)
- \(-\infty \times a = \infty\) se \(a < 0\)
- \(\infty \times \infty = \infty\)
- \(-\infty \times (-\infty) = \infty\)
- \(\infty \times 0\) e \(-\infty \times 0\) são formas indeterminadas
- Divisão:
- \(\dfrac{\infty}{a} = \infty\) se \(a > 0\)
- \(\dfrac{\infty}{a} = -\infty\) se \(a < 0\)
- \(\dfrac{-\infty}{a} = -\infty\) se \(a > 0\)
- \(\dfrac{-\infty}{a} = \infty\) se \(a < 0\)
- \(\dfrac{a}{\infty} = 0\) para qualquer número real \(a\) não infinito
- \(\dfrac{\infty}{\infty}\) e \(\dfrac{-\infty}{-\infty}\) são formas indeterminadas
- Exponenciação:
- \(\infty^a = \infty\) se \(a > 0\)
- \(\infty^a = 0\) se \(a < 0\)
- \(a^\infty = \infty\) se \(a > 1\)
- \(a^\infty = 0\) se \(0 < a < 1\)
- \(\infty^0\), \(0^\infty\), e \(1^\infty\) são formas indeterminadas
Essas operações mostram que o tratamento do infinito envolve cuidados especiais, especialmente porque o infinito interage de maneira diferente dependendo do contexto e dos valores com os quais está sendo combinado, levando frequentemente a resultados que são considerados indeterminados na matemática.
Série
A sequência infinita enumerável de números reais, \(a\), é definida da seguinte maneira:
\[ a=\left[a_1,a_2,a_3,a_4,\dots\right]=\left[a_j\right]_{j=1}^{\infty} \]
Os elementos \(a_1,a_2,a_3,a_4,\dots\) da sequência são chamados de seus termos. O termo geral da sequência é denotado por \(a_j\).
A sequência infinita enumerável de números reais, \(s\), é denominada série e sua definição é a seguinte:
\[ s=[s_1,s_2,s_3,s_4,\dots]=\left[s_j\right]_{j=1}^{\infty} \]
Sendo que \(s_j=\sum_{k=1}^j{a_k}\), \(j\in \mathbb{N^{\ast}}\).
Os termos da série \(s_1,s_2,s_3,s_4, \dots\) são as somas parciais dos termos da sequência. O termo geral da série é denotado por \(s_j\).
A série é uma sequência de somas parciais dos termos de uma sequência.
O objetivo é analisar o comportamento de \(s_{\infty}\).
Se os termos \(a_n\) se aproximam de um número diferente de zero, então a soma infinita desses termos não converge. Isto é, a série diverge. Matematicamente, se \(a_{\infty}\to m\) e \(m\ne 0\), então \(s_{\infty}\) diverge.
Se os termos \(a_n\) se aproximam de zero, a série talvez convirja, mas isso, por si só, não garante convergência. Isso é apenas uma condição necessária, mas não suficiente, para a convergência da série. É preciso analisar a série com mais cuidado para verificar o que de fato acontece. Matematicamente, se \(a_{\infty}\to 0\), então \(s_{\infty}\) pode convergir.
Somatório
Eis algumas propriedades do somatório para \(n\in \mathbb{N^{\ast}}\):
\[ \begin{align} \sum_{k=1}^{n}{a_k} \pm \sum_{k=1}^{n}{b_k} &=\sum_{k=1}^{n}{\left(a_k\pm b_k \right)} \\ \sum_{k=1}^{n}{ca_k} &= c\sum_{k=1}^{n}{a_k} \\ \sum_{k=1}^{n}{c}&=cn \end{align} \]
Conferindo
\[ \sum_{k=1}^{n}{a_k} \pm \sum_{k=1}^{n}{b_k} =\sum_{k=1}^{n}{\left(a_k\pm b_k \right)} \]
Conferindo
\[ \sum_{k=1}^{n}{ca_k} = c\sum_{k=1}^{n}{a_k} \]
Conferindo
\[ \sum_{k=1}^{n}{c}=cn \]
Classificação das séries
Nem toda série infinita se comporta da mesma maneira. Algumas convergem para um valor finito; outras divergem, isto é, não se estabilizam em um valor bem definido. Além disso, mesmo entre as séries convergentes ou divergentes, podem ocorrer comportamentos qualitativamente diferentes.
Uma série pode convergir de modo não oscilante ou por oscilação. Quando há oscilação, a convergência pode ser absoluta ou apenas condicional. Por outro lado, uma série divergente pode crescer sem limite no sentido positivo, decrescer sem limite no sentido negativo, ou ainda oscilar de modo que seu comportamento permaneça indeterminado.
Essa classificação é importante porque, em aplicações em biologia, medicina e outras áreas, o comportamento da série determina se um modelo acumula efeitos de modo estável, instável ou ambíguo ao longo do tempo. O diagrama a seguir resume esses principais tipos de comportamento.
Qual é a diferença entre convergência oscilante absoluta e condicional?
A ideia central é a seguinte: em ambos os casos, os termos da série alternam sinal, isto é, há oscilação. A diferença está no que acontece quando ignoramos os sinais dos termos.
Na convergência absoluta, a série converge mesmo quando substituímos cada termo pelo seu valor absoluto. Em símbolos, \[ \sum a_n \text{ converge e } \sum |a_n| \text{ também converge} \]
Na convergência condicional, a série converge, mas deixa de convergir quando tomamos os valores absolutos dos termos. Em símbolos,
\[ \sum a_n \text{ converge, mas } \sum |a_n| \text{ diverge} \]
Do ponto de vista intuitivo, na convergência absoluta as oscilações não são essenciais para garantir a convergência. Mesmo sem o cancelamento entre termos positivos e negativos, a soma total continua finita.
Já na convergência condicional, a convergência depende do cancelamento entre termos positivos e negativos. Se ignorarmos o sinal e considerarmos apenas as magnitudes, a série deixa de convergir.
Por exemplo, a série
\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2} \] converge absolutamente, porque
\[ \sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^n}{n^2}\right| = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} \] também converge.
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1^n}{n^2}
Em contraste, a série
\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} \]
converge apenas condicionalmente, porque
\[ \sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}}{n}\right| = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \]
diverge.
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1^{n+1}}{n}
Uma interpretação útil para biologia e medicina é pensar em efeitos positivos e negativos que se acumulam ao longo do tempo. Na convergência absoluta, o efeito total permanece limitado mesmo se ignorarmos o sinal dos efeitos. Na convergência condicional, o efeito total só permanece limitado porque os efeitos positivos e negativos se compensam parcialmente.
Em resumo, convergência absoluta significa convergência com sinal e também sem sinal. Convergência condicional significa convergência com sinal, mas não sem sinal.
Positivamente divergente
Por exemplo, uma sequência pode ser formada por todos os números inteiros positivos ordenados, i.e., \(a=[1,2,3,4,\dots]=[j]_{j=1}^{\infty}\).
O índice j da sequência sempre varia entre 1 e \(\infty\), i.e., \(j \in \mathbb{N^{\ast}}\).
Para simplificar a notação tem-se que a notação explícita de variação do índice pode ser eliminada, isto é, \(a=[1,2,3,4,\dots]=[j]\).
Dessa forma, tem-se que a série é dada por \(s=[1,3,6,10,\dots]\).
Cada elemento dessa série é o resultado da soma de uma progressão aritmética (PA) finita com \(n=j\) elementos, início em \(a_1=1\), término em \(a_n=j\) e diferença comum igual a \(d=a_2-a_1=1\).
Numa progressão aritmética o j-ésimo elemento é determinado pela fórmula \(a_j=a_1+(n-1)d=1+(j-1)=j\).
Cada elemento da série pode ser calculado usando a fórmula \(s_n=(n/2)(2a_1+(n-1)d)\). No caso particular, tem-se que \(s_j=(j/2)(2+(j-1))=(j/2)(1+j)\).
Note que a série dos inteiros positivos cresce quadraticamente, isto é, \(s_j=(j/2)(1+j)=(1/2)(j+j^2)\).
Então, a série é dada por \(s=\left[\frac{1}{2}j(j+1)\right]=[1,3,6,10,\dots]\).
Dessa forma, \(s_\infty=\infty\), isto é, a série dessa progressão aritmética é divergente positivamente.
Table[Sum[j,{j,1,n}],{n,1,10}]
Para conferir, obtemos o gráfico para \(1 \le j \le 20\) dos valores de \(a\) e \(s\) computando por “força bruta” \(s_j=\sum_{k=1}^j{a_k}\) e pela fórmula deduzida \(s_j=\frac{1}{2}j(j+1)\).
Este é um exemplo de progressão aritmética, positivamente divergente.
j: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
a: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
s (força bruta): 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 120 136 153 171 190
s (fórmula): 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 120 136 153 171 190
j: 20
a: 20
s (força bruta): 210
s (fórmula): 210Convergente
Outro exemplo é sequência \(a=[1/2,1/4,1/8,1/16,\dots]=[1/2^j]\).
O índice j da sequência varia entre 1 e \(\infty\).
Essa sequência é uma progressão geométrica (PG) com \(n=j\) elementos, primeiro elemento igual a 1, i.e., \(a_1=1\) e razão comum igual a \(1/2\), i.e., \(r=1/2\).
Cada elemento da série é calculado por meio da fórmula:
\[ s_n=a_1\dfrac{1-r^n}{1-r} \]
Para essa progressão geométrica, tem-se que \(s_j=(1/2)(1- 1/2^j)/(1/2 )=1-1/2^j\).
Tem-se que a série é dada por \(s=[1/2,3/4,7/8,15/16,31/32,63/64,127/128,\dots]=\left[1-\dfrac{1}{2^j} \right]\).
Dessa forma, \(s_\infty=1\), isto é, a série dessa progressão geométrica converge para 1.
Table[Sum[1/2^j,{j,1,n}],{n,1,10}]
j a s (força bruta) s (fórmula)
1 5.000000e-01 0.5000000 0.5000000
2 2.500000e-01 0.7500000 0.7500000
3 1.250000e-01 0.8750000 0.8750000
4 6.250000e-02 0.9375000 0.9375000
5 3.125000e-02 0.9687500 0.9687500
6 1.562500e-02 0.9843750 0.9843750
7 7.812500e-03 0.9921875 0.9921875
8 3.906250e-03 0.9960938 0.9960938
9 1.953125e-03 0.9980469 0.9980469
10 9.765625e-04 0.9990234 0.9990234
11 4.882812e-04 0.9995117 0.9995117
12 2.441406e-04 0.9997559 0.9997559
13 1.220703e-04 0.9998779 0.9998779
14 6.103516e-05 0.9999390 0.9999390
15 3.051758e-05 0.9999695 0.9999695
16 1.525879e-05 0.9999847 0.9999847
17 7.629395e-06 0.9999924 0.9999924
18 3.814697e-06 0.9999962 0.9999962
19 1.907349e-06 0.9999981 0.9999981
20 9.536743e-07 0.9999990 0.9999990Uma progressão geométrica é convergente se \(-1<r<1\).
Se \(-1<r<1\), então \(s_\infty=\dfrac{a_1}{1-r}\).
Para verificar esta afirmação, experimentemos algumas séries com \(-1<r<1\).
j a s (força bruta) s (fórmula)
1 -0.80000000 -0.8000000 -0.8000000
2 0.64000000 -0.1600000 -0.1600000
3 -0.51200000 -0.6720000 -0.6720000
4 0.40960000 -0.2624000 -0.2624000
5 -0.32768000 -0.5900800 -0.5900800
6 0.26214400 -0.3279360 -0.3279360
7 -0.20971520 -0.5376512 -0.5376512
8 0.16777216 -0.3698790 -0.3698790
9 -0.13421773 -0.5040968 -0.5040968
10 0.10737418 -0.3967226 -0.3967226
11 -0.08589935 -0.4826219 -0.4826219
12 0.06871948 -0.4139025 -0.4139025
13 -0.05497558 -0.4688780 -0.4688780
14 0.04398047 -0.4248976 -0.4248976
15 -0.03518437 -0.4600819 -0.4600819
16 0.02814750 -0.4319344 -0.4319344
17 -0.02251800 -0.4544524 -0.4544524
18 0.01801440 -0.4364380 -0.4364380
19 -0.01441152 -0.4508496 -0.4508496
20 0.01152922 -0.4393203 -0.4393203
j a s (força bruta) s (fórmula)
1 -6.000000e-01 -0.6000000 -0.6000000
2 3.600000e-01 -0.2400000 -0.2400000
3 -2.160000e-01 -0.4560000 -0.4560000
4 1.296000e-01 -0.3264000 -0.3264000
5 -7.776000e-02 -0.4041600 -0.4041600
6 4.665600e-02 -0.3575040 -0.3575040
7 -2.799360e-02 -0.3854976 -0.3854976
8 1.679616e-02 -0.3687014 -0.3687014
9 -1.007770e-02 -0.3787791 -0.3787791
10 6.046618e-03 -0.3727325 -0.3727325
11 -3.627971e-03 -0.3763605 -0.3763605
12 2.176782e-03 -0.3741837 -0.3741837
13 -1.306069e-03 -0.3754898 -0.3754898
14 7.836416e-04 -0.3747061 -0.3747061
15 -4.701850e-04 -0.3751763 -0.3751763
16 2.821110e-04 -0.3748942 -0.3748942
17 -1.692666e-04 -0.3750635 -0.3750635
18 1.015600e-04 -0.3749619 -0.3749619
19 -6.093597e-05 -0.3750229 -0.3750229
20 3.656158e-05 -0.3749863 -0.3749863
j a s (força bruta) s (fórmula)
1 -4.000000e-01 -0.4000000 -0.4000000
2 1.600000e-01 -0.2400000 -0.2400000
3 -6.400000e-02 -0.3040000 -0.3040000
4 2.560000e-02 -0.2784000 -0.2784000
5 -1.024000e-02 -0.2886400 -0.2886400
6 4.096000e-03 -0.2845440 -0.2845440
7 -1.638400e-03 -0.2861824 -0.2861824
8 6.553600e-04 -0.2855270 -0.2855270
9 -2.621440e-04 -0.2857892 -0.2857892
10 1.048576e-04 -0.2856843 -0.2856843
11 -4.194304e-05 -0.2857263 -0.2857263
12 1.677722e-05 -0.2857095 -0.2857095
13 -6.710886e-06 -0.2857162 -0.2857162
14 2.684355e-06 -0.2857135 -0.2857135
15 -1.073742e-06 -0.2857146 -0.2857146
16 4.294967e-07 -0.2857142 -0.2857142
17 -1.717987e-07 -0.2857143 -0.2857143
18 6.871948e-08 -0.2857143 -0.2857143
19 -2.748779e-08 -0.2857143 -0.2857143
20 1.099512e-08 -0.2857143 -0.2857143
j a s (força bruta) s (fórmula)
1 -2.000000e-01 -0.2000000 -0.2000000
2 4.000000e-02 -0.1600000 -0.1600000
3 -8.000000e-03 -0.1680000 -0.1680000
4 1.600000e-03 -0.1664000 -0.1664000
5 -3.200000e-04 -0.1667200 -0.1667200
6 6.400000e-05 -0.1666560 -0.1666560
7 -1.280000e-05 -0.1666688 -0.1666688
8 2.560000e-06 -0.1666662 -0.1666662
9 -5.120000e-07 -0.1666668 -0.1666668
10 1.024000e-07 -0.1666666 -0.1666666
11 -2.048000e-08 -0.1666667 -0.1666667
12 4.096000e-09 -0.1666667 -0.1666667
13 -8.192000e-10 -0.1666667 -0.1666667
14 1.638400e-10 -0.1666667 -0.1666667
15 -3.276800e-11 -0.1666667 -0.1666667
16 6.553600e-12 -0.1666667 -0.1666667
17 -1.310720e-12 -0.1666667 -0.1666667
18 2.621440e-13 -0.1666667 -0.1666667
19 -5.242880e-14 -0.1666667 -0.1666667
20 1.048576e-14 -0.1666667 -0.1666667
j a s (força bruta) s (fórmula)
1 0 0 0
2 0 0 0
3 0 0 0
4 0 0 0
5 0 0 0
6 0 0 0
7 0 0 0
8 0 0 0
9 0 0 0
10 0 0 0
11 0 0 0
12 0 0 0
13 0 0 0
14 0 0 0
15 0 0 0
16 0 0 0
17 0 0 0
18 0 0 0
19 0 0 0
20 0 0 0
j a s (força bruta) s (fórmula)
1 2.000000e-01 0.2000000 0.2000000
2 4.000000e-02 0.2400000 0.2400000
3 8.000000e-03 0.2480000 0.2480000
4 1.600000e-03 0.2496000 0.2496000
5 3.200000e-04 0.2499200 0.2499200
6 6.400000e-05 0.2499840 0.2499840
7 1.280000e-05 0.2499968 0.2499968
8 2.560000e-06 0.2499994 0.2499994
9 5.120000e-07 0.2499999 0.2499999
10 1.024000e-07 0.2500000 0.2500000
11 2.048000e-08 0.2500000 0.2500000
12 4.096000e-09 0.2500000 0.2500000
13 8.192000e-10 0.2500000 0.2500000
14 1.638400e-10 0.2500000 0.2500000
15 3.276800e-11 0.2500000 0.2500000
16 6.553600e-12 0.2500000 0.2500000
17 1.310720e-12 0.2500000 0.2500000
18 2.621440e-13 0.2500000 0.2500000
19 5.242880e-14 0.2500000 0.2500000
20 1.048576e-14 0.2500000 0.2500000
j a s (força bruta) s (fórmula)
1 4.000000e-01 0.4000000 0.4000000
2 1.600000e-01 0.5600000 0.5600000
3 6.400000e-02 0.6240000 0.6240000
4 2.560000e-02 0.6496000 0.6496000
5 1.024000e-02 0.6598400 0.6598400
6 4.096000e-03 0.6639360 0.6639360
7 1.638400e-03 0.6655744 0.6655744
8 6.553600e-04 0.6662298 0.6662298
9 2.621440e-04 0.6664919 0.6664919
10 1.048576e-04 0.6665968 0.6665968
11 4.194304e-05 0.6666387 0.6666387
12 1.677722e-05 0.6666555 0.6666555
13 6.710886e-06 0.6666622 0.6666622
14 2.684355e-06 0.6666649 0.6666649
15 1.073742e-06 0.6666660 0.6666660
16 4.294967e-07 0.6666664 0.6666664
17 1.717987e-07 0.6666666 0.6666666
18 6.871948e-08 0.6666666 0.6666666
19 2.748779e-08 0.6666666 0.6666666
20 1.099512e-08 0.6666667 0.6666667
j a s (força bruta) s (fórmula)
1 6.000000e-01 0.600000 0.600000
2 3.600000e-01 0.960000 0.960000
3 2.160000e-01 1.176000 1.176000
4 1.296000e-01 1.305600 1.305600
5 7.776000e-02 1.383360 1.383360
6 4.665600e-02 1.430016 1.430016
7 2.799360e-02 1.458010 1.458010
8 1.679616e-02 1.474806 1.474806
9 1.007770e-02 1.484883 1.484883
10 6.046618e-03 1.490930 1.490930
11 3.627971e-03 1.494558 1.494558
12 2.176782e-03 1.496735 1.496735
13 1.306069e-03 1.498041 1.498041
14 7.836416e-04 1.498825 1.498825
15 4.701850e-04 1.499295 1.499295
16 2.821110e-04 1.499577 1.499577
17 1.692666e-04 1.499746 1.499746
18 1.015600e-04 1.499848 1.499848
19 6.093597e-05 1.499909 1.499909
20 3.656158e-05 1.499945 1.499945
j a s (força bruta) s (fórmula)
1 0.80000000 0.800000 0.800000
2 0.64000000 1.440000 1.440000
3 0.51200000 1.952000 1.952000
4 0.40960000 2.361600 2.361600
5 0.32768000 2.689280 2.689280
6 0.26214400 2.951424 2.951424
7 0.20971520 3.161139 3.161139
8 0.16777216 3.328911 3.328911
9 0.13421773 3.463129 3.463129
10 0.10737418 3.570503 3.570503
11 0.08589935 3.656403 3.656403
12 0.06871948 3.725122 3.725122
13 0.05497558 3.780098 3.780098
14 0.04398047 3.824078 3.824078
15 0.03518437 3.859263 3.859263
16 0.02814750 3.887410 3.887410
17 0.02251800 3.909928 3.909928
18 0.01801440 3.927942 3.927942
19 0.01441152 3.942354 3.942354
20 0.01152922 3.953883 3.953883
Contrariando a afirmação, algumas séries com \(r \le -1\) ou \(r \ge 1\).
Nota: há problemas quando \(r=1\), pois a fórmula \(s_k = a_1(1-r^k)/(1-r)\) não é computável para \(r=1\), mas a computamos pela somatória porque \(a_k=1\) e \(s = \sum_{k=1}^{j}{a_k}\); no entanto, esta não é uma progressão geométrica.
j a s (força bruta) s (fórmula)
1 -1.200000 -1.200000 -1.200000
2 1.440000 0.240000 0.240000
3 -1.728000 -1.488000 -1.488000
4 2.073600 0.585600 0.585600
5 -2.488320 -1.902720 -1.902720
6 2.985984 1.083264 1.083264
7 -3.583181 -2.499917 -2.499917
8 4.299817 1.799900 1.799900
9 -5.159780 -3.359880 -3.359880
10 6.191736 2.831856 2.831856
11 -7.430084 -4.598227 -4.598227
12 8.916100 4.317873 4.317873
13 -10.699321 -6.381448 -6.381448
14 12.839185 6.457737 6.457737
15 -15.407022 -8.949284 -8.949284
16 18.488426 9.539141 9.539141
17 -22.186111 -12.646970 -12.646970
18 26.623333 13.976364 13.976364
19 -31.948000 -17.971636 -17.971636
20 38.337600 20.365964 20.365964
j a s (força bruta) s (fórmula)
1 -1 -1 -1
2 1 0 0
3 -1 -1 -1
4 1 0 0
5 -1 -1 -1
6 1 0 0
7 -1 -1 -1
8 1 0 0
9 -1 -1 -1
10 1 0 0
11 -1 -1 -1
12 1 0 0
13 -1 -1 -1
14 1 0 0
15 -1 -1 -1
16 1 0 0
17 -1 -1 -1
18 1 0 0
19 -1 -1 -1
20 1 0 0
j a s (força bruta) s (fórmula)
1 1 1 NaN
2 1 2 NaN
3 1 3 NaN
4 1 4 NaN
5 1 5 NaN
6 1 6 NaN
7 1 7 NaN
8 1 8 NaN
9 1 9 NaN
10 1 10 NaN
11 1 11 NaN
12 1 12 NaN
13 1 13 NaN
14 1 14 NaN
15 1 15 NaN
16 1 16 NaN
17 1 17 NaN
18 1 18 NaN
19 1 19 NaN
20 1 20 NaN
j a s (força bruta) s (fórmula)
1 1.200000 1.20000 1.20000
2 1.440000 2.64000 2.64000
3 1.728000 4.36800 4.36800
4 2.073600 6.44160 6.44160
5 2.488320 8.92992 8.92992
6 2.985984 11.91590 11.91590
7 3.583181 15.49908 15.49908
8 4.299817 19.79890 19.79890
9 5.159780 24.95868 24.95868
10 6.191736 31.15042 31.15042
11 7.430084 38.58050 38.58050
12 8.916100 47.49660 47.49660
13 10.699321 58.19592 58.19592
14 12.839185 71.03511 71.03511
15 15.407022 86.44213 86.44213
16 18.488426 104.93056 104.93056
17 22.186111 127.11667 127.11667
18 26.623333 153.74000 153.74000
19 31.948000 185.68800 185.68800
20 38.337600 224.02560 224.02560Progressão harmônica
A sequência \(a=[1,1/2,1/3,1/4,1/5,\dots]=\left[\dfrac{1}{j}\right]\) não é nem progressão aritmética e nem geométrica.
Essa sequência é denominada progressão harmônica (PH), pois cada elemento intermediário é a média harmônica entre dois elementos laterais, isto é, \(2/(1/(1/1)+1/(1/3))=2/(1+3)=1/2\), \(2/(2+4)=1/3\), \(2/(3+5)=1/4\) e assim por diante.
Sua série é dada por \(s=[1/2,5/6,13/12,77/60,29/20,223/140,\dots]\) e seus elementos são chamados de números harmônicos.
A série da progressão harmônica é divergente positivamente, pois \(s_\infty=\infty\).
Table[Sum[1/j,{j,1,n}],{n,1,10}]
j a s
1 1 1.00000000 1.000000
2 2 0.50000000 1.500000
3 3 0.33333333 1.833333
4 4 0.25000000 2.083333
5 5 0.20000000 2.283333
6 6 0.16666667 2.450000
7 7 0.14285714 2.592857
8 8 0.12500000 2.717857
9 9 0.11111111 2.828968
10 10 0.10000000 2.928968
11 11 0.09090909 3.019877
12 12 0.08333333 3.103211
13 13 0.07692308 3.180134
14 14 0.07142857 3.251562
15 15 0.06666667 3.318229
16 16 0.06250000 3.380729
17 17 0.05882353 3.439553
18 18 0.05555556 3.495108
19 19 0.05263158 3.547740
20 20 0.05000000 3.597740Oscilante
Se a sequência tem termos que alternam de sinal, então é chamada de sequência alternante ou oscilante.
A série de uma sequência oscilante pode ser convergente ou divergente.
Por exemplo, é divergente oscilantemente ou indeterminada a série da sequência oscilante \(\left[(-1)^{n-1} \dfrac{n+1}{n}\right]=[2,-3/2,4/3,-5/4,\dots]\).
Note que essas duas sequências são divergentes oscilantemente ou indeterminadas.
Sum[((-1)^(n-1))((n+1)/n),{n,1,Infinity}]
Série obtida com \(a_j = (-1)^{j-1}
\dfrac{j+1}{j}\):
j a s
1 1 2.000000 2.0000000
2 2 -1.500000 0.5000000
3 3 1.333333 1.8333333
4 4 -1.250000 0.5833333
5 5 1.200000 1.7833333
6 6 -1.166667 0.6166667
7 7 1.142857 1.7595238
8 8 -1.125000 0.6345238
9 9 1.111111 1.7456349
10 10 -1.100000 0.6456349
11 11 1.090909 1.7365440
12 12 -1.083333 0.6532107
13 13 1.076923 1.7301338
14 14 -1.071429 0.6587052
15 15 1.066667 1.7253719
16 16 -1.062500 0.6628719
17 17 1.058824 1.7216954
18 18 -1.055556 0.6661398
19 19 1.052632 1.7187714
20 20 -1.050000 0.6687714
j a s
1 1 1.000000 1.0000000
2 2 -1.100000 -0.1000000
3 3 1.210000 1.1100000
4 4 -1.331000 -0.2210000
5 5 1.464100 1.2431000
6 6 -1.610510 -0.3674100
7 7 1.771561 1.4041510
8 8 -1.948717 -0.5445661
9 9 2.143589 1.5990227
10 10 -2.357948 -0.7589250
11 11 2.593742 1.8348175
12 12 -2.853117 -1.0182992
13 13 3.138428 2.1201291
14 14 -3.452271 -1.3321421
15 15 3.797498 2.4653563
16 16 -4.177248 -1.7118919
17 17 4.594973 2.8830811
18 18 -5.054470 -2.1713892
19 19 5.559917 3.3885281
20 20 -6.115909 -2.7273809
j a s
1 1 1.000000 1.000000
2 2 1.100000 2.100000
3 3 1.210000 3.310000
4 4 1.331000 4.641000
5 5 1.464100 6.105100
6 6 1.610510 7.715610
7 7 1.771561 9.487171
8 8 1.948717 11.435888
9 9 2.143589 13.579477
10 10 2.357948 15.937425
11 11 2.593742 18.531167
12 12 2.853117 21.384284
13 13 3.138428 24.522712
14 14 3.452271 27.974983
15 15 3.797498 31.772482
16 16 4.177248 35.949730
17 17 4.594973 40.544703
18 18 5.054470 45.599173
19 19 5.559917 51.159090
20 20 6.115909 57.274999Curiosamente, para \(-1 < b < 1, b \ne 0\), as séries se tornam convergentes
Para \(b=-0.75\)
j a s
1 1 1.000000000 1.000000
2 2 0.750000000 1.750000
3 3 0.562500000 2.312500
4 4 0.421875000 2.734375
5 5 0.316406250 3.050781
6 6 0.237304688 3.288086
7 7 0.177978516 3.466064
8 8 0.133483887 3.599548
9 9 0.100112915 3.699661
10 10 0.075084686 3.774746
11 11 0.056313515 3.831059
12 12 0.042235136 3.873295
13 13 0.031676352 3.904971
14 14 0.023757264 3.928728
15 15 0.017817948 3.946546
16 16 0.013363461 3.959910
17 17 0.010022596 3.969932
18 18 0.007516947 3.977449
19 19 0.005637710 3.983087
20 20 0.004228283 3.987315
j a s
1 1 1.000000000 1.0000000
2 2 -0.750000000 0.2500000
3 3 0.562500000 0.8125000
4 4 -0.421875000 0.3906250
5 5 0.316406250 0.7070312
6 6 -0.237304688 0.4697266
7 7 0.177978516 0.6477051
8 8 -0.133483887 0.5142212
9 9 0.100112915 0.6143341
10 10 -0.075084686 0.5392494
11 11 0.056313515 0.5955629
12 12 -0.042235136 0.5533278
13 13 0.031676352 0.5850042
14 14 -0.023757264 0.5612469
15 15 0.017817948 0.5790648
16 16 -0.013363461 0.5657014
17 17 0.010022596 0.5757240
18 18 -0.007516947 0.5682070
19 19 0.005637710 0.5738447
20 20 -0.004228283 0.5696165As séries das sequências oscilantes \([(-1/2)^n ]=[-1/2,1/4,-1/8,1/16,\dots]\) e \(\left[\dfrac{(-1)^n}{n!}\right]=[-1,1/2,-1/6,1/24,\dots]\) convergem para \(-1/3\) e \(e^{-1}-1=0.6321\dots\), respectivamente.
Note que essas duas sequências convergem oscilantemente para 0.
Série obtida com \(a_j = \left (-\dfrac{1}{2}
\right ) ^ j\):
j a s
1 1 -5.000000e-01 -0.5000000
2 2 2.500000e-01 -0.2500000
3 3 -1.250000e-01 -0.3750000
4 4 6.250000e-02 -0.3125000
5 5 -3.125000e-02 -0.3437500
6 6 1.562500e-02 -0.3281250
7 7 -7.812500e-03 -0.3359375
8 8 3.906250e-03 -0.3320312
9 9 -1.953125e-03 -0.3339844
10 10 9.765625e-04 -0.3330078
11 11 -4.882812e-04 -0.3334961
12 12 2.441406e-04 -0.3332520
13 13 -1.220703e-04 -0.3333740
14 14 6.103516e-05 -0.3333130
15 15 -3.051758e-05 -0.3333435
16 16 1.525879e-05 -0.3333282
17 17 -7.629395e-06 -0.3333359
18 18 3.814697e-06 -0.3333321
19 19 -1.907349e-06 -0.3333340
20 20 9.536743e-07 -0.3333330
Sum[((-1)^n)/n!,{n,1,Infinity}]
Série obtida com \(a_j =
\dfrac{(-1)^j}{j!}\):
j a s
1 1 -1.000000e+00 -1.0000000
2 2 5.000000e-01 -0.5000000
3 3 -1.666667e-01 -0.6666667
4 4 4.166667e-02 -0.6250000
5 5 -8.333333e-03 -0.6333333
6 6 1.388889e-03 -0.6319444
7 7 -1.984127e-04 -0.6321429
8 8 2.480159e-05 -0.6321181
9 9 -2.755732e-06 -0.6321208
10 10 2.755732e-07 -0.6321205
11 11 -2.505211e-08 -0.6321206
12 12 2.087676e-09 -0.6321206
13 13 -1.605904e-10 -0.6321206
14 14 1.147075e-11 -0.6321206
15 15 -7.647164e-13 -0.6321206
16 16 4.779477e-14 -0.6321206
17 17 -2.811457e-15 -0.6321206
18 18 1.561921e-16 -0.6321206
19 19 -8.220635e-18 -0.6321206
20 20 4.110318e-19 -0.6321206Absoluta ou condicional
A série convergente oscilantemente é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos de sua sequência é convergente. Caso contrário, a série convergente oscilantemente é condicionalmente convergente.
Por exemplo, a série da sequência \(\left[\dfrac{(-1)^n}{n}\right]=[-1,1/2,-1/3,1/4,-1/5,\dots]\) converge para \(-\ln(2)=-0.69\ldots\).
No entanto, a série da sequência \(\left[\left|\dfrac{(-1)^n}{n}\right|\right]=\left[\dfrac{1}{n}\right]=[1,1/2,1/3,1/4,1/5,\dots]\) é divergente positivamente. Dessa forma, a série da sequência \([(-1)^n/n]\) é convergente condicionalmente.
Gráfico de \(a_j\) e \(|a_j|\) da série condicionalmente
convergente \(a_j =
\dfrac{(-1)^j}{j}\):
j a s a.abs s.abs
1 1 -1.00000000 -1.0000000 1.00000000 1.000000
2 2 0.50000000 -0.5000000 0.50000000 1.500000
3 3 -0.33333333 -0.8333333 0.33333333 1.833333
4 4 0.25000000 -0.5833333 0.25000000 2.083333
5 5 -0.20000000 -0.7833333 0.20000000 2.283333
6 6 0.16666667 -0.6166667 0.16666667 2.450000
7 7 -0.14285714 -0.7595238 0.14285714 2.592857
8 8 0.12500000 -0.6345238 0.12500000 2.717857
9 9 -0.11111111 -0.7456349 0.11111111 2.828968
10 10 0.10000000 -0.6456349 0.10000000 2.928968
11 11 -0.09090909 -0.7365440 0.09090909 3.019877
12 12 0.08333333 -0.6532107 0.08333333 3.103211
13 13 -0.07692308 -0.7301338 0.07692308 3.180134
14 14 0.07142857 -0.6587052 0.07142857 3.251562
15 15 -0.06666667 -0.7253719 0.06666667 3.318229
16 16 0.06250000 -0.6628719 0.06250000 3.380729
17 17 -0.05882353 -0.7216954 0.05882353 3.439553
18 18 0.05555556 -0.6661398 0.05555556 3.495108
19 19 -0.05263158 -0.7187714 0.05263158 3.547740
20 20 0.05000000 -0.6687714 0.05000000 3.597740Um exemplo de série convergente absolutamente é a série da sequência \([(-1/2)^n ]\), pois sua série converge para \(-1/3\) e a série da sequência \(\left[|((-1)/2)^n|\right]=[1/2^n]\) converge para 1.
Gráfico de \(a_j\) e \(|a_j|\) da série absolutamente convergente \(a_j = \left( -\dfrac{1}{2} \right)^n\):
j a s a.abs s.abs
1 1 -5.000000e-01 -0.5000000 5.000000e-01 0.5000000
2 2 2.500000e-01 -0.2500000 2.500000e-01 0.7500000
3 3 -1.250000e-01 -0.3750000 1.250000e-01 0.8750000
4 4 6.250000e-02 -0.3125000 6.250000e-02 0.9375000
5 5 -3.125000e-02 -0.3437500 3.125000e-02 0.9687500
6 6 1.562500e-02 -0.3281250 1.562500e-02 0.9843750
7 7 -7.812500e-03 -0.3359375 7.812500e-03 0.9921875
8 8 3.906250e-03 -0.3320312 3.906250e-03 0.9960938
9 9 -1.953125e-03 -0.3339844 1.953125e-03 0.9980469
10 10 9.765625e-04 -0.3330078 9.765625e-04 0.9990234
11 11 -4.882812e-04 -0.3334961 4.882812e-04 0.9995117
12 12 2.441406e-04 -0.3332520 2.441406e-04 0.9997559
13 13 -1.220703e-04 -0.3333740 1.220703e-04 0.9998779
14 14 6.103516e-05 -0.3333130 6.103516e-05 0.9999390
15 15 -3.051758e-05 -0.3333435 3.051758e-05 0.9999695
16 16 1.525879e-05 -0.3333282 1.525879e-05 0.9999847
17 17 -7.629395e-06 -0.3333359 7.629395e-06 0.9999924
18 18 3.814697e-06 -0.3333321 3.814697e-06 0.9999962
19 19 -1.907349e-06 -0.3333340 1.907349e-06 0.9999981
20 20 9.536743e-07 -0.3333330 9.536743e-07 0.9999990Série com sequência reagrupada
Considere a sequência \[ a = [a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7, a_8, a_9, \dots] \]
A partir dela, podemos formar novas sequências agrupando termos consecutivos.
Por exemplo, \[ b = [b_1, b_2, b_3, b_4, \dots] \] com \[ b_1 = a_1+a_2, \quad b_2 = a_3+a_4, \quad b_3 = a_5+a_6, \quad \dots \]
Ou ainda, \[ c = [c_1, c_2, c_3, \dots] \] com \[ c_1 = a_1+a_2+a_3, \quad c_2 = a_4+a_5+a_6, \quad c_3 = a_7+a_8+a_9, \quad \dots \]
Também podemos considerar \[ d = [d_1, d_2, d_3, d_4, \dots] \] com \[ d_1 = a_1+a_2, \quad d_2 = a_3+a_4+a_5, \quad d_3 = a_6, \quad d_4 = a_7+a_8, \quad \dots \]
Em todos esses casos, os termos de \(a\) são mantidos na mesma ordem; o que muda é apenas a forma de agrupá-los em blocos sucessivos.
Esse procedimento é chamado de reagrupamento dos termos da série. Ele deve ser distinguido da reordenação dos termos, na qual a ordem dos termos é alterada.
Se a série \[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n \] converge, então qualquer reagrupamento em blocos finitos consecutivos produz uma nova série que também converge para a mesma soma.
Por outro lado, se a série original diverge, o reagrupamento pode alterar seu comportamento. Em alguns casos, uma série divergente pode passar a parecer convergente após o agrupamento; em outros, diferentes agrupamentos podem produzir resultados diferentes. Portanto, para séries divergentes, o reagrupamento exige cuidado.
Assim, a regra segura é esta: para séries convergentes, o reagrupamento de termos consecutivos em blocos finitos preserva a convergência e a soma. Para séries divergentes, essa preservação não é garantida.
E.g., a seguinte sequência \(a\) é convergente para \(0\) e a série \(s\) para \(0.\bar{4}\).
\[ a_j = r^j, \quad r=-0.8 \]
As sequências \(b\) e \(c\) formam seus elementos agrupando \(a\), respectivamente, de 2 em 2 e de 3 em 3.
Observa-se:
Após 120 passos:
- a converge para 0
- s(a) converge para -0.44444
Após 60 passos:
- b converge para 0
- s(b) converge para -0.44444
Após 40 passos:
- c converge para 0
- s(c) converge para -0.44444Séries especiais
Série telescópica e série de Grandi
Uma série telescópica é uma série em que ocorre cancelamento sucessivo entre termos consecutivos da soma parcial. Em geral, isso acontece quando o termo geral pode ser escrito na forma
\[ a_n=b_n-b_{n+1} \]
Nesse caso,
\[ \sum_{n=1}^{N} a_n = \sum_{n=1}^{N}(b_n-b_{n+1}) = (b_1-b_2)+(b_2-b_3)+\cdots+(b_N-b_{N+1}) \]
e, após o cancelamento dos termos intermediários, resta
\[ \sum_{n=1}^{N} a_n=b_1-b_{N+1} \]
Por isso, o estudo da convergência de uma série telescópica costuma ser simples: basta analisar o comportamento de \(b_{N+1}\) quando \(N\to\infty\). Se existir o limite de \(b_{N+1}\), então a soma da série pode ser obtida diretamente.
Um exemplo clássico é
\[ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) \]
A soma parcial de ordem \(N\) é
\[ \sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) = \left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{N}-\frac{1}{N+1}\right) \]
Os termos intermediários se cancelam, de modo que
\[ \sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=1-\frac{1}{N+1}. \]
Fazendo \(N\to\infty\), obtém-se
\[ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=1. \]
Portanto, essa série converge, e sua soma é \(1\).
A série de Grandi é a série
\[ 1-1+1-1+1-\cdots. \]
Seus somatórios parciais são
\[ \begin{align} s_1&=1,\\ s_2&=0,\\ s_3&=1,\\ s_4&=0, \end{align} \]
e assim sucessivamente. Logo, a sequência dos somatórios parciais alterna entre \(1\) e \(0\) e não possui limite. Portanto, a série de Grandi é divergente no sentido usual.
É importante não confundir a série de Grandi com uma série telescópica. Na série telescópica, o cancelamento interno conduz a uma expressão simples para a soma parcial e, frequentemente, à convergência da série. Já na série de Grandi não há esse mecanismo telescópico; o que ocorre é apenas uma alternância dos somatórios parciais entre dois valores distintos.
Em resumo, a diferença essencial é a seguinte. A série telescópica é caracterizada por cancelamentos sucessivos do tipo
\[ (b_1-b_2)+(b_2-b_3)+\cdots+(b_N-b_{N+1}) \]
ao passo que a série de Grandi é a série alternada
\[ 1-1+1-1+\cdots \]
cujos somatórios parciais não convergem.
Assim,
\[ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=1, \qquad 1-1+1-1+\cdots \text{ é divergente.} \]
sum_{n=1}^\infty [1/n - 1/(n+1)]
# Série telescópica
# Exemplo: sum_{n=1}^\infty [1/n - 1/(n+1)]
n <- 1:20
a_n <- 1/n - 1/(n + 1)
S_n <- cumsum(a_n)
dados_tel <- data.frame(
n = n,
a_n = a_n,
S_n = S_n,
formula = 1 - 1/(n + 1)
)
print(dados_tel) n a_n S_n formula
1 1 0.500000000 0.5000000 0.5000000
2 2 0.166666667 0.6666667 0.6666667
3 3 0.083333333 0.7500000 0.7500000
4 4 0.050000000 0.8000000 0.8000000
5 5 0.033333333 0.8333333 0.8333333
6 6 0.023809524 0.8571429 0.8571429
7 7 0.017857143 0.8750000 0.8750000
8 8 0.013888889 0.8888889 0.8888889
9 9 0.011111111 0.9000000 0.9000000
10 10 0.009090909 0.9090909 0.9090909
11 11 0.007575758 0.9166667 0.9166667
12 12 0.006410256 0.9230769 0.9230769
13 13 0.005494505 0.9285714 0.9285714
14 14 0.004761905 0.9333333 0.9333333
15 15 0.004166667 0.9375000 0.9375000
16 16 0.003676471 0.9411765 0.9411765
17 17 0.003267974 0.9444444 0.9444444
18 18 0.002923977 0.9473684 0.9473684
19 19 0.002631579 0.9500000 0.9500000
20 20 0.002380952 0.9523810 0.9523810par(mfrow = c(1, 2))
plot(
n, a_n,
type = "h",
lwd = 2,
xlab = "n",
ylab = expression(a[n]),
main = "Termos série telesc"
)
plot(
n, S_n,
type = "b",
pch = 19,
xlab = "n",
ylab = expression(S[n]),
main = "Somas parciais série telesc",
ylim = c(0, 1.1)
)
abline(h = 1, lty = 2)
text(15, 1.03, "limite = 1", pos = 3)
par(mfrow = c(1, 1))
# Série de Grandi
# Exemplo: 1 - 1 + 1 - 1 + ...
n <- 1:20
a_n <- (-1)^(n + 1)
S_n <- cumsum(a_n)
dados_grandi <- data.frame(
n = n,
a_n = a_n,
S_n = S_n
)
print(dados_grandi) n a_n S_n
1 1 1 1
2 2 -1 0
3 3 1 1
4 4 -1 0
5 5 1 1
6 6 -1 0
7 7 1 1
8 8 -1 0
9 9 1 1
10 10 -1 0
11 11 1 1
12 12 -1 0
13 13 1 1
14 14 -1 0
15 15 1 1
16 16 -1 0
17 17 1 1
18 18 -1 0
19 19 1 1
20 20 -1 0par(mfrow = c(1, 2))
plot(
n, a_n,
type = "h",
lwd = 2,
xlab = "n",
ylab = expression(a[n]),
main = "Termos série Grandi",
ylim = c(-1.2, 1.2)
)
abline(h = 0, lty = 2)
plot(
n, S_n,
type = "b",
pch = 19,
xlab = "n",
ylab = expression(S[n]),
main = "Somas parciais série Grandi",
ylim = c(-0.2, 1.2)
)
abline(h = 0, lty = 2)
abline(h = 1, lty = 2)
par(mfrow = c(1, 1))
n <- 1:20
a_tel <- 1/n - 1/(n + 1)
S_tel <- cumsum(a_tel)
a_gra <- (-1)^(n + 1)
S_gra <- cumsum(a_gra)
par(mfrow = c(1, 2))
plot(
n, S_tel,
type = "b",
pch = 19,
lty = 1,
col = "black",
xlab = "n",
ylab = expression(S[n]),
main = "Comparação das somas parciais",
ylim = c(-0.2, 1.2)
)
lines(
n, S_gra,
type = "b",
pch = 17,
lty = 1,
col = "red"
)
abline(h = 1, lty = 3)
legend(
"topleft",
legend = c("Telescópica", "Grandi"),
col = c("black", "red"),
lty = 1,
pch = c(19, 17),
bty = "n"
)
plot(
n, a_tel,
type = "h",
lwd = 2,
lty = 1,
col = "black",
xlab = "n",
ylab = expression(a[n]),
main = "Comparação dos termos",
ylim = c(-1.1, 1.1)
)
lines(
n, a_gra,
type = "h",
lwd = 2,
lty = 1,
col = "blue"
)
abline(h = 0, lty = 3)
legend(
"topright",
legend = c("Telescópica", "Grandi"),
col = c("black", "blue"),
lty = 1,
lwd = 2,
bty = "n"
)
Série geométrica
\[ \begin{align} a_n&=a_{0}q^n\\ s_n&=a_{0}\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}, \; q\ne1 \end{align} \]
Se \(|q|<1\), então:
\[ \lim_{n\to\infty}s_n=\dfrac{a_{0}}{1-q} \]
Exemplo: \(0.\bar{9}=1\)?
\[ \begin{align} 0.\bar{9}&=0.999\cdots\\ 0.\bar{9}&=\dfrac{9}{10}+\dfrac{9}{100}+\dfrac{9}{1000}+\cdots\\ s_n&=\sum_{i=1}^{n}{\dfrac{9}{10^{i}}}\\ \lim_{n\to\infty}s_n&=\dfrac{\dfrac{9}{10}}{1-\dfrac{1}{10}}=1 \end{align} \]
j a s
1 1 9e-01 0.900000000000000
2 2 9e-02 0.990000000000000
3 3 9e-03 0.999000000000000
4 4 9e-04 0.999900000000000
5 5 9e-05 0.999990000000000
6 6 9e-06 0.999999000000000
7 7 9e-07 0.999999900000000
8 8 9e-08 0.999999990000000
9 9 9e-09 0.999999999000000
10 10 9e-10 0.999999999900000
11 11 9e-11 0.999999999990000
12 12 9e-12 0.999999999999000
13 13 9e-13 0.999999999999900
14 14 9e-14 0.999999999999990
15 15 9e-15 0.999999999999999
16 16 9e-16 1.000000000000000
17 17 9e-17 1.000000000000000
18 18 9e-18 1.000000000000000
19 19 9e-19 1.000000000000000
20 20 9e-20 1.000000000000000Equação de recorrência linear
Common linear recurrence equations and the corresponding solutions.
a(n+1)-a(n-1)=a(n), a(1)=1, a(2)=1
Sequência de Fibonacci e o Número de Ouro:
Variante, sequência de Lucas:
a(n+1)-a(n-1)=a(n), a(1)=1, a(2)=3
Equação de recorrência quadrática
- \(\sqrt{1}, \;\sqrt{1 + \sqrt{1}}, \;\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1}}}, \;\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1}}}}, \;\dots\)
\[ \begin{align} x&=\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \cdots}}} \\ x&=\sqrt{1+x} \end{align} \]
O limite (ponto fixo) da sequência \(a_n^2=1-a_{n-1}\) é o número de ouro \(\phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\approx1.618\).
1^0.5, (1+1^0.5)^0.5, (1+(1+1^0.5)^0.5)^0.5, (1+(1+(1+1^0.5)^0.5)^0.5)^0.5, ...
a(n)^2=1-a(n-1), a(1)=1, a(2)=(1+1^0.5)^0.5
- \(\sqrt{2}, \;\sqrt{2 + \sqrt{2}}, \;\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}, \;\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}, \;\dots\)
\[ \begin{align} x&=\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots}}} \\ x&=\sqrt{2+x} \end{align} \]
O limite (ponto fixo) da sequência \(a_n^2=2+a_{n-1}\) é 2.
2^0.5, (2+2^0.5)^0.5, (2+(2+2^0.5)^0.5)^0.5, (2+(2+(2+2^0.5)^0.5)^0.5)^0.5, ...
Sequência sem fórmula de recorrência e sem solução exata
\[ \begin{align} y&=\cos(\cos(\cos(\cdots(x)))) \\ y&=\cos(y) \end{align} \]
O valor do ponto fixo de \(\cos(y)=y\) é \(x\approx0.7391\dots\).
cos(1), cos(cos(1)), cos(cos(cos(1))), cos(cos(cos(cos(1)))), cos(cos(cos(cos(cos(1))))), ...
cos(0), cos(cos(0)), cos(cos(cos(0))), cos(cos(cos(cos(0)))), cos(cos(cos(cos(cos(0))))), ...
Limite
A definição de limite usa tradicionalmente a letra grega épsilon, i.e., \(\epsilon\).
Épsilon é um número real positivo e costuma-se atribuir valores muito menores do que \(1\) a ele, i.e., \(\epsilon \in \mathbb{R^{\ast}_{+}}\) e \(\epsilon \ll 1\) (o símbolo \(\ll\) significa muito menor). O épsilon é um ente dinâmico que tende para zero denotado por \(ε\to 0\). Tender significa aproximar-se cada vez mais de 0 e não ser 0.
Limite de sequência
A sequência \([a_n]\) tem limite \(L\) se é possível obter um número inteiro positivo \(N\) tal que \(-\epsilon<a_n-L<\epsilon\) para \(n>N\) qualquer que seja \(\epsilon\). Neste caso, indica-se \(\lim_{n\to \infty} a_n=L\) e diz-se que a sequência converge para \(L\). Se o limite existe, ele é único.
Note que a existência do limite \(L\) depende do “enssanduichamento” de \(a_n\) na expressão \(-\epsilon<a_{N+1}-L<\epsilon\).
Considere, por exemplo, a sequência \(\left[\dfrac{1}{2^n}\right]=[1/2,1/4,1/8,1/16,\dots]\). O termo geral \(1/2^n\) converge para \(0\), i.e., \(0\) é o valor limite de \(1/2^n\) quando \(n\) tende para infinito. O número \(n\) tender ao infinito significa que ele é tão grande quanto se queira. Matematicamente, tem-se que \(\lim_{n\to \infty} \dfrac{1}{2^n}=0\).
A seguir é mostrado que a sequência converge para \(0\).
\[ -\epsilon<a_n-L<\epsilon \\ L-\epsilon<a_n<L+\epsilon \\ 0-\epsilon<\dfrac{1}{2^n} <0+\epsilon \\ -\epsilon<\dfrac{1}{2^n} <\epsilon \\ 0<\dfrac{1}{2^n} <\epsilon \\ 2^n>1/\epsilon \\ n>\log_2 \left(\dfrac{1}{\epsilon}\right) \]
Por exemplo, se \(\epsilon=1/1000\), então \(\log_2 (1/\epsilon)=\log_2 (1000)\approx 9.96\). Tem-se que \(n>9.96\), i.e., \(N=10\). Se \(\epsilon=1/10000\), então \(\log_2 (1/\epsilon)=\log_2 (10000)\approx13.28\). Tem-se que \(n>13.28\), i.e., \(N=14\).
Dessa forma, quanto menor \(\epsilon\), maior \(N\). Note que essa relação é esperada. Como existe \(N\) para cada \(\epsilon\) fixado, então o limite é \(0\). Como o limite é \(0\), então a sequência converge para 0.
As seguintes expressões de limite são equivalentes:
\[ \begin{align} \lim_{n\to \infty}{\dfrac{1}{2^n}}&=0 \\ \dfrac{1}{2^n}&\to 0 \end{align} \]
Limit 1/(2^n) as n -> infinity
library(ggplot2)
n <- 1:20
a_n <- 1 / 2^n
epsilon <- 0.01
L <- 0
N <- floor(log2(1 / epsilon)) + 1
dados <- data.frame(n, a_n)
g <- ggplot(dados, aes(x = n, y = a_n)) +
annotate(
"rect",
xmin = -Inf, xmax = Inf,
ymin = L - epsilon, ymax = L + epsilon,
alpha = 0.2
) +
geom_hline(yintercept = L, linewidth = 0.8, linetype = "dashed") +
geom_hline(yintercept = L + epsilon, linewidth = 0.5, linetype = "dotted") +
geom_hline(yintercept = L - epsilon, linewidth = 0.5, linetype = "dotted") +
geom_segment(aes(xend = n, y = 0, yend = a_n), linewidth = 0.4) +
geom_point(size = 2) +
geom_vline(xintercept = N, linewidth = 0.7, linetype = "dotdash") +
annotate("text", x = N + 1.2, y = 0.45, label = paste0("N = ", N), hjust = 0) +
annotate("text", x = 15.5, y = epsilon + 0.008, label = expression(epsilon), parse = TRUE, hjust = 0) +
annotate("text", x = 17.2, y = L + 0.018, label = "L = 0", hjust = 0) +
labs(
title = expression(paste("Sequência ", a[n] == 1/2^n, " e o conceito de limite")),
subtitle = paste0("Faixa de convergência: |a_n - L| < epsilon, com epsilon = ", epsilon),
x = "n",
y = expression(a[n] == 1/2^n)
) +
coord_cartesian(ylim = c(-0.03, 0.52)) +
theme_classic()
print(g)
Limite de série
A sequência \([a^n]\), sendo que \(-1<a<1\), converge para \(0\), i.e., \(\lim_{n\to\infty}{a^n}=0\).
A série \([s_n ]\) é dita ser convergente para o número \(s_\infty\) se \(\lim_{n\to\infty}{s_n}=s_{\infty}\).
E.g., a série \(\left[1-\dfrac{1}{2^n}\right]\), oriunda da sequência \(\left[\dfrac{1}{2^n}\right]\), tem limite igual a 1, i.e., \(\lim_{n\to\infty}{\left(1-\dfrac{1}{2^n}\right)}=1\). Então, diz-se que a série converge para \(1\).
Limit 1-1/(2^n) as n -> infinity
Se a série é convergente, então o termo geral da sequência converge para 0. No entanto, se o termo geral da sequência converge para 0, não implica a convergência da série. Por exemplo, a sequência \(\left[\dfrac{1}{n}\right]\) converge para \(0\). No entanto, a série é divergente positivamente.
Limite de função no ponto
Considere a função
\[ f(x)=x^2 \]
Deseja-se estudar o comportamento de \(f(x)\) quando \(x\) se aproxima de \(2\). Nesse caso, escreve-se
\[ \lim_{x\to 2} x^2 \]
A ideia intuitiva de limite é a seguinte: quando os valores de \(x\) ficam arbitrariamente próximos de \(2\), os valores de \(f(x)=x^2\) ficam arbitrariamente próximos de um número real fixo. Aqui, esse número é \(4\). Portanto,
\[ \lim_{x\to 2} x^2=4 \]
Isso pode ser verificado diretamente por substituição, pois \(f\) é um polinômio e polinômios são contínuos em todo ponto de seu domínio. Como
\[ f(2)=2^2=4 \]
segue que
\[ \lim_{x\to 2} f(x)=f(2)=4 \]
Embora essa justificativa por continuidade seja suficiente, o conceito de limite é mais geral e não depende, em sua definição formal, de simplesmente substituir o valor de \(x\). A definição rigorosa afirma que
\[ \lim_{x\to a} f(x)=L \]
se, para todo \(\epsilon>0\), existir \(\delta>0\) tal que
\[ 0<|x-a|<\delta \implies |f(x)-L|<\epsilon \]
No presente exemplo, tem-se \(a=2\), \(f(x)=x^2\) e \(L=4\). Logo, a definição fica
\[ 0<|x-2|<\delta \implies |x^2-4|<\epsilon \]
A interpretação é direta. O número \(\epsilon>0\) representa uma margem de erro arbitrariamente pequena em torno do valor limite \(4\). O número \(\delta>0\) representa uma margem de erro correspondente em torno de \(2\) no eixo \(x\). O objetivo é mostrar que, escolhendo \(x\) suficientemente próximo de \(2\), consegue-se forçar \(x^2\) a ficar tão próximo de \(4\) quanto se queira.
Para analisar isso, fatoramos a expressão:
\[ |x^2-4|=|x-2||x+2| \]
Portanto, é necessário controlar o produto de dois termos: \(|x-2|\) e \(|x+2|\). O primeiro termo já aparece naturalmente na definição. O segundo precisa ser limitado. Para isso, supõe-se inicialmente que \(x\) esteja próximo de \(2\), por exemplo,
\[ |x-2|<1 \]
Então,
\[ 1<x<3 \]
e, consequentemente,
\[ 3<x+2<5 \]
Daí,
\[ |x+2|<5 \]
Logo,
\[ |x^2-4|=|x-2||x+2|<5|x-2| \]
Assim, para garantir que \(|x^2-4|<\epsilon\), basta impor
\[ 5|x-2|<\epsilon \]
ou seja,
\[ |x-2|<\frac{\epsilon}{5} \]
Portanto, uma escolha possível é
\[ \delta=\min\left\{1,\frac{\epsilon}{5}\right\} \]
Com essa escolha, sempre que
\[ 0<|x-2|<\delta \]
segue que
\[ |x^2-4|<\epsilon \]
Isso prova formalmente que
\[ \lim_{x\to 2} x^2=4 \]
Geometricamente, isso significa que, ao tomar valores de \(x\) cada vez mais próximos de \(2\), os pontos do gráfico de \(y=x^2\) se aproximam do ponto de ordenada \(4\). O conceito de limite descreve esse comportamento local da função, independentemente de começar pela continuidade ou não.
Em resumo, o resultado é
\[ \begin{align} \lim_{x\to 2} x^2&=4\\ x^2&\to 4 \quad \text{quando } x\to 2 \end{align} \]
library(ggplot2)
f <- function(x) x^2
epsilon <- 0.8
delta <- 0.2
a <- 2
L <- 4
x <- seq(0.8, 3.2, length.out = 500)
dados <- data.frame(
x = x,
y = f(x)
)
g <- ggplot(dados, aes(x = x, y = y)) +
annotate(
"rect",
xmin = -Inf, xmax = Inf,
ymin = L - epsilon, ymax = L + epsilon,
alpha = 0.15
) +
annotate(
"rect",
xmin = a - delta, xmax = a + delta,
ymin = -Inf, ymax = Inf,
alpha = 0.10
) +
geom_line(linewidth = 0.8) +
geom_vline(xintercept = a, linetype = "dashed", linewidth = 0.7) +
geom_hline(yintercept = L, linetype = "dashed", linewidth = 0.7) +
geom_hline(yintercept = L + epsilon, linetype = "dotted", linewidth = 0.5) +
geom_hline(yintercept = L - epsilon, linetype = "dotted", linewidth = 0.5) +
geom_vline(xintercept = a + delta, linetype = "dotted", linewidth = 0.5) +
geom_vline(xintercept = a - delta, linetype = "dotted", linewidth = 0.5) +
annotate("point", x = a, y = L, size = 2.5) +
annotate("text", x = a + 0.28, y = L + 0.25, label = "L = 4", hjust = 0) +
annotate("text", x = a + delta + 0.03, y = 1.2, label = expression(a + delta), parse = TRUE, hjust = 0) +
annotate("text", x = a - delta - 0.03, y = 1.2, label = expression(a - delta), parse = TRUE, hjust = 1) +
annotate("text", x = 2.75, y = L + epsilon + 0.15, label = expression(L + epsilon), parse = TRUE, hjust = 0) +
annotate("text", x = 2.75, y = L - epsilon - 0.15, label = expression(L - epsilon), parse = TRUE, hjust = 0) +
labs(
title = expression(paste("Limite de ", f(x) == x^2, " quando ", x, " tende a 2")),
subtitle = expression(paste("Se ", 0 < "|x - 2| < " , delta, ", então ", "|f(x) - 4| < ", epsilon)),
x = "x",
y = expression(f(x) == x^2)
) +
coord_cartesian(xlim = c(0.8, 3.2), ylim = c(0, 10)) +
theme_classic()
print(g)
Propriedades de limite
Considere \(\lim_{n\to\infty}{a_n}=A\) e \(\lim_{n\to\infty}{b_n}=B\). As propriedades do limite são as seguintes:
- \(\lim_{n\to\infty} c=c\)
- \(\lim_{n\to\infty} a_{n+k}=\lim_{n\to\infty} a_n=A\), \(k\in \mathbb{Z}\)
- \(\lim_{n\to\infty} ca_n=c \lim_{n\to\infty} a_n=cA\)
- \(\lim_{n\to\infty} (a_n\pm b_n )=\lim_{n\to\infty} a_n\pm \lim_{n\to\infty} b_n=A±B\)
- \(\lim_{n\to\infty} (a_n\times b_n )=\lim_{n\to\infty} a_n\times \lim_{n\to\infty} b_n=A×B\)
- \(\lim_{n\to\infty} a_n/b_n =(\lim_{n\to\infty} a_n)/(\lim_{n\to\infty} b_n )=A/B\)
- \(\lim_{n\to\infty} (a_n )^k=(\lim_{n\to\infty} a_n )^k=A^k\), \(k\in \mathbb{N^{\ast}}\)
- \(\lim_{n\to\infty} \sqrt[k]{a_n}=\sqrt[k]{\lim_{n\to\infty} a_n}=\sqrt[k]{A}\), \(k\in \mathbb{N^{\ast}}\)
A seguir são mostrados os limites das sequências e de suas respectivas séries usadas ao longo do capítulo.
- \(a_n=n\)
- \(\lim_{n\to\infty} n=\infty\)
- \(s_n=(n/2)(1+n)\)
- \(\lim_{n\to\infty} (n/2)(1+n)=(\lim_{n\to\infty} n/2)(\lim_{n\to\infty} (1+n))= \\ =((\lim_{n\to\infty} n)/2)(1+\lim_{n\to\infty} n)=(\infty/2) \times (1+\infty)=\infty\)
- \(a_n=1/2^n\)
- \(\lim_{n\to\infty} 1/2^n =1/\lim_{n\to\infty} 2^n=1/\infty=0\)
- \(s_n=1-1/2^n\)
- \(\lim_{n\to\infty} (1-1/2^n)=1-\lim_{n\to\infty} 1/2^n=1-0=1\)
- \(a_n=1/n\)
- \(\lim_{n\to\infty} 1/n=0\)
- \(s_n=\sum_{j=1}^n 1/j\)
- \(\lim_{n\to\infty} \sum_{j=1}^n 1/j=?\)
- \(a_n=(-1)^n\)
- \(\lim_{n\to\infty} (-1)^n= \text{indeterminado}\), pois é 1, se n par, e -1, se n ímpar
- \(s_n=\sum_{j=1}^n (-1)^j\)
- \(\lim_{n\to\infty} (\sum_{j=1}^n (-1)^j )=\text{indeterminado}\)
- \(a_n=(-1)^{n-1}(n+1)/n\)
- \(\lim_{n\to\infty} (-1)^{n-1} (n+1)/n=\\ =(\lim_{n\to\infty} (-1)^{n-1} )(\lim_{n\to\infty} (n+1)/n)=\\ =(\lim_{n\to\infty} (-1)^{n-1} )(1+\lim_{n\to\infty} 1/n)=\\ =\lim_{n\to\infty} (-1)^{n-1}=\text{indeterminado}\)
- \(s_n=\sum_{j=1}^n (-1)^{j-1} (j+1)/j\)
- \(\lim_{n\to\infty} \sum_{j=1}^n (-1)^{j-1} (j+1)/j=\\ =\lim_{n\to\infty}\sum_{j=1}^n (-1)^{j-1}(1+\lim_{n\to\infty} (\sum_{j=1}^n 1/j))=\text{indeterminado}\)
limit (-1)^(n-1)(n+1)/n as n->infinity
- \(a_n=(-1)^n/2^n\)
- \(\lim_{n\to\infty} (-1)^n/2^n= \lim_{n\to\infty} (-1)^n /\lim_{n\to\infty} 2^n=\\ =\lim_{n\to\infty} (-1)^n/\infty=0\)
- \(s_n=((-1/2)^n-1)/3\)
- \(\lim_{n\to\infty} ((-1/2)^n-1)/3=(\lim_{n\to\infty} (-1)^n/\lim_{n\to\infty} 2^n-1)/3=\\=(\lim_{n\to\infty} (-1)^n/\infty-1)/3=-1/3\)
limit (-1)^n/2^n as n->infinity
- \(a_n=1/(n(n+1))\)
- \(\lim_{n\to\infty} 1/(n(n+1))=1/(\lim_{n\to\infty} n(n+1) )=1/\infty=0\)
- \(s_n=1-1/(1+n)\)
- \(\lim_{n\to\infty} (1-1/(1+n))=1-\lim_{n\to\infty} 1/(1+n) =1-0=1\)
limit 1/(n(n+1)) as n->infinity
- \(a_n=1/((n+a)(n+1+a))\)
- \(\lim_{n\to\infty} 1/((n+a)(n+1+a))=1/\lim_{n\to\infty} ((n+a)(n+1+a))=0\)
- \(s_n=n/((1+a)(n+1+a))\)
- \(\lim_{n\to \infty} n/((1+a)(n+1+a))=\\=(\lim_{n\to\infty} n/(n+1+a))/(1+a)=1/(1+a)\)
Propriedades de convergência e reordenação de séries
Uma série cuja soma não se altera sob qualquer reordenação de seus termos é dita incondicionalmente convergente.
Em geral, séries não preservam a soma quando seus termos são reordenados. Portanto, a invariância por reordenação não é uma propriedade geral das séries.
Toda série de termos não negativos possui invariância por reordenação e por associação, isto é, a mudança da ordem dos termos ou o reagrupamento por parênteses não altera sua soma, admitindo-se também o caso em que a soma seja \(+\infty\).
Toda série convergente de termos reais admite reagrupamento por parênteses sem alteração da soma, desde que a ordem dos termos seja preservada. Por outro lado, a supressão de parênteses só pode ser feita sem alterar a soma quando a nova série obtida continua convergente.
Toda série absolutamente convergente é incondicionalmente convergente. Em particular, toda reordenação de uma série absolutamente convergente tem a mesma soma.
A soma termo a termo de duas séries convergentes é convergente, e sua soma é a soma das somas das séries. Isto é, se
\[ \sum_{n=1}^\infty a_n = A \qquad\text{e}\qquad \sum_{n=1}^\infty b_n = B \]
então
\[ \sum_{n=1}^\infty (a_n+b_n)=A+B \]
Se
\[ \sum_{n=0}^\infty a_n = A \qquad\text{e}\qquad \sum_{n=0}^\infty b_n = B \]
e pelo menos uma dessas séries converge absolutamente, então o produto de Cauchy, definido por
\[ c_n=\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} \]
satisfaz
\[ \sum_{n=0}^\infty c_n = AB \]
Esse resultado é conhecido como teorema de Mertens.
Portanto, se as séries \[ \sum_{n=0}^\infty a_n \quad \text{e} \quad \sum_{n=0}^\infty b_n \] convergem para \(A\) e \(B\), respectivamente, e pelo menos uma delas é absolutamente convergente, então oproduto de Cauchy (convolução discreta) converge para \(AB\) (teorema de Mertens).
Limites Especiais
\[ \Large \lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=e\approx2.7182 \]
limit (1+1/n)^n as n->infinity
Fig. 8.6. O comportamento de y = 1/x quando x se aproxima de zero pela direita e pela esquerda. Os eixos x e y são assíntotas da hipérbole.
\[ \Large \lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x}=0 \]
\[ \Large \lim_{x\to0}\dfrac{1}{x}=\text{inexistente} \]
\[ \Large \lim_{x\to0}\dfrac{\sin(x)}{x}=1 \]
\[ \Large \lim_{x\to 0}\dfrac{\tan(x)}{x}=1 \]
Exemplo: SoLua
The Sun and the Moon
O tamanho aparente dos astros é a sensação de tamanho maior ou menor que temos ao observamos um astro no céu.
A figura a seguir ilustra um observador que olha para a Lua.
O tamanho aparente da Lua dependerá do ângulo de abertura do cone de luz que vai da Lua aos olhos do observador. Em geometria básica, utilizando o raio do astro e a distância até o observador, construímos um triângulo retângulo como mostra a imagem a seguir:
Se tomarmos a mediatriz do ângulo \(\theta\) teremos um triângulo retângulo com um ângulo \(\theta/2\) onde o cateto adjacente é a distância \(d\) do observador ao Sol e o cateto oposto é \(R\), o próprio raio lunar. Podemos escrever a expressão da tangente de\(\theta/2\) como “cateto oposto dividido pelo cateto adjacente”, ou seja:
\[ \tan\left(\dfrac{\theta}{2}\right)=\dfrac{R}{d} \]
Sabendo que a Lua está a uma distância aproximada de d = 3.84 × 105 km da Terra e tem um raio aproximado R = 1.74 × 103 km (portanto, o diâmetro é D = 3.48 × 103 km), podemos concluir que:
\[ \tan\left(\dfrac{\theta}{2}\right)=\dfrac{1.74\times10^3}{3.84\times10^5} \]
Se
\[ \lim_{\frac{\theta}{2}\to0}\dfrac{\tan\left(\dfrac{\theta}{2}\right)}{\dfrac{\theta}{2}}=1 \]
Então
\[ \tan\left(\dfrac{\theta}{2}\right)\approx\dfrac{\theta}{2} \]
Portanto
\[ \begin{align} \dfrac{\theta}{2}&\approx\dfrac{D/2}{d}\\ \theta&\approx\dfrac{D}{d}\\ &=\dfrac{3.48\times10^3}{3.84\times10^5}\\ &=0.0090625 \;\text{radiano}\\ \theta&=0.52 \; \text{grau} \end{align} \]
A Lua tem cerca de 0.52 grau (aproximadamente meio grau) de tamanho angular aparente.
Se fizermos esse cálculo para o Sol, observaremos que o valor será o mesmo (coincidência ou capricho cósmico?), por isso em um eclipse solar total a Lua obstrui o Sol, pois embora tenham tamanhos reais diferentes, as distâncias também diferentes fazem com que tenham o tamanho aparente semelhante.
O disco solar é cerca de 400 vezes maior que o disco lunar. Em compensação, a Lua está cerca de 400 vezes mais perto da Terra do que o Sol. A órbita da Lua ao redor da Terra é elíptica, assim como a órbita da Terra ao redor do Sol, portanto as distâncias variam na prática. Para o cálculo foi utilizado as métricas aproximadas, assumindo valores constantes. Isso explica porque Sol e Lua têm o mesmo tamanho aparente de cerca de meio grau no céu.
Sabendo que a distância até o Sol é cerca de d = 1.50 × 108 km da Terra e tem um raio da ordem de R = 6.96 × 105 km, aplicando na equação anterior temos:
\[ \theta\approx\dfrac{D}{d}=\dfrac{13.92\times10^5}{1.50\times10^8}=0.00928 \;\text{radiano}=0.53 \; \text{grau} \]
Portanto, o Sol tem praticamente o mesmo tamanho angular aparente que a Lua!
Limite de Função
Na Fig. 8.7, os pontos \(x_2\) e \(x_3\) não têm limites único e finito, respectivamente.
Fig. 8.7. O gráfico de uma função com dois pontos de descontinuidade (x2 e x3).
Fig. 8.8. Exemplo de uma função degrau: o número N de gatos em uma casa. A função tem um salto a cada instante em que ocorre o nascimento ou a morte.
Assíntota
“Em funções de crescimento que apresentam uma assíntota horizontal superior à curva, frequentemente surge a questão sobre quando se pode considerar o crescimento como praticamente constante, isto é, quando a curva está suficientemente próxima à sua assíntota, de modo que se possa declarar a diferença como sendo não-significativa. Vários métodos têm sido empregados, entre eles o que verifica através do teste t a significância da diferença entre a curva e sua assíntota. O uso de regressão segmentada, como em Portz et al. (2000), também tem esse objetivo, isto é, a determinação de um ponto de início de crescimento praticamente constante. Utilizou-se a função logística de crescimento, a qual possui assíntota horizontal e ponto de inflexão, e aplicou-se um novo método, que consiste na determinação matemática de um ponto da curva a partir do qual a aceleração do crescimento tende assintoticamente a zero. Este método, além de ter um significado biológico, conduz a um ponto bastante próximo aos obtidos pelos métodos anteriormente citados.” (Mischan et al., 2011, p.) 109
Fig. 8.5. Gráficos de várias funções que atingem o eixo x assintoticamente. Os gráficos de y = 1/x e y = 1/x2 são chamados de hipérboles.
Fig. 8.6. O comportamento de y = 1/x quando x se aproxima de zero pela direita e pela esquerda. Os eixos x e y são assíntotas da hipérbole.
Exercício 8.3.7: Isótopo de césio 137
O isótopo de césio 137Cs perde 2.3% de sua massa por ano devido ao decaimento radioativo. Suponha que, ao final de cada ano, a mesma massa \(M\) de 137Cs seja liberada no meio ambiente. Determine a massa total acumulada:
após \(n\) anos;
no equilíbrio, isto é, quando \(n \to \infty\).
Solução:
A cada ano, permanece no ambiente a fração \[ q = 1 - 0.023 = 0.977 \] da massa existente no ano anterior.
Ao final do primeiro ano, a massa acumulada é \[ S_1 = M \]
Ao final do segundo ano, a massa liberada no primeiro ano sofre decaimento, restando \(Mq\), e soma-se a nova liberação \(M\). Assim, \[ S_2 = Mq + M \]
Ao final do terceiro ano, \[ S_3 = Mq^2 + Mq + M \]
Prosseguindo desse modo, ao final de \(n\) anos a massa total acumulada é \[ S_n = M + Mq + Mq^2 + \cdots + Mq^{n-1} \]
Trata-se de uma progressão geométrica finita de razão \(q=0.977\). Logo, \[ S_n = M\sum_{k=0}^{n-1} q^k = M\frac{1-q^n}{1-q} \]
Portanto,
- \[ S_n = M\frac{1-0.977^n}{1-0.977} = M\frac{1-0.977^n}{0.023} \]
Como \[ \frac{1}{0.023} \approx 43.47826 \] podemos escrever \[ S_n \approx 43.47826\,M\left(1-0.977^n\right) \]
Para \(n\to\infty\), como \(0<0.977<1\), temos \[ 0.977^n \to 0 \]
Assim,
- \[ \lim_{n\to\infty} S_n = \frac{M}{1-q} = \frac{M}{0.023} \approx 43.47826\,M \]
Portanto, no equilíbrio, a massa total acumulada tende a aproximadamente \[ 43.48\,M \]
Para ver o comportamento gráfico do acúmulo de 137Cs:
invisible(Sys.setlocale("LC_ALL","pt_BR.UTF-8"))
if(!exists("M"))
{
M <- 1 # massa.adicional por ano
}
if (!exists("precisao"))
{
precisao <- 0.00001 # tolerancia para considerar equilibrio
}
# encontrando o equilibrio com força bruta
prop.perda <- 0.023 # proporção de perda anual 2.3%
# temos que achar o n suficiente para equilíbrio de a
n <- 10 # começo modesto
while (1)
{
j <- 2:n
a <- c(0,rep(NA,n-1))
for (k in j)
{
a[k] <- a[k-1]*(1-prop.perda)+M
}
# compara o último e penúltimo a
if(abs(a[length(a)]-a[length(a)-1])<=precisao)
{
break
} else
{
n <- n+1 # tentar n maior
}
}
# exibe o grafico
j <- 1:n
ymin <- min(a,na.rm=TRUE)
ymax <- max(a,na.rm=TRUE)
title <- latex2exp::TeX(sprintf(r'($a_j = a_{j-1}(1-0.023)+M, M=%f$)',M))
plot(NA,
main=title,
xlab="Anos", ylab="Massa acumulada",
xlim=c(0,n*1.1),
ylim=c(ymin,ymax*1.1),
axes=FALSE)
axis(1, pos=0)
axis(2, pos=0)
points(j,a, pch=1, cex=0.8)
lines(j,a,lty=2,lwd=0.7)
a.txt <- latex2exp::TeX(sprintf(r'($a_{%d} = %f \cdot M = %f$)',
length(a),
round(a[n],3)/M,
round(a[n],3)
))
points(n,a[n],pch=21,col="white",bg="blue",cex=1.5)
text(n*0.9,a[n],a.txt,pos=1,col="blue")
Por default usamos \(M=1\)
e consideramos ter atingido o equilíbrio quando, de um ano para o
seguinte, a massa variou menos que \(0.00001\) (este parâmetro,
precisao, também pode ser alterado).
Podemos experimentar com maiores valores de \(M\):
Repare o índice de \(a_j\) no
equilíbrio, que indica o número de anos que transcorrem até o equilíbrio
ser alcançado.
Sequência em R
[1] 1 2 3[1] 1 2 3[1] 1 2 3[1] -3 -2 -1 0 1 2 3[1] -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0[1] -10 -5 0 5 10[1] -10.0 -7.5 -5.0 -2.5 0.0 2.5 5.0 7.5 10.0[1] 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0[1] 1 2 4 8 16 32# 1 2 4 8 16 32
geomSeries <- function(base, max){
base^(0:floor(log(max, base)))
}
geomSeries(base=2, max=50)[1] 1 2 4 8 16 32# 1 2 4 8 16 32
geomSeq <- function(start,ratio,begin,end){
begin<-begin-1
end<-end-1
start*ratio**(begin:end)
}
geomSeq(1, 2, 1, 6)[1] 1 2 4 8 16 32[1] 4 8 16 32[1] "2018-01-01" "2019-01-01" "2020-01-01" "2021-01-01"# "2018-01-01" "2019-01-01" "2020-01-01" "2021-01-01"
# month series
seq(as.Date("2000/1/1"), by="month", length=12) [1] "2000-01-01" "2000-02-01" "2000-03-01" "2000-04-01" "2000-05-01"
[6] "2000-06-01" "2000-07-01" "2000-08-01" "2000-09-01" "2000-10-01"
[11] "2000-11-01" "2000-12-01"# [1] "2000-01-01" "2000-02-01" "2000-03-01" "2000-04-01"
# [5] "2000-05-01" "2000-06-01" "2000-07-01" "2000-08-01"
# [9] "2000-09-01" "2000-10-01" "2000-11-01" "2000-12-01"
# quarter series
seq(as.Date("2000/1/1"), as.Date("2001/1/1"), by="3 months")[1] "2000-01-01" "2000-04-01" "2000-07-01" "2000-10-01" "2001-01-01"# [1] "2000-01-01" "2000-04-01" "2000-07-01" "2000-10-01"
# [5] "2001-01-01"
# week series
seq(as.Date("2001/1/1"), as.Date("2001/3/1"), by="weeks")[1] "2001-01-01" "2001-01-08" "2001-01-15" "2001-01-22" "2001-01-29"
[6] "2001-02-05" "2001-02-12" "2001-02-19" "2001-02-26"# [1] "2001-01-01" "2001-01-08" "2001-01-15" "2001-01-22"
# [5] "2001-01-29" "2001-02-05" "2001-02-12" "2001-02-19"
# [9] "2001-02-26"
# day series
seq(as.Date("2001/1/1"), as.Date("2001/1/31"), by="days") [1] "2001-01-01" "2001-01-02" "2001-01-03" "2001-01-04" "2001-01-05"
[6] "2001-01-06" "2001-01-07" "2001-01-08" "2001-01-09" "2001-01-10"
[11] "2001-01-11" "2001-01-12" "2001-01-13" "2001-01-14" "2001-01-15"
[16] "2001-01-16" "2001-01-17" "2001-01-18" "2001-01-19" "2001-01-20"
[21] "2001-01-21" "2001-01-22" "2001-01-23" "2001-01-24" "2001-01-25"
[26] "2001-01-26" "2001-01-27" "2001-01-28" "2001-01-29" "2001-01-30"
[31] "2001-01-31"# [1] "2001-01-01" "2001-01-02" "2001-01-03" "2001-01-04"
# [5] "2001-01-05" "2001-01-06" "2001-01-07" "2001-01-08"
# [9] "2001-01-09" "2001-01-10" "2001-01-11" "2001-01-12"
# [13] "2001-01-13" "2001-01-14" "2001-01-15" "2001-01-16"
# [17] "2001-01-17" "2001-01-18" "2001-01-19" "2001-01-20"
# [21] "2001-01-21" "2001-01-22" "2001-01-23" "2001-01-24"
# [25] "2001-01-25" "2001-01-26" "2001-01-27" "2001-01-28"
# [29] "2001-01-29" "2001-01-30" "2001-01-31"
# first four months
cat(month.name[1:4], sep=" ")January February March AprilJanuary-February-March-AprilJanuary February March AprilStatistics in R [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] "Jan 1999" "Jan 2000" "Jan 2001" "Jan 2002" "Jan 2003"
[2,] "Feb 1999" "Feb 2000" "Feb 2001" "Feb 2002" "Feb 2003"
[3,] "Mar 1999" "Mar 2000" "Mar 2001" "Mar 2002" "Mar 2003"
[4,] "Apr 1999" "Apr 2000" "Apr 2001" "Apr 2002" "Apr 2003"
[5,] "May 1999" "May 2000" "May 2001" "May 2002" "May 2003"
[6,] "Jun 1999" "Jun 2000" "Jun 2001" "Jun 2002" "Jun 2003"
[7,] "Jul 1999" "Jul 2000" "Jul 2001" "Jul 2002" "Jul 2003"
[8,] "Aug 1999" "Aug 2000" "Aug 2001" "Aug 2002" "Aug 2003"
[9,] "Sep 1999" "Sep 2000" "Sep 2001" "Sep 2002" "Sep 2003"
[10,] "Oct 1999" "Oct 2000" "Oct 2001" "Oct 2002" "Oct 2003"
[11,] "Nov 1999" "Nov 2000" "Nov 2001" "Nov 2002" "Nov 2003"
[12,] "Dec 1999" "Dec 2000" "Dec 2001" "Dec 2002" "Dec 2003"[1] 1 1[1] 4 3 4 3[1] 4 4 3 3 3 3 3[1] 4 4 3 3[1] "a" "a"[1] "a" "b" "a" "b"[1] "a" "a" "b" "b" "b" "b" "b"[1] "a" "a" "b" "b"[1] "1" "2" "3" "4" "5" "6"[1] "1 st" "2 nd" "3 rd" "4 th" "5 th"[1] "1st" "2nd" "3rd" "4th" "5th"[1] "1st, 2nd, 3rd, 4th, 5th"[1] "Q1" "Q2" "Q3" "Q4" "Q5" "Q6"[1] "Q1" "Q2" "Q3" "Q4" "Q5" "Q6"[1] "Today is Mon Apr 13 19:02:10 2026"[1] "Today is Mon Apr 13 19:02:10 2026"[1] "Q1+Q2+Q3+Q4+Q5+Q6"[1] "F~Q1+Q2+Q3+Q4+Q5+Q6"[1] "F~Q1+Q2+Q3+Q4+Q5+Q6\nG~Q7+Q8+Q9"
(-6,-5] (-5,-4] (-4,-3] (-3,-2] (-2,-1] (-1,0] (0,1] (1,2] (2,3] (3,4]
0 28 1273 21366 136199 341609 341069 135835 21273 1324
(4,5] (5,6]
24 0
(-6,-5] (-5,-4] (-4,-3] (-3,-2] (-2,-1] (-1,0] (0,1] (1,2]
0.000000 0.000028 0.001273 0.021366 0.136199 0.341609 0.341069 0.135835
(2,3] (3,4] (4,5] (5,6]
0.021273 0.001324 0.000024 0.000000 [1] (0.994,3] (0.994,3] (0.994,3] (3,5] (3,5] (0.994,3] (0.994,3]
[8] (3,5] (3,5] (5,7.01] (5,7.01]
Levels: (0.994,3] (3,5] (5,7.01] [1] (0.994,3] (0.994,3] (0.994,3] (3,5] (3,5] (0.994,3] (0.994,3]
[8] (3,5] (3,5] (5,7.01] (5,7.01]
Levels: (0.994,3] < (3,5] < (5,7.01]## one way to extract the breakpoints
labs <- levels(cut(aaa, 3))
cbind(lower = as.numeric( sub("\\((.+),.*", "\\1", labs) ),
upper = as.numeric( sub("[^,]*,([^]]*)\\]", "\\1", labs) )) lower upper
[1,] 0.994 3.00
[2,] 3.000 5.00
[3,] 5.000 7.01[1] Control Control Control Control Treat Treat Treat Treat
Levels: Control Treat# [1] Control Control Control Control Treat Treat
# [7] Treat Treat
# Levels: Control Treat
## 20 alternating 1s and 2s
gl(n=2, k=1, length=2*4)[1] 1 2 1 2 1 2 1 2
Levels: 1 2[1] 1 1 2 2 1 1 2 2
Levels: 1 2 [1] Low Low Low Low Medium Medium Medium Medium High High
[11] High High
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- Dr. Trefor Bazett: The most important limit in Calculus // Geometric Proof & Applications
- Dr. Trefor Bazett: What is cos(cos(cos(cos(cos(cos(cos(cos(cos(cos(cos(cos(?? // Banach Fixed Point Theorem
- blackpenredpen: 100 limits (ultimate calculus study guide)
- This equation will change how you see the world (the logistic map)
- theJourneyofPurpose TJOP: Fibonacci Sequence in Nature
- DavidsonArtOnline: Golden Ratio = Mind Blown!
- Numberphile: The Golden Ratio (why it is so irrational)
- Azup: Donald no País da Matemágica e O Número de Ouro - [Dublado 720p HD])
Referências
- Batschelet, E (1979) Introduction to mathematics for life scientists. 3rd ed. NY: Springer.
- Batschelet, E (1978) Introdução à matemática para biocientistas. Tradução da 2ª ed. São Paulo: EDUSP e Rio de Janeiro: Interciência.
- Giordano, FR et al. (2015) A first course in mathematical modeling. 5th ed. OH: Thomson. Capítulos 2 e 14.
- Gradshteyn, IS & Ryzhik, IM (2007) Table of integrals, series, and products. 7th ed. USA: Academic.
- Mishan, MM et al. (2011) Determination of a point sufficiently close to the asymptote in nonlinear growth functions. Sci. Agric. 68(1): 109-14.
- Poularikas, AD (1999) The Handbook of Formulas and Tables for Signal Processing. Boca Raton: CRC/Springer/IEEE.
- Siqueira, JO (2011) Fundamentos para cálculo: usando WolframAlpha. São Paulo: Saraiva. Soluções dos exercícios em https://www.researchgate.net/publication/326533655_Fundamentos_para_Calculo_-_Solucoes.
- Siqueira, JO (2012) Fundamentos de métodos quantitativos: aplicados em Administração, Economia, Contabilidade e Atuária usando WolframAlpha e SCILAB. São Paulo: Saraiva. Soluções dos exercícios em https://www.researchgate.net/publication/326533772_Fundamentos_de_metodos_quantitativos_-_Solucoes.