Introduction

Trước đây tôi gõ Latex codes cho các biểu thức Toán là rất ngại. Giờ thì việc này quá đơn giản khi sử dụng ChatGPT. Đưới đây là một ví dụ:

Câu 1. Tính giới hạn \[\lim_{x \to 0^+} \left( 1 - \cos \sqrt{x} \right)^{\sin x}\]

Câu 2. Phân loại điểm gián đoạn của hàm số \(y = x\arctan \left( \frac{1}{x+1} \right)\)

Câu 3. Tính đạo hàm \(y'(x)\) của hàm số cho bởi hệ phương trình:

\[ \begin{cases} x(t) = e^t + t \\ y(t) = e^{2t} + 2t \end{cases} \] Câu 4. Tính đạo hàm cấp cao \(y^{(20)}(\pi)\) của hàm số \(y = x \sin x\).

Câu 5. Tính giới hạn \[\lim_{x \to 1} \left( \frac{1}{\ln(2-x)} + \frac{1}{x-1} \right)\]

Câu 5. Chứng minh rằng \(\arctan x \ge x - \frac{x^3}{3}\) với mọi \(x \ge 0\)

Câu 7. Tính tích phân \[\int \frac{(2x+1) \, dx}{(x+2)(x+3)}\]

Câu 8. Tính tích phân \(\int \arctan \sqrt{1-x} \, dx\)

Câu 9. Cho phương trình \(y = (x^2 - 1)(x^2 - 2)(x^2 - 3)\). Tìm số nghiệm thực của phương trình \(y'(x) = 0\).

Câu 10. Tìm \(a, b\) để \(\alpha(x) = b \sqrt{x+a} + \ln(x+a)\) là vô cùng bé có bậc cao nhất có thể khi \(x \to 0\).

Và dưới đây là một ví dụ khác (trích một trang sách trong cuốn Financial Risk Modelling and Portfolio Optimization with R):

Latex Codes cho các Mathematical Expressions:

\[\begin{equation} \text{VaR}_\alpha = Q(u|\lambda) \end{equation}\]

\[\begin{equation} = \lambda_1 + \frac{\alpha^{\lambda_3} - (1 - \alpha)^{\lambda_4}}{\lambda_2}, \end{equation}\] \[\begin{equation} (6.20) \end{equation}\]

and the formula for computing the ES for a given probability of error can be expressed as

\[\begin{equation} \text{ES}_\alpha = \int_{-\infty}^{\text{VaR}} xf(x|\lambda)dx = \int_{-\infty}^\alpha Q(u|\lambda)du \end{equation}\]

\[\begin{equation} = \lambda_1 + \frac{1}{\lambda_2(\lambda_3 + 1)} \alpha^{\lambda_3 + 1} + \frac{1}{\lambda_2(\lambda_4 + 1)} \left[ (1 - \alpha)^{\lambda_4 + 1} - 1 \right]. \end{equation}\] \[\begin{equation} (6.21) \end{equation}\]