En este documento estimaremos el parametro \(\theta\), de la distribucion de Weibull con \(\lambda=2\) usando un método de maxima verosimilitud (MLE) y determinamos si la distribucion pertenece a la familia exponencial.
Si X es una variable continua se dice que X tiene ua distribucion Weibull con parametro (\(\theta\), \(\lambda > 0\)), en esta ocacion diremos \(\theta\) por lo que tenemos que:
X ~ Weibull (\(\theta,\lambda\)) si su funcion de densidad es:
\(f(x)\) = λθ(λx)^θ−1 e−(x/2)θ ; x > 0.
En donde decimos que \(\theta\) es el “parametro deforma” (Un parámetro de forma es un tipo de parámetro de una familia de distribuciones de probabilidad).
y donde \(\lambda\) es el “parametro de escala de la distribución” (Por lo que esta es una clase especial de parámetro numérico de una familia de parámetros de distribuciones probabilisticas. Cuanto mas grande es el parámetro de la escala, más amplia será la distribución.
Supongamos, que tenemos una muestra de datos de la distribucion de Weibull con \(\lambda=2\). entonces usaremos el método de maxima verosimilitud para estimar \(\theta\).
Para variables aleatorias independientes \(Y_1, Y_2, \ldots, Y_n\) provenientes de una distribución de Weibull con los mismos parámetros \(\theta\) y \(\lambda\), la función logarítmica de verosimilitud se expresa como:
\[ \ell(\lambda, \theta); y_1, y_2, \ldots, y_n) = n \log \theta) - n \theta \log \lambda + (\theta-1) \sum_{i=1}^n \log y_i - \sum_{i=1}^n \left( \frac{y_i}{\lambda} \right)^\theta \]
La función de densidad de probabilidad (PDF) de una variable aleatoria \(Y\) que sigue una distribución de Weibull con parámetros \(\lambda\) y \(\theta\) es:
\[ f_Y(y; \lambda, \theta) = \begin{cases} \frac{\theta}{\lambda} \left(\frac{y}{\lambda}\right)^{\theta-1} \exp\left( -\left(\frac{y}{\lambda}\right)^\theta \right) & \text{si }y \ge 0 \\0 & \text{si } y < 0 \end{cases} \]
La función de verosimilitud conjunta para \(Y_1, Y_2, \ldots, Y_n\) es:
\[ L(\lambda, \theta\; y_1, y_2, \ldots, y_n) = \prod_{i=1}^n f_Y(y_i; \lambda, \theta) \]
La función logarítmica de verosimilitud se obtiene tomando el logaritmo natural de la función de verosimilitud conjunta:
\[ \ell(\lambda, \theta); y_1, y_2, \ldots, y_n) = \log L(\lambda, \theta\; y_1, y_2, \ldots, y_n) \]
Finalmente, se expresa como:
\[ \ell(\lambda, \theta\; y_1, y_2, \ldots, y_n) = n \log \theta\ - n \theta \log \lambda + (\theta-1) \sum_{i=1}^n \log y_i - \sum_{i=1}^n \left( \frac{y_i}{\lambda} \right)^\theta\ \]
Para estimar el parámetro \(\theta\) en la distribución de Weibull con \(\lambda = 2\), consideramos la siguiente forma de la función de densidad de probabilidad:
\[ f_Y(y; \lambda = 2, \theta) = \begin{cases} \frac{\theta}{2} \left(\frac{y}{2}\right)^{\theta-1} \exp\left( -\left(\frac{y}{2}\right)^\theta \right) & \text{ } \end{cases} \]
La función de verosimilitud para \(Y_1, Y_2, \ldots, Y_n\) es:
\[ L(\theta; y_1, y_2, \ldots, y_n) = \prod_{i=1}^n \frac{\theta}{2} \left(\frac{y_i}{2}\right)^{\theta-1} \exp\left( -\left(\frac{y_i}{2}\right)^\theta \right) \]
Tomando el logaritmo natural de la función de verosimilitud conjunta, obtenemos:
\[ \ell(\theta; y_1, y_2, \ldots, y_n) = n \log \theta - n \theta \log 2 + (\theta-1) \sum_{i=1}^n \log y_i - \sum_{i=1}^n \left( \frac{y_i}{2} \right)^\theta \]
Para verificar si la distribución de Weibull pertenece a la familia exponencial de distribuciones, expresamos la función de densidad de probabilidad en la forma estándar de la familia exponencial:
\[ f_Y(y) = h(y) \exp \left( \eta T(y) - A(\eta) \right) \]
Donde \(\eta\) es el parámetro natural, \(T(y)\) es la estadística suficiente, \(A(\eta)\) es la función log-partición, y \(h(y)\) es la función base.
La función de densidad de Weibull se puede reescribir como:
\[ f_Y(y; 2, \theta) = \left(\frac{\theta}{2}\right) \left(y^{\theta-1}\right) \exp \left( -\left(\frac{y}{2}\right)^\theta \right) \]
Esto se puede identificar con:
\[ h(y) = y^{\theta-1}, \quad \eta = -\frac{1}{\lambda^\theta}, \quad T(y) = y^\theta, \quad A(\eta) = -\log(\theta) \]
Por lo tanto, la distribución de Weibull pertenece a la familia exponencial de distribuciones.
\[ f_Y(y; \lambda, \theta) = \exp \left( -\left(\frac{y}{\lambda}\right)^\theta + (\theta-1) \log y - \log \lambda - \log \theta \right) \]
Como podemos observar podemos decir que la verificación muestra que cumple con la forma general de la familia exponencial.
Por lo tanto, la distribución de Weibull con λ=2 pertenece a la familia exponencial.
¿Qué forma tiene la distribución de probabilidad conjunta?
¿Qué forma tiene la función logarítmica de verosimilitud?
La PDF de una variable aleatoria Y que sigue una distribución de Weibull con parámetros λ y θ es:
f(y;λ,θ)= θ/λ ( y/λ)^θ−1 e−(y/λ)θ
Dado que λ=2, la PDF se convierte en:
f(y;2,θ)= θ/2 ( y/2)^θ−1 e−(y/2)θ
Si \(Y_1, Y_2, \ldots, Y_n\), son variables aleatorias independientes que provienen de la misma distribución Weibull, la distribución de probabilidad conjunta es el producto de sus PDFs individuales:
\(Y_1, Y_2, \ldots, Y_n \; \lambda, \theta\ = \prod\)
Para encontrar la función logarítmica de verosimilitud, tomamos el logaritmo natural de la función de verosimilitud conjunta.
Dado que \(Y_1, Y_2, \ldots, Y_n\) son variables aleatorias independientes y provenientes de la misma distribución de Weibull con los mismos parámetros, la distribución conjunta de estas variables es el producto de las densidades individuales. La distribución de probabilidad conjunta para
\(Y_1, Y_2, \ldots, Y_n\) es:
\[ f_{Y_1, Y_2, \ldots, Y_n}(y_1, y_2, \ldots, y_n; \lambda, \theta) = \prod_{i=1}^n f_Y(y_i; \lambda, \theta) \]
Sustituyendo la PDF de Weibull para cada \(y_i\):
\[ f_{Y_1, Y_2, \ldots, Y_n}(y_1, y_2, \ldots, y_n; \lambda, \theta) = \prod_{i=1}^n \left[ \frac{\theta}{\lambda} \left( \frac{y_i}{\lambda} \right)^{\theta-1} \exp \left( -\left( \frac{y_i}{\lambda} \right)^\theta \right) \right] \]
Simplificamos el producto:
\[ f_{Y_1, Y_2, \ldots, Y_n}(y_1, y_2, \ldots, y_n; \lambda, \theta) = \left( \frac{\theta}{\lambda} \right)^n \prod_{i=1}^n \left( \frac{y_i}{\lambda} \right)^{\theta-1} \exp \left( - \sum_{i=1}^n \left( \frac{y_i}{\lambda} \right)^\theta \right) \]
La forma de la distribución de probabilidad conjunta es:
\[ f_{Y_1, Y_2, \ldots, Y_n}(y_1, y_2, \ldots, y_n; \lambda, \theta) = \left( \frac{\theta}{\lambda} \right)^n \prod_{i=1}^n \left( \frac{y_i}{\lambda} \right)^{\theta-1} \exp \left( - \sum_{i=1}^n \left( \frac{y_i}{\lambda} \right)^\theta \right) \]
En resumen, la distribución de probabilidad conjunta de \(n\) variables aleatorias independientes que siguen una distribución de Weibull con los mismos parámetros \(\lambda\) y \(\theta\) es un producto de las densidades individuales multiplicadas, lo cual resulta en:
\[ f_{Y_1, Y_2, \ldots, Y_n}(y_1, y_2, \ldots, y_n; \lambda, \theta) = \left( \frac{\theta}{\lambda} \right)^n \prod_{i=1}^n \left( \frac{y_i}{\lambda} \right)^{theta-1} \exp \left( - \sum_{i=1}^n \left( \frac{y_i}{\lambda} \right)^\theta \right) \]
Para variables aleatorias independientes \(Y_1, Y_2, \ldots, Y_n\) provenientes de una distribución de Weibull con los mismos parámetros \(\lambda\) y \(\theta\), la función logarítmica de verosimilitud se expresa como:
\[ \ell(\lambda, \theta; y_1, y_2, \ldots, y_n) = n \log \theta - n \theta \log \lambda + (\theta-1) \sum_{i=1}^n \log y_i - \sum_{i=1}^n \left( \frac{y_i}{\lambda} \right)^\theta \]
La función de densidad de probabilidad (PDF) de una variable aleatoria \(Y\) que sigue una distribución de Weibull con parámetros \(\lambda\) y \(\theta\) es:
\[ f_Y(y; \lambda, \theta) = \begin{cases} \frac{\theta}{\lambda} \left(\frac{y}{\lambda}\right)^{\theta-1} \exp\left( -\left(\frac{y}{\lambda}\right)^\theta \right) & \text{si } y \ge 0 \\ 0 & \text{si } y < 0 \end{cases} \]
La función de verosimilitud conjunta para \(Y_1, Y_2, \ldots, Y_n\) es:
\[ L(\lambda, \theta; y_1, y_2, \ldots, y_n) = \prod_{i=1}^n f_Y(y_i; \lambda, \theta) \]
La función logarítmica de verosimilitud se obtiene tomando el logaritmo natural de la función de verosimilitud conjunta:
\[ \ell(\lambda, \theta; y_1, y_2, \ldots, y_n) = \log L(\lambda, \theta; y_1, y_2, \ldots, y_n) \]
Finalmente, se expresa como:
\[ \ell(\lambda, \theta; y_1, y_2, \ldots, y_n) = n \log \theta - n \theta \log \lambda + (\theta-1) \sum_{i=1}^n \log y_i - \sum_{i=1}^n \left( \frac{y_i}{\lambda} \right)^\theta \]