Aula 5: Série e Limite

MSP4092: Biomatemática: aspectos quantitativos da vida

Bastão de Asclépio & Símbolo de Integral

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Material

• HTML de R Markdown em RPubs
• Prof. José Siqueira: ResearchGate

Conteúdo

1. Número real (Capítulo 1)
2. Função e relação (Capítulo 3)
3. Funções potência, periódica, exponencial e logarítmica (Capítulos 4, 5 e 6)
4. Método gráfico (Capítulo 7)

5. Série e limite (Capítulo 8)

6. Derivada e integral (Capítulos 9 e 10)
7. Equação diferencial ordinária (ODE) (Capítulo 11)
8. Função de duas ou mais variáveis independentes (Capítulo 12)
9. Probabilidade (Capítulo 13)
10. Matriz, vetor e número complexo (Capítulos 14 e 15)

Pensamento

Folha de São Paulo, 28 de novembro 2021

Introdução

• Infinito: Wikipédia

O propósito deste capítulo é tornar o cálculo diferencial e integral compreensível.

Com o estudo dos limites obteremos uma ferramenta muito poderosa para definir conceitos como taxa de crescimento (instantâneo), taxa de decaimento, taxa de reação, taxa de difusão e suas contrapartes, quantidade total de crescimento, de decaimento etc.

Primeira ideia: nem todo infinito é igual

Na matemática, dois conjuntos têm o mesmo tamanho (ou cardinalidade) quando é possível colocar seus elementos em correspondência um a um, mesmo que ambos sejam infinitos.

O conjunto \(\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}\) é infinito, mas conseguimos contar seus elementos, um após o outro: primeiro, segundo, terceiro, e assim por diante.

Esse tipo de infinito é chamado de infinito contável.

Seu tamanho (cardinalidade) é representado por:

\[ |\mathbb{N}| =\infty \]

O conjunto \(\mathbb{R}\) inclui todos os números com casas decimais, inclusive os irracionais. Entre dois números quaisquer existem infinitos outros. Por exemplo, entre 0 e 1 há infinitos números reais.

Cantor mostrou que é impossível listar todos os reais de forma que possamos contá-los. Isso significa que $ $ não é contável.

A cardinalidade de \(\mathbb{R}\) é maior que \(\infty\) e é simbolizada por:

\[ |\mathbb{R}|=\aleph>\infty \]

Conjunto	Cardinalidade	Tipo de infinito
\(\mathbb{N}\)	\(\infty\)	contável
\(\mathbb{Q}\)	\(\infty\)	contável
\(\mathbb{R}\)	\(\aleph\)	não contável

Analogia biológica:

• Pense no conjunto de espécies conhecidas: podemos contar, catalogar, colocar em listas. É contável.

• Agora pense no conjunto de todas as possíveis combinações contínuas de expressão gênica, parâmetros fisiológicos ou concentrações moleculares. Não conseguimos enumerar todas, pois variam de forma contínua. São não contáveis.

Para simplificar a exposição do conteúdo, o símbolo \(\infty\), ao longo do texto, representa a cardinalidade de \(\mathbb{N}\) e \(\mathbb{R}\).

Na matemática moderna, \(\infty\) não é um número. Em conexão com sequências, “infinito” significa simplesmente que \(a_n\) de um certo \(n\) em diante, excede qualquer limite \(C\), não importa quão grande \(C\) seja escolhido.

Operações algébricas envolvendo o conceito de infinito, representado frequentemente por \(\infty\), seguem algumas regras especiais dentro da matemática, principalmente porque o infinito não é um número, mas um conceito que descreve algo que não tem limites finitos. Aqui estão algumas operações padrão com infinito e suas propriedades usuais:

1. Adição e Subtração:
   • \(\infty + a = \infty\) para qualquer número real \(a\) (exceto \(-\infty\)).
   • \(\infty - a = \infty\) para qualquer número real \(a\) (exceto \(+\infty\)).
   • \(-\infty - a = -\infty\) para qualquer número real \(a\) (exceto \(+\infty\)).
   • \(-\infty + a = -\infty\) para qualquer número real \(a\) (exceto \(+\infty\)).
   • \(\infty + \infty = \infty\).
   • \(-\infty + (-\infty) = -\infty\).
   • \(\infty - \infty\) e \(-\infty + \infty\) são formas indeterminadas.
2. Multiplicação:
   • \(\infty \times a = \infty\) se \(a > 0\).
   • \(\infty \times a = -\infty\) se \(a < 0\).
   • \(-\infty \times a = -\infty\) se \(a > 0\).
   • \(-\infty \times a = \infty\) se \(a < 0\).
   • \(\infty \times \infty = \infty\).
   • \(-\infty \times (-\infty) = \infty\).
   • \(\infty \times 0\) e \(-\infty \times 0\) são formas indeterminadas.
3. Divisão:
   • \(\dfrac{\infty}{a} = \infty\) se \(a > 0\).
   • \(\dfrac{\infty}{a} = -\infty\) se \(a < 0\).
   • \(\dfrac{-\infty}{a} = -\infty\) se \(a > 0\).
   • \(\dfrac{-\infty}{a} = \infty\) se \(a < 0\).
   • \(\dfrac{a}{\infty} = 0\) para qualquer número real \(a\) não infinito.
   • \(\dfrac{\infty}{\infty}\) e \(\dfrac{-\infty}{-\infty}\) são formas indeterminadas.
4. Exponenciação:
   • \(\infty^a = \infty\) se \(a > 0\).
   • \(\infty^a = 0\) se \(a < 0\).
   • \(a^\infty = \infty\) se \(a > 1\).
   • \(a^\infty = 0\) se \(0 < a < 1\).
   • \(\infty^0\), \(0^\infty\), e \(1^\infty\) são formas indeterminadas.

Essas operações mostram que o tratamento do infinito envolve cuidados especiais, especialmente porque o infinito interage de maneira diferente dependendo do contexto e dos valores com os quais está sendo combinado, levando frequentemente a resultados que são considerados indeterminados na matemática.

is infinity a number?

infinity

infinity + pi

infinity - pi

infinity pi

infinity^pi

pi^infinity

infinity - infinity

Série

• Wikipedia: List of mathematical series

• YouTube: blackpenredpen: 100 calculus series (no food, no water, no stop)

A sequência infinita enumerável de números a é definida da seguinte maneira:

\[ a=\left[a_1,a_2,a_3,a_4,\dots\right]=\left[a_j\right]_{j=1}^{\infty} \]

Os elementos \(a_1,a_2,a_3,a_4,\dots\) da sequência são chamados de seus termos.

O termo geral da sequência é denotado por \(a_j\).

A sequência infinita enumerável de números s é denominada série e sua definição é a seguinte:

\[ s=[s_1,s_2,s_3,s_4,\dots]=\left[s_j\right]_{j=1}^{\infty} \]

Sendo que \(s_j=\sum_{k=1}^j{a_k}\), \(j\in \mathbb{N^*}\).

Os termos da série \(s_1,s_2,s_3,s_4, \dots\) são as somas parciais dos termos da sequência. O termo geral da série é denotado por \(s_j\).

A série é uma sequência de somas parciais dos termos de uma sequência.

O objetivo é analisar o comportamento de \(s_{\infty}\).

Se \(a_{\infty}\to m\) e \(m\ne 0\), então \(s_{\infty}\) diverge.

Se \(a_{\infty}\to 0\), então \(s_{\infty}\) pode convergir, mas necessita trabalhar matematicamente para mostrar se há convergência.

Eis algumas propriedades do somatório para \(n\in \mathbb{N^{*}}\):

\[ \begin{align} \sum_{k=1}^{n}{a_k} \pm \sum_{k=1}^{n}{b_k} &=\sum_{k=1}^{n}{\left(a_k\pm b_k \right)} \\ \sum_{k=1}^{n}{ca_k} &= c\sum_{k=1}^{n}{a_k} \\ \sum_{k=1}^{n}{c}&=cn \end{align} \]

---

Conferindo \[\sum_{k=1}^{n}{a_k} \pm \sum_{k=1}^{n}{b_k} =\sum_{k=1}^{n}{\left(a_k\pm b_k \right)}\]

demo_prop_sum01.R

---

Conferindo \[\sum_{k=1}^{n}{ca_k} = c\sum_{k=1}^{n}{a_k}\]

demo_prop_sum02.R

---

Conferindo \[\sum_{k=1}^{n}{c}=cn\]

demo_prop_sum03.R

Tipos de séries

positivamente divergente

Por exemplo, uma sequência pode ser formada por todos os números inteiros positivos ordenados, i.e., \(a=[1,2,3,4,\dots]=[j]_{j=1}^{\infty}\).

O índice j da sequência sempre varia entre 1 e \(\infty\), i.e., \(j \in \mathbb{N^{*}}\).

Para simplificar a notação tem-se que a notação explícita de variação do índice pode ser eliminada, isto é, \(a=[1,2,3,4,\dots]=[j]\).

Dessa forma, tem-se que a série é dada por \(s=[1,3,6,10,\dots]\).

Cada elemento dessa série é o resultado da soma de uma progressão aritmética (PA) finita com \(n=j\) elementos, início em \(a_1=1\), término em \(a_n=j\) e diferença comum igual a \(d=a_2-a_1=1\).

Numa progressão aritmética o j-ésimo elemento é determinado pela fórmula \(a_j=a_1+(n-1)d=1+(j-1)=j\).

Cada elemento da série pode ser calculado usando a fórmula \(s_n=(n/2)(2a_1+(n-1)d)\). No caso particular, tem-se que \(s_j=(j/2)(2+(j-1))=(j/2)(1+j)\).

Note que a série dos inteiros positivos cresce quadraticamente, isto é, \(s_j=(j/2)(1+j)=(1/2)(j+j^2)\).

Então, a série é dada por \(s=\left[\frac{1}{2}j(j+1)\right]=[1,3,6,10,\dots]\).

Dessa forma, \(s_\infty=\infty\), isto é, a série dessa progressão aritmética é divergente positivamente.

1+2+3+4+...

Table[Sum[j,{j,1,n}],{n,1,10}]

Para conferir, obtemos o gráfico para \(1 \le j \le 20\) dos valores de \(a\) e \(s\) computando por “força bruta” \(s_j=\sum_{k=1}^j{a_k}\) e pela fórmula deduzida \(s_j=\frac{1}{2}j(j+1)\).

Este é um exemplo de progressão aritmética, positivamente divergente.

demo_serie1_divergentepositiva.R

                                                                             
j:                1 2 3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13  14  15  16  17  18  19
a:                1 2 3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13  14  15  16  17  18  19
s (força bruta):  1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 120 136 153 171 190
s (fórmula):      1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 120 136 153 171 190
                     
j:                 20
a:                 20
s (força bruta):  210
s (fórmula):      210

convergente

Outro exemplo é sequência \(a=[1/2,1/4,1/8,1/16,\dots]=[1/2^j]\).

O índice j da sequência varia entre 1 e \(\infty\).

Essa sequência é uma progressão geométrica (PG) com \(n=j\) elementos, primeiro elemento igual a 1, i.e., \(a_1=1\) e razão comum igual a 1/2, i.e., \(r=1/2\).

Cada elemento da série é calculado por meio da fórmula:

\[ s_n=a_1\dfrac{1-r^n}{1-r} \]

Para essa progressão geométrica, tem-se que \(s_j=(1/2)(1- 1/2^j)/(1/2 )=1-1/2^j\).

Tem-se que a série é dada por \(s=[1/2,3/4,7/8,15/16,31/32,63/64,127/128,\dots]=\left[1-\dfrac{1}{2^j} \right]\).

Dessa forma, \(s_\infty=1\), isto é, a série dessa progressão geométrica converge para 1.

1/2+1/4+1/8+1/16+...

Table[Sum[1/2^j,{j,1,n}],{n,1,10}]

Este é um exemplo de progressão geométrica convergente para 1.

demo_serie2_convergente.R

  j            a s (força bruta) s (fórmula)
  1 5.000000e-01       0.5000000   0.5000000
  2 2.500000e-01       0.7500000   0.7500000
  3 1.250000e-01       0.8750000   0.8750000
  4 6.250000e-02       0.9375000   0.9375000
  5 3.125000e-02       0.9687500   0.9687500
  6 1.562500e-02       0.9843750   0.9843750
  7 7.812500e-03       0.9921875   0.9921875
  8 3.906250e-03       0.9960938   0.9960938
  9 1.953125e-03       0.9980469   0.9980469
 10 9.765625e-04       0.9990234   0.9990234
 11 4.882812e-04       0.9995117   0.9995117
 12 2.441406e-04       0.9997559   0.9997559
 13 1.220703e-04       0.9998779   0.9998779
 14 6.103516e-05       0.9999390   0.9999390
 15 3.051758e-05       0.9999695   0.9999695
 16 1.525879e-05       0.9999847   0.9999847
 17 7.629395e-06       0.9999924   0.9999924
 18 3.814697e-06       0.9999962   0.9999962
 19 1.907349e-06       0.9999981   0.9999981
 20 9.536743e-07       0.9999990   0.9999990

Uma progressão geométrica é convergente se \(-1<r<1\).

Se \(-1<r<1\), então \(s_\infty=\dfrac{a_1}{1-r}\).

0.8+0.8^2+0.8^3+...

-0.8+(-0.8)^2+(-0.8)^3+...

1.8+1.8^2+1.8^3+...

-1.8+(-1.8)^2+(-1.8)^3+...

Para verificar esta afirmação, experimentemos algumas séries com \(-1<r<1\).

demo_serie2b_convergentes.R

  j           a s (força bruta) s (fórmula)
  1 -0.80000000      -0.8000000  -0.8000000
  2  0.64000000      -0.1600000  -0.1600000
  3 -0.51200000      -0.6720000  -0.6720000
  4  0.40960000      -0.2624000  -0.2624000
  5 -0.32768000      -0.5900800  -0.5900800
  6  0.26214400      -0.3279360  -0.3279360
  7 -0.20971520      -0.5376512  -0.5376512
  8  0.16777216      -0.3698790  -0.3698790
  9 -0.13421773      -0.5040968  -0.5040968
 10  0.10737418      -0.3967226  -0.3967226
 11 -0.08589935      -0.4826219  -0.4826219
 12  0.06871948      -0.4139025  -0.4139025
 13 -0.05497558      -0.4688780  -0.4688780
 14  0.04398047      -0.4248976  -0.4248976
 15 -0.03518437      -0.4600819  -0.4600819
 16  0.02814750      -0.4319344  -0.4319344
 17 -0.02251800      -0.4544524  -0.4544524
 18  0.01801440      -0.4364380  -0.4364380
 19 -0.01441152      -0.4508496  -0.4508496
 20  0.01152922      -0.4393203  -0.4393203

  j             a s (força bruta) s (fórmula)
  1 -6.000000e-01      -0.6000000  -0.6000000
  2  3.600000e-01      -0.2400000  -0.2400000
  3 -2.160000e-01      -0.4560000  -0.4560000
  4  1.296000e-01      -0.3264000  -0.3264000
  5 -7.776000e-02      -0.4041600  -0.4041600
  6  4.665600e-02      -0.3575040  -0.3575040
  7 -2.799360e-02      -0.3854976  -0.3854976
  8  1.679616e-02      -0.3687014  -0.3687014
  9 -1.007770e-02      -0.3787791  -0.3787791
 10  6.046618e-03      -0.3727325  -0.3727325
 11 -3.627971e-03      -0.3763605  -0.3763605
 12  2.176782e-03      -0.3741837  -0.3741837
 13 -1.306069e-03      -0.3754898  -0.3754898
 14  7.836416e-04      -0.3747061  -0.3747061
 15 -4.701850e-04      -0.3751763  -0.3751763
 16  2.821110e-04      -0.3748942  -0.3748942
 17 -1.692666e-04      -0.3750635  -0.3750635
 18  1.015600e-04      -0.3749619  -0.3749619
 19 -6.093597e-05      -0.3750229  -0.3750229
 20  3.656158e-05      -0.3749863  -0.3749863

  j             a s (força bruta) s (fórmula)
  1 -4.000000e-01      -0.4000000  -0.4000000
  2  1.600000e-01      -0.2400000  -0.2400000
  3 -6.400000e-02      -0.3040000  -0.3040000
  4  2.560000e-02      -0.2784000  -0.2784000
  5 -1.024000e-02      -0.2886400  -0.2886400
  6  4.096000e-03      -0.2845440  -0.2845440
  7 -1.638400e-03      -0.2861824  -0.2861824
  8  6.553600e-04      -0.2855270  -0.2855270
  9 -2.621440e-04      -0.2857892  -0.2857892
 10  1.048576e-04      -0.2856843  -0.2856843
 11 -4.194304e-05      -0.2857263  -0.2857263
 12  1.677722e-05      -0.2857095  -0.2857095
 13 -6.710886e-06      -0.2857162  -0.2857162
 14  2.684355e-06      -0.2857135  -0.2857135
 15 -1.073742e-06      -0.2857146  -0.2857146
 16  4.294967e-07      -0.2857142  -0.2857142
 17 -1.717987e-07      -0.2857143  -0.2857143
 18  6.871948e-08      -0.2857143  -0.2857143
 19 -2.748779e-08      -0.2857143  -0.2857143
 20  1.099512e-08      -0.2857143  -0.2857143

  j             a s (força bruta) s (fórmula)
  1 -2.000000e-01      -0.2000000  -0.2000000
  2  4.000000e-02      -0.1600000  -0.1600000
  3 -8.000000e-03      -0.1680000  -0.1680000
  4  1.600000e-03      -0.1664000  -0.1664000
  5 -3.200000e-04      -0.1667200  -0.1667200
  6  6.400000e-05      -0.1666560  -0.1666560
  7 -1.280000e-05      -0.1666688  -0.1666688
  8  2.560000e-06      -0.1666662  -0.1666662
  9 -5.120000e-07      -0.1666668  -0.1666668
 10  1.024000e-07      -0.1666666  -0.1666666
 11 -2.048000e-08      -0.1666667  -0.1666667
 12  4.096000e-09      -0.1666667  -0.1666667
 13 -8.192000e-10      -0.1666667  -0.1666667
 14  1.638400e-10      -0.1666667  -0.1666667
 15 -3.276800e-11      -0.1666667  -0.1666667
 16  6.553600e-12      -0.1666667  -0.1666667
 17 -1.310720e-12      -0.1666667  -0.1666667
 18  2.621440e-13      -0.1666667  -0.1666667
 19 -5.242880e-14      -0.1666667  -0.1666667
 20  1.048576e-14      -0.1666667  -0.1666667

  j a s (força bruta) s (fórmula)
  1 0               0           0
  2 0               0           0
  3 0               0           0
  4 0               0           0
  5 0               0           0
  6 0               0           0
  7 0               0           0
  8 0               0           0
  9 0               0           0
 10 0               0           0
 11 0               0           0
 12 0               0           0
 13 0               0           0
 14 0               0           0
 15 0               0           0
 16 0               0           0
 17 0               0           0
 18 0               0           0
 19 0               0           0
 20 0               0           0

  j            a s (força bruta) s (fórmula)
  1 2.000000e-01       0.2000000   0.2000000
  2 4.000000e-02       0.2400000   0.2400000
  3 8.000000e-03       0.2480000   0.2480000
  4 1.600000e-03       0.2496000   0.2496000
  5 3.200000e-04       0.2499200   0.2499200
  6 6.400000e-05       0.2499840   0.2499840
  7 1.280000e-05       0.2499968   0.2499968
  8 2.560000e-06       0.2499994   0.2499994
  9 5.120000e-07       0.2499999   0.2499999
 10 1.024000e-07       0.2500000   0.2500000
 11 2.048000e-08       0.2500000   0.2500000
 12 4.096000e-09       0.2500000   0.2500000
 13 8.192000e-10       0.2500000   0.2500000
 14 1.638400e-10       0.2500000   0.2500000
 15 3.276800e-11       0.2500000   0.2500000
 16 6.553600e-12       0.2500000   0.2500000
 17 1.310720e-12       0.2500000   0.2500000
 18 2.621440e-13       0.2500000   0.2500000
 19 5.242880e-14       0.2500000   0.2500000
 20 1.048576e-14       0.2500000   0.2500000

  j            a s (força bruta) s (fórmula)
  1 4.000000e-01       0.4000000   0.4000000
  2 1.600000e-01       0.5600000   0.5600000
  3 6.400000e-02       0.6240000   0.6240000
  4 2.560000e-02       0.6496000   0.6496000
  5 1.024000e-02       0.6598400   0.6598400
  6 4.096000e-03       0.6639360   0.6639360
  7 1.638400e-03       0.6655744   0.6655744
  8 6.553600e-04       0.6662298   0.6662298
  9 2.621440e-04       0.6664919   0.6664919
 10 1.048576e-04       0.6665968   0.6665968
 11 4.194304e-05       0.6666387   0.6666387
 12 1.677722e-05       0.6666555   0.6666555
 13 6.710886e-06       0.6666622   0.6666622
 14 2.684355e-06       0.6666649   0.6666649
 15 1.073742e-06       0.6666660   0.6666660
 16 4.294967e-07       0.6666664   0.6666664
 17 1.717987e-07       0.6666666   0.6666666
 18 6.871948e-08       0.6666666   0.6666666
 19 2.748779e-08       0.6666666   0.6666666
 20 1.099512e-08       0.6666667   0.6666667

  j            a s (força bruta) s (fórmula)
  1 6.000000e-01        0.600000    0.600000
  2 3.600000e-01        0.960000    0.960000
  3 2.160000e-01        1.176000    1.176000
  4 1.296000e-01        1.305600    1.305600
  5 7.776000e-02        1.383360    1.383360
  6 4.665600e-02        1.430016    1.430016
  7 2.799360e-02        1.458010    1.458010
  8 1.679616e-02        1.474806    1.474806
  9 1.007770e-02        1.484883    1.484883
 10 6.046618e-03        1.490930    1.490930
 11 3.627971e-03        1.494558    1.494558
 12 2.176782e-03        1.496735    1.496735
 13 1.306069e-03        1.498041    1.498041
 14 7.836416e-04        1.498825    1.498825
 15 4.701850e-04        1.499295    1.499295
 16 2.821110e-04        1.499577    1.499577
 17 1.692666e-04        1.499746    1.499746
 18 1.015600e-04        1.499848    1.499848
 19 6.093597e-05        1.499909    1.499909
 20 3.656158e-05        1.499945    1.499945

  j          a s (força bruta) s (fórmula)
  1 0.80000000        0.800000    0.800000
  2 0.64000000        1.440000    1.440000
  3 0.51200000        1.952000    1.952000
  4 0.40960000        2.361600    2.361600
  5 0.32768000        2.689280    2.689280
  6 0.26214400        2.951424    2.951424
  7 0.20971520        3.161139    3.161139
  8 0.16777216        3.328911    3.328911
  9 0.13421773        3.463129    3.463129
 10 0.10737418        3.570503    3.570503
 11 0.08589935        3.656403    3.656403
 12 0.06871948        3.725122    3.725122
 13 0.05497558        3.780098    3.780098
 14 0.04398047        3.824078    3.824078
 15 0.03518437        3.859263    3.859263
 16 0.02814750        3.887410    3.887410
 17 0.02251800        3.909928    3.909928
 18 0.01801440        3.927942    3.927942
 19 0.01441152        3.942354    3.942354
 20 0.01152922        3.953883    3.953883

Contrariando a afirmação, algumas séries com \(r \le -1\) ou \(r \ge 1\).

Nota: há problemas quando \(r=1\), pois a fórmula \(s_k = a_1(1-r^k)/(1-r)\) não é computável para \(r=1\), mas a computamos pela somatória porque \(a_k=1\) e \(s = \sum_{k=1}^{j}{a_k}\); no entanto, esta não é uma progressão geométrica.

demo_serie2c_divergentes.R

  j          a s (força bruta) s (fórmula)
  1  -1.200000       -1.200000   -1.200000
  2   1.440000        0.240000    0.240000
  3  -1.728000       -1.488000   -1.488000
  4   2.073600        0.585600    0.585600
  5  -2.488320       -1.902720   -1.902720
  6   2.985984        1.083264    1.083264
  7  -3.583181       -2.499917   -2.499917
  8   4.299817        1.799900    1.799900
  9  -5.159780       -3.359880   -3.359880
 10   6.191736        2.831856    2.831856
 11  -7.430084       -4.598227   -4.598227
 12   8.916100        4.317873    4.317873
 13 -10.699321       -6.381448   -6.381448
 14  12.839185        6.457737    6.457737
 15 -15.407022       -8.949284   -8.949284
 16  18.488426        9.539141    9.539141
 17 -22.186111      -12.646970  -12.646970
 18  26.623333       13.976364   13.976364
 19 -31.948000      -17.971636  -17.971636
 20  38.337600       20.365964   20.365964

  j  a s (força bruta) s (fórmula)
  1 -1              -1          -1
  2  1               0           0
  3 -1              -1          -1
  4  1               0           0
  5 -1              -1          -1
  6  1               0           0
  7 -1              -1          -1
  8  1               0           0
  9 -1              -1          -1
 10  1               0           0
 11 -1              -1          -1
 12  1               0           0
 13 -1              -1          -1
 14  1               0           0
 15 -1              -1          -1
 16  1               0           0
 17 -1              -1          -1
 18  1               0           0
 19 -1              -1          -1
 20  1               0           0

  j a s (força bruta) s (fórmula)
  1 1               1         NaN
  2 1               2         NaN
  3 1               3         NaN
  4 1               4         NaN
  5 1               5         NaN
  6 1               6         NaN
  7 1               7         NaN
  8 1               8         NaN
  9 1               9         NaN
 10 1              10         NaN
 11 1              11         NaN
 12 1              12         NaN
 13 1              13         NaN
 14 1              14         NaN
 15 1              15         NaN
 16 1              16         NaN
 17 1              17         NaN
 18 1              18         NaN
 19 1              19         NaN
 20 1              20         NaN

  j         a s (força bruta) s (fórmula)
  1  1.200000         1.20000     1.20000
  2  1.440000         2.64000     2.64000
  3  1.728000         4.36800     4.36800
  4  2.073600         6.44160     6.44160
  5  2.488320         8.92992     8.92992
  6  2.985984        11.91590    11.91590
  7  3.583181        15.49908    15.49908
  8  4.299817        19.79890    19.79890
  9  5.159780        24.95868    24.95868
 10  6.191736        31.15042    31.15042
 11  7.430084        38.58050    38.58050
 12  8.916100        47.49660    47.49660
 13 10.699321        58.19592    58.19592
 14 12.839185        71.03511    71.03511
 15 15.407022        86.44213    86.44213
 16 18.488426       104.93056   104.93056
 17 22.186111       127.11667   127.11667
 18 26.623333       153.74000   153.74000
 19 31.948000       185.68800   185.68800
 20 38.337600       224.02560   224.02560

progressão harmônica

A sequência \(a=[1,1/2,1/3,1/4,1/5,\dots]=\left[\dfrac{1}{j}\right]\) não é nem progressão aritmética e nem geométrica.

Essa sequência é denominada progressão harmônica (PH), pois cada elemento intermediário é a média harmônica entre dois elementos laterais, isto é, \(2/(1/(1/1)+1/(1/3))=2/(1+3)=1/2\), \(2/(2+4)=1/3\), \(2/(3+5)=1/4\) e assim por diante.

Sua série é dada por \(s=[1/2,5/6,13/12,77/60,29/20,223/140,\dots]\) e seus elementos são chamados de números harmônicos.

A série da progressão harmônica é divergente positivamente, pois \(s_\infty=\infty\).

1+1/2+1/3+1/4+1/5+...

Table[Sum[1/j,{j,1,n}],{n,1,10}]

demo_serie3_harmonica.R

    j          a        s
1   1 1.00000000 1.000000
2   2 0.50000000 1.500000
3   3 0.33333333 1.833333
4   4 0.25000000 2.083333
5   5 0.20000000 2.283333
6   6 0.16666667 2.450000
7   7 0.14285714 2.592857
8   8 0.12500000 2.717857
9   9 0.11111111 2.828968
10 10 0.10000000 2.928968
11 11 0.09090909 3.019877
12 12 0.08333333 3.103211
13 13 0.07692308 3.180134
14 14 0.07142857 3.251562
15 15 0.06666667 3.318229
16 16 0.06250000 3.380729
17 17 0.05882353 3.439553
18 18 0.05555556 3.495108
19 19 0.05263158 3.547740
20 20 0.05000000 3.597740

alternantes ou oscilantes

Se a sequência tem termos que alternam de sinal, então é chamada de sequência alternante ou oscilante.

A série de uma sequência oscilante pode ser convergente ou divergente.

Por exemplo, é divergente oscilantemente ou indeterminada a série da sequência oscilante \(\left[(-1)^{n-1} \dfrac{n+1}{n}\right]=[2,-3/2,4/3,-5/4,\dots]\).

Note que essas duas sequências são divergentes oscilantemente ou indeterminadas.

Sum[((-1)^(n-1))((n+1)/n),{n,1,Infinity}]

Série obtida com \(a_j = (-1)^{j-1} \dfrac{j+1}{j}\):

demo_serie3_oscilante2.R

    j         a         s
1   1  2.000000 2.0000000
2   2 -1.500000 0.5000000
3   3  1.333333 1.8333333
4   4 -1.250000 0.5833333
5   5  1.200000 1.7833333
6   6 -1.166667 0.6166667
7   7  1.142857 1.7595238
8   8 -1.125000 0.6345238
9   9  1.111111 1.7456349
10 10 -1.100000 0.6456349
11 11  1.090909 1.7365440
12 12 -1.083333 0.6532107
13 13  1.076923 1.7301338
14 14 -1.071429 0.6587052
15 15  1.066667 1.7253719
16 16 -1.062500 0.6628719
17 17  1.058824 1.7216954
18 18 -1.055556 0.6661398
19 19  1.052632 1.7187714
20 20 -1.050000 0.6687714

Voltando a \(a_j = (-b)^{j-1}\), se \(j\) é par e \(a_j = b^{j-1}\), se \(j\) é ímpar, sendo \(b>1\); e.g., \(b=1.1\):

demo_serie3b_oscilante.R

    j         a          s
1   1  1.000000  1.0000000
2   2 -1.100000 -0.1000000
3   3  1.210000  1.1100000
4   4 -1.331000 -0.2210000
5   5  1.464100  1.2431000
6   6 -1.610510 -0.3674100
7   7  1.771561  1.4041510
8   8 -1.948717 -0.5445661
9   9  2.143589  1.5990227
10 10 -2.357948 -0.7589250
11 11  2.593742  1.8348175
12 12 -2.853117 -1.0182992
13 13  3.138428  2.1201291
14 14 -3.452271 -1.3321421
15 15  3.797498  2.4653563
16 16 -4.177248 -1.7118919
17 17  4.594973  2.8830811
18 18 -5.054470 -2.1713892
19 19  5.559917  3.3885281
20 20 -6.115909 -2.7273809

Para \(b<-1\), e.g., \(b=-1.1\)

demo_serie3c_oscilante.R

    j        a         s
1   1 1.000000  1.000000
2   2 1.100000  2.100000
3   3 1.210000  3.310000
4   4 1.331000  4.641000
5   5 1.464100  6.105100
6   6 1.610510  7.715610
7   7 1.771561  9.487171
8   8 1.948717 11.435888
9   9 2.143589 13.579477
10 10 2.357948 15.937425
11 11 2.593742 18.531167
12 12 2.853117 21.384284
13 13 3.138428 24.522712
14 14 3.452271 27.974983
15 15 3.797498 31.772482
16 16 4.177248 35.949730
17 17 4.594973 40.544703
18 18 5.054470 45.599173
19 19 5.559917 51.159090
20 20 6.115909 57.274999

Curiosamente, para \(-1 < b < 1, b \ne 0\), as séries se tornam convergentes

Para \(b=-0.75\)

demo_serie3d_oscilante.R

    j           a        s
1   1 1.000000000 1.000000
2   2 0.750000000 1.750000
3   3 0.562500000 2.312500
4   4 0.421875000 2.734375
5   5 0.316406250 3.050781
6   6 0.237304688 3.288086
7   7 0.177978516 3.466064
8   8 0.133483887 3.599548
9   9 0.100112915 3.699661
10 10 0.075084686 3.774746
11 11 0.056313515 3.831059
12 12 0.042235136 3.873295
13 13 0.031676352 3.904971
14 14 0.023757264 3.928728
15 15 0.017817948 3.946546
16 16 0.013363461 3.959910
17 17 0.010022596 3.969932
18 18 0.007516947 3.977449
19 19 0.005637710 3.983087
20 20 0.004228283 3.987315

Para \(b=0.75\)

demo_serie3e_oscilante.R

    j            a         s
1   1  1.000000000 1.0000000
2   2 -0.750000000 0.2500000
3   3  0.562500000 0.8125000
4   4 -0.421875000 0.3906250
5   5  0.316406250 0.7070312
6   6 -0.237304688 0.4697266
7   7  0.177978516 0.6477051
8   8 -0.133483887 0.5142212
9   9  0.100112915 0.6143341
10 10 -0.075084686 0.5392494
11 11  0.056313515 0.5955629
12 12 -0.042235136 0.5533278
13 13  0.031676352 0.5850042
14 14 -0.023757264 0.5612469
15 15  0.017817948 0.5790648
16 16 -0.013363461 0.5657014
17 17  0.010022596 0.5757240
18 18 -0.007516947 0.5682070
19 19  0.005637710 0.5738447
20 20 -0.004228283 0.5696165

As séries das sequências oscilantes \([(-1/2)^n ]=[-1/2,1/4,-1/8,1/16,\dots]\) e \(\left[\dfrac{(-1)^n}{n!}\right]=[-1,1/2,-1/6,1/24,\dots]\) convergem para \(-1/3\) e \(e^{-1}-1=0.6321\dots\), respectivamente.

Note que essas duas sequências convergem oscilantemente para 0.

Sum[(-1/2)^n,{n,1,k}]

Sum[(-1/2)^n,{n,1,Infinity}]

Série obtida com \(a_j = \left (-\dfrac{1}{2} \right ) ^ j\):

demo_serie4.1_oscilante.R

    j             a          s
1   1 -5.000000e-01 -0.5000000
2   2  2.500000e-01 -0.2500000
3   3 -1.250000e-01 -0.3750000
4   4  6.250000e-02 -0.3125000
5   5 -3.125000e-02 -0.3437500
6   6  1.562500e-02 -0.3281250
7   7 -7.812500e-03 -0.3359375
8   8  3.906250e-03 -0.3320312
9   9 -1.953125e-03 -0.3339844
10 10  9.765625e-04 -0.3330078
11 11 -4.882812e-04 -0.3334961
12 12  2.441406e-04 -0.3332520
13 13 -1.220703e-04 -0.3333740
14 14  6.103516e-05 -0.3333130
15 15 -3.051758e-05 -0.3333435
16 16  1.525879e-05 -0.3333282
17 17 -7.629395e-06 -0.3333359
18 18  3.814697e-06 -0.3333321
19 19 -1.907349e-06 -0.3333340
20 20  9.536743e-07 -0.3333330

Sum[((-1)^n)/n!,{n,1,k}]

Sum[((-1)^n)/n!,{n,1,Infinity}]

Série obtida com \(a_j = \dfrac{(-1)^j}{j!}\):

demo_serie4.2_oscilante.R

    j             a          s
1   1 -1.000000e+00 -1.0000000
2   2  5.000000e-01 -0.5000000
3   3 -1.666667e-01 -0.6666667
4   4  4.166667e-02 -0.6250000
5   5 -8.333333e-03 -0.6333333
6   6  1.388889e-03 -0.6319444
7   7 -1.984127e-04 -0.6321429
8   8  2.480159e-05 -0.6321181
9   9 -2.755732e-06 -0.6321208
10 10  2.755732e-07 -0.6321205
11 11 -2.505211e-08 -0.6321206
12 12  2.087676e-09 -0.6321206
13 13 -1.605904e-10 -0.6321206
14 14  1.147075e-11 -0.6321206
15 15 -7.647164e-13 -0.6321206
16 16  4.779477e-14 -0.6321206
17 17 -2.811457e-15 -0.6321206
18 18  1.561921e-16 -0.6321206
19 19 -8.220635e-18 -0.6321206
20 20  4.110318e-19 -0.6321206

absoluta e condicionalmente convergentes

A série convergente oscilantemente é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos de sua sequência é convergente. Caso contrário, a série convergente oscilantemente é condicionalmente convergente.

Por exemplo, a série da sequência \(\left[\dfrac{(-1)^n}{n}\right]=[-1,1/2,-1/3,1/4,-1/5,\dots]\) converge para \(-\ln(2)=-0.69\ldots\).

No entanto, a série da sequência \(\left[\left|\dfrac{(-1)^n}{n}\right|\right]=\left[\dfrac{1}{n}\right]=[1,1/2,1/3,1/4,1/5,\dots]\) é divergente positivamente. Dessa forma, a série da sequência \([(-1)^n/n]\) é convergente condicionalmente.

Gráfico de \(a_j\) e \(|a_j|\) da série condicionalmente convergente \(a_j = \dfrac{(-1)^j}{j}\):

demo_serie5.1_cond.convergente.R

    j           a          s      a.abs    s.abs
1   1 -1.00000000 -1.0000000 1.00000000 1.000000
2   2  0.50000000 -0.5000000 0.50000000 1.500000
3   3 -0.33333333 -0.8333333 0.33333333 1.833333
4   4  0.25000000 -0.5833333 0.25000000 2.083333
5   5 -0.20000000 -0.7833333 0.20000000 2.283333
6   6  0.16666667 -0.6166667 0.16666667 2.450000
7   7 -0.14285714 -0.7595238 0.14285714 2.592857
8   8  0.12500000 -0.6345238 0.12500000 2.717857
9   9 -0.11111111 -0.7456349 0.11111111 2.828968
10 10  0.10000000 -0.6456349 0.10000000 2.928968
11 11 -0.09090909 -0.7365440 0.09090909 3.019877
12 12  0.08333333 -0.6532107 0.08333333 3.103211
13 13 -0.07692308 -0.7301338 0.07692308 3.180134
14 14  0.07142857 -0.6587052 0.07142857 3.251562
15 15 -0.06666667 -0.7253719 0.06666667 3.318229
16 16  0.06250000 -0.6628719 0.06250000 3.380729
17 17 -0.05882353 -0.7216954 0.05882353 3.439553
18 18  0.05555556 -0.6661398 0.05555556 3.495108
19 19 -0.05263158 -0.7187714 0.05263158 3.547740
20 20  0.05000000 -0.6687714 0.05000000 3.597740

Um exemplo de série convergente absolutamente é a série da sequência \([(-1/2)^n ]\), pois sua série converge para \(-1/3\) e a série da sequência \(\left[|((-1)/2)^n|\right]=[1/2^n]\) converge para 1.

Gráfico de \(a_j\) e \(|a_j|\) da série absolutamente convergente \(a_j = \left( -\dfrac{1}{2} \right)^n\):

demo_serie5.2_abs.convergente.R

    j             a          s        a.abs     s.abs
1   1 -5.000000e-01 -0.5000000 5.000000e-01 0.5000000
2   2  2.500000e-01 -0.2500000 2.500000e-01 0.7500000
3   3 -1.250000e-01 -0.3750000 1.250000e-01 0.8750000
4   4  6.250000e-02 -0.3125000 6.250000e-02 0.9375000
5   5 -3.125000e-02 -0.3437500 3.125000e-02 0.9687500
6   6  1.562500e-02 -0.3281250 1.562500e-02 0.9843750
7   7 -7.812500e-03 -0.3359375 7.812500e-03 0.9921875
8   8  3.906250e-03 -0.3320312 3.906250e-03 0.9960938
9   9 -1.953125e-03 -0.3339844 1.953125e-03 0.9980469
10 10  9.765625e-04 -0.3330078 9.765625e-04 0.9990234
11 11 -4.882812e-04 -0.3334961 4.882812e-04 0.9995117
12 12  2.441406e-04 -0.3332520 2.441406e-04 0.9997559
13 13 -1.220703e-04 -0.3333740 1.220703e-04 0.9998779
14 14  6.103516e-05 -0.3333130 6.103516e-05 0.9999390
15 15 -3.051758e-05 -0.3333435 3.051758e-05 0.9999695
16 16  1.525879e-05 -0.3333282 1.525879e-05 0.9999847
17 17 -7.629395e-06 -0.3333359 7.629395e-06 0.9999924
18 18  3.814697e-06 -0.3333321 3.814697e-06 0.9999962
19 19 -1.907349e-06 -0.3333340 1.907349e-06 0.9999981
20 20  9.536743e-07 -0.3333330 9.536743e-07 0.9999990

resumo

Considere as seguintes sequências:

\(a = [a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7, a_8, a_9, \dots]\)

\(b = [b_1, b_2, b_3, b_4, b_5, b_6, b_7, b_8, b_9, \dots]\)

sendo \(b_1 = (a_1+a_2), \;b_2 = (a_3+a_4), \;\dots\)

\(c = [c_1, c_2, c_3, c_4, c_5, c_6, c_7, c_8, \dots]\)

sendo \(c_1 = (a_1+a_2+a_3), c_2 = (a_4+a_5+a_6), \;\dots\)

\(d = [d_1, d_2, d_3, d_4, d_5, d_6, d_7, d_8, \dots]\)

sendo \(d_1 = (a_1+a_2), \; d_2 = (a_4+a_5+a_6), \;d_3 = (a_7), \;d_4=(a_8+a_9), \;\dots\)

Repare que criamos novas sequências colocando parênteses para agrupar os elementos de \(a\) seguindo diferentes padrões ou mesmo sem um padrão previsível. Então:

• se a série é convergente, é permitido colocar parênteses a vontade que a nova série permanece sendo convergente para o mesmo valor.

• se a série é divergente, a colocação de parênteses pode transformá-la em convergente.

• a remoção de parênteses na série convergente pode produzir uma série divergente.

E.g., a seguinte sequência \(a\) é convergente para \(0\) e a série \(s\) para \(0.\bar{4}\).

As sequências \(b\) e \(c\) formam seus elementos agrupando \(a\), respectivamente, de 2 em 2 e de 3 em 3.

Observa-se:

demo_parenteses.R

 Após 120 passos:
    - a converge para 0
    - s(a) converge para -0.44444
 Após 60 passos:
    - b converge para 0
    - s(b) converge para -0.44444
 Após 40 passos:
    - c converge para 0
    - s(c) converge para -0.44444

Série de Grandi

A série \(\pm 1 \mp 1 \pm 1 \mp 1 \pm \cdots\) é conhecida como a série de Grandi.

1 - 1 + 1 - 1 + ...

- 1 + 1 - 1 + 1 - ...

• +1−1+1−1+... Explained in 5 Levels from Algebra to Math Major: YouTube

Séries Especiais

Série geométrica

\[ \begin{align} a_n&=a_{0}q^n\\ s_n&=a_{0}\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}, \; q\ne1 \end{align} \]

Se \(|q|<1\), então:

\[ \lim_{n\to\infty}s_n=\dfrac{a_{0}}{1-q} \]

Exemplo: \(0.\bar{9}=1\)?

\[ \begin{align} 0.\bar{9}&=0.999\cdots\\ 0.\bar{9}&=\dfrac{9}{10}+\dfrac{9}{100}+\dfrac{9}{1000}+\cdots\\ s_n&=\sum_{i=1}^{n}{\dfrac{9}{10^{i}}}\\ \lim_{n\to\infty}s_n&=\dfrac{\dfrac{9}{10}}{1-\dfrac{1}{10}}=1 \end{align} \]

0.9... = 1

demo_serie09over10.R

    j     a                 s
1   1 9e-01 0.900000000000000
2   2 9e-02 0.990000000000000
3   3 9e-03 0.999000000000000
4   4 9e-04 0.999900000000000
5   5 9e-05 0.999990000000000
6   6 9e-06 0.999999000000000
7   7 9e-07 0.999999900000000
8   8 9e-08 0.999999990000000
9   9 9e-09 0.999999999000000
10 10 9e-10 0.999999999900000
11 11 9e-11 0.999999999990000
12 12 9e-12 0.999999999999000
13 13 9e-13 0.999999999999900
14 14 9e-14 0.999999999999990
15 15 9e-15 0.999999999999999
16 16 9e-16 1.000000000000000
17 17 9e-17 1.000000000000000
18 18 9e-18 1.000000000000000
19 19 9e-19 1.000000000000000
20 20 9e-20 1.000000000000000

Equação de recorrência linear

Linear Recurrence Equation

Common linear recurrence equations and the corresponding solutions.

a(n+1)-a(n-1)=a(n), a(1)=1, a(2)=1

Table[Fibonacci[n], {n, 20}]

Fibonacci Number

Sequência de Fibonacci e o Número de Ouro:

demo_Fibonacci.R

Variante, sequência de Lucas:

a(n+1)-a(n-1)=a(n), a(1)=1, a(2)=3

Table[LucasL[n], {n, 20}]

Lucas Number

demo_Lucas.R

Equação de recorrência quadrática

Quadratic recurrence equation

1. \(\sqrt{1}, \;\sqrt{1 + \sqrt{1}}, \;\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1}}}, \;\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1}}}}, \;\dots\)

\[ \begin{align} x&=\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \cdots}}} \\ x&=\sqrt{1+x} \end{align} \]

(1+x)^0.5=x

O limite (ponto fixo) da sequência \(a_n^2=1-a_{n-1}\) é o número de ouro \(\phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\approx1.618\).

1^0.5, (1+1^0.5)^0.5, (1+(1+1^0.5)^0.5)^0.5, (1+(1+(1+1^0.5)^0.5)^0.5)^0.5, ...

a(n)^2=1-a(n-1), a(1)=1, a(2)=(1+1^0.5)^0.5

2. \(\sqrt{2}, \;\sqrt{2 + \sqrt{2}}, \;\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}, \;\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}, \;\dots\)

\[ \begin{align} x&=\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots}}} \\ x&=\sqrt{2+x} \end{align} \]

(2+x)^0.5=x

O limite (ponto fixo) da sequência \(a_n^2=2+a_{n-1}\) é 2.

2^0.5, (2+2^0.5)^0.5, (2+(2+2^0.5)^0.5)^0.5, (2+(2+(2+2^0.5)^0.5)^0.5)^0.5, ...

a(n)^2=2+a(n-1), a(1)=2^0.5, a(2)=(2+2^0.5)^0.5

Sequência sem fórmula de recorrência e sem solução exata

\[ \begin{align} y&=\cos(\cos(\cos(\cdots(x)))) \\ y&=\cos(y) \end{align} \]

cos(y)=y

O valor do ponto fixo de \(\cos(y)=y\) é \(x\approx0.7391\dots\).

cos(1), cos(cos(1)), cos(cos(cos(1))), cos(cos(cos(cos(1)))), cos(cos(cos(cos(cos(1))))), ...

cos(0), cos(cos(0)), cos(cos(cos(0))), cos(cos(cos(cos(0)))), cos(cos(cos(cos(cos(0))))), ...

Limite

• Convergent series: Wikipedia
• Limite: Wikipedia

A definição de limite usa tradicionalmente a letra grega épsilon, i.e., \(\epsilon\). O épsilon é um número real estritamente positivo e costuma-se atribuir valores muito menores do que 1 a ele, isto é, \(\epsilon \in \mathbb{R^{*}_{+}}\) e \(\epsilon \ll 1\) (o símbolo \(\ll\) significa muito menor). O épsilon é um ente dinâmico que tende para zero denotado por \(ε\to 0\). Tender significa aproximar-se cada vez mais de 0 e não ser 0.

A sequência \([a_n]\) tem limite \(L\) se é possível obter um número inteiro positivo \(N\) tal que \(-\epsilon<a_n-L<\epsilon\) para \(n>N\) qualquer que seja \(\epsilon\). Neste caso, indica-se \(\lim_{n\to \infty} a_n=L\) e diz-se que a sequência converge para \(L\). Se o limite existe, ele é único.

Note que a existência do limite \(L\) depende do “enssanduichamento” de \(a_n\) na expressão \(-\epsilon<a_{N+1}-L<\epsilon\).

Considere, por exemplo, a sequência \(\left[\dfrac{1}{2^n}\right]=[1/2,1/4,1/8,1/16,\dots]\). O termo geral \(1/2^n\) converge para 0, i.e., 0 é o valor limite de \(1/2^n\) quando \(n\) tende para infinito. O número \(n\) tender ao infinito significa que ele é tão grande quanto se queira. Matematicamente, tem-se que \(\lim_{n\to \infty} \dfrac{1}{2^n}=0\).

A seguir é mostrado que a sequência converge para 0.

\[ -\epsilon<a_n-L<\epsilon \\ L-\epsilon<a_n<L+\epsilon \\ 0-\epsilon<\dfrac{1}{2^n} <0+\epsilon \\ -\epsilon<\dfrac{1}{2^n} <\epsilon \\ 0<\dfrac{1}{2^n} <\epsilon \\ 2^n>1/\epsilon \\ n>\log_2 \left(\dfrac{1}{\epsilon}\right) \]

Por exemplo, se \(\epsilon=1/1000\), então \(\log_2 (1/\epsilon)=\log_2 1000=0.96\dots\). Tem-se que \(n>9.96\dots\), i.e., \(N=10\). Se \(\epsilon=1/10000\), então \(\log_2 (1/\epsilon)=\log_2 10000=13.28\dots\). Tem-se que \(n>13.28\dots\), i.e., \(N=14\). Dessa forma, quanto menor \(\epsilon\), maior \(N\). Note que essa relação é esperada. Como existe \(N\) para cada \(\epsilon\) fixado, então o limite é 0. Como o limite é 0, então a sequência converge para 0.

As seguintes expressões de limite são equivalentes:

\[ \lim_{n\to \infty}{a_n}=0 \\ a_n\to 0 \]

Limit 1/(2^n) as n -> infinity

Um exemplo importante de sequência convergente é dado a seguir.

A sequência \([a^n]\), sendo que \(-1<a<1\), converge para 0, i.e., \(\lim_{n\to\infty}{a^n}=0\).

A série \([s_n ]\) é dita ser convergente para o número \(s_\infty\) se \(\lim_{n\to\infty}{s_n}=s_{\infty}\).

E.g., a série \(\left[1-\dfrac{1}{2^n}\right]\), oriunda da sequência \(\left[\dfrac{1}{2^n}\right]\), tem limite igual a 1, i.e., \(\lim_{n\to\infty}{\left(1-\dfrac{1}{2^n}\right)}=1\). Então, diz-se que a série converge para 1.

Limit 1-1/(2^n) as n -> infinity

Se a série é convergente, então o termo geral da sequência converge para 0. No entanto, se o termo geral da sequência converge para 0, não implica a convergência da série. Por exemplo, a sequência \(\left[\dfrac{1}{n}\right]\) converge para 0. No entanto, a série é divergente positivamente.

Considere \(\lim_{n\to\infty}{a_n}=A\) e \(\lim_{n\to\infty}{b_n}=B\). As propriedades do limite são as seguintes:

1. \(\lim_{n\to\infty} c=c\)
2. \(\lim_{n\to\infty} a_{n+k}=\lim_{n\to\infty} a_n=A\), \(k\in \mathbb{Z}\)
3. \(\lim_{n\to\infty} ca_n=c \lim_{n\to\infty} a_n=cA\)
4. \(\lim_{n\to\infty} (a_n\pm b_n )=\lim_{n\to\infty} a_n\pm \lim_{n\to\infty} b_n=A±B\)
5. \(\lim_{n\to\infty} (a_n\times b_n )=\lim_{n\to\infty} a_n\times \lim_{n\to\infty} b_n=A×B\)
6. \(\lim_{n\to\infty} a_n/b_n =(\lim_{n\to\infty} a_n)/(\lim_{n\to\infty} b_n )=A/B\)
7. \(\lim_{n\to\infty} (a_n )^k=(\lim_{n\to\infty} a_n )^k=A^k\), \(k\in \mathbb{N^{*}}\)
8. \(\lim_{n\to\infty} \sqrt[k]{a_n}=\sqrt[k]{\lim_{n\to\infty} a_n}=\sqrt[k]{A}\), \(k\in \mathbb{N^{*}}\)

A seguir são mostrados os limites das sequências e de suas respectivas séries usadas ao longo do capítulo.

1. \(a_n=n\):

• \(\lim_{n\to\infty} n=\infty\)

2. \(s_n=(n/2)(1+n)\):

• \(\lim_{n\to\infty} (n/2)(1+n)=(\lim_{n\to\infty} n/2)(\lim_{n\to\infty} (1+n))= \\ =((\lim_{n\to\infty} n)/2)(1+\lim_{n\to\infty} n)=(\infty/2) \times (1+\infty)=\infty\)

limit n as n->infinity

sum n

1. \(a_n=1/2^n\)

• \(\lim_{n\to\infty} 1/2^n =1/\lim_{n\to\infty} 2^n=1/\infty=0\)

2. \(s_n=1-1/2^n\)

• \(\lim_{n\to\infty} (1-1/2^n)=1-\lim_{n\to\infty} 1/2^n=1-0=1\)

1/2^n

limit 1/2^n as n->infinity

sum 1/2^n

1. \(a_n=1/n\)

• \(\lim_{n\to\infty} 1/n=0\)

2. \(s_n=\sum_{j=1}^n 1/j\)

• \(\lim_{n\to\infty} \sum_{j=1}^n 1/j=?\)

1/n

limit 1/n as n->infinity

sum 1/n

1. \(a_n=(-1)^n\)

• \(\lim_{n\to\infty} (-1)^n= \text{indeterminado}\), pois é 1, se n par, e -1, se n ímpar

2. \(s_n=\sum_{j=1}^n (-1)^j\)

• \(\lim_{n\to\infty} (\sum_{j=1}^n (-1)^j )=\text{indeterminado}\)

(-1)^n

limit (-1)^n as n->infinity

sum (-1)^n

1. \(a_n=(-1)^{n-1}(n+1)/n\)

• \(\lim_{n\to\infty} (-1)^{n-1} (n+1)/n=\\ =(\lim_{n\to\infty} (-1)^{n-1} )(\lim_{n\to\infty} (n+1)/n)=\\ =(\lim_{n\to\infty} (-1)^{n-1} )(1+\lim_{n\to\infty} 1/n)=\\ =\lim_{n\to\infty} (-1)^{n-1}=\text{indeterminado}\)

2. \(s_n=\sum_{j=1}^n (-1)^{j-1} (j+1)/j\)

• \(\lim_{n\to\infty} \sum_{j=1}^n (-1)^{j-1} (j+1)/j=\\ =\lim_{n\to\infty}\sum_{j=1}^n (-1)^{j-1}(1+\lim_{n\to\infty} (\sum_{j=1}^n 1/j))=\text{indeterminado}\)

(-1)^(n-1)(n+1)/n

limit (-1)^(n-1)(n+1)/n as n->infinity

sum (-1)^(n-1)(n+1)/n

1. \(a_n=(-1)^n/2^n\)

• \(\lim_{n\to\infty} (-1)^n/2^n= \lim_{n\to\infty} (-1)^n /\lim_{n\to\infty} 2^n=\\ =\lim_{n\to\infty} (-1)^n/\infty=0\)

2. \(s_n=((-1/2)^n-1)/3\)

• \(\lim_{n\to\infty} ((-1/2)^n-1)/3=(\lim_{n\to\infty} (-1)^n/\lim_{n\to\infty} 2^n-1)/3=\\=(\lim_{n\to\infty} (-1)^n/\infty-1)/3=-1/3\)

(-1)^n/2^n

limit (-1)^n/2^n as n->infinity

sum (-1)^n/2^n

1. \(a_n=1/(n(n+1))\)

• \(\lim_{n\to\infty} 1/(n(n+1))=1/(\lim_{n\to\infty} n(n+1) )=1/\infty=0\)

2. \(s_n=1-1/(1+n)\)

• \(\lim_{n\to\infty} (1-1/(1+n))=1-\lim_{n\to\infty} 1/(1+n) =1-0=1\)

1/(n(n+1))

limit 1/(n(n+1)) as n->infinity

sum 1/(n(n+1))

1. \(a_n=1/((n+a)(n+1+a))\)

• \(\lim_{n\to\infty} 1/((n+a)(n+1+a))=1/\lim_{n\to\infty} ((n+a)(n+1+a))=0\)

2. \(s_n=n/((1+a)(n+1+a))\)

• \(\lim_{n\to \infty} n/((1+a)(n+1+a))=\\=(\lim_{n\to\infty} n/(n+1+a))/(1+a)=1/(1+a)\)

1/((n+a)(n+1+a))

limit 1/((n+a)(n+1+a)) as n->infinity

sum 1/((n+a)(n+1+a))

Propriedades

A série que tem a propriedade comutativa, isto é, seus termos podem ser alterados de posição sem que a soma se altere, é chamada de convergente incondicionadamente.

Em geral a propriedade comutativa não é válida nas séries.

A série de termos positivos tem a propriedade comutativa e associativa, isto é, a alteração da ordem dos termos ou a inclusão ou supressão de parênteses não altera a sua soma. Em outras palavras, a série de termos positivos conserva as propriedades comutativa e associativa no cálculo do limite.

A série convergente de termos reais permite a colocação de parênteses como se quiser sem que a soma seja alterada. No entanto, os parênteses podem ser suprimidos desde que a nova série obtida seja convergente. Se isso ocorrer, então a eliminação de parênteses ocorre sem alteração da soma.

A série absolutamente convergente tem a propriedade comutativa, isto é, a série absolutamente convergente é convergente incondicionadamente.

A soma de duas séries convergentes resulta uma série convergente cuja soma é a soma dos limites das duas, isto é, se a primeira série converge para \(A\) e a segunda para \(B\), a soma das séries converge para \(A+B\).

Se as séries \(a\) e \(b\) convergem para \(A\) e \(B\), respectivamente, e pelo menos uma delas é convergente absolutamente, o produto de Cauchy produto de Cauchy (convolução discreta) converge para \(AB\) (teorema de Mertens).

Limites Especiais

\[ \Large \lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=e\approx2.7182 \]

Fig. 8.6. O comportamento de y = 1/x quando x se aproxima de zero pela direita e pela esquerda. Os eixos x e y são assíntotas da hipérbole.

limit (1+1/n)^n as n->infinity

\[ \Large \lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x}=0 \]

limit 1/x as x -> 0

\[ \Large \lim_{x\to0}\dfrac{1}{x}=\text{inexistente} \]

limit 1/x as x -> infinity

\[ \Large \lim_{x\to0}\dfrac{\sin(x)}{x}=1 \]

limit sin(x)/x as x -> 0

\[ \Large \lim_{x\to 0}\dfrac{\tan(x)}{x}=1 \]

limit tan(x)/x as x -> 0

Exemplo: SoLua

The Sun and the Moon

• Tamanho aparente dos astros

O tamanho aparente dos astros é a sensação de tamanho maior ou menor que temos ao observamos um astro no céu.

A figura a seguir ilustra um observador que olha para a Lua.

O tamanho aparente da Lua dependerá do ângulo de abertura do cone de luz que vai da Lua aos olhos do observador. Em geometria básica, utilizando o raio do astro e a distância até o observador, construímos um triângulo retângulo como mostra a imagem a seguir:

Se tomarmos a mediatriz do ângulo θ teremos um triângulo retângulo com um ângulo θ/2 onde o cateto adjacente é a distância d do observador ao Sol e o cateto oposto é R, o próprio raio lunar. Podemos escrever a expressão da tangente de θ/2 como “cateto oposto dividido pelo cateto adjacente”, ou seja:

\[ \tan\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{R}{d} \]

Sabendo que a Lua está a uma distância aproximada de d = 3.84 x 10⁵ km da Terra e tem um raio aproximado R = 1.74 x 10³ km (portanto, o diâmetro é D = 3.48 x 10³ km), podemos concluir que:

\[ \tan\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{D/2}{d}=\dfrac{1.74\times10^3}{3.84\times10^5} \]

Se

\[ \lim_{\dfrac{\theta}{2}\to0}\dfrac{\tan\left(\dfrac{\theta}{2}\right)}{\dfrac{\theta}{2}}=1 \]

Então

\[ \tan\left(\dfrac{\theta}{2}\right)\approx\dfrac{\theta}{2} \]

Portanto

\[ \begin{align} \dfrac{\theta}{2}&\approx\dfrac{D/2}{d}\\ \theta&\approx\dfrac{D}{d}\\ &=\dfrac{3.48\times10^3}{3.84\times10^5}\\ &=0.0090625 \;\text{radiano}\\ \theta&=0.52 \; \text{grau} \end{align} \]

convert 0.0090625 to degrees

A Lua tem cerca de 0.52 grau (aproximadamente meio grau) de tamanho angular aparente.

Se fizermos esse cálculo para o Sol, observaremos que o valor será o mesmo (coincidência ou capricho cósmico?), por isso em um eclipse solar total a Lua obstrui o Sol, pois embora tenham tamanhos reais diferentes, as distâncias também diferentes fazem com que tenham o tamanho aparente semelhante.

O disco solar é cerca de 400 vezes maior que o disco lunar. Em compensação, a Lua está cerca de 400 vezes mais perto da Terra do que o Sol. A órbita da Lua ao redor da Terra é elíptica, assim como a órbita da Terra ao redor do Sol, portanto as distâncias variam na prática. Para o cálculo foi utilizado as métricas aproximadas, assumindo valores constantes. Isso explica porque Sol e Lua têm o mesmo tamanho aparente de cerca de meio grau no céu.

Sabendo que a distância até o Sol é cerca de d = 1.50 x 10⁸ km da Terra e tem um raio da ordem de R = 6.96 x 10⁵ km, aplicando na equação anterior temos:

\[ \theta\approx\dfrac{D}{d}=\dfrac{13.92\times10^5}{1.50\times10^8}=0.00928 \;\text{radiano}=0.53 \; \text{grau} \]

Portanto, o Sol tem praticamente o mesmo tamanho angular aparente que a Lua!

Limite de Função

Na Fig. 8.7, os pontos \(x_2\) e \(x_3\) não têm limites único e finito, respectivamente.

Fig. 8.7. O gráfico de uma função com dois pontos de descontinuidade (x₂ e x₃).

Fig. 8.8. Exemplo de uma função degrau: o número N de gatos em uma casa. A função tem um salto a cada instante em que ocorre o nascimento ou a morte.

Assíntota

“Em funções de crescimento que apresentam uma assíntota horizontal superior à curva, frequentemente surge a questão sobre quando se pode considerar o crescimento como praticamente constante, isto é, quando a curva está suficientemente próxima à sua assíntota, de modo que se possa declarar a diferença como sendo não-significativa. Vários métodos têm sido empregados, entre eles o que verifica através do teste t a significância da diferença entre a curva e sua assíntota. O uso de regressão segmentada, como em Portz et al. (2000), também tem esse objetivo, isto é, a determinação de um ponto de início de crescimento praticamente constante. Utilizou-se a função logística de crescimento, a qual possui assíntota horizontal e ponto de inflexão, e aplicou-se um novo método, que consiste na determinação matemática de um ponto da curva a partir do qual a aceleração do crescimento tende assintoticamente a zero. Este método, além de ter um significado biológico, conduz a um ponto bastante próximo aos obtidos pelos métodos anteriormente citados.”

Mischan et al., 2011, p. 109

Fig. 8.5. Gráficos de várias funções que atingem o eixo x assintoticamente. Os gráficos de y = 1/x e y = 1/x² são chamados de hipérboles.

asymptote (1/2)^x

asymptote 1/x^2

asymptote 1/x

Fig. 8.6. O comportamento de y = 1/x quando x se aproxima de zero pela direita e pela esquerda. Os eixos x e y são assíntotas da hipérbole.

asymptote x/(1-x^2)

asymptotes (x^2+1)/(x-1)

asymptote log(x)

• log(x)
• limit log(x) as x->infinity

asymptote sin(x)

asymptote (1+x^2+x^3)/x

Sequência em R

seq(3) 

[1] 1 2 3

# 1 2 3
seq(from=3)

[1] 1 2 3

# 1 2 3
seq(length.out=3)

[1] 1 2 3

# 1 2 3
seq(from=-3, to=3) 

[1] -3 -2 -1  0  1  2  3

# -3 -2 -1  0  1  2  3
seq(from=-2, to=2, by=0.5)

[1] -2.0 -1.5 -1.0 -0.5  0.0  0.5  1.0  1.5  2.0

# -2.0 -1.5 -1.0 -0.5  0.0  0.5  1.0  1.5  2.0
seq(from=-10, to=10, along=1:5)

[1] -10  -5   0   5  10

# -10  -5   0   5  10
seq(from=-10, to=10, along=1:9)

[1] -10.0  -7.5  -5.0  -2.5   0.0   2.5   5.0   7.5  10.0

# -10.0  -7.5  -5.0  -2.5   0.0   2.5   5.0   7.5  10.0
seq(from=0, to=1, length.out=6)

[1] 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

# 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

# geometric progression
2^seq(from=0, to=5, by=1)

[1]  1  2  4  8 16 32

# 1  2  4  8 16 32
geomSeries <- function(base, max){
  base^(0:floor(log(max, base)))
}
geomSeries(base=2, max=50)

[1]  1  2  4  8 16 32

# 1  2  4  8 16 32
geomSeq <- function(start,ratio,begin,end){
  begin<-begin-1
  end<-end-1
  start*ratio**(begin:end)
}
geomSeq(1, 2, 1, 6)

[1]  1  2  4  8 16 32

# 1  2  4  8 16 32
geomSeq(1, 2, 3, 6)

[1]  4  8 16 32

# 4  8 16 32

# first day of year series
seq(as.Date("2018/1/1"), as.Date("2021/1/1"), by="years")

[1] "2018-01-01" "2019-01-01" "2020-01-01" "2021-01-01"

# "2018-01-01" "2019-01-01" "2020-01-01" "2021-01-01"

# month series
seq(as.Date("2000/1/1"), by="month", length=12)

 [1] "2000-01-01" "2000-02-01" "2000-03-01" "2000-04-01" "2000-05-01"
 [6] "2000-06-01" "2000-07-01" "2000-08-01" "2000-09-01" "2000-10-01"
[11] "2000-11-01" "2000-12-01"

# [1] "2000-01-01" "2000-02-01" "2000-03-01" "2000-04-01"
# [5] "2000-05-01" "2000-06-01" "2000-07-01" "2000-08-01"
# [9] "2000-09-01" "2000-10-01" "2000-11-01" "2000-12-01"

# quarter series
seq(as.Date("2000/1/1"), as.Date("2001/1/1"), by="3 months")

[1] "2000-01-01" "2000-04-01" "2000-07-01" "2000-10-01" "2001-01-01"

# [1] "2000-01-01" "2000-04-01" "2000-07-01" "2000-10-01"
# [5] "2001-01-01"

# week series
seq(as.Date("2001/1/1"), as.Date("2001/3/1"), by="weeks")

[1] "2001-01-01" "2001-01-08" "2001-01-15" "2001-01-22" "2001-01-29"
[6] "2001-02-05" "2001-02-12" "2001-02-19" "2001-02-26"

# [1] "2001-01-01" "2001-01-08" "2001-01-15" "2001-01-22"
# [5] "2001-01-29" "2001-02-05" "2001-02-12" "2001-02-19"
# [9] "2001-02-26"

# day series
seq(as.Date("2001/1/1"), as.Date("2001/1/31"), by="days")

 [1] "2001-01-01" "2001-01-02" "2001-01-03" "2001-01-04" "2001-01-05"
 [6] "2001-01-06" "2001-01-07" "2001-01-08" "2001-01-09" "2001-01-10"
[11] "2001-01-11" "2001-01-12" "2001-01-13" "2001-01-14" "2001-01-15"
[16] "2001-01-16" "2001-01-17" "2001-01-18" "2001-01-19" "2001-01-20"
[21] "2001-01-21" "2001-01-22" "2001-01-23" "2001-01-24" "2001-01-25"
[26] "2001-01-26" "2001-01-27" "2001-01-28" "2001-01-29" "2001-01-30"
[31] "2001-01-31"

# [1] "2001-01-01" "2001-01-02" "2001-01-03" "2001-01-04"
# [5] "2001-01-05" "2001-01-06" "2001-01-07" "2001-01-08"
# [9] "2001-01-09" "2001-01-10" "2001-01-11" "2001-01-12"
# [13] "2001-01-13" "2001-01-14" "2001-01-15" "2001-01-16"
# [17] "2001-01-17" "2001-01-18" "2001-01-19" "2001-01-20"
# [21] "2001-01-21" "2001-01-22" "2001-01-23" "2001-01-24"
# [25] "2001-01-25" "2001-01-26" "2001-01-27" "2001-01-28"
# [29] "2001-01-29" "2001-01-30" "2001-01-31"

# first four months
cat(month.name[1:4], sep=" ")

January February March April

# January February March April

# first four months
cat(month.name[1:4], sep="-")

January-February-March-April

# January-February-March-April

# first four months
cat(month.name[1:4], sep=" ")

January February March April

# JanuaryFebruaryMarchApril

cat("Statistics", "in R") # Statistics in R

Statistics in R

cat("Statistics", "in R", file="output.txt")

outer(month.abb, 1999:2003, FUN="paste")

      [,1]       [,2]       [,3]       [,4]       [,5]      
 [1,] "Jan 1999" "Jan 2000" "Jan 2001" "Jan 2002" "Jan 2003"
 [2,] "Feb 1999" "Feb 2000" "Feb 2001" "Feb 2002" "Feb 2003"
 [3,] "Mar 1999" "Mar 2000" "Mar 2001" "Mar 2002" "Mar 2003"
 [4,] "Apr 1999" "Apr 2000" "Apr 2001" "Apr 2002" "Apr 2003"
 [5,] "May 1999" "May 2000" "May 2001" "May 2002" "May 2003"
 [6,] "Jun 1999" "Jun 2000" "Jun 2001" "Jun 2002" "Jun 2003"
 [7,] "Jul 1999" "Jul 2000" "Jul 2001" "Jul 2002" "Jul 2003"
 [8,] "Aug 1999" "Aug 2000" "Aug 2001" "Aug 2002" "Aug 2003"
 [9,] "Sep 1999" "Sep 2000" "Sep 2001" "Sep 2002" "Sep 2003"
[10,] "Oct 1999" "Oct 2000" "Oct 2001" "Oct 2002" "Oct 2003"
[11,] "Nov 1999" "Nov 2000" "Nov 2001" "Nov 2002" "Nov 2003"
[12,] "Dec 1999" "Dec 2000" "Dec 2001" "Dec 2002" "Dec 2003"

rep(x=1, times=2)

[1] 1 1

# 1 1 
rep(x=c(4, 3), times=2)

[1] 4 3 4 3

# 4 3 4 3
rep(x=c(4, 3), times=c(2,5))

[1] 4 4 3 3 3 3 3

# 4 4 3 3 3 3 3
rep(x=c(4, 3), each=2)

[1] 4 4 3 3

# 4 4 3 3

rep(x="a", times=2)

[1] "a" "a"

# "a" "a" 
rep(x=c("a", "b"), times=2)

[1] "a" "b" "a" "b"

# "a" "b" "a" "b"
rep(x=c("a", "b"), times=c(2,5))

[1] "a" "a" "b" "b" "b" "b" "b"

# "a" "a" "b" "b" "b" "b" "b"
rep(x=c("a", "b"), each=2)

[1] "a" "a" "b" "b"

# "a" "a" "b" "b"

paste(1:6) 

[1] "1" "2" "3" "4" "5" "6"

# "1" "2" "3" "4" "5" "6"
paste(1:5, c("st", "nd", "rd", rep("th", 2)))

[1] "1 st" "2 nd" "3 rd" "4 th" "5 th"

# "1 st" "2 nd" "3 rd" "4 th" "5 th"
paste0(1:5, c("st", "nd", "rd", rep("th", 2)))

[1] "1st" "2nd" "3rd" "4th" "5th"

# "1st" "2nd" "3rd" "4th" "5th"
paste0(1:5, c("st", "nd", "rd", rep("th", 2)),
       collapse=", ")

[1] "1st, 2nd, 3rd, 4th, 5th"

# "1st, 2nd, 3rd, 4th, 5th"
paste("Q", 1:6, sep="")

[1] "Q1" "Q2" "Q3" "Q4" "Q5" "Q6"

# "Q1" "Q2" "Q3" "Q4" "Q5" "Q6"
paste0("Q", 1:6)

[1] "Q1" "Q2" "Q3" "Q4" "Q5" "Q6"

# "Q1" "Q2" "Q3" "Q4" "Q5" "Q6"
paste("Today is", date())

[1] "Today is Sun Aug 17 20:13:30 2025"

# "Today is Mon Nov 08 18:27:11 2021"
paste0("Today is ", date())

[1] "Today is Sun Aug 17 20:13:30 2025"

# "Today is Mon Nov 08 18:27:11 2021"
paste0("Q", 1:6, collapse="+")

[1] "Q1+Q2+Q3+Q4+Q5+Q6"

paste0("F~",paste0("Q", 1:6, collapse="+"))

[1] "F~Q1+Q2+Q3+Q4+Q5+Q6"

paste0("F~",paste0("Q", 1:6, collapse="+"), "\n",
       "G~",paste0("Q", 7:9, collapse="+"))

[1] "F~Q1+Q2+Q3+Q4+Q5+Q6\nG~Q7+Q8+Q9"

n <- 1e6
z <- stats::rnorm(n)
table(cut(z, breaks=-6:6))

(-6,-5] (-5,-4] (-4,-3] (-3,-2] (-2,-1]  (-1,0]   (0,1]   (1,2]   (2,3]   (3,4] 
      0      24    1320   21369  136127  340534  342279  135550   21376    1396 
  (4,5]   (5,6] 
     25       0 

table(cut(z, breaks=-6:6))/n

 (-6,-5]  (-5,-4]  (-4,-3]  (-3,-2]  (-2,-1]   (-1,0]    (0,1]    (1,2] 
0.000000 0.000024 0.001320 0.021369 0.136127 0.340534 0.342279 0.135550 
   (2,3]    (3,4]    (4,5]    (5,6] 
0.021376 0.001396 0.000025 0.000000 

aaa <- c(1,2,3,4,5,2,3,4,5,6,7)
cut(aaa, 3)

 [1] (0.994,3] (0.994,3] (0.994,3] (3,5]     (3,5]     (0.994,3] (0.994,3]
 [8] (3,5]     (3,5]     (5,7.01]  (5,7.01] 
Levels: (0.994,3] (3,5] (5,7.01]

cut(aaa, 3, dig.lab = 3, ordered_result = TRUE)

 [1] (0.994,3] (0.994,3] (0.994,3] (3,5]     (3,5]     (0.994,3] (0.994,3]
 [8] (3,5]     (3,5]     (5,7.01]  (5,7.01] 
Levels: (0.994,3] < (3,5] < (5,7.01]

## one way to extract the breakpoints
labs <- levels(cut(aaa, 3))
cbind(lower = as.numeric( sub("\\((.+),.*", "\\1", labs) ),
      upper = as.numeric( sub("[^,]*,([^]]*)\\]", "\\1", labs) ))

     lower upper
[1,] 0.994  3.00
[2,] 3.000  5.00
[3,] 5.000  7.01

## First control, then treatment:
gl(n=2, k=4, labels=c("Control", "Treat"))

[1] Control Control Control Control Treat   Treat   Treat   Treat  
Levels: Control Treat

# [1] Control Control Control Control Treat   Treat  
# [7] Treat   Treat  
# Levels: Control Treat

## 20 alternating 1s and 2s
gl(n=2, k=1, length=2*4)

[1] 1 2 1 2 1 2 1 2
Levels: 1 2

# [1] 1 2 1 2 1 2 1 2
# Levels: 1 2

## alternating pairs of 1s and 2s
gl(n=2, k=2, length=2*4)

[1] 1 1 2 2 1 1 2 2
Levels: 1 2

# [1] 1 1 2 2 1 1 2 2
# Levels: 1 2

gl(n=3, k=4, labels=c("Low", "Medium", "High"),
   ordered=TRUE)

 [1] Low    Low    Low    Low    Medium Medium Medium Medium High   High  
[11] High   High  
Levels: Low < Medium < High

# [1] Low    Low    Low    Low    Medium Medium Medium
# [8] Medium High   High   High   High  
# Levels: Low < Medium < High

Limite e série no YouTube

• +1−1+1−1+… Explained in 5 Levels from Algebra to Math Major: Dr Sean
• Math is Fun: Advanced: Limit
• Dennis Wildfogel: Quão grande é o infinito?
• Mathematical Visual Proofs: A Dozen Proofs: Sum of Integers Formula (visual proofs)
• Mathematical Visual Proofs: Beautiful Geometry behind Geometric Series)
• Ace Tutors: Continuity and Differentiability EXPLAINED with Examples
• 3Blue1Brown: Limites | Capítulo 7, Essência do Cálculo
• Dr. Trefor Bazett: Top 4 Algebraic Tricks for Computing Limits
• Dr. Trefor Bazett: Limits of Oscillating Functions and the Squeeze Theorem
• Dr. Trefor Bazett: The most important limit in Calculus // Geometric Proof & Applications
• Dr. Trefor Bazett: What is cos(cos(cos(cos(cos(cos(cos(cos(cos(cos(cos(cos(?? // Banach Fixed Point Theorem
• blackpenredpen: 100 limits (ultimate calculus study guide)
• This equation will change how you see the world (the logistic map)
• theJourneyofPurpose TJOP: Fibonacci Sequence in Nature
• DavidsonArtOnline: Golden Ratio = Mind Blown!
• Numberphile: The Golden Ratio (why it is so irrational)
• Azup: Donald no País da Matemágica e O Número de Ouro - [Dublado 720p HD])

Referências

• Batschelet, E (1979) Introduction to mathematics for life scientists. 3^rd ed. NY: Springer.
• Batschelet, E (1978) Introdução à matemática para biocientistas. Tradução da 2ª ed. São Paulo: EDUSP e Rio de Janeiro: Interciência.
• Giordano, FR et al. (2015) A first course in mathematical modeling. 5^th ed. OH: Thomson. Capítulos 2 e 14.
• Gradshteyn, IS & Ryzhik, IM (2007) Table of integrals, series, and products. 7^th ed. USA: Academic.
• Mishan, MM et al. (2011) Determination of a point sufficiently close to the asymptote in nonlinear growth functions. Sci. Agric. 68(1): 109-14.
• Poularikas, AD (1999) The Handbook of Formulas and Tables for Signal Processing. Boca Raton: CRC/Springer/IEEE.
• Siqueira, JO (2011) Fundamentos para cálculo: usando WolframAlpha. São Paulo: Saraiva. Soluções dos exercícios em https://www.researchgate.net/publication/326533655_Fundamentos_para_Calculo_-_Solucoes.
• Siqueira, JO (2012) Fundamentos de métodos quantitativos: aplicados em Administração, Economia, Contabilidade e Atuária usando WolframAlpha e SCILAB. São Paulo: Saraiva. Soluções dos exercícios em https://www.researchgate.net/publication/326533772_Fundamentos_de_metodos_quantitativos_-_Solucoes.