PRÁCTICA 1. ESTADÍSTICA II

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Ejercicios de Variables Aleatorias

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Ejercicio 1.

Una variable aleatoria Y tiene la función de densidad

f(y)=\left\{\begin{array}{cl} c y^{2}(1-y) & \text {; si } y\in[0,1] \\ 0 & \text {; si } y \not\in [0,1] \end{array}\right.

1. ¿Cuál es el valor de c?

Observamos que \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(y) d y=1 entonces:

\begin{aligned} 1 & =\int_{-\infty}^{0} 0 d y+\int_{0}^{1} c y^{2}(1-y) d y+\int_{1}^{\infty} 0 d y \\ 1& =c \int_{0}^{1} y^{2}-y^{3} d y \\ 1& =c\left[\frac{y^{3}}{3}-\frac{y^{4}}{4}\right]_{0}^{1} \\ 1& =c\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right) \Rightarrow \\ 1& =\frac{c}{12} \\ \\ \Rightarrow c & =12 \end{aligned}

2. Hallar la función de distribución de Y.

Tenemos F(y)=\displaystyle\int_{-\infty}^{y} f(y) d y.

Luego:

• si y \leq 0, tenemos F(y)=0.
• si y \geq 1, tenemos F(y)=1.

Para 0<y<1 tenemos:

\begin{aligned} F(y)&=\int_{0}^{y} 12 u^{2}(1-u) d u \\ F(y)& =12\left[\dfrac{u^{3}}{3}-\dfrac{u^{4}}{4}\right]_{0}^{y} \\ F(y)& =4 y^{3}-3 y^{4} \\ \\ \\ F(y)&=\left\{\begin{array}{cl} 0 & \text { si } y \leq 0 \\ 4 y^{3}-3 y^{4} & \text { si } 0<y<1 \\ 1 & \text { si } y \geq 1 \end{array}\right. \end{aligned}

Ejercicio 2.

Sea X una variable aleatoria continua de función de densidad:

f(x)=\left\{\begin{array}{cl} c\left(1+x^{2}\right) & \text {; si } x \in(0,3) \\ 0 & \text {; en otro caso } \end{array}\right.

Se pide:

1. Hallar el valor de la constante “c” y la función de distribución acumulativa de probabilidad. Dibujar ambas funciones.

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2. Calcular la probabilidad de que x esté comprendido entre 0 y 1.

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3. Hallar la probabilidad de que x sea menor que 1.

Ejercicio 3.

La función de densidad de una variable aleatoria continua es:

f(x)=\left\{\begin{array}{cl} a x^{2}+b & \text {; si } x \in(0,2) \\ 0 & \text {; en caso contrario } \end{array}\right.

Sabiendo que p\left(\dfrac{1}{2}<x<1\right)=\dfrac{1 }{ 8}

Calcular:

1. a y b.

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2. La función de distribución.

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3. p\left(\dfrac{1}{4}<x<\dfrac{3}{4}\right)

Ejercicio 4.

Calcular la media y la varianza para una variable continua con densidad

f(x)=\left\{\begin{array}{cl} \dfrac{1+x^{2}}{12} & \text {; si } x \in(0,3) \\ 0 & \text {; en otro caso } \end{array}\right.

Ejercicio 5.

Sea X una variable discreta con función de probabilidad:

p(x)=\dfrac{e^{-1}}{x !} \quad \text { para } x=0,1,2, \ldots, +\infty .

¿Cuál es la media de la variable aleatoria?

Ejercicio 6.

Sea X una variable exponencial con función de densidad:

f(x)=\lambda e^{-\lambda x} \quad \text { para } x>0

Calcular su media y varianza