ANOVA Unifatorial em R
MSP4112: Estatística Aplicada à Medicina
16 agosto 2025 20:14h
Bastão de Asclépio & Distribuição Normal
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source("summarySEwithin2.R")
source("eiras_plotIC.r")
source("eiras.OneWayANOVA.Welch.WORD.R")Material
- HTML de Rmarkdown em
RPubs
Objetivos
- reconhecer e mencionar propriedades da distribuição F.
- reconhecer as indicações e aplicar ANOVA para três ou mais condições independentes.
- reconhecer as indicações e aplicar ANOVA para três ou mais condições dependentes (medidas repetidas).
- definir hipóteses estatísticas nula e alternativa.
- executar e interpretar os testes estatísticos omnibus e post hoc.
- conceituar estatísticas de tamanho de efeito.
ANOVA unifatorial em R
- Planejamento de ANOVA unifatorial
- Independente de Fisher
pwr::pwr.anova.testWebPower::wp.anova
- Relacionada
WebPower::wp.rmanova
- ANOVA unifatorial independente
- Fisher (homocedástico)
- teste omnibus:
lm,car::Anova- testes post hoc:
emmeans::emmeans,multcomp::cld
- testes post hoc:
- teste omnibus:
oneway.test(var.equal=TRUE, ...)- testes post hoc:
rstatix::tukey_hsd
- testes post hoc:
- Fisher sem dados brutos
- teste omnibus:
demo_ANOVA_Independente_Unifatorial_Fisher_SemDadosBrutos.R,HH::anovaMean- testes post hoc: ?
- Fisher-White (heterocedástico)
- teste omnibus:
lm,car::Anova(white.adjust="hc2", ...))- testes post hoc:
emmeans::emmeans,multcomp::cld
- testes post hoc:
- Welch (heterocedástico)
- teste omnibus:
jmv::anovaOneW- testes post hoc:
jmv::anovaOneW
- testes post hoc:
- teste omnibus:
oneway.test(var.equal=FALSE, ...)- testes post hoc:
rstatix::games_howell_test
- testes post hoc:
- Welch sem dados brutos
- teste omnibus:
eiras.OneWayANOVA.Welch.WORD.R- testes post hoc:
eiras.OneWayANOVA.Welch.WORD.R
- testes post hoc:
- Reamostragem (bootstrapping)
- teste omnibus:
lmboot::ANOVA.boot- testes post hoc: ?
- teste omnibus:
WRS2::t1waybt- testes post hoc:
WRS2::mcppb20
- testes post hoc:
- ANOVA unifatorial relacionada ou para medidas repetidas (rm)
- rmANOVA
- teste omnibus:
lmerTest::lmerecar::Anova(test.statistic="F", ...)- testes post hoc:
emmeans::emmeansemultcomp::cld
- testes post hoc:
- Reamostragem (bootstrapping)
- teste omnibus:
WRS2::rmanovab- testes post hoc:
WRS2::pairdepb
- testes post hoc:
Introdução
As variáveis envolvidas no teste estatístico são:
- VI (variável independente) nominal com três ou mais categorias (nominal politômica, fator): unifatorial, one way
- VD (variável dependente) intervalar com distribuição normal por condição: univariada
ANOVA unifatorial pode ser:
- independente (fator entre participantes)
- relacionada (fator intraparticipantes)
ANOVA unifatorial independente (One-way Analysis of Variance) é uma extensão do teste t independente.
As suposições de normalidade homocedasticidade são condições suficientes e a suposição de independência é necessária para ANOVA unifatorial.
Exemplo de condições suficientes: lei do equilíbrio genético de Hardy-Weinberg
Ilustramos com uma analogia, recordando o a lei do equilíbrio genético de Hardy-Weinberg.
Em 1908, G. Hardy e W. Weinberg propuseram independentemente que a frequência de alelos e genótipos em uma população permanecerá constante de geração para geração se a população for estável e em equilíbrio genético.
Cinco condições são necessárias para que uma população permaneça em equilíbrio de Hardy-Weinberg:
- Uma grande população reprodutiva
- Acasalamento aleatório
- Nenhuma mudança na frequência alélica devido a mutação
- Nenhuma imigração ou emigração
- Nenhuma seleção natural
http://www.phschool.com/science/biology_place/labbench/lab8/concepts.html
Violando as condições de H-W, em simulação (implementada em demo_HardyWeinberg.R) com:
- 500 indivíduos,
- mutação alterando a frequência dos alelos,
- selecionando para o alelo A.
Observamos, por exemplo:
As condições matemáticas de população muito grande (ou infinita), sem mutação e sem seleção garantem a população no equilíbrio de Hardy-Weinberg; porém, dentro de certos limites, ainda encontramos predição aceitável para o Equilíbrio de Hardy-Weinberg e poderíamos utilizá-los em populações biológicas.
O que é independência?
Um delineamento entre participantes é aquele em que cada unidade experimental só é submetida a uma condição experimental.
Por exemplo, três grupos com 5 indivíduos cada um (total de 15 participantes, nomeados de A a J) são alocados assim:
| Condição 1 | Condição 2 | Condição 3 | |
| A | F | K | |
| B | G | L | |
| C | H | M | |
| D | I | N | |
| E | J | O |
Em um delineamento intraparticipantes, o mesmo indivíduo é submetido a todas as condições experimentais. Os mesmos 15 participantes seriam alocados assim:
| Condição 1 | Condição 2 | Condição 3 | |
| A | A | A | |
| B | B | B | |
| C | C | C | |
| D | D | D | |
| E | E | E | |
| F | F | F | |
| G | G | G | |
| H | H | H | |
| I | I | I | |
| J | J | J | |
| K | K | K | |
| L | L | L | |
| M | M | M | |
| N | N | N | |
| O | O | O |
O que é balanceamento?
Em delineamentos em que os grupos são balanceados, o número de participantes em cada condição é aproximadamente igual. Por exemplo, com 15 participantes em ANOVA independente, desbalanceada, poderíamos ter algo como.
| Condição 1 | Condição 2 | Condição 3 | |
| A | H | K | |
| B | I | L | |
| C | J | M | |
| D | N | ||
| E | O | ||
| F | |||
| G |
Em um delineamento intraparticipantes, o desbalanceamento ocorre quando um dos participantes deixa de aparecer em uma das condições experimentais, por exemplo:
| Condição 1 | Condição 2 | Condição 3 | |
| A | A | A | |
| B | B | ||
| C | C | C | |
| D | D | D | |
| E | E | E | |
| F | F | F | |
| G | G | G | |
| H | H | H | |
| I | I | I | |
| J | J | ||
| K | K | K | |
| L | L | L | |
| M | M | M | |
| N | N | N | |
| O | O | O |
Basta uma participação faltando (missing) para caracterizar o desbalanceamento. O procedimento com as estatísticas padrão do R não funcionarão e temos que usar um modelo com efeitos aleatórios; lidaremos com esta situação adiante.
Teste F
O teste F na ANOVA unifatorial é usado para testar se há diferenças significantes entre as médias populacionais de três ou mais condições independentes. A hipótese nula (\(H_0\)) do teste F afirma que todas as médias populacionais das condições são iguais. A hipótese alternativa (\(H_a\)) afirma que pelo menos uma das médias das condições é diferente.
A distribuição da estatística de teste F tem distribuição F de Fisher-Snedecor.
Para a comparação de três ou mais condições, com base no teste F, os graus de liberdade do numerador dependem do número de condições e os do denominador dependem do tamanho da amostra.
Familiarize-se com a distribuição F, observando demo_AnimacaoF.R:
- F é um valor maior que zero.
- sob \(H_0\) a distribuição
F tem um parâmetro de não centralidade (
ncp) igual a zero; sob \(H_1\) o parâmetro de não centralidade é maior do que zero e é função do tamanho de efeito e do tamanho da amostra. - a distribuição é assimétrica positiva.
- consideramos somente a cauda superior.
- localize \(\alpha\) e \(\beta\).
- há dois valores para graus de liberdade: para o numerador (número de grupos - 1) e denominador (número de sujeitos - número de grupos).
- observe o que acontece com a distribuição sob \(H_0\) e com o valor de \(F\) crítico (\(F_c\)) à medida que os graus de liberdade aumentam.
O delineamento dos estudos, o tipo de variável e, consequentemente, a estatística adequada mudam, mas o problema é sempre o mesmo: incerteza porque lidamos com uma amostra.
A diferença, aqui, é que teremos que lidar com 3 ou mais condições simultaneamente.
A hipótese nula é pela igualdade de todos as médias populacionais dos \(m\) grupos. Caso não rejeitemos \(H_0\):
Quando rejeitamos \(H_0\), concluímos que as médias populacionais não são todas iguais:
que pelo menos uma destoe das demais (i.e., basta que uma das condições ser diferente das demais para rejeitarmos \(H_0\)), por exemplo:
Teste t independente
Brendon Small e Coach McGuirk fazem com que seus alunos do SNAP-Ed mantenham diários do que comem por uma semana e depois calculem a ingestão diária de sódio em miligramas.
Desde que as classes receberam diferentes programas de educação nutricional, eles querem ver se a ingestão média de sódio é a mesma para as duas turmas.
Aplicamos o teste t de Welch, robusto à heterocedasticidade
e default da função t.test:
# A tibble: 6 × 3
Instructor Student Sodium
<chr> <chr> <dbl>
1 Brendon Small a 1200
2 Brendon Small b 1400
3 Brendon Small c 1350
4 Brendon Small d 950
5 Brendon Small e 1400
6 Brendon Small f 1150# A tibble: 6 × 3
Instructor Student Sodium
<chr> <chr> <dbl>
1 Coach McGuirk ai 1400
2 Coach McGuirk aj 1200
3 Coach McGuirk ak 1150
4 Coach McGuirk al 1400
5 Coach McGuirk am 1500
6 Coach McGuirk an 1200
Welch Two Sample t-test
data: Sodium by Instructor
t = 0.76722, df = 34.893, p-value = 0.4481
alternative hypothesis: true difference in means between group Brendon Small and group Coach McGuirk is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-67.91132 150.41132
sample estimates:
mean in group Brendon Small mean in group Coach McGuirk
1287.50 1246.25 Teste t independente para fator com três grupos
Suponha que uma terceira classe junte-se ao experimento (Melissa Robins). Podemos, então, verificar as diferenças destas três condições experimentais com testes t, comparando-se Brendon Small com Coach McGuirk, Brendon Small com Melissa Robins e Coach McGuirk com Melissa Robins?
Quantos testes t precisaremos de acordo com o número de grupos?
É a combinatória do número de grupos (\(m\)) dois a dois: \[{m \choose 2} = { {m!} \over {2! (m-2)!} }\]
- para 2 -grupos: \({2 \choose 2} = { {2!} \over {2! (2-2)!} } = 1~\text{teste}\)
- para 3 grupos: \({3 \choose 2} = { {3!} \over {2! (3-2)!} } = 3~\text{testes}\)
- para 4 grupos: \({4 \choose 2} = { {4!} \over {2! (4-2)!} } = 6~\text{testes}\)
- para 6 grupos: \({6 \choose 2} = { {6!} \over {2! (6-2)!} } = 15~\text{testes}\)
Graficamente (demo_Testes_t_2a2.R) podemos ver
quantos testes t seriam necessários para o número de condições
independentes a serem testadas:
Embora o número cresça rapidamente, podemos não nos impressionar, pois temos computadores para o trabalho repetitivo.
Há, porém, um problema mais grave: as probabilidades do erro do tipo I (\(\alpha\)) e do tipo II (\(\beta\)) se acumulam. Quando escolhemos \(\alpha\), a probabilidade de rejeitar incorretamente a hipótese nula, o máximo valor que p pode assumir, a probabilidade erro do tipo I para \(m\) grupos é:
\[ P(\alpha | m) = 1-(1-\alpha)^{m \choose 2} \]
Também gostaríamos de manter a probabilidade de rejeitar corretamente a hipótese nula, o poder do teste, \(1-\beta\); para \(m\) grupos é:
\[ P(\beta | m) = (1-\beta) ^ {m \choose 2} \]
Graficamente (demo_Testes_t_AlfaPoder.R) podemos
observar o que acontece com o número crescente de pares de teste
t necessários, considerando os tradicionais \(\alpha=0.05\) e \(\beta=0.1\):
Portanto, a probabilidade de erro do tipo I cresce rapidamente para quase \(100\%\) e o poder de seus testes combinados vai para próximo de zero. Na prática, dificilmente teremos mais do que 6 grupos mas, ainda assim, teríamos \(\alpha \approx 53.7\%\) e poder \(1-\beta \approx 3.5\%\), valores totalmente inaceitáveis para uma boa análise.
Podemos resolver com vários testes t? A resposta é:
NÃO!
É melhor, portanto, testar tudo simultaneamente paramanter \(\alpha\) no valor pretendido e
preservar \(1-\beta\).
Análise da variância
Esta análise, que tem o acrônimo ANOVA (do inglês, Analysis of Variance) utiliza apenas variâncias, mas…
… as conclusões são sobre as médias populacionais dos \(m\) grupos.
Como?
Princípio do teste F da ANOVA unifatorial independente de Fisher
Consideremos que existam três grupos nos quais a VD tem distribuição normal homocedástica.
De cada um deles, retiramos uma amostra:
Não havendo problemas, as três amostras reproduzem a distribuição, média e variância das populações das quais se originaram.
A estatística de teste F da ANOVA unifatorial independente é dada por
\[ F = \dfrac{S_E^2}{S_D^2} \]
em que \(S_E^2\) é a variância entre os grupos e \(S_D^2\) é a variância dentro dos grupos.
Variância entre (between) os grupos
A variância entre os grupos presume que as médias amostrais (\(\bar{X}_m\)) refletem as respectivas médias populacionais (\(\mu_m\)):
Como sempre, não temos esta certeza e lidamos somente com a informação das amostras, \(\bar{X}_m\):
Cada média é um número e, portanto, podemos calcular a variância destes números:
Sendo assim, para \(F = \dfrac{S_E^2}{S_D^2}\), a estatística F aumenta quando a variância entre os grupos aumentar.
Variância dentro (within) dos grupos
A variância dentro dos grupos é uma medida da variância total, desconsiderando a média de cada uma das condições. Cada amostra tem sua própria distribuição (presumivelmente, reflexo da distribuição da população de onde veio):
Como sempre, não temos esta certeza e lidaremos somente com a informação das amostras, \(\bar{X}_m\):
Mesclando as três distribuições, estimamos a variância dentro dos grupos, \(S_D^2\), uma medida de quanto, como um todo, a variável é dispersa:
Caso a variância em cada condição seja maior,
esta variância será refletida em \(S_D^2\):
Sendo assim, para \(F = \dfrac{S_E^2}{S_D^2}\), a estatística F diminui quando a variância dentro os grupos (ou condições) aumentar.
Comportamento de \(F = \dfrac{S_E^2}{S_D^2}\)
É fácil imaginar o comportamento da estatística F combinando-se o que pode acontecer com \(S_E^2\) e \(S_D^2\):
Desta forma, Ronald Fisher inventou uma forma de comparar médias entre várias condições, simultaneamente, utilizando somente a comparação entre duas variâncias, com o numerador refletindo a dispersão das médias e o denominador refletindo a dispersão do fenômeno em estudo.
ANOVA unifatorial independente
A ANOVA unifatorial independente é utilizada quando os participantes são avaliados em somente uma das condições experimentais, i.e., um delineamento entre participantes.
Suposições
- independência entre as unidades experimentais,
- normalidade da VD em todas as condições,
- homocedasticidade da VD entre todas as condições.
Os métodos aqui apresentados são robustos à heterocedasticidade.
O teste analítico pode prescindir da suposição de normalidade para amostras maiores invocando o teorema central do limite (tamanho mínimo de amostra será visto adiante), mas ainda precisaremos testar a suposição de normalidade em amostras pequenas caso queiramos testar as médias populacionais.
O teste por bootstrapping pode ser usado para qualquer tamanho de amostra, e não exige a suposição de normalidade. Portanto, exige apenas a suposição de independência entre as observações.
Normalidade
“Vale a pena observar que a MANOVA é ainda um teste válido, mesmo com modestas violações na suposição de normalidade, particularmente quando os tamanhos dos grupos são iguais e existe um número razoável de participantes em cada grupo; por “razoável” entendemos que, em um delineamento completamente entre participantes, deve haver pelo menos 12 participantes por grupo[…]”
Dancey & Reidy, 2019, p. 472
Como ANOVA é um caso particular de MANOVA, podemos transpor desta referência e assumir o número de unidades experimentais igual a pelo menos 12 em cada grupo para considerar a suposição de normalidade não necessária.
Balanceamento e Homocedasticidade
O balanceamento não precisa ser estrito:
“Consideram-se grupos de dimensão semelhante quando o quociente entre a maior dimensão e a menor for inferior a 1,5.”
Pestana & Gageiro, 2008, p. 278
A heterocedasticidade ocorre heuristicamente se (maior desvio-padrão)/(menor desvio-padrão) é maior que 2.
Johnson & Wichern, 2007, p. 291
Moore, 1995
Norusis, 2009, p. 148
Quando a maior quantidade de unidades observacionais numa condição NÃO superar 1.5 vezes a condição de menor quantidade de unidades observacionais, então a suposição de homocedasticidade não precisa ser considerada para o teste ANOVA unifatorial independente.
“Em geral, quando você tiver tamanhos de amostras iguais, esse pressuposto [homocedasticidade] não será um grande problema.”
Dancey & Reidy, 2019, p. 472-3
ANOVA unifatorial independente de Fisher para condições balanceadas é adequada na situação de heterocedasticidade populacional.
ANOVA unifatorial independente de Fisher com correção de White e a ANOVA unifatorial independente de Welch funcionam para condições desbalanceadas, pois lidam com a situação de heterocedasticidade populacional.
Exemplo: SNAP-Ed entreparticipantes com 3 grupos
Este exemplo foi obtido de Salvatore S. Mangiafico: Summary and Analysis of Extension Program Evaluation in R, disponível em https://rcompanion.org/handbook/I_05.html.
O SNAP-Ed (Supplemental Nutrition Assistance Program Education) é um programa baseado em evidências que ajuda as pessoas a terem uma vida mais saudável.
O SNAP-Ed ensina às pessoas que usam ou qualificam para o SNAP uma boa nutrição e como fazer com que o seu dinheiro de alimentação se estenda ainda mais.
Os participantes do SNAP-Ed também aprendem a ser fisicamente ativos.
Brendon Small, Coach McGuirk e Melissa Robins fazem com que seus alunos do SNAP-Ed mantenham diários do que comem por uma semana e depois calculem a ingestão diária de sódio em miligramas.
Desde que as classes receberam diferentes programas de educação nutricional, eles querem ver se a ingestão média de sódio é a mesma para as três turmas.
Arquivo de dados
Hipóteses nula e alternativa
As três classes receberam diferentes programas de educação nutricional. A ingestão diária média de sódio é a mesma (populacionalmente) para os três programas?
\[ \begin{cases} H_0: \mu_{\text{Brendon}} = \mu_{\text{McGuirk}} = \mu_{\text{Robins}}\\ H_1: \exists \mu_i \ne \mu_j,\quad i \ne j,\quad i,j=1,2,3 \end{cases} \]
|
Esta é uma forma matemática para escrever a hipótese alternativa, lida como “Existe pelo menos alguma média \(\mu_i\), diferente de outra média \(\mu_j\), com \(i\) e \(j\) assumindo os valores \(1\), \(2\) e \(3\)”. É dizer que \(\mu_1 \ne \mu_2\) OU \(\mu_1 \ne \mu_3\) OU \(\mu_2 \ne \mu_3\). No entanto, aparece, frequentemente, como: \[ H_1: \mu_1 \ne \mu_2 \ne \mu_3 \] tentando indicar as diferenças, mas esta forma não funciona porque sugere que a rejeição de \(H_0\) implica que todos os grupos são diferentes entre si, como \(\mu_1 \ne \mu_2\) E \(\mu_1 \ne \mu_3\) E \(\mu_2 \ne \mu_3\). Basta que uma condição tenha média estatisticamente diferente das demais para que se rejeite \(H_0\) com ANOVA. Em português: \[ H_1: \text{Existe pelo menos uma média populacional diferente} \] |
ANOVA unifatorial independente de Fisher
Análise descritiva e teste de suposições
boxplot
gplots::plotmeans
NULL
Normality
--------
Instructor = Brendon
Shapiro-Wilk normality test
data: Sodium
W = 0.97212, p-value = 0.7989
--------
Instructor = McGuirk
Shapiro-Wilk normality test
data: Sodium
W = 0.96772, p-value = 0.7062
--------
Instructor = Melissa
Shapiro-Wilk normality test
data: Sodium
W = 0.95835, p-value = 0.5114
--------
p-values adjusted by the Holm method:
unadjusted adjusted
Brendon 0.79894 1
McGuirk 0.70625 1
Melissa 0.51138 1
NULL
Homoscedasticity
Fligner-Killeen test of homogeneity of variances
data: Sodium by Instructor
Fligner-Killeen:med chi-squared = 0.95543, df = 2, p-value = 0.6202Testes omnibus e post-hoc
O código R que testa a hipótese nula omnibus e realiza os
testes post-hoc da ANOVA de Fisher é (demo_ANOVA1f_indep_Fisher_sodio_Parte2.R):
Fisher's One-way ANOVA
Statistical analysis: omnibus test
ANOVAAnova Table (Type II tests)
Response: Sodium
Sum Sq Df F value Pr(>F)
Instructor 290146 2 5.5579 0.006235 **
Residuals 1487812 57
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Call:
lm(formula = Sodium ~ Instructor, data = Dados)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-337.5 -121.2 2.5 105.9 412.5
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 1287.50 36.13 35.639 < 2e-16 ***
InstructorMcGuirk -41.25 51.09 -0.807 0.42279
InstructorMelissa -163.75 51.09 -3.205 0.00221 **
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 161.6 on 57 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.1632, Adjusted R-squared: 0.1338
F-statistic: 5.558 on 2 and 57 DF, p-value: 0.006235
R^2 = eta^2 = 0.1631905# Effect Size for ANOVA (Type II)
Parameter | Eta2 | 95% CI | interpret
--------------------------------------------------
Instructor | 0.1632 | [0.0166, 0.3265] | large
Fisher's One-way ANOVA
Statistical analysis: Post hoc tests$emmeans
Instructor emmean SE df lower.CL upper.CL
Brendon 1288 36.1 57 1215 1360
McGuirk 1246 36.1 57 1174 1319
Melissa 1124 36.1 57 1051 1196
Confidence level used: 0.95
$contrasts
contrast estimate SE df t.ratio p.value
Brendon - McGuirk 41.2 51.1 57 0.807 0.4228
Brendon - Melissa 163.8 51.1 57 3.205 0.0066
McGuirk - Melissa 122.5 51.1 57 2.398 0.0396
P value adjustment: holm method for 3 tests 
Instructor emmean SE df lower.CL upper.CL .group
Melissa 1124 36.1 57 1035 1213 a
McGuirk 1246 36.1 57 1157 1335 b
Brendon 1288 36.1 57 1198 1377 b
Confidence level used: 0.95
Conf-level adjustment: bonferroni method for 3 estimates
P value adjustment: holm method for 3 tests
significance level used: alpha = 0.05
NOTE: If two or more means share the same grouping symbol,
then we cannot show them to be different.
But we also did not show them to be the same.
Teste post hoc: Dunnett contrast estimate SE df t.ratio p.value
McGuirk - Brendon -41.2 51.1 57 -0.807 0.4228
Melissa - Brendon -163.8 51.1 57 -3.205 0.0044
P value adjustment: holm method for 2 tests 
Teste post hoc: Consecutivo contrast estimate SE df t.ratio p.value
McGuirk - Brendon -41.2 51.1 57 -0.807 0.4228
Melissa - McGuirk -122.5 51.1 57 -2.398 0.0396
P value adjustment: holm method for 2 tests 
Pr(>F) é o valor p nas saídas.
Como p value = 0.006235 da regressão (igual ao valor
p da ANOVA na linha Instructor) é menor que 0.05,
rejeita-se a hipótese nula omnibus.
Multiple R-squared \(R^2=0.1632\) é a estimativa pontual do
tamanho de efeito \(\eta^2\) de Cohen
global. Note que o intervalo de confiança do tamanho de efeito de
Instructor sobre Sodium, \(\eta^2\), está entre 1.66% e 32.65%.
Se \(H_0\) é rejeitada, podemos
localizar as diferenças com testes post-hoc (par-a-par
simultâneas) com os contrastes de Holm. A conclusão é que
Melissa tem média populacional diferente e menor.
Exemplo de relatório para a ANOVA unifatorial independente de Fisher
Há 60 participantes no estudo com delineamento entreparticipantes com
três condições, sendo que nenhuma delas é de controle. Os participantes
foram distribuídos aleatoriamente e balanceadamente nos três grupos. As
suposições de normalidade e homocedasticidade da VD Sodium
nos grupos foram consideradas válidas. A análise por meio da ANOVA
unifatorial independente de Fisher mostra que a menor ingestão de sódio
diária média foi observada entre estudantes submetidos ao programa
aplicado por Melissa Robins. As médias populacionais de ingestão de
sódio dos estudantes de Brendon Small e do Coach McGuirk são
semelhantes.
A análise de variância de um fator fixo entre participantes mostrou
que o efeito fixo Instructor é estatisticamente
significante, pois o teste omnibus produziu
F(2,57) = 5.56 e p = 0.006235 O tamanho do
efeito de Instructor é expresso por eta ao quadrado de
Cohen, sendo que seu valor é igual a 0.16 e seu
IC95% = [0.03, 1.00]. Portanto, 16% da variância da ingesta
de sódio é explicada pelo programa adotado pelos instrutores. Os testes
post hoc de Holm encontraram diferenças estatisticamente
significantes entre os programas adotados por Melissa e McGuirk e
Melissa e Brendon. Não se observou diferença estatisticamente
significante entre McGuirk e Brendon.
ANOVA unifatorial independente de Welch
ANOVA unifatorial independente de Welch demo_ANOVA1f_indep_Welch_sodio.R pode
ser executado pelas funções jmv::anovaOneW ou
oneway.test e rstatix::games_howell_test.
ANOVA unifatorial independente de Welch
Análise de significância estatística: testes omnibus e posthoc
ONE-WAY ANOVA
One-Way ANOVA (Welch's)
──────────────────────────────────────────────────────
F df1 df2 p
──────────────────────────────────────────────────────
Sodium 5.765465 2 37.39637 0.0065692
──────────────────────────────────────────────────────
Group Descriptives
──────────────────────────────────────────────────────────────────
Instructor N Mean SD SE
──────────────────────────────────────────────────────────────────
Sodium Brendon 20 1287.500 193.7341 43.32026
McGuirk 20 1246.250 142.4123 31.84435
Melissa 20 1123.750 143.1495 32.00920
──────────────────────────────────────────────────────────────────
POST HOC TESTS
Games-Howell Post-Hoc Test – Sodium
─────────────────────────────────────────────────────────────────────
Brendon McGuirk Melissa
─────────────────────────────────────────────────────────────────────
Brendon Mean difference — 41.25000 163.7500
t-value — 0.7672235 3.040115
df — 34.89307 34.98266
p-value — 0.7253215 0.0120952
McGuirk Mean difference — 122.5000
t-value — 2.713093
df — 37.99899
p-value — 0.0263388
Melissa Mean difference —
t-value —
df —
p-value —
─────────────────────────────────────────────────────────────────────
Note. * p < .05, ** p < .01, *** p < .001
Statistical analysis: omnibus test
One-way analysis of means (not assuming equal variances)
data: Sodium and Instructor
F = 5.7655, num df = 2.000, denom df = 37.396, p-value = 0.006569
Fisher's One-way ANOVA with White's heteroscedasticity correction
Statistical analysis: Post hoc tests .y. group1 group2 n1 n2 estimate conf.low conf.high se statistic
1 Sodium Brendon McGuirk 20 20 -41.25 -172.8462 90.34618 38.01781 0.7672235
2 Sodium Brendon Melissa 20 20 -163.75 -295.5707 -31.92929 38.08696 3.0401147
3 Sodium McGuirk Melissa 20 20 -122.50 -232.6166 -12.38341 31.92688 2.7130926
df p.adj p.adj.signif method
1 34.89307 0.725 ns Games-Howell
2 34.98266 0.012 * Games-Howell
3 37.99899 0.026 * Games-Howell
Análise de significância prática: tamanho de efeito`var.equal = FALSE` - effect size is an approximation.# Effect Size for ANOVA
Eta2 | 95% CI | interpret
-------------------------------------
0.2357 | [0.0251, 0.4351] | largeA conclusão, neste exemplo, é similar à obtida com o teste de ANOVA de Fisher-White: o programa adotado por Melissa obteve ingestões diárias médias de sódio significantemente menores que a dos outros dois instrutores.
ANOVA independente unifatorial por bootstrapping
demo_ANOVA1f_indep_Bootstrap_sodio.R é
a versão com bootstrapping por meio da função
lmboot::ANOVA.boot.
Bootstrap One-Way ANOVA
F(2,57) = 5.5822, p = 0.00611
(1e+05 bootstrap samples)
Effect size analysis[1] 0.163786
Tamanho de efeito: estimativa pontual
"large"
(Rules: field2013)Uma outra possível solução são as funções WRS2::t1waybt
e WRS2::mcppb20. Implementamos em demo_WRS2_ANOVA_independente.R.
seed = 25809
Bootstrapped independent one-Way ANOVA
Call:
WRS2::t1waybt(formula = Sodium ~ Instructor, data = Dados, tr = 0,
nboot = 10000)
Effective number of bootstrap samples was 10000.
Test statistic: 5.7655
p-value: 0.0065
Variance explained: 0.241
Effect size: 0.491
post hoc
Legenda:
A ... Brendon
B ... McGuirk
C ... Melissa
Call:
WRS2::mcppb20(formula = Sodium ~ InstructorShort, data = Dados,
tr = 0.2, nboot = 10000, level = 1 - 0.05/3)
psihat ci.lower ci.upper p-value
A vs. B 50.0 -83.33333 177.0833 0.3661
A vs. C 162.5 31.25000 297.9167 0.0056
B vs. C 112.5 -4.16667 239.5833 0.0215
[1] "A"
[1] "B"
[1] "C"
Usamos duas funções neste último código R. A primeira é um ANOVA independente unifatorial que utiliza bootstrapping e computa \(\eta^2\) (chamado de variância explicada). A segunda faz um teste post hoc, também por bootstrapping, mas que tem um problema: obriga uma média aparada de 20% que não conseguimos desligar; é provavelmente um erro de implementação, e esperamos que o autor o resolva em versões futuras.
As conclusões são quase as mesmas: os valores p não são ajustados na saída da função, então as multiplicamos por 3 (correção de Bonferroni) para o gráfico. Com isto, a diferença entre McGuirk e Melissa deixou de ser significante (decisão de acordo com o intervalo de confiança 95% que inclui a diferença igual a zero).
ANOVA independente SEM dados brutos
É muito comum, em publicações, que somente tenhamos acesso às medidas-resumo (número de participantes, média, desvio-padrão e correlação). Nestes casos, os códigos R acima não são utilizáveis. Para fazer os testes quando os dados brutos não estão disponíveis, criamos os seguintes scripts:
demo_ANOVA_Independente_Unifatorial_Fisher_SemDadosBrutos.Rdemo_ANOVA_Independente_Unifatorial_Welch_SemDadosBrutos.R
O teste de ANOVA independente unifatorial sem os dados brutos e também as comparações aos pares pode ser feito com a implementação da seguinte função:
Exemplo:
Grupo media dp n
1 A 0.2760 0.4095 10
2 B 0.1956 0.1808 10
3 C 0.1495 0.2451 10
4 D 0.3997 0.2382 10factor <- "Grupo"
mean <- "media"
sd <- "dp"
n <- "n"
alpha <- 0.05
resF <- HH::anovaMean(object=Dados$Grupo,
n=Dados$n,
ybar=Dados$media,
s=Dados$dp,
ylabel="SDB")
cat("\nAVOVA unifatorial independente de Fisher sem dados brutos\n")
AVOVA unifatorial independente de Fisher sem dados brutosAnalysis of Variance Table
Response: SDB
Terms added sequentially (first to last)
Df Sum of Sq Mean Sq F value Pr(F)
SDB 3 0.36038 0.120125 1.5149 0.2272
Residuals 36 2.85473 0.079298
AVOVA unifatorial independente de Welch sem dados brutosOnewayWelch.WithoutRawData(data=Dados,
factor=factor,
mean=mean,
sd=sd,
n=n,
alpha=alpha,
echo=TRUE) Grupo media dp n
1 A 0.2760 0.4095 10
2 B 0.1956 0.1808 10
3 C 0.1495 0.2451 10
4 D 0.3997 0.2382 10
------------
Omnibus
------------
Statistical significance:
F(3,19.47366) = 2.038699, p = 0.1416938
Effect size:
eta^2 = R^2 = 0.2390057 (large)
Homocedasticity heuristic (ratio<2):
max(sd)/min(sd) = 2.264934
----------------
Post hoc
----------------
Bonferroni correction for p values (6 comparisons 2 x 2)
Comparing groups:
- A
- B
- C
- D
Group.1 Group.2 Mean.1 st.dev.1 n.1 Mean.2 st.dev.2 n.2 p.adj. sig. eta^2
A B 0.2760 0.4095 10 0.1956 0.1808 10 1.0000000 ns 0.025
A C 0.2760 0.4095 10 0.1495 0.2451 10 1.0000000 ns 0.046
A D 0.2760 0.4095 10 0.3997 0.2382 10 1.0000000 ns 0.045
B C 0.1956 0.1808 10 0.1495 0.2451 10 1.0000000 ns 0.014
B D 0.1956 0.1808 10 0.3997 0.2382 10 0.2741523 ns 0.217
C D 0.1495 0.2451 10 0.3997 0.2382 10 0.1958118 ns 0.230
effect.size
(small)
(small)
(small)
(small)
(large)
(large) [[1]]
Homocedasticity F df1 df2 p eta^2 effect.size
1 2.264934 2.038699 3 19.47366 0.1416938 0.2390057 large
[[2]]
Group.1 Group.2 Mean.1 st.dev.1 n.1 Mean.2 st.dev.2 n.2 p.adj. sig. eta^2
1 A B 0.2760 0.4095 10 0.1956 0.1808 10 1.0000000 ns 0.025
2 A C 0.2760 0.4095 10 0.1495 0.2451 10 1.0000000 ns 0.046
3 A D 0.2760 0.4095 10 0.3997 0.2382 10 1.0000000 ns 0.045
4 B C 0.1956 0.1808 10 0.1495 0.2451 10 1.0000000 ns 0.014
5 B D 0.1956 0.1808 10 0.3997 0.2382 10 0.2741523 ns 0.217
6 C D 0.1495 0.2451 10 0.3997 0.2382 10 0.1958118 ns 0.230
effect.size
1 (small)
2 (small)
3 (small)
4 (small)
5 (large)
6 (large)Esta função recebe uma planilha e os nomes das colunas que contém os níveis do fator, a média, o desvio-padrão e o tamanho de cada grupo. Devolve dois dataframes com o teste global e com os testes post hoc feitos dois a dois.
Planejamento de ANOVA unifatorial independente de Fisher
O tamanho do efeito pode ser expresso por eta ao quadrado de Cohen (\(\eta^2\)).
Boa parte dos valores relatados por Ellis (2010) são originais de Cohen (1992).
Cohen, 1992
Do mesmo trabalho, a tabela 2 indica o planejamento dos estudos:
Esta tabela pode ser reproduzida com as funções do pacote
pwr. Por exemplo, para 3 grupos, nivel de significância de
5%, poder de 80%, com tamanho de efeito intermediário, obtemos:
Balanced one-way analysis of variance power calculation
k = 3
n = 52.3966
f = 0.25
sig.level = 0.05
power = 0.8
NOTE: n is number in each groupPara poder de 90%:
Balanced one-way analysis of variance power calculation
k = 3
n = 68.49707
f = 0.25
sig.level = 0.05
power = 0.9
NOTE: n is number in each groupO valor f de Cohen, necessário para esta função, precisa
ser calculado em função do tamanho de efeito desejado. Supondo que você
esteja mais familiarizado com \(\eta^2\) (igual ao \(R^2\)), a conversão é dada por:
\[ f = \sqrt{\dfrac{\eta^2}{1-\eta^2}} \]
Basta escolher a partir de uma das tabelas o tamanho de efeito que se deseja detectar.
Esta função pode receber os seguintes parâmetros:
pwr.anova.test(k = NULL, n = NULL, f = NULL, sig.level = 0.05,
power = NULL)
Nos exemplos acima, o valor dado em n, que não foi
fornecido na chamada da função, foi calculado.
Além deste planejamento mais habitual (achar o tamanho da amostra), podemos fornecer quaisquer quatro dos cinco valores, para obter o quinto, considerado como incógnita e calculado. E.g.: suponha que dispomos de 50 pacientes e pretendemos medir tamanho de efeito intermediário, com nível de significância de 5% e poder de 80%:
Balanced one-way analysis of variance power calculation
k = 3.268196
n = 50
f = 0.25
sig.level = 0.05
power = 0.8
NOTE: n is number in each groupNecessitaremos de 3 a 4 grupos. Na verdade, se arredondarmos para 3, o poder será um pouco menor que 80%. Quanto?
Balanced one-way analysis of variance power calculation
k = 3
n = 50
f = 0.25
sig.level = 0.05
power = 0.7795803
NOTE: n is number in each groupObteremos poder próximo a 78%.
Tradicionalmente exigia-se, para a ANOVA unifatorial independente sem reamostragem, que a distribuição populacional da variável fosse normal para cada condição e que existisse homocedasticidade entre os grupos. As suposições são:
- Independência das observações dentro e entre condições: delineamento entreparticipantes.
- Normalidade da VD se a amostra é pequena (menos de 12 observações em cada grupo).
- Homocedasticidade da VD se os grupos são desbalanceados.
Normalidade e homocedasticidade podem ser testadas. Quando não eram atendidas, alguns autores recomendam o teste não-paramétrico H de Kruskal-Wallis.
No entanto, este teste não-paramétrico não deve ser usado. O teste de Kruskal-Wallis com VD intervalar não precisa de normalidade, mas precisa de homocedasticidade para testar diferenças de pseudo-medianas; para testar diferença de médias, também precisa de simetria da VD em cada condição independente. Testes não paramétricos não são livres de suposições.
Quando o tamanho da amostra é pequeno e há heterocedasticidade ou desbalanceamento da VD, há alternativas de ANOVA unifatorial independente que podem funcionar: Fisher-White, Welch ou por reamostragem (bootstrapping).
Quando o tamanho da amostra é grande (tamanho de amostra total maior que 30 e menor grupo igual a 12 observações), o teorema central do limite permitirá que ANOVA unifatorial independente sem reamostragem funcionem independentemente da distribuição da VD em cada condição independente.
ANOVA unifatorial relacionada
ANOVA unifatorial relacionada é utilizada quando pelo menos um participante é submetido a pelo menos duas condições experimentais, i.e., um delineamento intraparticipantes.
O delineamento com medidas repetidas conduz a uma ANOVA com maior poder.
Neste delineamento intraparticipantes, cada participante pode ser controle de si mesmo. Nos participantes com pelo menos duas condições experimentais, sugere-se que esta ordem de submissão, se possível, seja aleatorizada ou contrabalanceada. Para o cálculo da estatística F, a variância total da VD é particionada entre as variâncias das condições dependentes e dos participantes.
Suposições
– as diferenças dos valores das VD são independentes entre as unidades observacionais. – as diferenças dos valores das VD têm distribuição normal multivariada. – esfericidade: homocedasticidade das variâncias das diferenças das VDs ( explicações estão em Mauchly’s sphericity test: Wikipedia e Ferrari, Motta-Jr & Siqueira (2017).
“Vale a pena observar que a MANOVA é ainda um teste válido, mesmo com modestas violações na suposição de normalidade, particularmente quando os tamanhos dos grupos são iguais e existe um número razoável de participantes em cada grupo; por “razoável” entendemos que [para um delineamento] completamente intraparticipantes, [deve haver] pelo menos 22 participantes ao todo.”
Dancey & Reidy, 2019, p. 472
Exemplo: SNAP-Ed intraparticipantes com 3 condições
Usaremos os mesmos dados do exemplo anterior, mas imaginando que as 20 medidas de ingestão de sódio sejam do mesmo participante, submetido aos três diferentes programas educacionais. Com 20 unidades observacionais no estudo, a normalidade multivariada das três diferenças não pode ser automaticamente assumida.
Brendon, McGuirk e Melissa fazem com que seus alunos do SNAP-Ed mantenham diários do que comem por uma semana e depois calculem a ingestão diária de sódio em miligramas.
Estudantes atenderam os diferentes programas de educação nutricional sucessivamente, cada um deles em uma ordem aleatorizada previamente. Os instrutores querem ver se a ingestão média de sódio é a mesma quando cada um dos três programas foi seguido.
Hipóteses nula e alternativa
O delineamento do estudo é diferente, mas as hipóteses são as mesmas:
\[ \begin{cases} H_0: &\mu_{\text{Brendon}} = \mu_{\text{McGuirk}} = \mu_{\text{Robins}}\\ H_1: &\exists\mu_i \ne \mu_j,\quad i \ne j,\quad i,j=1,2,3 \end{cases} \]
ANOVA unifatorial relacionada
A planilha a ser utilizada é Nutricao3rm.xlsx. Verifique a coluna
Student, que foi alterada para indicar o participante nos
três programas (compare com Nutricao3.xlsx, usada para ANOVA
unifatorial independente).
alfa <- 0.05
Dados <- data.frame(readxl::read_excel("Nutricao3rm.xlsx"))
Dados$Instructor <- factor(Dados$Instructor)
Dados$Instructor <- factor(Dados$Instructor,
labels=c("Brendon", "McGuirk", "Melissa"))
saveRDS(Dados, "Nutricao3rm.rds")A função adotada para esta ANOVA é lmerTest::lmer.
Executando demo_ANOVA1f_dep_balanc_sodio.R,
obtemos:
Factor (Instructor):
Descriptive statistics by group
Instructor: Brendon
vars n mean sd median trimmed mad min max range skew kurtosis
Sodium 1 20 1287.5 193.73 1300 1284.38 166.79 950 1700 750 0.12 -0.46
se
Sodium 43.32
------------------------------------------------------------
Instructor: McGuirk
vars n mean sd median trimmed mad min max range skew
Sodium 1 20 1246.25 142.41 1212.5 1240.62 148.26 1000 1525 525 0.3
kurtosis se
Sodium -0.85 31.84
------------------------------------------------------------
Instructor: Melissa
vars n mean sd median trimmed mad min max range skew
Sodium 1 20 1123.75 143.15 1112.5 1120.31 185.32 900 1400 500 0.08
kurtosis se
Sodium -1.1 32.01
Instructor N Sodium SodiumNormed sd se ci
1 Brendon 20 1287.50 1287.50 91.50304 20.46070 53.71151
2 McGuirk 20 1246.25 1246.25 47.62737 10.64980 27.95686
3 Melissa 20 1123.75 1123.75 59.92274 13.39913 35.17414
Repeated Measures one-way ANOVA
ANOVA
Analysis of Deviance Table (Type II Wald F tests with Kenward-Roger df)
Response: Sodium
F Df Df.res Pr(>F)
Instructor 30.581 2 38 1.217e-08 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
RegressionLinear mixed model fit by REML. t-tests use Satterthwaite's method [
lmerModLmerTest]
Formula: Sodium ~ Instructor + (1 | Student)
Data: Dados
REML criterion at convergence: 704
Scaled residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-1.71211 -0.44338 -0.05566 0.54555 2.09262
Random effects:
Groups Name Variance Std.Dev.
Student (Intercept) 21358 146.14
Residual 4744 68.88
Number of obs: 60, groups: Student, 20
Fixed effects:
Estimate Std. Error df t value Pr(>|t|)
(Intercept) 1287.50 36.13 24.37 35.639 < 2e-16 ***
InstructorMcGuirk -41.25 21.78 38.00 -1.894 0.0659 .
InstructorMelissa -163.75 21.78 38.00 -7.518 4.95e-09 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Effect size analysis# Effect Size for ANOVA (Type II)
Parameter | Eta2 (partial) | 95% CI | interpret
----------------------------------------------------------
Instructor | 0.6168 | [0.4041, 0.7388] | large
Post hoc tests Instructor emmean SE df lower.CL upper.CL
Brendon 1288 36.1 24.4 1213 1362
McGuirk 1246 36.1 24.4 1172 1321
Melissa 1124 36.1 24.4 1049 1198
Degrees-of-freedom method: satterthwaite
Confidence level used: 0.95
contrast estimate SE df lower.CL upper.CL t.ratio p.value
Brendon - McGuirk 41.2 21.8 38 -13.3 95.8 1.894 0.0659
Brendon - Melissa 163.8 21.8 38 109.2 218.3 7.518 <.0001
McGuirk - Melissa 122.5 21.8 38 67.9 177.1 5.624 <.0001
Degrees-of-freedom method: satterthwaite
Confidence level used: 0.95
Conf-level adjustment: bonferroni method for 3 estimates
P value adjustment: holm method for 3 tests 
Instructor emmean SE df lower.CL upper.CL .group
Melissa 1124 36.1 24.4 1031 1217 a
McGuirk 1246 36.1 24.4 1153 1339 b
Brendon 1288 36.1 24.4 1195 1380 b
Degrees-of-freedom method: satterthwaite
Confidence level used: 0.95
Conf-level adjustment: bonferroni method for 3 estimates
P value adjustment: holm method for 3 tests
significance level used: alpha = 0.05
NOTE: If two or more means share the same grouping symbol,
then we cannot show them to be different.
But we also did not show them to be the same. ANOVA unifatorial relacionada perfeitamente balanceada por reamostragem
As funções WRS2::rmanovab e WRS2::pairdepb
realizam a ANOVA unifatorial relacionada perfeitamente balanceada por
reamostragem (demo_WRS2_ANOVA_dependente.R).
seed = 11898
"WRS" bootstrapped repeated measure one-Way ANOVACall:
WRS2::rmanovab(y = Dados$Sodium, groups = Dados$Instructor, blocks = Dados$Student,
tr = 0, nboot = 10000)
Test statistic: 30.5805
Critical value: 4.0072
Significant: TRUE
"WRS" post hocCall:
WRS2::pairdepb(y = Dados$Sodium, groups = Dados$Instructor, blocks = Dados$Student,
tr = 0, nboot = 10000)
psihat ci.lower ci.upper test crit sig
Brendon vs. McGuirk 41.25 -35.16596 117.6660 1.75616 2.68398 FALSE
Brendon vs. Melissa 163.75 83.20521 244.2948 5.41496 2.68398 TRUE
McGuirk vs. Melissa 122.50 85.65541 159.3446 8.19517 2.68398 TRUEAs conclusões permanecem as mesmas.
|
Na linguagem do modelo linear geral (GLM) na ANOVA unifatorial relacionada precisamos distinguir medida de variável dependente ou de desfecho: há apenas uma medida (measure) que, em nosso exemplo, é a quantidade de sódio ingerida. As variáveis dependentes (VD) são estas observações da medida em cada condição experimental (os programas de cada instrutor). Adicionalmente, na execução do teste, buscamos mitigar a dependência das três observações em cada indivíduo, o que é feito pelas diferenças, par-a-par, das observações entre todas as condições às quais cada indivíduo foi submetido. A rigor, as suposições de multinormalidade e de esfericidade poderiam ser feitas sobre estas diferenças. Note que, no caso da ANOVA independente unifatorial, medida e VD são idênticas: há apenas uma medida, que é a própria VD. |
ANOVA unifatorial relacionada desbalanceada
Vamos usar os mesmos dados, mas eliminar uma única observação
(removemos o estudante a de Melissa , planilha Nutricao3rmdesb.xlsx).
alfa <- 0.05
Dados <- data.frame(readxl::read_excel("Nutricao3rmdesb.xlsx"))
Dados$Instructor <- factor(Dados$Instructor)
Dados$Instructor <- factor(Dados$Instructor,
labels=c("Brendon", "McGuirk", "Melissa"))
saveRDS(Dados, "Nutricao3rmdesb.rds")Para lidar com esta situação, utilizamos o mesmo código R utilizado
para a versão com dados perfeitamente balanceados, implementado em demo_ANOVA1f_dep_desbalanc_sodio.R. A
função lmerTest::lmer é capaz de lidar com dados
desbalanceados.
Factor (Instructor):
Descriptive statistics by group
Instructor: Brendon
vars n mean sd median trimmed mad min max range skew kurtosis
Sodium 1 20 1287.5 193.73 1300 1284.38 166.79 950 1700 750 0.12 -0.46
se
Sodium 43.32
------------------------------------------------------------
Instructor: McGuirk
vars n mean sd median trimmed mad min max range skew
Sodium 1 20 1246.25 142.41 1212.5 1240.62 148.26 1000 1525 525 0.3
kurtosis se
Sodium -0.85 31.84
------------------------------------------------------------
Instructor: Melissa
vars n mean sd median trimmed mad min max range skew
Sodium 1 19 1135.53 136.76 1125 1132.35 148.26 925 1400 475 0.08
kurtosis se
Sodium -1.04 31.37
Instructor N Sodium SodiumNormed sd se ci
1 Brendon 20 1287.500 1288.743 89.65700 20.04791 52.62790
2 McGuirk 20 1246.250 1247.493 52.02848 11.63392 30.54028
3 Melissa 19 1135.526 1132.910 57.83517 13.26830 35.01696
Repeated Measures one-way ANOVA
ANOVAAnalysis of Deviance Table (Type II Wald F tests with Kenward-Roger df)
Response: Sodium
F Df Df.res Pr(>F)
Instructor 27.356 2 37.061 5.043e-08 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
RegressionLinear mixed model fit by REML. t-tests use Satterthwaite's method [
lmerModLmerTest]
Formula: Sodium ~ Instructor + (1 | Student)
Data: Dados
REML criterion at convergence: 691.2
Scaled residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-1.7013 -0.4632 -0.0990 0.5474 2.1420
Random effects:
Groups Name Variance Std.Dev.
Student (Intercept) 20846 144.38
Residual 4654 68.22
Number of obs: 59, groups: Student, 20
Fixed effects:
Estimate Std. Error df t value Pr(>|t|)
(Intercept) 1287.50 35.71 24.34 36.057 < 2e-16 ***
InstructorMcGuirk -41.25 21.57 37.03 -1.912 0.0636 .
InstructorMelissa -157.51 21.98 37.12 -7.166 1.68e-08 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Effect size analysis# Effect Size for ANOVA (Type II)
Parameter | Eta2 (partial) | 95% CI | interpret
----------------------------------------------------------
Instructor | 0.5962 | [0.3729, 0.7253] | large
Post hoc tests$emmeans
Instructor emmean SE df lower.CL upper.CL
Brendon 1288 35.7 24.3 1214 1361
McGuirk 1246 35.7 24.3 1173 1320
Melissa 1130 36.0 24.9 1056 1204
Degrees-of-freedom method: satterthwaite
Confidence level used: 0.95
$contrasts
contrast estimate SE df t.ratio p.value
Brendon - McGuirk 41.2 21.6 37.0 1.912 0.0636
Brendon - Melissa 157.5 22.0 37.1 7.166 <.0001
McGuirk - Melissa 116.3 22.0 37.1 5.289 <.0001
Degrees-of-freedom method: satterthwaite
P value adjustment: holm method for 3 tests 
Instructor emmean SE df lower.CL upper.CL .group
Melissa 1130 36.0 24.9 1038 1222 a
McGuirk 1246 35.7 24.3 1154 1338 b
Brendon 1288 35.7 24.3 1196 1379 b
Degrees-of-freedom method: satterthwaite
Confidence level used: 0.95
Conf-level adjustment: bonferroni method for 3 estimates
P value adjustment: holm method for 3 tests
significance level used: alpha = 0.05
NOTE: If two or more means share the same grouping symbol,
then we cannot show them to be different.
But we also did not show them to be the same.
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A ANOVA unifatorial relacionada desbalanceada feita com o pacote
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Exemplo de relatório para a ANOVA unifatorial relacionada
Vinte participantes foram selecionados para um estudo com
delineamento intrapartipantes com três condições experimentais. A ordem
de aplicação das três condições experimentais em cada participante foi
aleatorizada. As médias amostrais brutas mostram que menor ingestão
diária média de sódio foi observada entre estudantes submetidos ao
programa aplicado por Melissa Robins. A ingestão diária média de sódio
dos estudantes de Brendon e McGuirk são semelhantes. A ANOVA unifatorial
relacionada por meio do modelo linear misto geral
(lmerTest::lmer) rejeitou a hipótese nula omnibus,
pois a estatística de teste observada é F(2,37.1) = 27.369
e o valor p associado é igual a \(1.22 \times 10^{-8}\). O tamanho do efeito
do fator intraparticipantes Instructor é estimado pelo eta
ao quadrado de Cohen cujo valor indica que 62% da variância da ingesta
de sódio é explicada pelo efeito do fator fixo Instructor.
A análise post-hoc confirmou que as diferenças das médias populacionais
entre entre os programas adotados por Melissa e Brendon, e entre os
adotados por Melissa e McGuirk são estatisticamente significantes. Não
se observou diferença estatisticamente significante entre os programas
adotados por Brendon e McGuirk.
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Para aprofundar em métodos para resolver ANOVA relacionada, há oito possibilidades discutidas em Keselman et al. (2001). |
Referências
- Cohen, J (1992) A power primer. Quantitative methods in Psychology 112(1): 155-159.
- Dancey C & Reidy J (2019) Estatística sem Matemática para Psicologia. 7a ed. Porto Alegre: PENSO.
- Ferrari, A, Motta-Junior, JC & Siqueira, JO (2017) Métodos de amostragem e análise em estudos sobre comportamento de forrageio de aves. Oecologia Australis 21(2): 191–206. https://doi.org/10.4257/oeco.2017.2102.03
- Johnson, R & Wichern, D (2007) Applied Multivariate Statistical Analysis. 6th ed. NJ: Prentice-Hall.
- Keselman HJ, Algina J, Kowalchuk R (2001) The analysis of repeated measures designs: A review. British Journal of Mathematical and Statistical Psychology 54(1).
- Moore, D (1995) The basic practice of statistics. NY: W. H. Freeman and Company.
- Norusis, M (2009) PASW Statistics 18: Statistics Procedures Companion. NJ: Prentice-Hall.
- Pestana, M & Gageiro, J (2008) Análise de dados para Ciências Sociais: a complementaridade do SPSS. Lisboa: Sílabo.