Actividad formativa 3

Author

Tania Jazmín Molina Ramírez

Published

July 13, 2024

a) Estimar el parametro \(\theta\), tomando en cuenta la distribucion de Weibull con \(\lambda\) y definir si pertenece a la familia exponencial.

Forma canónica de la familia exponencial:

\(f(y; \theta) = \exp \left[ a(y) b(\theta) + c(\theta) \right]\)

Funcion de densidad

La función de densidad de Weibull con parámetros de escala \(\lambda\) y forma \(\alpha\) es:

\[f(x) = \lambda \alpha \left( \lambda x \right)^{\alpha - 1} e^{-\left(\lambda x\right)^{\alpha}}\]

Entonces:

\(\left( \lambda x \right)^{\alpha - 1}\): La expresión \(\lambda\) se eleva a la potencia \(\alpha - 1\).
\(e^{-\left(\lambda x\right)^{\alpha}}\): Se asegura que la función de densidad decaiga exponencialmente conforme \(x\) crece, ajustado por \(\lambda\) y \(\alpha\).

Donde:
- \(\lambda\): Parámetro de escala.
- \(\alpha\): Parámetro de forma.
- \(x\): Variable aleatoria positiva.

Función de Distribución

\[F(x|\lambda,\alpha) = 1 - e^{-(x/\lambda)^\alpha}\]

Estimación del Parámetro Weibull

Para resolver la estimación del parámetro \((\theta)\) de la distribución de Weibull nos enfocaremos en el método de máxima verosimilitud

Estimación del Parámetro \((\theta)\) mediante Máxima Verosimilitud

Función de Densidad de Probabilidad: La función de densidad de probabilidad de la distribución de Weibull con \((\lambda = 2)\) es: \[ f(x; \lambda, \theta) = \theta \left(2^\theta\right) x^{\theta - 1} e^{-\left(2x\right)^\theta}\]
Función de Verosimilitud: Para una muestra \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) la función de verosimilitud es:
\[L(\theta; x_1, x_2, \ldots, x_n) = \prod_{i=1}^{n} \theta \left(2^\theta\right) x_i^{\theta - 1} e^{-\left(2x_i\right)^\theta}\]
Log-Verosimilitud: Tomamos el logaritmo de la función de verosimilitud para obtener la log-verosimilitud:

\[\ell(\theta; x_1, x_2, \ldots, x_n) = \ln L(\theta; x_1, x_2, \ldots, x_n)\]

Descomponemos en una suma de términos logarítmicos:
\[\ell(\theta; x_1, x_2, \ldots, x_n) = \sum_{i=1}^{n} \left[ \ln(\theta) + \theta \ln(2) + (\theta - 1) \ln(x_i) - \left(2x_i\right)^\theta \right]\]

Derivada de la Log-Verosimilitud respecto a \(\theta\):

\[\frac{\partial \ell}{\partial \theta} = \sum_{i=1}^{n} \left[ \frac{1}{\theta} + \ln(2) + \ln(x_i) - \left(2x_i\right)^\theta \ln\left(2x_i\right) \right]\]

Para encontrar el estimador de máxima verosimilitud \((\hat{\theta})\), necesitamos resolver la ecuación \((\frac{\partial \ell}{\partial \theta} = 0)\):
\[\sum_{i=1}^{n} \left[ \frac{1}{\theta} + \ln(2) + \ln(x_i) - \left(2x_i\right)^\theta \ln\left(2x_i\right) \right] = 0\]

Separando los términos:

\[\frac{n}{\theta} + n \ln(2) + \sum_{i=1}^{n} \ln(x_i) - \sum_{i=1}^{n} \left(2x_i\right)^\theta \ln\left(2x_i\right) = 0\]

Podemos reorganizar esta ecuación para encontrar \((\theta)\):

\[\frac{n}{\theta} + n \ln(2) + \sum_{i=1}^{n} \ln(x_i) = \sum_{i=1}^{n} \left(2x_i\right)^\theta \ln\left(2x_i\right)\]

Evaluamos el término integral en el lado derecho, para una función general \((g(x))\), la suma de los términos \((g(x_i))\) sobre todos los datos puede aproximarse mediante una integral:

\[\sum_{i=1}^{n} g(x_i) \approx \int g(x) \, dx\]

Para la parte de la suma tenemos: \[\sum_{i=1}^{n} \left(2x_i\right)^\theta \ln\left(2x_i\right):\]

Integral Aproximada:

\[\sum_{i=1}^{n} \left(2x_i\right)^\theta \ln\left(2x_i\right) \approx \int \left(2x\right)^\theta \ln\left(2x\right) f(x), dx\]

Donde \(f(x)\) es la función de densidad de la muestra \(( x_i )\). Sustituyendo la función de densidad de probabilidad de Weibull con \((\lambda = 2)\):

\[f(x; \theta, 2) = \theta \left(2^\theta\right) x^{\theta - 1} e^{-\left(2x\right)^\theta}\]

Calculamos el valor esperado de la distribución Weibull

\[ \int \left(2x\right)^\theta \ln\left(2x\right) \theta \left(2^\theta\right) x^{\theta - 1} e^{-\left(2x\right)^\theta}, dx\] La dejamos asi dado que nos da una integral compleja, para la cual necesitamos utilizar algun metodo numerico o software estadistico.

Para que esta función de densidad de probabilidad se ajuste a la forma general de la familia exponencial, necesitamos expresarla como:

\(f(x; 2, \alpha) = \exp \left( \ln(\alpha) + (\alpha - 1) \ln(2x) - (2x)^\alpha \right)\)

Donde:

\(a(x) = \ln(2x)\)
\(b(\alpha) = \alpha - 1\)
\(c(x) = 0\) (ya que no hay término constante en la forma exponencial)
\(d(\alpha) = -(2x)^\alpha\)

Comparando la expresión de Weibull con la forma general de la familia exponencial, podemos ver que coincide estructuralmente:

\[f(x; 2, \alpha) = \exp \left( \ln(\alpha) + (\alpha - 1) \ln(2x) - (2x)^\alpha \right)\]

Por lo tanto, la distribución de Weibull con \(\lambda = 2\) y parámetro de forma \(\alpha\) pertenece a la familia exponencial, ya que podemos expresar su funcion de densidad de probabilidad como una función exponencial de las funciones \(\ln(2x)\) y \(-(2x)^\alpha\) de manera consistente con la forma general.

b) Si las \(Y_i\) son variables aleatorias independientes, provenientes de Weibull con los mismos parametros, entonces:

¿Que forma tiene la distribucion de probabilidad conjunta? ¿Que forma tiene la funcion logarítmica de verosimilitud?

Función de densidad de probabilidad conjunta

Si \(Y_1, Y_2,\dots,Y_n\) son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas según una distribución de Weibull con parámetros \(\lambda\) y \(\theta\), la función de densidad de probabilidad de cada \(Y_i\) es:
\[f(y_i; \lambda, \theta) = \frac{\theta}{\lambda} \left(\frac{y_i}{\lambda}\right)^{\theta-1} \exp \left(-\left(\frac{y_i}{\lambda}\right)^{\theta}\right)\]

La función de densidad de probabilidad conjunta de \(Y_1, Y_2,\dots,Y_n\) se obtiene multiplicando las funciones de densidad individuales debido a la independencia:

\[f(y_1, y_2, \dots, y_n; \lambda, \theta) = \prod_{i=1}^n f(y_i; \lambda, \theta)\]

Sustituimos la funcion de probabilidad de Weibull en la ecuación anterior, obtenemos:

\[f(y_1, y_2, \dots, y_n; \lambda, \theta) = \prod_{i=1}^n \frac{\theta}{\lambda} \left(\frac{y_i}{\lambda}\right)^{\theta-1} \exp \left(-\left(\frac{y_i}{\lambda}\right)^{\theta}\right)\] Simplificamos a la forma final

\[f(y_1, y_2, \dots, y_n; \lambda, \theta) = \left(\frac{\theta}{\lambda}\right)^n \prod_{i=1}^n \left(\frac{y_i}{\lambda}\right)^{\theta-1} \exp \left(-\sum_{i=1}^n \left(\frac{y_i}{\lambda}\right)^{\theta}\right)\]

Función logarítmica de verosimilitud

Para obtener la función logarítmica de verosimilitud, tomamos el logaritmo natural de la función de densidad conjunta:

\[\ell(\lambda, \theta; y_1, y_2, \dots, y_n) = \ln f(y_1, y_2, \dots, y_n; \lambda, \theta)\]

Sustituyendo la función de densidad conjunta:

\[\ell(\lambda, \theta; y_1, y_2, \dots, y_n) = \ln \left[ \left(\frac{\theta}{\lambda}\right)^n \prod_{i=1}^n \left(\frac{y_i}{\lambda}\right)^{\theta-1} \exp \left(-\sum_{i=1}^n \left(\frac{y_i}{\lambda}\right)^{\theta}\right) \right]\]

Usamos las propiedades del logaritmo para simplificar:

\[\ell(\lambda, \theta; y_1, y_2, \dots, y_n) = n \ln \left(\frac{\theta}{\lambda}\right) + \sum_{i=1}^n \ln \left(\left(\frac{y_i}{\lambda}\right)^{\theta-1}\right) - \sum_{i=1}^n \left(\frac{y_i}{\lambda}\right)^{\theta}\]

Desglosamos cada término del logaritmo:

\[\ell(\lambda, \theta; y_1, y_2, \dots, y_n) = n \ln(\theta) - n \ln(\lambda) + (\theta-1) \sum_{i=1}^n \ln(y_i) - (\theta-1) n \ln(\lambda) - \sum_{i=1}^n \left(\frac{y_i}{\lambda}\right)^{\theta}\]

Juntamos los términos similares:

\[\ell(\lambda, \theta; y_1, y_2, \dots, y_n) = n \ln(\theta) - n \theta \ln(\lambda) + (\theta-1) \sum_{i=1}^n \ln(y_i) - \sum_{i=1}^n \left(\frac{y_i}{\lambda}\right)^{\theta}\]

Por lo tanto:

La Función de densidad de probabilidad conjunta es:

La Función logarítmica de verosimilitud es:

\[\ell(\lambda, \theta; y_1, y_2, \dots, y_n) = n \ln(\theta) - n \theta \ln(\lambda) + (\theta-1) \sum_{i=1}^n \ln(y_i) - \sum_{i=1}^n \left(\frac{y_i}{\lambda}\right)^{\theta}\]