Distribuição de probabilidade
em R
02 julho 2025 21:54h
options(warn=-1)
suppressMessages(library(knitr, warn.conflicts=FALSE))
suppressMessages(library(readxl, warn.conflicts=FALSE))
suppressMessages(library(DescTools, warn.conflicts=FALSE))
suppressMessages(library(ggplot2, warn.conflicts=FALSE))
suppressMessages(library(png, warn.conflicts=FALSE))
suppressMessages(library(grid, warn.conflicts=FALSE))
suppressMessages(library(EnvStats, warn.conflicts=FALSE))
suppressMessages(library(aplpack, warn.conflicts=FALSE))
suppressMessages(library(diptest, warn.conflicts=FALSE))
# source("eiras.friendlycolor.R")
# source("eiras.numeric.summary.R")
# source("demo_numericsummary.R")
# source("demo_gamma.R")
# source("demo_beta.R")
# source("demo_beta&normal.R")
# source("demo_t&normal.R")
# source("BiometriaNormal.R")
# source("AproximacaoNormal.R")
# source("hemoglobina.R")
# source("hemoglobina_padrao.R")
# source("hemoglobina_centrada.R")
# source("massacerebro.R")
# source("massacerebro_padrao.R")
# source("massacerebro_tukeytry.R")
# source("eiras.create.population.R")
# source("eiras.plot.density.withmeansd.R")
# source("eiras.sampling.R")
# source("glicemia_normal.R")
# source("glicemia_intervalos.R")
# source("glicemia_hdi.R")
# source("demo_pie.R")
# source("demo_barra.R")
# source("demo_lowhigh.R")
# source("demo_dotplot.R")
# source("demo_dotplot2.R")
# source("demo_histograma.R")
# source("demo_histograma2.R")
# source("demo_scatterplot.R")
# source("demo_scatterplot2.R")
# source("demo_bagplot.R")
# source("demo_density.R")
# source("demo_density2.R")
# source("demo_dotplot3.R")
# source("demo_mediaIC95.R")
# source("demo_mediaIC95_2.R")
# source("demo_boxplot2.R")
# source("demo_Likert.R")Material
- HTML de R Markdown em
RPubs
O que é uma distribuição de probabilidade?
Em um estudo foi verificado o número de drogas utilizadas por grávidas, incluindo medicamentos, álcool, fumo e drogas ilícitas. Os dados hipotéticos estão em um arquivo no formato Excel:
Drogas Pacientes
1 0 1425
2 1 1351
3 2 793
4 3 348
5 4 156
6 5 58
7 6 28
8 7 15
9 8 6
10 9 3
11 10 1
12 11 0
13 12 1O arquivo lido tem duas colunas:
Drogas, contendo o número de drogas utilizadas ePacientes, com o número de pacientes que utilizou este número de drogas.
Um gráfico da distribuição do número de pacientes deve trazer o número de drogas no eixo das abscissas (x) e o número de pacientes no eixo das ordenadas (y). O comando mais simples possível é:
obtendo-se:
Funciona, foi rápido, mas é muito mal acabado.
|
Usando, na Console: > ? plot acessará a documentação da função plot no RStudio. Note que, em algum ponto do texto, aparece Usage Sempre que encontrar “…”, significa que a função pode receber muitos parâmetros. Uma parte deles pode estar descrita na função, mas outros são partilhados entre várias funções de gráfico, e só as encontrará através dos links disponíveis. Para facilitar, sugerimos alguns destes parâmetros. |
Uma das vantagens de se utilizar comandos para gerar gráficos é a
flexibilidade. O usuário não fica limitado a uma interface gráfica
usando somente os recursos considerados necessários por quem a
desenvolveu. No caso do plot, sugiro aqui alguns
parâmetros. Há muitos outros, caso queira explorar:
- main … título
- xlab e ylab … títulos dos eixos x e y
- xlim e ylim … limites dos eixos x e y (recebem um vetor)
- col … cor para linhas ou símbolos
- bg … cor de preenchimento
- type … tipo de gráfico
- lwd … largura da linha
- lty … padrão da linha (sólida ou pontilhadas)
- pch … tipo de símbolo
|
Há muitos outros, e nem todos podem funcionar ao mesmo tempo, pois há dependências mútuas. Além de consultar > ?plot veja também > ?lines > ?points para encontrar outros e experimentar com eles. |
Os nomes das variáveis passadas para a função plot
(DrgGrv$Drogas, DrgGrv$Pacientes) são usados
como nomes dos eixos para construir o gráfico. Isto pode ser resolvido
no R com os parâmetros xlab e ylab:
plot(DrgGrv$Drogas,DrgGrv$Pacientes,
main="Uso de Drogas na Gravidez",
xlab="Número de Drogas",
ylab="Gestantes",
ylim=c(0,1500), lwd=3, col="#994F88")
Gostaria de ligar os pontos? Use a função lines():
plot(DrgGrv$Drogas,DrgGrv$Pacientes,
main="Uso de Drogas na Gravidez",
xlab="Número de Drogas",
ylab="Gestantes",
ylim=c(0,1500), lwd=3, col="#994F88")
lines (DrgGrv$Drogas, DrgGrv$Pacientes, lwd=3, col="#994F88")
No entanto, isto não é o mais correto a fazer, pois trata-se de
variável quantitativa discreta. Para fazer com linhas verticais, como se
fosse um gráfico de barras com uma variável quantitativa no eixo x, use
type:
plot(DrgGrv$Drogas,DrgGrv$Pacientes,
main="Uso de Drogas na Gravidez",
xlab="Número de Drogas", ylab="Gestantes",
ylim=c(0,1500), lwd=3, col="#994F88",
type = "h")
O mesmo gráfico, em porcentagem
Muitas vezes podemos precisar criar novas variáveis em um data frame. Por exemplo, podemos criar uma coluna com a porcentagem de pacientes, arredondada para duas casas decimais:
Agora, para obter o mesmo gráfico, é só ajustar o comando, alterando
ylab e ylim de acordo. Podemos, também,
adicionar os símbolos no topo das barras, usando a função
points():
plot(DrgGrv$Drogas,DrgGrv$FrequenciaRelativa,
main="Uso de Drogas na Gravidez",
xlab="Número de Drogas", ylab="Porcentagem de Gestantes",
ylim=c(0,40), lwd=3, col="#994F88", type = "h")
points(DrgGrv$Drogas,DrgGrv$FrequenciaRelativa, col="#994F88", bg="#994F88", pch=21)
Esta á a distribuição de probabilidades desta amostra, cuja variável é quantitativa discreta. Cada coluna representa, se eu acessar aleatoriamente uma paciente deste grupo, a probabilidade de ser alguém que utiliza nenhuma droga, uma droga, duas drogas, etc.
Há duas propriedades que definem uma distribuição de probabilidades:
1. Todos os valores estão entre zero e um (ou 100%)
[1] TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUEAlternativamente, se o arquivo é grande, pode ser mais fácil verificar pelo complemento: o total de valores abaixo de zero ou acima de 100%:
[1] 02. A soma das probabilidades tem que ser 100%
[1] 100
Uma outra forma útil é verificar as probabilidades acumuladas. Vamos criar uma nova coluna:
DrgGrv$FrequenciaAcumulada <- NA
for(r in 1:nrow(DrgGrv))
{
DrgGrv$FrequenciaAcumulada[r] <- sum(DrgGrv$FrequenciaRelativa[1:r])
}O data frame agora contém:
Drogas Pacientes FrequenciaRelativa FrequenciaAcumulada
1 0 1425 34.05 34.05
2 1 1351 32.28 66.33
3 2 793 18.95 85.28
4 3 348 8.32 93.60
5 4 156 3.73 97.33
6 5 58 1.39 98.72
7 6 28 0.67 99.39
8 7 15 0.36 99.75
9 8 6 0.14 99.89
10 9 3 0.07 99.96
11 10 1 0.02 99.98
12 11 0 0.00 99.98
13 12 1 0.02 100.00Para uma visão gráfica da frequência relativa acumulada, temos:
plot(DrgGrv$Drogas,DrgGrv$FrequenciaAcumulada,
main="Uso de Drogas na Gravidez",
xlab="Número de Drogas", ylab="Frequência Relativa Acumulada",
ylim=c(0,100), lwd=3, col="#994F88", type = "s",
axes=FALSE)
axis(1, at=0:max(DrgGrv$Drogas))
axis(2)
points(DrgGrv$Drogas,DrgGrv$FrequenciaAcumulada,
col="#994F88", bg="#994F88", pch=21)
Note o uso de axes=FALSE seguido da colocação dos eixos
x (axis(1)) e y (axis(2)).
Fizemos assim para que todos os números de drogas, de 1 em 1,
aparecessem (usando o parâmetro at). Este tipo de
tratamento facilita verificar, por exemplo, que a quase totalidade das
pacientes (93.6%) utilizam 3 drogas ou menos:
plot(DrgGrv$Drogas,DrgGrv$FrequenciaAcumulada,
main="Uso de Drogas na Gravidez",
xlab="Número de Drogas", ylab="Frequência Relativa Acumulada",
ylim=c(0,100), lwd=3, col="#994F88", type = "s",
axes=FALSE)
axis(1, at=0:max(DrgGrv$Drogas))
axis(2)
points(DrgGrv$Drogas,DrgGrv$FrequenciaAcumulada,
col="#994F88", bg="#994F88", pch=21)
abline(h=DrgGrv$FrequenciaAcumulada[DrgGrv$Drogas==3], lty=2)
abline(v=3, lty=2)
Repare que as linhas tracejadas que apresentamos com
Anatomia das distribuições
A distribuição de probabilidades que apresentamos até aqui não tem nome. Existem várias outras que são utilizadas porque suas propriedades são bem conhecidas. Por exemplo:
Esta figura mostra as distribuições mais populares. As distribuições agrupam-se em famílias. Na parte superior aparecem as distribuições discretas, sendo a de Bernoulli uma das mais fundamentais. Dela derivam a Geométrica e a Binomial, da qual se obtém a de Poisson. Na parte inferior aparecem as distribuições contínuas.
Caso queira ver outras distribuições e os relacionamentos entre elas, consulte, por exemplo, https://chenghanyu.github.io/software/rshiny_random/
Propriedades gerais
As propriedades que mais interessam para entender a anatomia de uma distribuição são média (mean), variância (variance) ou desvio-padrão, assimetria (skewness) e excesso de curtose (ex. kurtosis). Nossa proposta é utilizar funções do R para verificar tais propriedades; usaremos duas alternativas.
Um jeito de testar estas funções é gerar vetores numéricos com as
funções do R que fornecem as distribuições conhecidas a partir dos
valores de interesse. Estas funções começam com um “d” minúsculo,
seguido do tipo de distribuição (e.g., dnorm(),
dbinom(), dpois(), dgamma(),
etc.), e precisam receber os parâmetros necessários para caracterizar a
distribuição pedida.
Por exemplo, a distribuição normal pode ser gerada com:
Os parâmetros estão explícitos para maior clareza (funcionaria da
mesma forma com dnorm(valores,35,12)) e veremos adiante que
a distribuição normal é completamente caracterizada por estes dois
parâmetros: média e desvio-padrão.
Podemos conferir o que foi obtido graficamente com:
Alternativamente, podemos usar o pacote EnvStats.
Observe que, apenas com os defaults,
EnvStats::pdfPlot() produziu um gráfico mais elaborado.
Vários dos parâmetros gráficos podem ser utilizados para mais controle.
O nome do eixo y não é adequado. Devia ser “Densidade”. Adiciona título
ao gráfico e aos eixos mas utiliza o inglês. No entanto, a documentação
desta função, disponível em https://www.rdocumentation.org/packages/EnvStats/versions/2.3.1/topics/Distribution.df,
mostra que há parâmetros adicionais que plot(), de
propósito geral, necessitaria de algum esforço. Além disto,
EnvStats::pdfPlot() traz diversas funções disponíveis,
pré-configuradas, que podem ser vistas digitando-se
EnvStats::Distribuition.df$Name na Console do
RStudio.
Veja resultados comparáveis, com os dois códigos abaixo, e escolha o
que prefere utilizar. Com plot() é necessário computar a
distribuição e, então, gerar o gráfico:
valor.x <- 0:70
valor.y <- dnorm(valores, mean=35, sd=12)
plot(valor.x, valor.y,
main="Distribuição normal\n(média=35, dp=12)",
xlab="Valores", ylab="Densidade",
lwd=3, type="l")
Com EnvStats::pdfPlot() o parâmetro
distribution resolve o tipo solicitado (foi preciso
adicionar curve.fill=FALSE para que a área sob a curva não
fosse preenchida):
EnvStats::pdfPlot(distribution = "norm",
param.list = list(mean=35, sd=12),
main="Distribuição normal\n(média=35, dp=12)",
xlab="Valores", ylab="Densidade",
curve.fill=FALSE)
Sugerimos que também explore os parâmetros disponíveis, consultando a
documentação no RStudio. A hachura da área sob a curva, por exemplo,
pronta em EnvStats::pdfPlot(), é trabalhosa no
plot(), exigindo o uso de outras funções.
Outra forma para estudar as propriedades das distribuições é
gerar vetores numéricos com as funções do R que fornecem números
pseudoaleatórios, sorteados de acordo com as probabilidades de
distribuições conhecidas. Estas funções começam com um “r” minúsculo (de
random), seguido do tipo de distribuição (e.g.,
rnorm(), rbinom(), rpois(),
rgamma(), etc.), e precisam receber o número de valores a
gerar e os parâmetros necessários para caracterizar a distribuição
pedida.
Por exemplo, um sorteio com distribuição normal pode ser feito com:
Os parâmetros estão explícitos para maior clareza (funcionaria da
mesma forma com rnorm(1e6,35,12)). Note que precisamos
gerar muitos valores (neste exemplo, um milhão de valores) para que o
sorteio tenha propriedades similares às previstas em teoria.
Graficamente:
densidade <- density(valores)
plot(densidade,
main="Distribuição normal",
xlab="Valores", ylab="Densidade",
lwd=3, type="l")
Podemos conferir as propriedades da distribuição obtida e confrontá-las com os valores esperados para saber se a simulação foi bem sucedida.
média e desvio-padrão
A função R para média é mean(), que calcula a média
aritmética de um vetor numérico. Desvio-padrão é dado por
sd(). Pode-se obter mais alguns valores com
summary(). Outra alternativa é desenvolver uma função a seu
gosto, o que fizemos em numeric.summary(). Além disto, após
calcular os valores de média e desvio-padrão, podemos incorporar esta
informação no título do gráfico com a função paste(). O
código completo é:
# trazendo a funcao numeric.summary() que desenvolvemos
source("eiras.numeric.summary.R")
set.seed(3972) # para repetir este exemplo
# gera valores com distribuicao normal
valores <- rnorm(1e6, mean=35, sd=12)
# calcula media e desvio-padrao
media <- mean(valores)
desvpad <- sd(valores)
# prepara o titulo do grafico
titulo <- paste("Distribuição normal","\n",
"(média=", round(media,2),", ",
"dp=",round(desvpad,2),")",
sep="")
# exibe o grafico
densidade <- density(valores)
plot (densidade,
main=titulo,
xlab="Valores", ylab="Densidade",
lwd=3, type="l")
# exibe os valores calculados
# media e dp
cat("Média simulada = ", media,"\n", sep="")
cat("Dp simulado = ", desvpad,"\n", sep="")
# sumario
cat("\nFunção do R - summary():\n")
print(summary(valores))
# funcao propria
cat("\nFunção 'eiras' - numeric.summary():\n")
print(numeric.summary(valores))obtendo-se:
Média simulada = 35.0069
Dp simulado = 12.00397
Função do R - summary():
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
-21.08 26.92 35.01 35.01 43.10 91.18
Função 'eiras' - numeric.summary():
Min. 1st Qu. Median 3rd Qu. Max. Mean St.Dev. n NA
-21.08207 26.91716 35.01147 43.10221 91.18478 35.0069 12.00397 1e+06 0índice de assimetria (skewness)
Distribuições podem ser simétricas (como a distribuição normal), ou apresentarem assimetria: negativa (cauda mais longa à esquerda) ou positiva (cauda mais longa à direita).
Existe função R no pacote DescTools que fornece:
Skewness (método 3) = -0.0007088539Há alguns métodos de estimação disponíveis, e adotaremos, aqui, o
default, método=3. O valor obtido,
skewness=-0.0007088539, próximo a zero, indica que nosso
sorteio seguindo distribuição normal foi bem sucedido, obtendo uma
distribuição quase perfeitamente simétrica.
Por exemplo, esta distribuição gama tem assimetria positiva:
library(DescTools)
source("eiras.numeric.summary.R")
valgamma <- rgamma(1e6, shape=2)
densgamma <- density(valgamma)
plot (densgamma,
main="Distribuição Gama", xlab="Valores", ylab="Densidade")
print(numeric.summary(valgamma))
skewgamma <- DescTools::Skew(valgamma)
cat("\nSkewness (método 3) = ",skewgamma,"\n", sep="")
Min. 1st Qu. Median 3rd Qu. Max. Mean St.Dev. n NA
0.0009525638 0.9620691 1.680487 2.695757 16.53169 2.002173 1.415426 1e+06 0
Skewness (método 3) = 1.408806E esta distribuição beta tem assimetria negativa:
library(DescTools)
source("eiras.numeric.summary.R")
valbeta <- rbeta(1e6, shape1=1, shape2=0.5)
densbeta <- density(valbeta)
plot (densbeta,
main="Distribuição Beta", xlab="Valores", ylab="Densidade")
print(numeric.summary(valbeta))
skewbeta <- DescTools::Skew(valbeta)
cat("\nSkewness (método 3) = ",skewbeta,"\n", sep="")
Min. 1st Qu. Median 3rd Qu. Max. Mean St.Dev. n NA
2.028525e-06 0.4376071 0.7499941 0.9375091 1 0.6666065 0.2981604 1e+06 0
Skewness (método 3) = -0.6392086excesso de curtose
A curtose é a medida de quanto os valores estão concentrados. A distribuição normal é mesocúrtica. Valores negativos indicam distribuições platicúrticas (dados menos concentrados ao redor da tendência central) e positivos indicam distribuições leptocúrticas (dados mais concentrados ao redor da tendência central).
O pacote DescTools também tem função para curtose. Para
o exemplo da distribuição normal, acima, que criou o vetor
valores, obtemos:
Ex. kurtosis (método 3) = 0.003695169Similarmente à DescTools::Skew(), o método
default é 3 e o adotaremos sem discussão. O valor obtido,
curtose=0.0036952, próximo a zero, indica que nosso sorteio
seguindo distribuição normal obteve uma distribuição praticamente
mesocúrtica.
O seguinte código gera uma distribuição beta platicúrtica e uma normal, com mesma média e desvio padrão da beta para referência (em linha pontilhada):
source ("eiras.numeric.summary.R")
valores <- rbeta(1e6, shape1=2, shape2=2)
densidade <- density(valores)
media <- mean(valores)
desvpad <- sd(valores)
skewness <- DescTools::Skew(valores)
curtose <- DescTools::Kurt(valores)
norm.x <- seq(from = min(densidade$x), to = max(densidade$x), length.out = 500)
norm.y <- dnorm(norm.x, mean=media, sd=desvpad)
plot (densidade,
main="Distribuição platicúrtica", xlab="Valores", ylab="Densidade",
ylim=c(0,max(densidade$y,norm.y)), lwd=3)
lines(norm.x, norm.y, col="red", lty=2, lwd=2)
legend("topright",
c("Beta", "Normal"),
col=c("black", "red"),
lwd=c(3,2),
lty=c(1,2),
box.lwd=0, bg="transparent")
cat("Sumário:\n")
sumario <- numeric.summary(valores)
print(sumario)
cat("\n")
cat("Média = ",media,"\n", sep="")
cat("Desvio-padrão = ",desvpad,"\n", sep="")
cat("Assimetria = ",skewness,"\n", sep="")
cat("Ex.curtose = ",curtose,"\n", sep="")obtendo-se:
Sumário:
Min. 1st Qu. Median 3rd Qu. Max. Mean St.Dev. n
0.0004135141 0.3264107 0.4998925 0.6732455 0.9989592 0.4999819 0.223408 1e+06
NA
0
Média = 0.4999819
Desvio-padrão = 0.223408
Assimetria = -0.0008163738
Ex.curtose = -0.8563834Com procedimento similar, uma distribuição \(t\) com 5 graus de liberdade é leptocúrtica, com a seguinte anatomia:
source ("eiras.numeric.summary.R")
valores <- rt(1e6, df=5, ncp=0)
densidade <- density(valores)
media <- mean(valores)
desvpad <- sd(valores)
skewness <- DescTools::Skew(valores)
curtose <- DescTools::Kurt(valores)
norm.x <- seq(from = min(densidade$x), to = max(densidade$x), length.out = 500)
norm.y <- dnorm(norm.x, mean=media, sd=desvpad)
plot (densidade,
main="Distribuição leptocúrtica", xlab="Valores", ylab="Densidade",
xlim=c(-4,4),
ylim=c(0,max(densidade$y,norm.y)), lwd=3)
lines(norm.x, norm.y, col="red", lty=2, lwd=2)
legend("topright",
c("t(5)", "Normal"),
col=c("black", "red"),
lwd=c(3,2),
lty=c(1,2),
box.lwd=0, bg="transparent")
cat("Sumário:\n")
sumario <- numeric.summary(valores)
print(sumario)
cat("\n")
cat("Média = ",media,"\n", sep="")
cat("Desvio-padrão = ",desvpad,"\n", sep="")
cat("Assimetria = ",skewness,"\n", sep="")
cat("Ex.curtose = ",curtose,"\n", sep="")
Sumário:
Min. 1st Qu. Median 3rd Qu. Max. Mean St.Dev.
-26.09016 -0.7283402 -0.0001420819 0.7260703 28.25093 -0.0009572557 1.289349
n NA
1e+06 0
Média = -0.0009572557
Desvio-padrão = 1.289349
Assimetria = -0.01071764
Ex.curtose = 4.915372
Encontramos um problema com a função rt(): produz a
distribuição incorretamente quando geramos mais do que 1e6 valores.
|
Compare o valor absoluto do excesso de curtose e observe os gráficos.
Não dão uma noção do porquê do excesso de curtose ser tão maior na
distribuição \(t\) do que na beta. As
caudas devem ser observadas usando um gráfico semilog, usando-se o
log(Densidade) no eixo \(y\):
Ex.curtose = -0.8563834
Ex.curtose = 4.915372Observe que um gráfico semilog (colocando o eixo \(y\) em logaritmo) permitiu visualizarmos
melhor as caudas. Neste tipo de gráfico, os valores menores de \(y\) ficam mais distintos, e os maiores
menos distintos. É o mesmo código que utilizamos acima, adicionando-se o
parâmetro log=“y” na função plot():
plot(densidade,
main="Distribuição leptocúrtica", xlab="Valores", ylab="log(Densidade)",
xlim=c(-6,6),
ylim=c(1e-4,4e-1),
lwd=3, log="y")
lines(norm.x, norm.y, col="red", lty=2, lwd=2)
legend("topright",
c("t(5)", "Normal"),
col=c("black", "red"),
lwd=c(3,2),
lty=c(1,2),
box.lwd=0, bg="transparent") A seguir, exploraremos as propriedades de algumas das distribuições mais conhecidas.
Distribuição binomial
Esta distribuição serve para contagens (variável quantitativa discreta) do número de sucessos em uma quantitade determinada de tentativas.
Assume-se:
- a ocorrência de sucesso ou fracasso de cada evento é independente dos demais (independência);
- todas as tentativas têm a mesma probabilidade de sucesso (similaridade).
Ilustramos a construção desta distribuição através de um exemplo, utilizando o jogo de cara ou coroa com moedas.
Novamente, a incerteza
Moeda é um exemplo em saúde?
Distribuição binomial: 1 jogada
Distribuição binomial: 2 jogadas
Distribuição binomial: 3 jogadas
|
A função R é Para uma moeda balanceada (prob=0.5), a probabilidade de 0 sucesso (x=0) em 3 jogadas (size=3) é: 1 sucesso em 3 jogadas: 2 sucesso em 3 jogadas: 3 sucesso em 3 jogadas: |
Distribuição binomial: 5 jogadas
Os gráficos foram produzidos utilizando o seguinte código:
source("eiras.friendlycolor.R")
jogadas <- 5
sucesso <- 0:jogadas
probabilidade <- dbinom(sucesso,jogadas,0.5)
plot(sucesso, probabilidade,
main = paste("Binomial: ",
jogadas, " jogadas", sep=""),
ylim = c(0,0.5),
type="h",
col=friendlycolor(8), lwd=3)
points(sucesso,probabilidade, pch=21,
col=friendlycolor(8),
bg=friendlycolor(12))
Distribuição binomial: 15 jogadas
Este código foi modificado para usar um data frame.
source("eiras.friendlycolor.R")
jogadas <- 15
sucesso <- 0:jogadas
probabilidade <- dbinom(sucesso,jogadas,0.5)
binomial <- data.frame(sucesso,probabilidade)
names(binomial) <- c("Sucesso","FR")
plot(binomial$Sucesso,
binomial$FR,
main = paste("Binomial: ",
jogadas, " jogadas", sep=""),
xlab="sucesso", ylab="probabilidade",
ylim = c(0,0.5),
type="h",
col=friendlycolor(8), lwd=3)
points(binomial$Sucesso,
binomial$FR,
pch=21,
col=friendlycolor(8),
bg=friendlycolor(12))
| Observe que a soma de todas as colunas é igual a 1. Então, quanto mais jogadas, maior a dispesão e menor a altura das distribuições. |
|
(alterando a escala)
plot(binomial$Sucesso,
binomial$FR,
main = paste("Binomial: ",jogadas, " jogadas", sep=""),
xlab="sucesso", ylab="probabilidade",
ylim = c(0,max(binomial$FR)),
type="h",
col=friendlycolor(8), lwd=3)
points(binomial$Sucesso,
binomial$FR,
pch=21,
col=friendlycolor(8),
bg=friendlycolor(12))
Distribuição binomial: 15 jogadas, moeda desbalanceada
source("eiras.friendlycolor.R")
p.sucesso <- 0.7 # <br> probabilidade de sucesso <br>
jogadas <- 15
sucesso <- 0:jogadas
probabilidade <- dbinom(sucesso,jogadas,p.sucesso)
plot(sucesso, probabilidade,
main = paste("Binomial: ",
jogadas, " jogadas, ",
"P[s] = ", p.sucesso,
sep=""),
xlab="sucesso", ylab="probabilidade",
ylim = c(0,max(probabilidade)),
type="h",
col=friendlycolor(20), lwd=3)
points(sucesso,probabilidade, pch=21,
col=friendlycolor(20),
bg=friendlycolor(23))
Anatomia da distribuição binomial
A distribuição binomial descreve a probabilidade de termos um determinado número de sucessos (por exemplo, 3 coroas) em um certo número de tentativas (por exemplo, em 10 jogadas, \(n\)), sendo que cada jogada tem um certa probabilidade de sucesso, sempre a mesma (por exemplo, \(p=0.5\)). A binomial é inteiramente definida, portanto, por estes dois parâmetros, \(n\) e \(p\). Consequentemente, todas as suas características e propriedades estão, também, em função dos mesmos dois parâmetros.
Uma boa fonte para ver as fórmulas e suas propriedades é a Wikipedia. Em https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution encontra-se o seguinte resumo:
Inicialmente simularemos um milhão de jogadas nestas condições:
Podemos verificar que a função rbinom() faz um sorteio
que obedece uma distribuição binomial, com
contagem <- table(coroas)
# converte em probabilidade
contagem <- contagem/sum(contagem)
print (contagem)coroas
1 2 3 4 5 6 7 8
0.000001 0.000010 0.000070 0.000615 0.003091 0.011487 0.034963 0.080922
9 10 11 12 13 14 15
0.147366 0.206375 0.218410 0.169846 0.091708 0.030310 0.004826 plot(contagem,
ylab="Probabilidade",
xlim=c(0,15), axes=FALSE)
axis(1, at=seq(from=0,to=15,by=5))
axis(2)
|
Alternativamente, podemos gerar o gráfico com
|
Comparando este gráfico com o esperado teoricamente com 15 jogadas de uma moeda desbalanceada para 70% de coroas, é possível ver a similaridade.
média
Em teoria, a média é dada por
\[\text{média} = np\]
Por exemplo, nas 15 jogadas da moeda desbalanceada em que a probabilidade de sucesso era 0.7 (a moeda produz 70% de coroas), espera-se que a média seja \(15 \cdot 0.7 = 10.5\).
Em nossa simulação a probabilidade de sucesso, \(\hat{p}\), foi
Probabilidade de sucesso na simulação = 0.6999217O número de jogadas é dado, igual a 15. Então, na simulação, obtivemos:
Média simulada = 10.49883É o mesmo, mais diretamente, coincidente com o valor da média de coroas na simulação, dado por:
[1] 10.49883variância e desvio padrão
Pela tabela da Wikipedia, temos que
\[\text{variância}=npq=np(1-p)\]
onde \(q=1-p\) é a probabilidade de fracasso. O desvio-padrão é a raiz quadrada da variância, \(sd=\sqrt{np(1-p)}\) (\(sd\), do inglês, standard deviation). Em teoria, portanto, esperamos \(sd=15 \cdot 0.7 \cdot 0.3 = 1.774824\).
Dos dados simulandos obtemos:
1.774956ou
1.775678ou
1.775677índice de assimetria (skewness)
No quadro temos, em teoria: \[\text{assimetria} = {{(1-p)-p}\over{\sqrt{np(1-p)}}}\]
Em teoria, espera-se \(\text{assimetria} = -0.2253745\). O número de jogadas, \(n\), é dado e igual a 15. A assimetria de nossa distribuição simulada, portanto, é:
n <- 15
skewness <- ((1-p.sucesso)-p.sucesso) / sqrt(n*p.sucesso*(1-p.sucesso))
cat("Skewness (fórmula da Wikipedia) = ",skewness,"\n", sep="")Skewness (fórmula da Wikipedia) = -0.2252694Existe função R no pacote DescTools:
Assimetria = -0.2266838O valor não é exatamente igual ao da fórmula da Wikipedia porque a função do pacote usa métodos diferentes de estimação e serve para qualquer distribuição, mas ainda assim o valor teórico e os obtidos da simulação são muito similares.
Assimetria negativa é o que aparece, graficamente, como cauda mais longa à esquerda. Neste exemplo, o índice indica que, aproximadamente, a distribuição está -0.23 desvios-padrão desviada do número médio de coroas em 15 tentativas. Graficamente, representamos em azul a média como um triângulo e o desvio-padrão desta amostra com uma seta para a esquerda (a direção dada pela assimetria).
contagem <- table(coroas)
contagem <- contagem/sum(contagem)
plot(contagem, ylab="Probabilidade",
xlim=c(0,15), axes=FALSE)
axis(1, at=seq(from=0,to=15,by=5))
axis(2)
points(mean(coroas), 0, pch=17, col="blue",cex=2)
arrows(mean(coroas),0,mean(coroas)-sd(coroas),0, length=0.15, angle=15, lwd=2, col="blue")
excesso de curtose
O excesso de curtose, em teoria é dado por
\[\text{Excesso de curtose} = { {1 - 6pq} \over { npg } } = { {1 - 6p(1-p)} \over { np(1-p) } }\]
Em teoria esperamos curtose igual a -0.0825397.
Em nossa simulação obtivemos:
n <- 15
curtose <- (1 - 6 * p.sucesso * (1-p.sucesso) ) / (n * p.sucesso * (1-p.sucesso))
cat("Ex. kurtosis (fórmula da Wikipedia) = ",curtose,"\n", sep="")Ex. kurtosis (fórmula da Wikipedia) = -0.08258703Existe função R no pacote DescTools:
Excesso de curtose = -0.07670229O pacote DescTools (default é o método 3), novamente mostra similaridade entre o teórico e os obtidos da simulação.
Neste exemplo, portanto, a binomial simulada é aproximadamente mesocúrtica.
Distribuição de Poisson
Esta distribuição é tipicamente aplicável quando há um evento relativamente raro, contável (i.e., variável quantitativa discreta) que ocorre a uma determinada taxa constante (um certo número de ocorrências em uma determinada população em um determinado intervalo de tempo).
Assume-se:
- as ocorrências dos eventos são independentes;
- a probabilidade de ocorrência de um evento em um certo intervalo é a mesma para todos os demais intervalos de tempo;
- a probabilidade de ocorrência dos eventos é proporcional ao tamanho do intervalo;
- em uma porção infinitesimal do intervalo, a probabilidade de mais de uma ocorrência do evento é desprezível.
- não há limite superior para o número de ocorrências;
- os eventos são raros;
Por exemplo, retomamos o exemplo das mortes de motociclistas em 2019 na Cidade de São Paulo, SP:
Desconsiderando qualquer variação sazonal, se há 366 mortes em São Paulo em um ano, esperamos ter, em média \(366/12 = 30.5\) mortes por mês. No entanto, com qual variação isto ocorre? Já vimos que parece ser razoavelmente ampla. Em uma série de 12 meses simulados, podemos observar algo como:
lambda <- 366/12
mortes <- rpois(n=12,lambda=lambda)
cat ("Em doze meses, com taxa de ",lambda," mortes/mês, podemos observar:\n",sep="")Em doze meses, com taxa de 30.5 mortes/mês, podemos observar: [1] 31 33 25 33 37 26 21 31 26 29 29 27Como pode ter notado no código, a função rpois() faz o
sorteio seguindo a distribuição de Poisson. caracterizada por um único
parâmetro, \(\lambda\).
Anatomia da distribuição de Poisson
Na Wikipedia (https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution) encontramos o resumo de suas propriedades:
Neste exemplo, qual seria a probabilidade esperada para cada número de mortes?
source("eiras.numeric.summary.R")
set.seed(3972) # para repetir este exemplo
mortes <- 0:80
valpois <- rpois(1e6, lambda=30.5)
tabpois <- table(valpois) # em numeros
tabpois <- tabpois/sum(tabpois) # em probabilidade
plot(as.numeric(names(tabpois)),as.numeric(tabpois),
main="Distribuição de Poisson",
xlab="Mortes por mês", ylab="Probabilidade",
lwd=2, type="h")
cat("Sumário:\n")
sumario <- numeric.summary(valpois)
print(sumario)
cat("\n")
media <- mean(valpois)
cat("Média = ",media,"\n", sep="")
desvpad <- sd(valpois)
cat("Desvio-padrão = ",desvpad,"\n", sep="")
desvpad <- var(valpois)
cat("Variância = ",desvpad,"\n", sep="")
skewness <- DescTools::Skew(valpois)
cat("Assimetria = ",skewness,"\n", sep="")
curtose <- DescTools::Kurt(valpois)
cat("Ex.curtose = ",curtose,"\n", sep="")Obtendo-se:
Sumário: Min. 1st Qu. Median 3rd Qu. Max. Mean St.Dev. n NA
8 27 30 34 63 30.50496 5.523132 1e+06 0Média = 30.50496Desvio-padrão = 5.523132Variância = 30.50499Assimetria = 0.182608Ex.curtose = 0.02902318média
A média é igual à própria taxa das ocorrências. Obtivemos 30.504965 (em teoria 30.5).
variância e desvio-padrão
Nesta distribuição, a variância é igual à média, por sua vez igual à própria taxa das ocorrências. Obtivemos 30.5049859 (em teoria 30.5). Consequentemente, desvio padrão de 5.5231319 (em teoria 5.5226805).
assimetria
Embora não apareça tão obviamente no gráfico, posto que a taxa é relativamente alta, a distribuição de Poisson é assimétrica à direita; observe a simetria ao redor da média de 30.5 e note que a cauda da direita é mais longa (olhe a probabilidade de ocorrência de 20 e 40 mortes em um mês para notar melhor esta assimetria).
Segundo a Wikipedia, \(\text{Skewness}=\lambda^{-0.5}={{1}\over{\sqrt{\lambda}}}\) \(~\approx~\) 0.181071. Obtivemos o valor de 0.182608.
excesso de curtose
Esta distribuição é praticamente mesocúrtica.
Segundo a Wikipedia, \(\text{Ex.Kurtosis}=\lambda^{-1}={{1}\over{\lambda}}\) \(~\approx~\) 0.032787. Obtivemos o valor de 0.0290232.
Distribuição normal
Medidas somatomatométricas costumam ser aproximadas por distribuições normais. Por exemplo, o arquivo Biometria.xls contém dados de estudantes de medicina que coletamos por alguns anos. A distribuição das estaturas dos homens é:
biometria <- readxl::read_excel("Biometria.xls")
biometria.homens <- biometria[biometria$sexo=="M",]
estaturas <- biometria.homens$estatura
minx <- min(estaturas, na.rm=TRUE)
maxx <- max(estaturas, na.rm=TRUE)
densidade.estatura <- density(estaturas, na.rm=TRUE)
maxy <- max(densidade.estatura$y, na.rm=TRUE)
plot(densidade.estatura,
main="Distribuição das estaturas (homens)",
xlab="Estatura (cm)",
ylab="Densidade",
xlim=c(minx,maxx),
lwd=2)
Podemos aproximar para uma distribuição normal, usando seus dois
parâmetros, média e desvio-padrão:
n <- sum(!is.na(estaturas))
media.med <- mean(estaturas, na.rm=TRUE)
desvpad.med <- sd(estaturas, na.rm=TRUE)
cat("Estaturas, sexo masculino (n=",n,"):\n",sep="")
cat("\tmedia = ",media.med,sep="")
cat("\tdp = ",desvpad.med,sep="")Estaturas, sexo masculino (n=273):
media = 175.3736 dp = 7.247183Anatomia da distribuição de normal
Segundo a Wikipedia (https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution), o resumo das propriedades de uma distribuição normal é:
Simularemos uma distribuição normal, portanto, com as características das estaturas dos estudantes do sexo masculino:
library(DescTools)
library(readxl)
source("eiras.numeric.summary.R")
source("eiras.friendlycolor.R")
set.seed(9428)
biometria <- readxl::read_excel("Biometria.xls")
biometria.homens <- biometria[biometria$sexo=="M",]
estaturas <- biometria.homens$estatura
minx <- min(estaturas, na.rm=TRUE)
maxx <- max(estaturas, na.rm=TRUE)
densidade.estatura <- density(estaturas, na.rm=TRUE)
maxy <- max(densidade.estatura$y, na.rm=TRUE)
media.med <- mean(estaturas, na.rm=TRUE)
desvpad.med <- sd(estaturas, na.rm=TRUE)
valnorm <- rnorm(1e6, mean=media.med, sd=desvpad.med)
densidade <- density(valnorm)
plot (densidade,
main="Distribuição Normal",
xlab="Estatura (cm)", ylab="Densidade",
xlim=c(minx,maxx),
ylim=c(0,maxy),
lwd=2)
lines(densidade.estatura, col=friendlycolor(7), lty=2, lwd=2)
abline(v=media.med, lty=2) # media
# desvio-padrao
lines(
c(media.med,media.med+desvpad.med),
dnorm(rep(media.med+desvpad.med,2), mean=media.med, sd=desvpad.med),
lty=2)
cat("Sumário:\n")
sumario <- numeric.summary(valnorm)
print(sumario)
cat("\n")
media <- mean(valnorm)
cat("Média = ",media,"\n", sep="")
desvpad <- sd(valnorm)
cat("Desvio-padrão = ",desvpad,"\n", sep="")
variancia <- var(valnorm)
cat("Variância = ",variancia,"\n", sep="")
skewness <- DescTools::Skew(valnorm)
cat("Assimetria = ",skewness,"\n", sep="")
curtose <- DescTools::Kurt(valnorm)
cat("Ex.curtose = ",curtose,"\n", sep="")
Sumário:
Min. 1st Qu. Median 3rd Qu. Max. Mean St.Dev. n NA
139.5633 170.4855 175.3611 180.2586 210.0528 175.3712 7.239951 1e+06 0
Média = 175.3712
Desvio-padrão = 7.239951
Variância = 52.41689
Assimetria = 0.00194142
Ex.curtose = -0.01018367média
Pedimos média de 175.3736264 e obtivemos da função
rnorm() 175.3712179.
No gráfico, a média está representada pela linha pontilhada vertical.
variância e desvio-padrão
Pedimos desvio-padrão de 7.2471825 e obtivemos da função
rnorm() 7.2399512 (variância de 52.4168929).
No gráfico, o desvio-padrão está representado pela linha pontilhada horizontal (fica na altura em que a normal muda de concavidade).
assimetria
A distribuição normal é simétrica. Obtivemos a medida de 0.0019414 em nossa distribuição simulada.
excesso de curtose
A distribuição normal é a referência. Obtivemos a medida de -0.0101837 em nossa distribuição simulada.
Outras propriedades
| A distribuição normal tem dois parâmetros, média (\(\mu\)) e desvio-padrão (\(\sigma\)). |
aparência
Vamos assumir uma distribuição \(N(\mu=15,\sigma=8)\):
simetria
É uma distribuição simétrica, portanto média, moda e mediana
coincidem:
Metade da área sob a curva está à esquerda e metade à direita da média.
probabilidades (áreas sob a curva)
\(\pm 1 dp\)
cerca de 68% da área entre -1 e +1 desvio-padrão:
\(\pm 2 dp\)
cerca de 95% da área entre -2 e +2 desvio-padrão:
\(\pm 3 dp\)
cerca de 99.7% da área entre -3 e +3 desvio-padrão:
|
Por que a distribuição normal é importante em estatística? Porque suas propriedades são conhecidas e ela aparece naturalmente sob determinadas circunstâncias. Veja, por exemplo, “Amostragem e Reamostragem”. |
variando média e desvio-padrão
Para cada par de parâmetros \(\mu\) e \(\sigma\), define-se completamente uma distribuição normal.
Admita (não tome estes valores como variáveis da prática médica) que as seguintes variáveis tenham distribuições normais:
# GraficoNormal.R
source ("eiras.friendlycolor.R")
variavel <- "Creatinina"
unidade <- "mg/dl"
media <- 0.95
desvpad <- 0.125
x <- seq(from=media-5*desvpad, to=media+5*desvpad, by=0.01)
y <- dnorm(x, mean=media, sd=desvpad)
xy <- data.frame(x,y)
plot(x,y,
main=paste("N(",media,",",desvpad,")",sep=""),
xlab=paste(variavel," (",unidade,")",sep=""),
ylab=NA,
xlim=c(media-4*desvpad,media+4*desvpad),
col=friendlycolor(2),type="l",lwd=2
)
… com o mesmo código R, geramos:
Parecem todas iguais, mas observe na mesma escala (desconsiderando as
unidades de medida):
distribuição normal padronizada
Para padronizar qualquer distribuição, basta aplicar a todos os seus valores x:
\(z = { {x - \mu} \over \sigma }\)
Subtrair a média faz com que a distribuição fique centrada em \(0\) e dividir por \(\sigma\) faz com que o desvio-padrão seja igual a \(1\). A distribuição resultante é dada em escore \(z\).
Caso normalizemos todas as curvas acima, obteremos:
A vantagem é que conhecemos as propriedades de qualquer distribuição normal, mas da normal padronizada memorizamos facilmente seus principais valores.
|
A função R que (dado o valor q, devolve a probabilidade) é:
que calcula (por default) as probabilidades acumuladas de -infinito (lower.tail=TRUE) ao valor q solicitado. Assume, também por default, média igual a zero (mean=0) e desvio-padrão (em ingês, standard deviation) igual a 1 (sd=1), portanto uma normal padronizada. Não é necessário converter tudo para a normal padronizada quando quiser encontrar quaisquer as probabilidades. No exemplo, com média igual a 15 e desvio-padrão igual a 8, encontramos as áreas, respectivamente, para \(\pm 1 sd\): ou, na versão da normal padronizada (que serve para simplificar): a distribuição normal é simétrica, então achamos a probabilidade acumulada de \(-\infty\) até 1 desvio-padrão, subtraímos a metade esquerda da distribuição (encontrando a área entre 0 e 1 desvio-padrão) e, então, multiplicamos por 2. Similarmente, para \(\pm 2 sd\): e para \(\pm 3 sd\): Note que, entre \(\pm 2 dp\), não temos exatamente 95% da área. Para achar o valor correto, a função R que faz o reverso de pnorm (dada a probabilidade, devolve o valor q) é:
então obtemos (deixando \(2.5\%\) em cada cauda): e |
criando vetores com distribuição normal
Para mulheres o valor de referência da creatinina sérica é de 0.5 a 1.1 mg/dl. Assumiremos, então, distribuição aproximadamente normal com média de 0.8 mg/dl e desvio-padrão de 0.15 mg/dl.
O seguinte código usa a função rnorm() para criar, usando um gerador de números pseudo-aleatórios (random), um vetor numérico com 10000 valores individuais:
# numero de individuos
n <- 10000
# assumindo que a distribuicao eh simetrica%
mu <- 0.8 # (0.5+1.1)/2
# assumindo que deram o intervalo de 95%
dp <- 0.15 # (1.1-0.5)/4
# cria vetor e exibe o grafico
v <- rnorm(n,mu,dp)
d <- density(v)
plot(d, type="l",
main="Distribuicao ficticia",
xlim=c(mu-4*dp,mu+4*dp),
xlab="Creatinina",
ylab="densidade",
lty=1, lwd=2)
e o seguinte código exibe a distribuição padronizada
v2 <- (v-mu)/dp
d2<- density(v2)
plot(d2, type="l",
main="Distribuicao ficticia padronizada",
xlim=c(-4, 4),
xlab="z",
ylab="densidade",
lty=1, lwd=2)
Da mesma forma, assumindo-se que o valor de referência para hemoglobina em mulheres é de \(13.5 \pm 1.5 g/dl\), correspondendo estes valores à média \(\pm\) 2 desvio-padrão, e que a distribuição da hemoglobina segue aproximadamente uma distribuição normal, criamos:
# numero de individuos
n <- 10000
# media
mu <- 13.5
# desvio-padrao
dp <-1.5
# cria vetor e exibe o grafico
v <- rnorm(n,mu,dp)
d <- density(v)
plot(d, type="l",
main="Distribuicao ficticia",
xlim=c(mu-4*dp,mu+4*dp),
xlab="Hemoglobina",
ylab="densidade",
lty=1, lwd=2)
a qual é igualmente padronizada:
v2 <- (v-mu)/dp
d2<- density(v2)
plot(d2, type="l",
main="Distribuicao ficticia padronizada",
xlim=c(-4, 4),
xlab="z",
ylab="densidade",
lty=1, lwd=2)
hachurando áreas sob distribuições
Este código mostra as áreas sob uma distribuição normal, utilizando a regra 68.2%-95.4%-99.7% para 1, 2 e 3 desvios-padrão:
# GraficoNormal.R
source("eiras.friendlycolor.R")
# normal
media <- 40
desvpad <- 20
x <- seq(from=media-5*desvpad, to=media+5*desvpad, by=0.01)
y <- dnorm(x, mean=media, sd=desvpad)
xy <- data.frame(x,y)
plot(x,y,
main="Distribuicao normal", xlab="x", ylab=NA,
xlim=c(media-4*desvpad,media+4*desvpad),
axes=FALSE,
type="l",lwd=2
)
desvios <- c(-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3)
axis(side = 1, at = media+desvios*desvpad)
# caudas
prob.cauda <- pnorm(media+desvios*desvpad, mean=media, sd=desvpad)
x.cauda <- qnorm(prob.cauda, mean=media, sd=desvpad)
# amarelo, verde, azul, NA, azul, verde, amarelo
cor <- c(24, 15, 9, NA, 9, 15, 24)
for(d in 1:3) # 3, 2 e 1 desvios-padrao
{
polx <- xy$x[xy$x>=x.cauda[d] & xy$x<=x.cauda[8-d]]
poly <- xy$y[xy$x>=x.cauda[d] & xy$x<=x.cauda[8-d]]
polx <- c(min(polx), polx, max(polx))
poly<- c(0, poly, 0)
polygon(polx,poly,border=NA,col=friendlycolor(cor[d]))
}
O seguinte código cria uma distribuição com 50 estaturas e hachura as caudas (2.5% da área em cada uma), encontrando os quantis:
source("eiras.friendlycolor.R")
estatura.masc <- rnorm(n=50, mean=177, sd=10)
estatdens <- density(estatura.masc)
plot(estatdens,
main="Grafico de densidade",
xlab="Estatura masculina (cm)", ylab="Densidade")
# caudas
limites <- quantile(estatura.masc, probs = c(0.025,0.975))
polx <- estatdens$x[estatdens$x<=limites[1]]
polx <- c(min(polx), polx, max(polx))
poly <- estatdens$y[estatdens$x<=limites[1]]
poly<- c(0, poly, 0)
polygon(polx,poly,border=NA,
col=friendlycolor(8)
)
polx <- estatdens$x[estatdens$x>=limites[2]]
polx <- c(min(polx), polx, max(polx))
poly <- estatdens$y[estatdens$x>=limites[2]]
poly<- c(0, poly, 0)
polygon(polx,poly,border=NA,
col=friendlycolor(8)
)
Exemplo de aplicação na prática
Em vários testes aplicados obtém-se um escore \(z\) (por exemplo, o teste de QI ou a prova do ENEM). Há um problema para a comunicação do resultado. Imagine dizer aos pais que o QI de seu filho é -0.1, ou que a nota de um vestibulando foi zero (indicando que está na média).
Uma solução é fazer o reverso da padronização: multiplicar por certo valor para alargar a dispersão dos valores e somar para transladar a curva. No QI, multiplica-se por 15 e soma-se 100 (então o QI tem média 100 e desvio padrão de 15). No ENEM multiplica-se por 100 e soma-se 500 (média de 500 e desvio-padrão de 100). Quando dizem, para o ENEM, que a nota varia de 0 a 1000, na verdade estão apenas contando parte da verdade, cobrindo \(\pm 5\) desvios-padrão (o que explica o ano em que apareceu um estudante com 1080 pontos, o que criou um problema para os gestores explicarem o ocorrido).
Nesta figura, aparece o escore T (multiplica por 10 e soma 50), mas também outras possibilidades como Estaninos (Stanines) com intervalos equiespaçados em \(z\) no centro da distribuição normal criando uma escala ordinal de 1 a 9.
Transformações
Há momentos em que precisamos alterar os números de variáveis quantitativas. As aplicações aparecerão em testes estatísticos, quando necessários.
lineares
Operações que envolvem as operações básicas (soma, subtração,
multiplicação e divisão) não alteram o formato da distribuição destas
variáveis. É o caso da distribuição normal, quando padronizada. Por
exemplo, criamos 100 valores de hemoblogina com a função
rnorm()
# para reproduzir o exemplo
set.seed(837)
# numero de individuos
n <- 100
# media
mu <- 13.5
# desvio-padrao
dp <-1.5
# unidade
txtun <- "mg/dl"
# cria a populacao e exibe o grafico
v <- rnorm(n,mu,dp)
d <- density(v)
plot (d, type="l",
main="Distribuicao ficticia",
xlab=paste("Hemoglobina (",txtun,")",sep=""),
ylab="densidade",
lty=1, lwd=2)
cat("Verificação:\n")
cat(" média = ", round(mean(v),6),"\n", sep="")
cat(" dp = ", round(sd(v),6),"\n", sep="")
Verificação:
média = 13.63409
dp = 1.532805A distribuição, dado o número de indivíduos, é apenas aproximadamente normal.
A padronização destes valores, que estão armazenados no vetor
v pode ser feito com a função scale():
# unidade
txtun <- "escore-z"
# padronizando
v.padrao <- scale(v, center=TRUE, scale=TRUE)
d <- density(v.padrao)
plot (d, type="l",
main="Distribuição fictícia padronizada",
xlab=paste("Hemoglobina (",txtun,")",sep=""),
ylab="densidade",
lty=1, lwd=2)
cat("Verificação:\n")
cat(" média = ", round(mean(v.padrao),6),"\n", sep="")
cat(" dp = ", round(sd(v.padrao),6),"\n", sep="")
Verificação:
média = 0
dp = 1Observe que a padronização torna a média nula e o desvio-padrão unitário. A unidade de medida deixou de existir, substituída por escores-\(z\) (i.e., a medida está em desvios-padrão).
Esta função, no entanto, permite apenas centrar ou escalonar isoladamente. Por exemplo:
# unidade
txtun <- "mg/dl"
# centrando
v.centrada <- scale(v, center=TRUE, scale=FALSE)
d <- density(v.centrada)
plot (d, type="l",
main="Distribuição fictícia centrada",
xlab=paste("Hemoglobina (",txtun,")",sep=""),
ylab="densidade",
lty=1, lwd=2)
cat("Verificação:\n")
cat(" média = ", round(mean(v.centrada),6),"\n", sep="")
cat(" dp = ", round(sd(v.centrada),6),"\n", sep="")
Verificação:
média = 0
dp = 1.532805Neste caso a distribuição apenas desloca-se para que a média seja nula, mas o desvio-padrão fica inalterado. Observe que os valores originais foram transformados em valores negativos, nulos (se coincidiam com a média) ou positivos.
não lineares
Transformações não lineares são úteis quando precisamos alterar o formato de uma distribuição. Tomemos, como exemplo a massa do cérebro de alguns mamíferos que estão no arquivo CorpoCerebro.xlsx, usando o código disponível em massacerebro.R:
Verificação:
média = 677.7958
dp = 1422.126A padronização executada com massacerebro_padrao.R não altera o formato da distribuição, mas faz a média ser nula, o desvio-padrão unitário e a variável medida em desvios padrão (escores-\(z\)):
Verificação:
média = 0
dp = 1Para encontrar uma distribuição mais simétrica, o que pode ser conveniente para vários procedimentos estatísticos, necessitamos de transformações não lineares. Criamos uma função, disponível em eiras.tukey.try.R, que tenta as transformações potência de Tukey, indo de -3 a +3, e informa qual é a transformação que produz a transformação mais simétrica. São elas:
A função tukey.try() retorna uma lista com dois objetos:
o primeiro com as informações da transformação escolhida e o segundo com
os valores transformados. Adaptamos o código massacerebro_tukeytry.R para chamar
tukey.try() exibindo todas as tentativas de transformação
não linear (a função pode trabalhar silenciosamente também).
Obtém-se:
-------------------
Tukey's lambda = -3
-------------------
mean: -0.6945283
st.dev.: 3.186692
median: -1.804733e-07
mode: 2.044677e-05
iqr: 1.916055e-05
Asymmetry coefficient: 36248.89 
---------------------
Tukey's lambda = -2.5
---------------------
mean: -0.4567793
st.dev.: 2.017888
median: -2.400543e-06
mode: 0.0001143052
iqr: 0.0001071151
Asymmetry coefficient: 4265.444 
-------------------
Tukey's lambda = -2
-------------------
mean: -0.308468
st.dev.: 1.281852
median: -3.193154e-05
mode: 0.0006568912
iqr: 0.0006155977
Asymmetry coefficient: 502.1541 
---------------------
Tukey's lambda = -1.5
---------------------
mean: -0.2192314
st.dev.: 0.821324
median: -0.0004247605
mode: 0.003853863
iqr: 0.003613604
Asymmetry coefficient: 61.73484 
-------------------
Tukey's lambda = -1
-------------------
mean: -0.1758119
st.dev.: 0.5381691
median: -0.005650439
mode: -0.002751612
iqr: 0.0209163
Asymmetry coefficient: 8.273942 
---------------------
Tukey's lambda = -0.5
---------------------
mean: -0.2150154
st.dev.: 0.3677148
median: -0.0751682
mode: -0.05788277
iqr: 0.1022852
Asymmetry coefficient: 1.53622 
------------------
Tukey's lambda = 0
------------------
mean: 4.755004
st.dev.: 2.425706
median: 5.176086
mode: 5.573491
iqr: 2.270929
Asymmetry coefficient: 0.3604197 
--------------------
Tukey's lambda = 0.5
--------------------
mean: 18.40897
st.dev.: 18.80534
median: 13.30392
mode: 11.407
iqr: 14.2457
Asymmetry coefficient: -0.4915145 
------------------
Tukey's lambda = 1
------------------
mean: 677.7958
st.dev.: 1422.126
median: 177
mode: 89.40176
iqr: 397.85
Asymmetry coefficient: -1.478934 
--------------------
Tukey's lambda = 1.5
--------------------
mean: 36859.8
st.dev.: 105213.5
median: 2354.945
mode: 901.2862
iqr: 9082.256
Asymmetry coefficient: -3.959205 
------------------
Tukey's lambda = 2
------------------
mean: 2397581
st.dev.: 7743393
median: 31333
mode: 48736.53
iqr: 196740.4
Asymmetry coefficient: -11.9388 
--------------------
Tukey's lambda = 2.5
--------------------
mean: 167127479
st.dev.: 570311513
median: 416905
mode: 368653
iqr: 4192973
Asymmetry coefficient: -39.77103 
------------------
Tukey's lambda = 3
------------------
mean: 11967279917
st.dev.: 42123888002
median: 5547357
mode: 270222730
iqr: 88888250
Asymmetry coefficient: -131.5928 
-------------------
Best transformation
-------------------
Tukey's lambda = 0
(logarithm transformation)
Asymmetry coefficient = 0.360419745448379
eqtext: ln[massa]
Verificação:
média = 4.755004
dp = 2.425706|
Para entender quais dados retornados de Em uma lista deste tipo, os objetos são acessíveis separadamente com: O primeiro objeto, |
Amostragem e Reamostragem
Os processos de amostragem (sampling) e reamostragem (bootstrapping) servem para que mostremos o comportamento do teorema central do limite e o conceito de erro padrão.
TCL e EP
O Teorema Central do Limite (TCL) é uma das descobertas mais poderosas para as análises estatísticas.
Assume-se:
- delineamento entre-participantes,
- variáveis intervalares,
- amostras com pelo menos 30 observações.
| As distribuições binomial e de Poisson vistas acima, quando \(n\) aumenta, aproximam-se da distribuição normal. Você pode usar o R para verificar. |
Enuncia que:
A distribuição das médias amostrais tem distribuição normal, com média igual à média populacional e erro padrão da média igual ao desvio padrão populacional dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra.
O “desvio padrão populacional dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra” é o erro padrão, estimado pelo desvio-padrão amostral \(s\) e o tamanho da amostra \(n\) por \[EP={{s}\over{\sqrt{n}}}\]
Para experimentar com ele e esclarecer o que isto significa, vamos criar uma população com uma variável fictícia que, intencionalmente, não tem distribuição normal:
Em primeiro lugar, ativamos algumas funções de apoio que desenvolvemos:
source("eiras.friendlycolor.R")
source("eiras.create.population.R")
source("eiras.plot.density.withmeansd.R")
source("eiras.sampling.R")e criamos um vetor com uma população fictícia:
# create a simulated population
population <- create.population(kind="normal", round=0,
n=c(2000,6000,3500,3000),
param1=c(160,200,230,280), # mean
param2=c(5,10,30,15) # sd
)Esta população tem a seguinte distribuição:
limits <- plot.density.withmeansd(population,
main="Populacao simulada\n(sampling)",
xlab="Valores",
ylab="Densidade",
col=friendlycolor(7), getlimits=TRUE)
A linha pontilhada vertical corresponde à media populacional e a barra
horizontal que aparece na parte alta do gráfico mostra sua média \(\pm 3\) desvios-padrão.
Amostragem (sampling)
O primeiro exercício que faremos é retirar desta população \(B\) amostras aleatórias simples, cada uma delas com \(n\) indivíduos sem reposição (detalhes adiante, em reamostragem):
limits <- plot.density.withmeansd(population,
main="Populacao simulada\n(sampling)",
xlab="Valores",
ylab="Densidade",
col=friendlycolor(7), getlimits=TRUE)
B <- 1000
n <- 36
samples <- sampling(population,B=B,
n=n,replace=FALSE,
graph=TRUE,col=friendlycolor(3))
amo.medias <- samples[[2]]
amo.sds <- samples[[3]]
legend("right",
c("Distribuicao",
"Media pop +-3 dp",
paste("amostras: ",B,sep=""),
"Media am. +-3 dp"
),
col=c(friendlycolor(7),
paste(friendlycolor(7),"88",sep=""),
friendlycolor(3),
paste(friendlycolor(3),"88",sep="")
),
lwd=c(2,10,2,10),
lty=c(1,1,1,1),
cex=0.7,
box.lwd=0, bg="transparent")
# distribuicao da populacao original, sobreposta para referencia
plot.density.singleline(population,col=friendlycolor(7))
Neste último gráfico adotamos B=1000 e
n=36, assim obtendo 1000 linhas representando 1000 amostras
de 36 indivíduos, às quais a distribuição da população original foi
sobreposta. Pode-se notar que as amostras, com imperfeições, seguem o
perfil geral da população.
A linha pontilhada vertical correspondente à media das medias amostrais e coincide com a média populacional. Na parte alta do grafico podemos verificar que os desvios-padrão populacionais são praticamente iguais à média dos desvios-padrão amostrais.
Numericamente:
pm <- mean(population,na.rm=TRUE)
ps <- sd(population,na.rm=TRUE)
am <- mean(amo.medias,na.rm=TRUE)
as <- mean(amo.sds,na.rm=TRUE)
v <- ""
v <- paste(v,"Populacao:\n")
v <- paste(v,"\tmedia populacional:",round(pm,4),"\n")
v <- paste(v,"\tdp populacional:",round(ps,4),"\n")
v <- paste(v,"\n")
v <- paste(v,"Amostras:",B,"com n =",n,"\n")
v <- paste(v,"\tmedia das medias amostrais:",round(am,4),"\n")
v <- paste(v,"\tmedia dos dp amostrais:",round(as,4))
cat(v) Populacao:
media populacional: 218.0423
dp populacional: 41.5684
Amostras: 1000 com n = 36
media das medias amostrais: 217.9131
media dos dp amostrais: 41.3801Na variável amo.medias guardamos as 1000 médias amostrais. Como são uma coleção de 1000 números, podemos verificar sua distribuição e calcular sua média (a média das médias amostrais) e seu desvio padrão (o desvio-padrão das médias amostrais).
Mantendo a escala do eixo das abscissas, a distribuição das 1000 médias amostrais é:
plot.density.withmeansd(amo.medias,
main="Distribuicao de medias amostrais\n(sampling)",
xlab="Valores",
ylab="Densidade",
x.min=limits[1], x.max=limits[2],
col=friendlycolor(3))
Comparada com a população e as 1000 amostras feitas anteriormente, a média desta última distribuição coincide com a média das médias amostrais, mas seu desvio padrão é menor.
Ao mesmo gráfico adicionamos uma distribuição normal em pontilhado, mas deixando a escala das abscissas livre, observamos:
# distribuicao das medias amostrais (deixando a escala livre)
plot.density.withmeansd(amo.medias,
main="Distribuicao de medias amostrais\n(sampling)",
xlab="Valores",
ylab="Densidade",
col=friendlycolor(3))
# ajustando distribuicao normal
am <- mean(amo.medias,na.rm=TRUE)
ep <- sd(amo.medias,na.rm=TRUE)
x <- seq(am-4*ep,am+4*ep,length.out=100)
y <- dnorm(x, mean=am, sd=ep)
lines(x,y,lty=2,lwd=2,col=friendlycolor(3))
Surpreendemente, a distribuição observada e uma distribuição normal com
média e desvio padrão iguais às médias e desvio padrão das médias
amostrais são muito próximas.
Numericamente:
am <- mean(amo.medias,na.rm=TRUE)
ep <- sd(amo.medias,na.rm=TRUE)
v <- ""
v <- paste(v,"Amostras:",B,"com n =",n,"\n")
v <- paste(v,"\tmedia das medias amostrais:",round(am,4),"\n")
v <- paste(v,"\tdp das medias amostrais:",round(ep,4))
cat(v) Amostras: 1000 com n = 36
media das medias amostrais: 217.9131
dp das medias amostrais: 6.707Observe atentamente a sutileza, pois trocamos a variável
as que continha a média dos desvios-padrão
amostrais com valor 41.3801, similar ao desvio-padrão populacional
ps=41.5684, pela variável ep que
contém o desvio padrão das médias amostrais com valor 6.707. De
fato, ps/ep=6.1977635, valor próximo à raiz quadrada do
tamanho de cada amostra, sqrt(36)=6.
Este desvio padrão das médias amostrais obtido por este experimento hipotético é conhecido como erro padrão da média, \(EP\).
Na prática, quando obtemos uma única amostra, o \(EP\) é estimado por \[EP={{s}\over{\sqrt{n}}}\] onde \(s\) é o desvio-padrão da amostra e \(n\) é o tamanho da amostra, na esperança de que \(s\) seja um valor próximo (i.e., um bom estimador) do desvio-padrão populacional \(\sigma\), desconhecido.
Agora o enunciado do Teorema Central do Limite pode ser compreendido:
A distribuição das médias amostrais tem distribuição normal, com média igual à média populacional e erro padrão da média igual ao desvio padrão populacional dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra.
Interessante é que, com \(n \ge
30\), o TCL se verifica para qualquer distribuição da variável
original. Não é necessário confiar em nossa palavra. Experimente trocar
a população inicial em bootstrapping_demo.R e
verifique.
Ainda com esta simulação, podemos adicionar um intervalo de confiança 95% sobre a distribuição das médias amostrais:
# distribuicao das medias amostrais (deixando a escala livre)
plot.density.withmeansd(amo.medias,
main="Distribuicao de medias amostrais\n(sampling)",
xlab="Valores",
ylab="Densidade",
col=friendlycolor(3))
# ajustando distribuicao normal
am <- mean(amo.medias,na.rm=TRUE)
ep <- sd(amo.medias,na.rm=TRUE)
x <- seq(am-4*ep,am+4*ep,length.out=100)
y <- dnorm(x, mean=am, sd=ep)
lines(x,y,lty=2,lwd=2,col=friendlycolor(3))
# intervalo de confianca 95%
icx <- quantile(amo.medias,probs=c((1-0.95)/2,1-((1-0.95)/2)))
icy <- mean(y[which(round(x,0)==round(icx,0))],na.rm=TRUE)
h <- icy/5
lines(c(icx[1],icx[1],icx[1],icx[2],icx[2],icx[2]),
c(icy-h ,icy+h ,icy ,icy ,icy+h ,icy-h ),
lwd=2, col=friendlycolor(3))
# media amostral (ponto solido)
points(am,icy,pch=21,cex=1.5,col=friendlycolor(3),bg=friendlycolor(3))
# media populacional (ponto branco)
points(pm,icy-h,pch=21,cex=1.5,col=friendlycolor(7),bg="white")
A linha horizontal representa o intervalo de confiança 96% com halteres
nos limites que contém 95% da área sob a distribuição das médias
amostrais simuladas. O círculo sólido está na posição da média das
médias amostrais e o círculo branco no da média populacional. O IC95 é
aquele intervalo que, com confiança de 95%, contém a média
populacional.
Calcular \(EP = {s /\sqrt{n}}\) nada mais é do que obter uma estimativa daquilo que seria conseguido no caso de um experimento irrealizável (pois se pudéssemos fazer 1000 estudos com amostras de mesmo tamanho, seria melhor investir em um único estudo mais elaborado), do qual obteríamos um número muito grande de amostras, cada qual com sua média, e calculássemos o desvio-padrão das médias amostrais. Como tal experimento é uma fantasia, o apresentação desta equação costuma ter dois caminhos habituais e opostos: seu entendimento através de uma demonstração matemática intransponível para quem não tem a formação adequada ou a dogmatização de sua existência através de exibi-la sem explicação alguma. Ambas as estratégias escondem do pesquisador aplicado a natureza da relação entre \(s\) (estimador de \(\sigma\)) e \(EP\) (estimador pontual do desvio-padrão de infinitas médias amostrais hipotéticas). Aqui oferecemos uma situação intermediária com a experimentação através de simulações.
Reamostragem (bootstrapping)
Saindo da fantasia, vamos retomar a mesma população hipotética e obter dela uma única amostra:
plot.density.withmeansd(population,
main="Populacao simulada\n(amostra unica)",
xlab="Valores",
ylab="Densidade",
x.min=limits[1], x.max=limits[2],
y.min=limits[3], y.max=limits[4],
col=friendlycolor(7))
B2 <- 1
samples <- sampling(population,B=B2,
n=n,replace=FALSE,
graph=TRUE,col=friendlycolor(1))
amo.unique <- samples[[1]]
legend("right",
c("Distribuicao",
"Media pop +-3 dp",
paste("amostras: ",B,sep=""),
"Media am. +-3 dp"
),
col=c(friendlycolor(7),
paste(friendlycolor(7),"88",sep=""),
friendlycolor(1),
paste(friendlycolor(1),"88",sep="")
),
lwd=c(2,10,2,10),
lty=c(1,1,1,1),
cex=0.7,
box.lwd=0, bg="transparent") 
Nesta situação, a amostra captura informação (com imperfeição) da
população. Assim como é a população, esta amostra não tem distribuição
normal. Repare que os “picos” e “vales” existentes na distribuição
populacional foram incompletamente representados, mas a média e desvio
padrão amostrais são similares àqueles da população.
Ainda existe uma fantasia a eliminar: na prática temos tão somente uma única amostra, sem a referência populacional:
# amostra unica
plot.density.withmeansd(amo.unique,
main="Amostra unica",
xlab="Valores",
ylab="Densidade",
x.min=limits[1], x.max=limits[2],
y.min=limits[3], y.max=limits[4],
col=friendlycolor(1))
legend("right",
c("Amostra",
"Media am. +-3 dp"
),
col=c(friendlycolor(1),
paste(friendlycolor(1),"88",sep="")
),
lwd=c(2,10),
lty=c(1,1),
cex=0.7,
box.lwd=0, bg="transparent") 
Com base nesta amostra precisamos chegar a conclusões que possam ser
extrapoladas para a população de onde ela proveio. O procedimento
conhecido como bootstrapping é uma possível solução. Trata-se
de um processo similar ao anterior, com a diferença de que faremos 1000
reamostragens com reposição de 36 elementos sobre a
única amostra de 36 elementos que temos para trabalhar.
O procedimento, sobre a amostra obtida da população fictícia, resulta em:
# bootstrapping
plot.density.withmeansd(amo.unique,
main="Amostra unica\n(bootstrapping)",
xlab="Valores",
ylab="Densidade",
x.min=limits[1], x.max=limits[2],
y.min=limits[3], y.max=limits[4],
col=friendlycolor(3))
samples <- sampling(amo.unique,B=B,
n=n,replace=TRUE,
graph=TRUE,col=friendlycolor(29))
boot.medias <- samples[[2]]
boot.sds <- samples[[3]]
legend("right",
c("Amostra unica",
"Media am. +-3 dp",
paste("bootstraps: ",B,sep=""),
"Media boot +-3 dp"
),
col=c(friendlycolor(3),
paste(friendlycolor(3),"88",sep=""),
friendlycolor(29),
paste(friendlycolor(29),"88",sep="")
),
lwd=c(2,10,2,10),
lty=c(1,1,1,1),
cex=0.7,
box.lwd=0, bg="transparent")
# distribuicao da amostra original, sobreposta para referencia
plot.density.singleline(amo.unique,col=friendlycolor(3))
Obtemos 1000 linhas representando 1000 reamostras de 36 indivíduos, às quais a distribuição da amostra original foi sobreposta. Observe que até mesmo os “picos” e “vales” da população original reapareceram entre as reamostras, apesar deste procedimento ter sido executado sem que os dados da população original fossem utilizados.
Como acontecia entre as amostras e a população, as reamostras seguem o perfil geral da amostra única que tomamos como ponto de partida. Na parte alta do gráfico vemos que as médias da amostra original e a média das 1000 reamostras coincidem, e também o desvio-padrão da amostra original e a média dos desvios-padrão das 1000 reamostras. Numericamente:
um <- mean(amo.unique,na.rm=TRUE)
us <- sd(amo.unique,na.rm=TRUE)
bm <- mean(boot.medias,na.rm=TRUE)
bs <- mean(boot.sds,na.rm=TRUE)
v <- ""
v <- paste(v,"Amostra:\n")
v <- paste(v,"\tmedia amostral:",round(um,4),"\n")
v <- paste(v,"\tdp amostral:",round(us,4),"\n")
v <- paste(v,"\n")
v <- paste(v,"Reamostras:",B,"com n =",n,"\n")
v <- paste(v,"\tmedia das medias das reamostras:",round(bm,4),"\n")
v <- paste(v,"\tmedia dos dp da media das reamostras:",round(bs,4))
cat(v) Amostra:
media amostral: 220.7004
dp amostral: 42.8547
Reamostras: 1000 com n = 36
media das medias das reamostras: 220.7082
media dos dp da media das reamostras: 42.0506Novamente, observamos o comportamento da distribuição das médias das reamostras:
# distribuicao das medias das reamostras (deixando a escala livre)
plot.density.withmeansd(boot.medias,
main="Distribuicao de medias das reamostras\n(bootstrapping)",
xlab="Valores",
ylab="Densidade",
col=friendlycolor(29))
# ajustando distribuicao normal
um <- mean(amo.unique,na.rm=TRUE)
us <- sd(amo.unique,na.rm=TRUE)
bm <- mean(boot.medias,na.rm=TRUE)
ep <- sd(boot.medias,na.rm=TRUE)
x <- seq(bm-4*ep,bm+4*ep,length.out=100)
y <- dnorm(x, mean=bm, sd=ep)
lines(x,y,lty=2,lwd=2,col=friendlycolor(3))
# intervalo de confianca 95%
icx <- quantile(boot.medias,probs=c((1-0.95)/2,1-((1-0.95)/2)))
icy <- mean(y[which(round(x,0)==round(icx,0))],na.rm=TRUE)
h <- icy/5
lines(c(icx[1],icx[1],icx[1],icx[2],icx[2],icx[2]),
c(icy-h ,icy+h ,icy ,icy ,icy+h ,icy-h ),
lwd=2, col=friendlycolor(29))
# media das reamostras (ponto solido)
points(bm,icy,pch=21,cex=1.5,col=friendlycolor(29),bg=friendlycolor(29))
# media amostral (ponto solido)
points(um,icy-h,pch=21,cex=1.5,col=friendlycolor(3),bg=friendlycolor(3))
# media populacional (ponto branco)
points(pm,icy-2*h,pch=21,cex=1.5,col=friendlycolor(7),bg="white")
Como fizemos com o exemplo do sampling, a linha horizontal
representa o intervalo de confiança 95% com halteres indicando os
limites de 95% da área sob a curva da distribuição das médias das
reamostras. O círculo sólido na mesma cor da distribuição está na
posição da média das médias das reamostras, mas adicionamos um círculo
sólido na posição da média da amostra original e um círculo branco no da
média populacional. Esta última, na prática, não conheceremos; por este
motivo, precisamos estimar o IC95, um intervalo para o qual temos 95% de
confiança em conter a média populacional (com sucesso, neste
exemplo).
A distribuição das médias das reamostras é normal (apesar da amostra não o ser) com média igual à da amostra original e desvio-padrão dado por \(EP=s/\sqrt{n}\), verificado numericamente nesta simulação:
um <- mean(amo.unique,na.rm=TRUE)
us <- sd(amo.unique,na.rm=TRUE)
bm <- mean(boot.medias,na.rm=TRUE)
ep <- sd(boot.medias,na.rm=TRUE)
v <- ""
v <- paste(v,"Amostra:\n")
v <- paste(v,"\tmedia da amostra:",round(um,4),"\n")
v <- paste(v,"\tdp da amostra:",round(us,4))
v <- paste(v,"\n")
v <- paste(v,"Reamostras:",B,"com n =",n,"\n")
v <- paste(v,"\tmedia das medias das reamostrais:",round(bm,4),"\n")
v <- paste(v,"\tdp das medias das reamostras:",round(ep,4))
cat(v) Amostra:
media da amostra: 220.7004
dp da amostra: 42.8547
Reamostras: 1000 com n = 36
media das medias das reamostrais: 220.7082
dp das medias das reamostras: 7.2795Neste caso temos o desvio-padrão da amostra us=42.8547 e
o desvio padrão das 1000 médias das reamostras ep=7.2795.
Podemos conferir que us/ep=5.8870389 é valor próximo a
sqrt(36)=6. A concordância talvez fosse melhor se usássemos
um bootstrapping com mais reamostras; aqui exemplificamos, por
razões gráficas, com 1000 reamostras, mas é recomendado que se aplique
entre 10000 (1e+04) e 1000000 (1e+06) reamostras para fins de decisão
estatística.
O bootstrapping é um procedimento sempre possível com o uso de computadores, de certa forma capturando o experimento imaginário da primeira parte deste exemplo e reconstituindo propriedades da população inalcançável de onde a amostra proveio.
Intervalos de predição
É necessário, na área da saúde, que testes laboratoriais apresentem a faixa dos valores de referência para que seja verificado se o resultado pode ser considerado alterado.
A norma para a glicemia de jejum em adultos saudáveis é computada a partir de uma amostra. Por exemplo, suponha:
Segundo van Belle, 12 é o número mínimo de observações para calcular um
intervalo de predição.
Supondo que a distribuição da glicemia é aproximadamente normal, os laboratórios tradicionalmente estimam: o intervalo de predição 95% (IP95).
source ("eiras.numeric.summary.R")
glicemia <- c(5.5, 5.2, 5.2, 5.8, 5.6, 4.6,
5.6, 5.9, 4.7, 5.0, 5.7, 5.2)
n <- length(glicemia)
media <- mean(glicemia)
desvpad <- sd(glicemia)
qt <- qt(0.975, df=length(glicemia)-1)
lowerlimit <- media - qt * desvpad
upperlimit <- media + qt * desvpad
densidade <- density(glicemia)
skewness <- DescTools::Skew(glicemia)
curtose <- DescTools::Kurt(glicemia)
norm.x <- seq(from = min(densidade$x), to = max(densidade$x), length.out = 500)
norm.y <- dnorm(norm.x, mean=media, sd=desvpad)
ht <- dnorm(lowerlimit, mean=media, sd=desvpad)
plot (densidade,
main="Distribuição da Glicemia de Jejum",
xlab="Glicemia (mmol/l)", ylab="Densidade",
ylim=c(0,max(densidade$y,norm.y)), lwd=3)
lines(norm.x, norm.y, col="red", lty=2, lwd=2)
segments(lowerlimit, ht, upperlimit, ht, lwd=3, col= "brown")
lines(rep(as.numeric(lowerlimit),2),c(0,ht), lty=2, col= "brown")
lines(rep(as.numeric(upperlimit),2),c(0,ht), lty=2, col= "brown")
points(media,ht,pch=21,col="brown",bg="brown")
legend("topright",
c("Glicemia", "Normal"),
col=c("black", "red"),
lwd=c(3,2),
lty=c(1,2),
box.lwd=0, bg="transparent")
cat("Glicemia de jejum:\n")
cat("Sumário:\n")
sumario <- numeric.summary(glicemia)
print(sumario)
cat("Média = ",media,"\n", sep="")
cat("Desvio-padrão = ",desvpad,"\n", sep="")
cat("Assimetria = ",skewness,"\n", sep="")
cat("Ex.curtose = ",curtose,"\n", sep="")
cat("\nIntervalo de predição:\n")
cat(" IP95=[",lowerlimit,",",upperlimit,"]\n",sep="")obtendo:
Glicemia de jejum:
Sumário:
Min. 1st Qu. Median 3rd Qu. Max. Mean St.Dev. n NA
4.6 5.15 5.35 5.625 5.9 5.333333 0.4206777 12 0
Média = 5.333333
Desvio-padrão = 0.4206777
Assimetria = -0.354962
Ex.curtose = -1.289367
Intervalo de predição:
IP95=[4.407428,6.259239]Então a faixa de valores considerados normais vão de 4.4 a 6.3 mmol/l. Glicemia costuma ser considerada como variável que tem distribuição normal.
Nesta amostra reduzida, porém, apenas por inspeção visual, a distribuição não parece normal. Pelas medidas diretas, feitas nesta amostra, a distribuição é assimétrica à esquerda e platicúrtica. Caso estivéssemos na situação em que somente pudéssemos acessar estes 12 voluntários, a saída é utilizar métodos mais robustos.
Um código para verificar normalidade, simetria e unimodalidade através de testes estatísticos antes de calcular intervalos centrados na média, optando por variantes no caso de uma das suposições não ser atendida, é:
library(lawstat)
library(diptest)
alfa <- 0.05
glicemia <- c(5.5, 5.2, 5.2, 5.8, 5.6, 4.6,
5.6, 5.9, 4.7, 5.0, 5.7, 5.2)
m <- mean(glicemia)
s <- sd(glicemia)
print(ressw <- shapiro.test(glicemia)) # teste de unimormalidade
print(ressim <- lawstat::symmetry.test(sort(glicemia),option="MGG",boot=T,B=1e4))
print(resdip <- diptest::dip.test(sort(glicemia),simulate.p.value=T,B=1e4)) # Hartigans' Dip Test for Unimodality
cat("Distribuicao da glicemia:\n")
if (ressw$p.value>alfa)
{cat("\tNormal (Shapiro-Wilk test)\n")} else
{cat("\tNao-normal (Shapiro-Wilk test)\n")}
if (ressim$p.value>alfa)
{cat("\tSimetrica (bootstrap Miao et al symmetry test)\n")} else
{cat("\tAssimetrica (bootstrap Miao et al symmetry test)\n")}
if (resdip$p.value>alfa)
{cat("\tUnimodal (bootstrap Hartigans dip test for unimodality)\n\n")} else
{cat("\tNao-unimodal (bootstrap Hartigans dip test for unimodality)\n\n")}
cat("Intervalo de predicao de 95 simetrico centrado na media\n")
iqr <- IQR(glicemia,na.rm=TRUE)
notfound <- TRUE
if (ressw$p.value>alfa) {
k <- qt(1-alfa/2, df=length(glicemia)-1)
ipnome <- "Normal"
notfound <- FALSE
}
if (notfound && ressw$p.value<=alfa && resdip$p.value>alfa && ressim$p.value>alfa) {
k <- (2/3)*sqrt(1/alfa)
ipnome <- "Gauss-Camp-Meidell unimodal simetrica nao-normal"
notfound <- FALSE
}
if (notfound && ressw$p.value<=alfa && resdip$p.value>alfa && ressim$p.value<=alfa) {
a <- abs(m-moda)/iqr
k <- a + (2/3)*sqrt((1-a^2)/alfa)
ipnome <- "Gauss-Camp-Meidell unimodal assimetrica nao-normal"
notfound <- FALSE
}
if (notfound) {
k <- sqrt(1/alfa)
ipnome <- "Chebychev para qualquer distribuicao"
}
lb95pi <- m - k*s
ub95pi <- m + k*s
cat("Intervalo de Predicao (IP)\n")
cat(" IP95 de ",ipnome, " = [",lb95pi,",",ub95pi,"]\n", sep="")obtendo:
Results of Hypothesis Test
--------------------------
Alternative Hypothesis:
Test Name: Shapiro-Wilk normality test
Data: glicemia
Test Statistic: W = 0.9380164
P-value: 0.4728106
Results of Hypothesis Test
--------------------------
Alternative Hypothesis: the distribution is asymmetric.
Test Name: m-out-of-n bootstrap symmetry test by Miao, Gel, and Gastwirth (2006)
Estimated Parameter(s): bootstrap optimal m = 11
Data: sort(glicemia)
Test Statistic: Test statistic = -0.1742091
P-value: 0.9312
Results of Hypothesis Test
--------------------------
Alternative Hypothesis: non-unimodal, i.e., at least bimodal
Test Name: Hartigans' dip test for unimodality / multimodality with simulated p-value
(based on 10000 replicates)
Data: sort(glicemia)
Test Statistic: D = 0.1071429
P-value: 0.2354
Distribuicao da glicemia:
Normal (Shapiro-Wilk test)
Simetrica (bootstrap Miao et al symmetry test)
Unimodal (bootstrap Hartigans dip test for unimodality)
Intervalo de predicao de 95 simetrico centrado na media
Intervalo de Predicao (IP)
IP95 de Normal = [4.407428,6.259239]Neste caso, de acordo com os testes estatístico, foi calculado o intervalo com base na distribuição normal. As outras alternativas que este código poderia utilizar são
- Gauss-Camp-Meidell unimodal simétrica não-normal
- Gauss-Camp-Meidell unimodal assimétrica não-normal
- Chebychev para qualquer distribuição
Outra possibilidade é o highest density interval (HDI):
library("HDInterval")
alfa <- 0.05
valores <- c(5.5, 5.2, 5.2, 5.8, 5.6, 4.6,
5.6, 5.9, 4.7, 5.0, 5.7, 5.2)
# HDI com outlier
densidade <- density(valores,na.rm=TRUE)
plot (densidade,
main="Distribuição da Glicemia de Jejum",
xlab="Glicemia (mmol/l)", ylab="Densidade",
lwd=2)
hdir1 <- HDInterval::hdi(densidade, credMass=1-alfa)
ht <- attr(hdir1, "height")
HDIll1 <- hdir1[1]
HDIul1 <- hdir1[2]
cat("Intervalo de predição:\n")
cat(" HDI95 = [",HDIll1,",",HDIul1,"]\n", sep="")
segments(HDIll1, ht, HDIul1, ht, lwd=3, col= "blue")
lines(rep(as.numeric(HDIll1),2),c(0,ht), lty=2, col= "blue")
lines(rep(as.numeric(HDIul1),2),c(0,ht), lty=2, col= "blue")obtendo:
Intervalo de predição:
HDI95 = [4.451805,6.081956]Compare os intervalos. O anterior (IP95=[4.4,6.3] ) supõe normalidade e é centrado na média amostral. Alternativamente, o HDI é o menor intervalo de predição de 95% não centrado na média: somando-se as áreas à esquerda e à direita das duas linhas verticais encontraremos 5% da área sob a curva.
Gráficos em R (apêndice)
Esta sessão serve para ajudá-lo a encontrar formatos gráficos para adaptar para seu caso, mostrando capacidades do R em gerá-los com maior facilidade e flexibilidade do que aquela encontrada em outros softwares.
Há muitas funções de diversos pacotes para fazer gráficos em R. Muitas delas adotaram os mesmos nomes de parâmetros.
Cores, por exemplo, (parâmetro col em muitas funções)
aceita nomes de cores pré-definidos (“white”, “black”, “red”,
“darkgreen”, etc.) ou no formato “#RRGGBBTT” (red, green, blue,
transparência).
Existem outros como pch para definir o símbolo dos
pontos, lty para definir o padrão das linhas e
lwd para definir a espessura das linhas.
O título dos graficos são colocados com main=“Título escrito
aqui” e os nomes dos eixos com xlab=“Nome no eixo x”
e ylab=“Nome no eixo y”. As escalas do gráfico geralmente
são definidas como xlim=c(min,max) e
ylim=c(min,max).
Muitas das funções têm defaults e colocam elementos no gráfico, sem que o usuário precise pedi-los.
pie chart (gráfico de setores, torta, pizza)
faixaetaria <- sort(factor(c("Idoso", "Idoso", "Idoso", "Idoso",
"Adulto", "Adulto", "Adulto", "Jovem")))
rotulo <- unique(faixaetaria)
freq <- summary(faixaetaria)
dt_tmp <- data.frame(c(2,3,1),rotulo,freq)
names(dt_tmp) <- c("ordem","rotulo","freq")
dt_tmp <- dt_tmp[order(dt_tmp$ordem),]
pie(dt_tmp$freq,
label = dt_tmp$rotulo,
main = "Grafico de setores",
xlab = "Faixa Etaria",
col = gray(seq(0.4,1.0,
length = length(dt_tmp$rotulo))))
|
Qualquer gráfico, em vez de ser mostrado na tela, pode ser salvo em disco. Basta colocar antes e depois do ponto do Rscript que exibe o gráfico:
png(“GraficoSetores.png”)
|
gráfico de barras
faixaetaria <- sort(factor(c("Idoso","Idoso","Idoso","Idoso",
"Adulto","Adulto","Adulto","Jovem")))
rotulo <- unique(faixaetaria)
freq <- summary(faixaetaria)
dt_tmp <- data.frame(c(2,3,1),rotulo,freq)
names(dt_tmp) <- c("ordem","rotulo","freq")
dt_tmp <- dt_tmp[order(dt_tmp$ordem),]
barplot(dt_tmp$freq,
main = "Grafico de barras",
xlab = "Faixa Etaria", ylab = "Frequencia Absoluta",
names.arg = dt_tmp$rotulo,
col = gray(seq(0.4,1.0,length = length(dt_tmp$rotulo))))
Caso pegue um data frame com séries temporais, poderá usar R para construir este tipo de vídeo, que talvez já tenham encontrado na Web: https://www.youtube.com/watch?v=IHF6A5Tri1U&feature=youtu.be
combinação de gráficos:
Veja diversas possibilidades em Plot Grouped Data: Box plot, Bar Plot and More. Por exemplo:
linhas com máximo e mínimo
mes <- c("Jan", "Fev", "Mar", "Abr", "Mai", "Jun",
"Jul", "Ago", "Set", "Out", "Nov", "Dez")
mes_num <- 1:length(mes)
high_NYC2014 <- c(28.8, 28.5, 37.0, 56.8, 69.7, 79.7, 78.5, 77.8, 74.1, 62.6, 45.3, 39.9)
low_NYC2014 <- c(12.7, 14.3, 18.6, 35.5, 49.9, 58.0, 60.0, 58.6, 51.7, 45.2, 32.2, 29.1)
dados <- data.frame(mes, high_NYC2014, low_NYC2014)
minx <- min(mes_num, na.rm=TRUE)
maxx <- max(mes_num, na.rm=TRUE)
miny <- min(high_NYC2014, low_NYC2014, na.rm=TRUE)
maxy <- max(high_NYC2014, low_NYC2014, na.rm=TRUE)
plot(NA, NA,
main = "Temperaturas altas e baixas médias em NYC-2014",
xlim=c(minx,maxx), ylim=c(miny,maxy),
xaxt="n", yaxt="n",
xlab = "Mes",
ylab = "Temperatura (F)")
# x axis
axis(side=1, at=c(minx-1,maxx+1), labels = FALSE)
text(x=mes_num, par("usr")[3],
labels = mes, srt = 30, pos = 1, xpd = TRUE)
# y axis
axis(side=2, las=1)
# high temps
high_cor <- "red"
high_lty <- 2
lines(mes_num,high_NYC2014,lwd=2,lty=high_lty,col=high_cor)
points(mes_num,high_NYC2014,pch=25,col=high_cor,bg=high_cor)
# low temps
low_cor <- "blue"
low_lty <- 3
lines(mes_num,low_NYC2014,lwd=2,lty=low_lty,col=low_cor)
points(mes_num,low_NYC2014,pch=24,col=low_cor,bg=low_cor)
# high-low vertical lines
hl_x <- c()
hl_y <- c()
for (m in 1:length(mes))
{
hl_x <- c(hl_x, mes_num[m], mes_num[m] , NA)
hl_y <- c(hl_y, high_NYC2014[m], low_NYC2014[m], NA)
}
lines(hl_x,hl_y,lty=2, lwd=1,col="#888888")
# legenda
legend("topleft",
c("Maximas", "Minimas"),
col=c(high_cor,low_cor),
pt.bg=c(high_cor,low_cor),
pch=c(25,24),
lwd=c(2,2),
lty=c(high_lty,low_lty),
box.lwd=0, bg="transparent")
stacked dot plot (gráfico de pontos empilhados)
para um grupo
estatura <- as.integer(rnorm(n=50, mean=177, sd=10))
stripchart(estatura, method="stack", offset=0.5, at=0.15, pch=19,
xlab ="Estatura masculina (cm)", ylab ="Frequencia absoluta",
main="Dotplot")
para dois grupos
set.seed(123)
Estatura.m <- as.integer(rnorm(n=50, mean=177, sd=10))
Estatura.f <- as.integer(rnorm(n=50, mean=165, sd=8))
stripchart(Estatura.m, method="stack",
offset=0.5, at=0.15,
pch=4, ylab="Contagem", xlab ="Estatura (cm)")
stripchart(Estatura.f, add=TRUE, method="stack",
offset=0.5, at=0.15, pch=1)
legend("topright",c("Masculina", "Feminina"),
pch=c(4,1))
histograma
para um grupo
estatura <- rnorm(n=50, mean=177, sd=10)
hist(estatura,
xlab ="Estatura masculina (cm)",
ylab ="Frequencia absoluta",
main="Histograma")
para dois grupos
set.seed(123)
Estatura.m <- as.integer(rnorm(n=50, mean=177, sd=10))
Estatura.f <- as.integer(rnorm(n=50, mean=165, sd=8))
hist(Estatura.f, ylab="Contagem", xlab ="Estatura (cm)",
main="Estaturas dos adultos",
col="#88000044")
hist(Estatura.m, add=TRUE, col="#00008844")
legend("topleft",
c("Feminina","Masculina"),
pt.bg=c("#88000044","#00008844"),
pch=22
)
scatterplot (gráfico de dispersão)
para um grupo
library(readxl)
suppressMessages(library(car, warn.conflicts = FALSE))
Dados <- readxl::read_excel("Adm2008.xlsx")
N <- min(sum(!is.na(Dados$Estatura[Dados$Genero=="Feminino"])),
Dados$MCT[Dados$Genero=="Feminino"])
car::scatterplot(MCT[Genero=="Feminino"] ~
Estatura[Genero=="Feminino"],
regLine=FALSE, smooth=FALSE, boxplots=FALSE,
jitter=list(x=1, y=1), col="black",
main=paste("Estudantes femininas de Administração 2008",
"\nN =",N),
xlab="Estatura (cm)",
ylab=" Massa Corporal Total (kg)",
data=Dados)
para dois grupos
library(readxl)
suppressMessages(library(car, warn.conflicts = FALSE))
Dados <- readxl::read_excel("Adm2008.xlsx")
Dados$Genero <- as.factor(Dados$Genero)
car::scatterplot(MCT~Estatura|Genero,
regLine=FALSE, smooth=FALSE, ellipse=FALSE,
col=c("red","black"),
jitter=list(x=1, y=1),
xlab = "Estatura (m)",
ylab = "MCT (kg)",
data=Dados)
bagplot
library(readxl)
suppressMessages(library(aplpack, warn.conflicts = FALSE))
Dados <- readxl::read_excel("Adm2008.xlsx")
head(Dados)
attach(Dados)
N <- min(sum(!is.na(Estatura[Genero=="Feminino"])),
MCT[Genero=="Feminino"])
aplpack::bagplot(Estatura[Genero=="Feminino"],
MCT[Genero=="Feminino"],
main=paste("Estudantes femininas de Administração Noturno FEA-USP 2008", "\nN =",N),
xlab="Estatura (m)",
ylab="Massa Corporal Total (kg)",
na.rm = TRUE)
density plot (gráfico de densidade)
para um grupo
estatura.masc <- rnorm(n=50, mean=177, sd=10)
plot(density(estatura.masc),
main="Grafico de densidade",
xlab="Estatura masculina (cm)", ylab="Densidade")
rug(estatura.masc)
para dois grupos
library(readxl)
suppressMessages(library(car, warn.conflicts = FALSE))
Dados <- readxl::read_excel("Adm2008.xlsx")
car::densityPlot(Estatura~factor(Genero), data=Dados, bw=bw.SJ,
adjust=1, kernel=dnorm, method="adaptive")
dot plot com médias para 2 grupos
library(readxl)
library(lattice)
TH <- readxl::read_excel("Sodio_2.xlsx")
TH$Instructor <- factor(TH$Instructor, levels=unique(TH$Instructor))
grafico <- lattice::xyplot(Sodium ~ Instructor, data=TH, type=c("p","a"),
jitter.x=TRUE, jitter.y=TRUE, col="black")
print(grafico)$formula
Sodium ~ Instructor
$as.table
[1] FALSE
$aspect.fill
[1] TRUE
$legend
NULL
$panel
[1] "panel.xyplot"
$page
NULL
$layout
NULL
$skip
[1] FALSE
$strip
[1] FALSE
$strip.left
[1] FALSE
$xscale.components
function (lim, packet.number = 0, packet.list = NULL, top = TRUE,
...)
{
comps <- calculateAxisComponents(lim, packet.list = packet.list,
packet.number = packet.number, ...)
list(num.limit = comps$num.limit, bottom = list(ticks = list(at = comps$at,
tck = 1), labels = list(at = comps$at, labels = comps$labels,
check.overlap = comps$check.overlap)), top = top)
}
<bytecode: 0x0000014b8d7c10d0>
<environment: namespace:lattice>
$yscale.components
function (lim, packet.number = 0, packet.list = NULL, right = TRUE,
...)
{
comps <- calculateAxisComponents(lim, packet.list = packet.list,
packet.number = packet.number, ...)
list(num.limit = comps$num.limit, left = list(ticks = list(at = comps$at,
tck = 1), labels = list(at = comps$at, labels = comps$labels,
cex = 1, check.overlap = comps$check.overlap)), right = right)
}
<bytecode: 0x0000014b8d807a00>
<environment: namespace:lattice>
$axis
function (side = c("top", "bottom", "left", "right"), scales,
components, as.table, labels = c("default", "yes", "no"),
ticks = c("default", "yes", "no"), ..., prefix = lattice.getStatus("current.prefix"))
{
side <- match.arg(side)
labels <- match.arg(labels)
ticks <- match.arg(ticks)
row <- lattice.getStatus("current.focus.row", prefix = prefix)
column <- lattice.getStatus("current.focus.column", prefix = prefix)
panel.layout <- trellis.currentLayout("panel", prefix = prefix)
layout.dim <- dim(panel.layout)
determineStatus <- function(x) {
if (is.null(x) || (is.logical(x) && !x))
FALSE
else TRUE
}
lastPanel <- function() {
((pn <- panel.number(prefix = prefix)) > 0 && pn == max(panel.layout))
}
atBoundary <- function() {
switch(side, top = if (as.table) row == 1 else row ==
layout.dim[1], bottom = if (!as.table) row == 1 else row ==
layout.dim[1], left = column == 1, right = column ==
layout.dim[2] || lastPanel())
}
do.ticks <- switch(ticks, yes = TRUE, no = FALSE, default = scales$draw &&
determineStatus(components[[side]]) && (if (scales$relation ==
"same") atBoundary() else TRUE))
do.labels <- switch(labels, yes = TRUE, no = FALSE, default = scales$draw &&
(if (scales$relation == "same") {
atBoundary() && switch(side, top = rep(scales$alternating,
length.out = column)[column] %in% c(2, 3), bottom = rep(scales$alternating,
length.out = column)[column] %in% c(1, 3), left = rep(scales$alternating,
length.out = row)[row] %in% c(1, 3), right = rep(scales$alternating,
length.out = row)[row] %in% c(2, 3))
} else TRUE))
if (do.ticks || do.labels) {
comp.list <- switch(side, top = if (is.logical(components[["top"]]) &&
components[["top"]]) components[["bottom"]] else components[["top"]],
bottom = components[["bottom"]], left = components[["left"]],
right = if (is.logical(components[["right"]]) &&
components[["right"]]) components[["left"]] else components[["right"]])
scales.tck <- switch(side, left = , bottom = scales$tck[1],
right = , top = scales$tck[2])
if (!is.logical(comp.list)) {
if (do.ticks)
panel.axis(side = side, at = comp.list$ticks$at,
labels = FALSE, draw.labels = FALSE, check.overlap = FALSE,
outside = TRUE, ticks = TRUE, tck = scales.tck *
comp.list$ticks$tck, ...)
if (do.labels)
panel.axis(side = side, at = comp.list$labels$at,
labels = comp.list$labels$labels, draw.labels = TRUE,
check.overlap = comp.list$labels$check.overlap,
outside = TRUE, ticks = FALSE, tck = scales.tck *
comp.list$ticks$tck, ...)
}
}
}
<bytecode: 0x0000014b8d806490>
<environment: namespace:lattice>
$xlab
[1] "Instructor"
$ylab
[1] "Sodium"
$xlab.default
[1] "Instructor"
$ylab.default
[1] "Sodium"
$xlab.top
NULL
$ylab.right
NULL
$main
NULL
$sub
NULL
$x.between
[1] 0
$y.between
[1] 0
$par.settings
NULL
$plot.args
NULL
$lattice.options
NULL
$par.strip.text
NULL
$index.cond
$index.cond[[1]]
[1] 1
$perm.cond
[1] 1
$condlevels
$condlevels[[1]]
[1] "1"
$call
xyplot(Sodium ~ Instructor, data = TH, type = c("p", "a"), jitter.x = TRUE,
jitter.y = TRUE, col = "black")
$x.scales
$x.scales$draw
[1] TRUE
$x.scales$axs
[1] "r"
$x.scales$tck
[1] 1 1
$x.scales$tick.number
[1] 5
$x.scales$at
[1] FALSE
$x.scales$labels
[1] FALSE
$x.scales$log
[1] FALSE
$x.scales$alternating
[1] 1 2
$x.scales$relation
[1] "same"
$x.scales$abbreviate
[1] FALSE
$x.scales$minlength
[1] 4
$x.scales$limits
NULL
$x.scales$format
NULL
$x.scales$equispaced.log
[1] TRUE
$x.scales$lty
[1] FALSE
$x.scales$lwd
[1] FALSE
$x.scales$cex
[1] FALSE FALSE
$x.scales$rot
[1] FALSE FALSE
$x.scales$col
[1] FALSE
$x.scales$col.line
[1] FALSE
$x.scales$alpha
[1] FALSE
$x.scales$alpha.line
[1] FALSE
$x.scales$font
[1] FALSE
$x.scales$fontfamily
[1] FALSE
$x.scales$fontface
[1] FALSE
$x.scales$lineheight
[1] FALSE
$y.scales
$y.scales$draw
[1] TRUE
$y.scales$axs
[1] "r"
$y.scales$tck
[1] 1 1
$y.scales$tick.number
[1] 5
$y.scales$at
[1] FALSE
$y.scales$labels
[1] FALSE
$y.scales$log
[1] FALSE
$y.scales$alternating
[1] 1 2
$y.scales$relation
[1] "same"
$y.scales$abbreviate
[1] FALSE
$y.scales$minlength
[1] 4
$y.scales$limits
NULL
$y.scales$format
NULL
$y.scales$equispaced.log
[1] TRUE
$y.scales$lty
[1] FALSE
$y.scales$lwd
[1] FALSE
$y.scales$cex
[1] FALSE FALSE
$y.scales$rot
[1] FALSE FALSE
$y.scales$col
[1] FALSE
$y.scales$col.line
[1] FALSE
$y.scales$alpha
[1] FALSE
$y.scales$alpha.line
[1] FALSE
$y.scales$font
[1] FALSE
$y.scales$fontfamily
[1] FALSE
$y.scales$fontface
[1] FALSE
$y.scales$lineheight
[1] FALSE
$panel.args.common
$panel.args.common$type
[1] "p" "a"
$panel.args.common$jitter.x
[1] TRUE
$panel.args.common$jitter.y
[1] TRUE
$panel.args.common$col
[1] "black"
$panel.args
$panel.args[[1]]
$panel.args[[1]]$x
[1] Brendon Small Brendon Small Brendon Small Brendon Small Brendon Small
[6] Brendon Small Brendon Small Brendon Small Brendon Small Brendon Small
[11] Brendon Small Brendon Small Brendon Small Brendon Small Brendon Small
[16] Brendon Small Brendon Small Brendon Small Brendon Small Brendon Small
[21] Coach McGuirk Coach McGuirk Coach McGuirk Coach McGuirk Coach McGuirk
[26] Coach McGuirk Coach McGuirk Coach McGuirk Coach McGuirk Coach McGuirk
[31] Coach McGuirk Coach McGuirk Coach McGuirk Coach McGuirk Coach McGuirk
[36] Coach McGuirk Coach McGuirk Coach McGuirk Coach McGuirk Coach McGuirk
Levels: Brendon Small Coach McGuirk
$panel.args[[1]]$y
[1] 1200 1400 1350 950 1400 1150 1300 1325 1425 1500 1250 1150 950 1150 1600
[16] 1300 1050 1300 1700 1300 1100 1200 1250 1050 1200 1250 1350 1350 1325 1525
[31] 1225 1125 1000 1125 1400 1200 1150 1400 1500 1200
$packet.sizes
[1] 40
$x.limits
[1] "Brendon Small" "Coach McGuirk"
$y.limits
[1] 897.5 1752.5
$x.used.at
NULL
$y.used.at
NULL
$x.num.limit
NULL
$y.num.limit
NULL
$aspect.ratio
[1] 1
$prepanel.default
[1] "prepanel.default.xyplot"
$prepanel
NULL
attr(,"class")
[1] "trellis"médias para 2 grupos com intervalo de confiança
# Intervalo de confiança de 95% da média populacional
suppressMessages(library(sandwich, warn.conflicts = FALSE))
suppressMessages(library(car, warn.conflicts = FALSE))
library(RcmdrMisc)
suppressMessages(library(gplots, warn.conflicts = FALSE))
estatura <- c(176, 183, 173, 191, 157, 152, 174, 166)
genero <- factor(c("M", "M", "M", "M", "F", "F", "F", "F"))
tabela <- data.frame(estatura, genero)
with(tabela, RcmdrMisc::plotMeans(estatura, genero, connect=FALSE,
xlab="Genero", ylab="Estatura", main="IC95%"))
with(tabela, gplots::plotmeans(estatura ~ genero, connect=FALSE,
xlab="Genero", ylab="Estatura", main="IC95%",
barcol="black"))
médias para 2 fatores com intervalo de confiança
suppressMessages(library(sandwich, warn.conflicts = FALSE))
suppressMessages(library(car, warn.conflicts = FALSE))
library(RcmdrMisc)
with(datasets::ToothGrowth,
RcmdrMisc::plotMeans(len, supp, as.factor(dose),
error.bars="conf.int", level=.95, connect=FALSE,
xlab="Suppliment", ylab="Lenght", main="CI95%",
legend.pos="top"))
with(datasets::ToothGrowth,
RcmdrMisc::plotMeans(len, as.factor(dose), supp,
error.bars="conf.int", level=.95, connect=FALSE,
xlab="Suppliment", ylab="Lenght", main="CI95%",
legend.pos="topleft"))
boxplot com dois fatores
boxplot(len~dose*supp,
data=datasets::ToothGrowth,
main="Tooth Growth", xlab="Suppliment and Dose", ylab="Length")
boxplot(len~supp*dose,
data=datasets::ToothGrowth,
main="Tooth Growth", xlab="Suppliment and Dose", ylab="Length")
itens Likert
suppressMessages(library(psych, warn.conflicts = FALSE))
suppressMessages(library(likert, warn.conflicts = FALSE))
Input <- ("
Pooh Leitao Tigrao
3 2 4
5 4 4
4 2 4
4 2 4
4 1 5
4 2 3
4 3 5
4 2 4
5 2 4
5 3 3
")
Dados <- read.table(textConnection(Input),header=TRUE)
Dados$Pooh <- factor(Dados$Pooh,
levels = c("1", "2", "3", "4", "5"),
ordered = TRUE)
Dados$Leitao <- factor(Dados$Leitao,
levels = c("1", "2", "3", "4", "5"),
ordered = TRUE)
Dados$Tigrao <- factor(Dados$Tigrao,
levels = c("1", "2", "3", "4", "5"),
ordered = TRUE)
psych::headTail(Dados)
print(str(Dados))
print(summary(Dados))
print(likert::likert(Dados)) # Percent responses in each group
out <- likert::likert(Dados)
print(summary(out))
print(plot(out,type="bar"))
print(plot(out,type="heat",low.color = "white",high.color = "blue",
text.color = "black",text.size = 4,wrap = 50))
print(plot(out,type="density",facet = TRUE,bw = 0.5))'data.frame': 10 obs. of 3 variables:
$ Pooh : Ord.factor w/ 5 levels "1"<"2"<"3"<"4"<..: 3 5 4 4 4 4 4 4 5 5
$ Leitao: Ord.factor w/ 5 levels "1"<"2"<"3"<"4"<..: 2 4 2 2 1 2 3 2 2 3
$ Tigrao: Ord.factor w/ 5 levels "1"<"2"<"3"<"4"<..: 4 4 4 4 5 3 5 4 4 3
NULL
Pooh Leitao Tigrao
1:0 1:1 1:0
2:0 2:6 2:0
3:1 3:2 3:2
4:6 4:1 4:6
5:3 5:0 5:2
$results
Item 1 2 3 4 5
1 Pooh 0 0 10 60 30
2 Leitao 10 60 20 10 0
3 Tigrao 0 0 20 60 20
$items
Pooh Leitao Tigrao
1 3 2 4
2 5 4 4
3 4 2 4
4 4 2 4
5 4 1 5
6 4 2 3
7 4 3 5
8 4 2 4
9 5 2 4
10 5 3 3
$grouping
NULL
$factors
NULL
$nlevels
[1] 5
$levels
[1] "1" "2" "3" "4" "5"
attr(,"class")
[1] "likert"
Item low neutral high mean sd
1 Pooh 0 10 90 4.2 0.6324555
3 Tigrao 0 20 80 4.0 0.6666667
2 Leitao 70 20 10 2.3 0.8232726
$data
Item variable value
1 Pooh 1 0
2 Leitao 1 -10
3 Tigrao 1 0
4 Pooh 2 0
5 Leitao 2 -60
6 Tigrao 2 0
7 Pooh 3 5
8 Leitao 3 10
9 Tigrao 3 10
10 Pooh 4 60
11 Leitao 4 10
12 Tigrao 4 60
13 Pooh 5 30
14 Leitao 5 0
15 Tigrao 5 20
71 Pooh 3 -5
81 Leitao 3 -10
91 Tigrao 3 -10
$layers
$layers[[1]]
mapping: yintercept = ~yintercept
geom_hline: na.rm = FALSE
stat_identity: na.rm = FALSE
position_identity
$layers[[2]]
mapping: fill = ~variable
geom_bar: just = 0.5, width = NULL, na.rm = FALSE, orientation = NA
stat_identity: na.rm = FALSE
position_stack
$layers[[3]]
mapping: fill = ~variable
geom_bar: just = 0.5, width = NULL, na.rm = FALSE, orientation = NA
stat_identity: na.rm = FALSE
position_stack
$layers[[4]]
mapping: x = ~Item, label = ~paste0(round(low), "%")
geom_text: parse = FALSE, check_overlap = FALSE, size.unit = mm, na.rm = FALSE
stat_identity: na.rm = FALSE
position_identity
$layers[[5]]
mapping: x = ~Item, label = ~paste0(round(high), "%")
geom_text: parse = FALSE, check_overlap = FALSE, size.unit = mm, na.rm = FALSE
stat_identity: na.rm = FALSE
position_identity
$layers[[6]]
mapping: x = ~Item, label = ~paste0(round(neutral), "%")
geom_text: parse = FALSE, check_overlap = FALSE, size.unit = mm, na.rm = FALSE
stat_identity: na.rm = FALSE
position_identity
$scales
<ggproto object: Class ScalesList, gg>
add: function
add_defaults: function
add_missing: function
backtransform_df: function
clone: function
find: function
get_scales: function
has_scale: function
input: function
map_df: function
n: function
non_position_scales: function
scales: list
train_df: function
transform_df: function
super: <ggproto object: Class ScalesList, gg>
$guides
<Guides[0] ggproto object>
<empty>
$mapping
Aesthetic mapping:
* `x` -> `Item`
* `y` -> `value`
* `group` -> `Item`
$theme
$theme$axis.ticks
list()
- attr(*, "class")= chr [1:2] "element_blank" "element"
$theme$legend.position
[1] "bottom"
$theme$panel.background
List of 5
$ fill : logi NA
$ colour : chr "grey70"
$ linewidth : num 1
$ linetype : NULL
$ inherit.blank: logi FALSE
- attr(*, "class")= chr [1:2] "element_rect" "element"
attr(,"complete")
[1] FALSE
attr(,"validate")
[1] TRUE
$coordinates
<ggproto object: Class CoordFlip, CoordCartesian, Coord, gg>
aspect: function
backtransform_range: function
clip: on
default: FALSE
distance: function
expand: TRUE
is_free: function
is_linear: function
labels: function
limits: list
modify_scales: function
range: function
render_axis_h: function
render_axis_v: function
render_bg: function
render_fg: function
setup_data: function
setup_layout: function
setup_panel_guides: function
setup_panel_params: function
setup_params: function
train_panel_guides: function
transform: function
super: <ggproto object: Class CoordFlip, CoordCartesian, Coord, gg>
$facet
<ggproto object: Class FacetNull, Facet, gg>
compute_layout: function
draw_back: function
draw_front: function
draw_labels: function
draw_panels: function
finish_data: function
init_scales: function
map_data: function
params: list
setup_data: function
setup_params: function
shrink: TRUE
train_scales: function
vars: function
super: <ggproto object: Class FacetNull, Facet, gg>
$plot_env
<environment: 0x0000014ba309d9a8>
$layout
<ggproto object: Class Layout, gg>
coord: NULL
coord_params: list
facet: NULL
facet_params: list
finish_data: function
get_scales: function
layout: NULL
map_position: function
panel_params: NULL
panel_scales_x: NULL
panel_scales_y: NULL
render: function
render_labels: function
reset_scales: function
resolve_label: function
setup: function
setup_panel_guides: function
setup_panel_params: function
train_position: function
super: <ggproto object: Class Layout, gg>
$labels
$labels$x
[1] ""
$labels$y
[1] "Percentage"
$labels$group
[1] "Item"
$labels$yintercept
[1] "yintercept"
$labels$fill
[1] "variable"
$labels$label
[1] "paste0(round(low), \"%\")"
attr(,"class")
[1] "likert.bar.plot" "gg" "ggplot"
attr(,"item.order")
[1] "Leitao" "Tigrao" "Pooh"
$data
Item variable value label
1 Pooh Mean (SD) -100 4.2 (0.63)
2 Tigrao Mean (SD) -100 4.0 (0.67)
3 Leitao Mean (SD) -100 2.3 (0.82)
4 Pooh 1 0 0%
5 Leitao 1 10 10%
6 Tigrao 1 0 0%
7 Pooh 2 0 0%
8 Leitao 2 60 60%
9 Tigrao 2 0 0%
10 Pooh 3 10 10%
11 Leitao 3 20 20%
12 Tigrao 3 20 20%
13 Pooh 4 60 60%
14 Leitao 4 10 10%
15 Tigrao 4 60 60%
16 Pooh 5 30 30%
17 Leitao 5 0 0%
18 Tigrao 5 20 20%
$layers
$layers[[1]]
geom_tile: linejoin = mitre, na.rm = FALSE
stat_identity: na.rm = FALSE
position_identity
$layers[[2]]
geom_text: parse = FALSE, check_overlap = FALSE, size.unit = mm, na.rm = FALSE
stat_identity: na.rm = FALSE
position_identity
$scales
<ggproto object: Class ScalesList, gg>
add: function
add_defaults: function
add_missing: function
backtransform_df: function
clone: function
find: function
get_scales: function
has_scale: function
input: function
map_df: function
n: function
non_position_scales: function
scales: list
train_df: function
transform_df: function
super: <ggproto object: Class ScalesList, gg>
$guides
<Guides[0] ggproto object>
<empty>
$mapping
Aesthetic mapping:
* `x` -> `Item`
* `y` -> `variable`
* `fill` -> `value`
* `label` -> `label`
$theme
$theme$axis.ticks
list()
- attr(*, "class")= chr [1:2] "element_blank" "element"
$theme$panel.background
List of 5
$ fill : logi NA
$ colour : chr "grey70"
$ linewidth : num 1
$ linetype : NULL
$ inherit.blank: logi FALSE
- attr(*, "class")= chr [1:2] "element_rect" "element"
$theme$panel.grid.major
list()
- attr(*, "class")= chr [1:2] "element_blank" "element"
$theme$panel.grid.minor
list()
- attr(*, "class")= chr [1:2] "element_blank" "element"
attr(,"complete")
[1] FALSE
attr(,"validate")
[1] TRUE
$coordinates
<ggproto object: Class CoordFlip, CoordCartesian, Coord, gg>
aspect: function
backtransform_range: function
clip: on
default: FALSE
distance: function
expand: TRUE
is_free: function
is_linear: function
labels: function
limits: list
modify_scales: function
range: function
render_axis_h: function
render_axis_v: function
render_bg: function
render_fg: function
setup_data: function
setup_layout: function
setup_panel_guides: function
setup_panel_params: function
setup_params: function
train_panel_guides: function
transform: function
super: <ggproto object: Class CoordFlip, CoordCartesian, Coord, gg>
$facet
<ggproto object: Class FacetNull, Facet, gg>
compute_layout: function
draw_back: function
draw_front: function
draw_labels: function
draw_panels: function
finish_data: function
init_scales: function
map_data: function
params: list
setup_data: function
setup_params: function
shrink: TRUE
train_scales: function
vars: function
super: <ggproto object: Class FacetNull, Facet, gg>
$plot_env
<environment: 0x0000014ba977bdc0>
$layout
<ggproto object: Class Layout, gg>
coord: NULL
coord_params: list
facet: NULL
facet_params: list
finish_data: function
get_scales: function
layout: NULL
map_position: function
panel_params: NULL
panel_scales_x: NULL
panel_scales_y: NULL
render: function
render_labels: function
reset_scales: function
resolve_label: function
setup: function
setup_panel_guides: function
setup_panel_params: function
train_position: function
super: <ggproto object: Class Layout, gg>
$labels
$labels$y
[1] ""
$labels$x
[1] ""
$labels$fill
[1] "value"
$labels$label
[1] "label"
attr(,"class")
[1] "likert.heat.plot" "gg" "ggplot"
$data
Item x y
1 Pooh 1.500000000 0.0008901437
2 Pooh 1.509784736 0.0009431587
3 Pooh 1.519569472 0.0010002525
4 Pooh 1.529354207 0.0010595517
5 Pooh 1.539138943 0.0011221588
6 Pooh 1.548923679 0.0011883373
7 Pooh 1.558708415 0.0012568966
8 Pooh 1.568493151 0.0013305886
9 Pooh 1.578277886 0.0014055637
10 Pooh 1.588062622 0.0014874429
11 Pooh 1.597847358 0.0015708058
12 Pooh 1.607632094 0.0016601029
13 Pooh 1.617416830 0.0017525826
14 Pooh 1.627201566 0.0018498362
15 Pooh 1.636986301 0.0019522020
16 Pooh 1.646771037 0.0020579760
17 Pooh 1.656555773 0.0021710372
18 Pooh 1.666340509 0.0022859203
19 Pooh 1.676125245 0.0024105255
20 Pooh 1.685909980 0.0025372026
21 Pooh 1.695694716 0.0026721670
22 Pooh 1.705479452 0.0028115392
23 Pooh 1.715264188 0.0029575229
24 Pooh 1.725048924 0.0031105275
25 Pooh 1.734833659 0.0032682127
26 Pooh 1.744618395 0.0034358217
27 Pooh 1.754403131 0.0036059117
28 Pooh 1.764187867 0.0037891291
29 Pooh 1.773972603 0.0039751201
30 Pooh 1.783757339 0.0041722057
31 Pooh 1.793542074 0.0043751414
32 Pooh 1.803326810 0.0045868522
33 Pooh 1.813111546 0.0048078007
34 Pooh 1.822896282 0.0050349077
35 Pooh 1.832681018 0.0052749581
36 Pooh 1.842465753 0.0055182443
37 Pooh 1.852250489 0.0057785020
38 Pooh 1.862035225 0.0060423139
39 Pooh 1.871819961 0.0063203424
40 Pooh 1.881604697 0.0066058003
41 Pooh 1.891389432 0.0069024025
42 Pooh 1.901174168 0.0072106311
43 Pooh 1.910958904 0.0075266108
44 Pooh 1.920743640 0.0078587336
45 Pooh 1.930528376 0.0081948922
46 Pooh 1.940313112 0.0085520253
47 Pooh 1.950097847 0.0089135106
48 Pooh 1.959882583 0.0092924046
49 Pooh 1.969667319 0.0096803124
50 Pooh 1.979452055 0.0100817407
51 Pooh 1.989236791 0.0104971437
52 Pooh 1.999021526 0.0109218633
53 Pooh 2.008806262 0.0113658051
54 Pooh 2.018590998 0.0118145525
55 Pooh 2.028375734 0.0122880403
56 Pooh 2.038160470 0.0127666132
57 Pooh 2.047945205 0.0132655265
58 Pooh 2.057729941 0.0137748714
59 Pooh 2.067514677 0.0142998639
60 Pooh 2.077299413 0.0148408754
61 Pooh 2.087084149 0.0153925662
62 Pooh 2.096868885 0.0159660806
63 Pooh 2.106653620 0.0165450509
64 Pooh 2.116438356 0.0171518408
65 Pooh 2.126223092 0.0177642939
66 Pooh 2.136007828 0.0183993999
67 Pooh 2.145792564 0.0190460124
68 Pooh 2.155577299 0.0197098846
69 Pooh 2.165362035 0.0203912579
70 Pooh 2.175146771 0.0210842986
71 Pooh 2.184931507 0.0218009557
72 Pooh 2.194716243 0.0225235170
73 Pooh 2.204500978 0.0232759004
74 Pooh 2.214285714 0.0240342982
75 Pooh 2.224070450 0.0248167536
76 Pooh 2.233855186 0.0256113174
77 Pooh 2.243639922 0.0264240437
78 Pooh 2.253424658 0.0272550212
79 Pooh 2.263209393 0.0280981663
80 Pooh 2.272994129 0.0289657256
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<ggproto object: Class CoordCartesian, Coord, gg>
aspect: function
backtransform_range: function
clip: on
default: TRUE
distance: function
expand: TRUE
is_free: function
is_linear: function
labels: function
limits: list
modify_scales: function
range: function
render_axis_h: function
render_axis_v: function
render_bg: function
render_fg: function
setup_data: function
setup_layout: function
setup_panel_guides: function
setup_panel_params: function
setup_params: function
train_panel_guides: function
transform: function
super: <ggproto object: Class CoordCartesian, Coord, gg>
$facet
<ggproto object: Class FacetWrap, Facet, gg>
compute_layout: function
draw_back: function
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draw_labels: function
draw_panels: function
finish_data: function
init_scales: function
map_data: function
params: list
setup_data: function
setup_params: function
shrink: TRUE
train_scales: function
vars: function
super: <ggproto object: Class FacetWrap, Facet, gg>
$plot_env
<environment: 0x0000014b99168bc0>
$layout
<ggproto object: Class Layout, gg>
coord: NULL
coord_params: list
facet: NULL
facet_params: list
finish_data: function
get_scales: function
layout: NULL
map_position: function
panel_params: NULL
panel_scales_x: NULL
panel_scales_y: NULL
render: function
render_labels: function
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setup: function
setup_panel_guides: function
setup_panel_params: function
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super: <ggproto object: Class Layout, gg>
$labels
$labels$y
[1] ""
$labels$x
[1] ""
$labels$colour
[1] "Item"
$labels$fill
[1] "Item"
$labels$group
[1] "Item"
$labels$xintercept
[1] "mean"
attr(,"class")
[1] "gg" "ggplot"