rm(list=ls()) # limpa os objetos da ultima execução
options(scipen = 9999, # inibe exibição de resultaos em notação científica
digits = 6, # limita o número de digitos das saídas do programa
max.print = 20) # limita o tamanho da saída do programa
library(lifecontingencies) # pacote com operações financeiras e atuariais
library(magrittr) # pacote com operadores semânticos %>%, %$%
library(kableExtra) # pacote para formatar tabelas
library(readxl) # pacote para ler e manipular arquivos xlsxConsiderando a tábua BR-EMS 2021mt-v.2021 feminina e masculina e i = 5,5% a.a.
setwd("C:/Users/cleod/OneDrive/Documentos/Documentos/Estudos/Ciências Atuariais/Matemática Atuarial II")
tabuas <- read_excel('Tábuas.xlsx')
tabua_mas <- tabuas[, c("Idade", "BR-EMSmt-v.2021-m")]
names(tabua_mas) <- c("x", "qx")
tabua_fem <- tabuas[, c("Idade", "BR-EMSmt-v.2021-f")]
names(tabua_fem) <- c("y", "qy")tabua_mas <- probs2lifetable(probs = tabua_mas$qx, type = 'qx', radix = 100000, name = 'BR-EMSmt-v.2021-m')
tabua_mas <- new('actuarialtable', x = tabua_mas@x, lx = tabua_mas@lx, interest = 0.055, name = 'BR-EMSmt-v.2021-m')
print(tabua_mas)## Actuarial table BR-EMSmt-v.2021-m interest rate 5.5 %
##
## x lx Dx Nx Cx Mx Rx
## 1 0 100000.0 100000.0 1871219 35.1467 2448.29 133601
## 2 1 99962.9 94751.6 1771219 21.7421 2413.14 131153
## [ reached 'max' / getOption("max.print") -- omitted 116 rows ]tabua_fem <- probs2lifetable(probs = tabua_fem$qy, type = 'qx', radix = 100000, name = 'BR-EMSmt-v.2021-f')
tabua_fem <- new('actuarialtable', x = tabua_fem@x, lx = tabua_fem@lx, interest = 0.055, name = 'BR-EMSmt-v.2021-f')
print(tabua_fem)## Actuarial table BR-EMSmt-v.2021-f interest rate 5.5 %
##
## x lx Dx Nx Cx Mx Rx
## 1 0 100000.0 100000.0 1882926 33.6043 1837.96 109307
## 2 1 99964.5 94753.1 1782926 20.2626 1804.35 107469
## [ reached 'max' / getOption("max.print") -- omitted 115 rows ]Um seguro dotal puro de 20 anos que paga R$ 50.000,00 no final desse período é adquirido por um indivíduo com 25 anos e pago com anuidade antecipada e temporária de 20 anos. Calcule as reservas retrospectiva e prospectiva para t igual a 10 anos. Utilize as seguintes informações:
| v | l25 | l35 | l45 | ä25 | ä35 | ä45 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0.943396 | 95650.1 | 94206.6 | 91640.5 | 16.2242 | 15.3926 | 14.1121 |
E25_20 <- dados1[1,1] ** 20 * dados1[1,4] / dados1[1,2]
ä25_20 <- dados1[1,5] - E25_20 * dados1[1,7]
premio1 <- 50000 * E25_20 / ä25_20
premio11 <- format(premio1, decimal.mark = ",", big.mark = ".", nsmall = 2, digits = 4)Resposta:
O valor do prêmio foi obtido por meio do uso das seguintes expressões:
\[ {}_{20}E_{25} = v^{20} \cdot \frac{l_{45}}{l_{25}} \]
\[ ä_{25:\overline{20|}} = ä_{25} - {}_{20}E_{25} \cdot ä_{45} \]
\[ P_{25} = 50.000 \cdot \frac{{}_{20}E_{25}}{ä_{25:\overline{20|}}} \]
O valor do prêmio a ser pago anualmente pelo segurado será de R$ 1.243,84.
E35_10 <- dados1[1,1] ** 10 * dados1[1,4] / dados1[1,3]
ä35_10 <- dados1[1,6] - E35_10 * dados1[1,7]
reserva1p <- 50000 * E35_10 - premio1 * ä35_10
reserva1p1 <- format(reserva1p, decimal.mark = ",", big.mark = ".", nsmall = 2, digits = 4)Resposta:
Para o cálculo da reserva matemática, pelo método prospectivo, foram utilizadas as seguintes expressões:
\[ {}_{10}E_{35} = v^{10} \cdot \frac{l_{45}}{l_{35}} \]
\[ ä_{35:\overline{10|}} = ä_{35} - {}_{10}E_{35} \cdot ä_{45} \]
\[ {}_{10}V_{25} = 5.000 \cdot {}_{10}E_{35} - P_{25} \cdot ä_{35:\overline{10|}} \]
O valor da Reserva Matemática no 10º ano de contrato, calculado pelo método prospectivo, deverá ser de R$ 17.547,80.
E25_10 <- dados1[1,1] ** 10 * dados1[1,3] / dados1[1,2]
ä25_10 <- dados1[1,5] - E25_10 * dados1[1,6]
reserva1r <- premio1 * ä25_10 / E25_10
reserva1r1 <- format(reserva1r, decimal.mark = ",", big.mark = ".", nsmall = 2, digits = 4)Resposta:
Para o cálculo da reserva matemática, pelo método retrospectivo, foram utilizadas as seguintes expressões:
\[ {}_{10}E_{25} = v^{10} \cdot \frac{l_{35}}{l_{25}} \]
\[ ä_{25:\overline{10|}} = ä_{25} - {}_{10}E_{25} \cdot ä_{35} \]
\[ {}_{10}V_{25} = \frac{P_{25} \cdot ä_{25:\overline{10|}} - 50.000 \cdot 0}{{}_{10}E_{25}} \]
O valor da Reserva Matemática no 10º ano de contrato, calculado pelo método retrospectivo, deverá ser de R$ 17.547,80.
Para resolver esse exercício, considere os seguintes valores:
| p30_20 | p38_12 | ä38_2 | ä30_10 | ä30_20 | ä38_12 | A30_20 | A38_12 | v |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0.94 | 0.96 | 1.95 | 7.96 | 12.59 | 9.06 | 0.031 | 0.032 | 0.95 |
Um indivíduo de 30 anos contratou um seguro de vida de 20 anos com as seguintes garantias:
em caso de morte durante o prazo de contrato, o paga-se 5000 u.m.;
em caso de sobrevivência no final do contrato, reembolsam-se os prêmios pagos.
O prêmio é anual, nivelado, pago por um período de 10 anos de forma antecipada. Determine o valor da reserva matemática na oitava data de aniversário do contrato.
premio2 <- (5000 * dados2[1,7]) / (dados2[1,4] - dados2[1,9] ** 20 * dados2[1,1] * 10)
reserva2 <- 5000 * dados2[1,8] + dados2[1,9] ** 12 * dados2[1,2] * premio2 * 10 - premio2 * dados2[1,3]
reserva2 <- format(reserva2, decimal.mark = ",", big.mark = ".", nsmall = 2, digits = 4)Resposta:
O valor do prêmio foi obtido por meio do uso das seguintes expressões:
\[ {}_{20}E_{30} = v^{20} \cdot {}_{20}p_{30} \]
\[ P_{30} = \frac{5.000 * A^1_{30:\overline{20|}}}{ä_{30:\overline:{10|}} - {}_{20}E_{30} \cdot 10} \]
Por sua vez, a reserva matemática foi obtida pelo método prospectivo, utilizando as seguintes expressões:
\[ {}_{12}E_{38} = v^{12} \cdot {}_{12}p_{38} \] \[ {}_{8}V_{30} = 5.000 \cdot A^1_{38:\overline{12|}} + {}_{12}E_{38} \cdot P_{30} \cdot 10 - P_{30} \cdotä_{38:\overline{2|}} \]
O valor da Reserva Matemática no 8º ano de vigência de contrato deverá ser de 269,32 u.m.
Encontre o prêmio puro P de uma anuidade vitalícia adquirida por x = 30. Se ele estiver vivo, a anuidade de 32 u.m. começa a ser paga aos 60 anos, no início de cada ano em que ele estiver vivo. A anuidade é adquirida com uma anuidade antecipada temporária anual de 20 anos no valor P e que começa a ser paga aos 30 anos. Sabe-se que:
| v | ä60 | ä50 | ä40 | ä30 | p30_10 | p40_10 | p50_10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0.943 | 11.145 | 13.267 | 14.817 | 15.856 | 0.98 | 0.961 | 0.915 |
Encontre P e a reserva nos instantes t = 10, 20 e 30 pelos métodos prospectivos e retrospectivos.
p30_30 <- dados3[1,6] * dados3[1,7] * dados3[1,8]
p30_20 <- dados3[1,6] * dados3[1,7]
ä_30.30 <- dados3[1,1] ** 30 * p30_30 * dados3[1,2]
ä30_20 <- dados3[1,5] - dados3[1,1] ** 20 * p30_20 * dados3[1,3]
premio3 <- 32 * ä_30.30 / ä30_20
premio31 <- format(premio3, decimal.mark = ",", big.mark = ".", nsmall = 2, digits = 6)Resposta:
O valor do prêmio foi obtido por meio do uso das seguintes expressões:
\[ {}_{30}p_{30} = {}_{10}p_{30} \cdot {}_{10}p_{40} \cdot {}_{10}p_{50} \]
\[ {}_{20}p_{30} = {}_{10}p_{30} \cdot {}_{10}p_{40} \]
\[ {}_{30|}ä_{30} = v^{30} \cdot {}_{30}p_{30} \cdot ä_{60} \]
\[ ä_{30:\overline{20|}} = ä_{30} - v^{20} \cdot {}_{20}p_{30} \cdot ä_{50} \]
\[ P_{30} = \frac{32 \cdot {}_{30|}ä_{30}}{ä_{30:\overline{20|}}} \]
O valor do prêmio a ser pago anualmente pelo segurado será de 4,40589 u.m.
p_40.20 <- dados3[1,7] * dados3[1,8]
ä_40.20 <- dados3[1,1] ** 20 * p_40.20 * dados3[1,2]
ä40_10 <- dados3[1,4] - dados3[1,1] ** 10 * dados3[1,7] * dados3[1,3]
reserva3p_10 <- 32 * ä_40.20 - premio3 * ä40_10
reserva3p_10 <- format(reserva3p_10, decimal.mark = ",", big.mark = ".", nsmall = 2, digits = 4)Resposta:
Para o cálculo da reserva matemática, pelo método prospectivo, foram utilizadas as seguintes expressões:
\[ {}_{20}p_{40} = {}_{10}p_{40} \cdot {}_{10}p_{50} \]
\[ {}_{20}ä_{40} = v^{20} \cdot {}_{20}p_{40} \cdot ä_{60} \]
\[ ä_{40:\overline{10|}} = ä_{40} - v^{10} \cdot {}_{10}p_{40} \cdot ä_{50} \]
\[ {}_{10}V_{30} = 32 \cdot {}_{20|}ä_{40} - P_{30} \cdot ä_{40:\overline{10|}} \]
O valor da Reserva Matemática no 10º de vigência do contrato, calculado pelo método prospectivo, deverá de 62,92 u.m.
ä_50.10 <- dados3[1,1] ** 10 * dados3[1,8] * dados3[1,2]
reserva3p_20 <- 32 * ä_50.10
reserva3p_20 <- format(reserva3p_20, decimal.mark = ",", big.mark = ".", nsmall = 2, digits = 4)Resposta:
Para o cálculo da reserva matemática, pelo método prospectivo, foram utilizadas as seguintes expressões:
\[ {}_{10|}ä_{50} = v^{10} \cdot {}_{10}p_{40} \cdot ä_{60} \]
\[ {}_{20}V_{30} = 32 \cdot {}_{10|}ä_{50} - P_{30} \cdot 0 \] O valor da Reserva Matemática no 20º de vigência do contrato, calculado pelo método prospectivo, deverá de 181,45 u.m.
reserva3p_30 <- 32 * dados3[1,2]
reserva3p_30 <- format(reserva3p_30, decimal.mark = ",", big.mark = ".", nsmall = 2, digits = 4)Resposta:
Para o cálculo da reserva matemática, pelo método prospectivo, foi utilizada a seguinte expressão:
\[ {}_{30}V_{30} = 32 \cdot ä_{60} - P_{30} \cdot 0 \]
O valor da Reserva Matemática no 30º de vigência do contrato, calculado pelo método prospectivo, deverá de 356,64 u.m.
ä30_10 <- dados3[1,5] - dados3[1,1] ** 10 * dados3[1,6] * dados3[1,4]
E_30.10 <- dados3[1,1] ** 10 * dados3[1,6]
reserva3r_10 <- premio3 * ä30_10 / E_30.10
reserva3r_10 <- format(reserva3r_10, decimal.mark = ",", big.mark = ".", nsmall = 2, digits = 4)Resposta:
Para o cálculo da reserva matemática, pelo método retrospectivo, foram utilizadas as seguintes expressões:
\[ ä_{30:\overline{10|}} = ä_{30} - v^{10} \cdot {}_{10}p_{30} \cdot ä_{40} \]
\[ {}_{10}E_{30} = v^{10} \cdot {}_{10}p_{30} \]
\[ {}_{10}V_{30} = \frac{P_{30} \cdot ä_{30:\overline{10|}} - 0}{{}_{10}E_{30}} \]
O valor da Reserva Matemática no 10º de vigência do contrato, calculado pelo método retrospectivo, deverá de 62,92 u.m.
E_30.20 <- dados3[1,1] ** 20 * dados3[1,6] * dados3[1,7]
reserva3r_20 <- premio3 * ä30_20 / E_30.20
reserva3r_20 <- format(reserva3r_20, decimal.mark = ",", big.mark = ".", nsmall = 2, digits = 4)Resposta:
Para o cálculo da reserva matemática, pelo método retrospectivo, foram utilizadas as seguintes expressões:
\[ {}_{20}E_{30} = v^{20} \cdot {}_{10}p_{30} \cdot {}_{10}p_{40} \]
\[ {}_{20}V_{30} = \frac{P_{30} \cdot ä_{30:\overline{20|}} - 0}{{}_{20}E_{30}} \]
O valor da Reserva Matemática no 20º de vigência do contrato, calculado pelo método retrospectivo, deverá de 181,45 u.m.
E_30.30 <- dados3[1,1] ** 30 * dados3[1,6] * dados3[1,7] * dados3[1,8]
reserva3r_30 <- premio3 * ä30_20 / E_30.30
reserva3r_30 <- format(reserva3r_30, decimal.mark = ",", big.mark = ".", nsmall = 2, digits = 4)Resposta:
Para o cálculo da reserva matemática, pelo método retrospectivo, foram utilizadas as seguintes expressões:
\[ {}_{30}E_{30} = v^{30} \cdot {}_{10}p_{30} \cdot {}_{10}p_{40} \cdot {}_{10}p_{50} \]
\[ {}_{30}V_{30} = \frac{P_{30} \cdot ä_{30:\overline{20|}} - 0}{{}_{30}E_{30}} \]
O valor da Reserva Matemática no 30º de vigência do contrato, calculado pelo método retrospectivo, deverá de 356,64 u.m.
Calcule a reserva pelo método da recorrência em t = 4 para o seguinte caso: O segurado de 60 anos contrata um seguro temporário de 15 anos que remunera 1 u.m. os prêmios serão pagos de forma antecipada e temporária de 8 anos. Para a resolução da questão utilize a tábua BR-EMS 2021mt-v.2021 masculina e i = 5,5%.
premio4 <- Axn(tabua_mas, x = 60, n = 15) / axn(tabua_mas, x = 60, n = 8, payment = 'advance')
reserva4_1 <- Axn(tabua_mas, x = 63, n = 12) - premio4 * axn(tabua_mas, x = 63, n = 5, payment = 'advance')
reserva4 <- (reserva4_1 + premio4 - Axn(tabua_mas, x = 63, n = 1)) / Exn(tabua_mas, x = 63, n =1)
reserva4 <- format(reserva4, decimal.mark = ",", big.mark = ".", nsmall = 2, digits = 6)Resposta:
Para o cálculo da reserva matemática, pelo método de recorrência, foram utilizadas as seguintes expressões:
\[ P_{60} = \frac{1 \cdot A^1_{60:\overline{15|}}}{ä_{60:\overline{8|}}} \]
\[ {}_{3}V_{60} = 1 \cdot A^1_{63:\overline{12|}} - P_{60} \cdot ä_{63:\overline{5|}} \]
\[ {}_{4}V_{60} = \frac{{}_{3}V_{60} + P_{60} - A^1_{63:\overline{1|}}}{{_{1}E_{63}}} \]
O valor da Reserva Matemática no 4º ano de vigência do contrato, calculado pelo método de recorrência, deverá ser de 0,0629737 u.m.