Sistemas de hipótesis

Una muestra

\[ \begin{array}{|c|c|} \hline \textbf{Hipótesis nula ($H_0$)} & \textbf{Hipótesis alternativa ($H_1$)} \\ \hline H_0: \sigma^2 \geq \sigma_0^2 & H_1: \sigma^2 < \sigma_0^2 \\ \hline H_0: \sigma^2 = \sigma_0^2 & H_1: \sigma^2 \neq \sigma_0^2 \\ \hline H_0: \sigma^2 \leq \sigma_0^2 & H_1: \sigma^2 > \sigma_0^2 \\ \hline \end{array} \]

Estadístico de prueba

\[ \chi^2_{(n-1)} = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} \]

Regiones de rechazo de la hipótesis nula (\(H_0\))

\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Hipótesis nula ($H_0$)} & \text{Hipótesis alternativa ($H_1$)} & \text{Región de rechazo ($H_0$)} \\ \hline H_0: \sigma^2 \geq \sigma_0^2 & H_1: \sigma^2 < \sigma_0^2 & \left( 0, \chi^2_{\alpha, n-1} \right) \\ \hline H_0: \sigma^2 = \sigma_0^2 & H_1: \sigma^2 \neq \sigma_0^2 & \left( 0, \chi^2_{\alpha/2, n-1} \right) \cup \left( \chi^2_{1-\alpha/2, n-1}, +\infty \right) \\ \hline H_0: \sigma^2 \leq \sigma_0^2 & H_1: \sigma^2 > \sigma_0^2 & \left( \chi^2_{1-\alpha, n-1}, +\infty \right) \\ \hline \end{array} \]

Ejercicios y ejemplos

Suponer una población de habitantes con un salario mínimo de $1.350.000 pesos y una varianza de $25.000; simular la población, tomar una muestra y probar las hipótesis con respecto a la varianza de que ésta es, efectivamente, $25.000.

library(tidyverse)
## ── Attaching core tidyverse packages ──────────────────────── tidyverse 2.0.0 ──
## ✔ dplyr     1.1.4     ✔ readr     2.1.5
## ✔ forcats   1.0.0     ✔ stringr   1.5.1
## ✔ ggplot2   3.5.1     ✔ tibble    3.2.1
## ✔ lubridate 1.9.3     ✔ tidyr     1.3.1
## ✔ purrr     1.0.2     
## ── Conflicts ────────────────────────────────────────── tidyverse_conflicts() ──
## ✖ dplyr::filter() masks stats::filter()
## ✖ dplyr::lag()    masks stats::lag()
## ℹ Use the conflicted package (<http://conflicted.r-lib.org/>) to force all conflicts to become errors
library(mosaic)
## Registered S3 method overwritten by 'mosaic':
##   method                           from   
##   fortify.SpatialPolygonsDataFrame ggplot2
## 
## The 'mosaic' package masks several functions from core packages in order to add 
## additional features.  The original behavior of these functions should not be affected by this.
## 
## Attaching package: 'mosaic'
## 
## The following object is masked from 'package:Matrix':
## 
##     mean
## 
## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, do, tally
## 
## The following object is masked from 'package:purrr':
## 
##     cross
## 
## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     stat
## 
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     binom.test, cor, cor.test, cov, fivenum, IQR, median, prop.test,
##     quantile, sd, t.test, var
## 
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     max, mean, min, prod, range, sample, sum
# Fijar los parámetros poblacionales
mu <- 1350000
sigma2 <- 25000

# Simular la población
ingresos <- rnorm(n=1000000, mean=mu, sd=sqrt(sigma2))

# Crear un data frame
INGRESOS <- data.frame(ingresos)
INGRESOS %>% 
  ggplot(
    mapping=aes(
      y=ingresos
    )
  ) +
  geom_boxplot(
    colour="purple",
    fill="blue"
  ) +
  labs(
    title = "Boxplot de Ingresos", y = "Ingresos", x = ""
  )

Vamos a probar hipótesis

\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Hipótesis nula ($H_0$)} & \text{Hipótesis alternativa ($H_1$)} & \text{Región de rechazo ($H_0$)} \\ \hline H_0: \sigma^2 \geq \sigma_0^2 = 25000 & H_1: \sigma^2 < \sigma_0^2 = 25000 & \left( 0, \chi^2_{\alpha, n-1} \right) \\ \hline \end{array} \]

  • Selección de la muestra aleatoria
muestra <- INGRESOS %>% 
  sample_frac(
    size=0.3
  )
  • Distribución de la muestra aleatoria
ggplot(muestra, aes(x = "", y = ingresos)) +
  geom_jitter(width = 0.2, height = 0) +
  stat_summary(fun.data="mean_se", col="red") +
  labs(title = "Gráfico para Jitter la muestra de ingresos", y = "Ingresos", x = "")

  • Prueba de hipótesis
# Definir la varianza poblacional hipotética
sigma0_sq <- 25000

# Tomar una muestra aleatoria
set.seed(123)
muestra <- INGRESOS %>% sample_frac(size = 0.1)

# Calcular estadístico de prueba
n <- nrow(muestra)
S_sq <- var(muestra$ingresos)
chi_sq <- (n - 1) * S_sq / sigma0_sq

# Definir nivel de significancia
alpha <- 0.05

# Regiones de rechazo
critical_value_lower <- qchisq(alpha, df = n - 1, lower.tail = TRUE)

# Resultados
result <- ifelse(chi_sq < critical_value_lower, "Se rechaza H0 en favor de H1", "No se rechaza H0")

result
## [1] "No se rechaza H0"

Vamos a probar hipótesis

\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Hipótesis nula ($H_0$)} & \text{Hipótesis alternativa ($H_1$)} & \text{Región de rechazo ($H_0$)} \\ \hline H_0: \sigma^2 = \sigma_0^2 = 25000 & H_1: \sigma^2 \neq \sigma_0^2 = 25000 & \left( 0, \chi^2_{\alpha/2, n-1} \right) \cup \left( \chi^2_{1-\alpha/2, n-1}, +\infty \right) \\ \hline \end{array} \]

  • Selección de la muestra aleatoria
muestra <- INGRESOS %>% 
  sample_frac(
    size=0.2
  )
  • Distribución de la muestra aleatoria
ggplot(muestra, aes(x = "", y = ingresos)) +
  geom_jitter(width = 0.2, height = 0) +
  stat_summary(fun.data="mean_se", col="red") +
  labs(title = "Gráfico para Jitter la muestra de ingresos", y = "Ingresos", x = "")

  • Prueba de hipótesis
# Definir la varianza poblacional hipotética
sigma0_sq <- 25000

# Tomar una muestra aleatoria
set.seed(123)
muestra <- INGRESOS %>% sample_frac(size = 0.1)

# Calcular estadístico de prueba
n <- nrow(muestra)
S_sq <- var(muestra$ingresos)
chi_sq <- (n - 1) * S_sq / sigma0_sq

# Definir nivel de significancia
alpha <- 0.05

# Regiones de rechazo
critical_value_lower <- qchisq(alpha/2, df = n - 1, lower.tail = TRUE)
critical_value_upper <- qchisq(1-alpha/2, df = n - 1, lower.tail = TRUE)

# Resultados
result <- ifelse(chi_sq < critical_value_lower, "Se rechaza H0 en favor de H1", 
                 ifelse(chi_sq > critical_value_upper, "Se rechaza H0 en favor de H1", "No se rechaza H0"))

result
## [1] "No se rechaza H0"

Vamos a probar hipótesis

\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Hipótesis nula ($H_0$)} & \text{Hipótesis alternativa ($H_1$)} & \text{Región de rechazo ($H_0$)} \\ \hline H_0: \sigma^2 \leq \sigma_0^2 = 25000 & H_1: \sigma^2 > \sigma_0^2 = 25000 & \left( \chi^2_{1-\alpha, n-1}, +\infty \right) \\ \hline \end{array} \]

  • Selección de la muestra aleatoria
muestra <- INGRESOS %>% 
  sample_frac(
    size=0.1
  )
  • Distribución de la muestra aleatoria
ggplot(muestra, aes(x = "", y = ingresos)) +
  geom_jitter(width = 0.2, height = 0) +
  stat_summary(fun.data="mean_se", col="red") +
  labs(title = "Gráfico para Jitter la muestra de ingresos", y = "Ingresos", x = "")

  • Prueba de hipótesis
# Definir la varianza poblacional hipotética
sigma0_sq <- 25000

# Tomar una muestra aleatoria
set.seed(123)
muestra <- INGRESOS %>% sample_frac(size = 0.1)

# Calcular estadístico de prueba
n <- nrow(muestra)
S_sq <- var(muestra$ingresos)
chi_sq <- (n - 1) * S_sq / sigma0_sq

# Definir nivel de significancia
alpha <- 0.05

# Regiones de rechazo
critical_value_upper <- qchisq(1-alpha, df = n - 1, lower.tail = TRUE)

# Resultados
result <- ifelse(chi_sq > critical_value_upper, "Se rechaza H0 en favor de H1", "No se rechaza H0")

result
## [1] "No se rechaza H0"