Gabarito para conferência

Exercício 1

flowchart LR
    1(("1
    (0,0)")) -->|A,2| 2(("2
    (2,2)"))
    linkStyle 0 stroke:red
    2 -->|"B ,4"| 3(("3
    (6,6)"))
    linkStyle 1 stroke:red
    3 -->|"C ,10"| 4(("4
    (16,16)"))
    linkStyle 2 stroke:red
    4 -->|"D ,6"| 5(("5
    (22,26)"))
    4 -->|"E ,4"| 6(("6
    (20,20)"))
    linkStyle 4 stroke:red
    6 -->|"F ,5"| 7(("7
    (25,25)"))
    linkStyle 5 stroke:red
    5 -->|"G ,7"| 8(("8
    (29,33)"))
    6 -.->|"0"| 8(("8
    (29,33)"))
    8 -->|"H ,9"| 9(("9
    (38,42)"))
    4 -->|"I ,7"| 7
    7 -->|"J ,8"| 11(("10
    (33,33)"))
    linkStyle 10 stroke:red
    9 -->|"M ,2"| 14(("13
    "))
    11 -->|"K ,4"| 12(("11
    (38,38)"))
    11 -->|"L ,5"| 13(("12
    "))
    linkStyle 13 stroke:red
    12 -.->|"0"| 13(("12
    (38,38)"))
    13 -->|"N ,6"| 14(("13
    (44,44)"))
    linkStyle 15 stroke:red

Fórmulas: \(td_{ij}=T_j-C_i\)

\(FT_{ij}=td_{ij}-d_{ij}\);

\(FD_{ij}=T_j-T_i-d_{ij}\);

\(FI_{ij}=C_j-T_i-d_{ij}\);

\(FL_{ij}=C_j-C_i-d_{ij}\)

Tabela de Folgas - exercício 1

Analisando as folgas das atividades não críticas, recomenda-se priorizar nesta ordem as atividades K, I, G, H, M e D, observando que G e H possuem FI < 0 e devem ser aceleradas para evitar possível atraso no tempo de início mais cedo das atividades sucessoras.

Gabarito para conferência

Exercício 2

flowchart LR
1 -->|"C ,2"| 4(("4
    "))
     4 -->|"H,3"| 5(("5
    "))
     1(("1
    (0,0)")) -->|A,3| 2(("2
    (3,3)"))
    linkStyle 2 stroke:red
    2 -->|"D ,4"| 3(("3
    (7,7)"))
    linkStyle 3 stroke:red
    2 -->|"E ,2"| 4(("4
    (5,8)"))
    2 -->|"F ,7"| 5(("5
    (11,11)"))  
    1 -->|"B ,6"| 3(("3
    (7,7)"))
    3 -->|"G,4"| 5(("5
    (11,11)"))
    linkStyle 7 stroke:red
   

\(FT_A=3-0-3=0\);\(FD_A=3-0-3=0\);\(FI_A=3-0-3=0\);\(FL_A=3-0-3=0\);

\(FT_B=7-0-6=1\);\(FT_B=7-0-6=1\);\(FT_B=7-0-6=1\);\(FT_B=7-0-6=1\);

\(FT_C=8-0-2=6\); \(FD_C=8-0-2=6\); \(FI_C=5-0-2=3\); \(FL_C=5-0-2=3\);

\(FT_D=7-3-4=0\);\(FD_D=7-3-4=0\);\(FI_D=7-3-4=0\);\(FL_D=7-3-4=0\);

\(FT_E=8-3-2=3\); \(FD_E=8-3-2=3\); \(FI_E=5-3-2=0\); \(FL_E=5-3-2=0\);

\(FT_F=11-3-7=1\);\(FD_F=11-3-7=1\);\(FI_F=11-3-7=1\);\(FL_F=11-3-7=1\);

\(FT_G=11-7-4=0\); \(FD_G=11-7-4=0\); \(FI_G=11-7-4=0\); \(FL_G=11-7-4=0\);

\(FT_H=11-5-3=3\);\(FD_H=11-8-3=0\);\(FI_H=11-8-3=0\);\(FL_H=11-5-3=3\).

Tabela das Folgas exercício 2

Analisando as folgas das atividades não críticas, recomenda-se priorizar nesta ordem as atividades B,F, H, E e C.

Gabarito para conferência

Exercício 3

flowchart LR
 1(("1
    (0,0)")) -->|A,3| 2(("2
    (3,3)"))
     linkStyle 0 stroke:red
    2 -->|"B ,2"| 3(("3
    (6,6)"))
 2 -->|"C ,3"| 4(("4
    (6,6)"))
     linkStyle 2 stroke:red
    4 -.->|"0"| 3(("3
    (6,6)"))
     linkStyle 3 stroke:red
     4 -->|"E,3"| 5(("5
    "))
     4 -->|"H,2"| 6(("6
    "))
     3 -->|"F,5"| 6(("6
    "))
     3 -->|"D,7"| 5(("5
    (13,13)"))
     linkStyle 7 stroke:red
     5 -->|"G,6"| 6(("6
    (19,19)"))
     linkStyle 8 stroke:red

\(FT_A=3-0-3=0\); \(FD_A=3-0-3=0\);\(FI_A=3-0-3=0\);\(FL_A=3-0-3=0\);

\(FT_B=6-3-2=1\); \(FD_B=6-3-2=1\);\(FI_B=6-3-2=1\);\(FL_B=6-3-2=1\);

\(FT_C=6-3-3=0\);\(FD_C=6-3-3=0\);\(FI_C=6-3-3=0\);\(FL_C=6-3-3=0\);

\(FT_D=13-6-7=0\);\(FD_D=13-6-7=0\);\(FI_D=13-6-7=0\);\(FL_D=13-6-7=0\);

\(FT_E=13-6-4=3\); \(FD_E=13-6-4=3\);\(FI_E=13-6-4=3\);\(FL_E=13-6-4=3\);

\(FT_F=19-6-5=8\);\(FD_F=19-6-5=8\);\(FI_F=19-6-5=8\);\(FL_F=19-6-5=8\);

\(FT_G=19-13-6=0\);\(FD_G=19-13-6=0\);\(FI_G=19-13-6=0\);\(FL_G=19-13-6=0\);

\(FT_H=19-6-2=11\);\(FD_H=19-6-2=11\);\(FI_H=19-6-2=11\);\(FL_H=19-6-2=11\).

Tabela das Folgas exercício 3

Recomenda-se priorizar nesta ordem as atividades B, E, F e H.

Marcos do Projeto

Os marcos do projeto, compreendem as datas de início e término de cada atividade, são elementos essenciais para a elaboração e monitoramento do cronograma do projeto. Representam pontos cruciais que indicam o progresso e o alinhamento temporal das diversas atividades. Ao obter essas informações, os gestores de projeto conseguem estabelecer uma linha do tempo clara e detalhada, permitindo uma visão abrangente e estruturada do desenvolvimento do projeto. São eles:

\(PDI_{ij}=C_i\) é a Primeira Data de Início da atividade \((ij)\), definida como a primeira oportunidade de iniciar uma atividade \((ij)\).

\(PDT_{ij}=C_i+d_{ij}\) é a Primeira Data de Término da atividade \((ij)\), é a primeira oportunidade de concluir uma atividade.

\(UDI_{ij}=T_j - d_{ij}\) é a Última Data de Início da atividade \((ij)\), definida como a última oportunidade de iniciar uma atividade a fim de que não ocorram atrasos nas atividades subsequentes.

\(UDT_{ij}=T_j\) é a Última Data de Término da atividade \((ij)\), definida como a última oportunidade de terminar uma atividade a fim de que não haja atrasos nas atividades subsequentes.

Exercício

Com base na rede de projeto, calcule seus marcos, ou seja, PDI, PDT, UDI, UDT de cada atividade.

flowchart LR
    1(("1
    (0,0)")) -->|A,2| 2(("2
    (2,2)"))
    linkStyle 0 stroke:red
    2 -->|"B ,4"| 3(("3
    (6,6)"))
    linkStyle 1 stroke:red
    3 -->|"C ,10"| 4(("4
    (16,16)"))
    linkStyle 2 stroke:red
    4 -->|"D ,6"| 5(("5
    (22,26)"))
    4 -->|"E ,4"| 6(("6
    (20,20)"))
    linkStyle 4 stroke:red
    6 -->|"F ,5"| 7(("7
    (25,25)"))
    linkStyle 5 stroke:red
    5 -->|"G ,7"| 8(("8
    (29,33)"))
    6 -.->|"0"| 8(("8
    (29,33)"))
    8 -->|"H ,9"| 9(("9
    (38,42)"))
    4 -->|"I ,7"| 7
    7 -->|"J ,8"| 11(("10
    (33,33)"))
    linkStyle 10 stroke:red
    9 -->|"M ,2"| 14(("13
    "))
    11 -->|"K ,4"| 12(("11
    (38,38)"))
    11 -->|"L ,5"| 13(("12
    "))
    linkStyle 13 stroke:red
    12 -.->|"0"| 13(("12
    (38,38)"))
    13 -->|"N ,6"| 14(("13
    (44,44)"))
    linkStyle 15 stroke:red

Resposta

Cronograma

Para montar o cronograma do projeto, iniciamos desenhando a linha do tempo anotando os marcos do projeto. A primeira linha (em vermelho) representará a sequência de atividades críticas. As linhas pontilhadas são apenas guias e podem ser apagadas ao final.

Cronograma (continuação)

Incluir as atividades não-críticas no cronograma, indicando as primeiras datas de início (PDI) e última data de término (UDT) de cada atividade, como datas-limite de execução das mesmas. Estes limites são unidos por linhas tracejadas, indicando que estas atividades poderão ter sua execução programada dentro deste intervalo, sem que haja prejuízo nas relações de precedência. Para cada atividade não crítica inclui-se 2 linhas contínuas de comprimento proporcional à duração da atividade.

Resumo

Os marcos do projeto são pontos importantes do cronograma para controle dos prazos de cada atividade.

São eles:

\(PDI_{ij}=C_i\) é a Primeira Data de Início da atividade \((ij)\).

\(PDT_{ij}=C_i+d_{ij}\) é a Primeira Data de Término da atividade \((ij)\).

\(UDI_{ij}=T_j - d_{ij}\) é a Última Data de Início da atividade \((ij)\).

\(UDT_{ij}=T_j\) é a Última Data de Término da atividade \((ij)\).

Nas atividades críticas \(PDI=UDI\) e \(PDT=UDT\).

Resumo

Observe que a linha pontilhada azul da atividade G inicia em 22 e termina em 33, esse é o tempo disponível para realizar a tarefa G. A linha contínua de 22 a 29 indica o mais cedo que a atividade pode iniciar e terminar, e a a linha de 26 a 33 indica o mais tarde que a atividade pode iniciar e terminar. Note que o tamanho das linhas contínuas representam a duração da atividade, que neste caso é de 7 semanas.

As atividades não críticas estão representadas no cronograma através de três linhas azuis, sendo uma linha pontilhada representando o tempo disponível para a atividade e duas linhas contínuas representando a duração da atividade com início no seu mais cedo e no seu mais tarde possível.

Incertezas na Programação de um Projeto

A duração de cada atividade, na prática, pode ser diferente daquela prevista na elaboração do projeto.

Muitos fatores praticamente impossíveis de serem previstos podem adiantar ou atrasar a duração de uma atividade. Exemplo, escassez ou abundância de recursos, intempéries climáticas, entre tantos outros.

A metodologia PERT supõe a independência entre a duração das atividades e utiliza 3 diferentes tipos de estimativas para seu valor para determinar os parâmetros da distribuição de probabilidade: Otimista, Mais Provável e Pessimista.

Parâmetros a serem calculados

Para cada atividade (i,j) podemos calcular a duração média \(\mu_{ij}\) e a variância \(\sigma_{ij}^2\) da seguinte forma:

\(\mu_{ij} = \frac{O_{ij}+4M_{ij}+P_{ij}}{6}\)

\(\sigma_{ij}^2 = (\frac{P_{ij}-O_{ij}}{6})^2\)

Sendo,

\(O_{ij}\) a duração estimada da atividade no cenário otimista;

\(M_{ij}\) a duração estimada da atividade no cenário mais provável;

\(P_{ij}\) a duração estimada da atividade no cenário pessimista.

Obtendo a duração estimada do projeto

Considerando

que a duração de um projeto é determinada pela soma das durações das atividades críticas e que as “n” atividades pertencentes ao caminho crítico sejam independentes,

O valor esperado para o tempo de duração do projeto \(mu_{P}\) bem como a sua variância \(sigma_{P}^2\) são:

\(\mu_P=\sum_{i=1}^{n}\mu_i\) ;

\(\sigma_P^2=\sum_{i=1}^{n}\sigma_i^2\)

Para o cálculo da probabilidade de duração do projeto, lança-se mão do Teorema do Limite Central e assim a distribuição normal é empregada para obter por exemplo a probabilidade da duração total do projeto ser menor do que um certo prazo:

\[P(duração \le prazo) = P(Z\le z)\] em que \(Z = \frac{prazo - \mu_P}{sigma_P}\)

Exemplo

Considere um projeto contendo 8 atividades cujas estimativas de duração são dadas na tabela.

1- Obtenha a estimativa de duração de cada atividade, bem como sua variância.

Use \(\mu_{ij} = \frac{O_{ij}+4M_{ij}+P_{ij}}{6}\) e \(\sigma_{ij}^2 = (\frac{P_{ij}-O_{ij}}{6})^2\)

Exemplo

1- Resposta

Exemplo

2- Sabendo que o caminho crítico é formado pelas atividades A1, A3, A5 e A8, calcule a probabilidade da duração do projeto ser menor ou igual a 8 dias.

Exemplo

2- Resposta

Deseja-se \(P(Duração \le 8)\).

A estimativa da duração de cada atividade crítica é: \(\mu_{A1}=1; \mu_{A3}=1; \mu_{A5}=2; \mu_{A8}=6\)

A estimativa da variância destas atividades é: \(\sigma_{A1}^2=0; \sigma_{A3}^2=0; \sigma_{A5}^2=0.111; \sigma_{A8}^2=0.444\)

\(\mu_P=\sum_{i=1}^{n}\mu_i= 1+1+2+6=10\)

\(\sigma_P^2=\sum_{i=1}^{n}\sigma_i^2=0+0+0.111+0.444=0.555 \rightarrow \sigma_P=0.745\)

\[P(\mu_P \le 8) = P(Z\le z)\] em que \(z = \frac{8 - 10}{0.745}=-2.69\)

Graficamente a probabilidade desejada é a área em destaque

Tabela Normal

Consulte o valor 2.69 na tabela e anote a probabilidade correspondente, ou seja, 0.49643.

\(P(Z\le z)=P(Z\le -2.69)=0.5-0.49643=0.00357\)

Resposta

A probabilidade do projeto durar 8 semanas é de aproximadamente 0.00357 ou 0.0357%, ou seja, muito pouco provável que esse prazo máximo de 8 dias seja cumprido.

Discussões

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Exercícios Propostos

1

O projeto apresentado na tabela a seguir, possui a seguinte rede (já construída em exercício anterior). Considerando as estimativas para o desvio-padrão, calcule a probabilidade do projeto ser completado em menos de 10 dias.

flowchart LR
1 -->|"C ,2"| 4(("4
    "))
     4 -->|"H,3"| 5(("5
    "))
     1(("1
    (0,0)")) -->|A,3| 2(("2
    (3,3)"))
    linkStyle 2 stroke:red
    2 -->|"D ,4"| 3(("3
    (7,7)"))
    linkStyle 3 stroke:red
    2 -->|"E ,2"| 4(("4
    (5,8)"))
    2 -->|"F ,7"| 5(("5
    (11,11)"))  
    1 -->|"B ,6"| 3(("3
    (7,7)"))
    3 -->|"G,4"| 5(("5
    (11,11)"))
    linkStyle 7 stroke:red

   

2

2-Calcule a probabilidade do projeto ser completado em menos de 18 dias, agora observando as estimativas da variância.

flowchart LR
 1(("1
    (0,0)")) -->|A,3| 2(("2
    (3,3)"))
     linkStyle 0 stroke:red
    2 -->|"B ,2"| 3(("3
    (6,6)"))
 2 -->|"C ,3"| 4(("4
    (6,6)"))
     linkStyle 2 stroke:red
    4 -.->|"0"| 3(("3
    (6,6)"))
     linkStyle 3 stroke:red
     4 -->|"E,3"| 5(("5
    "))
     4 -->|"H,2"| 6(("6
    "))
     3 -->|"F,5"| 6(("6
    "))
     3 -->|"D,7"| 5(("5
    (13,13)"))
     linkStyle 7 stroke:red
     5 -->|"G,6"| 6(("6
    (19,19)"))
     linkStyle 8 stroke:red