Aula 3: Funções potência, exponencial, logarítmica e periódica

MSP4092: Biomatemática: aspectos quantitativos da vida

Bastão de Asclépio & Símbolo de Integral

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Material

• HTML de R Markdown em RPubs
• Prof. José Siqueira: ResearchGate

Pensamento

“Fizeram-me ver que é possível chegar a conhecimentos que sejam utilíssimos à vida e que, em vez dessa filosofia especulativa que se ensina nas escolas, pode-se encontrar uma prática pela qual, conhecendo as forças e as ações do fogo, da água, do ar, dos astros, dos céus, tão distintamente quanto conhecemos os diversos ofícios de nossos artesãos, poderemos empregá-los da mesma maneira em todos os usos a que são adequados e, desse modo, tornamo-nos senhores e possuidores da natureza.”

DESCARTES, R (1637) Discurso sobre o método, apud ROSSI, P (1989) Os filósofos e as máquinas. São Paulo: Cia. das Letras, p. 91-2.

Conteúdo

1. Número real (Capítulo 1)
2. Função e relação (Capítulo 3)

3. Funções potência, periódica, exponencial e logarítmica (Capítulos 4, 5 e 6)

4. Método gráfico (Capítulo 7)
5. Série e limite (Capítulo 8)
6. Derivada e integral (Capítulos 9 e 10)
7. Equação diferencial ordinária (ODE) (Capítulo 11)
8. Função de duas ou mais variáveis independentes (Capítulo 12)
9. Probabilidade (Capítulo 13)
10. Matriz, vetor e número complexo (Capítulos 14 e 15)

Função potência

Power functions: Wikipedia

A função potência é definida como:

\[ f(x)=ax^{n} \]

Sendo que \(x\in\mathbb{Q^{\ast}}\), \(a\in\mathbb{R^{\ast}}\) e \(n\in \mathbb{R^{\ast}}\).

Por exemplo:

• \(f(x)=x^{2}\), \(x\in\mathbb{R}\)
• \(f(x)=x^{1/2}=\sqrt{x}\), \(x\in\mathbb{R_{+}}\)
• \(f(x)=x^{-1/2}=1/\sqrt{x}\), \(x\in\mathbb{R_{+}^{\ast}}\)
• \(f(x)=x^{\sqrt{2}}\), \(x\in\mathbb{R_{+}}\)
• \(f(x)=x^{-\sqrt{2}}\), \(x\in\mathbb{R_{+}^{\ast}}\)

A função potência tem, em geral, \(D(f)=\mathbb{R_{+}^{\ast}}\) e \(Im(f)=\mathbb{R_{+}^{\ast}}\).

x^2

x^(1/2)

x^(-1/2)

x^sqrt(2)

x^(-sqrt(2))

Na função potência, as constantes a e n caracterizam uma função potência, ou seja, valores específicos de a e n pertencem a uma e somente uma função potência.

Em geral, constantes com tal propriedade são chamadas de parâmetros de uma função.

Também dizemos que a função potência é uma função biparamétrica. Outro exemplo de uma função de dois parâmetros é \(y = ax + b\) com a inclinação a e a intercepto b como parâmetros.

A função potência pode ser linearizada por meio do logaritmo:

\[ \log(f(x))=\log(a)+n\log(x) \]

A elasticidade da função potência é:

\[ \eta(x)=n \]

Neste capítulo vamos lidar não apenas com funções de potência, mas também com polinômios que são somas de funções de potência.

plot x^sqrt(2), x=0 to 1, axes labels "x" "y"

plot x^(-sqrt(2)), x=0 to 1, axes labels "x" "y"

Sistema Internacional de Unidades (SI)

As grandezas fundamentais, ou unidades base, são essenciais para definir todas as outras unidades derivadas usadas na física e em outras ciências. Aqui estão as sete grandezas fundamentais da natureza conforme definidas pelo SI:

• Massa: Quilograma (kg)
• Comprimento: Metro (m)
• Tempo: Segundo (s)
• Corrente elétrica: Ampere (A)
• Temperatura termodinâmica: Kelvin (K)
• Quantidade de substância: Mol (mol)
• Intensidade luminosa: Candela (cd)

Exemplo 1: Salto do golfinho

gravitational acceleration

Como primeira aplicação, estudamos um animal que pula ou salta, como uma pulga, um gato ou um golfinho.

A lei de Galilei afirma que o centro de gravidade está sujeito à mesma aceleração para todos os corpos, desde que a resistência do ar possa ser desprezada.

O movimento do centro de gravidade é descrito por esta lei, independentemente da ação que o animal execute durante o salto.

Considere o nível mais alto atingido pelo centro de gravidade.

Seja t = 0 o instante de tempo em que o nível mais alto é atingido e denote s a distância vertical do centro de gravidade medida a partir de seu nível mais alto (ver Fig. 4.2):

\[ s(t)=\dfrac{g}{2}t^2 \]

sendo que g é a aceleração do centro de gravidade.

A distância vertical é proporcional ao quadrado do tempo.

Se t é medido em segundo e s em metro, então g = 9.81 × 10² cm/s² para a superfície da terra.

Fig. 4.2: O centro de gravidade descreve uma parábola, não importa como o golfinho aja durante o movimento.

Podemos incluir frequentemente valores negativos, ou seja, considerar o tempo antes do animal atingir a culminância. Então s ainda é a distância vertical do nível de culminação.

O gráfico da função é uma parábola:

plot (981/2) t^2, t:-1 to 1, axes labels "t" "s"

Golfinhos são conhecidos por sua agilidade e habilidade de realizar saltos impressionantes fora da água. De modo geral, golfinhos podem atingir alturas de cerca de 4,5 a 6 metros acima da água em seus saltos. No entanto, em condições ideais e dependendo da força e velocidade ao saltar, alguns golfinhos podem atingir alturas ainda maiores.

Esses saltos são não apenas espetaculares, mas também servem a propósitos práticos, como limpar parasitas da pele, comunicar-se com outros golfinhos, ou simplesmente como parte de seu comportamento lúdico.

Exemplo 2: Organismo unicelular esférico

Surface area to volume ratio of cells: Khan Academy

A biofísica fornece importantes aplicações das funções de potência.

Considere um ser unicelular de forma esférica.

Seja r o raio da esfera.

Então a superfície S e o volume V da célula são dados por:

\[ S = 4\pi r^{2} \]

\[ V=\dfrac{4}{3}\pi r^{3} \]

com \(\pi \approx3.14\).

A superfície S é uma função quadrática de r.

Se o raio cresce por um fator 2, 3 etc., a superfície aumenta por um fator 4, 9 etc. (ver Fig. 4.4). A elasticidade da superfície é 2%.

O volume V é uma função cúbica de r.

Fig. 4.4. Duas esferas de raio diferente. Se \(r_{2} =2r_{1}\), a superfície é quatro vezes maior.

Assim, se o raio dobra, o volume aumenta por um fator 8. A elasticidade do volume é 3%.

Quando uma célula viva cresce, seu volume aumenta mais rápido que sua superfície.

Por outro lado, desde que a célula seja pequena em tamanho, a superfície é relativamente grande.

Suponha que as várias propriedades físicas e químicas dos componentes celulares permaneçam inalteradas enquanto a célula cresce.

Em seguida, o fluxo de substâncias químicas na respiração aeróbica celular, como O₂ (oxigênio gasoso) e CO₂ (dióxido de carbono), pela superfície aumenta em um ritmo mais lento do que a capacidade metabólica da célula, que é aproximadamente proporcional ao volume.

O mesmo é verdade para a energia luminosa recebida através da superfície.

Um equilíbrio adequado entre o fluxo pela superfície e o metabolismo interno só é possível para uma célula que não seja muito grande nem muito pequena.

Por um lado, se o raio for menor que um valor crítico inferior, digamos \(r < r_{1}\), o metabolismo presumivelmente entra em colapso, pois o volume não é suficiente em relação à eficiência da superfície.

Por outro lado, para um raio maior que um valor crítico superior, digamos \(r > r_{2}\), a troca química e o fluxo de energia através da superfície podem ser interrompidos, pois a superfície é muito pequena em relação à capacidade do metabolismo.

Somente para \(r_{1} < r < r_{2}\) a célula é competitiva e capaz de sobreviver na luta pela existência.

Pesquisas teóricas futuras podem fornecer valores numéricos para \(r_{1}\) e \(r_{2}\) e, assim, sugerir por que os seres unicelulares são do tamanho observado na natureza. O intervalo típico de raios celulares varia de 0.2 μm (procariótica: bactéria) até 75 μm (eucariótica: ovócito humano)

Exemplo 3: Corpo animal

Fig. 4.5. O corpo de um animal é subdividido em sólidos retangulares para mostrar que o volume é proporcional à terceira potência de uma dimensão linear.

Para plantas e animais com uma forma mais complexa do que uma esfera, ainda existe uma relação geométrica fácil entre a superfície e o volume do corpo. Para melhor compreensão introduzimos o termo de uma dimensão linear.

O comprimento total de um corpo, sua altura ou sua largura são dimensões lineares.

Além disso, qualquer distância entre pontos bem definidos de um corpo, como a distância ombro-quadril, pode servir como uma dimensão linear.

No caso especial de uma célula de forma esférica, usamos o raio r como uma dimensão linear.

Agora consideramos corpos de tamanhos diferentes, mas exatamente da mesma forma.

Tais corpos são semelhantes no sentido geométrico.

Seja L uma dimensão linear adequadamente escolhida.

Então vamos expressar o volume como uma função de L.

Para isso, subdividimos o corpo em um grande número de cubos de tamanhos diferentes (ou de sólidos retangulares como na Fig. 4.5).

Seja V o volume total desses cubos. Ele é próximo ao volume do corpo. Podemos realizar a subdivisão de maneira tão refinada que o erro de aproximação é arbitrariamente pequeno.

O volume de um corpo de qualquer formato é proporcional ao cubo de qualquer uma de suas dimensões lineares:

\[ V\propto L^{3} \]

A massa de um corpo de qualquer formato é proporcional ao volume se a densidade é constante \(\rho=M/V\):

\[ M \propto V \]

Da mesma forma, podemos subdividir a superfície de um corpo em um grande número de quadrados de tamanhos diferentes.

Se S denota a superfície total, obtemos pelo mesmo método de antes o resultado: A superfície de um corpo de qualquer formato é proporcional ao quadrado de qualquer uma de suas dimensões lineares.

\[ S\propto L^{2} \]

Seja um cubo com lado \(r\). A área da superfície é

\[ S = 6r^2 \]

e o volume é

\[ V = r^3 \]

Isolando \(r\) a partir do volume:

\[ r = V^{1/3} \]

Substituindo em \(A\):

\[ S = 6r^2 = 6\left(V^{1/3}\right)^2 = 6V^{2/3} \]

Portanto, a área da superfície do cubo, \(S\), é proporcional a \(V^{2/3}\):

\[ S \propto V^{2/3} \]

Portanto, generalizando:

\[ \begin{align} S^3 &\propto L^6 \\ V^2 &\propto L^6 \\ \\ S^3 &\propto V^2 \\ S &\propto V^{2/3} \\ \\ S &\propto M^{2/3} \end{align} \]

Conforme Savage et al. (2007) e West et al. (2001), em mamíferos, pássaros, peixes, moluscos e plantas, a taxa metabólica \(B\) (W = J/s) é proporcional \(M^{3/4}\):

\[ \begin{align} B &\propto M^{3/4} \\ B &\propto V^{3/4} \\ B &\propto S^{9/8} \end{align} \]

Portanto, a taxa metabólica. \(B\), aumenta inelasticamente com o aumento do volume, \(\eta(V)=3/4=0.75\%\), e elasticamente com o aumento da superfície, \(\eta(S)=9/8=1.125\%\).

Plantas e animais multicelulares de tamanho consideravelmente maior do que uma única célula não podem existir a menos que tenham uma superfície suficientemente grande.

Isso decorre de nossa discussão sobre uma célula esférica.

Brânquias, pulmões, intestinos, rins para animais, raízes e folhas para plantas são adaptações para um aumento de superfície por enrugamento a fim de estimular a difusão de moléculas ou a absorção de energia. Paquidermes (elefante, rinoceronte, hipopótamo) com massa entre 1 e 7 toneladas têm pele enrugada.

Todos as adaptações são apropriadas, desde que o tamanho do corpo permaneça dentro de certos limites.

Como ilustração, será usado um camundongo. Um camundongo gigante, de forma geométrica semelhante a um camundongo comum, mas com uma dimensão linear 10 vezes maior, dificilmente sobreviveria. Seu volume cresceu 10³ = 1000 vezes, enquanto a superfície (incluindo a superfície interna dos pulmões, intestinos etc.) aumentou apenas pelo fator 10² = 100. Assim, as trocas gasosas, a reabsorção de alimentos e as funções renais não seriam suficientes. Por outro lado, um camundongo anão, geometricamente semelhante em forma a um camundongo comum, mas com uma dimensão linear 1/10 menor, também é deficiente. A superfície é 1/100 do camundongo comum, enquanto o volume caiu para 1/1000. O metabolismo (W = J/s), também diminuído aproximadamente para 1/1000, seria incapaz de manter as funções necessárias, especialmente porque o camundongo é um animal de sangue quente e tem que compensar a perda de calor proporcional à superfície.

É um fato experimental que a força muscular é aproximadamente proporcional ao número de fibras musculares e, portanto, proporcional a L², sendo que L é uma dimensão linear do músculo. A energia produzida por um músculo é “força × deslocamento” (trabalho, energia) e, portanto, proporcional a L² × L = L³.

Considere agora uma pulga (Ctenocephalis canis). Uma pulga saltando pode atingir uma altura quase 200 vezes a sua própria altura. A energia (potencial gravitacional) necessária para fazer isto é aproximada pela fórmula “massa × altura do salto” (\(L^3\times L\)). Imagine uma pulga gigante, geometricamente semelhante em forma, mas 10 vezes maior em sua dimensão linear. A energia necessária para saltar 200 vezes mais alto que sua própria altura seria 10³ × 10 = 10⁴ vezes mais do que para a pulga comum. Isso, no entanto, não pode ser feito pela pulga gigante, pois sua força muscular aumentou apenas um fator de 10³. Assim, poderia atingir uma altura de apenas 20 (\(=200/(10^4/10^3)=200/10\)) vezes a sua própria altura. Da mesma forma, uma pulga “supergigante”, 100 vezes maior em sua dimensão linear do que uma pulga comum, poderia saltar a uma altura que é apenas o dobro (\(=200/(10^8/10^6)=2\)) de sua própria altura, apesar de um tremendo músculo saltador.

Generalizando um pouco este exemplo, vemos que os animais, fugindo de predadores ou em busca de comida, gastam energias aproximadamente proporcionais à quarta potência de suas dimensões lineares (\(L^4\)), enquanto o suprimento de energia (massas) é proporcional apenas à terceira potência (\(L^3\)).

Em geral, se as dimensões lineares de um organismo forem alteradas, as propriedades físicas e químicas também serão alteradas. Eles podem ser mantidos constantes apenas em uma pequena faixa de aumento ou diminuição.

Os liliputianos de quinze centímetros de altura de Jonathan Swift são muito divertidos. Em As Viagens de Gulliver, eles são capazes de atuar como humanos. No entanto, eles permanecem ficção. A biologia não pode funcionar dessa maneira.

Concluímos que uma espécie animal é capaz de competir com outras espécies, apenas se o tamanho do corpo estiver sujeito a certas restrições.

Demetrius & Ziehe (2007), quanto maior o valor do parâmetro malthusiano \(r\), maior a aptidão (fitness) darwiniana.

Problema 4.2.1: Crescimento do cristal

Suponha que um cristal cresça de tal forma que todas as dimensões lineares aumentem em 18%.

Quais são os aumentos percentuais da superfície S e do volume V do cristal?

Solução:

O fator c é \(c= 1 + 18/100= 1.18\).

Por isso,

\[ \begin{align} S^{\prime} &= c^2 S \\ c^{2} &= 1.39 \end{align} \]

aumento da superfície = \(39\%\),

\[ \begin{align} V^{\prime} &= c^{3} V \\ c^{3} &= 1.64 \end{align} \]

aumento de volume = \(64\%\).

Polinômio

A função polinomial de grau \(n\) é definida como

\[ \begin{align} f(x)&=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n}x^{n} \\ f(x)&=\sum_{i=0}^{n}{a_{i}x^{i}} \end{align} \]

\(x\in\mathbb{R}\), \(a_{n}\in\mathbb{R^{\ast}}\) e \(a_{i}\in\mathbb{R}\), \(i\in \{1,2,...,n-1\}\) e \(n\in\mathbb{N}^{\ast}\).

A função polinomial de grau \(n\) possui \(D(f)=\mathbb{R}\) e \(Im(f)=\mathbb{R}\).

Se a função polinomial possui grau par e \(D(f)=\mathbb{R}\), então \(Im(f)\subset \mathbb{R}\).

Todo número real é um número complexo. Um número puramente real tem a parte imaginária nula.

Um polinômio de ordem \(n\) com coeficientes puramente reais tem \(n\) raízes complexas. As raízes complexas sempre aparecem aos pares conjugados. E.g.: Um polinômio de grau 4 com coeficientes reais pode ter: (i) 4 raízes reais; (ii) 2 raízes reais e 2 raízes complexas conjugadas; (iii) 0 raízes reais e 4 raízes complexas conjugadas (dois pares conjugados).

a <- c(5, 10, -1, 5, -1)
print(s <- pracma::poly2str(a))

[1] "5*x^4 + 10*x^3 - 1*x^2 + 5*x - 1"

pracma::polyroots(a)

# A tibble: 4 × 2
  root                    mult
  <cpl>                  <dbl>
1  0.19187896+0.0000000i     1
2  0.05096963-0.6721664i     1
3  0.05096963+0.6721664i     1
4 -2.29381822+0.0000000i     1

r <- pracma::roots(a)
r

[1] -2.29381822+0.0000000i  0.05096963+0.6721664i  0.05096963-0.6721664i
[4]  0.19187896+0.0000000i

round(pracma::polyval(a, r), 4)

[1] 0+0i 0+0i 0+0i 0+0i

f <- function(x) 5*x^4 + 10*x^3 - x^2 + 5*x - 1
pracma::findzeros(f, -10, 10)

[1] -2.2938144  0.1918704

plot y=10x^3-x^2+5x-1

plot y=5x^4+10x^3-x^2+5x-1

roots y=5x^4+10x^3-x^2+5x-1

f <- function(x) {
  5*x^4 + 10*x^3 - x^2 + 5*x - 1
}
f(2)

[1] 165

curve(f, from = -2.5, to = 1.5, col = "blue", lwd = 2, 
      xlab = "x", ylab = "y", 
      main = expression(y == 5*x^4 + 10*x^3 - x^2 + 5*x - 1))
abline(h=0, v=0, lty=2)

# Coeficientes do polinômio em ordem decrescente de potência
coef <- c(5, 10, -1, 5, -1)
polin_strg <- pracma::poly2str(coef)
print(polin_strg)

[1] "5*x^4 + 10*x^3 - 1*x^2 + 5*x - 1"

# Encontrar as raízes do polinômio
roots <- pracma::polyroots(coef)
print(roots, digits=3)

           root mult
1  0.192+0.000i    1
2  0.051-0.672i    1
3  0.051+0.672i    1
4 -2.294+0.000i    1

raizes <- polyroot(coef) # Não usar esta função!
print(raizes, digits=3)

[1] -0.436+2.07e-25i  0.112+1.48e+00i  0.112-1.48e+00i  5.212+0.00e+00i

r <- pracma::roots(coef)
r

[1] -2.29381822+0.0000000i  0.05096963+0.6721664i  0.05096963-0.6721664i
[4]  0.19187896+0.0000000i

round(pracma::polyval(coef, r), 4)

[1] 0+0i 0+0i 0+0i 0+0i

pracma::findzeros(f, -10, 10)

[1] -2.2938144  0.1918704

Diferença finita

A diferença finita de uma função é \(\Delta f(x) = f(x+1) - f(x)\).

Para um polinômio quadrático, a primeira diferença finita produz uma função linear; a segunda diferença finita produz uma constante; a terceira diferença finita é nula.

\[ \begin{align} f(x)&=c+bx+ax^{2} \\ \Delta f(x) &= f(x+1) - f(x) = c+b(x+1)+a(x+1)^{2}- \left(c+bx+ax^{2}\right)=2ax+a+b \end{align} \]

differencedelta(ax^2+bx+c, x)

differencedelta(ax^2+bx+c, x, x)

differencedelta(ax^2+bx+c, x, x, x)

Aplicação de polinômio: fluxo de sangue em vaso sanguíneo

Fig. 4.7. O fluxo de sangue em um tubo cilíndrico. (a) e (b) escoamento laminar. (c) fluxo turbulento

Consideramos o fluxo de sangue em um vaso sanguíneo. Um pedaço de uma artéria ou de uma veia pode ser concebido como um tubo cilíndrico de largura constante.

Assuma que a seção transversal é um círculo de raio R.

Como qualquer líquido, o sangue tem uma fricção interna que é chamada de viscosidade e denotada por \(\eta\) (letra grega eta).

A viscosidade é medida em Pa s (Pascal-segundo), uma das unidades SI que é igual a kg s^-1 m^-1. Também há atrito nas paredes do tubo.

Imediatamente na parede a velocidade do sangue é zero. A velocidade é maior ao longo do eixo central do tubo. Se a velocidade não ultrapassar um determinado valor crítico, o fluxo é laminar, ou seja, todas as partículas do líquido se movem paralelamente ao tubo e a velocidade aumenta regularmente de zero na parede em direção ao centro (ver Fig. 4.7a, b).

Podemos pensar em um número infinito de lâminas cilíndricas que se movem como os tubos de um telescópio. A velocidade aumenta em direção ao centro. Se, no entanto, a velocidade exceder o valor crítico, por exemplo, em um vaso parcialmente ocluído, o fluxo é turbulento e o som pode ser ouvido (Fig. 4.7c).

Agora assumimos fluxo laminar. Seja r a distância de qualquer ponto do líquido ao eixo. Então a velocidade v é uma função de r. Podemos escrever \(v = v(r)\). O domínio da função é o intervalo \(0\le r \le R\).

A função foi descoberta experimentalmente por J. L. Poiseuille. Mais tarde, foi derivada de uma forma teórica.

A velocidade v (m s^-1) é

\[ v(r)=\dfrac{p}{4\eta l}\left(R^{2}-r^{2}\right)=\dfrac{p}{4\pi \eta l}\left(\pi R^{2}-\pi r^{2}\right)=a+br^2 \]

sendo que l denota o comprimento do tubo (metro) e p a diferença de pressão (Pa).

Os raios R e r são medidos em metros. Claramente, \(v=0\) para \(r=R\). Para \(r=0\) a velocidade atinge seu máximo. Assim, o intervalo da função é \(0\le v\le pR^{2}/4\eta l\).

Para obter mais informações sobre a lei de Poiseuille, estudamos um exemplo numérica escolhido para ser o mais realista possível.

O sangue arterial com sua alta concentração de O₂ está ligado à hemoglobina. Para o sangue humano, sua viscosidade é um pouco menor que a do sangue venoso, em média \(\eta\) = 0.0027 Pa s. Supõe-se que o sangue flua através de uma arteríola (capilar arterial largo) de comprimento l = 0.02 m e raio R = 8 × 10^-5 m. Em uma extremidade, a pressão é considerada maior do que na outra, de modo que a diferença seja p = 400 Pa (\(\approx\) 3 mm de mercúrio). Então:

\[ \begin{align} v&=\dfrac{400}{4 \times 0.0027 \times 0.02} \left(64 \times 10^{-10} -r^{2}\right) \\ v&=1.185\times 10^{-2} - 1.85\times 10^{6}r^{2} \end{align} \]

medida em m s^-1.

De acordo com a definição, v é uma função quadrática de r. Daí o gráfico é uma seção de uma parábola quadrática. A velocidade máxima é de 0.0185 m s^-1.

curve(1.185e-2 - 1.85e6 * x^2, from = 0, to = 8e-5,
      xlab = "r", ylab = "v", col = "blue", lwd = 2)

plot v=1.185 10^-2 - 1.85 10^6 r^2, r:0 to 8e-5, axes label "r" "v"

Equação quadrática

ax^2+bx+c=0

Problema 4.6.3: Recombinação de cromossomos

Kramer (1964, p. 517) estudou um problema genético de recombinação de cromossomos.

Seja p a fração de recombinação com a limitação \(0 \le p \le 1/2\), e seja \(1 - p\) a fração de não recombinação.

Nesse estudo, o comportamento do produto \(p(1-p)\) teve que ser considerado.

Solução:

Seja

\[ y= p(1-p) \]

Esta é uma função quadrática de p com domínio \(0 \le p \le 1/2\).

Segue-se que \(y \ge 0\).

Para um dado valor de y, surge a questão de saber se existe um valor correspondente de p e, em caso afirmativo, como encontrar p.

A equação anterior leva a uma equação quadrática.

Ao reorganizar os termos, encontramos a forma padrão \(ax^{2}+bx+c=0\).

Comparando com a forma padrão identificamos x por p, a por 1, b por -1 e c por y.

Então:

\[ p^{2}-p+y=0 \]

solve p^2-p+y=0 for p, 1/2>=p>0

solve p^2-p+1/8=0 for p, 1/2>=p>0

Função exponencial

A função exponencial é definida como:

\[ f(x)=a^{x} \]

Sendo que \(x\in \mathbb{R}\) e \(a\in \mathbb{R_{+}^{\ast}}-\{1\}\).

Por exemplo, a função exponencial, cuja base é o número de Euler, é \(f(x)=e^{x}\).

A função exponencial tem \(D(f)=\mathbb{R}\) e \(Im(f)=\mathbb{R_{+}^{\ast}}\).

plot sqrt(2)^x, x=-10 to 10, axes labels "x" "y"

plot (1/sqrt(2))^x, x=-10 to 10, axes labels "x" "y"

A função exponencial pode ser linearizada por meio do logaritmo:

\[ \log(f(x))=\log(a)\,x \]

A elasticidade da função exponencial é:

\[ \eta(x)=\left|\log(a)\,x\right|=\left|\log(f(x))\right| \]

Sequência aritmética

Uma sequência aritmética é definida pela função linear discreta \(f(x) = ax+b\), \(x\in \mathbb{N}\), sendo a a diferença comum.

Todo termo de uma sequência aritmética é a média aritmética dos termos seguinte e precedente.

Sequência geométrica

Uma sequência geométrica é definida pela função potência discreta \(f(x) = ar^{x}\), \(x\in \mathbb{N}\), sendo r a razão comum.

Todo termo de uma sequência geométrica é a média geométrica dos termos seguinte e precedente.

Exemplo 1: Divisão celular

Sob condições ideais, uma célula pode se subdividir em duas células em um determinado intervalo de tempo. As novas células subdividem-se novamente após transcorrido o mesmo intervalo de tempo etc. Assumimos que o tempo é medido em unidades que coincidem com o intervalo de tempo necessário para uma divisão celular. Seja t o tempo e N o número de células. Então obtemos a sequência 1, 2, 4, 8, 16, … ou

\[ N(t) = 2^{t}, \; t \in \{0, 1, 2, \ldots\} \]

t <- 0:6
N <- 2^t
plot(t, N, type = "h", xlab = "t", ylab = "N", lwd = 0.5, lty=2)
points(t, N, pch = 16)

discrete plot 2^t, t=0 to 6 axes label "t" "N"

Exemplo 2: Decaimento radiativo

Outra sequência surge quando uma substância radioativa decai. O isótopo de carbono ¹⁴C tem uma meia-vida de 5760 anos. Isso significa que o número N de átomos de ¹⁴C na substância é reduzido para N/2 após o transcurso de 5760 anos. Assim, se t denota o tempo medido em unidades de 5760 anos e N₀ o número de átomos de ¹⁴C na substância no tempo t = 0, obtemos a sequência

\[ N(t) = N_{0} 2^{-t}, \; t \in \{0, 1, 2, \ldots\} \]

t <- 0:6
N <- 2^(-t)
plot(t, N, type = "h", xlab = "t", ylab = "N", lwd = 0.5, lty=2)
points(t, N, pch = 16)

discrete plot 2^(-t), t=0 to 6 axes label "t" "N"

Função logarítmica

• YouTube: DontMemorise.com: Logarithms - What is e? | Euler’s Number Explained | Don’t Memorise

A função logarítmica é definida como:

\[ f(x)=\log_{a}(x) \]

Sendo que \(x\in \mathbb{R_{+}^{\ast}}\) e \(a\in \mathbb{R_{+}^{\ast}}-\{1\}\).

Por exemplo, a função logarítmica, cuja base é o número de Euler, é \(f(x)=\log_{e}(x)=\ln(x)\).

A função logarítmica tem \(D(f)=\mathbb{R_{+}^{\ast}}\) e \(Im(f)=\mathbb{R}\).

A função logarítmica é a função inversa da função exponencial.

Log[e, x]

Log[e, x] = log(x) = ln(x)

log(x) properties

plot ln(x), x=0 to 4, axes labels "x" "y"

plot Log[2, x], x=0 to 4, axes labels "x" "y"

A elasticidade da função logarítmica \(f(x)=\ln(x)\) é:

\[ \eta(x)=\dfrac{1}{\left|\ln(x)\right|}=\dfrac{1}{\left|f(x)\right|} \]

Problema 6.5.1: Madeira na floresta I

A quantidade de madeira em uma floresta jovem cresce quase exponencialmente. Podemos assumir que a taxa anual é de 3.5%. Que aumento é esperado dentro de dez anos?

Solução:

Para responder a esta pergunta calculamos primeiro o fator \(q= 1 + p/100\) com \(p = 3.5\%\). Obtemos \(q= 1.035\).

O crescimento em dez anos é determinado pelo fator q. Para obter este valor numericamente, aplicamos logaritmo:

\[ \ln(q^{10}) = 10 \times\ln(q) = 10 \times \ln(1.035) = 10 \times 0.0344 =0.344 \]

O antilogaritmo é 1.41, i.e., \(e^{0.344}=1.41\). Assim, a quantidade de madeira aumentou 41% em dez anos.

log(1.035)

[1] 0.03440143

Problema 6.5.2: Madeira na floresta II

Assumimos novamente que a taxa de crescimento da madeira é \(p = 3.5\%\). Quantos anos serão necessários até que a quantidade de madeira dobre?

Solução:

Seja n o número desconhecido de anos e \(q = 1+ p/100\).

Então obtemos a equação \(q^{n}=2\).

Essa equação é chamada de equação exponencial, pois o expoente é a quantidade desconhecida.

\[ \begin{align} \log(q^{n}) &= n \times \log(q) = \log(2) \\ n&= \dfrac{\log(2)}{\log(q)} \end{align} \]

Com \(q= 1.035\) obtemos \(n=0.30103/0.01494=20.1\). Portanto, é preciso um pouco mais de 20 anos até que a quantidade de madeira dobre.

log10(2)

[1] 0.30103

log10(1.035)

[1] 0.01494035

Problema 6.5.4: Idade de animal experimental

Quando as idades dos animais experimentais são escolhidas de maneira que formem uma sequência geométrica ou exponencial, pode surgir o seguinte problema: Dado o número de faixas etárias, a menor e a maior idade, quais são os termos da sequência?

Solução:

Seja A a idade do grupo mais jovem, B a idade do grupo mais antigo, e n o número de grupos. Então:

\[ A q^{n-1}=B \]

Portanto,

\[ \log(q)=\dfrac{\log(B)-\log(A)}{n-1} \]

Se \(A=4\) semanas, \(B=10\) semanas e \(n=5\) idades, então \(q=1.257\).

\[ \text{Idade}=Aq^k, \; k=0,1,2,3,4 \]

# Valores dados
A <- 4      # idade mínima (semanas)
B <- 10     # idade máxima (semanas)
n <- 5      # número de grupos

# Cálculo da razão geométrica
q <- (B / A)^(1 / (n - 1))
cat("Razão geométrica q =", round(q, 3), "\n")

Razão geométrica q = 1.257 

# Cálculo das idades em progressão geométrica
idades <- A * q^(0:(n - 1))
print(round(idades, 2))

[1]  4.00  5.03  6.32  7.95 10.00

Resposta:

A sequência desejada de idades é 4, 5.03, 6.32, 7.95 e 10 semanas.

Leis psicofísicas

Podemos julgar o nível de sensação não apenas por uma escala ordinal, mas também por uma escala intervalar.

De fato, diferenças no nível de sensação não são arbitrárias.

Eles podem ser significativamente expressos em termos de estímulos mensuráveis.

Lei psicofísica de Stevens

Lei potencial de Stevens: Wikipédia

A lei potencial de Stevens descreve a relação psicofísica entre a magnitude física de um estímulo e a intensidade percebida desse estímulo:

\[ \psi(I) = k I^a \]

Sendo que:

• \(\psi(I)\) é a magnitude percebida do estímulo
  
• \(I\) é a intensidade física do estímulo
  
• \(k\) é uma constante de proporcionalidade
  
• \(a\) é um expoente dependente do tipo de estímulo

Interpretação do expoente \(a\):

• Se \(a < 1\), a percepção cresce mais lentamente que a intensidade (ex.: brilho, sonoridade)
  
• Se \(a = 1\), a percepção é linear (ex.: comprimento visual)
  
• Se \(a > 1\), a percepção cresce mais rapidamente (ex.: choque elétrico, luminosidade)

Essa lei é baseada em dados experimentais e generaliza melhor do que a lei logarítmica de Weber-Fechner.

Lei psicofísica de Weber-Fechner

Lei logarítmica de Weber–Fechner: Wikipedia

A lei logarítmica de Weber–Fechner relaciona a magnitude percebida de um estímulo à sua intensidade física por meio de uma função logarítmica:

\[ \psi(I) = k \log\left( \dfrac{I}{I_0} \right) \]

Sendo que:

• \(\psi(I)\) é a intensidade percebida
  
• \(I\) é a intensidade física do estímulo
  
• \(I_0\) é o limiar absoluto (menor intensidade detectável)
  
• \(k\) é uma constante de proporcionalidade

A lei de Weber, que fundamenta a de Fechner, afirma que a menor variação perceptível \(\Delta I\) é proporcional à intensidade do estímulo:

\[ \dfrac{\Delta I}{I} = \text{constante} \]

Integrando essa relação obtém-se a função logarítmica de Fechner. Essa lei é válida para estímulos em faixas moderadas de intensidade.

Relação das leis psicofísicas

Se o expoente \(a\) da lei potência de Stevens tende a zero, podemos mostrar que ela converge para a lei logarítmica de Weber–Fechner.

Começamos com a forma geral da lei de Stevens:

\[ \psi(I) = k I^a = ke^{a \log(I)} \]

Se \(a \to 0\) (\(a\) tende a 0), usamos a expansão de Taylor de \(I^a\) em torno de \(a_0 = 0\):

\[ I^a = e^{a \log I} \approx 1 + a \ln I \]

Substituindo em \(\psi(I)\):

\[ \psi(I) \approx k \left(1 + a \log(I)\right) = k + k a \log(I) \]

Ou seja, no limite \(a \to 0\), a lei de Stevens aproxima-se da lei logarítmica de Fechner:

\[ \psi(I) \propto \log(I) \]

Portanto, a lei de Fechner pode ser vista como um caso limite da lei de Stevens quando \(a \to 0\).

Exemplo 6.6.2: Tom musical e frequência

Considere três tons igualmente espaçados na escala de frequência, por exemplo, os três tons com frequências 300 Hz (ciclo/s), 600 Hz, 900 Hz. Hertz é o número de vezes que a onda oscila num segundo.

As pessoas que ouvem esses tons concordam unanimemente que o intervalo entre o segundo e o terceiro tom é consideravelmente menor do que entre o primeiro e o segundo tom. Portanto, nossa sensação de tom musical não é proporcional à frequência. Para obter dois intervalos consecutivos que são percebidos como iguais em tamanho, temos que adotar uma sequência geométrica.

Por exemplo, os tons com frequências de 300 Hz, 600 Hz e 1200 Hz estão separados por intervalos de oitavas. Cada frequência é o dobro da anterior, representando um aumento de uma oitava. Uma escala adequada para o tom musical é baseada no logaritmo da frequência, bastante de acordo com a lei de Weber-Fechner. Notar que 600 Hz é a média geométrica de 300 Hz e 1200 Hz.

DescTools::Gmean(c(300, 1200))

[1] 600

geometric mean (300,1200)

Exemplo 6.6.3: Brilho estelar

Este exemplo é conhecido pelos astrônomos. O brilho experimentado de uma estrela não é de forma alguma proporcional à energia luminosa recebida pelo olho. Novamente temos uma relação linear entre o brilho e o logaritmo da intensidade da luz. Uma fórmula padrão é

\[ m= c- 2.5\times \log(I) \]

sendo que I é a intensidade da luz e c uma constante determinada pela unidade na qual I é medido. m é chamado de magnitude aparente de uma estrela. A estrela mais brilhante, Sirius, tem magnitude -1.6, Vega tem magnitude 0.1 e Betelgeuse 0.9. O desconforto de uma magnitude negativa poderia ter sido evitada se a magnitude zero tivesse sido colocada melhor.

Exemplo 6.6.4: Dose-resposta em ensaio biológico

Talvez a aplicação da lei de Weber-Fechner que é especialmente importante para os cientistas da vida seja a relação dose-resposta em ensaios biológicos. Quando uma determinada dose de um produto químico (droga, veneno, vitamina, hormônio etc.) é administrada a um animal, a resposta ou reação, seja ela qualitativa ou quantitativa, não pode ser linearmente relacionada à dose.

Se, por exemplo, uma dose de 10 mg for aumentada em 5 mg, é provável que a resposta varie. Se, porém, uma dose de 100 mg for aumentada em 5 mg, a resposta dificilmente mudará. Em ambos os casos o aumento é de 5 mg, mas no primeiro caso temos 50%, no segundo caso apenas 5% da dose original. É esta taxa de aumento que é relevante.

Portanto, a lei de Weber-Fechner é aplicável. Embora a resposta seja geralmente de natureza qualitativa e não possa ser medida, assume-se que a resposta é linearmente dependente do logaritmo da dose.

Como consequência, quando os animais são testados quanto à sua resposta a doses de diferentes níveis, as doses devem formar uma sequência geométrica ou exponencial.

Seja d₀ o a menor dose e seja q um fator conveniente maior que 1.

Em seguida, o produto químico é administrado em doses

\[ d_{0}, d_{0}q, d_{0}q^{2},d_{0}q^{3},... \]

Uma sequência como 10 mg, 20 mg, 30 mg, 40 mg etc. não é adequada para doses. Começando com os mesmos termos, deve ser 10 mg, 20 mg, 40 mg, 80 mg etc. em que d₀ = 10 mg e q = 2.

Exemplo 6.6.5: Química

Concluímos esta seção com uma aplicação de logaritmos à química.

A concentração de hidrônio, denotada por [H₃O⁺] é um fator importante no tecido vivo, bem como no solo onde as plantas crescem.

Uma alta concentração variando de cerca de 10^-2 a quase 10^-7 mol/l está presente em soluções ácidas.

O “mol” é uma das sete unidades base do Sistema Internacional de Unidades (SI) e é usada para medir a quantidade de substância. Um mol contém exatamente \(6.02214076 \times 10^{23}\) entidades elementares. Esta quantidade é conhecida como número de Avogadro.

O mol é fundamental para descrever quantidades de átomos, moléculas, íons, ou outras entidades em uma dada amostra. Por exemplo, um mol de água contém \(6.022 \times 10^{23}\) moléculas de água.

Para água destilada [H₃O⁺] = 10^-7 mol/l aproximadamente, uma concentração que é chamada de neutra.

Concentrações mais baixas até cerca de 10^-12 mol/l indicam uma solução alcalina ou uma base.

Devido a essa ampla faixa, uma escala logarítmica para julgar a concentração de hidrônio parece ser mais prática.

Podemos usar os expoentes das potências acima e nos livrar do sinal de menos.

Assim, a quantidade

\[ pH=-\log\left(\left[H_{3}O^{+}\right]\right) \]

é introduzida.

Para uma solução neutra pH = 7, para uma solução ácida pH < 7 e para uma solução alcalina ou básica pH > 7.

Para o cérebro humano verificou-se que o líquido cefalorraquidiano tem [H₃O⁺] = 4.8 × 10^-8 mol/l em média. \[ pH = -\log\left(4.8 \times 10^{-8}\right)= -\left(\log(4.8)+\log\left(10^{-8} \right) \right)= -(0.68-8) = 7.32 \]

Portanto, o líquido cefalorraquidiano é alcalino.

Régua de cálculo (slide rule)

• Slide rule: Wikipedia

• Slide Rule - Proportion, Percentage, Squares And Square Roots (1944)

Foi inventada pelo matemático inglês William Oughtred, em 1622, baseando-se na tábua de logaritmos que fora criada por John Napier pouco antes, em 1614.

A régua de cálculo é um dispositivo de cálculo que se baseia na sobreposição de escalas logarítmicas. Os cálculos são realizados por meio de uma técnica mecânica analógica que permite a elaboração dos cálculos por meio de guias deslizantes graduadas, ou seja, réguas logarítmicas que deslizam umas sobre as outras, e os valores mostrados em suas escalas são relacionados através da ligação por um cursor dotado de linhas estrategicamente dispostas, que têm a função de correlacionar as diversas escalas da régua de cálculo.

Espiral: gráfico polar

As conchas dos moluscos, as amonites, a disposição das sementes nos girassóis e das escamas nas pinhas indicam que as espirais ocorrem com frequência na natureza.

Nos restringimos àquelas espirais que são curvas planas e são geradas da seguinte forma: assumimos que \(y = f(x)\) é uma função monótona crescente.

Em vez de um gráfico em um sistema de coordenadas retangulares, escolhemos um gráfico polar.

Para este propósito interpretamos x como o ângulo polar e y como a distância polar e colocamos \(x = \theta\) e \(y = r\).

Então o gráfico de \(r = f(\theta)\) é chamado de espiral.

Espiral de Arquimedes

Talvez o exemplo mais simples de uma espiral seja dado por uma função linear

\[ r=a\theta+b \]

Sendo \(a>0\) e \(b\ge 0\) e domínio \(\theta \ge 0\).

À medida que \(\theta\) cresce, \(r\) aumenta linearmente.

Fig. 6.10. Uma espiral de Arquimedes. A distância polar r cresce linearmente em função do ângulo polar theta.

funcao <- function(x) 1
pracma::ezpolar(fun=funcao, interv = c(0, 6*pi))

funcao <- function(x) x
pracma::ezpolar(fun=funcao, interv = c(0, 6*pi))

funcao <- function(x) -x
pracma::ezpolar(fun=funcao, interv = c(0, 6*pi))

funcao <- function(x) x+1
pracma::ezpolar(fun=funcao, interv = c(0, 6*pi))

funcao <- function(x) -x+1
pracma::ezpolar(fun=funcao, interv = c(0, 6*pi))

polar plot r=1

polar plot r=theta

polar plot r=-theta

polar plot r=theta+1

polar plot r=-theta+1

Espiral logarítmica

\[ r=a q^{\theta} \]

Sendo \(a>0\) e \(q> 0\) e domínio \(\theta \in \mathbb{R}\).

Fig. 6.11. Uma espiral logarítmica. A distância polar r é uma função exponencial do ângulo polar theta.

Fig. 6.12. Nummulitas (a) e amonitas (b) são exemplos de dois tipos diferentes de espirais.

funcao <- function(x) 0.9^x
pracma::ezpolar(fun=funcao, interv = c(0, 6*pi))

funcao <- function(x) 1.1^x
pracma::ezpolar(fun=funcao, interv = c(0, 6*pi))

polar plot r=0.9^theta

polar plot r=1.1^theta

Lei de Hick

Lei de Hick: Wikipedia

Hick´s Law: Wikipedia

Referência: Hick, WE (1952) On the rate of gain of information. Quarterly Journal of Experimental Psychology 4(1): 11–26. doi:10.1080/17470215208416600

WE Hick (1952) desenvolveu um experimento de TR (Time Required to Choose) que apresentou uma série de nove testes nos quais existem n opções igualmente possíveis.

O experimento mediu o TR do sujeito com base no número de opções possíveis durante qualquer teste.

Hick mostrou que o TR do indivíduo aumentou em uma quantidade constante em função das opções disponíveis, ou da incerteza envolvida na qual o estímulo da reação apareceria a seguir.

A incerteza é medida em bit, que são definidos como a quantidade de informação que reduz pela metade a incerteza na teoria da informação (ver Tese de doutorado de José Siqueira). No experimento de Hick, o TR é considerado uma função do logaritmo na base 2 do número de opções disponíveis (n).

Esse fenômeno é chamado de lei de Hick e é considerado uma medida da taxa de ganho de informação.

A lei é geralmente expressa pela fórmula

\[ TR = b \; \log_{2}(n + 1) \]

sendo n o número de alternativas equiprováveis, b a velocidade de processamento e \(\log_{2}(n + 1)\) é o quantificador de surpresa de Shannon (surprisal).

Fig. I Relações entre tempos de reação e números de diferentes estímulos. Alguns resultados de reações rápidas com erros também são plotados na mesma escala, com base no número equivalente calculado de estímulos.

A caixa de Jensen caixa de Jensen é uma aplicação mais recente da lei de Hick.

A lei de Hick tem aplicações modernas interessantes em marketing, onde menus de restaurantes e interfaces da web (entre outras coisas) aproveitam seus princípios na tentativa de obter velocidade e facilidade de uso para o consumidor.

Ajuste de curva

No contexto puramente matemático, o ajuste de curva envolve encontrar uma função que passe tão próximo quanto possível de um conjunto de pontos dados, minimizando algum tipo de discrepância entre a curva e os pontos. Diferentemente da abordagem estatística, que frequentemente envolve inferência sobre os erros ou a variabilidade dos dados, o ajuste de curva matemático pode se concentrar simplesmente na minimização de um erro ou numa discrepância geométrica sem atribuir interpretações estatísticas a esse erro.

• Exemplo: Exercício 7.2.9

A atividade enzimática da catalase é perdida durante a exposição à luz solar na presença de oxigênio. Seja y a concentração de catalase (em µg/10 ml) como função do tempo t (em minutos). Qual é a função mais adequada para representar graficamente os seguintes dados (de Mitchell e Anderson, 1965)?

t (minuto)	y (µg/10 ml)
0	121
10	74
30	30
50	12
60	6.7
70	3.7
80	2.0

t <- c(0.1, 10, 30, 50, 60, 70, 80)
y <- c(121, 74, 30, 12, 6.7, 3.7, 2.0)
plot(t,y)

round(cor(t,y, method="pearson"), 4)

[1] -0.922

round(cor(t,y, method="spearman"), 4)

[1] -1

print(REAT::curvefit(t, y, print.results=FALSE)$models_comp, digits=3)

                 a       b Std. Error a Std. Error b t value a t value b
Linear       94.65 -1.3767       13.252      0.25848      7.14     -5.33
Power        64.65 -0.5137        0.271      0.17284      6.67     -2.97
Exponential 128.86 -0.0504        0.071      0.00139     68.39    -36.36
Logistic     -3.79  0.1095        1.332      0.02597     -2.84      4.22
            Pr(>|t|) a Pr(>|t|) b R squared Adj. R squared F value   Pr(>F)
Linear        8.36e-04   3.12e-03     0.850          0.820   28.37 3.12e-03
Power         1.14e-03   3.11e-02     0.639          0.566    8.83 3.11e-02
Exponential   1.27e-08   2.96e-07     0.996          0.995 1322.15 2.96e-07
Logistic      3.61e-02   8.37e-03     0.780          0.736   17.77 8.37e-03

Entre os modelos testados com dois parâmetros, o melhor modelo é o exponencial, pois tem o maior \(R^2\).

No WolframAlpha, se a quantidade de pontos observados é pequena, pode ser usado, por exemplo, o comando linear fit {{,},{,},...}.

linear fit {{0,121},{10,74},{30,30},{50,12},{60,6.7},{70,3.7},{80,2.0}}

best fit {{0,121},{10,74},{30,30},{50,12},{60,6.7},{70,3.7},{80,2.0}}

exponential fit {{0,121},{10,74},{30,30},{50,12},{60,6.7},{70,3.7},{80,2.0}}

logarithmic fit {{0.1,121},{10,74},{30,30},{50,12},{60,6.7},{70,3.7},{80,2.0}}

power fit {{0.1,121},{10,74},{30,30},{50,12},{60,6.7},{70,3.7},{80,2.0}}

exponential fit {{0,121},{10,74},{30,30},{50,12},{60,6.7},{70,3.7},{80,2.0}}

logarithmic fit {{0.1,121},{10,74},{30,30},{50,12},{60,6.7},{70,3.7},{80,2.0}}

power fit {{0.1,121},{10,74},{30,30},{50,12},{60,6.7},{70,3.7},{80,2.0}}

Hoffmann et al. (2013, p. 363)

Função periódica

Este tópico trata de algumas ferramentas matemáticas necessárias para o estudo dos ritmos biológicos. Os ritmos mais conhecidos são as variações sazonais, a menstruação, os ciclos diários, a respiração e os batimentos cardíacos. É típico dos ritmos que o mesmo ou quase o mesmo padrão seja repetido de ciclo em ciclo. Fenômenos desse tipo também são chamados de periódicos.

A Fig. 5.1 mostra um eletrocardiograma com vários ciclos. A curva pode ser interpretada como o gráfico de uma função \(y = f(t)\) com o tempo t como variável independente e a tensão y traçada perpendicularmente ao eixo do tempo. Enquanto um eletrocardiograma real não é exatamente periódico, a Fig. 5.1 mostra um comportamento um tanto idealizado: em intervalos de tempo consecutivos de igual comprimento, a mesma curva se repete. O intervalo constante é chamado de período que é denotado por l. Cada ponto na curva representa uma fase particular do ritmo. Pontos que diferem por um, dois ou mais períodos são considerados em fase igual.

Fig. 5.1. O esquema de um eletrocardiograma

Funções trigonométricas

• YouTube: All 6 Trig Functions on the Unit Circle

• Triangle

• Trigonometry

\[ \begin{align} \cos(\alpha)&=\dfrac{x}{r}=\sin(\beta) \\ \sin(\alpha)&=\dfrac{y}{r}=\cos(\beta) \\ \tan(\alpha)&=\dfrac{y}{x}=\dfrac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)} \end{align} \]

Fig. 5.14. O triângulo retângulo como um caso especial

Fig. 5.7. A definição de seno (cateto oposto) e cosseno (cateto adjacente) para valores arbitrários de alfa

As funções trigonométricas diretas são também conhecidas como funções circulares ou periódicas.

As funções trigonométricas diretas são cosseno, seno, tangente, cossecante, secante e cotangente.

As funções trigonométricas inversas são também conhecidas como funções ciclométricas.

As funções trigonométricas inversas são arcocosseno, arcosseno, arcotangente, arcocossecante, arcocosseno e arcocotangente.

Seno e cosseno

As funções seno e cosseno são definidas respectivamente como:

\[ \begin{align} f(x)&=\sin(x) \\ f(x)&=\cos(x) \end{align} \]

Sendo que \(x\in \mathbb{R}\).

As funções seno e cosseno têm \(D(f)=\mathbb{R}\) e \(Im(f)=[-1,1]\).

sin(x)

cos(x)

sin(x), cos(x)

A elasticidade da função cosseno é:

\[ \eta(x)=\left|x\tan(x)\right| \]

A elasticidade da função seno é:

\[ \eta(x)=\left|x\cot(x)\right| \]

Exemplo 5.6.1: Raio solar na folha

Seja I a intensidade da luz solar medida em unidades de energia por cm² por segundo. Se uma folha forma um ângulo \(\alpha < 90^{\circ}\) com os raios incidentes, a intensidade é reduzida. Por qual fator?

Solução:

A pergunta pode ser respondida examinando a Fig. 5.15.

Fig. 5.15. Uma folha de área A₂ é atingida pela luz solar de seção transversal A₁. A intensidade da luz é reduzida pelo fator A₁/A₂.

Seja A₁ (cm²) a área da seção transversal desses raios que atingem as folhas. Além disso, seja A₂ a área da folha. A energia de luz incidente por segundo é I. Quando distribuída uniformemente sobre a folha, a energia por segundo por cm², I’, é então:

\[ I^{\prime}=I\dfrac{A_{1}}{A_{2}}=I\dfrac{d_{1}}{d_{2}}=I \sin(\alpha) \]

Portanto, A₁/A₂ é o fator de redução. Pode ser expresso pelos dois segmentos d₁ e d₂ mostrados na Fig. 5.15.

Exemplo 5.6.2: Fibra muscular

Alguns músculos não consistem simplesmente em fibras paralelas. Em vez disso, as fibras são curtas e inclinadas para um tendão em seu centro. Esses músculos são chamados pinados (que significa penas). Seções transversais de um músculo pinado são mostradas na Fig. 5.16.

Fig. 5.16. Ação de um músculo pinado. O encurtamento das fibras musculares e o movimento do tendão ocorrem em direções diferentes. Magnitudes são conectadas por funções trigonométricas.

Podemos perguntar quanto o tendão é movido quando o comprimento de cada fibra muscular, \(\lambda\), é reduzida a \(\lambda^{\prime}\). Para responder à pergunta, seja y a distância entre os ossos aos quais o músculo está inserido.

Além disso, seja \(\alpha\) e \(\alpha^{\prime}\) o ângulo entre as fibras e o tendão nos estágios relaxado e contraído, respectivamente.

Então

\[ \sin(\alpha)=\dfrac{y/2}{\lambda} \]

\[ \sin(\alpha^{\prime})=\dfrac{y/2}{\lambda^{\prime}} \]

A distância, d, que o tendão se move é

\[ d=\lambda \cos(\alpha)-\lambda^{\prime} \cos(\alpha^{\prime}) \]

Eliminando \(\lambda\) e \(\lambda^{\prime}\) obtemos

\[ \begin{align} d&=\dfrac{y}{2} \left(\dfrac{\cos(\alpha)}{sen(\alpha)}-\dfrac{\cos(\alpha^{\prime})}{\sin(\alpha^{\prime})} \right)\\ d&=\dfrac{y}{2} \left(\cot(\alpha)-\cot(\alpha^{\prime}) \right) \end{align} \]

Secante e cossecante

As funções secante e cossecante são definidas respectivamente como:

\[ \begin{align} f(x) &= \sec(x)=\dfrac{1}{\cos(x)} \\ f(x) &=\csc(x)=\dfrac{1}{\sin(x)} \end{align} \]

A função secante tem \(D(f)=\mathbb{R}-\{k\pi\}\), \(k\in \mathbb{Z}\), e \(Im(f)=\mathbb{R}-[-1,1]\).

A função cossecante tem \(D(f)=\mathbb{R}-\{(2k+1)\pi/2\}\), \(k\in \mathbb{Z}\), e \(Im(f)=\mathbb{R}-[-1,1]\).

sec(x)

cosec(x)

sec(x), cosec(x)

Tangente e cotangente

As funções tangente e cotangente são definidas respectivamente como:

\[ \begin{align} f(x)&=\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \\ f(x)&=\cot(x)=\dfrac{1}{\tan(x)}=\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} \end{align} \]

A função tangente tem \(D(f)=\mathbb{R}-\{(2k+1)\pi/2\}\), \(k\in \mathbb{Z}\), e \(Im(f)=\mathbb{R}\).

A função cotangente tem \(D(f)=\mathbb{R}-\{k\pi\}\), \(k\in \mathbb{Z}\), e \(Im(f)=\mathbb{R}\).

tan(x)

cotan(x)

tan(x), cotan(x)

pracma::cot(1)

[1] 0.6420926

pracma::csc(1)

[1] 1.188395

pracma::sec(1)

[1] 1.850816

pracma::acot(1)

[1] 0.7853982

pracma::acsc(1)

[1] 1.570796

pracma::asec(1)

[1] 0

Conversão para coordenadas polares

Fig. 5.6. Coordenadas retangular e polar de um ponto P

Fig. 5.11. A conversão de coordenadas polares em coordenadas retangulares

\[ \begin{align} x&=r\cos(\alpha) \\ y&=r\sin(\alpha) \end{align} \]

Cardióide

• Glass of Numbers: How to Graph Any Polar Curves: Cardioid Example r = 1 + cos(theta)

funcao <- function(x) 2*(1 + cos(x))
pracma::ezpolar(fun=funcao)

funcao <- function(x) 2*(1 + 0.8*cos(x))
pracma::ezpolar(fun=funcao)

funcao <- function(x) 2*abs(sin(0.5*x))
pracma::ezpolar(fun=funcao)

polar plot r=2 (1 + cos(theta)), theta:0 to 2pi

polar plot r=2 (1 + 0.8 cos(theta)), theta:0 to 2pi

polar plot r=2 |sin(0.5 theta)|, theta:0 to 2pi

Elipse

funcao <- function(x) 2/(1 + 0.8*cos(x))
pracma::ezpolar(fun=funcao)

polar plot r=2/(1 + 0.8 cos(theta)), theta:0 to 2pi

Petalar

funcao <- function(x) 2*abs(sin(1.5*x))
pracma::ezpolar(fun=funcao)

funcao <- function(x) 2*abs(sin(2.5*x))
pracma::ezpolar(fun=funcao)

polar plot r=2 |sin(1.5 theta)|, theta:0 to 2pi

polar plot r=2 |sin(2.5 theta)|, theta:0 to 2pi

df <- read.csv("https://raw.githubusercontent.com/plotly/datasets/master/polar_dataset.csv")

fig <- plotly::plot_ly(
  df,
  type = 'scatterpolar',
  mode = 'lines'
)

fig <- plotly::add_trace(
  fig,
  r = ~x1,
  theta = ~y,
  name = 'Figure8',
  line = list(
    color = 'peru'
  )
)

fig <- plotly::add_trace(
  fig,
  r = ~x2,
  theta = ~y,
  name = 'Cardioid',
  line = list(
    color = 'darkviolet'
  )
)

fig <- plotly::add_trace(
  fig,
  r = ~x3,
  theta = ~y,
  name = 'Hypercardioid',
  line = list(
    color = 'deepskyblue'
  )
)

fig <- plotly::add_trace(
  fig,
  r = ~x4,
  theta = ~y,
  name = 'Subcardioid',
  line = list(
    color = 'orangered'
  )
)

fig <- plotly::add_trace(
  fig,
  r = ~x5,
  theta = ~y,
  name = 'Supercardioid',
  line = list(
    color = 'green'
  )
)

fig <- plotly::layout(
  fig,
  title = 'Mic Patterns',
  font = list(
    family = 'Arial',
    size = 12,
    color = '#000'
  ),
  showlegend = TRUE
)

fig

Polinômio trigonométrico

Os dados relativos aos ritmos biológicos podem frequentemente ser aproximados por curvas trigonométicas.

Fig. 5.21. Quatro etapas diferentes são mostradas para transformar a função cosseno

\[ y(t)=c_{0}+c\;\cos(\omega(t-t_{0})), \; w=2\pi/l \]

\(c\): amplitude

\(c_{0}\): nível médio ou mesor

\(t\): tempo

\(t_{0}\): acrófase

\(l\): período

\(\omega\): frequência angular

Fig. 5.22. Uma curva senoidal é ajustada para medições telemétricas de temperaturas intraperitoneais de um rato fêmea adulto. O rato é submetido a um regime especial de iluminação que influencia a acrófase.

Para qualquer número natural n a função a seguir é chamada de polinômio trigonométrico. Ajustar dados periódicos por um polinômio trigonométrico é chamado de análise harmônica ou análise de Fourier.

\[ y(t)=a_{0}+\sum_{i=1}^{n}({a_{i}\cos(i\omega_{i}t))+b_{i}\sin(i\omega_{i}t))} \]

Qualquer função periódica contínua ou razoavelmente descontínua pode ser representada por um polinômio trigonométrico com qualquer grau de precisão. Para obter uma alta precisão, o número de termos deve ser correspondentemente grande. Quando n tende ao infinito, o polinômio trigonométrico se transforma em uma série de Fourier.

Fig. 5.24. Taxas médias logarítmicas de ataque de sarampo para cada mês e polinômio trigonométrico ajustado (diagrama superior). Gráfico separado dos componentes (diagrama inferior).

Fourier series calculator

Ver Derryberry, 2014, Chapter 12: FITTING FOURIER SERIES.

Ver Shumway & Stoffer, 2019, Example 1.6. fMRI Imaging: astsa::fmri

Exemplo: Velocidade do fluxo sanguíneo em animal humano

Fig.5. Forma de onda de velocidade da artéria carótida na condição de fluxo fisiológico de NBP, PH e HS1. NBP condition represents the systolic and diastolic blood pressure of heart about 117/71 mmHg. Curve fitting toolbox in MATLAB.

# NBP
w <- 8.302
a0 <- 0.3782
a <- c(-0.1812, 0.1276, -0.08981, 0.04347, 
       -0.05412, 0.02642, 0.008946, -0.009005)
b <- c(-0.07725, 0.01466, 0.004295, -0.06679, 
       0.05679, -0.01878, 0.01869, -0.01888)
h <- seq(1,8)
t <- 0
plot(t, a0 + a %*% cos(h*t*w) + b %*% sin(h*t*w), 
     xlab="Time [s]", ylab="Velocity [m/s]", xlim=c(0,0.8), 
     ylim=c(0,1), cex=0.4,
     main="Fig. 5. Velocity waveform of carotid artery at 
     physiological flow condition of 
     Normal Blood Pressure")
for(t in seq(0, 0.8, 0.0001)) {
points(t, a0 + a %*% cos(h*t*w) + b %*% sin(h*t*w), cex=0.4)
}

Gráfico no YouTube

• Glass of Numbers: How to Graph Any Polar Curves: Cardioid Example r = 1 + cos(theta)

Função em R

x <- c(-1,0,1,exp(1),NA) # exp(1) = 2.718282...
abs(x) # 1.000000 0.000000 1.000000 2.718282       NA

[1] 1.000000 0.000000 1.000000 2.718282       NA

try(sqrt(x)) # NaN 0.000000 1.000000 1.648721       NA

[1]      NaN 0.000000 1.000000 1.648721       NA

try(log(x)) # NaN -Inf    0    1   NA

[1]  NaN -Inf    0    1   NA

cos(x) # 0.5403023  1.0000000  0.5403023 -0.9117339         NA

[1]  0.5403023  1.0000000  0.5403023 -0.9117339         NA

factorial(4) # 1*2*3*4 = 24

[1] 24

gamma(4) # 1*2*3 = 6

[1] 6

beta(4,3) # 0.01666667

[1] 0.01666667

gamma(4)*gamma(3)/(gamma(4+3)) # 0.01666667

[1] 0.01666667

# https://towardsdatascience.com/overview-of-40-mathematical-functions-in-r-4b4e138685ff
curve(exp(x), from = -10, to = 10, main = "exp(x)")

par(mfrow=c(5,2), mar=c(2,2,2,2))
curve(x+0, from = -10, to = 10, main = "x")
curve(abs(x), from = -10, to = 10, main = "|x|")
curve(x^2, from = -10, to = 10, main = "x^2")
curve(x^3, from = -10, to = 10, main = "x^3")
curve(x^4, from = -10, to = 10, main = "x^4")
curve(x^5, from = -10, to = 10, main = "x^5")
curve(x^(1/2), from = -10, to = 10, main = "x^(1/2)")
curve(x^(1/3), from = -10, to = 10, main = "x^(1/3)")
curve(1/x, from = -10, to = 10, main = "1/x")
curve(1/(x^2), from = -10, to = 10, main = "1/(x^2)")

par(mfrow=c(5,2), mar=c(2,2,2,2))
curve(factorial(x), from = -10, to = 10, main = "x!")
curve(2^x, from = -10, to = 10, main = "2^x")
curve(1/sqrt(x), from = -10, to = 10, main = "1/x^(1/2)")
curve(exp(-x), from = -10, to = 10, main = "e^(-x)")
curve(log(x), from = -10, to = 10, main = "ln(x)")
curve(exp(x), from = -10, to = 10, main = "e^x")
curve(log2(x), from = -10, to = 10, main = "log2(x)")
curve(log10(x), from = -10, to = 10, main = "log10(x)")
curve(x*log(x), from = -10, to = 10, main = "x*ln(x)")
curve(log(x)^2, from = -10, to = 10, main = "ln(x)^2")

par(mfrow=c(5,2), mar=c(2,2,2,2))
curve(1 / (1 + exp(-x)), from = -10, to = 10, main = "sigmoid(x)")
curve(10 / (1 + exp(-x)), from = -10, to = 10, main = "10*sigmoid(x)")
curve(tanh(x), from = -10, to = 10, main = "tanh(x)")
curve(exp(x) / sum(exp(x)), from = -10, to = 10, main = "softmax(x)")
curve(pmax(0, x), from = -10, to = 10, main = "rectifier(x)")
curve(log(1 + exp(x)), from = -10, to = 10, main = "softplus(x)")
curve(sign(x), from = -10, to = 10, main = "sign(x)")
curve(floor(x), from = -10, to = 10, main = "floor(x)")
curve(round(x), from = -10, to = 10, main = "round(x)")
curve(ceiling(x), from = -10, to = 10, main = "ceiling(x)")

par(mfrow=c(5,2), mar=c(2,2,2,2))
curve(sin(x), from = -10, to = 10, main = "sin(x)")
curve(sinpi(x), from = -10, to = 10, main = "sin(pi*x)")
curve(sinh(x), from = -10, to = 10, main = "sinh(x)")
curve(asinh(x), from = -10, to = 10, main = "asinh(x)")
curve(cos(x), from = -10, to = 10, main = "cos(x)")
curve(cospi(x), from = -10, to = 10, main = "cos(pi*x)")
curve(cosh(x), from = -10, to = 10, main = "cosh(x)")
curve(acosh(x), from = -10, to = 10, main = "acosh(x)")
curve(tan(x), from = -10, to = 10, main = "tan(x)")
curve(tanpi(x), from = -10, to = 10, main = "tan(pi*x)")

Referências

• Attinger, EO et al. (1966) Use of Fourier series for the analysis of biological systems. Biophysical journal 6(3): 291-304.
• Barreira, S (2013) Matemática aplicada às ciências farmacêuticas com Excel. Vol. 1. Lisboa: Escolar Editora.
• Batschelet, E (1979) Introduction to mathematics for life scientists. 3^rd ed. NY: Springer.
• Batschelet, E (1978) Introdução à matemática para biocientistas. Tradução da 2ª ed. São Paulo: EDUSP e Rio de Janeiro: Interciência.
• Demetrius, L & Ziehe, M (2007) Darwinian fitness. Theoretical population biology 72(3): 323–45. https://doi.org/10.1016/j.tpb.2007.05.004
• Giordano, FR et al. (2015) A first course in mathematical modeling. 5^th ed. OH: Thomson. Capítulos 2 e 14.
• Derryberry, DR (2014) Basic data analysis for time series with R. NJ: Wiley.
• Moran, D et al. (1995) Calculation of mean arterial pressure during exercise as a function of heart rate. Applied Human Science 14(6): 293-95.
• Paisal, MSA et al. (2019) An analysis of blood pressure waveform using windkessel model for normotensive and hypertensive conditions in carotid artery. Journal of Advanced Research in Fluid Mechanics and Thermal Sciences 57(1): 69-85.
• Potkay, JA (2008) Long term, implantable blood pressure monitoring systems. Biomedical microdevices 10: 379-92.
• Savage, VM et al. (2007) Scaling of number, size, and metabolic rate of cells with body size in mammals. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 104(11): 4718–23. https://doi.org/10.1073/pnas.0611235104
• Shumway, RH & Stoffer, DS (2019) Time series: A data analysis approach using R. USA: Chapman-Hall.
• Siqueira, JO (1999) Determinação entrópica do preço racional da opção européia simples ordinária sobre ação e bond: uma aplicação da teoria da informação em finanças em condição de incerteza. Tese de Doutorado, Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade, Universidade de São Paulo, São Paulo. doi:10.11606/T.12.1999.tde-08032005-004652. Recuperado em 2023-05-06, de www.teses.usp.br
• Siqueira, JO (2011) Fundamentos para cálculo: usando WolframAlpha. São Paulo: Saraiva. Soluções dos exercícios em https://www.researchgate.net/publication/326533655_Fundamentos_para_Calculo_-_Solucoes.
• Siqueira, JO (2012) Fundamentos de métodos quantitativos: aplicados em Administração, Economia, Contabilidade e Atuária usando WolframAlpha e SCILAB. São Paulo: Saraiva. Soluções dos exercícios em https://www.researchgate.net/publication/326533772_Fundamentos_de_metodos_quantitativos_-_Solucoes.
• West, GB, Brown, JH & Enquist, BJ (2001) A general model for ontogenetic growth. Nature 413(6856): 628–631. doi:10.1038/35098076.