Intervalos de confianza para el cociente de dos varianzas

A partir de la cantidad pivotal

\[ \frac{\frac{S_1^2}{\sigma_1^2}}{\frac{S_2^2}{\sigma_2^2}} \sim F_{(n_1-1, n_2-1)} \implies IC(1-\alpha) = \left( \frac{\frac{S_1^2}{S_2^2}}{F_{\left(1-\frac{\alpha}{2}, n_1-1, n_2-1\right)}}, \frac{\frac{S_1^2}{S_2^2}}{F_{\left(\frac{\alpha}{2}, n_1-1, n_2-1\right)}} \right) \]

Ejemplo: Intervalo de confianza para el cociente de varianzas

Tras revisar documentos oficiales, se obtuvo la siguiente información:

Se realizó un estudio para comparar las tasas de contagio del coronavirus entre dos regiones del país, utilizando datos de 75 casos confirmados para la primera región y una tasa de contagio media de 2.68 con una desviación estándar de 0.5 contagios. Para la segunda región, se tienen datos de 82 municipios con una tasa media de contagio de 2.68 y una desviación estándar de 0.5 contagios. Se desea establecer el intervalo de confianza para comparar las varianzas de estas dos regiones.

Simulación y cálculos

1. Establecer el intervalo de confianza

\[ \frac{\frac{S_1^2}{\sigma_1^2}}{\frac{S_2^2}{\sigma_2^2}} \sim F_{(n_1-1, n_2-1)} \implies IC(1-\alpha) = \left( \frac{\frac{S_1^2}{S_2^2}}{F_{\left(1-\frac{\alpha}{2}, n_1-1, n_2-1\right)}}, \frac{\frac{S_1^2}{S_2^2}}{F_{\left(\frac{\alpha}{2}, n_1-1, n_2-1\right)}} \right) \]

2. Simular una población de 1103 tasas de contagio de 1013 municipios para las dos regiones

# Datos de la primera región
n1 <- 75
mean1 <- 2.68
sd1 <- 0.5

# Datos de la segunda región
n2 <- 82
mean2 <- 2.68
sd2 <- 0.5

3. Tomar las muestras aleatorias

# Simular las tasas de contagio para ambas regiones
set.seed(123)
region1 <- rnorm(n1, mean1, sd1)
region2 <- rnorm(n2, mean2, sd2)

4. Construir un intervalo de confianza

# Varianzas muestrales
var1 <- var(region1)
var2 <- var(region2)

# Grados de libertad
df1 <- n1 - 1
df2 <- n2 - 1

# Nivel de significancia y y cuantiles F para el intervalo de confianza
alpha <- 0.05
q1 <- qf(1 - alpha/2, df1, df2)
q2 <- qf(alpha/2, df1, df2)

# Intervalo de confianza para el cociente de varianzas
ci_lower <- (var1 / var2) * (1 / q1)
ci_upper <- (var1 / var2) * (1 / q2)

# Resultados
cat("Intervalo de confianza para el cociente de varianzas:\n")

## Intervalo de confianza para el cociente de varianzas:

cat("(", round(ci_lower, 2), ", ", round(ci_upper, 2), ")\n")

## ( 0.63 ,  1.54 )

intervalo.cociente.varianzas <- function(ci_lower,ci_upper,n1,n2){
  library(ggfortify)
  ggdistribution(
    func=df,
    x=seq(
      from=0,
      to=9*sqrt((2*(n2-1)**2*((n1-1)+(n2-1)-2))/((n1-1)*((n2-1)-2)**2*((n2-1)-4))),
      by=0.01
    ),
    df1=n1-1,
    df2=n2-1,
    colour = "blue",
    p = ggdistribution(
      func=df,
      x=seq(
        from=ci_lower,
        to=ci_upper,
        by=0.01
      ),
      df1=n1-1,
      df2=n2-1,
      colour ="blue",
      fill = "blue"
    ) +
    ggtitle(
      label = paste("Intervalo de confianza "),
      subtitle = paste("para el cociente de dos varianzas con df1 =", n1-1, "y df2 =", n2-1)
    )
  )
}

intervalo.cociente.varianzas(ci_lower=ci_lower,ci_upper=ci_upper,n1=n1,n2=n2)

## Loading required package: ggplot2