1. Estimar el párametro \(\theta\), tomando en cuenta la distribución de Weibull con \(\lambda=2\) y definir si pertenece a la familia exponencial.

solución:

Como primera instancia se tienen que tener en cuenta la funcion de densidad de la distribucion de Weibull \[ X \rightsquigarrow Weibull (\alpha ,\lambda)= \lambda\alpha(\lambda x)^{\alpha-1} exp^{-(\lambda x)^{\alpha}} \] como es una distribucion continua, se tienen las siguiente integral para calcular la esperanza

\[ E[a(y)]=\int a(y)f(a(y);\theta)d(a(y)) \]

por lo consiguiente se reduce a la siguiente expresión para encontrar la esperanza: \[ \int \dfrac{d}{d \theta} f(y;\theta)dy=\int\dfrac{d}{d \theta} exp \left( a(y)b(\theta)+c(\theta)+d(y)\right) \]

al resolver todo lo anterior se obtiene la expresion para la \(E[a(y)]\) \[ E[a(y)]=-\dfrac{c'(\theta)}{b'(\theta)} \]

De esta manera para la distribucion, se tienen que tener los valores para la comprobacion de lo anterior. Sea \(y\) una variable aleatoria con distribución Weibull con función de densidad de probabilidad como sigue: \[ f(y;\lambda,\theta)=\dfrac{\lambda y^{\lambda-1}}{\theta^\lambda} exp\left[-\left(\dfrac{y}{\theta}\right)^{\lambda}\right] \]

Donde:

  1. \(y\), \(y>0\) es el tiempo de falla.
  2. \(\lambda\) ,\(\lambda\) es un parámetro que determina la forma de la distribución.
  3. \(\theta\),\(\theta\) es un parámetro que determina la escala.

A partir de esta función, se reescribirla aplicando una exponencial como: \[ f(y;\lambda,\theta)= exp \left[ ln \left(\dfrac{\lambda y^{\lambda-1}}{\theta^\lambda} exp\left(-\left(\dfrac{y}{\theta}\right)^{\lambda}\right)\right)\right] \]

\[ = exp \left[ ln \left(\dfrac{\lambda y^{\lambda-1}}{\theta^\lambda}\right)+ ln \left( exp\left(-\left(\dfrac{y}{\theta}\right)^{\lambda}\right)\right)\right] \] \[ = exp \left[ ln \left(\lambda y^{\lambda-1})-ln ({\theta^\lambda}\right) -\left(\dfrac{y}{\theta}\right)^{\lambda}\right] \]

\[ = exp \left[ln(\lambda)+ln( y^{\lambda-1})-ln ({\theta^\lambda}) -\left(\dfrac{y}{\theta}\right)^{\lambda}\right] \]

\[ f(y;\lambda,\theta)=exp \left( ln(\lambda)-\lambda ln(\theta) +(\lambda -1)ln(y)-\left(\dfrac{y}{\theta} \right)^{\lambda}\right) \]

De esta froma sutituimos \(\lambda=2\) \[ f(y;\lambda,\theta)=exp \left( ln(2)-2ln(\theta) +(2 -1)ln(y)-\left(\dfrac{y}{\theta} \right)^{2}\right) \]

\[ =exp \left( ln(2)-2ln(\theta) +ln(y)-\dfrac{y^2}{\theta^2}\right) \]

\[ =exp \left( y^2 \left(-\dfrac{1}{\theta^2} \right)+ln(2)-2ln(\theta)+ln(y) \right) \]

por tanto se tienen los siguientes valores:

Comprobando la esperanza:

si - \(b(\theta)=-\frac{1}{\theta^2}\) entonces, - \(b'(\theta)=\frac{2}{\theta^3}\) y \(c(\theta)=ln(2)-2ln(\theta)\) con \(c'(\theta)=-\frac{2}{\theta}\)la esperanza esta de la siguiente manera:

\[ E[a(y)]=-\dfrac{c'(\theta)}{b'(\theta)} \]

\[ E[a(y)]=-\dfrac{-\frac{2}{\theta}}{\frac{2}{\theta^3}} \]

\[ E[a(y)]=\theta^2 \]

Para la varianza se utilizara la siguiente definición: \[ var[a(y)]= E[(a(y))^2]-[E[a(y)]]^2 \]

Como ya se tiene la \(E[a(y)]\), se aplicara la siguiente derivada para el valor de \((a(y))^2\) , obteniendo

\[ \int \dfrac{d}{d \theta} f(y;\theta)dy=\int\left[ a(y)b'(\theta)+c'(\theta)+d(y)\right]f(y;\theta)dy \] que al resolverla nos resulta la siguiente expresion \[ var[a(y)]=\dfrac{b''(\theta) c'(\theta)-c''(\theta)b'(\theta)}{[b'(\theta)]^3} \]

Si se tiene que \(b'(\theta)=\frac{2}{\theta^3}\) entonces \(b''(\theta)=-\frac{6}{\theta^4}\) y \(c'(\theta)=-\frac{2}{\theta}\) se obtiene \(c''(\theta)=\frac{2}{\theta^2}\)

sustituyendo se obtiene

\[ var[a(y)]=\dfrac{(-\frac{6}{\theta^4})(-\frac{2}{\theta})-(\frac{2}{\theta^2})(\frac{2}{\theta^3})}{[\frac{2}{\theta^3}]^3} \] \[ var[a(y)]=\dfrac{\frac{12}{\theta^5}-\frac{4}{\theta^5}}{\frac{8}{\theta^9}} \]

\[ var[a(y)]=\dfrac{\frac{8}{\theta^5}}{\frac{8}{\theta^9}} \]

\[ var[a(y)]=\dfrac{8\theta^ 9}{8\theta^5} \] \[ var[a(y)]=\theta^4 \]

  1. Si las \(Y_i\) son variables aleatorias independientes, provenientes de Weibull con los mismos paŕametros, entonces:

  1. ¿Qúe forma tiene la distribucion de probabilidad conjunta?

  2. ¿Qúe forma tiene la funcion logarıtmica de verosimilitud?

Solución:

  1. Distribucion de probabilidad Conjunta. La funcion de densidad de probabilidad conjunta de \(Y_1,...,Y_N\) se escribe de la siguiente manera. \[ f(y_1,..., y_N;\theta_1,..., \theta_N)= \prod_{i=1}^{N}\left[ exp^{[y_ib(\theta_i)+c(\theta_i)+d(y_i)]} \right] \]

\[ = exp\left[ \sum_{i=1}^{N}y_ib(\theta_i)+\sum_{i=1}^{N}c(\theta_i)+\sum_{i=1}^{N}d(y_i)] \right] \]

Al sustituir los valores que encontramos en la FED se tiene

\[ = exp\left[ \sum_{i=1}^{N}y_i^2(-\frac{1}{\theta_i^2})+\sum_{i=1}^{N}[ln(2)-2ln(\theta_i)]+\sum_{i=1}^{N}ln(y_i)] \right] \]

  1. Funcion logaritmica de verosimilitud

Una variable aleatoria T tiene distribución Weibull(\(\lambda,\alpha\)) si tiene densidad \[ X \rightsquigarrow Weibull (\alpha ,\lambda)= \lambda\alpha(\lambda x)^{\alpha-1} exp^{-(\lambda x)^{\alpha}} \]

En el caso del modelo Weibull(λ, \(\alpha\)), no podremos calcular analíticamente las estimaciones mediante máxima verosimilitud de los parametros del modelo, sino que deberemos recurrir a métodos numéricos para calcular dichas estimaciones. La función de verosimilitud para muestras completas con distribucion Weibull(\(λ, \alpha\)) es:

\[ L(\lambda,\alpha)=(\lambda\alpha)^n \prod_{i=1}^{n}(\lambda T_i)^{\alpha-1} exp[-(\lambda T_i)] \] y su función log-verosimilitus es \[ l(\lambda,\alpha)=n \log(\alpha)+\alpha n\log(\lambda)+(\alpha-1)\sum_{i=1}^{n}\log T_i-\sum_{i=1}^{n}(\lambda T_i) \]

Los estimadores de maxima verosimilitud se obtienen resolviendo las ecuaciones resultantes de igualar las dos derivadas parciales de \(l(λ, \alpha)\) a cero. Comoresultado, el estimador de maxima verosimilitud de \(\alpha\), se obtiene resolviendo:

\[ \dfrac{\sum^{n}_{i=1}T^{\hat \alpha}_i\log T_i}{\sum^{n}_{i=1}T^{\hat \alpha}_i}-\dfrac{1}{\hat \alpha}-\dfrac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}T=0 \] y aunque no es posible obtener una solucion análıticamente, podremos calcular \(\hat \alpha\) utilizando m´etodos numéricos como el método de Newton-Raphson. Una vez estimado el parémetro de forma, obtendremos una estimacién para el parámetro de escala λ mediante la expresión

\[ \hat \lambda=\left( \dfrac{n}{\sum^n_{i=1}T_i^{\hat\alpha}}\right)^{\frac{1}{\alpha}} \]